二面角的求法
立体几何二面角的求法
立体几何二面角的求法立体几何是数学的一个重要分支，研究的是空间中的图形和其性质。
其中，二面角是立体几何中的一个重要概念，它是由两个平面所围成的角。
本文将介绍二面角的定义、性质以及求法。
一、二面角的定义二面角是由两个平面所围成的角，其中一个平面称为顶面，另一个平面称为底面，二面角的两个边分别位于顶面和底面上。
二面角常用字母α表示。
二、二面角的性质1. 二面角的大小是以顶点为中心，两个边所围成的平面角的大小，即α=∠POQ。
2. 二面角的大小是由顶面和底面的位置关系决定的，与边的长度无关。
3. 二面角的度量范围是0到180度。
4. 如果两个平面平行，则它们所围成的二面角为0度。
5. 如果两个平面相互垂直，则它们所围成的二面角为90度。
6. 如果两个平面相交于一条直线，则它们所围成的二面角为180度。
三、二面角的求法1. 通过向量法求解二面角：设顶面的法向量为n1，底面的法向量为n2，二面角的余弦值可以通过两个法向量的点乘公式求解：cosα=n1·n2/(|n1||n2|)，其中·表示点乘，|n1|和|n2|分别表示n1和n2的模。
2. 通过平面法向量求解二面角：设顶面的法向量为n1，底面的法向量为n2，二面角的余弦值等于两个法向量的模的乘积与它们的点乘的商：cosα=(|n1|·|n2|)/(n1·n2)。
3. 通过平面方程求解二面角：设顶面的平面方程为Ax+By+Cz+D1=0，底面的平面方程为Ax+By+Cz+D2=0，二面角的余弦值等于两个平面方程的D1、D2的差值与它们的模的乘积的商：cosα=(D1-D2)/(√(A^2+B^2+C^2)·√(A^2+B^2+C^2))。
四、二面角的应用1. 二面角常用于计算空间中的体积和表面积。
2. 在物理学中，二面角常用于描述力的方向和大小。
3. 在几何光学中，二面角常用于计算光的反射和折射。
4. 在工程中，二面角常用于计算材料的强度和稳定性。
二面角的求法公式
二面角的求法公式
二面角的求法有多种，以下是其中的一些：
1. 一般求法：先找到二面角的平面角，然后用量角器直接测量。
2. 法向量法：利用向量的数量积来求二面角。
设两个法向量分别为
$\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，则二面角的大小为
$\arccos(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{a} \times
\mathbf{b}})$。
3. 平行向量法：利用向量的平行性质来求二面角。
设两个平行的向量分别为$\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，则二面角的大小为
$\arccos(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{a} \times
\mathbf{b}})$。
4. 方程方法：利用空间几何的知识，建立二面角的方程，然后求解。
这些方法各有优缺点，具体使用哪种方法需要根据具体的情况来决定。
求二面角的五种方法
五法求二面角从全国19份高考试卷中我们知道，立体几何题中命有求二面角大小的试题共有12份，并都为分值是12分的大题，足以说明这一知识点在高考中的位置，据有关专家分析，它仍然是2010年高考的重点，因此，我们每位考生必须注意，学会其解题方法，掌握其解题技巧，是十分重要的。
一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。
证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形ABM 中过点B作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。
则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG FG366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-练习1（2008山东）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角E —AF —C 的余弦值. 分析：第1题容易发现，可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD ，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S ，和两边SE 与SC ，进而计算二面角的余弦值。
二面角8种求法
二面角求法正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。
笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。
一、平面角定义法此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。
以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角，如图二面角α-l-β中，在棱l上取一点O，分别在α、β两个平面内作AO⊥l，BO⊥l，∠AOB即是所求二面角的平面角。
例题1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O的大小。
例题2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为A1D1、C1D1的中点，求平面EFCA与底面ABCD所成的二面角。
二、 利用三垂线定理法此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。
如图二面角α-l-β中，在平面α内取一点A ，过A 作AB ⊥平面β，B 是垂足， 由B （或A ）作BO （或AO ）⊥l ，连接AO （或BO ）即得AO 是平面β的斜线， BO 是AO 在平面β中的射影，根据三垂线定理（或逆定理）即得AO ⊥l ，BO ⊥l ， 即∠AOB 是α-l-β的平面角。
例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。
例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。
三、 线面垂直法此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。
二面角的多种求法
二面角的多种求法1.概念法例1：如图所示，在四面体ABCD 中，1AC AB ==,2CD BD ==,3AD =。
求二面角A BC D --的大小。
分析：四面体ABCD 的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。
解：设线段BC 的中点是E ，接AE 和DE 。
根据已知的条件1AC AB ==，2CD BD ==，可以知道AE BC ⊥且DE BC ⊥。
又BC 是平面ABC 和平面DBC 的交线。
根据定义，可以得出：AED ∠即为二面角A BC D --的平面角。
可以求出32AE =，3DE =3AD =。
根据余弦定理知：22222233)372cos 243232AE DE ADAED AE DE+-+-∠==-⨯⨯⨯即二面角A BC D --的大小为7arccos4π-。
例2：如图所示，ABCD 是正方形，PB ABCD ⊥平面，1PB AB ==，求二面角A PD C --的大小。
解：作辅助线CE PD ⊥于点E ，连接AC 、AE 。
由于AD CD =，PA PC =，所以PAD PCD ≅三角形三角形。
即AE PD ⊥。
由于CE PD ⊥，所以AEC ∠即为所求的二面角的大小。
通过计算可以得到：2PC =3PD =，又1CD =，在三角形PCD 中可以计算得到63CE =。
由此可以得到：63AE CE ==，又2AC =。
由余弦定理：222222133cos 22223AE CE AC AEC AE AC +-+-∠===-⋅⋅即：23AEC π∠=。
2.空间变换法空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。
下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。
例3：如图所示，现有平面α和平面β，它们的交线是直线DE ，点F 在平面α内，点C 在平面β内。
求二面角F DE C --的大小。
分析：过点C 作辅助线CA 垂直于DE ，作CB 垂直于平面β于点B 。
谈谈二面角的三种求法
解题宝典所以x 12+y 12+x 22+y 22>(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，当A ,B ,O 三点共线时，x 12+y 12+x 22+y 22=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，所以x 12+y 12+x 22+y 22≥(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.我们由该根式可联想到两点间的距离公式，于是设出A 、B 两点的坐标，即可将问题转化为证明|AO |+|BO |>|AB |，根据三角形两边之和大于第三边的性质来解题.运用几何法解题，需进行数形互化，结合几何图形来分析问题.五、运用基本不等式若a ,b >0a 、b >0，则a +b ≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，该式叫做基本不等式.在解答不等式问题时，可以根据不等式的结构特征进行适当的变形，如凑系数、常数代换、添项、去项等，以配凑出两式的和或积，以便能利用基本不等式证明不等式.运用基本不等式时，要确保“一正”“二定”“三相等”的条件成立.例5.已知正实数x ,y 满足2x +5y =20，若不等式10x +1y≥m 2+4m恒成立，求实数m 的取值范围.解:在2x +5y =20的左右同除以20，得x 10+y4=1，则10x +1y =æèçöø÷10x +1y æèçöø÷x 10+y 4=54+5y2x +x 10y ≥94，当且仅当x =203,y =43取等号.则m 2+4m ≤94，解得-92≤m ≤12.由于10x +1y 为分式，所以将已知关系式变形为x 10+1y=1，即可通过常数代换，将10x +1y 化为和式54+5y 2x +x10y .而5y 2x 、x 10y的积为定值，这样便可运用基本不等式求得10x +1y 的最小值，从而求得m 的取值范围.解答不等式问题的方法很多，我们需根据不等式的结构特征进行变形、代换，联系相关的公式、性质、定理等将问题转化为几何问题、最值问题、运算问题等，并选用合适的方法进行求解.（作者单位：安徽省宣城中学）二面角问题的常见命题形式有：（1）求二面角的大小或范围；（2）证明两个平面互相垂直；（3）根据二面角的大小求参数的取值范围.这类问题主要考查同学们的空间想象能力和运算能力.那么，解答这类问题有哪些方法呢？下面结合实例进行归纳总结.一、直接法直接法是指直接从题目的条件出发，通过合理的运算和严密的推理，得出正确的结果.我们知道，二面角的大小可用其平面角表示，因此求二面角的大小，关键是求其平面角的大小.在求二面角时，需先仔细审题，明确题目中点、线、面的位置关系，灵活运用三垂线定理、勾股定理、正余弦定理、夹角公式，根据二面角以及平面角的定义，作出并求出平面角，即可运用直接法快速求得问题的答案.例1.如图1，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直且平分SC ，分别交AC ，SC 于点D ，E ，且SA =AB ，SB =BC ，求二面角E -BD -C的大小.解：∵SB =BC ，E 是SC 的中点，∴SC ⊥BE ，∵SC ⊥DE ，BE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，∴SC ⊥平面BDE ，∵BD ⊂平面BDE ，∴SC ⊥BD ，∵SA ⊥底面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴SA ⊥BD ，又∵SC ⋂SA =S ，SC ⊂平面SAC ，SA ⊂平面SAC ，∴BD ⊥平面SAC ，又∵DC ⊂平面SAC ，DE ⊂平面SAC ，∴DC ⊥BD ，DE ⊥BD ，∴∠DEC 是所求二面角的平面角.∵SA ⊥底面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，设SA =2，得AB =2，BC =SB =22，∵AB⊥BC ，∴AC =23，∴∠ACS =30°，又∵DE ⊥SC ，∴∠EDC =60°，林菊芳图139解题宝典即二面角E -BD -C 的大小为60°.可采用直接法解答本题.先利用三垂线定理，在二面角E -BD -C 的棱BD 上的点D 处，找到与BD 垂直的两条射线DC 和DE ，就能根据二面角的平面角的定义确定∠DEC 即为所求的角；再根据勾股定理求得∠DEC 的大小，即可解题.例2.如图2，凸六边形MBB 1NC 1C 的边长相等，BB 1C 1C 为矩形，∠BMC =∠B 1NC 1=90°.将ΔBCM ，ΔB 1C 1N 分别沿BC ，B 1C 1翻折，使平面ABC ，平面A 1B 1C 1分别与平面BB 1C 1C 垂直，如图3所示.其中E ，G 分别是BC ，CC 1的中点．（1）求证：多面体ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱；（2）求二面角A -EG -A 1的平面角的余弦值．图2图3解：（1）略.（2）取B 1C 1中点F ，连接A 1F ，EF ，由（1）可知，多面体ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，∴平面A 1B 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，∴A 1F ⊥平面BB 1C 1C ，同理可证AE ⊥平面BB 1C 1C ，过F 作FD ⊥EG 交EG 于点D ，连接A 1D ，∴∠A 1DF 为二面角A -EG -F 的平面角，又∵AE ⊥平面BB 1C 1C ，AE ⊂平面AEG ，∴平面AEG ⊥平面BB 1C 1C ，∴二面角A -EG -A 1的平面角为π2-∠A 1DF ，设A 1B 1=t ，则21=B 1=t ，CE =CB 2=C 1B 12=，A 1F =，∴EG=CE 2+CG 2=，∴FD =EF ∙sin =EF ∙CE EG =，∴A 1D=A 1F 2+FD 2=，∴cos α=cos æèöøπ2-∠A 1DF =sin ∠A 1DF =A 1F A 1D 我们先根据面面垂直的性质定理证明A 1F ⊥平面BB 1C 1C ；然后根据线面垂直的性质定理和二面角的定义确定二面角A -EG -F 的平面角∠A 1DF ；再根据勾股定理和正余弦函数的定义，即可运用直接法求得问题的答案.二、面积射影法当不易作出二面角的平面角时，可以考虑采用面积射影法求二面角的大小.先确定一个半平面在另一个半平面的射影；然后分别求得这两部分图形的面积，并将二者相除，所得的结果即为二面角的余弦值.要注意二面角α的范围为：.例3.如图4，正方体的棱长为3，顶点A 在平面α内，三条棱AB ，AC ，AD 都在平面α的同侧.若顶点B ，C 到平面α的距离分别为2，3，求平面ABC 与平面α所成锐二面角的余弦值.图4图5解：作BB 1⊥平面α于B 1，CC 1⊥平面α于C 1，连接BC ，B 1C 1，过点B 作BG ⊥CC 1，垂足为G 点，如图5所示.可得AC 1=AC 2-CC 12=32-()32=6，AB 1=AB 2-BB 12=32-()22=7，∴B 1C 1=BG =BC 2-CG 2=13+26，cos ∠B 1AC 1=AC 12+AB 12-B 1C122×AC 1×AB 1=7，sin ∠B 1AC 1=1-cos 2∠B 1AC 1=S ΔB 1AC 1=12×AC 1×AB 1×sin ∠B 1AC 1=12×6×7=3，S ΔBAC =12×AB ×AC =12×3×3=92，设平面ABC 与平面α所成锐二面角为θ，可得cos θ=S ΔB 1AC 1S ΔBAC =23，即平面ABC 与平面α所成锐二面角的余弦值为23.经常观察图形可发现，平面ABC 在另一个平面α内的射影为ΔB 1AC 1，于是作BB 1⊥平面α于B 1，CC 1⊥平面α于C 1，连接BC ，B 1C 1，分别求得ΔABC的面积和ΔBAC 的面积，并求得其比值，即可求得平面ABC 与平面α所成锐二面角的余弦值.三、空间向量法若根据已知条件可确定线面或线线垂直关系，即40解题宝典可以某一点为原点，三条互相垂直的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.给各个点赋予坐标，利用向量的夹角公式，通过空间向量运算，即可求得二面角的大小.例4.如图6所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，AB=2，AE=3，DE=5，二面角E-AD-C的余弦值为，EF//BD，且EF=λDB()λ＞0，求平面ABF与平面CEF所成锐二面角的余弦值的取值范围.图6图7解：∵AB=AD=2，AE=3，DE=5，∴AD2+DE2=AE2，即AD⊥DE，∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，DE⊂平面EDC，DC⊂平面EDC，∴AD⊥平面EDC，又∵AD⊂平面ABCD，AD⊂平面ADE，∴平面ABCD⊥平面EDC，且∠EDC是二面角E-AD-C的平面角，∴cos∠EDC，作OE⊥CD于点O，得OD=DE∙cos∠EDC=1，OE=2，又∵平面ABCD⊥平面EDC，OE⊂平面EDC，∴OE⊥平面ABCD，取AB中点M，连接OM，得OM⊥CD，如图7，以O为原点建立空间直角坐标系，可得A()2,-1,0,B()2,1,0,D()0,-1,0,C()0,1,0,E()0,0,2，DB=()2,2,0,EF=()2λ,2λ,0,EC=()0,1,-2,设平面CEF的一个法向量为m =()x1,y1,z1，∴ìíîm ∙EC=y1-2z1=0,m ∙EF=2λx1+2λy1=0,取x1=2，得{y1=-2,z1=-1,∴m =()2,-2,-1,又BF=()2λ-2,2λ-1,2，AB=()0,2,0，设平面ABF的一个法向量为n =()x2,y2,z2,∴ìíîn ∙AB=2y2=0,n ∙BF=()2λ-2x2+()2λ-1y2+2z2=0,取x2=2，得{y2=0,z2=2-2λ,∴n =()2,0,2-2λ,∴||cos m ，n =||m ∙n ||m ∙||nöøλ≠14，设t=λ-14æèöøt＞-14且t≠0，∴t+2516t-32＜-8或t+2516t-32≥1，∴1+4æèöøλ-14+2516æèöøλ-14-32∈æèöø12，1⋃(]1,5，∴||cos m ，n ∈èöø÷，13⋃æèçû13，，∴当λ=14时，||cos m，n =13，∴||cos m ,n ∈èû.即平面ABF与平面CEF所成锐二面角的余弦值的取值范围为èû.解答本题主要运用了空间向量法.首先利用面面垂直的性质定理得出OE⊥平面ABCD；然后找出两两垂直的三条直线，据此建立空间直角坐标系，求得各个点的坐标和各个平面的法向量（即垂直于平面的直线的方向向量），即可利用空间向量夹角公式解题.一般地，若容易作出二面角的平面角，往往可以采用直接法求二面角的大小.该方法比较常用，且较为简单，只需根据题意进行推理、运算，利用二面角的平面角的定义求解.如果不易找出或求出二面角的平面角，则往往需采用射影面积法和空间向量法，通过求平面图形的面积和平面的法向量，来求得二面角的大小.同学们要熟练掌握这些常用方法的特点和应用技巧，以在求解二面角问题时做到得心应手.（作者单位：湖北省团风中学）41。
二面角的三种求法
1 2 = 2 ，PO 2
2 ∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为 2 所求的二面角 20:33
E
O
二面角的计算： 二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 、 2、证明 1中的角就是所求的角 、 3、计算出此角的大小 、
计算” 一“作”二“证”三“计算”
20:33
16
二面角
练习1：已知Rt△ 在平面α内 斜边AB在 练习 ：已知 △ABC在平面 内，斜边 在30º的二 在平面 的二 面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点 到平面 的棱上 面角 的棱 ， ，求点C到平面 β的距离 。 的距离CO。 的距离
20:33
C
B
β
B
p α
O
ι
A
二面角
如图， 是二面角α棱上一点， 例 1.如图， 已知 P是二面角 AB-β棱上一点， 过 P分 如图 棱上一点 别 在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN ， 且 ∠ MPN=60º ∠BPM=∠BPN=45º ，求此二面角的度数。 ∠ 求此二面角的度数。 C 在 α 解： PB上取不同于P 的一点O， M 在α内过O作OC⊥AB交PM于C， O P A 在β内作OD⊥AB交PN于D， B 连CD，可得 D N ∠COD是二面角α-AB-β的平面角 β 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º ∴CO=a， DO= a ， PC = 2 a ， PD 2 a C = 又∵∠MPN=60º ∴CD=PC = 2 a
C O
α β
B
A
D
O
练习2： 已知棱长为1正方体 正方体ABCD-A1B1C1D1, 求二面 练习 ： 已知棱长为 正方体 的大小。 角C1-BD-B1的大小。
数学二面角的求法总结
数学二面角的求法总结数学二面角是指在三维空间中，两个平面的夹角。
它是一个重要的几何概念，在计算机图形学、物理学、化学等领域都有广泛的应用。
本文将总结数学二面角的求法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、定义数学二面角是指在三维空间中，两个平面的夹角。
具体来说，设平面P1和平面P2相交于一条直线L，将P1和P2分别沿着L旋转，直到它们重合为止。
此时，P1和P2的夹角就是它们的二面角。
二、求法1. 余弦定理法设P1和P2的法向量分别为n1和n2，它们的夹角为θ，则有：cosθ =(n1·n2) / (|n1|·|n2|)其中，·表示向量的点积，|n1|和|n2|分别表示n1和n2的模长。
由于n1和n2都是单位向量，所以|n1|=|n2|=1。
因此，上式可以简化为：cosθ = n1·n2这个式子就是余弦定理。
它告诉我们，两个向量的点积等于它们的模长乘以夹角的余弦值。
因此，我们可以通过求出n1和n2的点积来计算二面角的余弦值，然后再用反余弦函数求出夹角。
2. 向量叉积法设P1和P2的法向量分别为n1和n2，它们的夹角为θ，则有：sinθ = |n1×n2| / (|n1|·|n2|)其中，×表示向量的叉积。
由于n1和n2都是单位向量，所以|n1|=|n2|=1。
因此，上式可以简化为：sinθ = |n1×n2|这个式子就是向量叉积的模长公式。
它告诉我们，两个向量的叉积的模长等于它们的模长乘以夹角的正弦值。
因此，我们可以通过求出n1和n2的叉积的模长来计算二面角的正弦值，然后再用反正弦函数求出夹角。
3. 三角形面积法设P1和P2的法向量分别为n1和n2，它们的夹角为θ，则有：sinθ = 2·S / (|P1|·|P2|)其中，S表示P1和P2的交线段所在的平面的面积，|P1|和|P2|分别表示P1和P2的面积。
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二面角求法总结二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
例1:（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M 在侧棱上，=60°（I ）证明：M 在侧棱的中点 （II ）求二面角的大小。
变式1:（山东）如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，FS ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD =2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --分别是BC, PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角E —AF —C 的余弦值.二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
例2．(山东卷理) 如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA =2, E 、E 、F 分别是棱AD 、AA 、AB 的中点。
（1） 证明：直线EE //平面FCC ； （2） 求二面角B-FC -C 的余弦值。
变式2：（天津）如图，在四棱锥ABCD P 中，底面ABCD 是矩形．1111111111已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．三．补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。
即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例3（湖南）如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.变式3-1:已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。
AB CED P（1）求证：AC 1⊥BC ；（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。
变式3-2:在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
ACB B 1C 1 A 1L四、射影面积法（coss S射影）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S =θ）求出二面角的大小。
例4:（北京理）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；变式4： E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值.ACBP五、向量法 1.法向量向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
例5：（天津卷理）如图，在五面体ABCDEF 中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE ，AB AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD 平面CDE ； 求二面角A-CD-E 的余弦值。
⊥⊥12⊥变式5：（湖北）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A ABB . （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ,二面角1A BC A --的大小为ϕ，试判断θ与ϕ的大小关系，并予以证明.2.向量外积法定义 ：设b a ,是2个空间向量，b a 和的向量积c b a b a c b a c ,sin ,⋅=⨯=垂直于b a 和并且c b a ,,的方向符合右手法则.定理： 设()()z y x z y x b b b b a a a a ,,,,,==，则()x y y x z x x z y z z y b a b a b a b a b a b a b a ---=⨯,, 具体步骤：（1） 建立空间直角坐标系；（2） 取与二面角的棱共线的向量a ，在平面βα、内分别取不与a 共线的向量21b b 、（注意方向）； （3） 将a 放在前面作向量积分别求出平面βα、的法向量，即21,b a n b a m ⨯=⨯=； （4） 利用向量夹角公式nm nm n m ⋅⋅=,cos ，求出n m ,cos 的值，此时无需再进行判断，n m ,cos 就是所求二面角的余弦值.例6：（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .变式6：（广东卷理）如图，ABC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点．平面AEC 外一点F 满足5FB DF a ==，FE=6a ． （1）证明：EB ⊥FD ；（2）已知点Q,R 分别为线段FE,FB 上的点，使得22F ,33Q FE FR FB ==,求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值．立体几何真题汇编1.（2013山东卷理18）如图所示，在三棱锥ABQ P -中，⊥PB 平面ABQ ，BQ BP BA ==,F E C D ,,,分别是BP AP BQ AQ ,,,的中点，BD AQ 2=，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH 。
（1）证明：AB ∥GH ；（2）求二面角E GH D --的余弦值。
2.（2013陕西卷理18）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，⊥O A 1平面ABCD ，21==AA AB 。
（1） 证明：⊥C A 1平面D D BB 11；（2） 求平面1OCB 与平面D D BB 11的夹角θ的大小。
3.如图，直三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别1,BB AB 的中点，AB CB AC AA 221===. （1）证明：1BC ∥平面CD A 1； （2）求二面角E C A D --1的正弦值。
A 1C 1ACA14.（2013新课标1卷18）如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB CA =,1AA AB =,0160=∠BAA （1）证明：C A AB 1⊥；（2）若平面ABC ⊥平面B B AA 11,CB AB =，求直线C A 1与平面C C BB 11所成角的正弦值5.（2013江西卷理19）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，E 为BD 中点，G 为PD 中点，DAB ∆≌DCB ∆,1===AB EB EA ，23=PA ,连结CE 并延长交AD 于点F 。
（1）求证：⊥AD 平面CFG ；（2）求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值。
CDABCC 1A 1B 16.四棱锥ABCD P -中，090=∠=∠BAD ABC ,AD BC 2=,PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形。
（1）证明：CD PB ⊥；（2）求二面角C PD A --的大小。
7.（2013辽宁卷理18）如图，AB 是圆的直径，⊥PA 圆所在的平面，C 是圆上的点。
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若1,1,2===PA AC AB ，求二面角A PB C --的余弦值。
ABCP8.在直棱柱1111D C B A ABCD -中，AD ∥BC ，090=∠BAD ，BD AC ⊥，1=BC ,31==AA AD （1）证明：D B AC 1⊥；（2）求直线11C B 与平面1ACD 所成角的正弦值。
9.（2013北京卷理17）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，C C AA 11是边长为4的正方形，平面⊥ABC 平面C C AA 11，5,3==BC AB . （1）求证：⊥1AA 平面ABC ； （2）求二面角111B BC A --的余弦值；（3）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得B A AD 1⊥，并求1BC BD的值。
CB1C B10.（2013天津卷理17）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥A A 1底面ABCD ，AB ∥DC ，AD AB ⊥,1==CD AD ,21==AB AA ,E 为棱1AA 的中点。
（1）证明：CE C B ⊥11;（2）求二面角11C CE B --的正弦值；（3）设点M 在线段E C 1上，且直线AM 与平面11A ADD 所成角的正弦值为62，求线段AM 的长。
11.（2013重庆卷理19）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，2==CD BC ,4=AC ,3π=∠=∠ACD ACB ，F 是PC 的中点，PB AF ⊥。
（1）求PA 的长；（2）求二面角D AF B --的正弦值。
PABCDF12. AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =. 记直线PQ 与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.13.（2013四川卷理19）如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 的中点．（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A A M N --的余弦值．D 1DCBA B 1C 1A PBC图6O14.（2013广东卷理18）如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠A 90=︒，6BC=，D，E分别是AC，AB上的点，CD BE==O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图6所示的四棱椎'A BCDE-，其中'A O=（1）证明：'A O⊥平面BCDE；（2）求二面角'A CD B--平面角的余弦值．15.（2013安徽卷理19）如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.50,AB和CD 是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为600，(1)证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面; (2)求cos∠COD.16.如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=. （1）证明：//PQ 平面BCD ;（2）若二面角D BM C --的大小为060，求BDC ∠的大小.17.（2013福建卷理19）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，AB ∥DC ，11=AA ，k AB 3=，k AD 4=，k BC 5=，)0(,6>=k k DC 。