空间点、直线、平面之间的位置关系课件
2．求异面直线所成角 异面直线所成角的大小，是用过空间任意一点分别引它 们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的．因此，平移直线是 求异面直线所成角的关键．这里给出几种平移直线的途径． (1)在已知平面内平移直线构造可解的三角形，或根据实 际情况构造辅助平面，在辅助平面内平移直线构造可解的三 角形，是求异面直线所成角的途径之一；
解析：若 l∥α，则 l 与 α 内的直线平行或异面，排除 A、 C；若 l∥m，l 不在平面 α 内，则 l∥α，故排除 D，选 B.
答案：B
异面直线的判定及证明
[例 4]
已知空间四边形 ABCD 中，E、H 分别是边 AB、
AD 的中点， 是边 BC 上的点(F 与 B、 不重合)， F C 平面 EFH 交边 CD 于 G. (1)求证：EF 与 AD 是异面直线； (2)求证：EG 与 FH 相交．
考点典例讲练
共线、共面问题
[例 1]
如图所示， 四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，
1 1 ∠BAD＝∠FAB＝90° ，BC 綊 AD，BE 綊 FA，G、H 分别为 2 2 FA、FD 的中点．
(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？
解析：(1)证明：由已知 FG＝GA，FH＝HD，可得 GH 綊
1 2AD. 1 又 BC 綊 AD，∴GH 綊 BC， 2 ∴四边形 BCHG 为平行四边形．
1 (2)由 BE 綊 AF，G 为 FA 中点知， 2
BE 綊 FG，∴四边形 BEFG 为平行四边形，
∴EF 綊 CH.由(1)知 BG 綊 CH，
四边形 BCD1A1 为平行四边形，∴CD1∥A1B，又∵E、F 分别 为 AB、AA1 的中点，∴EF∥A1B，∴EF∥CD1，可知 E、F、 C、D1 四点共面．
1 (2)∵EF 綊 CD1，∴D1F、CE 延长后交于一点 P 2
又 P∈D1F，D1F⊂平面 A1D1DA，∴P∈平面 A1D1DA， 又 P∈CE，CE⊂平面 ABCD，∴P∈平面 ABCD， 又平面 A1D1DA∩平面 ABCD＝AD， ∴P∈AD，即三线共点.
解析：∵平面 ABB1A1∥平面 DCC1D1，∴在 A1B1 上取 H， A1B1 使 A1H＝ 4 ， 即可得： ∥DF1.引 NH∥BE1， AH 则锐角∠AHN 就是 DF1 与 BE1 所成的角． 设正方体棱长为 a，在△AHN 中，易求得： a 17 AN＝ ，AH＝NH＝BE1＝ a. 2 4 AH2＋HN2－AN2 15 由余弦定理得，cos∠AHN＝ ＝17. 2AH· HN 15 即 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值为17.
分析：(1)欲证四边形 BCHG 是平行四边形，需证两组对 1 边分别平行或一组对边平行且相等， 注意到条件， 綊 AD， BC 2 G、H 分别为 FA、FD 的中点，因此 GH 綊 BC. (2)假设 C、D、F、E 四点共面，则 C、H、E、F 共面， 1 又 CH 綊 BG，注意到 BE 綊 AF 有 BE 綊 GF，∴EF 綊 BG， 2 从而 CH 綊 EF.
∴EF∥CH，∴EF 与 CH 共面． 又 D∈FH，∴C、D、F、E 四点共面．
如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点．求证：
(1)E、C、D1、F 四点共面； (2)CE、D1F、DA 三线共点．
解析：(1)如图，连接 EF、A1B、CD1，∵BC 綊 A1D1，∴
2．空间两条直线 (1)空间两条直线的位置关系有相交、平行、异面． (2)平行直线 ①公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别 对应平行，那么这两个角 相等或互补 ．
(3)异面直线 ①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直 线． ②两条异面直线所成的角：已知两条异面直线 a、b，经 过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，则 a′与 b′所成 的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
这种方法常常是取两条异面直线中的一条和另一条上一 点确定一个平面，在这个平面内过这个点作这条直线的平行 线，或在两条异面直线上各选一点连线，构造两个辅助面过 渡．
[例 1]
如图所示，在正方体 AC1 中，M、N 分别是 A1B1、
BB1 的中点，求异面直线 AM 和 CN 所成角的余弦值．
解析：在平面 ABB1A1 内作 EN∥AM 交 AB 于 E，则 EN 与 CN 所成的锐角(或直角)即为 AM 和 CN 所成的角．设正方 体棱长为 a. 5 5 17 在△CNE 中，可求得 CN＝ 2 a，NE＝ 4 a，CE＝ 4 a， EN2＋CN2－CE2 2 由余弦定理得，cos∠CNE＝ ＝5. 2EN· CN 2 即异面直角 AM 与 CN 所成角的余弦值为5.
(3)整体平移几何体，构造可解的三角形，是求异面直线 所成角的途径之三． 这种方法常常是将原有几何体上再拼接上同样的一个几 何体(相当于将原几何体作了一个平移)创造平移直线的条件．
[例 3]
如下图长方体 AC1 中，AB＝12，BC＝3，AA1＝4，
N 在 A1B1 上，且 B1N＝4.求 BD1 与 C1N 所成角的余弦值．
第三节 空间点、直线、 平面之间的位置关系
泰安二中数学2013年10月19日星期六
基础梳理导学
重点难点 引领方向
重点：1.平面的概念与基本性质； 2．空间直线、平面之间的各种位置关系． 难点：1.应用平面基本性质证明点共线、线共点、点线 共面等； 2．应用公理 4 及等角定理解决有关问题； 3．异面直线的判定、异面直线所成的角．
答案：B
点评：这种判定线面位置关系的问题，一般是结合条件 作图分析，构造出符合条件的图形或反例来判断．
(2012· 乌鲁木齐地区二诊)已知直线 l，m，其中只有 m 在 平面 α 内，则“l∥α”是“l∥m”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
即可知过 m 有且仅有一个平面 PAB 与 α 垂直， 假设有两个平面都与 α 垂直，则这两个平面的交线 m 应 与 α 垂直，与条件矛盾，∴B 正确； 又 l′⊄α，l′∥l，∴l′∥α， ∵l⊥m，∴l′⊥m，∴C 错； 又在平面 α 内取不在直线 AB 上的一点D， D 可作平面 过 与平面 PAB 平行，∴m∥β，∵平面 PAB⊥α，∴平面 β⊥α.
解析：若 m、n 都不与 l 相交， ∵m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，∴m∥l、n∥l， ∴m∥n∥l，这与 m、n 为异面直线矛盾， 故 l 与 m、n 中至少一条相交．
答案：B
用 a，b，c 表示三条不同的直线，γ 表示平面，给出下列 命题： ①若 a∥b，b∥c，则 a∥c； ②若 a⊥b，b⊥c，则 a⊥c； ③若 a∥γ，b∥γ，则 a∥b； ④若 a⊥γ，b⊥γ，则 a∥b.
其中真命题的序号是( A．①② C．①④
) B．②③ D．③④
解析：①平行关系的传递性．
②举反例： ⊥c，有 a∥c.
在同一平面 α 内，a⊥b，b
③举反例： 但 a 与 b 相交．
如图的长方体中， ∥γ， ∥γ， a b
④垂直于同一平面的两直线互相平行．故①，④正确．
答案：C
空间线面的位置关系
(2)利用平行平面平移直线构成可解的三角形，是求异面 直线所成角的途径之二； 这种方法常见于两条异面直线分别在两个互相平行的平 面内，可利用面面平行的性质，将一条直线平移到另一条所 在的平面内．
[例 2]
A1B1 如图所示，正方体 AC1 中，B1E1＝D1F1＝ ， 4
求 BE1 与 DF1 所成角的余弦值．
若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线 互相垂直．
π 异面直线所成的角的范围是 (0，2] ．
3．直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线和平面相交——有且只有一个公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点 直线和平面相交或平行统称直线在平面外．
4．平面与平面位置关系 (1)平行——没有公共点； (2)相交——有一条公共直线．
解析：如图所示，将长方体 AC1 平移到 BCFE－B1C1F1E1 的位置，则 C1E∥BD1，C1E 与 C1N 所成的锐角(或直角)就是 BD1 与 C1N 所成的角． 在△NC1E 中，根据已知条件可求 B1N＝4，C1N＝5，C1E ＝13，EN＝ E1N2＋EE2＝4 17. 1 C1N2＋C1E2－EN2 3 由余弦定理，得 cos∠NC1E＝ ＝－ . 2C1N· 1E C 5 3 ∴BD1 与 C1N 所成角的余弦值为5.
[例 3] 中正确的是(
设直线 m 与平面 α 相交但不垂直，则下列说法 ． )
A．在平面 α 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B．过直线 m 有且只有一个平面与平面 α 垂直 C．与直线 m 垂直的直线不可能与平面 α 平行 ． D．与直线 m 平行的平面不可能与平面 α 垂直 ．
解析：如图，m 是 α 的斜线，PA⊥α，l⊂α，l⊥AB，则 l ⊥m，α 内所有与 l 平行的直线都垂直于 m，故 A 错；
思想方法技巧
一、共线与共面问题 证明共线时，所共的直线一般定位为两个平面的交线； 证明共面问题时，一般先由已知条件确定一个平面(有平行直 线的先用平行直线确定平面)，再证其他元素在该平面内．
二、异面直线问题 1．判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平 面内不经过该点 B 的直线是异面直线． (2)反证法：假设两直线共面，则可能平行，也可能相交， 按已知条件对两种情形进行推理产生矛盾．
空间两条直线的位置关系
[例 2]
(2011· 新乡月考)已知 m、n 为异面直线，m⊂平 )
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212空间中直线与直线之间的位置关系共31张PPT
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
跟踪训练
3．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB， E、F分别是BD1和AD中点，则异面直线CD1，EF所成的 角的大小为________．
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
解析：取 CD1 的中点 G，连接 EG，DG， ∵E 是 BD1 的中点，∴EG∥BC，EG＝12BC.
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
做一做 3.若正方体ABCD－A1B1C1D1中∠BAE＝25°， 则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________．
答案：65°
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
典题例证技法归纳
【题型探究】 题型一 直线位置关系的判定
例1 a，b，c是空间中的三条直线，下面给出的几 种说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a∥c； ③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ④若a，b与c成等角，则a∥b. 其中正确的是________(只填序号)
E，F
分别是另外两条对边
AD，BC
上的点，且AE＝BF ED FC
＝12，EF＝ 5，求 AB 和 CD 所成的角的大小．
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
解：如图，过 E 作 EO∥AB，交 BD 于点 O，连接 OF， ∴AEED＝BOOD.又∵AEED＝BFFC，∴BOOD＝BFFC， ∴OF∥CD，∴∠EOF(或其补角)是 AB 和 CD 所成的角． 在△EOF 中，OE＝23AB＝2，OF＝13CD＝1. 又 EF＝ 5，∴EF2＝OE2＋OF2，∴∠EOF＝90°， 即异面直线 AB 和 CD 所成的角为 90°.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
跟踪训练
3．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB， E、F分别是BD1和AD中点，则异面直线CD1，EF所成的 角的大小为________．
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
解析：取 CD1 的中点 G，连接 EG，DG， ∵E 是 BD1 的中点，∴EG∥BC，EG＝12BC.
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
做一做 3.若正方体ABCD－A1B1C1D1中∠BAE＝25°， 则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________．
答案：65°
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
典题例证技法归纳
【题型探究】 题型一 直线位置关系的判定
例1 a，b，c是空间中的三条直线，下面给出的几 种说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a∥c； ③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ④若a，b与c成等角，则a∥b. 其中正确的是________(只填序号)
E，F
分别是另外两条对边
AD，BC
上的点，且AE＝BF ED FC
＝12，EF＝ 5，求 AB 和 CD 所成的角的大小．
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
解：如图，过 E 作 EO∥AB，交 BD 于点 O，连接 OF， ∴AEED＝BOOD.又∵AEED＝BFFC，∴BOOD＝BFFC， ∴OF∥CD，∴∠EOF(或其补角)是 AB 和 CD 所成的角． 在△EOF 中，OE＝23AB＝2，OF＝13CD＝1. 又 EF＝ 5，∴EF2＝OE2＋OF2，∴∠EOF＝90°， 即异面直线 AB 和 CD 所成的角为 90°.
空间点、直线、平面之间的位置关系-高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)
(3)利用生活中的实物,如墙面、电线、笔代表线面进行判断
应用新知
题型三：异面直线的判定(逻辑推理)
例5.如图， ∩ = ， ∉ ， ⊂ ， ∉ .直线与具有怎样的位置关系？
为什么？
解：直线与是异面直线.理由如下.
若直线与直线不是异面直线，则它们相交或平行.
设它们确定的平面为，则 ∈ ， ⊂ .
思考：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
b
a
a
a
b
b
总结新知
空间中直线与直线的位置关系
共面直线
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：在同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
平行直线
//
相交直线
∩=
异面直线
与异面
探究新知
A.平行
B.相交
C.异面
解：因为∥,所以与没有公共点,
又 ⊂ , ⊂ ,所以与没有公共点,
则与的关系为平行或异面.
选D
D.平行或异面
)
应用新知
题型二：空间位置关系的判断(直观想象)
关于点、直线、平面位置关系的判断
(1)根据位置关系的分类,利用直观想象判断;
(2)借助熟悉的几何体,如长方体进行判断;
活动. ①一个平面把空间分为几部分？
②二个平面把空间分为几部分？
③三个平面把空间分为几部分？
02
典 型 例 题 分 析
应用新知
题型一：用符号语言描述位置关系(数学抽象)
例1.如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.
解：在(1)中， ∩ = ， ∩ = ， ∩ = .
应用新知
题型三：异面直线的判定(逻辑推理)
例5.如图， ∩ = ， ∉ ， ⊂ ， ∉ .直线与具有怎样的位置关系？
为什么？
解：直线与是异面直线.理由如下.
若直线与直线不是异面直线，则它们相交或平行.
设它们确定的平面为，则 ∈ ， ⊂ .
思考：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
b
a
a
a
b
b
总结新知
空间中直线与直线的位置关系
共面直线
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：在同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
平行直线
//
相交直线
∩=
异面直线
与异面
探究新知
A.平行
B.相交
C.异面
解：因为∥,所以与没有公共点,
又 ⊂ , ⊂ ,所以与没有公共点,
则与的关系为平行或异面.
选D
D.平行或异面
)
应用新知
题型二：空间位置关系的判断(直观想象)
关于点、直线、平面位置关系的判断
(1)根据位置关系的分类,利用直观想象判断;
(2)借助熟悉的几何体,如长方体进行判断;
活动. ①一个平面把空间分为几部分？
②二个平面把空间分为几部分？
③三个平面把空间分为几部分？
02
典 型 例 题 分 析
应用新知
题型一：用符号语言描述位置关系(数学抽象)
例1.如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.
解：在(1)中， ∩ = ， ∩ = ， ∩ = .
人教A版数学必修第二册8_4_2空间点、直线、平面之间的位置关系课件
3．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是( B )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
α与β相交于过 点M的一条直线
4．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是___平__行____． β
α a
考点精讲
1．异面直线
(1)定义：不同在___任__何__一__个__平__面__内____的两条直线． (2)异面直线的画法：
空间点、直线、平面之间的位置关系
本节目标
学习目标
核心素养
1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解
两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直 1.通过空间中两条直线的位置关
线．(重点、难点)
系的学习，培养直观想象的核
2．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图 心素养．
形语言和符号语言表示．(重点、易错点)
本课小结
判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法
(1)定义法：借助线面、面面位置关系的定义判断； (2)模型法：借助长方体等熟悉的几何图形进行判断，有时起到事半功倍的效果； (3)反证法：反设结论进行推导，得出矛盾，到达准确的判断位置关系的目的．
[提示] 因为一个平面内任意一条直线都与另一个 平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根 据两平面平行的定义知，这两个平面平行．
2．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么 α∥β是否正确？
[提示] 不正确．如图，平面α内与平面β平行的 直线有无数条a1，a2，…，an，但此时α不平行于 β，而α∩β＝l.
2．圆柱的两个底面的位置关系是( B )
A．相交
B．平行
C．平行或异面
D．相交或异面
3．下列命题：
立体几何与空间向量之 空间点、直线、平面之间的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(3) DE ， BF ， CC 1三线交于一点. [解析] 因为 EF ∥ BD 且 EF ＜ BD ，所以 DE 与 BF 相交，设交点为 M ，则由 M ∈ DE ， DE ⊂平面 D 1 DCC 1，得 M ∈平面 D 1 DCC 1，同理， M ∈平面 B 1 BCC 1. 又平面 D 1 DCC 1∩平面 B 1 BCC 1＝ CC 1，所以 M ∈ CC 1. 所以 DE ， BF ， CC 1三线交于一点.
(2)若 A 1 C 交平面 DBFE 于点 R ，则 P ， Q ， R 三点共线. [解析] 记 A 1， C ， C 1三点确定的平面为平面α，平面 BDEF 为平面β.因为 Q ∈ A 1 C 1，所以 Q ∈α.又 Q ∈ EF ，所以 Q ∈β，所以 Q 是α与β的公共点.同理， P 是α与β的公共点，所以α∩β＝ PQ . 又 A 1 C ∩β＝ R ，所以 R ∈ A 1 C ， R ∈α，且 R ∈β，则 R ∈ PQ ，故 P ， Q ， R 三点共线.
B. AC
C. AD1
D. B1C
[解析] 对于A，如图1，当点 P 为 A 1 C 1的中点时，连接 B 1 D 1， BD ，则 P 在 B 1 D 1 上， BP ⊂平面 BDD 1 B 1，又 DD 1⊂平面 BDD 1 B 1，所以 BP 与 DD 1共面，故A错误；
图1
对于B，如图2，连接 AC ，易知 AC ⊂平面 ACC 1 A 1， BP ⊄平面 ACC 1 A 1，且 BP ∩ 平面 ACC 1 A 1＝ P ， P 不在 AC 上，所以 BP 与 AC 为异面直线，故B正确；当点 P 与 点 C 1重合时，连接 AD 1， B 1 C (图略)，由正方体的性质，易知 BP ∥ AD 1， BP 与 B 1 C 相交，故C，D错误.故选B.
(2)若 A 1 C 交平面 DBFE 于点 R ，则 P ， Q ， R 三点共线. [解析] 记 A 1， C ， C 1三点确定的平面为平面α，平面 BDEF 为平面β.因为 Q ∈ A 1 C 1，所以 Q ∈α.又 Q ∈ EF ，所以 Q ∈β，所以 Q 是α与β的公共点.同理， P 是α与β的公共点，所以α∩β＝ PQ . 又 A 1 C ∩β＝ R ，所以 R ∈ A 1 C ， R ∈α，且 R ∈β，则 R ∈ PQ ，故 P ， Q ， R 三点共线.
B. AC
C. AD1
D. B1C
[解析] 对于A，如图1，当点 P 为 A 1 C 1的中点时，连接 B 1 D 1， BD ，则 P 在 B 1 D 1 上， BP ⊂平面 BDD 1 B 1，又 DD 1⊂平面 BDD 1 B 1，所以 BP 与 DD 1共面，故A错误；
图1
对于B，如图2，连接 AC ，易知 AC ⊂平面 ACC 1 A 1， BP ⊄平面 ACC 1 A 1，且 BP ∩ 平面 ACC 1 A 1＝ P ， P 不在 AC 上，所以 BP 与 AC 为异面直线，故B正确；当点 P 与 点 C 1重合时，连接 AD 1， B 1 C (图略)，由正方体的性质，易知 BP ∥ AD 1， BP 与 B 1 C 相交，故C，D错误.故选B.
课件2：空间点、直线、平面之间的位置关系
与 M′重合，从而 FE 与 DC 相交证得四点共面．
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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【尝试解答】 (1)由已知 FG＝GA，FH＝HD，
高
自
主 落 实
得 GH 綊12AD.
考 体 验 ·
·
明
固 基 础
又 BC 綊12AD，∴GH 綊 BC，
考 情
∴四边形 BCHG 是平行四边形．
CC1共面的棱的条数为(
)
体 验 ·
· 固
A．3
B．4
C．5
D．6
明 考
基
情
础
【解析】 与AB平行，CC1相交的直线是CD、C1D1；
与CC1平行、AB相交的直线是BB1，AA1；与AB、CC1都相
交的直线是BC，故选C.
典
例 探
【答案】 C
课 后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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4．(2013·宁波模拟)若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则
考 情
础 且 CG＝13BC，CH＝13DC.求证：
(1)E、F、G、H 四点共面；
(2)三直线 FH、EG、AC 共点．
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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【证明】 (1)连接 中点，
落
∴EF∥BD.
考 体 验
实
· 固 基
又∵CG＝13BC，CH＝13DC，
空间点、直线、平面之间的位置关系-高考复习课件
①D，B，F，E 四点共面； ②若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线； ③DE，BF，CC1 三线交于一点.
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证明：①如题图所示. 因为 EF 是△ D1B1C1 的中位线，所以 EF∥
B1D1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，B1D1∥BD，所以 EF∥BD． 所以
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12
4．异面直线 (1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)判定方法： ①与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线． ②分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
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13
(3)异面直线所成角：如图，已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 分别作直 线 a′∥a，b′∥b，我们把直线 a′与 b′所成的角 叫做异面直线 a 与 b 所成的 角(或夹角). 异面直线所成角的范围是 (0°，90°] ．
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解析：延长 FE 与 B1B 的延长线交于点 H，连接 A1H，延长 EF 与 B1C1 的延长线交于 点 N，如图．因为 E，F 分别为棱 BC，CC1 的中点， 所以△ECF≌△EBH，△ECF≌△ NC1F，所以 BH＝CF＝1，C1N＝EC＝1，因为AB1GB1＝HHBB1＝13，所以点 A1，G，H 三点共线， 连接 A1N，设线段 A1N 交线段 D1C1 于点 Q，连接 QF，则过 G，E，F 三点的平面截该正 方体所得截面为五边形 EFQA1G，因为△NC1Q∽△NB1A1，所以AC11BQ1＝NNCB11＝13，所以 D1Q ＝2C1Q，
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③因为 EF∥BD 且 EF<BD， 所以 DE 与 BF 相交，设交点为 M， 则由 M∈DE，DE⊂平面 D1DCC1， 得 M∈平面 D1DCC1，同理，点 M∈平面 B1BCC1. 又平面 D1DCC1∩平面 B1BCC1＝ CC1，所以 M∈CC1. 所以 DE，BF，CC1 三线交于点 M.
高中数学高考第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件
主
回 顾
c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
课 后
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
限 时
集
课 堂
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正
训
考
点 确．
探
究
返 首 页
41
课
前
自
主 回
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M 课
顾
∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，
探
究 _有__且__只__有__一__条___过该点的公共直线．
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5
课
前 自
(4)公理2的三个推论
主
回 顾
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平 课 后
面．
限 时
集
课 堂
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
训
考
点
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
探
究
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后 限
些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在
时 集
课
训
堂 考
交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点
点
探 也在该直线上．
究
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25
课 前
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直
自
主 线经过该点．
回
课
顾
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，
探
究
返 首 页
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1.下列结论中正确的是 ( )
人教A版高中数学必修第二册教学课件8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
目标检测设计
2．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED 平行；②CN与BE是异面直线；③DM与BN是异面直线．以 上几个结论中，正确结论的序号是( )．
3．已知：α∥β，a⊂α．求证：a∥β．
再见
空间点、直线、平面的 位置关系
一、探究、归纳空间中直线与直线的位置关系
空间中的基本要素有点、直线、平面， 它们之 间有些位置关系非常简单，比如点与直线之间有点 在直线上，点不在直线上；点与平面之间有点在面 内，点不在面内等.我们也知道在同一平面中，直线 与直线之间的位置关系有平行与相交两种位置关系.
二、探究、归纳空间中直线与平面之间的关系
直线AB与平面ABBA，ABCD 有无数个交点，此时， 直线在平面内．
直线AB与平面ADDA，BCCB分别有唯一交点， 此时，直线与平面相交．
直线AB与平面 ABCD ， CDDC 没有任何交点，此时， 直线与平面平行．
直线与平面相交，直线与平 面平行，统称为直线在平面外．
a b P
四、直线、平面位置关系的应用 例2 如图，AB B，A，a ，Ba，
直线AB与α具有怎样的位置关系？为什么？
正难则反 反证法 不异面则共面， AB在面内，矛盾．
五、反思总结，提炼收获
（1）本节课你学到哪些知识？又是用怎样的方法学 到这些知识的？
（2）空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面 有哪些位置关系？
三、探究归纳空间中平面与平面的位置关系
平面ABCD与平面ABBA，BCCB，CDDC，DAAD 有无数个交点，此时平面与平面相交．
平面ABCD与平面ABCD 没有交点，此时平面与 平面平行．
三、探究归纳空间中平面与平面的位置关系
如何用图形和符号分别表示平面与平面相交， 平面与平面平行？
空间直线和平面的位置关系ppt课件
a
④求异面直线A1B与B1C1的距离
2a 2Biblioteka 例３：如图，已知长方体ABCD-A’B’C’D’的
棱长AA’=3cm,AB=4cm,AD=5cm.
(1)求点A和C’的距离；
(2)求点A到棱B’C’的距离；
(3)求棱AB和平面A’B’C’D’的距离；
(4)求异面直线AD和A’B’的距离．
D
C
A
B
D’
C’
取一点M，我们把__点__M___到___平__面____的___距___离_____
叫做直线l 和平面的距离。
3)平面和平面的距离： 设平面平行于平面β,在平面上任取一点M,我
们把_点__M__到_平__面__β_的__距__离__叫做平面和平面β
的距离。
M
MN
N
4)异面直线的距离
思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
练习:1. 选择题:
(1) 直线 m 与平面 平行的充分条件是 ( )
A. 直线 m 与平面 内一条直线平行;
B. 直线 m 与平面 内无数条直线平行; C. 直线 m 与平面 内所有直线平行; D. 直线 m 与平面 没有公共点;
(2) 过直线 l 外两点,作与 l 平行的平面,这样的平面 ( ) A. 能作无数个; B. 只能作一个;
(2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .
(3) 平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足 .
A
直线和平面垂直，记作
l
2、判定直线和平面垂直的方法 （1）根据定义
直线l与平面上的任何直线都垂直
（2）直线和平面垂直的判定定理
定理2:如果直线l与平面上的两条相交直线a,b都 垂直，那么直线l与平面垂直.
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系课件人教新课标
小结：
直线与平面的位置关系
平面与平面的位置关系
作业：
P56 习题2.1A组 4（4）（5）（6）， 7，8
行，那么另一条也与这个平面平行.（ ）
（4）若直线 l 与平面 平行，则l 与平面 内
∨ 的任意一条直线都没有公共点。（ ）
例题讲练:
*
a
（A） 内所有直线与a异B面 （B） 内不存在与a平行的直线
（C） 内存在唯一的直线与a平行 （D） 内的直线与a都相交
反思与延伸:
*问题1.平行于同一平面的两条直线一定是两条
平行直线吗？
*问题2.两条平行线中的一条平行一个平面，则
另一条也一定平行于这个平面吗？
*问题3.无公共点的两条直线一定是平行直线吗？
D′
C′
A′
B′
D
C
A
B
小结* :
*(1)直线在平面内-----有无数个公共点
*(2)直线与平面相交----有且只有一个公共点
*(3)直线与平面平行----没有公共点
问题探究:
线段A′B所在直线与长方体ABCD-A′B′C′D′的 六个面所在平面有几种位置关系?
D′ A′
D A
C′ B′
C B
直线与平面的位置关系及表示: （1）直线在平面内—有无数个公共点
记作:a 如图：
a
（2）直线在平面外—有一个公共点或没有公共点
记作: a
a
. ①直线 a 和面α相交 ： 如图：
例题讲练:
*一个长方体切一刀可以分成多少块？ *一个长方体切两刀可以分成多少块？ *一个长方体切三刀可以分成多少块？
2 3或4
4或5或6或7或8
D′