土木工程制图第三章点,直线和平面的投影

(1) 投影之间连系线垂直于投影轴，aa′⊥OX，a′a"⊥OZ。
(2) 点的H面投影a到OX的距离等于点的W面投影a"到OZ轴
的距离，aaX=a"aZ。
例1：已知点的两个投影，求第三投影
解法一:
a●
。
az ●a
通过作45°线 使aaz=aax
ax
a●
解法二:
用圆规直接量 取aaz=aax
B。
b’ ΔZ
O
αb 实 长
总结
1、直角三角形法的四要素： 投影长、坐标差、实长和倾角
2、应用总结：不同条件的四要素
1）H面投影长、Z坐标差、、实长。 2）V面投影长、Y坐标差、、实长。 3）W面投影长、X坐标差、、实长。
直线对投影面的倾角α、β
直角三角形法求直线段的实长及倾角
例1：用直角三角形法求α、β、γ
A
C
D
： 空间两直线平行 则其各同面投影必相互 平行；各同名投影的长
a c
度之比相等；各同名投 影的指向相同。
b
dH
AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a"b"∥c"d" AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"
判断方法 若两直：线的三组同面投影都平行：则两直线在空间平行
且两直线在该投影面上的同名投影互相垂直，则在 空间两直线互相交叉垂直。
d
e b
a
x
d（b）
e
o a
［例3.12］补全矩形ABCD的两面投影。
d
c
a
X
a
b
O
b d
c
3.4 平面的投影
一、平面的表示法
c
●
c
●
a●
a●
a●
x
● b x ● b x
●b o
●b o
a●
a●
例3：已知点A(18，15，20)，作点A的三
面投影图和立体图，如下图所示。
方法一
方法二
立体图
分析：由于已知点的3个坐标，可作出该点的三面投影图， 并且点的空间位置可用坐标来确定。
六、空间两点的相对位置
1.相对位置的判断 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系
。
X坐标值大的点在左，小的在右。 Y坐标值大的点在前，小的在后。 Z坐标值大的点在上，小的在下。
3.2 直线的投影
一、直线的投影
一般情况下，直线的
1.直线投影的形成 投影仍为直线。
a●
Z ●a
两点确定一条直线，将
b
●
● b 直线上两点的同名投影用直
X
oBiblioteka Baidu
a●
YW 线连接起来，就得到直线的 三个投影。
b●
YH
直线的投影规定用粗实线绘制。
一、各种位置直线投影
投影面平行线
水平线（平行于Ｈ面
a● ax
a●
az
a
●
例2：已知点的两面投影，求第三 投影，如下图所示。
(a) 已知
(b) 作图
分析：因为根据点的任意两面投影可以求出第三投影 。
四、特殊位置的点
注意：A点的侧面投影a"应在OYW轴上，C点的水平投影 应在OYH轴上。
五、点的坐标
已知点的3个坐标，可作出该点的三面投影，已 知点的三面投影，可以量出该点的3个坐标。
） 正平线（平行于Ｖ面）
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
侧平线（平行于Ｗ面）
统称特殊位置直线
投影面垂直线
铅垂线（垂直于Ｈ面
） 正垂线（垂直于Ｖ面）
垂直于某一投影面
侧垂线（垂直于Ｗ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
1.投影面平行线
(1)投影面平行线是指在空间与一个投影面平行同 时与另外两个投影面倾斜的直线。
铅垂面与H面垂直同时与V面、W面倾斜。 正垂面与V面垂直同时与H面、W面倾斜。 侧垂面与W面垂直同时与H面、V面倾斜。
（3) 投影面垂直面的投影特点为：在它所垂直的投 影面上的投影积聚为直线且反映平面与另外两 个投影面的倾角。
2.投影面的垂直面
铅垂面
正垂面
侧垂面
投影面垂直面在形体投影图和立体图中的位置
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
1．投影面的平行面
（1) 投影面平行面是指在空间与一个投影面平行 同时与另外两个投影面垂直的平面。
（2) 投影面平行面分为水平面、正平面、侧平面 。
水平面与H面平行同时与V面、W面垂直。 正平面与V面平行同时与H面、W面垂直。 侧平面与W面平行同时与H面、V面垂直。
c YW
侧垂线
e
f Z e(f)
●
X
o
YW
e
f YH
（1）在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 （2）另外两个投影, 反映线段实长，且垂直于相应
的投影轴。
投影面垂直线在形体投影图和立体图中的位置
铅垂线
正垂线
侧垂线
3.一般位置直线
z
b
b
投影特性：
a x
a
yw
三个投影都不反映空
a
间线段的实长及与三个投
一、点的单面投影
1）过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面 上的投影。
2）点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。
二.点的两面投影
点的两面投影规律： 1)点的水平投影和正面投影之间的连系线垂直于OX轴。a′a⊥OX。 2)点的水平投影到OX轴的距离等于空间点A到V面的距离aaX= Aa′ 。
b
a
c
x
o
b
a c
当空间交叉垂直两直线之一平行于某投影面，另 一直线不平行也不垂直于该投影面时，则这两直线在 该投影面上的投影也垂直。
V
d
e
b D
a
c
B
d e b
x
a
o
E
A
X
C
d (b)
d（b）
e
a
e (c)
aH
直线在H面上投
影互相垂直
反之，交叉两直线之一是某投影面平行线，
（3）投影面平行面的投影特点为：在它所平行的 投影面上的投影反应其实形，另外两个投影积聚 成直线并平行于相应的投影轴。
1、投影面的平行面
水平面
正平面
侧平面
投影面平行面在形体投影图和立体图中的位置
2.投影面的垂直面
（1) 投影面垂直面是指在空间与一个投影面垂直同 时与另外两个投影面倾斜的平面。
（2) 投影面垂直面分为铅垂面、正垂面、侧垂面。
例3：判断点C是否在线段AB上 。
① c
a
x
c a
b
o
b
② a
c●
b
x
ac b
o
点C在直 线AB上
点C不在直 线AB上
返回
例3.8：判断点K是否在线段AB上
三、两直线的相对位置关系
空间两直线 分为 的相对位置
平行 相交 交叉 垂直
厂房形体
1.平行两直线
投影特性
b
V
d
a
B
c
b d
d b
若空间两直线相交，则其同面投影必相交 ，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
判断方法：
若两直线的三组同面投影都 相交，且交点符合点的投影规律 ，则两直线在空间相交；
两一般位置直线，任意两组 同面投影相交，且交点符合点的 投影规律，则可判断两直线在空 间相交；
两直线中其中之一平行于某 一投影面，则需作出两直线在该 投影面上的投影来判断；或者通 过定比性来判断。
3)点的正面投影到OX轴的距离等于空间点A到H面的距离a′aX=Aa。
三.点在三面投影体系中的投影
Z
a 点A的正面投影
V
a●
a 点A的水平投影 X
A
●
● a
oW
a 点A的侧面投影
a●
H Y
空间点用大写字母表 示，点的投影用小写 字母表示。
(a) 空间状况
(b) 展开图
(c) 投影图
点的三面投影规律：
3.一般位置平面
一般位置平面在空间与三个投影面都倾斜，它 的三面投影都没有积聚性，也不反映平面的实形及 与各投影面的倾角的大小。
三、平面上的点和直线
1．平面上的点
一个点如果在一个平面 上，它一定在这个平面的一 根直线上。
如右图所示的E点，由 于它在平面SBC的一根直线 DC上，所以它必然在平面 SBC上。
影面夹角的真实大小，且
b yH
与各投影轴都倾斜。
返回
直角三角形法求一般位置直线的实长和倾角
a’
x
Za
z
b’
实实 长长

A

a
BB。=Bb-bB。
B
=Zb-Za
B0 =ΔZ
Za
b
=ab
y
在直角三角形中
B
ΔZ
实
长
α
B。
A
=ab
求直线段AB的 实长和倾角α
a’ X Za
b’ ΔZ
Zb O
a’ X
a ΔZ
2.平面上的直线
一直线如果通过平面上 两个点或者通过平面上一个 点且平行于平面上的一条直 线，则该直线在该平面上。
如右图所示的直线 DC 通过平面SBC上的点D、C， 则DC在平面SBC上；直线DF 通过平面上点D且平行于平面 上的一条直线BC，则DF在平 面SBC上。
判断下列两直线的位置关系 ：
答案：交叉
4.垂直两直线
两垂直相交直线之一平行于某投影面，另一边
不平行也不垂直于该投影面时，则在该投影面上的 投影是直角。
V
b
c
B
X
C
b
c
a
b
c
Ax
aH
b
c
直线在H面上投 影互相垂直
a
o a
反之，相交两直线之一是某投影面的平行
线，且两直线在该投影面上的同名投影互相垂 直，则两直线在空间互相垂直。
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3.1 点的投影
如右图所示，一个形体 由多个侧面围成，各侧面相 交于多条侧棱，各侧棱相交 于多个顶点A、B、C…J 等 。如果画出各点的投影，再 把各点的投影一一连接，就 可以作出一个形体的投影。
点是形体的最基本的元 素。点的投影规律是点、线 、面投影的基础。
(2)投影面平行线分为水平线、正平线、侧平线。
① 水平线与H面平行同时与V面、W面倾斜。 ② 正平线与V面平行同时与H面、W面倾斜。 ③ 侧平线与W面平行同时与H面、V面倾斜。
(3)投影面平行线的投影特点为：在它所平行的投 影面上的投影反应其实长并且反映与另外两个 投影面的倾角。
投影面平行线
(a) 水平线 (b) 正平线
。 若两一般位置直线：任意两组同面投影平行，则可判断 两直线在空间平行。 若两直线同时平行于某一投影面：则需通过两直线在该 投影面上的投影来判断；或者通过定比性和指向来判断 。
2.相交两直线
V c k
a
C
A
Xa
c
投影特点：
b
交点是两直线的共有点
d
B KD
d
k
b
c k a
X
Ha ck
a●
● c
● c
c
●
● b ●b
●c
d a●
●
x o
●
d
a●
c ● a●
● b x ●b o
a●
●c
c
●
● b
●b o
●c
不在同一 直线及 两平行直 两相交 平面
直线上的 线外一 线
直线
图形
三个点 点
二、各种位置平面的投影 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
倾斜
投影特性
★ 平面平行投影面-----投影反映实形
例7：过C点作水平线CD与AB相交。
b
c●
k
d
a
x
o
a
d
k
b
c●
思考：如果给出CD的长度， 解题过程有何变化？
提示：H面投影反映实长。
先作正面投影
[例3.10]：判断两直线AB与CD是否相交 。
分析：因两直线中CD平行于W投影面，则需作 出两直线在W投影面上的投影来判断； 或者通过定比性来判断。
。A在B的左 、前、下方
2.重影点
空间两点在某一投影面上 的投影重合为一点时，则称此 两点为该投影面的重影点。
被挡住的投 影加( )
A、C为H面的重影点
a
a
●
●
c●
●c
●
a (c)
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
重影点
H面重影点
V面重影点
W面重影点
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上 标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
(c) 侧平线
投影面平行线在形体投影图和立体图中的位置
水平线
正平线
侧平线
2.投影面垂直线
(1)投影面垂直线是指在空间与一个投影面垂 直 ，同时与另外两个投影面平行的直线。
(2)投影面垂直线分为铅垂线、正垂线、侧垂线。
① 铅垂线与H面垂直同时与V面、W面平行。 ② 正垂线与V面垂直同时与H面、W面平行。 ③ 侧垂线与W面垂直同时与H面、V面平行。
已知
作图
例2：已知直线AB的投影a'b'和a及 AB=35mm，B点在A点的前方，求b。
a' x
a
b'
分析：
由点的投影规律
可知，b 必定位于b′
o
正下方的H投影面上
，只要作出A、B 两
点的Y 坐标差，即可
以确定b。
B0 ΔY
x a'
实长
b' o 作图过程及结果
a ΔY
b
二、 直线上的点
点在直线上，则点的投影必在直线的同名投影上且符合点 的投影规律。直线上两线段长度之比等于它们的同名投影长度 之比，即 AC：CB=ac：cb=a′c′：c′b′=a"c"：c"b"。
(3)投影面垂直线的投影特点为：在它所垂直的投 影面上的投影积聚为一点，另外两个投影垂直 于相应的投影轴，如图3.15所示。
投影面垂直线
(a) 水平线
(b) 正平线
(c) 侧平线
投影面垂直线投影特性
铅垂线
a
Z
a
正垂线
c(d) ●
Z d
b
b
X
X
o
YW
d
●
a(b) YH
c
o YH
投影特性
★ 平面垂直投影面-----投影积聚成线段
★ 平面倾斜投影面-----投影类似原平面
实形性 积聚性 类似性
各种位置平面
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
投影面垂直面
特殊位置平面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面