二重积分概念-PPT课件
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I2 (x2 y2 )3 d ,其中D2 {(x, y) | 0 x 1, 0 y 2} D2 利用二重积分旳几何意义阐明I1和I2之间旳关系
y2
解：
-1
1
x
-2
由二重积分旳几何意义知，I1表达底为D1，顶为曲 面z=（x2+y2）3旳曲顶柱体M1旳体积；I2表达底为D2， 顶为曲面z=（x2+y2）3旳曲顶柱体M2旳体积；因为位 于D1上方旳曲面z=（x2+y2）3有关yox面和zox面均对 称，故yoz面和zox面将M1提成四个等积旳部分，其中 位于第一卦限旳部分即为M2。由此可知
M 若 (x, y) 非常数 , 仍可用
y D
“分割, ,近似和, 求 极限”
处理.
1)“分割”
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1, 2, , n ,
相应把薄片也分为小区域 .
2)“近似”
在每个 k 中任取一点 (k ,k ),则第 k 小块旳质量
M k (k , k ) k (k 1, 2,, n)
【附注】
比较 f (x, y) 和 (x, y) 旳大小
先令 f (x, y) (x, y) 得曲线
F (x, y) f (x, y) (x, y) 0
在 F (x, y) 0 旳两侧 一般旳有
F (x, y) 0或F (x, y) 0
判断D在曲线旳哪一侧，即可判断 f (x, y) (x, y)
D
⑸ 在D上,若恒有f(x,y)≤g(x,y)，则
f (x, y)d g(x, y)d
D
D
尤其地，在D上若f(x,y)≤0 ( ≥0 ) 恒成立，
则
f (x, y)d 0 ( ≥0 )
y2
解：
-1
1
x
-2
由二重积分旳几何意义知，I1表达底为D1，顶为曲 面z=（x2+y2）3旳曲顶柱体M1旳体积；I2表达底为D2， 顶为曲面z=（x2+y2）3旳曲顶柱体M2旳体积；因为位 于D1上方旳曲面z=（x2+y2）3有关yox面和zox面均对 称，故yoz面和zox面将M1提成四个等积旳部分，其中 位于第一卦限旳部分即为M2。由此可知
M 若 (x, y) 非常数 , 仍可用
y D
“分割, ,近似和, 求 极限”
处理.
1)“分割”
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1, 2, , n ,
相应把薄片也分为小区域 .
2)“近似”
在每个 k 中任取一点 (k ,k ),则第 k 小块旳质量
M k (k , k ) k (k 1, 2,, n)
【附注】
比较 f (x, y) 和 (x, y) 旳大小
先令 f (x, y) (x, y) 得曲线
F (x, y) f (x, y) (x, y) 0
在 F (x, y) 0 旳两侧 一般旳有
F (x, y) 0或F (x, y) 0
判断D在曲线旳哪一侧，即可判断 f (x, y) (x, y)
D
⑸ 在D上,若恒有f(x,y)≤g(x,y)，则
f (x, y)d g(x, y)d
D
D
尤其地，在D上若f(x,y)≤0 ( ≥0 ) 恒成立，
则
f (x, y)d 0 ( ≥0 )
《高数14二重积分》课件
二重积分的奇偶性
要点一
总结词
二重积分的奇偶性是指对于二重积分，如果被积函数是奇 函数或偶函数，则其积分结果也具有相应的奇偶性。
要点二
详细描述
如果被积函数$f(x,y)$是关于原点对称的奇函数，即$f(-x,y) = -f(x,y)$，则$int_{D} f(x,y) dsigma = 0$（D关于原 点对称）。如果被积函数是关于原点对称的偶函数，即 $f(-x,-y) = f(x,y)$，则$int_{D} f(x,y) dsigma = 2 int_{D/2} f(x,y) dsigma$（D关于x轴对称）。
详细描述
在计算立体的体积时，首先需要将立体离散化成一系列小的 立方体。然后，对每个立方体进行二重积分，积分区域为该 立方体所对应的平面区域。最后，将所有立方体的体积相加 ，即可得到整个立体的体积。
平面薄片的质量分布
总结词
利用二重积分，可以计算平面薄片在某个区域内的质量分布情况。通过将平面薄 片离散化成一系列小的面积元，对每个面积元进行积分，最后求和得到整个薄片 的质量分布情况。
《高数14二重积分》ppt课 件
• 二重积分的定义与性质 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的几何应用 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的性质与定理 • 二重积分的应用案例分析
01
二重积分的定义与性质
二重积分的定义
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维空间上的扩展，表示一个函数在平面区域上的面积。
定义方式
通过将积分区域划分为若干个小区域，并在每个小区域内取一个点，将所有这些点的函数值相加并乘以小区域的面积 ，再求和得到整个区域的面积。
几何意义
二重积分表示的是函数所围成的平面区域的面积。
高等数学二重积分概念.ppt
x y
0 y 1
y 1
上二重积分存在 ; 但 f (x, y) 1 在D 上 x y
O
二重积分不存在 .
D 1x
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三、二重积分的性质
1. D k f (x, y)d k D f (x, y) d ( k 为常数)
3. D f (x, y)d D1 f (x, y)d D2 f (x, y)d
引例2中平面薄板的质量:
M D (x, y) d D (x, y) d x d y
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二重积分存在定理: (证明略)
定理1 若函数
在有界闭区域 D上连续, 则
在D上可积.
定理2 若有界函数
在有界闭区域 D 上除去有
限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,
积.
例如, f (x, y) x2 y2 在 D : 0 x 1
4 证明: 解 利用题中 x , y 位置的对称性, 有
其中D 为
y 1
D
O 1x
1 2
D (sin
x2
cos
y2 ) d
D (sin
y2
cos
x2)d
1 2
D (sin
x2
cos
x2)d
D (sin
y2
cos
y2)d
D (sin x2 cos x2 )d
又 D 的面积为 1 ,
故结论成立 .
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补充题
1. 估计 I
D
d
x2
y2
2xy
16
的值,
其中
y
D
为
0 x 1, 0 y 2.
高数课件27二重积分
二重积分的物理应用
重力场中的质点位移
重力场：地球 表面或天体表
面的重力场
质点：质量集 中于一点的物
体
位移：质点在 重力场中的位
置变化
二重积分：计 算质点在重力 场中的位移所 需的数学工具
电场中的电势计算
电势的定义：电场 中单位电荷所具有 的电势能
电势的计算公式： U=∫Edx
电势的应用：计算 电场中的电势分布 ，分析电场特性
电势的物理意义： 描述电场中电荷所 具有的能量状态
磁场中的磁通量计算
磁通量：磁场穿 过一个平面的磁 力线数量
计算公式：Φ=B·S， 其中B为磁感应强 度，S为平面面积
应用：计算磁场 中的磁通量，了 解磁场分布情况
实例：计算一个圆 形线圈中的磁通量， 了解线圈磁场的分 布情况
感谢您的耐心观看
汇报人：
极坐标系下的计算方法
极坐标系下的二重积分定义 极坐标系下的二重积分计算公式 极坐标系下的二重积分计算步骤 极坐标系下的二重积分应用实例
参数方程下的计算方法
确定参数方程的形 式
计算参数方程的偏 导数
计算参数方程的雅 可比矩阵
计算二重积分的值
二重积分的几何应用
计算平面图形的面积 计算旋转体的体积 计算曲面的面积 计算曲线的长度
二重积分的性质
积分区域的可加性
积分区域的可加性是指，如果两个积分区域的可加性是二重积分的一个重要性质，它使得我们可以将复杂的积分区域分解为若干个 简单的积分区域，从而简化计算
积分区域的可加性还可以用于证明一些积分公式，如格林公式、高斯公式等
积分区域的可加性还可以用于求解一些复杂的积分问题，如曲面积分、曲线积分等
二重积分是计算曲面面积 的一种方法
高数课件27二重积分
二重积分的应用
在几何、物理、经济学等领域有广泛应用，如计算面积、体积、质 心、转动惯量等。
常见错误类型及避免方法
计算错误
如对积分区域理解不准确、积分顺序错误、 计算失误等；需要细心审题，按照正确的计 算步骤进行计算。
概念理解错误
如对二重积分的概念、性质理解不透彻；需要加强 对基本概念和性质的理解和掌握。
解题步骤
在实际应用中，可能会遇到一些特殊 的二重积分问题，如物理中的质心、 转动惯量等计算问题。
求均匀薄板在直角坐标系下的质心坐 标，其中薄板的密度函数为ρ(x,y)， 所占区域为D。
04 数值方法与近似计算
矩形法、梯形法和辛普森法简介
矩形法
将积分区域划分为若干个小矩形， 以矩形的面积近似代替被积函数 的面积，从而求得二重积分的近 似值。
极坐标下二重积分表示
设$D$是直角坐标系$xOy$中的有界闭区域，其边界曲线 在极坐标系$rho O theta$中的方程为$rho=rho(theta)$， $alpha leq theta leq beta$，则 $iint_{D}f(x,y)dsigma=int_{alpha}^{beta}dtheta int_{0}^{rho(theta)}f(rho cos theta, rho sin theta)rho drho$。
应用问题错误
如在实际应用中未能正确建立数学模型或选 择合适的计算方法；需要提高应用能力和问 题解决能力。
提高解题效率和准确性建议
熟练掌握基本计算方法
通过大量练习，熟练掌握直角坐标法、极坐标法等基本 计算方法，提高计算速度和准确性。
注意积分顺序的选择
根据具体问题选择合适的积分顺序，可以简化计算过程 并提高计算效率。
在几何、物理、经济学等领域有广泛应用，如计算面积、体积、质 心、转动惯量等。
常见错误类型及避免方法
计算错误
如对积分区域理解不准确、积分顺序错误、 计算失误等；需要细心审题，按照正确的计 算步骤进行计算。
概念理解错误
如对二重积分的概念、性质理解不透彻；需要加强 对基本概念和性质的理解和掌握。
解题步骤
在实际应用中，可能会遇到一些特殊 的二重积分问题，如物理中的质心、 转动惯量等计算问题。
求均匀薄板在直角坐标系下的质心坐 标，其中薄板的密度函数为ρ(x,y)， 所占区域为D。
04 数值方法与近似计算
矩形法、梯形法和辛普森法简介
矩形法
将积分区域划分为若干个小矩形， 以矩形的面积近似代替被积函数 的面积，从而求得二重积分的近 似值。
极坐标下二重积分表示
设$D$是直角坐标系$xOy$中的有界闭区域，其边界曲线 在极坐标系$rho O theta$中的方程为$rho=rho(theta)$， $alpha leq theta leq beta$，则 $iint_{D}f(x,y)dsigma=int_{alpha}^{beta}dtheta int_{0}^{rho(theta)}f(rho cos theta, rho sin theta)rho drho$。
应用问题错误
如在实际应用中未能正确建立数学模型或选 择合适的计算方法；需要提高应用能力和问 题解决能力。
提高解题效率和准确性建议
熟练掌握基本计算方法
通过大量练习，熟练掌握直角坐标法、极坐标法等基本 计算方法，提高计算速度和准确性。
注意积分顺序的选择
根据具体问题选择合适的积分顺序，可以简化计算过程 并提高计算效率。
《二重积分的概念》课件
《二重积分的概念》
二重积分是数学中的重要概念之一，通过该概念可以解决很多实际问题。本 课件将带你深入了解二重积分的定义、计算方法以及应用领域。
简介
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和 作用。
为什么要学习二重积分？
探讨为什么二重积分在数学 和实际应用中如此重要。
二重积分的应用领域
展示二重积分在不同领域中 的广泛应用。来自 定义1 二重积分符号表示
解释二重积分的符号表示方法和含义。
2 矩形，极限与边界
介绍二重积分中矩形区域的边界和极限的概念。
3 二重积分的计算方法
讨论如何计算二重积分，包括积分的顺序和方法。
计算二重积分
1
二重积分的理解
阐述二重积分的几何意义和算术解释。
矩形区域的二重积分
2
教授计算矩形区域上二重积分的具体步
骤。
3
极坐标下的二重积分
介绍如何计算采用极坐标表示的二重积 分。
应用
二重积分在几何学中的 应用
展示二重积分如何用于计算 曲线长度、曲面面积和体积。
二重积分在物理学中的 应用
探讨二重积分在物体质量、 质心和力矩计算中的应用。
二重积分在其他领域中 的应用
介绍二重积分在金融、经济 学和生态学等领域中的实际 应用。
总结
1 二重积分的重要性和应用价值
总结二重积分在数学和实际应用中的重要性和价值。
2 未来研究方向
探讨二重积分领域的未来发展和研究方向。
3 最后思考
引导听众思考二重积分带给数学和实际问题的启示。
参考文献
提供相关论文和书籍的参考文献，供进一步学习和研究。
二重积分是数学中的重要概念之一，通过该概念可以解决很多实际问题。本 课件将带你深入了解二重积分的定义、计算方法以及应用领域。
简介
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和 作用。
为什么要学习二重积分？
探讨为什么二重积分在数学 和实际应用中如此重要。
二重积分的应用领域
展示二重积分在不同领域中 的广泛应用。来自 定义1 二重积分符号表示
解释二重积分的符号表示方法和含义。
2 矩形，极限与边界
介绍二重积分中矩形区域的边界和极限的概念。
3 二重积分的计算方法
讨论如何计算二重积分，包括积分的顺序和方法。
计算二重积分
1
二重积分的理解
阐述二重积分的几何意义和算术解释。
矩形区域的二重积分
2
教授计算矩形区域上二重积分的具体步
骤。
3
极坐标下的二重积分
介绍如何计算采用极坐标表示的二重积 分。
应用
二重积分在几何学中的 应用
展示二重积分如何用于计算 曲线长度、曲面面积和体积。
二重积分在物理学中的 应用
探讨二重积分在物体质量、 质心和力矩计算中的应用。
二重积分在其他领域中 的应用
介绍二重积分在金融、经济 学和生态学等领域中的实际 应用。
总结
1 二重积分的重要性和应用价值
总结二重积分在数学和实际应用中的重要性和价值。
2 未来研究方向
探讨二重积分领域的未来发展和研究方向。
3 最后思考
引导听众思考二重积分带给数学和实际问题的启示。
参考文献
提供相关论文和书籍的参考文献，供进一步学习和研究。
二重积分的概念与性质-PPT精品文档
的体积为
Vlim λ0 i1
f(ξi,ηi)σi.
第一节 二重积分的概念与性质
1. 求曲顶柱体的体积
由于这种特殊和式的极限应用极广，实际工作 中各个领域中的不少问题，通常都要化为这种和式 的极限。因此，有必要对这种和的极限进行一般性 的研究。
为了研究问题方便起见，数学上人们就把这种 特殊结构的和的极限称为二重积分。
者之间的共性与区别.
第一节 二重积分的概念与性质
（一）问题的提出
曲顶柱体 以曲面zf(x,为y)顶，以xy平面上区域D为
底，以通过D的边界且与z轴平行的柱面为侧面的立体。
１．曲顶柱体的体积(volume)
zf(x,y)
（曲顶）柱体体积=？
特点：曲顶 D （平顶）柱体体积 =底面积 × 高
特点：平顶
以常代变Δ Si f(ξi)Δ xi;
n
n oa
积零为整 S Si f(ξi)Δxi.
bx
i1
i1
无限累加
n
b
Slλ i0m i1f(ξi)Δ xi af(x)dx.
第一节 二重积分的概念与性质
1. 求曲顶柱体的体积
曲顶柱体: 以xOy平面上的
有界闭区域D为底, 其侧面为以 D的边界线为准线, 而母线平行于 z轴的柱面， 其顶是连续曲面
(3)若f (x,y)在D的某些子区域上为正的, 在D的另一些
子区域上为负的， 则 f (x, y)dσ表示在这些子区域上
曲顶柱体体积的代数和. D
（4）当 f(x,y时), 1 则 d =区域D的面积.
D
4.二重积分的性质
V bπ[f(x)]2dx. a
已知平行截面面积的几何体的体积
二重积分概念课件-PPT课件
定理20.1
平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: 对任给的 0, 总存在直线网 T, 使得 S ( T ) s ( T ) . P P
( 2 )
证 必要性 设有界图形 P 的面积为 I P . 由定义 1, 有 I I I . P 0, 由 I P 及 I P 的定义知道, 分别 P P 存在直线网 T 1 与 T 2 , 使得
P ; (ii) i 上的点都是 P 的外点, 即 i (iii) i 上含有 P 的边界点.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
将所有属于第(i) 类小矩形
(图 21-1 中紫色部分)的面 积加起来, 记这个和数为 (这 ( T ) sP (T ), 则有 s P R
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
于是由(3)可得
P
sT () I, S () T I .
P
从而对直线网 T 有 S () TsT () . P P
S () TsT () . P P
2
P
P
2
充分性 设对任给的 0, 存在某直线网 T, 使得
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
平面图形的面积
我们首先定义平面图形的面积. 我们称平面图形 P 是有界的, 如果存在一矩形 R , 使得 P R.
设 P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T 的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: (i) i 上的点都是 P 的内点;
理学第八章二重积分PPT课件
2
d
2 r 2dr 16
0
0
3
利用对称性,积分为0
D小园 D小园
x2 y2 dxdy 0
3
2
d
2
2cos r 2dr 0 32
0
9
( x2 y2 y)dxdy 16 32 16 (3 2)
D
3
第29页/共59页
99
29
例9 计算
x，2 y2 dxdy D : x2 y2 2 x
确定：用平行于y轴的直线沿y轴方向穿过
区域，穿进的边界曲线
为
下限，穿出的边界曲线
பைடு நூலகம்
为
y
f1( x)
上限，后对x积分其积分限是常量（由交点
向x轴作垂线的垂足耒确定）
y f2(x)
13
第13页/共59页
2 若先对x后对y积分，则x的积分限可这样 确定：用平行于x轴的直线沿x轴方向穿过
区域，穿进的边界曲线 x 1( y) 为
2 若D对称于y 轴，关于变量x被积函数 是奇函数， 其积分值为0；若是偶函数，其积分值两倍于x>0 的区域上的积分；
3 若x 交换 y, D不变，则 f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy
D
D
7
第7页/共59页
(1) x2 ydxdy 0 D:0 x1,1 y1
(2) ( x x3 y2 )dxdy 0 D:x2 y2 4, y0
d
d dxdy,
y
y j
k
f x, yd
D
f ( x, y)dxdy
DD
0 x
xi
3
第3页/共59页
（4）二重积分的几何意义
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Df(x,y)d Df(x,y)d
6. 设 M m f( x a ,y )m x , m f( x , iy ) n D,的面积为 ,
D
D
则有
m D f(x,y)dM
7.(二重积分的中值定理) 设函f数 (x,y)在闭区域D上
连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点 (,)D,使
D o 1x
二重积分不存在 .
三、二重积分的性质
1.D kf(x,y)dkD f(x,y)d ( k 为常数) 2 .D [f(x,y)g(x,y)d ]
D f(x ,y )d D g (x ,y )d
3 .D f ( x ,y ) d D 1 f ( x ,y ) d D 2 f( x ,y ) d
(2) 所求量的结构式相同
曲顶柱体体积:
n
Vl i0 m k1f(k,k)k
平面薄片的质量:
n
Ml i0m k 1(k,k)k
二、二重积分的定义及可积性
定义: 设f(x,y)是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域 k(k 1 ,2 , ,n ),
f(k,k)
(k ,k ) k
2. 平面薄片的质量
有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密
度为(x,y) C,计算该薄片的质量 M .
若 (x,y)(常)数 ,设D 的面积为 , 则
M
y
若 (x,y)非常数 , 仍可用
D
“大化小, 常代变,近似和, 求 极限”
任取一点 (k,k) k,若存在一个常数 I , 使
Il i0m kn1f(k,k)k记作 Df(x,y)d
则称 f(x,y) 可积 , 称 I为 f(x,y)在D上的二重积分.
积分和
Df(x,y)d
积分表达式
x, y称为积分变量
积分区域
被积函数
面积元素
如果 f (x,y)在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划
解决.
1)“大化小”
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1 ,2 , ,n ,
相应把薄片也分为小区域 .
2)“常代变”
在每个 k中任取一点 (k,k),则第 k 小块的质量 M k ( k ,k ) k ( k 1 , 2 , , n )
(DD 1D 2,D 1,D 2无公)共内点 4 .若 D 上 在 f(x ,y ) 1 , 为D 的面积, 则
D 1dD d
5. 若在D上 f (x,y)(x,y),则
Df (x, y)d D(x,y)d
特别, 由于 f( x ,y ) f( x ,y ) f( x ,y )
3)“近似和”
y
n
n
M Mk(k,k)k
k1
k1
4)“取极限”
令 1 m k n a ( x k)
n
Ml i0m k 1(k,k)k
x
(k,k) k
两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”
重积分
一元函数积分学
重积分
多元函数积分学 曲线积分 曲面积分
二重积分的概念与性质
一、引例 二、二重积分的定义与可积性 三、二重积分的性质 四、曲顶柱体体积的计算
一、引例
1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:
底： xoy 面上的闭区域 D
顶: 连续曲面 zf(x,y)0
zf(x,y)
D
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积.
其中 D :(x 2 )2 (y 1 )22
1
D
解: 积分域 D 的边界为圆周
(x2)2(y1)22
o1 2 3 x xy1
它与 x 轴交于点 (1,0) , 与直 xy线 1相.切 而域 D 位
3)“近似和”
n
n
V Vk f(k,k)k
k 1
k1
4)“取极限”
定义 k的直径为 ( k ) m P 1 P 2 P 1 a , 2 P x k
令 m a ( x k) 1 k n
zf(x,y)
n
Vl i0 m k1f(k,k)k
定理1. 若函数 f (x,y)在有界闭区域 D上连续, 则
f (x,y)在D上可积.
定理2. 若有界函数 f (x,y)在有界闭区域 D 上除去有
限个点或有限个光滑曲线外都连续 , 则f(x,y)在D上可
积.
例如, f (x, y) x2 y2 在D : xy
0x1 y 0y1 1
上二重积分存在 ; 但f(x,y) 1 在D 上 xy
D f(x ,y )d f(,)
证: 由性质6 可知,
m 1D f(x,y)dM
由连续函数介值定理, 至少有一点 (,)D使
f(,) 1D f(x,y)d
因此
D f(x,y)df(,)
例1. 比较下列积分的大小:
D (x y )2d , D (x y )3d y
分区域D , 这时 k xk yk,因此面积元素 d 也常
记作 dxdy, 二重积分记作
D f(x,y,y)dxdy
引例2中平面薄板的质量:
MD (x,y)dD (x,y)dxdy
二重积分存在定理: (证明略)
解法: 类似定积分解决问题的思想:
“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”
1)“大化小”
用任意曲线网分D为 n 个区域
1 , 2 , , n
zf(x,y)
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 f(k,k)
小曲顶柱体
D
2)“常代变”
(k ,k ) k
在每个 k 中任取一点 (k,k),则 V k f ( k ,k ) k( k 1 , 2 , , n )