2020年中考数学二次函数压轴题汇编(一)
2020年中考二次函数压轴题汇编（一）
1.如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴
交于点C．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；
若不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．
2已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A 右侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．
3.若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点
C（2，﹣2）．
（1）求二次函数表达式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；
（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．
4在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c （a＜0）经过点A、B．
（1）求a、b满足的关系式及c的值．
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△P AB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5.如图，抛物线y＝mx2﹣mx﹣4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点
C，且x2﹣x1＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，x2≥时，均有y1≤y2，求a的取值范围；
（3）抛物线上一点D（1，﹣5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时，求点M的坐标．
6如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x 轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；
（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．
7如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．
（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P(不与点B，C重合)，作直线AM的平行线交直线BC 于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
9如图，已知点A（－1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2＋bx＋c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
10如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛
物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；
（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m 的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点
P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数压轴题汇编（一）答案解析
1.解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0）
∴解得：∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3（2）在y轴上存在点P，使得△P AM为直角三角形．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴顶点M（1，4）
∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20设点P坐标为（0，p）
∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2
①若∠P AM＝90°，则AM2+AP2＝MP2∴20+9+p2＝17﹣8p+p2
解得：p＝﹣∴P（0，﹣）
②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2∴9+p2+17﹣8p+p2＝20
解得：p1＝1，p2＝3∴P（0，1）或（0，3）
③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2∴20+17﹣8p+p2＝9+p2
解得：p＝∴P（0，）综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△P AM为直角三角形．
（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H
∵DG⊥x轴于点G∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°∴四边形IEGH是矩形
∵点I为△ADG的内心∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG
∴矩形IEGH是正方形设点I坐标为（m，n）∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n
∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m
∵DA＝OA＝3∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m∴DG＝DH+HG＝m+n
∵DG2+AG2＝DA2∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0
配方得：（m﹣）2+（n+）2＝∴点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为
∴点I在以点Q（，﹣）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动
∴当点I在线段CQ上时，CI最小
∵CQ＝∴CI＝CQ﹣IQ＝
∴CI最小值为．
2解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4．当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
答：抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4，∴点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），如图所示，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），
则PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，
∴S四边形PBOC＝S△BOC+S△PBC
＝×8×4+PD?OB＝16+×8（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x+16
＝﹣（x﹣4）2+32∴当x＝4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32∵0＜x＜8，
∴存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大．
答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最大值为32．
（3）设点M的坐标为（m，﹣++4）则点N的坐标为（m，﹣），
∴MN＝|﹣++4﹣（﹣）|＝|﹣+2m|，
又∵MN＝3，∴|﹣+2m|＝3，
当0＜m＜8时，﹣+2m﹣3＝0，解得m1＝2，m2＝6，∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；当m＜0或m＞8时，﹣+2m+3＝0，解得m3＝4﹣2，m4＝4+2，∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．
答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．
3解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）
∴解得：∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2
（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D
设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2
设直线BP解析式为y＝kx﹣2把点P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2∴k＝t﹣
∴直线BP：y＝（t﹣）x﹣2当y＝0时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝
∴C（，0）∵t＞3∴t﹣2＞1∴，即点C一定在点A左侧
∴AC＝3﹣∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC?OB+AC?PD＝AC （OB+PD）＝4∴＝4
解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）∴t2﹣t﹣2＝∴点P的坐标为（4，）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．
如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F∴AB垂直平分OE∴BE＝OB，OG＝GE
∴∠ABO＝∠ABM∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°
∴OA＝3，OB＝2，AB＝
∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝∵S△AOB＝OA?OB＝AB?OG
∴OG＝∴OE＝2OG＝
∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°
∴∠OAB＝∠BOG∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝
∴EF＝OE＝，OF＝OE＝∴E（，﹣）
设直线BE解析式为y＝ex﹣2把点E代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣
∴直线BE：y＝﹣x﹣2当﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝
∴点M横坐标为，即点M到y轴的距离为．
4解：（1）y＝x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，
故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），则c＝2，则函数表达式为：y＝ax2+bx+2，将点A坐标代入上式并整理得：b＝2a+1；
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，
则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝2a+1，即：﹣≥0，解得：a，
故：a的取值范围为：﹣≤a＜0；
（3）当a＝﹣1时，二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，
过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，
∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，S△P AB＝×AB×PH＝2×PQ×＝1，则y P﹣y Q＝1，在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，
则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，
故：|y P﹣y Q|＝1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点Q（x，x+2），
即：﹣x2﹣x+2﹣x﹣2＝±1，解得：x＝﹣1或﹣1，
故点P（﹣1，2）或（﹣1，1）或（﹣1﹣，﹣）．
5解：（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝＝，而且x2﹣x1＝，
将上述两式联立并解得：x1＝﹣，x2＝4，
则函数的表达式为：y＝m（x+）（x﹣4）＝m（x2﹣4x+x﹣6），
即：﹣6m＝﹣4，解得：m＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；
（2）由（1）知，函数的对称轴为：x＝，则x＝和x＝﹣2关于对称轴对称，故其函数值相等，又a≤x1≤a+2，x2≥时，均有y1≤y2，结合函数图象可得：，解
得：﹣2≤a≤；
（3）如图，连接BC、CM，过点D作DG⊥OE于点G，
而点B、C、D的坐标分别为：（4，0）、（0，﹣4）、（1，﹣5），
则OB＝OC＝4，CG＝GC＝1，BC＝4，CD＝，
故△BOC、△CDG均为等腰直角三角形，∴∠BCD＝180°﹣∠OCB﹣∠GCD＝90°，在Rt△BCD中，tan∠BDC＝＝4，∠BDC＝∠MCE，则tan∠MCE＝4，
将点B、D坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：
直线BD的表达式为：y＝x﹣，故点E（0，﹣），
设点M（n，n﹣），过点M作MF⊥CE于点F，
则MF＝n，CF＝OF﹣OC＝﹣，tan∠MCE＝＝＝4，
解得：n＝，故点M（，﹣）．
6解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；
（2）∵点A（﹣2，0）、C（0，8），∴OA＝2，OC＝8，∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，∵∠P AE≠∠CAO，∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，
此时，即：，∴AE＝4PE，设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，
∴OE＝4k﹣2，将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得：
k＝0或（舍去0），则点P（，）；
（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，
∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，∴，
∴S△PDF＝?S△BOC，而S△BOC＝OB?OC＝＝16，BC＝＝4，∴S△PDF＝?S△BOC＝PD2，
即当PD取得最大值时，S△PDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，当m＝2时，PD的最大值为4，
故当PD＝4时，∴S△PDF＝PD2＝．
7.解：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，则点B（﹣4，0），则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），
即：﹣8a＝﹣2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；
（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣2，则tan∠ABC＝，则sin∠ABC＝，
设点D（x，0），则点P（x，x2+x﹣2），点E（x，x﹣2），
∵PE＝OD，∴PE＝（x2+x﹣2﹣x+2）＝（﹣x），
解得：x＝0或﹣5（舍去x＝0），即点D（﹣5，0）
S△PBE＝×PE×BD＝（x2+x﹣2﹣x+2）（﹣4﹣x）＝；
（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，
①当BD＝BM时，过点M作MH⊥x轴于点H，BD＝1＝BM，则MH＝y M＝BM sin∠ABC
＝1×＝，则x M ＝，故点M （﹣，﹣）；②当BD ＝DM （M ′）
时，同理可得：点M ′（﹣，）；故点M 坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）． 8解：（1）∵直线5y x =-交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，∴ B(5，0)，C(0，－5)． ∵抛物线26y ax x c =++过点B ，C ，∴025305a c c =++??
-=?，∴15a c =-??=-?， ∴抛物线的解析式为：265y x x =-+-．
（2）∵OB ＝OC ＝5，∠BOC ＝90°，∴∠ABC ＝45°，∵抛物线2
65y x x =-+-交x 轴于A ，B 两点，∴A(1，0)，∴AB ＝4，∵AM ⊥BC ，∴AM ＝22，∵PQ ∥AM ，∴PQ ⊥BC ， 若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则PQ ＝AM ＝22，
过点P 作PD ⊥x 轴交直线BC 于点D ，则∠PDQ ＝45°，∴PD 2PQ ＝4．
设P(m ，265m m -+-)，则D(m ，5m -)．分两种情况讨论如下：
(ⅰ)当点P 在直线BC 上方时，
PD ＝()2265554m m m m m -+---=-+=，∴11m =(舍去)，24m = (ⅱ)当点P 在直线BC 下方时，
PD ＝()2256554m m m m m ---+-=-=，∴1541m +=，2541m -= 综上，点P 的横坐标为4541+541-．②M(136，176-)或(236，76-)． 9解：（1）把点A （－1，0），B （3，0），C （0，1）代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得09301a b c a b c c -+=??++=??=?
， 解得13231a a c ?=-???=??=???
，所以抛物线的解析式为y ＝－13x 2＋23x ＋1．
（2）∵B（3，0），C（0，1），∴直线BC的解析式为y＝－1
3
x＋1．过点P作PE⊥x轴于
点E，交BC于D．设P(x，－1
3
x2＋
2
3
x＋1)，则D(x，－
1
3
x＋1)．∴PD＝－
1
3
x2＋
2
3
x＋1
－(－1
3
x＋1)＝－
1
3
x2＋x．∴S△PBC＝S△PDC＋S△PDB＝
1
2
PD(x B－x C)＝
1
2
(－
1
3
x2＋x)(3－0)＝
－1
2
x2＋
3
2
x．又∵S△PBC＝1，∴－
1
2
x2＋
3
2
x＝1，∴x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2．∴P1
（1，4
3
），P2（2，1）．
（3）答：存在．理由：如图，∵A（－1，0），C（0，1），∴OC＝OA＝1，∴∠BAC＝45°．∵∠BAC ＝∠BQC，∴∠BQC＝45°．∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．
设△ABC外接圆圆心为M，∵线段AC的垂直平分线为直线：y＝－x，线段AB的垂直平分线为：x＝1．∴点M为直线y＝－x与直线x＝1的交点，即M（1，－1），∴∠BMC＝2∠BQC
＝90°，又∵MQ＝MB＝R＝5，∴y Q＝－（1＋5）＝－1－5，∵Q在直线x＝1上，∴x Q＝1，∴Q（1，－1－5）．
10解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得
解得∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，
配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；
（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．
∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1
∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x
将A（﹣4，0）代入y＝kx﹣中，得0＝﹣4k﹣，解得k＝，
∴直线l解析式为y＝x﹣，∵D（m，﹣m2﹣4m），
∴直线DO的解析式为y＝﹣（m+4）x，由抛物线C与抛物线C′关于原点对称，可得点D、E关于原点对称，∴E（﹣m，m2+4m）
如图2，过点D作DH∥y轴交直线l于H，过E作EK∥y轴交直线l于K，
则H（m， m﹣），K（﹣m， m﹣），
∴DH＝﹣m2﹣4m﹣（m﹣）＝﹣m2m+，EK＝m2+4m﹣（m﹣）＝m2+m+，∵DE＝2EM∴＝，∵DH∥y轴，EK∥y轴
∴DH∥EK∴△MEK∽△MDH∴＝＝，即DH＝3EK∴﹣m2m+＝3
（m2+m+）解得：m
1＝﹣3，m
2
＝，∵m＜﹣2∴m的值为：﹣3；
（3）由（2）知：m＝﹣3，∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3，
如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20
∴AB2+BG2＝AG2∴△ABG是Rt△，∠ABG＝90°，
∴tan∠GAB＝＝＝，∵∠DEP＝∠GAB
∴tan∠DEP＝tan∠GAB＝，在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH＝OE＝，过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；
∵E（3，﹣3），∴∠EOT＝45°∵∠EOH＝90°∴∠HOT＝45°
∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q，
则，解得∴直线EH解析式为y＝﹣x，
解方程组，得，，
∴点P的横坐标为：或．