实变函数试题库 及参考答案
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实变函数试题库及参考答案(3) 本
科
一、填空题
1.设,A B 为集合,则()\B A B A I U A B U
2.设A 为无理数集,则A c (其中c 表示自然数集[]0,1的基数) 3.设n E ⊂¡,如果E 中没有不是内点的点,则称E 是 4.任意个闭集的交是
5.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,如果1a ∀∈¡,()E x a f x b ⎡⎤≤<⎣⎦是可测,(a b ≤)则称()f x 在E 上
6.可测函数列的上确界也是
7.设()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒..a e ,则()()n n f x g x ⇒
8.设()()n f x f x ⇒,那么由黎斯定理,(){}n f x 有子列()k
n f x ,使 ..a e 于E
二、选择题
1.下列集合关系成立的是( ) 2.设n R E ⊂,则( ) 3.设P 为康托集,则( )
A P 是可数集
B 0mP =
C P 是不可数集
D P 是开集
4.下列集合关系成立的是( )
A 若A
B ⊂则c c B A ⊂ B 若A B ⊂则c c A B ⊂
C 若A B ⊂则A B B =I
D 若A B ⊂则A B B =U
三、多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案)
1.设()D x 是狄利克莱函数,即()[][]10,100,1x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩
为中有理数
为中无理数,则( )
A ()D x 几乎处处等于1
B ()D x 几乎处处等于0
C ()
D x 是非负可测函数 D ()D x 是L 可积函数
2.设n E ⊂¡,*0m E =,则( )
A E 是可测集
B E 的任何子集是可测集
C E 是可数集
D
E 不一定是可
数集
3.设n E ⊂¡,()10E c
x E
x x E χ∈⎧=⎨
∈⎩
,则( ) A 当E 是可测集时,()E x χ是可测函数 B 当()E x χ是可测函数时,E 是可
测集
C 当E 是不可测集时,()E x χ可以是可测函数
D 当()
E x χ是不是可测函数时,E 不一定是可测集
4.设()f x 是(),a b 上的连续函数,则( )
A ()f x 在(),a b 上有界
B ()f x 在(),a b 上可测
C ()f x 在(),a b 上L 可积
D ()f x 在(),a b 上不一定L 可积
四、判断题 1.
对
等
的
集
合
不
一
定
相
等
.
( )
2. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是零测集. ( )
3.
可
数
个
开
集
的
交
是
开
集
( ) 4.
可
测
函
数
不
一
定
是
连
续
函
数
.
( ) 5.
对
等
的
集
合
有
相
同
的
基
数
.
( ) 五、定义题
1. 简述证明集合对等的伯恩斯坦定理.
2. 简述1R 中开集的结构.
3. 可测集与闭集、F σ集有什么关系?
4. 为什么说绝对连续函数几乎处处可微? 六、计算题
1. 设()3cos 0,\2x x E f x x x E π⎧∈⎪
=⎨
⎡⎤
∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩
,E 为0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
中有理数集,求()0,2f x dx π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
⎰.
2. 设()()
[]22
cos ,0,11n nx nx f x x n x =
∈+,求()[]
0,1lim n n f x dx →∞⎰.
七、证明题
1.设()f x 是E 上的可测函数,则对任何常数0a >,有()[|()]a f x E
mE x f x a e e dx -≥≤⎰
2.设()f x 是E 上的可积函数,{}n E 为E 的一列可测子集,mE <+∞,如果lim n n mE mE →∞
=
则lim ()()n
E E n f x dx f x dx →∞
=⎰⎰
3.证明集合等式:()\(\)(\)A B C A C B C =U U
4.设n E R ⊂是零测集,则E 的任何子集F 是可测集,且0mF = 5. 证明:1R 上的实值连续函数()f x 必为1R 上的可测函数
本科实变函数试题库及参考答案(3)
一、填空题
1.=
2.=
3.开集
4.闭集
5.可测
6.可测函数
7.()()f x g x
8.()()k
n f x f x →
二、单选题