实变函数期中试卷及答案

一、 判断题
1.有限或可数个可数集的并集必为可数集。

（√ ）
2.可数集的交集必为可数集。

（× ）
3.设P,Q ∈R n ，则ρ(P,Q )=0⇔P =Q 。

（× ）
4.设点P 为点集E 的内点，则P 为E 的聚点，反之P 为E 的聚点，则P 为E 的内点。

（× ）
5.开集中的每个点都是内点，也是聚点。

（√ ）
6.任意多个开集的并集仍为开集。

（√ ）
7.任意多个开集的交集仍为开集。

（× ）
8.设A ⊆B ，则m ∗A <m ∗B 。

（× ）
9.设E 为R n 中的可数集，则m ∗E =0。

（√ ）
10.设E 为无限集，且m ∗E =0，则E 是可数集。

（× ） 二、填空题
1.设1n R R =，1E 是[0,1]上的全部有理点，则1E '=1E 的内部
1E
2.设2n R R =，1E =[0,1]，则1E '1E 的内部1E
3.设2n R R =，1E =22{(,)1}x y x y +<，则1E '1E 的内部
1E
4.设P 是Cantor 集，则P P P P
m ∗P
5. 设(,)a b 为1R 上的开集G 的构成区间，则(,)a b 满足(,a b ，且a ，
b 。

三、证明题
1.证明：()A B A B '''⋃=⋃。

证明：因为A A B ⊂⋃，B A B ⊂⋃，所以，()A A B ''⊂⋃，()B A B ''⊂⋃，从而
()A B A B '''⋃⊂⋃
反之，对任意()x A B '∈⋃，即对任意(,)B x δ，有
(,)()((,))((,))B x A B B x A B x B δδδ⋂⋃=⋂⋃⋂为无限集，
从而(,)B x A δ⋂为无限集或(,)B x B δ⋂为无限集至少有一个成立，即x A '∈或
x B '∈，所以，x A B ''∈⋃，()A B A B '''⋃⊂⋃。

综上所述，()A B A B '''⋃=⋃。

2.设A 2n−1=(0,1
n )，A 2n =(0,n)，n=1,2，…，求出集列{A n }的上限集和下限集。

解：),0(lim ∞=∞
→n n A ；
设),0(∞∈x ，则存在N ，使N x <时，因此N n >时，n x <<0，即n A x 2∈，所以x 属于下标比N 大的一切偶数指标集，从而x 属于无限多n A ，得
n n A x lim ∞
→∈，又显然),0(lim ∞⊂∞
→n n A ，所以),0(lim ∞=∞
→n n A 。

若有n n A x lim ∞
→∈，则存在N ，使对任意N n >，有n A x ∈，因此若N
n >-12时，12-∈n A x ， 即n
x 1
0<<，令∞→n ，得00≤<x ，此不可能，所以φ=∞
→n n A lim 。

3.可数点集的外侧度为零。

证明: 设i i I U E r r r E ∞
=⊂=1321`````},,,{
对)2
,2
(`````'```)2
,2
(,01
1
1
11
11n n n n n n n n n
n x x x x x x I +++++-+-=>∀ε
ε
ε
ε
ε
则2
)2
(222``````2
2||1
1
1
2ε
ε
ε
ε
===+++n
n n n n n
n I
则)2
(2
||2
22
2n
n I +==
ε
εε
)2
(2
||2
n
n i i
i I +==
ε
εε
∑∑∞
=∞
=∞
=1
12||i i
i i I ||*1
∑∞
=∈i i
I
mf E m 0*=E m
4.证明：不可数集减可数集的差集仍为不可数集。

证明：记A 是不可数集，B 是可数集，因为()()A A B A B =-⋃⋂，且A B -为无限集（因为，否则的话，A 是至多可数集，与A 是不可数集矛盾），A B ⋂为
至多可数集（因为A B B ⋂⊂，B 是可数集，所以A B ⋂为至多可数集），所以，
A A
B =-，即A A B -，所以，A B -仍为不可数集。