2021年中考数学专题三 几何证明(42PPT)

【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗?请说明理由. 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时,小兵发现四边形ABDE为矩形(如图3).求 AF的长. 活动二:在图3中,取AD的中点O,再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度 (0≤α≤90),连接OB,OE(如图4).
【探究】当EF平分∠AEO时,探究OF与BD的数量关系,并说明理由.
2
∴OF=OA-AF=21 - x,
2
在Rt△OFE中, ∵OF2+EF2=OE2,
∴(2- x1)2+32= 1(x+4)2,解得:x= ,9
2
4
4
∴AF= 9 cm.
4
【探究】BD=2OF,
理由:如图2,延长OF交AE于点H,
∵四边形ABDE为矩形,
∴∠OAB=∠OBA=∠ODE
=∠OED,
OA=OB=OE=OD,
2
∴S菱形DCEB=BC·DO=318 .
考点四 与图形变换有关的探究题 【示范题4】(2020·嘉兴中考)在一次数学研究性学习中,小兵将两个全等的直 角三角形纸片ABC和DEF拼在一起,使点A与点F重合,点C与点D重合(如图1),其中 ∠ACB=∠DFE=90°,BC=EF=3cm,AC=DF=4cm,并进行如下研究活动. 活动一:将图1中的纸片DEF沿AC方向平移,连接AE,BD(如图2),当点F与点C重合 时停止平移.
【解析】(1)如图2,连接AM, 由已知得△ABD≌△ACE, ∴AD=AE,AB=AC,∠BAD=∠CAE, ∵MD=ME, ∴∠MAD=∠MAE, ∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE, 即∠BAM=∠CAM, 在△ABM和△ACM中,
AB AC BAM CAM AM AM，
∴△ABM≌△ACM(SAS),
∴∠OBD=∠ODB,∠OAE=∠OEA, ∵∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB=360°, ∴∠ABD+∠BAE=180°, ∴AE∥BD,∴∠OHE=∠ODB, ∵EF平分∠OEH,∴∠OEF=∠HEF, ∵∠EFO=∠EFH=90°,EF=EF, ∴△EFO≌△EFH(ASA),∴EO=EH,FO=FH,
①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化?若变化,请说明理由;若不变, 求出四边形PQED的面积; ②当线段BP的长为何值时,以点P,Q,R为顶点的三角形与△BOC相似?
【自主解答】(1)四边形ABCE是菱形. 证明:∵△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的, ∴EC∥AB,EC=AB. ∴四边形ABCE是平行四边形. 又∵AB=BC,∴四边形ABCE是菱形. (2)①四边形PQED的面积不发生变化,理由如下: 由菱形的对称性知,△PBO≌△QEO, ∴S△PBO=S△QEO.
考点二 相似三角形的判定与性质 【示范题2】(2020·贵港港南区一模)如图1,在△ABC中,AB=BC=5,AC=6.△ECD 是△ABC沿CB方向平移得到的,连接AE,AC和BE相交于点O. (1)判断四边形ABCE是怎样的四边形,并证明你的结论; (2)如图2,P是线段BC上一动点(不与点B,C重合),连接PO并延长交线段AE于点 Q,QR⊥BD,垂足为点R.
【自主解答】(1)∵AB⊥OM于B,DE⊥ON于E,
∴∠ABO=∠DEA=90°.
在Rt△ABO与Rt△DEA中,
∵
AO AD OB AE，
∴Rt△ABO≌Rt△DEA(HL),
∴∠AOB=∠DAE.
∴AD∥BC.
又∵AB⊥OM,DC⊥OM, ∴AB∥DC. ∴四边形ABCD是平行四边形, ∵∠ABC=90°, ∴四边形ABCD是矩形.
(3)MB=MC还成立.
如图4,延长BM交CE于F,
∵CE∥BD,
∴∠MDB=∠MEF,∠MBD=∠MFE,
又∵M是DE的中点,
∴MD=ME,
在△MDB和△MEF中,MMDBDB
MEF MFE
MD ME，
∴△MDB≌△MEF(AAS), ∴MB=MF, ∵∠ACE=90°, ∴∠BCF=90°, ∴MB=MC.
【跟踪训练】 (2020·昆明盘龙区一模)如图,在Rt△ABC和Rt△ADE中,∠C=∠E=90°, ∠CAD=∠EAB,AC=AE,AB,DE相交于点F,AD,BC相交于点G. (1)求证:△ABC≌△ADE; (2)若AB=11,AG=6,求DG的长.
【解析】(1)∵∠CAD=∠EAB, ∴∠CAD+∠BAD=∠EAB+∠DAB, 即∠CAB=∠EAD. 又AC=AE,∠C=∠E=90°, ∴△ABC≌△ADE(ASA). (2)∵△ABC≌△ADE, ∴AB=AD. ∵AB=11,∴AD=11. 又AG=6,∴DG=11-6=5.
(2)由(1)知Rt△ABO≌Rt△DEA, ∴AB=DE=3, 设AD=x,则OA=x, AE=OE-OA=9-x. 在Rt△DEA中,由AE2+DE2=AD2, 得:(9-x)2+32=x2, 解得x=5. ∴AD=5.即AB,AD的长分别为3和5.
【跟踪训练】 (2020·北京二模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,O为BC中点,连接 DO并延长到点E,使OE=OD,连接BE,CE. (1)求证:四边形DCEB为菱形; (2)若AC=6,∠DCB=30°,求四边形DCEB的面积.
∵△ECD是由△ABC平移得到的,
∴ED∥AC,ED=AC=6.
又∵BE⊥AC,∴BE⊥ED,BD=5+5=10,BE10=2 62 =8,
∴S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED
=S△BED=12
×BE×ED=1
2
×8×6=24.
②如图,当点P在BC上运动,使以点P,Q,R为顶点的三角形与△COB相似. ∵∠2是△OBP的外角, ∴∠2>∠3. ∴∠2不与∠3对应. ∴∠2与∠1对应.即∠2=∠1,∴OP=OC=3. 过O作OG⊥BC于G,则G为PC的中点.可证△OGC∽△BOC.∴CG∶CO=CO∶BC. 即CG∶3=3∶5.
AC 7 FG
【解析】(1)∵∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB, ∴△AED∽△ABC, ∴∠ADF=∠C, 又∵ AD＝ DF ，
AC CG
∴△ADF∽△ACG.
(2)∵△ADF∽△ACG,
AD＝ AF ， AC AG AD 3， AC 7
AF ＝3， AG 7
AF＝3． FG 4
考点三 特殊平行四边形的判定与性质 【示范题3】(2020·常州新北区一模)如图,点A在∠MON的边ON上,AB⊥OM于 B,AE=OB,DE⊥ON于E,AD=AO,DC⊥OM于C. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若DE=3,OE=9,求AB,AD的长.
专题三 几 何 证 明
几何证明与计算,主要考查的知识点有三角形的全等、相似的判定与性 质,四边形的判定与性质,圆的切线的判定与性质,综合性较强、解决此类问 题的关键是准确把握三角形全等、相似的判定方法及性质,四边形的判定方 法及性质,掌握不同知识间的综合应用.
考点一 全等三角形的判定与性质 【示范题1】 (2020·防城港模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在AC及其延长线上,点 B,F分别在AE两侧,连接CF,已知AD=EC,BC=DF,BC∥DF. (1)求证:△ABC≌△EFD; (2)若CE=CF,FC平分∠DFE,求∠A的度数.
∴∠EHO=∠EOH=∠OBD=∠ODB, ∴△EOH≌△OBD(AAS),∴BD=OH=2OF.
【跟踪训练】 1.(2020·百色模拟)如图,将两个全等的直角三角形△ABD,△ACE拼在一起(图 1).△ABD不动,
(1)若将△ACE绕点A逆时针旋转,连接DE,M是DE的中点,连接MB,MC(图2),证 明:MB=MC; (2)若将图1中的CE向上平移,∠CAE不变,连接DE,M是DE的中点,连接MB,MC(图3), 判断并直接写出MB,MC的数量关系; (3)在(2)中,若∠CAE的大小改变(图4),其他条件不变,则(2)中的MB,MC的数量 关系还成立吗?说明理由.
∴MB=MC.
(2)MB=MC. 理由如下:如图3,延长DB,AE相交于E′,延长EC交AD于F, ∴BD=BE′,CE=CF, ∵M是ED的中点,B是DE′的中点, ∴MB∥AE′, ∴∠MBC=∠CAE, 同理:MC∥AD,
∴∠BCM=∠BAD, ∵∠BAD=∠CAE,∴∠MBC=∠BCM, ∴MB=MC.
【解析】(1)∵O是BC边中点, ∴OC=OB, 又∵OE=OD, ∴四边形DCEB是平行四边形. ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点, ∴CD=BD, ∴四边形DCEB为菱形.
(2)∵CD=BD,∠DCB=30°, ∴∠ABC=∠DCB=30°, ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,∠ABC=30°, ∴AB=12,BC=63 . ∵D为AB中点,O是BC中点, ∴DO=1 AC=3,
2.(2020·深圳中考)背景:一次小组合作探究课上,小明将两个正方形按如图所 示的位置摆放(点E,A,D在同一条直线上),发现BE=DG且BE⊥DG. 小组讨论后,提出了下列三个问题,请你帮助解答: (1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图1),还能得到BE=DG吗?若能,请 给出证明;若不能,请说明理由;
∴CG= 9 .∴PB=BC-PC=BC-2CG
5
ห้องสมุดไป่ตู้
=5-2×
9 5
=
.7
5
【跟踪训练】 (2020·来宾模拟)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,线段AG 分别交线段DE,BC于点F,G,且 AD DF．
AC CG
(1)求证:△ADF∽△ACG; (2)若 AD 3，求 AF 的值.