2018高中数学第2章平面解析几何初步第三节空间直角坐标系2空间两点间距离习题苏教版必修2
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.4空间直角坐标系课件
∵V 在 z 轴正半轴上，且|VO|＝3，它的横坐标与纵坐标都是零， ∴点 V 的坐标是(0,0,3)．而 A、B、C、D 都在 xOy 平面上， ∴它们的竖坐标都是零． 又|AB|＝2， ∴A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，V(0,0,3)．
【答案】 B
2．在空间直角坐标系中，点 P(3,4,5)与 Q(3，－4，－5)两点的位置关系是 ( ) A．关于 x 轴对称 B．关于 xOy 平面对称 C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
【解析】 点 P(3,4,5)与 Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标 互为相反数，所以两点关于 x 轴对称．
【解】
取 BC，B1C1 的中点分别为 O，O1，连接 OA，OO1，
3 根据正三棱柱的几何性质，OA，OB，OO1 两两互相垂直，且 OA＝ 2 ×2 ＝ 3，
以 OA，OB，OO1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系，如图所示， 则正三棱柱 ABCA1B1C1 各顶点的坐标分别为： A( 3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1( 3，0,2)， B1(0,1,2)，C1(0，－1,2).
阶 段 一
2.4 2.4.1 2.4.2
空间直角坐标系 空间直角坐标系 空间两点的距离公式
阶 段 三
阶 段 二
学 业 分 层 测 评
1．了解空间直角坐标系的建系方式．(重点) 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(重点) 4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问 题．(难点)
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2平面直角坐标系中的基本公式学业分层测评新人教B版
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知线段AB 的中点在坐标原点，且A (x,2)，B (3，y )，则x ＋y 等于( ) A.5 B.－1 C.1 D.－5 【解析】 易知x ＝－3，y ＝－2.∴x ＋y ＝－5. 【答案】 D2.已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( ) A.2 3 B.3＋2 3 C.6＋3 2D.6＋10【解析】 由题意知|AB |＝＋2＋32＝32，|AC |＝－2＋32＝3，|BC |＝－1－2＋02＝3.∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝6＋3 2. 【答案】 C3.已知A (3,1)，B (2,4)，C (1,5)，且点A 关于点B 的对称点为D ，则|CD |＝( ) A.2 B.4 C.342D.344【解析】 由题意知，设D (x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32＝2，y ＋12＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7，∴D (1,7). ∴|CD |＝－2＋－2＝2，故选A.【答案】 A4.已知A (x,5)关于C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则P (x ，y )到原点的距离为( ) A.4 B.13 C.15 D.17【解析】 由题意知点C 是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2，2y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.∴|OP |2＝17，∴|OP |＝17.【答案】 D5.光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射以后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的路程为( )A.5 2B.2 5C.510D.10 5【解析】 (－3,5)关于x 轴的对称点为A ′(－3，－5)，则|A ′B |＝＋2＋＋2＝510.【答案】 C 二、填空题6.在△ABC 中，设A (3,7)，B (－2,5)，若AC ，BC 的中点都在坐标轴上，则C 点坐标为________.【解析】 设C (a ，b )，则AC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋a 2，7＋b 2，BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋a 2，5＋b 2，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－7；若AC 的中点在y 轴上，BC 的中点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－5.【答案】 (2，－7)或(－3，－5)7.已知三角形的三个顶点A (7,8)，B (10、4)，C (2，－4)，则BC 边上的中线AM 的长为________.【解析】 设BC 边的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10＋22＝6，y ＝4＋－2＝0，即M 的坐标为(6,0)，所以|AM |＝－2＋－2＝65.【答案】658.点A (1，－2)关于原点对称的对称点到(3，m )的距离是25，则m 的值是________. 【解析】 A 的对称点A ′(－1,2) 25＝－1－2＋m －2解得m ＝2或－6. 【答案】 2或－6 三、解答题9.已知A (1,2)，B (4，－2)，试问在x 轴上能否找到一点P ，使∠APB 为直角？【解】 假设在x 轴上能找到点P (x,0)，使∠APB 为直角， 由勾股定理可得 |AP |2＋|BP |2＝|AB |2，即(x －1)2＋4＋(x －4)2＋4＝25， 化简得x 2－5x ＝0， 解得x ＝0或5.所以在x 轴上存在点P (0,0)或P (5,0)，使∠APB 为直角. 10.求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半.【证明】 如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设A (0,0)，B (c,0)，C (m ，n )， 则|AB |＝c ，又由中点坐标公式，可得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，n 2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋m 2，n 2， 所以|DE |＝c ＋m 2－m 2＝c2，所以|DE |＝12|AB |，即三角形的中位线长度等于底边长度的一半.[能力提升]1.以A (1,5)，B (5,1)，C (－9，－9)为顶点的三角形是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形D.直角三角形【解析】 根据两点的距离公式， |AB |＝－2＋－2＝42， |AC |＝＋2＋＋2＝296， |BC |＝＋2＋＋2＝296，∴|AC |＝|BC |≠|AB |，∴△ABC 为等腰三角形. 【答案】 B2.已知点A (－1,3)，B (3,1)，点C 在坐标轴上，∠ACB ＝90°，则满足条件的点C 的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】 若点C 在x 轴上， 设C (x,0)，由∠ACB ＝90°， 得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，即[3－(－1)]2＋(1－3)2＝(x ＋1)2＋32＋(x －3)2＋12，解得x ＝0或x ＝2. 若点C 在y 轴上，设C (0，y )，同理可求得y ＝0或y ＝4， 综上，满足条件的点C 有3个.故选C. 【答案】 C3.已知点A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，则当|AB |取得最小值时，实数a 等于________.【解析】 |AB |2＝(5－a －1)2＋(2a －1－a ＋4)2＝2a 2－2a ＋25＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋492，所以当a ＝12时， |AB |取得最小值.【答案】 124.求函数y ＝x 2＋4＋x 2－2x ＋2的最小值. 【解】 原函数化为y ＝x －2＋－2＋x －2＋＋2，设A (0,2)，B (1，－1)，P (x,0)，借助于几何图形可知它表示x 轴上的点P 到两个定点A 、B 的距离的和，当A 、P 、B 三点共线时，函数取得最小值.∴y min ＝|AB |＝10.。
2019-2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.3空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离课件苏教版必修2
“×”)
(1)在空间直角坐标系中，点P(2，－4,6)关于A(1, 2, －1)
轴对称点P′的坐标为(0,8，－8)．
(√ )
(2)到坐标平面yOz距离等于1的点所在平面的方程为x＝1.
(× )
2．若A(1,3，－2)，B(－2,3,2)，则A，B两点间的距离为 ________． 答案：5
3．点P(x，y，z)满足 x－12＋y－12＋z＋12＝2，则点P的 集合为________． 答案：以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面
2．3.2 空间两点间的距离
预习课本 P120～122，思考并完成以下问题 1．空间两点之间的距离公式是什么？
2．空间中线段的中点坐标是什么？
[新知初探]
1．空间两点间的距离
(1)空间中两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离 为P1P2＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12 .
[活学活用] 空间直角坐标系中A(－2,6,1)，B(2, －4, －3)，动点P到A，B 两点距离相等，求P点的坐标(x，y，z)所满足的关系式．指出 满足条件的所有的点P构成的图形． 解：由题意得PA＝PB，所以
x＋22＋y－62＋z－12＝ x－22＋y＋42＋z＋32 整理得2x－5y－2z＋3＝0，满足条件的所有的点P构成的图形为 线段AB的中垂面．
平面向空间的推广 (1)平面直角坐标系中方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)表示 的图形为圆心为(a，b)，半径为r的圆，推广到空间直角坐标 系中方程(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2(r>0)表示的图形是球心 为(a，b，c)，半径为r的球面，特别地方程x2＋y2＋z2＝r2(r>0) 表示以原点为球心，r为半径的球面． (2)平面直角坐标系中方程Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为 0)，表示一条直线；推广到空间直角坐标系中方程ax＋by＋cz ＋d＝0(a，b，c不同时为0)表示一个平面．
2018-2019学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.3 空间直角坐标系 2.3.1 空间直
①关于 x 轴(横轴)对称的点的坐标是 P′(x，－y，－z)． ②关于 y 轴(纵轴)对称的点的坐标是 P′(－x，y，－z)． ③关于 z 轴(竖轴)对称的点的坐标是 P′(－x，－y，z)． ④关于 xOy 坐标平面对称的点的坐标是 P′(x，y，－z)． ⑤关于 yOz 坐标平面对称的点的坐标是 P′(－x，y，z)． ⑥关于 xOz 坐标平面对称的点的坐标是 P′(x，－y，z)．
方法归纳 空间直角坐标系中点的对称问题要类比平面直角坐标系中点 的对称问题思考解决． (1)点 P 关于定点 G 对称点 P′的坐标，即可视 G 为线段 PP′ 的中点求解，特别地，点 P(x0，y0，z0)关于原点 O 的对称点 P′(－x0，－y0，－z0)． (2)点 P 关于坐标轴或坐标平面对称点 P′的坐标，一般遵循 “关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标的符号相反”的口 诀．特别地，在空间直角坐标系中，任一点 P(x，y，z)的几种 特殊对称点的坐标如下：
学法 指导
通过建立空间直角坐标系，推导出空间两点间的 距离公式，通过对公式的应用，体会其与平面内 两点间距离求法的异同.
1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系的概念 从空间某一个定点O引三条___互__相__垂__直_____且有相同单位长 度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O－xyz，点O_坐__标__轴______， 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为 ___x_O_y_平__面______、__y_O__z平__面_______和___z_O_x_平__面______
确定空间任一点的坐标 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1， BD，BB1的中点，且正方体棱长为1，请建立适当的直角坐 标系，写出正方体各顶点及E、F、G的坐标． (链接教材P119例2)
高中数学第二章平面解析几何初步24空间直角坐标系241空间直角坐标系242空间两点的距离公式课件新
高中数学第二章平面解析几何初步24空间直角
18
坐标系241空间直角坐标系242空间两点的距离
以正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 AB，AD，
AA1 所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长
为一个单位长度，则棱 CC1 的中点坐标为( )
A．12，1，1
B．1，12，1
C．1，1，12
A．(1,0,0)
B．(1,0,1)
C．(1,1,1) 答案：C
D．(1,1,0)
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步24空间直角
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坐标系241空间直角坐标系242空间两点的距离
2．已知点 A(－3,1,5)与 B(4,3,1)，则 AB 的中点坐标是( )
A．72，1，－2 C．(－12,3,5)
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步24空间直角
8
坐标系241空间直角坐标系242空间两点的距离
2．空间两点的距离公式
空间两点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是 d(A， B)＝|AB|＝____x_2－__x_1_2_＋___y_2－__y_1_2_＋___z_2－__z_1_2___.
B．12，2，3 D．13，43，2
答案：B
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步24空间直角
11
坐标系241空间直角坐标系242空间两点的距离
3．点 P(2,3,1)，Q(1,2，－3)，则|PQ|＝________. 解析：|PQ|＝ 2－12＋3－22＋1＋32＝3 2. 答案：3 2
D．12，12，1
答案：C
2021/4/17
第二章 2.4.2 空间两点的距离公式
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规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
基础知识梳理
课堂互动讲练
第 二 章 平 面 解 析 几 何 初 步
(3)因为点 P 在 xOy 平面内，所以设 点 P(x，y,0)，由题意，得 (x－3)2＋(y－2)2＋52 ＝ (x－3)2＋(y－5)2＋12， 1 化简，得 y＝－ . 2 因为点 P 既在 xOy 平面内又在过线 段 AB 的中点且与直线 AB 垂直的平面 内，所以点 P 的轨迹是两个平面的交线， 1 即 xOy 面内的直线 y＝－ . 2
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第 二 章 平 面 解 析 几 何 初 步
(2)由题意，得 (x－2)2＋(y－3)2＋z2 ＝ (x－5)2＋(y－1)2＋z2， 整理得 6x－4y－13＝0， 所以这样的点(x，y，z)满足的条件 是 6x－4y－13＝0. 这样的点的集合是过线段 AB 的中 点且与直线 AB 垂直的平面．
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第 二 章 平 面 解 析 几 何 初 步
(2)设 E(x，y,0)．在 Rt△ADC 中， |AD|＝3，|CD|＝4，|AC|＝5， 12 ∴|DE|＝ ， 5 在 Rt△ADE 中，|DE|2＝x· |AD|， 144 25 48 ∴x＝ ＝ . 3 25
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第 二 章 平 面 解 析 几 何 初 步
【解】 由已知可设 M(x,1－x,0)， 则|MN|＝ (x－6)2＋(1－x－5)2＋(0－1)2 ＝ 2(x－1)2＋51.所以当 x＝1 时，|MN|min ＝ 51.所以 xOy 平面内的直线 x＋y＝1 上到点 N 的距离最小的点为 M(1,0,0)．
课件1：2.4.2 空间两点的距离公式
面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，
若CM＝BN＝a(0<a< )，求a为何值时，MN的长最小．
分析：该题的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该
说是既简单又易行的方法，方法的对照比较，也更体现出了
坐标法解题的优越性．
＝
.
点评：求几何体中线段的长度的步骤：(1)利用几何体中的
线面关系、对称关系等建立适当的坐标系；(2)表示出几何
体中各点的坐标；(3)利用距离公式求线段的长度．
跟 踪 训 练
1．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，
则△ABC的形状是(
A．等腰三角形
练习1：点M(4，－3,5)到坐标原点O(0,0,0)的距离为
+ (−) + =
___________________．
练习2：如果|OP|是定长r，那么x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？
答案：表示球心为O，球半径为r的球．
基 础 梳 理
2．在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距
课堂小结
归 纳 总 结
空间中两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，
常应用在四个方面：一是根据坐标求距离，二是根据距离
求点的坐标，三是利用边长判断三角形的形状，四是求空
间中点的轨迹方程．目的都是考查空间中两点间距离公式，
解答时可类比平面上解决类似问题的方法．在求轨迹方程
时，注意理解方程表示的图形．
∵|BC|2＋|AC|2＝|AB|2，
∴△ABC为直角三角形．
答案：C
高中数学第二章解析几何初步2.3.3空间两点间的距离公式课件北师大版必修2
距离公式的综合应用
(2015·黄冈高二检测)如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系 O－xyz.
2
|PB1|＝ 2－12＋2－12＋1－12＝ 2 ，
|AB1|＝ 1－12＋0－12＋0－12＝ 2，
∴|AP|2＋|PB1|2＝|AB1|2，
∴AP⊥PB1.
◎已知空间中两点 A(－3，－1,1)、B(－2,2,3)，在 z 轴上有一点 C，它到 A、 B 两点的距离相等，求点 C 的坐标．
51 【错解】 由已知得，AB 的中点坐标为－2，2，2，且 AB 所在直线方程的
点间的距离公式求解．
【 正 解 】 设 C 点 的 坐 标 为 (0,0 ， z) ， 则 32＋12＋z－12 ＝
3 22＋－22＋z－32，即 10＋(z－1)2＝8＋(z－3)2，解得 z＝2，所以点 C 的坐标
3
为0，0，2.
7
(2)由中点坐标公式得，A、C 的中点坐标为2，3，2.
∴AC 边上中线的长度为
7 1 2－22＋3－32＋4－22＝2.
利用距离公式求点的坐标
等；
(1)在 z 轴上求一点使得它到点 A(4,5,6)与到点 B(－5,0,10)的距离相
(2)已知点 P 到坐标原点的距离等于 2 3，且它的 x 坐标、y 坐标、z 坐标均相 等，求该点的坐标．
3．已知 A(1,1,1)，B(3,3,3)，点 P 在 y 轴上且|PA|＝|PB|，则 P 点坐标为________． 解析： 设 P(0，y,0)， ∵|PA|＝|PB|， ∴ 1＋1－y2＋1＝ 32＋3－y2＋32， ∴y＝6. ∴P 点坐标为(0,6,0)． 答案： (0,6,0)
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2平面直角坐标系中的基本公式学案新人教B版必修2
2．1.2 平面直角坐标系中的基本公式学习目标 1.理解两点间的距离的概念，掌握两点间的距离公式，并会求两点间的距离.2.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题．知识点一两点的距离公式已知平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．思考1 当x1≠x2，y1＝y2时，d(A，B)＝？思考2 当x1＝x2，y1≠y2时，d(A，B)＝？思考3 当x1≠x2，y1≠y2时，d(A，B)＝？请简单说明理由．梳理两点间的距离公式A(x1，y1)，B(x2，y2)两点之间的距离公式d(A，B)＝|AB|＝________________；当AB垂直于y轴时，d(A，B)＝________；当AB垂直于x轴时，d(A，B)＝________；当B为原点时，d(A，B)＝________.知识点二中点坐标公式已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝________，y＝________类型一两点间的距离公式例1 (1)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，则△ABC的周长为( )A．4 2 B．8 2 C．12 2 D．16 2(2)若A (－5,6)，B (a ，－2)两点的距离为10，则a ＝____________.反思与感悟 两点间的距离公式应用的两种形式(1)在求到某点的距离满足某些条件的点P (x ，y )的坐标时，需要根据已知条件列出关于x ，y 的方程或方程组，解之即可．(2)利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状，从三边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理判断是直角三角形．还可以根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线．跟踪训练1 已知点A (－3,4)，点B (2，3)，试在x 轴上找一点P ，使得d (P ，A )＝d (P ，B )，并求出d (P ，A )．类型二 中点公式及应用例2 已知平行四边形ABCD 的两个顶点坐标分别为A (4,2)，B (5,7)，对角线交点为E (－3,4)，求另外两顶点C 、D 的坐标．反思与感悟 中点公式应用的步骤(1)认真审题，提炼题设中的条件．(2)将条件转化为与中点有关的问题．(3)利用中点公式求解．(4)转化为题目要求的结果．特别提醒：利用中点坐标公式可求得以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)为顶点的△ABC 的重心坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．跟踪训练2 (1)已知三点A (x,5)，B (－2，y )，C (1,1)，且点C 是线段AB 的中点，求x ，y 的值；(2)求点M (4,3)关于点N (5，－3)的对称点．类型三坐标法的应用例3 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．反思与感悟用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何无素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果翻译成几何结论．跟踪训练3 证明：直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等．1．已知A(－3,5)，B(2,15)，则d(A，B)等于( )A．5 2 B．513C．517 D．5 52．已知两点A(a，b)，B(c，d)，且a2＋b2－c2＋d2＝0，则( )A．原点一定是线段AB的中点B．A、B一定都与原点重合C．原点一定在线段AB上但不是中点D．以上结论都不正确3．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．无法确定4．已知A(a,6)，B(－2，b)，点P(2,3)平分线段AB，则a＋b＝________.5．已知平面内平行四边形的三个顶点A(－2,1)、B(－1,3)、C(3，4)，求第四个顶点D的坐标．1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明．用坐标法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．答案精析问题导学知识点一思考1 d(A，B)＝|x2－x1|.思考2 d(A，B)＝|y2－y1|.思考3 如图，在Rt△ABC中，|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以|AB|＝x2－x12＋y2－y12.即两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的距离为|AB|＝x2－x12＋y2－y12.梳理x2－x12＋y2－y12|x2－x1| |y2－y1| x21＋y21知识点二x1＋x22y1＋y22题型探究例1 (1)C (2)1或－11解析(1)∵A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，∴|AB|＝－3－2＋－2＝50＝52，|BC|＝[0－－2＋－2＝18＝32，|AC|＝－42＋－2＝32＝4 2.∴△ABC的周长为|AB|＋|BC|＋|AC|＝52＋32＋42＝12 2.(2)∵|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝－5－a2＋＋2＝10，∴a＝1或－11.跟踪训练1 解设P(x,0)，由题意得d (P，A)＝x＋2＋－2＝x2＋6x＋25，d (P，B)＝x－2＋－32＝x 2－4x ＋7.由d (P ，A )＝d (P ，B )， 即x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7，化简得x ＝－95， 故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0， d (P ，A )＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋952＋42＝21095. 例2 解 设C 点坐标为(x 1，y 1)，则由E 为AC 的中点，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝4＋x 12，4＝2＋y 12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－10，y 1＝6. 设D 点坐标为(x 2，y 2)，则由E 为BD 的中点，得⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝5＋x 22，4＝7＋y 22，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－11，y 2＝1，故C 点坐标为(－10,6)，D 点坐标为(－11,1)．跟踪训练2 解 (1)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ x －22＝1，5＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－3.(2)设所求点的坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋42＝5，y ＋32＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－9， 故所求对称点的坐标为(6，－9)．例3 证明 如图所示，以顶点A 为坐标原点，AB 边所在直线为x 轴，建立直角坐标系，有A (0,0)．设B (a,0)，D (b ，c )，由平行四边形的性质，得点C 的坐标为(a ＋b ，c )．因为|AB |2＝a 2，|CD |2＝a 2，|AD |2＝b 2＋c 2，|BC |2＝b 2＋c 2，|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2，|BD |2＝(b －a )2＋c 2，所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AC |2＋|BD |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)， 所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝|AC |2＋|BD |2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．跟踪训练3 证明 如图所示，以直角三角形的直角顶点C 为坐标原点，一直角边CA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则C (0,0)．设A (a,0)，B (0，b )，则斜边中点M 的坐标为(a 2，b 2)． 因为|OM |＝a 24＋b 24＝12a 2＋b 2， |BM |＝a 24＋b 2－b 2 ＝12a 2＋b 2， |MA |＝a －a 22＋b 24 ＝12a 2＋b 2， 所以|OM |＝|BM |＝|MA |.即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．当堂训练1．D 2.D 3.B 4．6解析 由中点公式得2＝a －22，3＝b ＋62，∴a ＝6，b ＝0.∴a ＋b ＝6.5．解 分以下三种情况(如图所示)．(1)以AC 为对角线构成▱ABCD 1.设D 1(x 1，y 1)，AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，其也为BD 1的中点坐标，∴12＝－1＋x12，52＝3＋y12，∴x1＝2，y1＝2，即D1(2,2)．(2)以BC为对角线构成▱ACD2B，同理得D2(4,6)．(3)以AB为对角线构成▱ACBD3，同理得D3(－6,0)．。
2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.3空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离课件苏教版必修2
直角坐标系．
因为正方体棱长为a，
所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，
a，a)，D′(0,0，a)．
由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，
所以Ma2，a2，a2，O′a2，a2，a. 因为A′N＝3NC′，所以N为A′C′的四等分点，从而N为
O′C′的中点，故Na4，34a，a，根据空间两点距离公式，可
得MN＝
a2－a42＋a2－34a2＋a2－a2＝
6 4 a.
利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：
[活学活用] 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝ 3，BC＝2，AA1＝2，以D为原点，建立如图所 示空间直角坐标系，求对角线B1D的长． 解：由图可知D(0,0,0)，B(2,3,0)， ∵BB1＝2，∴B1(2,3,2)， 由空间两点间的距离公式得 B1D＝ 22＋32＋22＝ 17. ∴对角线B1D的长为 17.
当x＝87时，AB有最小值 57＝ 735，
此时A87，277，97，B1，272，67.
解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间 两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结合已知条件 确定点的坐标．
[活学活用] 1．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M
4．已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则△ABC的形状为 ________三角形． 答案：直角
空间中两点间距离的计算 [典例] 如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且A′N＝3NC′，试 求MN的长．
[解] 以D为原点，建立如图所示的空间
“×”)
(1)在空间直角坐标系中，点P(2，－4,6)关于A(1, 2, －1)
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空间两点间距离
（答题时间：40分钟）
1. （南京检测）在空间直角坐标系中，点P（2，－4，6）关于y轴对称的点P′的坐标为____________。
2. 点P在x轴上，它到点P1（03）的距离是到点P2（0，1，－1）的距离的2倍，则点P的坐标是________。
3. 已知△ABC顶点坐标分别为A（－1，2，3）、B（2，－2，3）、C（1
2
，
5
2
，3），则△ABC
为________三角形。
4. （福建八县联考）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，1，2）、B（4，－2，－2）、C（0，5，1），则BC边上的中线长________。
5. 已知平行四边形ABCD，且A（4，1，3）、B（2，－5，1）、C（3，7，－5），则顶点D 的坐标为__________。
**6. 已知点A（2，m，m），B（1－m，1－m，m），则AB的最小值为________。
**7.（1）在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD
上，且CG＝1
4
CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标。
（2）（辽宁实验中学检测）在空间直角坐标系中，在z轴上求一点C，使得点C到点A （1，0，2）与点B（1，1，1）的距离相等。
*8.（1）在空间直角坐标系中画出下列各点（不写画法，保留作图痕迹）：A（0，1，1），B（1，0，2），C（1，2，3）；
（2）已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出PB中点的坐标。
***9. 长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点。
建立如图所示空间直角坐标系。
（1）写出点D、N、M的坐标；
（2）求线段MD、MN的长度；
（3）设点P是线段DN上的动点，求MP的最小值。
1. （－2，－4，－6）
解析：点P （2，－4，6）关于y 轴对称的点P ′的坐标为（－2，－4，－6）。
2. （1，0，0）或（－1，0，0）
解析：因为点P 在x 轴上，设P （x ，0，0），则PP 1=
PP 2=
∵PP 1＝2PP 2，
，解得x ＝±1。
∴所求点的坐标为（1，0，0）或（－1，0，0）。
3. 直角
解析：∵AB ＝5，BC ＝
2，AC ＝2， ∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形。
解析：∵B （4，－2，－2），C （0，5，1）， ∴BC 的中点为（2，32，－12
）
∴BC 2
= 5. （5，13，－3）
解析：由平行四边形对角线互相平分的性质知，AC 的中点即为BD 的中点，AC 的中点M （72，4，－1）。
设D （x ，y ，z ），则72＝22x +，4＝52y -+，－1＝12
z +，∴x ＝5，y ＝13，z ＝－3，∴D （5，13，－3）。
解析：
因为AB ＝＝＝
m ＝15时，AB 取得最小值5。
7. 解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系。
点E 在z 轴上，它的横坐标x 、纵坐标y 均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为（0，0，12
）。
由F作FM⊥AD、FN⊥DC，由平面几何知FM＝1
2
，FN＝
1
2
，故F点坐标为（
1
2
，
1
2
，0）。
点G在y轴上，其x，z坐标均为0，又GD＝3
4
，故G点坐标为（0，
3
4
，0），由H作
HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，故K为CG的中点，即H的坐标为（0，7
8
，
1
2
）；
（2）设点C的坐标为（0，0，z），由题意可知AC＝BC，
即
解得z＝1。
所以点C的坐标为（0，0，1）。
8. 解：（1）如图所示，
（2）因为正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
可求得正四棱锥的高为
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC、AB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如题图所示的空间直角坐标系，则点B、P的坐标分别为B（2，2，0），
P（0，0，。
故PB的中点坐标为（1，1。
9. 解：（1）D（0，0，0），N（2，1，0），M（1，2，3）；
（2）MD
MN；
（3）在xOy平面上，设点P的坐标为（2y，y，0），则
MP
∵y∈[0，1]，0＜4
5
＜1，
∴当y＝4
5
时，MP。
故MP。