2017年1月15日数学考试试卷
2017年1月内蒙古自治区普通高中学业水平考试数学试题
绝密★启用前 2017年1月内蒙古自治区普通高中学业水平考试数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．设集合{}4,5,6,8A =，{}3,5,7,8B =，则A B =I （ ） A ．{}5,8 B ．{}8 C ．{}4 D ．{}4,5,7,8 2．复数2i -的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．-i 3．已知α为第二象限角，且3sin 5α=，则tan α=（ ） A ．34 B ．43- C ．34- D ．43 4．函数()2()log 6f x x =-的定义域是( ) A ．{}6x x > B ．{}|36x x -<< C ．{}3x x >- D ．{}|36x x -<≤5．设0.80.8a =， 1.50.8b =，0.81.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．b c a << 6．已知||6a =r ，||4=r b ，a r 与b r 的夹角为60°，则(2)a a b ⋅+=r r r （ ） A ．60 B ．50 C ．12 D ．30 7．椭圆22816128x y +=的离心率为（ ） A ．2 B ．34 C ．12 D ．2○…………外…………○…………装……订…………○……※※请※※不※※要※※在※※答※※题※※ ○…………内…………○…………装……订…………○……A ．sin 2y x = B ．x y e = C ．y =D ．11x y x +=- 9．在等比数列{}()*n a n N ∈中，若54a =，76a =，则9a =（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 10．若直线1:310l ax y ++=与()2:2110l x a y +++=互相平行，则a 的值是（ ） A ．3- B ．2 C ．3-或2 D ．3或2- 11．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体为（ ）A ．圆柱B ．圆锥C ．圆台D ．球 12．为了得到函数sin(2)6y x π=+的图象,只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动6π个单位长度 B ．向右平行移动6π个单位长度C ．向左平行移动12π个单位长度D ．向右平行移动12π个单位长度13．阅读如下的程序框图，若输入2x =，则输出的y 的值为（ ）A ．3B ．1C ．5D ．-3 14．若一个正方体的棱长为2，则过正方体各个顶点的球的表面积为（ ） A ．11π B ．9π C ．8π D ．12π 15．已知向量(1,2)a =r ，(,2)b x =-r ，且()a a b ⊥-r r r ，则实数x 等于（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．11 16．现有3本不同的数学书，2本不同的语文书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率为（ ）A ．29B ．112C ．13D ．310 17．已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+的最小正周期为（ ） A ．2π B ．2π C ．π D ．4π 18．已知函数f(x)＝(14)x －cosx ，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 19．斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为（ ） A ．6 B ．4 C ．2 D ．8 20．已知函数24()x x a f x x ++=，若对于任意[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，则实数的取值范围为（ ） A ．[5,)+∞ B ．(5,)-+∞ C ．(5,5)- D ．[5,5]- 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 21．已知命题p ：x R ∀∈，2x x ≠，则p ⌝______. 22．设变量满足约束条件1{40340x x y x y ≥+-≤-+≤，则目标函数3z x y =-的最大值……外…………○…………装※※请※※不※※要……内…………○…………装为 . 23．已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +⎧=⎨-<⎩…，则((3))f f -=_______. 24．已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为____________________. 25．已知圆C 经过原点O 和点(1,5)A --，圆心在直线210x y +-=上，则圆心C 到弦AO 的距离为_______. 三、解答题26．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin cC =.（1）求角A 的大小；（2）若6a =，9b c +=，求ABC V 的面积.27．已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 28．如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PAC V 为等边三角形，AB BC ⊥，且AB BC ==E ，F 分别为AC ，PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BEF ；（2）求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（3）求三棱锥P ABC -的体积.29．设函数321()32a f x x x bx c =-++，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =. （1）求b ，c 的值； （2）若2a =，求函数()f x 的极值； （3）设函数()()2g x f x x =+，且()g x 在区间(2,1)--内为单调递减函数，求实数a 的取值范围.参考答案1．A【解析】【分析】利用集合中并集运算即可求出答案.【详解】解：由集合{}4,5,6,8A =，{}3,5,7,8B =可知{}58A B =I ，. 故选：A.【点睛】本题考查集合中并集运算，属于基础题.2．C【解析】试题分析：复数2i -的虚部为－1，故选C ．考点：复数的概念．3．C【解析】【分析】 由条件3sin 5α=和α为第二象限角确定cos α值，即可求出tan α. 【详解】 解：由3sin 5α=可得4cos 5α=±， 又α为第二象限角，所以4cos 5α=-. 所以sin 3tan cos 4ααα==-. 故选：B.【点睛】 本题考查象限角的正切值求法，属于基础题.4．D【解析】试题分析：由30{60x x +≥-＞解得定义域为{}|36x x -≤<．考点：求定义域．5．C【解析】【分析】利用指数函数的单调性，可判断三个式子的大小.【详解】解：函数0.8xy =为减函数，故0.81.500.8.81<<，函数 1.5x y =为增函数，故0.81.51>，所以 1.0.805.81.50.810.8>>>，即b a c <<故选：C.【点睛】本题考查指数函数的单调性，属于基础题.6．A【解析】【分析】 根据向量的数量积运算公式及数量级公式求(2)a a b ⋅+r r r 的值.【详解】解：因为||6a =r ，||4=r b 且a r 与b r 的夹角为60°， 所以22(2)22cos 6060a a b a a b a a b ⋅+=+⋅=+⋅=o r r r r r r r r r .故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积运算，属于基础题.7．D【解析】【分析】把22816128x y +=整理成标准方程，求出,,a b c ，即可求出离心率.【详解】 解：由22816128x y +=整理得221168x y +=，可知4,a b c ===所以c e a ==. 故选：D.【点睛】本题考查由椭圆方程求离心率，属于基础题.8．A【解析】【分析】直接利用基本函数的奇偶性判断选项即可.【详解】解：对于A ，满足()()f x f x -=-，函数是奇函数；对于B ，既不满足()()f x f x -=，也不满足()()f x f x -=-，函数非奇非偶； 对于C ，函数定义域是[)0,+∞，定义域不关于原点对称，函数非奇非偶； 对于D ，函数定义域1x ≠，定义域不关于原点对称，函数非奇非偶.故选：A.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性定义是解决本题的关键. 9．C【解析】【分析】由题意求出2q ，进而计算9a 的值.【详解】解：根据题意得：27532a q a ==， 所以2973692a a q =⋅=⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查等比数列公式的运用，属于基础题.10．A【解析】【分析】根据两条直线平行的条件列式，由此求解出a 的值.【详解】 由于两条直线的平行，故31211a a =≠+，解得3a =-，故选A. 【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，属于基础题. 11．A【解析】【分析】由三视图判断即可.【详解】解：根据题中三视图可知该几何体是圆柱.故选：A.【点睛】本题考查由几何体三视图判断几何体形状，属于基础题. 12．C【解析】 根据左加右减的原则，为了得到函数sin 212y x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象,只需把函数sin2y x =的图象上所有的点向左平行移动12π个单位长度. 故答案为：C 。
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I）理科数学及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I）理科数学及答案绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则A．B．C．D．2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．B．C．D．3．设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则.其中的真命题为A．B．C．D．4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1B．2C．4D．85．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是A．B．C．D．6．展开式中的系数为A．15B．20C．30D．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10B．12C．14D．168．右面程序框图是为了求出满足3n?2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1000和n=n+1B．A>1000和n=n+2C．A1000和n=n+1D．A1000和n=n+29．已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16B．14C．12D．1011．设xyz为正数，且，则A．2x<3y <5zB．5z<2x<3yC．3y<5z<2xD．3y<2x<5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数N：N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A．440B．330C．22 0D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案详细解析
2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案详细解析2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题（本题共有15小题，每小题4分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合M={0,2,4}。
N={1,2,3}。
P={0,3}，则(M∪N)∩P=（）A.{0,1,2,3,4}B.{0,3}C.{0,4}D.{0}2.函数y=XXX(x+1)的定义域是（）A.(−∞,+∞)B.(0,+∞)C.(−1,+∞)D.[−1,+∞)3.设i为虚数单位，则复数i−1=（）A.1+iB.1−iC.−1+iD.−1−i4.命题甲：球的半径为1cm；命题乙：球的体积为πcm³，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知直线l过点A(1,2)，且与直线y=4/3x+1垂直，则直线l的方程是（）A.y=2xB.y=−2x+4C.y=x+1D.y=x−16.顶点在原点，准线为x=−2的抛物线的标准方程是（）A.y²=8xB.y²=−8xC.x²=8yD.x²=−8y7.已知三点A(−3,3)，B(0,1)，C(1,0)，则AB+BC=（）A.5B.4C.13+2D.13−28.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边过点P(5,−2)，下列等式不正确的是（）A.sinα=−1/5B.sin(α+π)=C.cosα=D.tanα=−3/39.下列等式恒成立的是（）A.(x≠0)log3(x²+1)+log3(2)=log3(x²+3)B.3x(3x²+1)=(3x)²+1C.x/(x²+1)+x/(x²+4)=2x/(x²+2)D.x²/(x²+1)+4x²/(4x²+1)=5(x²+1)/(x²+1)(4x²+1)10.已知数列{an}满足a1=−x/x³=1，且an+1−an=2，其中x≤3，则{an}的前n项之和Sn=（）A.n+1B.n²C.2−1D.211.已知实数x,y,z满足y≤x，则z=2x+y的最大值为（）A.3B.5C.9D.1012.已知点A(−1,8)和B(5,2)，则以线段AB为直径的圆的标准方程是（）A.(x+2)²+(y+5)²=32B.(x+2)+(y+5)=181.(x-2)^2 + (y-5)^2 = 322.(x-2) + (y-5) = 183.A。
新人教版三年级数学下册四单元考试卷及答案(八套)
新人教版三年级数学下册四单元考试卷及答案说明：本套试卷精心编写了各考点和重要知识点，测试面广，难易兼备，仅供参考。
全套试卷共八卷。
目录：新人教版三年级数学下册四单元考试卷及答案（一）新人教版三年级数学下册四单元考试及答案（二）新人教版三年级数学下册四单元考试题及答案（三）新人教版三年级数学下册四单元试卷及参考答案（四）新人教版三年级数学下册四单元试卷及参考答案（五）新人教版三年级数学下册四单元试卷及参考答案（六）新人教版三年级数学下册四单元试卷及参考答案（七）新人教版三年级数学下册四单元试卷及参考答案（八）新人教版三年级数学下册四单元考试卷及答案一班级：姓名：满分：100分考试时间：90分钟一、填空题。
（20分）1、小东用3根30厘米长的短绳接成一根长绳，连接处用去5厘米，这根长绳一共长________厘米。
2、_____个12是300，_____是36的12倍．3、姐姐比小明大5岁，10年后姐姐比小明大_____岁。
4、丽丽从一楼走到五楼用了12秒，照这样她从一楼走到七楼用（_____）秒。
5、在( )里填上合适的数.4米=（_____）分米80毫米=（_____）厘米3吨=（______）千克240秒=（_____）分5000米=（_____）千米100厘米=（____）米6、两个数的差是364,如果被减数减少100,减数不变,这时差是（____）．7、一辆卡车一次可以运走58袋水泥，估一估，这辆卡车9次大约能运走（_____）袋水泥。
8、游戏中，老师给9名同学分小红旗，一人5只，得准备________只小红旗。
9、把35块饼平均分给7个小朋友，每个小朋友分得35块饼的________，就是________块。
10、□59÷6，如果商是三位数，□里最小填（______）；如果商是两位数，□里最大填（______）。
二、选择题（把正确答案前面的序号填在（）里）（10分）1、小凯有贴画120张，是小康的2倍，小康有贴画()张。
[正式]2017年1月广东省学业水平考试数学试题
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[正式]2017年1月广东省学业水平考试数学试题234522(3)3x x =C.22333log (1)log 2log (3)xx ++=+ D.31log 3x x =-10.已知数列{}na 满足11a =,且12n n a a +-=,则{}n a 的前n 项之和n S =（ ） A. 21n + B.2n C. 21n -D.12n -11.已知实数x, y, z 满足32x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则z =2x +y 的最大值为（ ）A. 3B. 5C. 9D. 1012.已知点A(-1, 8)和B(5, 2),则以线段AB 为直径的圆的标准方程是（ ）A.22(2)(5)32x y +++= B. 22(2)(5)18x y +++= C.22(2)(5)32x y -+-= D.22(2)(5)18x y -+-= 13.下列不等式一定成立的是（ ）A.12x x +≥ (0x ≠)B. 22111x x +≥+ (x R ∈)C. 212x x+≤ (x R ∈) D.2560x x ++≥(x R ∈)614.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当(,0]x ∈-∞时,2()sin f x x x=-,则当[0,)x ∈+∞时,()f x =（ ）A.2sin x x+ B. 2sin x x-- C. 2sin x x- D.2sin x x-+15.已知样本12345,,,,x x x x x 的平均数为4, 方差为3, 则123456,6,6,6,6x x x x x +++++的平均数和方差分别为（ ）A. 4和3B. 4和9C. 10和3D. 10和9二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分．）16.已知x >0, 且5,,153x 成等比数列,则x= 17. 函数()sin cos(1)sin(1)cos f x x x x x =+++的最小正周期是18.从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是19.中心在坐标原点的椭圆，其离心率为12，两个焦点F 1 和F 2在x 轴上，P 为该椭圆上的任意一点,若| PF 1 |+|PF 2|=4，则椭圆的标准方程是7三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分．）20.ABC ∆的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知cos cos a bA B=(1)证明: ABC∆为等腰三角形;(2)若a =2, c=3,求sin C 的值.821.如图,在四棱锥P -ABCD 中,PA AB⊥,PA AD ⊥,AC CD ⊥,60oABC ∠=, PA=AB=BC =2. E 是PC 的中点. (1)证明:PA CD⊥;(2)求三棱锥P -ABC 的体积; (3) 证明:AE PCD⊥平面PBCDAE2017年广东省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案一、选择题1.B【解析】M∪N={0,1,2,3,4},(M∪N)∩P={0,3}.2.C【解析】对数函数要求真数大于0, ∴x+1>0即x>-1.3.D【解析】===-i-1=-1-i,其中i2=-1.4.C【解析】充分性:若r=1cm,由V=πr3可得体积为πcm3,同样利用此公式可证必要性.5.B【解析】垂直:斜率互为倒数的相反数(k1k2=-1),所以直线l的斜率为k=-2,根据点斜式方程y-y0=k(x-x0)可得y-2=-2(x-1),整理得y=-2x+4.96.A【解析】准线方程为x=-2可知焦点在x 轴上,且-=-2,∴p=4.由y2=2px得y2=8x.7.A【解析】=(3,-2),=(1,-1),+=(4,-3),∴|+|==5.8.D【解析】r===3,sin α=,cos α=,tan α=∴A,B,C正确,D错误,tan α===-.9.D【解析】 A.=(x≠0)B.(3x)2=32xC.log3(x2+1)+log32=log32(x2+1).10.B【解析】{a n}为公差为2的等差数列,10由S n=na1+d=n+·2=n2.11.C【解析】如图,画出可行域当y=-2x+z移动到A点时与y轴的截距z取得最大值,∵A(3,3),所以z=2x+y的最大值为9.12.D【解析】圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2圆心:C(,)=(2,5)半径r===3所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-5)2=18.13.B【解析】A选项:错在x可以小于0; B选项:x2+≥2=2=2≥1,其中≤1;C选项:x2-2x+1≥0,∴x2+1≥2x;D选项:设y=x2+5x+6可知二次函数与x轴有两个交点,其值可以小于0.14.A【解析】x∈[0,+∞)时,-x∈(-∞,0],由偶函数性质f(x)=f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sin x.15.C【解析】平均数加6,方差不变.二、填空题16.5【解析】,x,15成等比数列,∴x2=×15=25,又∵x>0,∴x=5.17.π【解析】f(x)=sin x cos(x+1)+cos x sin(x+1)=sin[x+(x+1)]=sin(2 x+1)最小正周期T===π.18.【解析】建议文科生通过画树形图的办法解此题.选取十位数: 1 2 3 4选取个位数:2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3结果:12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43总共:3×4=12种,满足条件的有3种,所以概率为=.19.+=1【解析】根据焦点在x轴上可以设椭圆标准方程为+=1(a>b>0)离心率:e==长轴长:2a=|PF1|+|PF2|=4∴a=2,c=1,b===∴椭圆标准方程为+=1.三、解答题20.(1)证明:∵=,=∴=,即tan A=tan B,又∵A,B∈(0,π),∴A=B∴△ABC为等腰三角形.(2)解:由(1)知A=B,所以a=b=2根据余弦定理:c2=a2+b2-2ab cos C9=4+4-8cos C,∴cos C=∵C∈(0,π),∴sin C>0∴sin C==.21.(1)证明:∵PA⊥AB,PA⊥AD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,AB∩AD=A∴PA⊥平面ABCD,又∵CD⊂平面ABCD∴AP⊥CD.(2)解:由(1)AP⊥平面ABC∴V=S△ABC·APP-ABC=×AB·BC·sin∠ABC·AP=××2×2×sin60°×2=.(3)证明:∵CD⊥AP,CD⊥AC,AP⊂平面APC,AC⊂平面APC,AP∩AC=A∴CD⊥平面APC,又∵AE⊂平面APC∴CD⊥AE由AB=BC=2且∠ABC=60°得△ABC为等边三角形,且AC=2又∵AP=2且E为PC的中点,∴AE⊥PC又∵AE⊥CD,PC⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,PC∩CD=C∴AE⊥平面PCD.。
2024-2025学年七年级数学上学期第三次月考卷(北师大2024版,七上第1~4章)(考试版A4)
2024-2025学年七年级数学上学期第三次月考卷（北师大2024版）（考试时间：90分钟试卷满分：100分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大，第一章丰富的图形世界10%+第二章有理数及其运算15%+第三章整式及其加减35%+第四章基本平面图形40%。
5．难度系数：0.75。
第一部分（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．﹣2024的相反数是（ ）A．﹣2024B．2024C．12024D．―120242．如图，用5个相同的小正方体搭成立体图形，从上面看到的图形是（ ）A．B．C．D．3．越山向海，一路花开．在5月24日举行的2024辽宁省高品质文体旅融合发展大产业招商推介活动中，全省30个重大文体旅项目进行集中签约，总金额达532亿元．将53200000000用科学记数法表示为（ ）A．532×108B．53.2×109C．5.32×1010D．5.32×10114．九边形从一个顶点出发最多可以引（ ）条对角线．A．6B．7C．9D．275．下列计算正确的是（ ）A．3a+4b＝7ab B．﹣3xy2﹣2y2x＝﹣5xy2C．5ab﹣ab＝4D．2a2+a2＝3a46．下列说法错误的是（ ）A．直线AB和直线BA表示同一条直线B．过一点能作无数条直线C．射线AB和射线BA表示不同射线D．射线比直线短7．一台微波炉成本价是a元，销售价比成本价增加22%，则销售价应是（ ）A．a1―22%B．22%a C．（1+22%）a D．1+22%a8．已知点A、B、C位于直线l上，其中线段AB＝4，且2BC＝3AB，若点M是线段AC的中点，则线段BM 的长为（ ）A．1B．3C．5或1D．1或49．如图，方格纸中的∠1和∠2A．∠1＝∠2B．∠2＝2∠1C．∠2＝90°+∠1D．∠1+∠2＝180°10．按一定规律排列的一组多项式：a+b2，3a﹣b3，5a+b4，7a﹣b5，9a+b6，…，它的第2024个多项式是（ ）A．4047a+b2025B．4047a﹣b2025C ．4049a +b 2025D ．4049a ﹣b 2025第二部分（非选择题 共70分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．一个正方体的表面展开图如图所示，把它折成正方体后，与“要”字相对的字是 ．12．比较大小：﹣（﹣3） ﹣|﹣3.01|（填“＞”，“＝”或“＜”）．13．若|a +2|+（b ―12）2＝0，则ab 的值为 ．14．2点40分时，钟面上时针与分针所成的角等于 ．15．若m 2﹣2m ﹣1＝0，则代数式6m ﹣3m 2+2024值为 ．16．已知a |a|+b |b|=0，则ab |ab|的值为 ．三、解答题（本大题共7小题，满分52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）计算（1）(―75)―(―0.4)+1；（2）32×(―12)4―0．52×|―23|．18．（5分）先化简，再求值：2（ab 2+3a 2b ）﹣3（ab 2+a 2b ）﹣a 2b ，其中a =―12，b ＝2．19．（6分）如图，已知线段a 、b 、c ，用直尺和圆规画图（保留画图痕迹）．（1）画一条线段，使它等于a +b ；（2）画一条线段，使它等于a ﹣c ；并用字母表示出所画线段．20．（6分）如图，已知线段AB ＝，点M 是线段AB 的中点，点C 是AB 延长线上一点，AC ＝3BC ．点D 是线段BA 延长线上一点，AD =12AB ．（1）求线段BC 的长；（2）求线段DC 的长．21．（7分）如图，已知∠AOB ＝120°，OC 是∠AOB 内的一条射线，且∠AOC ：∠BOC ＝1：2．（1）求∠AOC 的度数；（2）过点O 作射线OD ，若∠AOD ＝12∠AOB ，求∠COD 的度数．22．（8分）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：居民每月用电量单价（元/度）不超过50度的部分0.5超过50度但不超过200度的部分0.6超过200度的部分0.8已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）：一月份二月份三月份四月份五月份六月份﹣50+30﹣26﹣45+36+25根据上述数据，解答下列问题：（1）小刚家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度；（2）小刚家一月份应交纳电费 元；（3）若小刚家七月份用电量为x 度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含x 的代数式表示）．23．（12分）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD ＝12∠AOB ，则∠COD 是∠AOB 的内半角．（1）如图①所示，已知∠AOB ＝70°，∠AOC ＝15°，∠COD 是∠AOB 的内半角，则∠BOD ＝ ．（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．。
2017高考全国3数学试卷及解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试（III）一．选择题（共12小题）1．已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．02．设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．805．已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=16．设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB． C．D．9．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．810．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣ B．C．D．112．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2 C．D．2二．填空题（共4小题）13．若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为．14．设等比数列{a n}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=．15．设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是．16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°；其中正确的是．（填写所有正确结论的编号）三．解答题（共7小题）17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．18．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？19．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．20．已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．21．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．22．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（c osθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．2018年04月22日fago的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】解不等式组求出元素的个数即可．【解答】解：由，解得：或，∴A∩B的元素的个数是2个，故选：B．【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．2．设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．2【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1．则|z|=．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；故选：A．【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题．4．（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80=（2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）【分析】（2x﹣y）5的展开式的通项公式：T r+1r x5﹣r y r．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．即可得出．【解答】解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式：T r=（2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣+11）r x5﹣r y r．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数=22×（﹣1）3+23×=40．故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．【解答】解：椭圆+=1的焦点坐标（±3，0），则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，可得，即，可得=，解得a=2，b=，所求的双曲线方程为：﹣=1．故选：B．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．6．设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，C当x=时，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D 错误，故选：D．【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．7．执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论．【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”，则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2，要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”，则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，要使输出S的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体，此时N的最小值为2，故选：D．【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB． C．D．【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r==，由此能求出该圆柱的体积．【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r==，∴该圆柱的体积：V=Sh==．故选：B．【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．9．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{a n}前6项的和．【解答】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，解得d=﹣2，∴{a n}前6项的和为==﹣24．故选：A．【点评】本题考查等差数列前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．10．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出．【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，∴原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2．∴椭圆C的离心率e===．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣ B．C．D．1【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（e x﹣1+）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（e x﹣1+）=0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（e x﹣1+）有唯一解，等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（e x﹣1+）的图象只有一个交点．①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y=a（e x﹣1+）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（e x﹣1+）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（e x﹣1+）的图象有两个交点，矛盾；③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y=a（e x﹣1+）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（e x﹣1+）的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=，符合条件；综上所述，a=，故选：C．【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2 C．D．2【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC•CD=BD•r，∴r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．二．填空题（共4小题）13．若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为﹣1．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x﹣4y的最小值．【解答】解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．设等比数列{a n}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=﹣8．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，可得：a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解得a1=1，q=﹣2．则a4=（﹣2）3=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是（，+∞）．【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可．【解答】解：若x≤0，则x﹣≤﹣，则f（x）+f（x﹣）＞1等价为x+1+x﹣+1＞1，即2x＞﹣，则x＞，此时＜x≤0，当x＞0时，f（x）=2x＞1，x﹣＞﹣，当x﹣＞0即x＞时，满足f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，当0≥x﹣＞﹣，即≥x＞0时，f（x﹣）=x﹣+1=x+，此时f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，综上x＞，故答案为：（，+∞）．【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键．16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°；其中正确的是②③．（填写所有正确结论的编号）【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，|AC|=1，|AB|=，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC|=1，|AB|=，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量=（0，1，0），||=1，直线b的方向单位向量=（1，0，0），||=1，设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），∴AB′在运动过程中的向量，=（cosθ，sinθ，﹣1），||=，设与所成夹角为α∈[0，]，则cosα==|sinθ|∈[0，]，∴α∈[，]，∴③正确，④错误．设与所成夹角为β∈[0，]，cosβ===|cosθ|，当与夹角为60°时，即α=，|sinθ|===，∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ=|cosθ|=，∵β∈[0，]，∴β=，此时与的夹角为60°，∴②正确，①错误．故答案为：②③．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三．解答题（共7小题）17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinA +cosA=0，a=2，b=2． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A ，再根据余弦定理即可求出， （2）先根据夹角求出cosC ，求出CD 的长，得到S △ABD =S △ABC ． 【解答】解：（1）∵sinA +cosA=0，∴tanA=，∵0＜A ＜π， ∴A=，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 即28=4+c 2﹣2×2c ×（﹣）， 即c 2+2c ﹣24=0，解得c=﹣6（舍去）或c=4， 故c=4．（2）∵c 2=b 2+a 2﹣2abcosC ， ∴16=28+4﹣2×2×2×cosC ，∴cosC=，∴CD===∴CD=BC∵S △ABC =AB•AC•sin ∠BAC=×4×2×=2，∴S △ABD =S △ABC =【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题18．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【分析】（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200≤n ≤500，根据300≤n ≤500和200≤n ≤300分类讨论经，能得到当n=300时，EY 最大值为520元．【解答】解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，P（X=200）==0.2，P（X=300）=，P（X=500）==0.4，∴X的分布列为：X200300500P0.20.40.4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，∴只需考虑200≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=6n﹣4n=2n；若最高气温位于区间[20，25），则Y=6×300+2（n﹣300）﹣4n=1200﹣2n；若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n，∴EY=2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2=640﹣0.4n，当200≤n≤300时，若最高气温不低于20，则Y=6n﹣4n=2n，若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n，∴EY=2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2=160+1.2n．∴n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题．19．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．【分析】（1）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO=AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2．可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．（2）设点D，B到平面ACE的距离分别为h D，h E．则=．根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得===1，即点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO=AC．∴DO2+BO2=AB2=BD2．∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h D，h E．则=．∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，∴===1．∴点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E．=（﹣1，0，1），=，=（﹣2，0，0）．设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，取=．同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，）．∴cos===﹣．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．【分析】（1）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由•=0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得•=0，则坐标原点O在圆M上；方法二：设直线l的方程x=my+2，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得•=0，则坐标原点O在圆M上；（2）由题意可知：•=0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．【解答】解：方法一：证明：（1）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），则=（2，2），=（2，﹣2），则•=0，∴⊥，则坐标原点O在圆M上；当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由y1y2＜0，则y1y2=﹣4，由•=x1x2+y1y2=0，则⊥，则坐标原点O在圆M上，综上可知：坐标原点O在圆M上；方法二：设直线l的方程x=my+2，，整理得：y2﹣2my﹣4=0，A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=﹣4，则（y1y2）2=4x1x2，则x1x2=4，则•=x1x2+y1y2=0，则⊥，则坐标原点O在圆M上，∴坐标原点O在圆M上；（2）由（1）可知：x1x2=4，x1+x2=，y1+y2=，y1y2=﹣4，圆M过点P（4，﹣2），则=（4﹣x1，﹣2﹣y1），=（4﹣x2，﹣2﹣y2），由•=0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4，则x1+x2=，y1+y2=﹣1，则M（，﹣），半径为r=丨MP丨==，∴圆M的方程（x﹣）2+（y+）2=．当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2，同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨=，∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣）2+（y+）2=或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．【分析】（1）通过对函数f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求导，分a≤0、a＞0两种情况考虑导函数f′（x）与0的大小关系可得结论；（2）通过（1）可知lnx≤x﹣1，进而取特殊值可知ln（1+）＜，k∈N*．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+）（1+）…（1+）＜e，另一方面可知（1+）（1+）…（1+）＞2，从而当n≥3时，（1+）（1+）…（1+）∈（2，e），比较可得结论．【解答】解：（1）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，所以f′（x）=1﹣=，且f（1）=0．所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，这与f（x）≥0矛盾；当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a，所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）min=f （a），若a≠1，则f（a）＜f（1）=0，从而与f（x）≥0矛盾；所以a=1；（2）由（1）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号，所以ln（1+）＜，k∈N*．一方面，ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜++…+=1﹣＜1，即（1+）（1+）…（1+）＜e；另一方面，（1+）（1+）…（1+）＞（1+）（1+）（1+）=＞2；从而当n≥3时，（1+）（1+）…（1+）∈（2，e），因为m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m成立，所以m的最小值为3．【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题．22．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．【分析】解：（1）分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x ﹣2）①与x=﹣2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x2﹣y2=4；（2）将l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0化为普通方程：x+y﹣=0，再与曲线C的方程联立，可得，即可求得l3与C的交点M的极径为ρ=．【解答】解：（1）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；又直线l2的参数方程为，（m为参数），同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4；（2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，∴其普通方程为：x+y﹣=0，联立得：，∴ρ2=x2+y2=+=5．∴l3与C的交点M的极径为ρ=．【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题．23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）=，当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；综上，g（x）max=，∴m的取值范围为（﹣∞，]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．。
云南省2017年1月普通高中学业水平考试数学试卷(含答案)
云南省2017年1月普通高中学业水平考试数学试卷[考生注意]：考试用时100分钟，必须在答题卡上指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.球的表面积公式：24S R π=,体积公式：343V R π=,其中R 表示球的体积. 柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高. 选择题（共51分）一、选择题：本大题共17个小题，每小题3分，共51分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡相应的位置上填涂. 1.已知集合},{21=S ，集合},,{321=T ，则T S 等于 ( ) A.{1} B.{2} C.{1,2} D.{1,2,3}2.一个空间几何体的正视图与侧视图(注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图)、俯视图是一个半 径为3的圆，那么这个几何体的体积为 ( ) A . π9 B . π18 C . π27 D . π363.在四边形ABCD 中，AB -AC 等于( ) A.BC B. BD C.DB D.CB4.52542log log +的值为( )A .12 B . 2 C .2910 D . 1029 5.要得到函数)6sin(π+=x y 的图象，只需要将函数sin y x =的图象（ ）A. 向左平平移6π B. 向右平移6π C. 向左平移3π D. 向右平移3π6.一盒中装有除颜色外大小相同的红球5个和黑球4个，从中任意取出一个球，那么取出的球是红 球的概率是（ ）A .91 B . 95 C . 94 D . 547.若运行图1所示的程序，则输出n 的值是（ ）A .61B . 51C . 41D . 318.=-000026sin 56cos 26cos 56sin （ ）A .21 B . 23 C . 21- D . 23-9.在ABC ∆中，a ,b ,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且2a =,3=c ,B cos =41，则b 等于（ ） A . 10 B . 10 C . 13 D . 410.已知线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ，则P 到点N M 、的距离都大于 2的概率为（ ）A . 12B . 31C .32D . 4311.过点)2,1(P ，且与直线032=+-y x 平行的直线的方程为（ ）A . 02=-y xB . 012=+-y xC . 012=--y xD .02=+y x 12.下列函数是偶函数的是( )A .xy 2= B .x y ln = C . x y 3log = D . xy 4log =13.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤222y x y x ，则y x z 2+=的最大值是( )A . 6B .5C .4D . 2 14.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若53=a ，则5S 的值为( ) A . 15 B .20 C .25 D .3015.某校学生2000人，其中高三年级学生500人，为了解学生的身体素质情况，现采用分层抽样的 方法，从该校学生中抽取200人的样本，则该样本中高三学生的人数为( ) A . 60 B .50 C .40 D .3016.过点),(33P ，且与圆1)2()3(:22=-+-y x C 相切的直线方程为( ) A . 0343=+-y x B .021-43=+y x C . 3=x D .3=y17.设1x ，2x 是常数，2017))(()(21---=x x x x x f ，3x ，4x 是)(x f 的零点. 若4321x x x x <<，，则下列不等式正确的是( )A .4231x x x x <<<B . 4321x x x x <<<C . 4213x x x x <<<D .2431x x x x <<<非选择题（共49分）二、 填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分. 请把答案写在答题卡相应的位置上.18.函数)0(1)(>+=x xx x f 的最小值是 . 19.已知b a 、是平面向量，若),(31=a ，),(32-=x b ，b a⊥，则x 的值等于 . 20.在某五场篮球比赛中，甲乙两名运动员得分的茎叶图如下，则在这五场比赛中，平均得分比较好的运动员是 .21.在十进制方面，中国古代数学对人类文明有特殊的贡献，若将二进制）（21101 表示为十进制数，结果为 1 . 22.设2151++-=x x x f lg )(，则关于x 的不等式6111<+)]([x x f 的解集为 .三、解答题：本大题共4小题，共29分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 23.（本小题满分5分）已知圆0142:22=+-++y x y x C （1）求圆心C 的坐标和半径的值.（2）若直线2:=+y x l 与圆C 相交于B A 、两点，求AB .24（本小题满分7分）已知函数12+=x x x f cos sin )(.（1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值； （2）求函数)(x f 的单调减区间.25（本小题满分6分）如图2所示，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，E 为PA 的中点. （1）求证：PC //平面EBD ；（2）若⊥PA 底面ABCD ，且2,5,1,32====BD AB AD PA ， 求点A 到平面EBD 的距离.26（本小题满分11分）已知c 是常数，在数列{}n a 中，21=a ，28321+++=+n n n n a c a a a .（1）若0=c ，求2a 的值；（2）若c =4，证明：数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （3）在（2）的条件下，设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n S ，求证：34nS <.CA DBPE参考答案一、选择题二、填空题18. 2 ；19. 6 ； 20. 乙 ；21. 13 ；22. ),(),--(25101251+-- 三、解答题23.（本小题满分5分）已知圆0142:22=+-++y x y x C （1）求圆心C 的坐标和半径的值.（2）若直线2:=+y x l 与圆C 相交于B A 、两点，求AB . 解：（1）把圆的方程化成标准方程为42122=-++)()(y x ，∴ 圆心坐标为),(21-C ，半径为2 . （2）圆心C 到直线l 的距离为21=d ，∴142142222=-=-=d r AB || . 24（本小题满分7分）已知函数12+=x x x f cos sin )(.（1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值； （2）求函数)(x f 的单调减区间.解：（1）1212+=+=x x x x f sin cos sin )(，∴ 函数)(x f 的最小正周期为ππωπT ===222||， 当12=x sin 时，函数)(x f 取得最大值，2=max )(x f . （2）由πk πx πk π223222+≤≤+得，Z k πk πx πk π∈+≤≤+,434， ∴ 函数)(x f 的单调减区间为)](,[Z k πk ππk π∈++434.25（本小题满分6分）如图2所示，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，E 为PA 的中点. （1）求证：PC //平面EBD ；（2）若⊥PA 底面ABCD ，且2,5,1,32====BD AB AD PA ，求点A 到平面EBD 的距离.（1）证明：连接AC 交DB 于点O ，连接EO ，∵ 底面ABCD 是平行四边形， ∴ O 是AC 的中点，又∵ E 是PA 的中点，∴ 在△PAC 中，EO //PA ， ∵ EO ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，∴ PC //平面EBD .（2）解：∵251===BD AB AD ,,，∴222BD AD AB +=，即︒=∠90ADB ， ∴ AD BD ⊥,又∵⊥PA 底面ABCD ，∴BD PA ⊥，∴PAD BD 平面⊥. ∴DE BD ⊥，AD BD ⊥，∴12121=⨯⨯=ABD S ，22221=⨯⨯=BDE S ， 设点A 到平面EBD 的距离为h ，则有 ABD E BDE A V V --= ∴EA S h S ABD BDE ⋅=⋅ΔΔ3131 ∴ 23ΔΔ=⋅=BDE ABD S EA S h∴点A 到平面EBD 的距离是23. 26（本小题满分11分）已知c 是常数，在数列{}n a 中，21=a ，28321+++=+n n n n a c a a a .（1）若0=c ，求2a 的值；（2）若c =4，证明：数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （3）在（2）的条件下，设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n S ，求证：34nS <. （1）解：若0=c ，则728311212=++=a a a a . OCA DBPE CADBP E证明：（2）若4=c ，则232232248321+=+++=+++=+n n n n n n n n a a a a a a a a ))((，∴)(133311+=+=++n n n a a a ，∴3111=+++n n a a ，311=+a ，∴ 数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列，∴n n n q a a 31111=⋅+=+-)(，即13-n n a =. （3）由（2）得，13-n n a =，∴1311-n n a =， ∵ n n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=<3123323131-， ∴ 43314343311433113113123<⨯-=-=--⨯<n n n n S )(])([])([， ∴43<n S .。
2024年上教版一年级数学上册阶段测试试卷含答案
2024年上教版一年级数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、5÷6的商用循环小数表示，正确的是（）A. 0.8B. 0.C. 0.8383D. 0. 32、我国领土最东端到最西端的距离为5000千米，若按图上1厘米代表实地距离500千米的比例尺绘制地图，那么图上的距离应是（）A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米3、一件商品先提价10%后再降价10%，现价与原价相比（）A. 一样多B. 比原价多C. 比原价少4、圆锥的体积不变，底面积和高（）A. 成反比例B. 成正比例C. 不成比例5、六（2）班男生人数如果减少就与女生人数相等；下面说法不正确的有（）个．a；女生比男生少20%b、男生占全班的．c；男生比女生多20%d、要表示某校女生人数与全校总人数之间的关系，应绘制扇形统计图．A. 1B. 2C. 3D. 4评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、、12、4和x能组成比例，x可以取的值有____个．7、小红上午8：00到校，中午11：05放学，她在下午2：30到校上课，下午5：25放学．她这一天在校____小时．8、两个因数相乘，一个因数扩大4倍，积____．9、李叔叔骑摩托车从甲地到乙地，第1小时行的路程是未行，第2小时行了35千米，这时已行路程是未行的．那么第1小时行了____千米．10、甲、乙、丙三个数的平均数是2.4，甲、乙、丙三个数的比是2：1：3，则甲数是____．11、。
35厘米=____米6吨90千克=____吨3元4角5分=____元630公顷=____平方千米4.05千米=____千米____米 6.2平方米=____平方米____平方分米．评卷人得分三、判断题(共9题，共18分)12、减数=被减数+差．____．（判断对错）13、2013年的上半年有183天．____．（判断对错）14、体积相等的长方体，形状不一定相同．____．（判断对错）15、三位数乘以三位数，积最多是六位数．____．（判断对错）16、小明看到的是17、体积大的物体一定比体积小的物体重．____．（判断对错）18、0.9的倒数是9．____．（判断对错）19、13×（a+1）=13a+1____．（判断对错）20、79-6=73____（判断对错）评卷人得分四、操作题(共2题，共10分)21、请你在下面方格纸中画出一个与左边正方形周长相等的长方形．22、连一连．评卷人得分五、证明题(共2题，共8分)23、设a1，a2，a3，a41是任意给定的互不相等的41个正整数．问能否在这41个数中找到6个数，使它们的一个四则运算式的结果（每个数不重复使用）是2002的倍数？如果能，请给出证明；如果不能，请说明理由．评卷人得分六、综合题(共3题，共21分)24、下面是去年某商场服装柜售货员分别根据毛衣和衬衣销售量制成的两张折线统计图．问题：（1）哪张是毛衣销售量统计图；哪张是衬衣销售量统计图？（2）请你简述下半年两种衣服销售量变化的主要原因？（3）如果你是商场的销售经理，在进货方面有什么考虑？25、以学校为观测点：（1）填一填．①邮局在学校北偏________度的方向上，距离是____米．②书店在学校____偏________度的方向上，距离是____米．（2）在如图的平面图上标出图书馆和电影院的位置。
七静安2017年1月区统考卷
静安区2016学年第一学期期末数学试卷 （2017年1月）（考试时间：90分钟，满分：100分）一、 选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1．下列用代数式表示“a 与b 的和的平方”正确的是…………………………………（ ）（A ） b a +2； （B ）2)(b a +； （C ）2b a +； （D ）22b a +． 2．如果数a 、b 满足b a +＜0，ab ＞0,那么这两个数 ………………………………（ ） （A ）都是负数； （B ）都是正数；（C ）一正一负；（D ）无法确定符号. 3．计算x xx ÷÷-1的结果是……………………………………………………………（ ）（A ）1-x ； （B ）3x ； （C ）x ； （D ）3-x ．4．当0=x 时，下列分式无意义的是 …………………………………………………（ ）（A ）11-+x x ； （B ）x x x -22； （C ）112-+x x ； （D ）122--x x x． 5．如果多项式21x +加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，那么在下列单项式中，可以加上的是 …………………………………………………（ ） （A ）x ； （B ）421x ； （C ）x 4； （D ）414x ．6．下列说法错误的是 ……………………………………………………（ ）（A ）两个半径相等的圆必定关于某一条直线成轴对称；（B ）图形绕着任意一点旋转360°，都能与初始图形重合；（C ）如果把某图形先向右平移3厘米，再向下平移2厘米，那么该图形平移的距离是5厘米；（D ）等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．如果a 、b 两数互素，它们的最小公倍数是30，其中a=5，那么b 的值为 ．8．一件衣服打六折后是90元，那么它的原价是 元．9．如果单项式413y xn +与m y x 3是同类项，那么m n -的值是．10．如果一个多项式与y x 232-的和是2x ，那么这个多项式是．11．计算： 1.509.49⨯＝ ．12．0000004057.0＝．（结果用科学记数法表示）13．分解因式：322339y x y x -＝．第18题图 14．如果22=⋅mm x x （m 为正整数），那么mx 6-的值是 ．15．当21-=x ，2=y 时，分式222y x xy +的值是．16．分式方程xx 122=-的解为．17．在三角形ABC 中，A ∠与B ∠互余，A ∠=7135'，将△ABC 沿射线BC 方向平移得 到△DEF . 点A 、点B 的对应点分别是点D 和点E ，那么∠DEF = ． 18．如图，已知在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 在线段AB 上，△CBD 绕着点C 顺时方向针旋转90°后得到△CAE ，点B 和点D 的对应点分别是点A 和点E ．点M 在线段AB 上，且△CEM 与△CDM 恰好关于直线CM 成轴对称，如果AM ︰MD ︰DB ＝3︰5︰4，△ABC 的面积为24，那么△AME 的面积为 ．三、解答题（本大题共6题，19-23题，每题4分，第24题6分，满分26分） 19．计算：2225)32(21xy y xy x x x ++--．（结果按字母y 降幂排列）20．计算： )12)(12(+--+y x y x ． 21．分解因式：3)2(2)2(222----a a a a ．22．分解因式：322344y xy y x x +--． 23．计算：)1()111(2--÷--+x x x x x ．24．已知13=-xx ，求代数式2)12(-x 的值．四、解答题（本大题共4题，第25-27题，每题6分，第28题8分，共26分） 25．如图，在长方形纸片ABCD 中，AB =6，BC =10，点E在边CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰巧落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰好落在线段BF 上的点H 处． （1） 求∠EBG 的度数； （2） 求HFBH的值．26．已知A 、B 两地的路程是120公里，甲乙两人都从A 地前往B 地．甲的速度与乙的速度之比是3︰2，乙早出发半小时，结果反而比甲晚半小时到达B 地． （1）求甲乙各自的速度；（列分式方程解应用题）（2）甲到B 地后，另接到新任务，立即赶到离B 地10公里处的C 地去取货品，然后返回B 地，问甲能否赶在乙到达B 地前回到B 地？（甲在B 、C 两地停留的时间不计） AFGDE C BH 第25题图27．现有四张边长都为x 的小正方形纸片和一张边长为y 的大正方形纸片，将它们分别按图①和图②两种方式摆放．(1) 用含x 、y 的代数式分别表示a 、b ， a = ▲ ，b = ▲ ；(2) 用含a 、b 的代数式分别表示x 、y ， x = ▲ ，y = ▲ ；（3）用以上所得结果求图②中大正方形未被小正方形覆盖部分的面积．（用含a 、b 的代数式表示计算结果）．28. 如图，在△ABC 中，∠B =90°，现将△ABC 绕着线段AE 的中点O 按逆时针旋转到△CDE 的位置，点A 、B 、C 分别与点C 、D 、E 对应，且点B 、C 、D 在同一条直线上，已知AB =3.5cm ， DE =8.5cm ，AE =13cm ．（1）在图中标出点O ，联结OC ，并直接写出旋转角的大小是 ▲ 度； （2）求四边形ABDE 的面积；（3）联结OB ，请直接写出线段AB 在旋转过程中扫过的图形面积S ， 那么S = ▲ ．（设OB =a ，请用含a 的代数式表示S ，计算结果保留 ）第27题图 ①②第28题图A EB CD。
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2017年1月15日数学考试试卷一、选择题（共2小题；共10分）1. 解为的方程组是 ( )A. B.C. D.2. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为 ( )A. B. C. D.二、填空题（共2小题；共10分）3. 方程组中含有个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的方程组叫作三元一次方程组．4. 某服装厂专门安排名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由个衣袖，个衣身，个衣领组成．如果每人每天能够缝制衣袖个，或衣身个，或衣领个，那么应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套．三、解答题（共56小题；共728分）5. 解方程组6. 解方程组：7. 解方程组8. 某商店需要购进甲、乙两种商品共件，其进价和售价如下表：（注：获利售价进价），若商店计划销售完这批商品后能获利元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件?9. 如图，函数和的图象相交于点，Ⅰ求点的坐标；Ⅱ根据图象，直接写出不等式的解集．10. 根据要求，解答下列问题．Ⅰ解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：（1）的解为．（2）的解为．（3）的解为．Ⅱ以上每个方程组的解中，值与值的大小关系为．Ⅲ请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解．11. 解下列方程组：ⅠⅡⅢ12. 为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为元/支、元/支、元/支，购买这些钢笔需要花元．经过协商，每种钢笔单价下降元，结果只花了元，如果三种钢笔均购买了一些，那么甲种钢笔最多可购买多少支?13. 某高校共有个大餐厅和个小餐厅，经过测试：同时开放个大餐厅、个小餐厅，可供名学生就餐；同时开放个大餐厅、个小餐厅，可供名学生就餐．Ⅰ求个大餐厅、个小餐厅分别可供多少名学生就餐；Ⅱ若个大餐厅同时开放，能否供全校的名学生就餐?请说明理由．14. 已知甲种物品每个重，乙种物品每个重，现有甲种物品个，乙种物品个，共重．Ⅰ列出关于，的二元一次方程；Ⅱ若，则；Ⅲ若乙种物品有个，则甲种物品有个；Ⅳ写出满足条件的，的全部整数解．15. 已知函数，当自变量的取值范围为时，既能取到大于的值，又能取到小于的值，则实数的取值范围为．16. 解方程组：17. 解下列三元一次方程组：ⅠⅡ18. 斯隆先生有四片果树林，分别种了苹果树、柠檬树、柑擂树和桃树．（1）果树林的果树都成行排列，每片果树林中各行的果树棵树都相等；（2）苹果林的行数最少’柠檬林比苹果林多一行，柑桶林比柠檬林多—行，桃树林又比柑擂林多一行；（3）有三片果树林，每片果树林四周边界上的果树与其内部的果树棵数相等．在这四片果树林中，哪一片边界上的果树与其内部的果树棵数不相等?（提示：用代数式表示（3）中提到的那三片果树林边界上果树的棵数和内部果树的棵数相等对于这三片果树林的相邻边上果树的棵数，只有四对可能的值．）19. 暑假期间，部分同学准备开展社会实践活动，决定外出调研某名胜风景点的环境污染情况，为此需在风景点周边住一晚．某旅店只有二人间和三人间两种房型，二人间每晚需元，三人间每晚需元，并且二人间的数量不超过间，三人间比二人间的房间数要少．有同学计算了一下，如果只住二人间，则还有人无房可住，如果只住三人间，则只剩下人没地方住．Ⅰ参加此次活动的同学有多少位?Ⅱ同学们此次住宿花费了元，请你算算，同学租住的二人间和三人间各是多少?20. 根据下列表中给出的值及与的关系式，求出相应的值，并填入表格．请根据上表，找出方程组的解．21. 如图，直线与直线相交于点．Ⅰ求的值；Ⅱ不解关于，的方程组请你直接写出它的解；Ⅲ直线否也经过点 ?请说明理由．22. 解方程组：23. 解方程组：24. 一个三位数三个数位上的数字和是，如果把百位数字与个位数字对调，那么所得的数比原数大，如果把十位数字与个位数字对调，那么所得的数比原数大，求这个三位数．25. 2014 年世界杯足球赛在巴西举行，小李在网上预订了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共张，总价为元，其中小组赛球票每张元，淘汰赛球票每张元，问小李预订了小组赛和淘汰赛的球票各多少张?26. 已知两个二元一次方程：① ，② ．Ⅰ对于给出的值，在下表中分别写出对应的的值；Ⅱ请你写出方程组的解．27. 小明在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下：Ⅰ请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：①；②；③；④．Ⅱ如果点的坐标为，求不等式的解集．28. 如图，长青化工厂与两地有公路、铁路相连．这家工厂从地购买一批每吨元的原料运回工厂，制成每吨元的产品运到地．已知公路运价为元/（吨·千米），铁路运价为元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费元，铁路运输费元．求：Ⅰ该工厂从地购买了多少吨原料?制成运往地的产品多少吨?Ⅱ这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?29. 解下列方程组：ⅠⅡ30. 有甲、乙、丙三种货物，如果购甲件、乙件、丙件，共需元钱；购甲件、乙件，丙件，共需元钱，那么现在购甲、乙、丙各件共需多少元?31. 长沙市某公园的门票价格如下表所示：某校初三年级甲、乙两个班共多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有多人，乙班不足人．如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要付元．问：甲、乙两班分别有多少人?32. 下列方程组中，哪些是二元一次方程组?哪些不是?为什么?① ②③ ④33. 有这样一道题目：判断是否是方程组的解．小明的解答过程是：将，代入方程，等式成立．所以是方程组的解．小颖的解答过程是：将，分别代入方程和中，得，．所以不是方程组的解．你认为上面的解答过程哪个对，为什么?34. 某汽车在相距千米的甲、乙两地往返行驶，由于行程中有一坡度均匀的小山，该汽车由甲地到乙地需用小时分，而从乙地到甲地需用小时分．若汽车在平地上的速度为千米／时，上坡的速度为千米／时，下坡的速度为千米／时，求从甲地到乙地的行程中’平路、上坡路、下坡路各多少千米?35. 已知一次函数（，为常数，且）的图象如图甲所示：Ⅰ方程的解为，不等式的解集为．Ⅱ正比例函数（为常数，且）与一次函数相交于点（如图乙所示），则不等式组的解集为．Ⅲ在第（2）题的条件下，比较与的大小（直接写出结果）．36. 已知是关于，的二元一次方程的解，求的值．37. 自年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实"促民生、促经济"政策，济南市某玻璃制品销售公司今年月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资销售每件的奖励金额销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：Ⅰ试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元?Ⅱ若职工丙今年六月份的工资不低于元，那么丙该月至少应销售多少件产品?38. 小亮在做作业时，发现有一道解方程组的题目被墨水污染“ ”表示被污染的内容，他着急地翻开书后面的答案，这道题的解是你能帮他补上 “ ”中的内容吗?39. 在直角坐标系中直接画出函数的图象；若一次函数的图象分别过点，请你依据这两个函数的图象写出方程组的解．40. 夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了，已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费元，调价后买上述碳酸饮料瓶和果汁饮料瓶共花费元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元?41. 某单位急需用车，但又不准备购车，他们准备和一个个体车主或一国营租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶，应付给个体车主的月费用为元，应付给汽车出租公司的月费用为元，，与之间的函数关系图象（两条射线）如图所示，观察图象，回答下列问题．Ⅰ每月行驶的路程在什么范围内，租出租公司的车合算?Ⅱ每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同?Ⅲ如果这个单位估计每月行驶的路程为，那么这个单位租哪家车合算?42. 已知方程是关于，的二元一次方程，求和的值．43. 教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同．请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格．44. 已知方程组是二元一次方程组，求的值．45. 用图象法解二元一次方程组：46. 已知方程组的解使式子的值等于，求的值．47. 已知直线（为正整数）与坐标轴围成的三角形面积为．则的值为多少?48. 旅游团一行人到一旅馆住宿，旅游馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每天元，二人间的每人每天元，单人间的每天元，如果旅游团共住满了间客房，问三种客房各住几间?怎样消费最低?49. 已知，，为三个非负实数，满足Ⅰ用含的代数式分别表示，得，；Ⅱ的最小值为．50. 今有浓度为、、的甲、乙、丙三种盐水分别为克、克、克．现要配制成浓度为的盐水克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克?51. 解下列方程组：52. 技术三种射线束穿过人体后，测得总吸收值如下人体的三种体素，，与总吸收值的关系是：，，．求甲、乙、丙三个病人的三种体素吸收值，并判断谁患有肿瘤? 53. 大约年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了"百钱买百鸡"这个有名的数学问题：今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用个钱买只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?54. 求的整数解．55. 韦武准备装修一套新宅，若甲、乙两个装饰公司合做需周完成，需工钱万元；若甲公司单独做周后，剩下的由乙公司来做，还需周才能完成，需工钱万元．若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，韦武是选甲公司还是选乙公司?请说明理由．56. 求方程的所有正整数解．57. 求方程组的正整数解．58. 求方程的整数解：59. 求的整数解．60. 某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小，二小，三小，四小，五小，它们分别有电脑台、台、台、台、台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，若甲小给乙小台，即为乙小给甲小台，要使电脑移动的总台数最少，应怎样安排?答案第一部分1. D2. B第二部分3. ；4.第三部分5.得解得把代入得解得故此方程组的解集为6. 方程组整理得② ①得 ，即，将代入①得 ，则方程组的解为7.，得即把代入得，解得则方程组的解为8. 设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件．根据题意，得即解得：答：甲种商品购进件，乙种商品购进件．9. （1）由题意，得方程组解得的坐标为．（2）由图象，得不等式的解集为：．10. （1）（1）（2）（3）（2）（3）方程组的解为11. （1）（2）（3）12. 设甲、乙、丙三种钢笔分别买了支、支、支．根据题意，得，得，得，得由题意知，，，均为正整数，所以最小取，最大取，由知，的最大值是．答：甲种钢笔最多可购买支．13. （1）设个大餐厅可供名学生就餐，个小餐厅可供名学生就餐，依题意得：解得答：个大餐厅可供名学生就餐，个小餐厅可供名学生就餐．（2）因为，所以如果同时开放个餐厅，能够供全校的名学生就餐．答：能14. （1）（2）（3）（4）由，得．又由题意得为正整数，当时，；当时，，不合题意；当时，，不合题意；当时，，不合题意；当时，；当时，，不合题意；当时，，不合题意；当时，，不合题意；当时，；当时，，不合题意；当时，，不合题意；当时，，不合题意．所以满足、的全部整数解是15. 当时，，满足题设条件，即取到小于的值；当时，，即依题意，应取到大于的值，故有：，，即实数的取值范围为【答案】16. 得解得将代入 ① 得所以方程组的解为17. （1）把①代入②中，得把③和④联立，由③ ④，得把代入②中，得把代入①中，得（2）由① ② ③，得由④ ①，得由④ ②，得由④ ③，得18. 略．19. （1）设旅店二人间有间，三人间有间，根据题意有，．，为正整数，且，整数解有，学生数为．（2）设租住的二人间为间，三人间为间，解得，．答：租住的二人间为间，三人间为间．20. 填表根据表格，方程组的解是21. （1）（2）（3）是；理由略22. 原方程可化为，得解这个方程，得把代入①，得因此，原方程组的解为23.，得解这个方程组，得把代入，得所以这个方程组的解是24. 这个三位数是．25. 设小李预订了小组赛球票张，淘汰赛球票张．根据题意得解得答：小李预订了小组赛球票张，淘汰赛球票张．26. （1） ① ；；；；；；② ；；；；；；（2）27. （1）；；；（2）如果点的坐标为，那么不等式的解集是．28. （1）设工厂从地购买了吨原料，制成运往地的产品吨．则依题意，得：解这个方程组，得：∴工厂从地购买了吨原料，制成运往地的产品吨．（2）依题意，得：∴批产品的销售款比原料费与运输费的和多元．29. （1）把①代入②中，得 ，即联立③④，得由③ ④ ，得 .解得 .把分别代入①③中，得 ， .（2）由① ② ③，得由① ④，得 .由② ④，得 .由③ ④，得 .30. 设甲、乙、丙三种货物的价格分别为元、元、元，则将，得即答：购甲、乙、丙各件共需元．31. 设甲班有人，乙班有人．由题意，得解这个方程组，得答：甲班有人，乙班有人．32. ① 中，含有三个未知数，所以不是二元一次方程组．② 中，含有未知数的项的次数是，所以不是二元一次方程组．③ ④都是二元一次方程组，因为它们含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是 ，并且等号两边都是整式的方程．33. 我认为小颖的解答是正确的．因为使每个方程都成立的未知数的值才是方程组的解．34. 平路千米，上坡路千米，下坡路千米．35. （1）；（2）（3）当时，；当时，；当时，．36. 是关于，的二元一次方程的解，．解得．．37. （1）设职工的月基本保障工资为元，销售每件产品的奖励金额为元 1分由题意得，解这个方程组得答：职工月基本保障工资为元，销售每件产品的奖励金额元．（2）设该公司职工丙六月份生产件产品，由题意得，解这个不等式得答：该公司职工丙六月至少生产件产品．38. 能．把分别代入方程组中各个方程的左边，得故方程组中“ ”中的数分别是和．39. 方程组的解为40. 设调价前碳酸饮料每瓶元，果汁饮料每瓶元．根据题意，得解这个方程组，得所以，碳酸饮料和果汁饮料在调价前每瓶分别为元和元．41. （1）当时，租出租公司的车合算．（2）当时，租两家车的费用相同．（3）租个体车主的车合算．42. 由题意，得解得或因为，所以．故和的值为，．43. 设康乃馨每支元，水仙花每支元 .由题意得解得第三束花的价格为答：第三束花的价格是元．44. 由题意得解得或，，，所以．45. 在同一坐标系中分别画出函数和 .两直线交于点 .所以方程组的解为46.，得，所以，得．，得．，得．所以，，，所以．47. 当时，，当时，．点， .， .，，，， .48. 设三人间、二人间和单人间分别为和间．依题意得因此有这里都是非负整数，由于∴所以只能取从而共有六种付法：，，，，，．人住宿总消费为所以当时，总消费最低．49. （1）；（2）50. 设甲、乙、丙盐水分别各取克、克、克，配成浓度为的盐水克．依题意有其中，，．解方程组可得由得又和均满足题设．故甲种盐水最少可用克，最多可用克．51.等价于因此，，因此原方程组等价于解得因此原方程组的解为52. 解：由题意，得分别解得，所以丙患有肿瘤．53. 设公鸡、母鸡、小鸡各买了、、只．依题意得：令则故原方程的整数解为（为整数）．令故从而原方程的解为：．54. 令，观察方程可知，是其中一组解，故所有的整数解可以表示为：（为整数）．观察方程可知，是其中一组解，故（为整数）．将代入可知故原方程的整数解可以表示为：（、为整数）．55. 设甲公司单独完成需周，需要工钱万元，乙公司单独完成需要周，需要工钱万元，由题意得，解得，由所得工钱可得，解得，从节约开支的角度考虑，韦武应选乙公司装修房子．56. 观察可知是方程的一组解，故原方程的所有整数解可以表示为：（为整数），令故原方程的正整数为57. 将方程组中两式相减并化简可得，，与联立并消去有，故（为整数），代回可得令故故原方程的正整数解为：58. 运用辗转相除法可得，，故是原方程的一组解．故（为整数）59. 考虑到，可设则，解方程①可得 （为整数），解方程②可得 （为整数）．故原方程的所有整数解可以表示为：（、为整数）60. 本题通过设未知数建立方程组，找出各小学移动电脑台数之间的关系，再来表示调动的电脑总台数利用绝对值的几何意义即可获解．设一小向二小移交台，二小向三小移交台，三小向四小移交台，四小向五小移交台，五小向一小移交台．因为每校拥有电脑的平均数为（台），所以，得设移动总台数为，则由绝对值的几何意义知，当时，有最小值，此时，，，．因此，设计方案为一小向二小移交台，二小不动，三小向四小移交台，五小向四小移交台，一小向五小移交台．答：设计方案为一小向二小移交台，二小不动，三小向四小移交台，五小向四小移交台，一小向五小移交台．。