湖南省衡阳县第四中学2015届高三上学期周考(二)数学理试题
湖南省衡阳县第四中学2015届高三数学上学期周考(五)试题 理
_ ____ __ A1_1 _ _ A 主视图俯视图B1A1B1B A B 数学本试卷共22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数集{}Z n n X ∈+=,)12(π与{}Z k k Y ∈±=,)14(π之的关系是（） A ．X Y ；B ．Y X ； C ．Y X =；D ．Y X ≠ 2. 下列四个命题中，真命题的个数为（ ） （1）若两平面有三个公共点，则这两个平面重合； （2）两条直线可以确定一个平面；（3）若l M l M M ∈=∈∈则，,,βαβα ； （4）空间中，相交与同一点的三条直线在同一平面内。
A.1 B.2 C.3 D.43. 若||||OA OB OA OB +=-则向量,OA OB 的关系是（ ） A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．不确定4. 已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是( )A BCD5. 在△ABC 中，若cosA cosB ＝ba，则△ABC 的形状是.( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等边三角形 6. 已知(xx 12-)n的展开式中第三项与第五项的系数之比为143，则展开式中常数项是 (A)－1 (B)1 (C)－45 (D)45 7．如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1⊥面A 1B 1C 1, 正视图是边长为2的正方形，该三棱柱 的侧视图面积为（）。
A. 4B. 23C. 22D. 38. 如图，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 、B 、C 在抛物线上，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++=（ ）A. 6B. 4C. 3D.29. 从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取： 先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统 抽样的方法进行，则每人入选的概率A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等且为100225D ．都相等且为14010. 已知函数f （x ）＝ax3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图2—3，则（ ）A.b ∈（－∞，0）B.b ∈（0，1）C.b ∈（1，2）D.b ∈（2，＋∞）二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分． （一）必做题（11 ~ 13题） 11. 在（x －2）2006的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S 等于12. 右图中有一个信号源和五个接收器。
湖南省衡阳市衡阳县四中高三数学上学期11月月考试卷 理(含解析)
2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高三（上）11月月考数学试卷（理科）一、选择题1．已知命题：①“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“所有能被2整除的整数不都是偶数”；②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题；③“a，b，c∈R，若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题；④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题．上述命题中真命题的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 42．已知函数y=log a（x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则sin2α﹣sin2α的值等于（）A． B． C．﹣ D．﹣3．已知，则f[f（x）]≥1的解集是（）A． B． C．D．4．已知向量（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．x B． 2x C．（2+1）x D．（2+2）x6．如图，正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，O1是上底面A1B1C1D1的中心，若正方体的棱长为2，则O1B与CD所成角的余弦值为（）A． B． C． D．7．把函数y=cosx﹣sinx的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m的最小值是（）A． B． C． D．8．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）A． B．（2﹣，2+） C． [1，3] D．（1，3）9．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A． 4 B． C． 1 D． 210．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A． 1 B． C． D．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k﹣垂直，则k= ．12．函数y=的最大值是．13．曲线y=sinx与直线x=0、x=、x轴所围成的图形的面积为．14．锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，C=2A，的取值范围是．15．已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx+sinwx•coswx﹣1（w＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递减区间．17．已知向量=（sinA，）与=（3，sinA+）共线，其中A是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．18．已知函数为奇函数．（I）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；（II）解关于x的不等式f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0．19．如图，四边形ABCD与BDEf均为菱形，已知∠DAB=∠DBF=60°，且面ABCD⊥面BDEF，AC=2．（1）求证：OF⊥平面ABCD；（2）求二面角F﹣BC﹣D的正切值．20．如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v﹣c|×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y 最少．21．设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时， f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高三（上）11月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知命题：①“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“所有能被2整除的整数不都是偶数”；②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题；③“a，b，c∈R，若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题；④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题．上述命题中真命题的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：直接写出全称命题的否定判断①；举例说明②错误；由原命题成立，说明其逆否命题成立说明③正确；举例说明④错误．解答：解：①“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在能被2整除的整数不都是偶数”①错误；②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题是“对角线互相垂直的四边形是菱形”错误，可能是梯形；③“a，b，c∈R，若a＞b，则a+c＞b+c”成立，则其逆否命题成立，③正确；④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题为“若a+b=3，则a=1且b=2”，错误，如．故选：A．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了学生对基础知识的掌握，是中档题．2．已知函数y=log a（x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则sin2α﹣sin2α的值等于（）A． B． C．﹣ D．﹣考点：对数函数的单调性与特殊点；任意角的三角函数的定义；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：根据对数函数的单调性和特殊点求得 P（2，3），再由任意角的三角函数的定义求出sinα和cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求出sin2α﹣sin2α的值．解答：解：∵函数y=log a（x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，∴P（2，3）．若角α的终边经过点P，则x=2，y=3，r=|OP|=，∴sinα==，cosα==，∴sin2α﹣sin2α=﹣2 •=﹣，故选C．点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．3．已知，则f[f（x）]≥1的解集是（）A． B． C．D．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：先对x分段讨论，求出f[f（x）]的表达式，然后代入不等式f[f（x）]≥1求出x 的范围，写出集合形式即为解集．解答：解：当x≥0时，有f[f（x）]=∴f[f（x）]≥1即解得x≥4当x＜0时，有f[f（x）]=∴f[f（x）]≥1即解得∴不等式的解集为故选D点评：解决分段函数的有关问题，应该分段来解决，然后将各段的结果并起来即为函数的对应结果．4．已知向量（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：先设与的夹角为θ，根据题意，易得=﹣2，将其代入（+）=中易得•=﹣，进而由数量积的运算，可得cosθ的值，有θ的范围，可得答案．解答：解：设与的夹角为θ，∵，则=﹣2，（+）•=﹣•=，即•=﹣，cosθ==﹣，0°≤θ≤180°，则θ=120°，故选C．点评：本题考查向量的数量积的运用，要求学生能熟练计算数量积并通过数量积来求出向量的模和夹角或证明垂直．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．x B． 2x C．（2+1）x D．（2+2）x考点：由三视图求面积、体积．专题：探究型．分析：由三视图可知，该几何体是两个相同圆锥底面重合的一个组合体，所以根据圆锥表面积公式求表面积即可．解答：解：由图知，原几何体是两个相同圆锥底面重合的一个组合体，圆锥底面半径是1，圆锥的高是1，圆锥的母线，则表面积为，选B．故选B．点评：本题主要考查三视图的识别和判断，以及空间几何体的表面积公式，利用三视图还原为空间几何体是解决三视图题目中常用的方法．6．如图，正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，O1是上底面A1B1C1D1的中心，若正方体的棱长为2，则O1B与CD所成角的余弦值为（）A． B． C． D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：过O1作O1P∥CD，交棱B1C1于点P，连结BP，则∠BO1P就是O1B与CD所成角．由此能求出结果．解答：解：如图，过O1作O1P∥CD，交棱B1C1于点P，连结BP，则∠BO1P就是O1B与CD所成角，∵正方体的棱长为2，O1是上底面A1B1C1D1的中心，∴P是B1C1中点，O1P=1，BP==，O1P⊥BP1，∴BO1==，∴cos∠BO1P===．故选：D．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．把函数y=cosx﹣sinx的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m的最小值是（）A． B． C． D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用两角和与差的三角函数化简函数y=cosx﹣sinx，为一个角的一个三角函数的形式，通过图象的平移，得到函数的表达式，由函数图象关于y轴对称，函数在y轴处取得函数的最值，求解即可解答：解：∵函数y=cosx﹣sinx=2cos（x+），图象向左平移m个单位可得y=2cos（x+m+），根据偶函数的性质：图象关于y轴对称，故可得此函数在y轴处取得函数的最值即2cos（m+）=±2，解得，m+=kπ，∴m=kπ﹣，k∈Z，∵m＞0．k=1时，m的最小值．故选：C．点评：本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，函数的图象平移，三角函数的性质．8．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）A． B．（2﹣，2+） C． [1，3] D．（1，3）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；压轴题．分析：利用f（a）=g（b），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可．解答：解：∵f（a）=g（b），∴e a﹣1=﹣b2+4b﹣3∴﹣b2+4b﹣2=e a＞0即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+故选B点评：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系．9．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A． 4 B． C． 1 D． 2考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=4且y=6时z的最大值为4a+6b=12．再利用基本不等式求最值，即可算出+的最小值．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，其中A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（4，6）=12，即4a+6b=12．因此，+=（+）×（4a+6b）=2+（），∵a＞0，b＞0，可得≥=12，∴当且仅当即2a=3b=3时，的最小值为12，相应地，+=2+（）有最小值为4．故选：A点评：本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z=ax+by的最大值的情况下求+的最小值，着重考查了利用基本不等式求最值、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A． 1 B． C． D．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x 的值．解答：解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D点评：可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k﹣垂直，则k= 1 ．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出k值．解答：解：∵∴∵垂直∴即∴k=1故答案为：1点评：本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方．12．函数y=的最大值是．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：由5x﹣2≥0求出函数的定义域，求出的范围，利用配方法化简函数解析式，根据二次函数的性质求出此函数的最大值．解答：解：由5x﹣2≥0得，x≥，则函数的定义域是[，+∞），所以0＜≤，则函数y====≤，所以函数y=的最大值是，故答案为：．点评：本题考查函数的最值的求法，利用配方法将解析式转化关于的二次函数是解题的关键，注意应先求出函数的定义域，属于中档题．13．曲线y=sinx与直线x=0、x=、x轴所围成的图形的面积为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的概念及应用．分析：先做出函数y=sinx的图象，然后确定出交点，积分区间，则问题可解．解答：解：由题意，所求的面积为图中阴影部分：故S===．故答案为．点评：本题考查了定积分的几何意义及其求法，属于基础题．14．锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，C=2A，的取值范围是（，）．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由三角形ABC为锐角三角形，以及C=2A，利用内角和定理及不等式的性质求出A的范围，确定出cosA的范围，原式利用正弦定理化简，把C=2A代入利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果，根据cosA的范围确定出范围即可．解答：解：∵△ABC为锐角三角形，C=2A，B=180°﹣3A，∴0＜C=2A＜90°，0＜180°﹣3A＜90°，即30°＜A＜45°，∴＜cosA＜，即＜2cosA＜，由正弦定理=得：====2cosA，则的取值范围为（，），故答案为：（，）点评：此题考查了正弦定理，余弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．15．已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx ﹣2的图象，结合图象，可得实数k的取值范围．解答：解：y===函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2）在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象结合图象可实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）故答案为：（0，1）∪（1，4）点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，同时考查了作图能力和分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx+sinwx•coswx﹣1（w＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递减区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）化简f（x）的函数解析式，根据已知和周期公式可求ω的值，由x的取值范围，根据正弦函数的图象和性质即可求f（x）的取值范围；（2）由f（x）的解析式，根据正弦函数的图象和性质即可求出f（x）的单调递减区间．解答：解：（1）f（x）=sin2wx+sinwx•coswx﹣1=+sin2ωx﹣1=sin（2ωx）﹣∵w＞0，周期为π，即T==π∴可解得：ω=1，∴f（x）=sin（2x）﹣∵x∈[0，]∴2x∈[，]∴sin（2x）∈[﹣，1]，从而可求得f（x）的取值范围为[﹣1，]．（2）∵令2k≤2x≤2k，k∈Z，可解得：k≤x≤k，k ∈Z，∴函数f（x）的单调递减区间为[k，k]，k∈Z．点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．17．已知向量=（sinA，）与=（3，sinA+）共线，其中A是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．考点：向量的共线定理；基本不等式；两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）根据向量平行得出角2A的等式，然后根据两角和差的正弦公式和A为三角形内角这个条件得到A．（2）根据余弦定理代入三角形的面积公式，判断等号成立的条件．解答：解：（1）因为∥，所以；所以，即，即．因为A∈（0，π），所以．故，；（2）由余弦定理，得4=b2+c2﹣bc．又，而b2+c2≥2bc⇒bc+4≥2bc⇒bc≤4，（当且仅当b=c时等号成立）所以；当△ABC的面积取最大值时，b=c．又；故此时△ABC为等边三角形．点评：本题为三角函数公式的应用题目，属于中档题18．已知函数为奇函数．（I）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；（II）解关于x的不等式f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：（I）根据函数为R上的奇函数，得到f（0）=0，即b=0，所以函数解析式为：．然后用求导数的方法研究其单调性，根据它的导数f'（x）在区间（1，+∞）上为负数，得到函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；（II）首先移项，得到不等式f（1+2x2）＞﹣f（﹣x2+2x﹣4）．根据函数为奇函数，将原不等式化为：f（1+2x2）＞f（x2﹣2x+4）．注意到括号里的两个自变量都是不小于1的实数，从而结合函数在区间（1，+∞）上为减函数，得到1+2x2＜x2﹣2x+4，解之得﹣3＜x＜1．从而得到原不等式的解集．解答：解：（I）∵函数为定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，即b=0，∴函数解析式为：．∴对f（x）求导数，得．∵当x＞1时，＜0成立，∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．（II）由f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0，得f（1+2x2）＞﹣f（﹣x2+2x﹣4）．∵f（x）是奇函数，∴﹣f（﹣x2+2x﹣4）=f（x2﹣2x+4）．原不等式化为：f（1+2x2）＞f（x2﹣2x+4）．又∵1+2x2≥1，x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3＞1，且f（x）在[1，+∞）上为减函数，∴1+2x2＜x2﹣2x+4，即x2+2x﹣3＜0，解之得﹣3＜x＜1．∴不等式f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}点评：本题以一个分式函数为例，着重研究其单调性和奇偶性，考查了函数奇偶性与单调性的综合、一元二次不等式的解法等知识点，属于中档题．19．如图，四边形ABCD与BDEf均为菱形，已知∠DAB=∠DBF=60°，且面ABCD⊥面BDEF，AC=2．（1）求证：OF⊥平面ABCD；（2）求二面角F﹣BC﹣D的正切值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知条件推导出AC⊥BD，OF⊥BD，由此能够证明OF⊥平面ABCD．（2）过O作OH⊥BC于H，连结HF，由三垂线定理知∠FHO为二面角F﹣BC﹣D的平面角，由此能求出二面角F﹣BC﹣D的正切值．解答：（1）证明：∵面ABCD⊥面BDEF且交于BD，四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又∵∠DAB=60°，AC=2，∴OB=1，BD=2=BF，又∵∠DBF=60°，∴OF=，∠FOB=90°，∴OF⊥BD，∴OF⊥平面ABCD．（2）解：∵OF⊥平面ABCD，过O作OH⊥BC于H，连结HF，∴由三垂线定理知∠FHO为二面角F﹣BC﹣D的平面角，又∵OF=，OH=，∴tan∠OHF=2，∴二面角F﹣BC﹣D的正切值为2．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要合理地化空间问题为平面问题．20．如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v﹣c|×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y 最少．考点：函数模型的选择与应用．分析：（Ⅰ）E移动时的总淋雨量应该等于单位时间内的淋雨量乘以所用的时间，可先求出单位时间内的淋雨量的式子，再乘以时间即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质，将（Ⅰ）中的函数分解为分段函数的形式，再由c的不同取值范围讨论函数的单调性，在不同的情况下，单调区间不同，总淋雨量最小值对应的v值也不同．解答：解：（Ⅰ）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0＜v≤c时，当c≤v≤10时，故（1）当0＜c＜时，y是关于v的减函数，故当v=10时，；（2）当时，在（0，c]上y是关于v的减函数，在（c，10]上，y是关于v的增函数，故当v=c时，答：（Ⅰ）函数y的表达式为（Ⅱ）（1）在0＜c的情况下，当v=10时，总淋雨量y最少；（2）在的情况下，当v=c时，总淋雨量y最少．点评：本题着重考查函数应用能力，所建立的函数式为含有绝对值的式子．解决问题的关键一是要能根据v的范围将式子化简为分段函数，二是要将常数c进行讨论得出函数的单调性，从而得出不同情形下的最小值点．21．设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：（1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0．（2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值．解答：解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2af（x）在存在单调递增区间∴f′（x）＞0在有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为∴递减∴解得．（2）当0＜a＜2时，△＞0；f′（x）=0得到两个根为；（舍）∵∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）当x=4时最小∴=解得a=1所以当x=时最大为点评：本题考查利用导函数求参数的范围、利用导函数求函数的单调性、求函数的最值．。
湖南省衡阳县第四中学2015届高三12月月考数学(理)试题
湖南省衡阳县第四中学2015届高三12月月考数学（理）试题)时量：120分钟 满分：150分一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合},]2,0[,2{},11{∈==<-=x y y B x x A x 则=⋂B A （ ） A ． [0,1] B ．(1,2) C ． [1,2) D ． (1,3) 2. “x <-1”是“x 2-1>0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要3. 已知i 为虚数单位,则复数z=21i i-+的共轭复数在复平面上所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 执行程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )A ．120B ．720C ．1440D ．5040 5. 函数32()ln 2x f x x=-的零点一定位于区间（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．()3,4D ．()4,5 6. 由曲线y =x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.310 B ．4 C. 316D ．6 7．若二项式的展开式中的常数项为70，则实数a 可以为（ ）.A 2 .B 21 .C 2 .D 228. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到g (x )=sin2x 的图象，则只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个长度单位B ．向右平移3π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位 9．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个 几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 A ．314B ．4C ．310D ． 3 10. 设实数x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,00820104y x y x y x ,若目标12，则2a函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为＋3b的最小值为( )A ．4B ．83C ．113D ．256二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分 11 . 函数2ln y x x =-的极值点为______12. 向量1(,tan )3a α=，(cos ,1)b α=，且a ∥b ，则cos 2α=______13、某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, ,840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 14、从n 个正整数1,2,n …中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n =________.15. 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x∈[0,1]时f (x )＝x -1)21(，则①：2是函数f (x )的周期； ②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝3)21(-x其中所有正确命题的序号是________三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、（本小题满分12分） 已知函数b a bax x x f 、()(2+=为常数），且方程012)(=+-x x f 有两实根3和4（1） 求函数)(x f 的解析式（2） 设1>k ，解关于x 的不等式：xkx k x f --+<2)1()(17.（本小题满分12分）设函数)0(12cos 2)6sin()(2>+--=ωωπωx x x f 直线3=y 与函数)(x f 图像相邻两交点的距离为π.（Ⅰ）求ω的值（II ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若点)0,2(B是函数)(x f y =图像的一个对称中心，且3b =,求ABC ∆面积的最大值. 18、（本小题满分12分）某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,X Y ,求3X≤的概率;(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?19．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ， PD DC =，E 是PC 的中点． （I ）证明：PA //平面BDE ；（II ）求二面角B DE C --的平面角的余弦值；20．（本小题满分13分）如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m .在甲出发min 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =A ,53cos =C .(1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?21. （本小题满分13分）已知函数21()ln 2f x x a x =+。
湖南省衡阳县第四中学2015届高三数学上学期周考试题(三)理 湘教版
某某省某某县四中2014年下期高三周考（三）数学试题本试卷共22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数2)1(1i +等于 A21 B －21 C 、21i D －21i 2．下列四个条件中，p 是q 的必要不充分．．．．．条件的是（ ） Ａ．:p a b >，22:q a b > Ｂ．:p a b >，:22abq >Ｃ．22:p ax by c +=为双曲线，:0q ab < Ｄ．2:0p ax bx c ++>，2:0c bq a x x-+> 3. 从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A ）108种 （B ）186种 （C ）216种 （D ）270种4. 在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x =0，y =0，2x +3y =30，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）A.95B.91C.88D.755. 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）A.130B.170C.210D.2606. 设2)(,2),1(log ,2,2)(231>⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-x f x x x e x f x 则不等式的解集为 （ ）A ．),3()2,1(+∞⋃B ．),10(+∞C ．),10()2,1(+∞⋃D ．（1，2）7.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是（A ）5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ （B ）511[,],1212k k k Z ππππ++∈（C ）[,],36k k k Z ππππ-+∈（D ）2[,],63k k k Z ππππ++∈8. 若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=9.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为030的直线与椭圆的一个交点P ，且2PF x ⊥轴，则此椭圆的离心率e 为 （ ）A 3B ．3．22D ．2310. 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 （ ）A.175B. 275C.375D .475二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（11～13题）11. 在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b 73c =B =．12. 已知函数1()21xf x a =-+，若()f x 为奇函数，则a = 13. 已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （二）选做题（14 ~ 16题，考生只能从中选做两题）14.（不等式选讲选做题）对于任意的实数(0),||||||a a b a b a b a k ≠++-≥和不等式恒成立，则实数k 的最大值是_______________。
2014-2015年湖南省衡阳市衡阳四中高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
A．[﹣9，+∞）
7． （5 分）已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 0.5，现采用随机 模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率；先由计算 器产生 0 或 1 的随机数，用 0 表示正面朝上，用 1 表示反面朝上；再以每三 个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果，经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数： 101 000 111 011 010 010 101 010 001 111 100 011 100 100 011 111 000 101 110 101 ） D．0.65 = = ，
=1（a＞0，b＞0）的右焦点（4，0）到其渐近 ） D．4
，则双曲线的离心率为（ B． C．2
10． （5 分）已知直线 l：y=ax+b 与曲线 F：x= +y 没有公共点，若平行于 l 的直 线与曲线 F 有且只有一个公共点，则符合条件的直线 l（
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）
A．不存在
B．恰有一条
20． （13 分）已知函数 f（x）=2
sin（
x）在同一半周期内的图象过点 O，P，
Q，其中 O 为坐标原点，P 为函数图象的最高点，Q 为函数 f（x）的图象与 x 轴的正半轴的交点． （1）试判断△OPQ 的形状，并说明理由． （2）若将△OPQ 绕原点 O 按逆时针方向旋转角 a（0＜a＜ ）时，顶点 P，Q，
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 过程. 17． （12 分）已知等比数例{an}的公比 q＞1，a1，a2 是方程 x2﹣3x+2=0 的两根， （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{2n•an}的前 n 项和 Sn．
湖南省衡阳市衡阳县四中2014-2015年度高三上学期段考数学试卷(理科)(Word版含解析)
2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高三（上）段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内复数（1﹣i）2对应的点位于（）A．一、三象限的角平分线上 B．二、四象限的角平分线上C．实轴上 D．虚轴上2．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=3．已知sinθ=，sinθ﹣cosθ＞1，则sin2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．4．已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）A． a1+a101＞0 B． a2+a100=0 C． a3+a99＜0 D． a1=515．下列函数中在区间（1，+∞）上为增函数，且其图象为轴对称图形的是（）A． y=﹣x2+2x﹣1 B． y=cosx C． y=lg|x﹣1| D． y=x3﹣3x2+3x6．曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积为（）A． B．C． D．7．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A． B． C． D．8．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A． 18 B． 24 C． 36 D． 489．如图在矩形ABCD中，AB=，BC=4，点E为BC的中点，点F在CD上，若，则的值是（）A． B． C． D．10．已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，则|x1﹣x2|的取值范围为（）A． B． C． D．【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）11．已知圆C的圆心是直线（t为参数）与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为．【不等式】（共1小题，每小题5分，满分5分）12．若不等式＞|a﹣2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是．【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）13．（几何证明选讲选做题）如图，P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF 经过圆心O，若PF=12，PD=，则∠EFD= ，线段FD的长为．六、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）14．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为．15．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是．16．记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1．设a为正整数，数列{x n}满足x1=a，x n+1=[]（n∈N*），现有下列命题：①当a=5时，数列{x n}的前3项依次为5，3，2；②对数列{x n}都存在正整数k，当n≥k时总有x n=x k；③当n≥1时，x n＞﹣1；④对某个正整数k，若x k+1≥x k，则当n≥k时，总有x n=[]．其中的真命题有．（写出所有真命题的编号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=2sin cos+cosx．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，并求出关于x的方程g（x）=1∈，当x[0，π]时的根．18．如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA、NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=4，NC=2，M是线段PA上一动点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）若PC∥平面MEF，试求PM：MA的值．19．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及数学期望．20．已知数列{a n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S n是其前n项的和，a1，2a7，3a4成等差数列．（I）证明12S3，S6，S12﹣S6成等比数列；（II）求和T n=a1+2a4+3a7+…+na3n﹣2．21．已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ||•||cos2θ=3，过点B的直线交曲线C于P、Q两点．（1）求||+||的值，并写出曲线C的方程；（2）求△APQ面积的最大值．22．已知函数f（x）=lnx+x2．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，且a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x，x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣k（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高三（上）段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内复数（1﹣i）2对应的点位于（）A．一、三象限的角平分线上 B．二、四象限的角平分线上C．实轴上 D．虚轴上考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：根据复数的代数表示法的乘除运算化简（1﹣i）2=﹣2i，则该复数对应的点为（0，﹣2），此点在虚轴上．解答：解：由题意知，（1﹣i）2=1﹣2i+i2=﹣2i，所以该复数对应的点为（0，﹣2）．选D．点评：本题考查了复数的代数表示法的乘除运算和复数的几何意义，是考查概念的题．2．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．解答：解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选C．点评：考查四种命题的相互转化，掌握四种命题的基本格式，本题是一个基础题．3．已知sinθ=，sinθ﹣cosθ＞1，则sin2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．考点：二倍角的正弦．分析：由角的正弦值为正，判断角在第一和第二象限，又有sinθ﹣cosθ＞1知，余弦值一定小于零，从而得到角在迪尔象限，求出余弦值，用二倍角公式得到2θ的正弦值．解答：解：∵sinθ=，∴θ是第一或第二象限角，∵sinθ﹣cosθ＞1，∴cosθ＜0，∴θ是第二象限角，∴cosθ=﹣，∴sin2θ=2sinθcosθ=﹣故选A点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解，熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式是解题的关键．4．已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）A． a1+a101＞0 B． a2+a100=0 C． a3+a99＜0 D． a1=51考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由求和公式可得a1+a101=0，进而由性质可得可得a2+a100=a3+a99=0，可得答案．解答：解：由等差数列的求和公式和性质可得：a1+a2+a3+…+a101===0，故可得a2+a100=0故选B点评：本题看等差数列的求和公式和性质，属中档题．5．下列函数中在区间（1，+∞）上为增函数，且其图象为轴对称图形的是（）A． y=﹣x2+2x﹣1 B． y=cosx C． y=lg|x﹣1| D． y=x3﹣3x2+3x考点：函数单调性的判断与证明；函数的图象与图象变化；奇偶函数图象的对称性．专题：函数的性质及应用．分析：根据题干，选定的函数必须同时满足两个条件：其一，在区间（1，+∞）上为增函数；其二，图象为轴对称图形，对选项进行逐个判断即可．解答：解：选项A中，函数y=﹣x2+2x﹣1，它在区间（1，+∞）上为减函数，∴选项A不符合题意；选项B中，函数y=cosx是周期函数，∴在区间（1，+∞）上不具备单调性，∴不符合题意；选项C则符合题意，选项D中，函数y=x3﹣3x2+3x图象不是轴对称图形，∴只有选项C符合题意，故选C．点评：本题考查函数的单调性的判断，函数图象变换等知识．掌握常见函数的单调性是解题关键．6．曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积为（）A． B．C． D．考点：定积分．专题：计算题；数形结合．分析：本题利用直接法求解，画出图形，根据三角函数的对称性知，曲线y=sinx，y=cosx 与直线x=0，所围成的平面区域的面积S为：曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积的两倍．最后结合定积分计算面积即可．解答：解：如图，根据对称性，得：曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积S为：曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积的两倍．∴S=．故选D．点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、三角函数的图象等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．7．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A． B． C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图判断几何体的形状与特征，利用三视图的数据求出几何体的表面积．解答：解：由三视图可知，该几何体为两个半圆锥的对接图形．显然圆锥的底面圆的半径为1，母线长为2，但是这个对接圆面不是底面，底面正好是轴截面．所以该几何体的表面积为：=2（）．故选A．点评：本题考查几何体的表面积的求法，几何体的特征是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．8．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A． 18 B． 24 C． 36 D． 48考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：数形结合法．分析：首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．解答：解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=﹣∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P在准线上∴DP=（+||）=p=6∴S△ABP=（DP•AB）=×6×12=36故选C．点评：本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．9．如图在矩形ABCD中，AB=，BC=4，点E为BC的中点，点F在CD上，若，则的值是（）A． B． C． D．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：平面向量及应用．分析：由题意得选择基向量和，求出它们的长度和，由向量加法的三角形法则求出，代入式子由数量积运算求出，同理求出和，代入进行化简求值．解答：解：选基向量和，由题意得，=，=4，∴，∴==+=，即cos0=，解得=1，∵点E为BC的中点，=1，∴，，∴=（）•（）==5+，故选B．点评：本题考查了向量数量积的性质和运算律在几何中的应用，以及向量加法的三角形法则，关键是根据题意选基向量，其他向量都用基向量来表示．10．已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，则|x1﹣x2|的取值范围为（）A． B． C． D．考点：根与系数的关系；导数的加法与减法法则．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：由题意得：f（x）=3ax2+2bx+c，x1，x2是方程f（x）=0的两个根，由韦达定理得，x1+x2=，x1x2=，于是求=，又a+b+c=0，从而有=•+（）+①，又f（0）•f（1）＞0，可求得﹣2＜＜﹣1，代入①即可求得的范围，从而得到选项．解答：解：由题意得：f（x）=3ax2+2bx+c，∵x1，x2是方程f（x）=0的两个根，故x1+x2=，x1x2=，∴=﹣4x1•x2=，又a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b代入上式，∴===•+（）+①，又∵f（0）•f（1）＞0，∴（a+b）（2a+b）＜0，即2a2+3ab+b2＜0，∵a≠0，两边同除以a2得：+3+2＜0；∴﹣2＜＜﹣1，代入①得∈[，）∴|x1﹣x2|∈[，）．故选A．点评：本题考查根与系数的关系，着重考查韦达定理的使用，难点在于对条件“f（0）•f （1）＞0”的挖掘，充分考察数学思维的深刻性与灵活性，属于难题．【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）11．已知圆C的圆心是直线（t为参数）与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为（x+1）2+y2=2 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解，欲求圆的方程则先求出圆心和半径，根据圆与直线相切建立等量关系，解之即可．解答：解：直线（t为参数）化成普通方程是x﹣y+1=0，令y=0得x=﹣1，所以直线x﹣y+1=0，与x轴的交点为（﹣1.0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为（x+1）2+y2=2；故答案为（x+1）2+y2=2点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程等基础知识，属于容易题．【不等式】（共1小题，每小题5分，满分5分）12．若不等式＞|a﹣2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是（1，3）．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意求出的最小值，只要|a﹣2|+1小于最小值，即可满足题意，求出a的范围即可．解答：解：∵x与同号，∴．（当且仅当x=±1时取“=”）∴2＞|a﹣2|+1．∴|a﹣2|＜1，解得1＜a＜3．故答案为：（1，3）点评：本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题一般通过函数的最值解决，注意端点问题的处理．是高考常考题．【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）13．（几何证明选讲选做题）如图，P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF=12，PD=，则∠EFD= 30°，线段FD的长为．考点：与圆有关的比例线段；余弦定理；弦切角．专题：计算题；压轴题．分析：连接OD，首先根据切割线定理计算出PE的长，再进一步计算出OP的长和圆的半径的长；从而在直角三角形OPD中，根据边之间的关系求得角的度数，再根据圆周角定理进行计算要求的角．解答：解：连接DO，∵PD为切线，PEF为割线，∴由切割线定理得到PD2=PE•PF；∵PD=4 ，PF=12，∴PE==4，∴EF=PF﹣PE=8，EO=4；∵PD为切线，D为切点，∴OD⊥PD；∵在Rt△PDO中，OD=4，PO=PE+EO=8，∴∠DPO=30°，∠DOP=60°，∵OD=OF，∠DOP为∠DOF的外角，∴∠EFD=∠DOP=30°．在三角形DOF中FD=2=故答案为：30°；4点评：本题主要考查圆的切线的性质定理，考查与圆有关的比例线段，考查直角三角形中有关的三角函数的知识，本题解题的关键是熟练应用平面几何中有关的定理定义和性质，本题属于基础题．六、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）14．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为8 ．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：首先根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．解答：解：∵高一年级有30名学生，在高一年级的学生中抽取了6名，∴每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名学生，∴要抽取40×=8名学生，故答案为：8点评：本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，本题解题的关键是做出每个个体被抽到的概率，用这个概率乘以指定年级的人数，就可以得到这个年级要抽取的样本数，本题是一个基础题．15．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是﹣2 ．考点：程序框图．专题：操作型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出y值，模拟程序的运行过程，可得答案．解答：解：当x=1时，满足循环条件，此时x=2，y=0当x=2时，满足循环条件，此时x=4，y=﹣1当x=4时，满足循环条件，此时x=8，y=﹣2当x=8时，不满足循环条件，退出循环故输出结果为﹣2故答案为：﹣2点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．16．记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1．设a为正整数，数列{x n}满足x1=a，x n+1=[]（n∈N*），现有下列命题：①当a=5时，数列{x n}的前3项依次为5，3，2；②对数列{x n}都存在正整数k，当n≥k时总有x n=x k；③当n≥1时，x n＞﹣1；④对某个正整数k，若x k+1≥x k，则当n≥k时，总有x n=[]．其中的真命题有①，③，④．（写出所有真命题的编号）．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假．对于①：列举即可；对于②：需举反例；对于③，可用数学归纳法加以证明；对于④：可由归纳推理判断其正误．解答：解：对于①：当a=5时，x1=5，x2==3，x3==2，故①正确；对于②：当a=1时，=1，x3=1，x k恒等于[]=1；当a=2时，x1=2，=1，x3==1，∴当k≥2时，恒有；当a=3时，x1=3，x2=2，x3=1，x4=2，x5=1，x6=2，x7=1，…，此时数列{x n}除第一项外，从第二项起以后的项以2为周期重复出现，因此不存在正整数k，使得n≥k时，总有x n=x k，故②不正确；对于③：在中，当为正整数时，=，∴x n+1=≥=[]；当不是正整数时，令=，t为[]的小数部分，0＜t＜1，x n+1==＞[]=[]=[]，∴，∴，∴，故③正确；由以上论证知，存在某个正整数k，若x k+1≥x k，则当n≥k时，总有x n=[]，故④正确．故答案为：①，③，④．点评：本题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=2sin cos+cosx．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，并求出关于x的方程g（x）=1∈，当x[0，π]时的根．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由倍角公式化简可得解析式f（x）=2sin（x+），从而可求f（x）的最小正周期．（2）将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的解析式为g（x）=2sin（x+），由x∈[0，π]时，可得x+∈[，]，从而可求方程的根．解答：解：（1）f（x）=2（sinx+cosx）=2sin（x+）…4分所以f（x）的最小正周期为2π．…6分（2）∵将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，∴g（x）=f（x﹣）=2sin[（x﹣）+]=2sin（x+）…9分∵x∈[0，π]时，x+∈[，]，由g（x）=1得x=0或…12分．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．18．如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA、NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=4，NC=2，M是线段PA上一动点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）若PC∥平面MEF，试求PM：MA的值．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）连结BD，通过证明EF⊥平面PAC，然后证明平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）法一：利用直线与平面平行，通过相似比直接推出PM：MA的值．法二：建立如图所示的直角坐标系，推出点M为线段PA上靠近P的四等分点，得到结果．解答：解：（Ⅰ）连结BD，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，又∵BD⊥AC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，又∵E，F分别是BC、CD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥平面PAC，又EF⊂平面NEF，∴平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）法1：连结OM，∵PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF=OM，∴PC∥OM，∴，故PM：MA=1：3法2：建立如图所示的直角坐标系，则P（0，0，4），C（4，4，0），E（4，2，0），F（2，4，0），∴，，设点M的坐标为（0，0，m），平面MEF的法向量为，则，所以，即，令x=1，则y=1，，故，∵PC∥平面MEF，∴，即，解得m=3，故AM=3，即点M为线段PA上靠近P的四等分点；故PM：MA=1：3点评：本题考查平面与平面的垂直，直线与平面平行的性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：（1）每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，应用相互独立事件同时发生的概率公式可以得到（2）由题意得到两个变量的取值，做出对应事件的概率，写出分布列，求出期望．解答：解：（1）∵每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，∴应用相互独立事件同时发生的概率公式可以得到P甲=0.8×0.85=0.68，P乙=0.75×0.8=0.6．（2）由题意知ξ的取值是2.5，5η的取值是1.5，，2.5，∴随机变量ξ、η的分布列如下：P（ξ=2.5）=0.32P（ξ=5）=0.68P（η=2.5）=0.6P（η=1.5）=0.4∴Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2，Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．20．已知数列{a n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S n是其前n项的和，a1，2a7，3a4成等差数列．（I）证明12S3，S6，S12﹣S6成等比数列；（II）求和T n=a1+2a4+3a7+…+na3n﹣2．考点：等比关系的确定；数列的求和．专题：证明题．分析：（1）由a1，2a7，3a4成等差数列，我们得到一个关于数列基本量（首项和公比）的方程，由于首项为a，则易求出公式，然后根据等比数列的定义判断即可．（2）由于T n=a1+2a4+3a7+…+na3n﹣2中累加的每一项都是由两部分的积组成，这两部分一部分是等差数列，一部分是等比数列，故可用错位相消法解答．解答：（Ⅰ）证明：由a1，2a7，3a4成等差数列，得4a7=a1+3a4，即4aq6=a+3aq3．变形得（4q3+1）（q3﹣1）=0，又∵公比q不等于1，所以4q3+1=0由．．得．所以12S3，S6，S12﹣S6成等比数列．（Ⅱ）解：T n=a1+2a4+3a7+…+na3n﹣2=a+2aq3+3aq6+…+naq3（n﹣1）．即．①①×得：…②．①﹣②得=．所以．点评：要判断一个数列是否为等差（比）数列，我们常用如下几种办法：①定义法，判断数列连续两项之间的差（比）是否为定值；②等差（比）中项法，判断是否每一项都是其前一项与后一项的等差（比）中项；③通项公式法，判断其通项公式是否为一次（指数）型函数；④前n项和公式法．21．已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ||•||cos2θ=3，过点B的直线交曲线C于P、Q两点．（1）求||+||的值，并写出曲线C的方程；（2）求△APQ面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用．专题：综合题．分析：（1）设出M的坐标，利用余弦定理及||•||cos2θ=3，可求得||+||为定值，利用椭圆的定义可推断出点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，进而求得a和c，则b 可求，从而求得椭圆的方程．（2）设直线PQ方程与椭圆的方程联立消去x，设出P，Q的坐标利用韦达定理进而求得（y1﹣y2）2的表达式，换元，利用函数的单调性，即可求得三角形面积的最大值．解答：解：（1）由题意，设M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ∴|AM|2+|BM2|﹣2|AM|•|BM|cos2θ=4∴（|AM|+|BM|）2﹣2|AM|•|BM|（1+cos2θ）=4∴（|AM|+|BM|）2﹣4|AM|•|BM|cos2θ=4∵||•||cos2θ=3∴|AM|+|BM|=4∴||+||=4因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=2，c=1∴曲线C的方程为（2）设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）由 x=my+1与，消元可得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0显然，方程①的△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有S=×2×|y1﹣y2|=|y1﹣y2|y1+y2=，y1y2=∴（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=令t=3m2+3，则t≥3，（y1﹣y2）2=由于函数y=t+在[3，+∞）上是增函数，∴t+≥故（y1﹣y2）2≤9，即S≤3∴△APQ的最大值为3，此时直线PQ的方程为x=1点评：本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是直线与椭圆联立，利用韦达定理计算三角形的面积，利用函数的单调性确定最值，综合性强．22．已知函数f（x）=lnx+x2．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，且a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x，x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣k（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出g（x）的导数，函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数即为g′（x）≥0，x＞0恒成立，运用分离参数，运用基本不等式求得函数的最小值即可；（2）令e x=t，则t∈[1，2]，则h（x）=H（t）=t3﹣3at，求出H′（t），由H′（t）=0，得t=，讨论①若1＜t，②若＜t≤2，函数的单调性，即可得到极小值；（3）即证是否存在，使F'（x0）=0，因为x＞0时y=F'（x）单调递减，且F'（1）=0，所以即证是否存在使x0=1．即证是否存在m，n使m=2﹣n．求F（x）的导数，求得单调区间，构造函数G（x）=F（x）﹣F（2﹣x），其中0＜x＜1，求出导数，求得单调性，运用单调性即可得证．解答：解：（1）g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，g′（x）=+2x﹣a由题意，知g′（x）≥0，x＞0恒成立，即a≤（2x+）min．又x＞0，2x+，当且仅当x=时等号成立．故（2x+）min=2，所以a．（2）由（Ⅰ）知，1＜a，令e x=t，则t∈[1，2]，则h（x）=H（t）=t3﹣3at H′（t）=3t2﹣3a=3（t﹣）（t），由H′（t）=0，得t=，由于1＜a，则∈[1，]，①若1＜t，则H′（t）＜0，H（t）单调递减；h（x）在（0，ln]也单调递减；②若＜t≤2，则H′（t）＞0，H（t）单调递增．h（x）在[ln，ln2]也单调递增；故h（x）的极小值为h（ln）=﹣2a．（3）即证是否存在，使F'（x0）=0，因为x＞0时y=F'（x）单调递减，且F'（1）=0，所以即证是否存在使x0=1．即证是否存在m，n使m=2﹣n．证明：F（x）=2lnx﹣x2﹣k.x、F'（x）、F（x）的变化如下：x （0，1） 1 （1，+∞）F'（x） + 0 ﹣F（x）↗↘即y=F（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．又F（m）=F（n）=0且0＜m＜n所以0＜m＜1＜n．构造函数G（x）=F（x）﹣F（2﹣x），其中0＜x＜1，即G（x）=（2lnx﹣x2）﹣[2ln（2﹣x）﹣（2﹣x）2]=2lnx﹣2ln（2﹣x）﹣4x+4，=，当且仅当x=1时G'（x）=0，故y=G（x）在（0，1）单调增，所以G（x）＜G（1）=0．所以0＜x＜1时，F（x）＜F（2﹣x）．又0＜m＜1＜n，所以F（m）＜F（2﹣m），所以F（n）=F（m）＜F（2﹣m）．因为n、2﹣m∈（1，+∞），所以根据y=F（x）的单调性知n＞2﹣m，即．又在（0，+∞）单调递减，所以．即函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线不能平行于x轴．点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和极值、最值，考查分类讨论的思想方法，以及构造函数求导数，运用单调性解题，考查运算能力，属于中档题．。
湖南省衡阳县第四中学高三数学上学期阶段性练习(二)试题 理 湘教版
数学阶段性练习（二）时间：120分钟总分：150分一．选择题（共10小题）1． “3a ＞3b”是“lna ＞lnb ”的（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 既不充分也不必要条件C ． 充要条件D ． 必要不充分条件2．函数的导函数是（ ）A ． f '（x ）=2e 2xB ．C ．D ．3．设﹣，tan α，tan β是方程x 2﹣3x+4=0的两个不等实根，则α+β的值为（ ）A ．B ．C ．D ．或4．函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）A ．B ．C ．D ．5．由曲线y=sinx ，y=cosx 与直线x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是（ ）A ． 1B ．C ．D ． 2=（ ）A．B．﹣C．D．﹣7．关于函数f（x）=sinx（sinx﹣cosx）的叙述正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在[﹣，]内单调递增C．f（x）的图象关于（﹣，0）对称D．f（x）的图象关x=对称8．已知函数f（x）满足：①定义域为R；②∀x∈R，有f（x+2）=2f（x）；③当x∈[﹣1，1]时，f（x）=﹣|x|+1．则方程f（x）=log4|x|在区间[﹣10，10]内的解个数是（）A．20 B．12 C．11 D．109．已知函数的图象与直线y=m有三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（）A．B．C．D．10．如果函数f（x）对任意两个不等实数x1，x2，且x1，x2∈（a，b）都有x1f（x1）+x2f （x2）＞x1f（x2+x2f（x）1），则称函数f（x）为区间（a，b）上的“G”函数．给出下列命题：①f（x）=2x﹣sinx是R上的“G”函数；②f（x）=是R上的“G”函数；③f（x）=是R上的“G”函数；④若函数f（x）=e x﹣ax﹣2是R上的“G”函数，则a≤0．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共5小题）11．设角θ为第四象限角，并且角θ的终边与单位圆交于点P（x0，y0），若x0+y0=﹣，则cos2θ= _________ ．12．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0，则cosβ= _________ ．13．已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是_________ ．14．若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a= _________ ．15．设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=，且对任意的x∈R，满足f（x+2）﹣f（x）=3x，f（x+4）﹣f（x）=10×3x，则f（2014）= _________ ．三．解答题（共6小题）16、已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时，(1)k a+b与a-3b垂直？(2)k a+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向？17．已知（1）求函数y=f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数y=f （x ）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的，把所得到的图象再向右平移单位，得到函数y=g （x ）的图象，求函数y=g （x ）在区间[0，]上的最大值．18．△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+.(Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.19．设()()256ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6.(1)确定a 的值; (2)求函数()f x 的单调区间与极值.20．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R ，∠MOP=45°，OB 与OM 之间的夹角为θ．（Ⅰ）将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数．（Ⅱ）若R=45m ，求当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S 有最大值？其最大值是多少？（精确到0.01m 2）21．已知函数f（x）=1nx﹣ax2﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求y=f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．。
2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考数学二模试卷(理科)
2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若m=2，则A={1，4}，B={2，4}，A∩B={4}，“m=2”是“A∩B={4}”的充分条件；若A∩B={4}，则m2=4，m=±2，所以“m=2”不是“A∩B={4}”的必要条件．则“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件．故选A．当m=2时，可直接求A∩B；反之A∩B={4}时，可求m，再根据必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可．本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属基本题．2.函数f（x）=+log2（6-x）的定义域是（）A.{x|x＞6}B.{x|-3＜x＜6}C.{x|x＞-3}D.{x|-3≤x＜6}【答案】D【解析】解：要使函数有意义，x+3≥0，且6-x＞0∴|-3≤x＜6∴函数的定义域为：{x|-3≤x＜6}故答案选D．要使函数有意义，必须使函数的每一部分都有意义，函数定义域是各部分定义域的交集．函数定义域是各部分定义域的交集．3.已知函数f（x）=若f（a）=，则a=（）A.-1B.C.-1或D.1或【答案】C【解析】解：令f（a）=则或，解之得a=或-1，故选：C．按照分段函数的分类标准，在各个区间上，构造求解，并根据区间对所求的解，进行恰当的取舍．已知函数值，求对应的自变量值，是根据方程思想，构造方程进行求解．对于分段函数来说，要按照分段函数的分类标准，在各个区间上，构造求解，并根据区间对所求的解，进行恰当的取舍．4.函数的值域是（）A.（-∞，1）∪（2，+∞）B.（1，2）C.RD.[2，+∞）【答案】C【解析】解：∵令t=x2-3x+2=（x-）2-，其最小值小于0，∴log（x2-3x+2）∈R，故函数y=log（x2-3x+2）的值域是R，故选C由二次函数的性质，我们易求出x2-3x+2的值域，进而根据对数函数的性质，即可得到函数y=log（x2-3x+2）的值域本题考查的知识点是对数函数的值域，其中熟练掌握对数函数的单调性是关键．5.函数＞的图象的大致形状是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：∵y==当x＞0时，其图象是指数函数y=a x在y轴右侧的部分，因为a＞1，所以是增函数的形状，当x＜0时，其图象是函数y=-a x在y轴左侧的部分，因为a＞1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意故选C．先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．6.已知函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A.（-∞，4]B.（-∞，2]C.（-4，4]D.（-4，2]【答案】C【解析】解：若函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则当x∈[2，+∞）时，x2-ax+3a＞0且函数f（x）=x2-ax+3a为增函数即，f（2）=4+a＞0解得-4＜a≤4故选C若函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则x2-ax+3a＞0且f（2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a的不等式，是解答本题的关键．7.已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=-f（4-x），且当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x-1），则f（2014）+f（2015）的值为（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】B【解析】解：f（x）是R上的偶函数，∴f（x）=-f（4-x）=-f（x-4）；即f（x）=-f（x-4）；∴f（2014）=（-1）503f（2014-503×4）=-f（2）=-log2（2-1）=0；f（2015）=（-1）503f（2015-503×4）=-f（3）=-1；∴f（2014）+f（2015）=-1．故选B．由已知条件可得到，f（x）=-f（x-4），所以便可得到，f（2014）=（-1）503f（2014-503×4）=0，同样可得到f（2015）=-f（3）=-1，所以便有f（2014）+f（2015）=-1．考查偶函数的定义，以及由f（x）=-f（x-4）能得到f（x）=（-1）n f（x-4n），n∈N*．8.设函数，区间M=[a，b]（其中a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有（）A.1个B.3个C.2个D.0个【答案】B【解析】解：∵函数为奇函数，且函数在R为增函数若M=N成立∴f（a）=a且f（b）=b令解得x=0，或x=±1故使M=N成立的实数对（a，b）有（-1，0），（-1，1），（0，1）三组故选B由已知中函数，我们易判断出函数的单调性及奇偶性，进而根据M=N成立时，f（a）=a且f（b）=b，解方程，进而可由列举法，求出答案．本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，函数的值域，函数单调性的应用，其中根据已知中函数的解析式求确定出函数的单调性，并由M=N成立得到f（a）=a且f （b）=b，是解答本题的关键．9.在△ABC中，，， ，如果不等式恒成立，则实数t的取值范围是（）A.[1，+∞）B.，C.∞，，∞D.（-∞，0]∪[1，+∞）【答案】C【解析】解：∵，，∴，AC=1∵＜＜∴∵恒成立∴恒成立即3-6t+4t2≥1即4t2-6t+2≥0解得或故选C衔接直角三角形得AC长和角B的大小，再将向量不等式平方得二次不等式解之．考查解直角三角形；向量模的平方等于向量的平方及解二次不等式．10.已知函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，则tanα与α的关系为（）A.tanα＞αB.tanα＜αC.tanα=αD.tanα与α的关系不确定【解析】解：作出函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）的图象，如图所示，要使两个函数有且仅有三个交点，则由图象可知，直线在（π，）内与f（x）相切．设切点为A（α，-sinα），当x∈（π，）时，f（x）=|sinx|=-sinx，此时f′（x）=-cosx，x∈（π，）．所以-cosα=-，即α=tanα，故选：C．作出函数f（x）=|sinx|的图象，利用函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，确定切点坐标，然后利用三角函数的关系式证明等式．本题主要考查了两函数的交点的应用，以及三角函数的导数应用，三角函数的图象与性质，综合性强，难度大，属于难题．二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)11.已知a+b+c=1，m=a2+b2+c2，则m的最小值为______ ．【答案】【解析】解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（1+1+1）≥（a+b+c）2当且仅当a=b=c时，取等号∵a+b+c=1，m=a2+b2+c2，∴3m≥1∴m故答案为：对于“积和结构”或“平方和结构”，通常构造利用柯西不等式求解即可．柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试12.若P（2，-1）为曲线（0≤θ＜2π）的弦的中点，则该弦所在直线的普通方程为______ ．【答案】x-y-3=0【解析】解：∵曲线（0≤θ＜2π），∴（x-1）2+y2=25，∵P（2，-1）为曲线（0≤θ＜2π）的弦的中点，设过点P（2，-1）的弦与（x-1）2+y2=25交于A（x1，y1），B（x2，y2），则，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入（x-1）2+y2=25，得，∴， ，，- ，得4（x1-x2）-2（x1-x2）-2（y1-y2）=0，∴k==1，∴该弦所在直线的普通方程为y+1=x-2，即x-y-3=0．故答案为：x-y-3=0．由曲线（0≤θ＜2π），知（x-1）2+y2=25，再由P（2，-1）为曲线（0≤θ＜2π）的弦的中点，利用点差法能够求出该弦所在直线的普通方程．本题考查参数方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意参数方程和普通方程的相互转化和点差法的合理运用．13.如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE：AC=3：5，DE=6，则BF=______ ．【答案】4【解析】解：因为DE∥BC，则△ADE～△ABC，所以，即，所以BC=10．又DF∥AC，则四边形DECF是平行四边形，故BF=BC-FC=BC-DE=10-6=4．因为已知中有两个平行关系，我们可以大胆猜想，本题的解答过程一定与平行线分线段成比例定理有关，因此可以根据平行线分线段成比例定理，构建比例式，列出已知线段与未知线段之间的关系式，解方程进行求解．当题目中出现有多个平行关系时，我们可以使用平行线分线段成比例定理构造比例式，表示已知线段与未知线段之间的关系，解方程即可求解．解题思路是：分析已知量与未知量之间的关系，选择适合的性质构建方程，解方程求解．14.定义区间[x1，x2]（x1＜x2）的长度为x2-x1，已知函数的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]长度的最大值与最小值的差为______ ．【答案】3【解析】解：∵的值域为[0，2]∴∴或-2≤≤0∴或1≤x≤4即∵定义域为[a，b]时函数的值域[0，2]，由图象可知，定义域大区间的最大值为4-=，区间的最小值1-=，其差为3故答案为：3先对函数化简可得，=，，＜，做出函数的简图，结合图象可知要使得函数的值域为[0，2]则函数定义域的最大区间为[，4]，从而可求本题主要考查了对数函数的定义域及函数的值域的求解，体现了数形结合的思想的应用．15.已知，若函数f（x）在R上是减函数，则实数a的取值范围是______ ．【答案】a＜0【解析】解：由题意可得：函数为，所以′．因为函数f（x）在R上是减函数，所以′＜0在R上恒成立．因为e x+e-x＞0，所以e a-e-a＜0，解得a＜0．故答案为a＜0．由题意可得′，因为函数f（x）在R上是减函数，所以′＜0在R上恒成立．因为e x+e-x＞0，所以e a-e-a＜0，进而得到答案．解决此类问题的关键是熟练掌握求导公式，以及利用导数判断函数的单调性与球函数的单调区间问题．16.设，，且，若定义在区间，内的函数是奇函数，则a+b的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：∵定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=是奇函数，∴任x∈（-b，b），f（-x）=-f（x），即=-，∴=，则有，即1-a2x2=1-4x2，解得a=±2，又∵a≠2，∴a=-2；则函数f（x）=，要使函数有意义，则＞0，即（1+2x）（1-2x）＞0解得：-＜x＜，即函数f（x）的定义域为：（-，），∴（-b，b）⊆（-，），∴0＜b≤∴-2＜a+b≤-，即所求的范围是，；故答案为：，．由题意和奇函数的定义f（-x）=-f（x）求出a的值，再由对数的真数大于零求出函数的定义域，则所给的区间应是定义域的子集，求出b的范围进而求出a+b的范围．本题考查了奇函数的定义以及求对数函数的定义域，利用子集关系求出b的范围，考查了学生的运算能力和对定义的运用能力．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)17.设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=2x2．（Ⅰ）求x＜0时，f（x）的表达式；（Ⅱ）令g（x）=lnx，问是否存在x0，使得f（x），g（x）在x=x0处的切线互相平行？若存在，请求出x0值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）当x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-2（-x）2=-2x2；（6分）（Ⅱ）若f（x），g（x）在x0处的切线互相平行，则f'（x0）=g'（x0），（4分）′′，解得，∵x≥0，得（4分）【解析】（Ⅰ）先取x＜0，-x＞0，再由奇函数的性质f（x）=-f（-x）及x≥0时，f（x）=2x2．求出解析式即可（Ⅱ）求出两个函数的导数，令f'（x0）=g'（x0），若此方程有根，则说明存在，否则说明不存在本题考查奇函数，求解本题的关键是根据奇函数的性质得到方程解出x＜0时，f（x）的表达式，熟练掌握导数的几何意义，建立导数的方程求方程的根，以此来确定这样的直线存在与否．18.已知函数（1）求函数的定义域，并求的值（2）若-1＜a＜1，当x∈[-a，a]时，f（x）是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）由＞得-1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是（-1，1）∵，∴f（x）是奇函数∴=0（2）∵′＜对-1＜x＜1恒成立∴f（x）在（-1，1）上是减函数∴【解析】（1）根据使函数解析式有意义的原则，我们可以列出让函数解析式有意义的不等式，解不等式可求出函数的定义域，分析出函数奇偶性，根据奇偶性可以得到的值（2）求出函数的导函数，可判断出函数在[-1，1]上的单调性，进而可得x∈[-a，a]时，f（x）存在最小值f（a），代入计算即可得到答案．本题考查的知识点是函数单调性的性质，函数定义域及其求法，函数奇偶性的判断，函数的值，是对函数三要素和性质比较综合的考查，掌握函数性质的定义及判断方法是解答关键．19.已知a∈R，函数f（x）=x2（x-a）．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的零点；（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．【答案】解：（Ⅰ）由题意f（x）=x2（x-3），由f（x）=0，解得x=0，或x=3；（Ⅱ）设此最小值为m．，，，，（1）当a≤0时，f′（x）＞0，x∈（1，2），则f（x）是区间[1，2]上的增函数，所以m=f（1）=1-a（2）当a＞0时，当＜或＞时，f'（x）＞0，从而f（x）在[，+∞）上是增函数；当＜＜时，f'（x）＜0，从而f（x）在区间[0，]上是单调减函数当，即a≥3时，m=f（2）=8-4a当＜，即＜时，③当＜＜时，m=f（1）=1-a综上所述，所求函数的最小值，，＜＜，【解析】（1）将a=3代入求出函数f（x）的解析式，然后令f（x）=0求出x的值，即得到答案．（2）对函数f（x）进行求导然后对a的值进行分析：当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）是区间[1，2]上的增函数进而可得到最小值；当a＞0时，根据导函数的正负对函数区间[1，2]上的单调性进行讨论，从而确定最小值．本题主要考查函数的零点的求法、函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、函数在闭区间的最值的求法．导数时高等数学下放到高中的内容，是高考的必考内容，要给予重视．20.已知函数，其中a是大于0的常数（1）求函数f（x）的定义域；（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值；（3）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围．【答案】解：（1）由＞得，＞解得a＞1时，定义域为（0，+∞）a=1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，0＜a＜1时，定义域为＜＜或＞}（2）设，当a∈（1，4），x∈[2，+∞）时，′＞恒成立，∴在[2，+∞）上是增函数，∴在[2，+∞）上是增函数，∴在[2，+∞）上的最小值为；（3）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即＞对x∈[2，+∞）恒成立∴a＞3x-x2，而在x∈[2，+∞）上是减函数，∴h（x）max=h（2）=2，∴a＞2【解析】（1）求函数f（x）的定义域，就是）求＞，可以通过对a分类讨论解决；（2）可以构造函数，当a∈（1，4）时通过导数法研究g（x）在[2，+∞）上的单调性，再利用复合函数的性质可以求得f（x）在[2，+∞）上的最小值；（3）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即＞对x∈[2，+∞）恒成立，转化为a是x的函数，即可求得a的取值范围．本题考查函数恒成立问题，（1）着重考查分类讨论思想；（2）着重考查复合函数的函数单调性质求最值，方法为导数法；（3）着重考查分离参数法，是一道好题．21.已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数（1）求k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x-a），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【答案】解（1）∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R））是偶函数∴f（-x）=log4（4-x+1）-kx）=log4（）-kx=log4（4x+1）+kx（k∈R）恒成立∴-（k+1）=k，则k=．（2）g（x）=log4（a•2x-a），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程f（x）=g（x）只有一个解由已知得log4（4x+1）x=log4（a•2x-a），∴log4（）=log4（a•2x-a），方程等价于，设2x=t，t＞0，则（a-1）t2--1=0有一解若a-1＞0，设h（t）=（a-1）t2--1，∵h（0）=-1＜0，∴恰好有一正解∴a＞1满足题意若a-1=0，即a=1时，h（t）=--1，由h（t）=0，得t=-＜0，不满足题意若a-1＜0，即a＜1时，由，得a=-3或a=，当a=-3时，t=满足题意当a=时，t=-2（舍去）综上所述实数a的取值范围是{a|a＞1或a=-3}．【解析】（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值；（2）根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强．22.已知函数，g（x）=lnx．（Ⅰ）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程′在区间，内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，符合题意．当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为，由于y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，所以，解得a≤-2或a＞0，所以a＞0．当a＜0时，不符合题意．综上，a的取值范围是a≥0．（Ⅱ）把方程′整理为，即为方程ax2+（1-2a）x-lnx=0．设H（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（x＞0），原方程在区间（，）内有且只有两个不相等的实数根，即为函数H（x）在区间（，）内有且只有两个零点′=令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或（舍）当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．H（x）在（，）内有且只有两个不相等的零点，只需＞＜＞即＞＜＞∴＜＞＞解得＜＜，所以a的取值范围是（，）．【解析】（1）由于函数的解析式中含有参数a，故我们要对a进行分类讨论，注意到a出现在二次项系数的位置，故可以分a＞0，a=0，a＜0三种情况，最后将三种情况得到的结论综合即可得到答案．（2）方程′整理为ax2+（1-2a）x-lnx=0构造函数H（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（x＞0），则原方程在区间，内有且只有两个不相等的实数根即为函数H（x）在区间（，）内有且只有两个零点，根据函数零点存在定理，结合函数的单调性，构造不等式组，解不等式组即可得到结论．遇到类二次方程/函数/不等式（即解析式的二次项系数含有参数）时，一般要进行分类讨论，分类的情况一般有： 先讨论二次项系数a是否为0，以确定次数 再讨论二次项系数a是否大于0，以确定对应函数的开口方向，③再讨论△与0的关系，以确定对应方程根的个数．。
2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）．1．（5分）集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为（）A．0B．1C．2D．42．（5分）设函数f（x）＝，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）3．（5分）函数是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数4．（5分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0D．存在x∈R，x3﹣x2+1＞05．（5分）下列四个函数中，在区间（﹣1，0）上为减函数的是（）A．y＝log2|x|B．y＝cos x C．D．6．（5分）若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y＝2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A．15个B．12个C．9个D．8个7．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）＝（1+x）f（x），则的值是（）A．0B．C．1D．8．（5分）对于正实数a，记M a为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：∀x1，x2∈R且x2＞x1，有﹣a（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜a（x2﹣x1）．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈M，g（x）∈M，则f（x）•g（x）∈MB．若f（x）∈M，g（x）∈M，且g（x）≠0，则∈MC．若f（x）∈M，g（x）∈M，则f（x）+g（x）∈M＞a2，则f（x）﹣g（x）∈MD．若f（x）∈M，g（x）∈M，且a9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x+1）＝f （1﹣x）成立，且（x﹣1）f′（x）＜0，设a＝f（0），b＝f（），c＝f（3），则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 10．（5分）对于函数f（x）与g（x）和区间D，如果存在x0∈D，使|f（x0）﹣g （x0）|≤1，则称x0是函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：①f（x）＝x2，g（x）＝2x﹣3②f（x）＝，g（x）＝x+2③f（x）＝e﹣x，g（x）＝﹣④f（x）＝lnx，g（x）＝x﹣其中在区间（0，+∞）上存在“友好点”的有（）A．①②B．②③C．③④D．①④二.填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，没小题5分，共25分.（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）（选修4-5：不等式选讲）11．（5分）函数y＝的最大值等于．（选修4-4：极坐标与参数方程）12．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），曲线C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与曲线C交于A，B两点，则|AB|＝．（几何证明选讲选做题）13．如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若P A＝4，PC＝5，则∠CBD＝．二.填空题（必做题）14．（5分）设p：x2﹣x﹣20＞0，q：＜0，则p是非q的条件．15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）＝x2﹣1，则f（2011）＝．16．（5分）已知以下四个命题：①如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实根，且x1＜x2，那么不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}；②若，则（x﹣1）（x﹣2）≤0；③“若m＞2，则x2﹣2x+m＞0的解集是实数集R”的逆否命题；④定义在R的函数f（x），且对任意的x∈R都有：f（﹣x）＝﹣f（x），f（1+x）＝f（1﹣x），则4是y＝f（x）的一个周期．其中为真命题的是（填上你认为正确的序号）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共75分）．17．（12分）设全集是实数集R，A＝{x|2x2﹣7x+3≤0}，B＝{x|x2+a＜0}．（1）当a＝﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若（∁R A）∩B＝B，求实数a的取值范围．18．（12分）已知a＞0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递减，q：设函数对任意的x，恒有y＞1．若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝log4（4x+1）+kx（x∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）﹣m＝0有解，求m的取值范围．20．（13分）已知函数f（x）＝x2+lnx﹣ax在（0，1）上是增函数．（1）求a的取值范围；（2）设g（x）＝e2x﹣ae x﹣1，x∈[0，ln3]，求g（x）的最小值．21．（13分）已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）＝1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式f（2x2﹣1）＜2．22．（13分）已知函数f（x）＝ax2+ax和g（x）＝x﹣a．其中a∈R且a≠0．（Ⅰ）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由．（Ⅲ）若p和q是方程f（x）﹣g（x）＝0的两根，且满足，证明：当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p﹣a．2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）．1．（5分）集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为（）A．0B．1C．2D．4【解答】解：∵A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0，1，2，4，16}∴∴a＝4，故选：D．2．（5分）设函数f（x）＝，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）【解答】解：函数f（x）＝，则f（1）＝3，不等式f（x）＞f（1）等价于：或，解得：x∈（﹣3，1）∪（3，+∞）．故选：A．3．（5分）函数是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数【解答】解：∵1﹣x2≥0，∴﹣1≤x≤1∴＝，故f（x）是偶函数，因此B对．故选：B．4．（5分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0D．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0故选：D．5．（5分）下列四个函数中，在区间（﹣1，0）上为减函数的是（）A．y＝log2|x|B．y＝cos x C．D．【解答】解：A、∵y＝log2x在（0，+∞）上是增函数，∴y＝log2（﹣x）在（﹣1，0）上是减函数，故对；B、y＝cos x在（﹣，0）上是增函数，∴y＝cos x在在（﹣1，0）上是增函数，故错；C、在R上是增函数，∴在（﹣1，0）上是增函数，故错；D、在R上是增函数，∴在（﹣1，0）上是增函数，故错；故选：A．6．（5分）若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y＝2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A．15个B．12个C．9个D．8个【解答】解：由y＝2x2+1＝3，得x2＝1，即x＝1或x＝﹣1，由y＝2x2+1＝19，得x2＝9，即x＝3或x＝﹣3，即定义域内﹣1和1至少有一个，有3种结果，﹣3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3＝9种，故选：C．7．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）＝（1+x）f（x），则的值是（）A．0B．C．1D．【解答】解：若x≠0，则有，取，则有：∵f（x）是偶函数，则由此得于是，故选：A．8．（5分）对于正实数a，记M a为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：∀x1，x2∈R且x2＞x1，有﹣a（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜a（x2﹣x1）．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈M，g（x）∈M，则f（x）•g（x）∈MB．若f（x）∈M，g（x）∈M，且g（x）≠0，则∈MC．若f（x）∈M，g（x）∈M，则f（x）+g（x）∈MD．若f（x）∈M，g（x）∈M，且a＞a2，则f（x）﹣g（x）∈M【解答】解：对于﹣a（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜a（x2﹣x1），即有﹣a＜＜a，令k＝，有﹣a＜k＜a，不妨设f（x）∈M a1，g（x））∈M a2，即有﹣a1＜k f＜a1，﹣a2＜k g＜a2，因此有﹣a1﹣a2＜k f+k g＜a1+a2，因此有f（x）+g（x）∈M a1+a2．故选：C．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x+1）＝f （1﹣x）成立，且（x﹣1）f′（x）＜0，设a＝f（0），b＝f（），c＝f（3），则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：由题意得：对任意x∈R，都有f（x+1）＝f（1﹣x）成立，所以函数的对称轴为x＝1，所以f（3）＝f（﹣1）．因为当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，所以f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增．因为﹣1＜0＜，所以f（﹣1）＜f（0）＜f（），即f（3）＜f（0）＜f（），所以c＜a＜b．故选：C．10．（5分）对于函数f（x）与g（x）和区间D，如果存在x0∈D，使|f（x0）﹣g （x0）|≤1，则称x0是函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：①f（x）＝x2，g（x）＝2x﹣3②f（x）＝，g（x）＝x+2③f（x）＝e﹣x，g（x）＝﹣④f（x）＝lnx，g（x）＝x﹣其中在区间（0，+∞）上存在“友好点”的有（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①f（x）﹣g（x）＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2≥2，∴要使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，不可能，不满足条件，∴在区间（0，+∞）上的不存在唯一“友好点”，∴①不正确．②g（x）﹣f（x）＝x﹣+2＝（﹣）2+≥＞1，∴不存在x0∈D，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，∴函数不存在“友好点”，∴②错误．③设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e﹣x+，则函数h（x）在（0，+∞）上单调减，∴x→0，h（x）→+∞，x→+∞，h（x）→0，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1的x0不唯一，∴③满足条件，∴③正确．④h（x）＝g（x）﹣f（x）＝x﹣lnx，（x＞0），h′（x）＝1﹣，令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，∴x＝1时，函数取得极小值，且为最小值，最小值为h（1）＝1﹣0＝1，∴g（x）﹣f（x）≥1，∴当x0＝1时，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1的x0唯一，∴④满足条件．故选：C．二.填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，没小题5分，共25分.（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）（选修4-5：不等式选讲）11．（5分）函数y＝的最大值等于2．【解答】解：由于y≥0，则y2＝x﹣1+5﹣x+2＝4+2＝4+2当x＝3时，y2取最大值4+2×2＝8，即有y的最大值为2．故答案为：（选修4-4：极坐标与参数方程）12．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），曲线C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与曲线C交于A，B两点，则|AB|＝．【解答】解：∵直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），∴直线l的普通方程为：y＝x．∵曲线C的参数方程为（θ为参数），∴曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+y2＝4．∵直线l与曲线C交于A，B两点，∴圆心（1，0）到直线l：x﹣y＝0的距离为：，∴|AB|＝2＝2＝．故答案为：．（几何证明选讲选做题）13．如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若P A＝4，PC＝5，则∠CBD＝30°．【解答】解：由割线定理得，P A×PB＝PC×PD，∵P A＝4，PC＝5，∴4×10＝5×PD，∴PD＝8，∴CD＝8﹣5＝3，∴△CDO是等边三角形，∴∠COD＝60°，从而∠CBD＝30°．故填：30°或．二.填空题（必做题）14．（5分）设p：x2﹣x﹣20＞0，q：＜0，则p是非q的充分不必要条件．【解答】解：由x2﹣x﹣20＞0得x＞5或x＜﹣4，即p：x＞5或x＜﹣4，由＜0得|x|﹣2＜0，解得﹣2＜x＜2，即q：﹣2＜x＜2，非q：x≥2或x ≤﹣2，即p是非q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）＝x2﹣1，则f（2011）＝8．【解答】解：由题意知，定义在R上的函数f（x）有，则令x＝x+2代入得，∴f（x+4）＝＝＝f（x），∴函数f（x）是周期函数且T＝4，∴f（2011）＝f（4×502+3）＝f（3），∵当x∈（0，4）时，f（x）＝x2﹣1，∴f（3）＝8．即f（2011）＝8．故答案为：8．16．（5分）已知以下四个命题：①如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实根，且x1＜x2，那么不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}；②若，则（x﹣1）（x﹣2）≤0；③“若m＞2，则x2﹣2x+m＞0的解集是实数集R”的逆否命题；④定义在R的函数f（x），且对任意的x∈R都有：f（﹣x）＝﹣f（x），f（1+x）＝f（1﹣x），则4是y＝f（x）的一个周期．其中为真命题的是③④（填上你认为正确的序号）．【解答】解：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实根，且x1＜x2，那么当a＞0时，不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，故①错误；若，则（x﹣1）（x﹣2）≤0且x﹣2≠0，故②错误；∵若m＞2，则x2﹣2x+m＞0的解集是实数集R为真命题，∴“若m＞2，则x2﹣2x+m＞0的解集是实数集R”的逆否命题也为真命题；∵定义在R的函数f（x），且对任意的x∈R都有：f（﹣x）＝﹣f（x），f（1+x）＝f（1﹣x），则f（2+x）＝f[（1+x）+1]＝f[1﹣（1+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（4+x）＝﹣f（2+x）＝f（x），即4是y＝f（x）的一个周期．故④也为真命题故答案为③④三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共75分）．17．（12分）设全集是实数集R，A＝{x|2x2﹣7x+3≤0}，B＝{x|x2+a＜0}．（1）当a＝﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若（∁R A）∩B＝B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A＝{x|≤x≤3}，当a＝﹣4时，B＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{x|≤x＜2}，A∪B＝{x|﹣2＜x≤3}．…（6分）（2）∁R A＝{x|x＜或x＞3}，当（∁R A）∩B＝B时，B⊆∁R A，①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁R A；②当B≠∅，即a＜0时，B＝{x|﹣＜x＜}，要使B⊆∁R A，需≤，解得﹣≤a＜0．综上可得，实数a的取值范围是a≥﹣．…（12分）18．（12分）已知a＞0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递减，q：设函数对任意的x，恒有y＞1．若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．【解答】解：若p是真命题，则0＜a＜1…（2分）若q是真命题，则函数y＞1恒成立，即函数y的最小值大于1，而函数y的最小值为2a，只需2a＞1∴∴q为真命题时，…（6分）又∵p∧q为假，p∨q为真∴p与q一真一假…（8分）若p真q假，则；若p假q真，则a≥1…（10分）故a的取值范围为或a≥1…（12分）19．（12分）已知函数f（x）＝log4（4x+1）+kx（x∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）﹣m＝0有解，求m的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）＝log4（4x+1）+kx（x∈R）是偶函数．可知f（x）＝f（﹣x）∴log4（4x+1）+kx＝log4（4﹣x+1）﹣kx（（2分）即∴log44x＝﹣2kx（4分）∴x＝﹣2kx对x∈R恒成立．（6分）∴k＝．（7分）（2）由，∴．（9分）∵（11分）∴（13分）故要使方程f（x）﹣m＝0有解，m的取值范围：．（14分）20．（13分）已知函数f（x）＝x2+lnx﹣ax在（0，1）上是增函数．（1）求a的取值范围；（2）设g（x）＝e2x﹣ae x﹣1，x∈[0，ln3]，求g（x）的最小值．【解答】解：（1），∵f（x）在（0，1）上是增函数，∴在（0，1）上恒成立，即恒成立，∴只需即可．∴（当且仅当时取等号），∴（2）设e x＝t，∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]．设，其对称轴为，由（1）得，∴则当，即时，h（t）的最小值为当，即a＜2时，h（t）的最小值为h（1）＝﹣a所以，当时，g（x）的最小值为，当a＜2时，g（x）的最小值为﹣a21．（13分）已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）＝1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式f（2x2﹣1）＜2．【解答】解：（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），令x1＝x2＝1，代入上式解得f（1）＝0，令x1＝x2＝﹣1，代入上式解得f（﹣1）＝0，令x1＝﹣1，x2＝x代入上式，∴f（﹣x）＝f（﹣1•x）＝f（﹣1）+f（x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．（2）设x2＞x1＞0，则＝∵x2＞x1＞0，∴，∴＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．（3）∵f（2）＝1，∴f（4）＝f（2）+f（2）＝2，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（2x2﹣1）＜2可化为f（|2x2﹣1|）＜f（4），又∵函数在（0，+∞）上是增函数，∴|2x2﹣1|＜4，且2x2﹣1≠0，即﹣4＜2x2﹣1＜4，且2x2≠1解得：，且x≠，即不等式的解集为{x|，且x≠}．22．（13分）已知函数f（x）＝ax2+ax和g（x）＝x﹣a．其中a∈R且a≠0．（Ⅰ）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由．（Ⅲ）若p和q是方程f（x）﹣g（x）＝0的两根，且满足，证明：当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p﹣a．【解答】解：（Ⅰ）设函数g（x）图象与x轴的交点坐标为（a，0），又∵点（a，0）也在函数f（x）的图象上，∴a3+a2＝0．而a≠0，∴a＝﹣1（Ⅱ）依题意，f（x）＝g（x），即ax2+ax＝x﹣a，整理，得ax2+（a﹣1）x+a＝0，①∵a≠0，函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，∴△＞0，即△＝（a﹣1）2﹣4a2＝﹣3a2﹣2a+1＝（3a﹣1）（﹣a﹣1）＞0．∴﹣1＜a＜且a≠0．设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，由①得，x1•x2＝1＞0，．设点o到直线g（x）＝x﹣a的距离为d，则，．∴S△OAB＝＝．∵﹣1＜a＜且a≠0，∴当时，S△OAB 有最大值，S△OAB无最小值．f（x）﹣g（x）＝a（x﹣p）（x﹣q）．∵，∴a（x﹣p）（x﹣q）＞0，∴当x∈（0，p）时，f（x）﹣g（x）＞0，即f（x）＞g（x）．又f（x）﹣（p﹣a）＝a（x﹣p）（x﹣q）+x﹣a﹣（p﹣a）＝（x﹣p）（ax﹣aq+1），x﹣p＜0ax﹣aq+1＞1﹣aq＞0，∴f（x）﹣（p﹣a）＜0，∴f（x）＜p﹣a，综上可知，g（x）＜f（x）＜p﹣a．。
湖南省衡阳县第四中学2015届高三数学(理)专题复习 高考中图表信息题]
数学高考中图表信息题图表信息题是通过图像、图形及表格等形式给出信息的一种新题型.由于这类题立意新颖、构思精巧、解法灵活，能突出对考生的阅读理解能力、获取信息与处理信息能力的考查，因而备受各级各类考试命题者的青睐，频频出现在各级各类考试卷中.下面从有关省市高考题及高考模拟题中精选出部分典型试题并予以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.一、函数图像信息题函数图像能反映函数定义域、值域、单调性、奇偶性（对称性）、特殊点（交点、边界点、最值点）等性态，在解答时应从这些方面入手加以分析，充分挖掘图像信息，并注意与方程、不等式联合起来正确求解.例1设f＇(x)是函数f(x)的导函数，y= f＇(x)的图像如图1所示，则y= f(x)的图像最有可能的是解析观察所给导函数f＇(x)的图像，可知x<0时，f＇(x)>0，则f(x)为增函数；当0<x<2时，f＇(x)<0，则f(x)为减函数；当x>2时，f＇(x)>0，则f(x)为增函数.选项中只有C选项符合上述f(x)的单调性，故应选C.点评解决图像类型的题目关键是抓住图像中所提供的信息，抓住主要数学特征和图形特征，然后再定量分析.本题主要涉及导函数、函数图像、函数的单调性等基本知识，解题过程中运用了数形结合的思想方法.例2一水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水速度如图2甲、乙所示.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图2丙所示.（至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则一定不确定的论断是.解析由图甲知，一个进水口在1小时内可进1单位水，所以由0点到3点两个进水口只进水，出水口不出水；由图乙知，出水口在1小时内可出2单位水，在3点到4点只出水1单位，所以从3点到4点开一个进水口，一个出水口；由图丙知，从4点到6点可同时开两个进水口，一个出水口，此时进水与出水也可保持平衡.综上所述，一定不确定的论断是②③.点评 读图、识图、用图是解题的开窍点.通过观察（观者看也，观察者思也），寻找图像中的关键点、一些能够引起质的飞跃的地方，方能快速实现图像语言向文字语言的转化.图像试题是近年高考数学命题的一道亮丽的风景，这正迎合了我们现在所处的读图时代.二、几何图形信息题几何图形具有多样化、直观化的特征，图形信息题是一类极富思考性、挑战性和趣味性的问题.充分挖掘图形内涵，全方位地审视图形，全面掌握图形所提供的信息，以形助数是解决图形信息题的关键.例3 如图3，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半，如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量OA 围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则sin6cos6θθ+= .分析 本题要仔细阅读题意，分析图形，把握图形与题意的联系，可从简单情形，特殊位置入手，找到变化规律来解决问题.解析 从第一图的开始位置变化到第二图时，向量绕点O 旋转了-3π（注意绕点O 是顺时针方向旋转），从第二图位置变化到第三图时，向量绕点O 旋转了-32π，则从第一图的位置变化到第三图位置时，正好小正六边形滚过大正六边形的一条边，向量OA 绕点O 旋转了-π.则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，向量绕点O 共旋转了-6π，即θ= -6π，因而sin6cos6θθ+=cos(-π)+sin(-π)= -1.点评 本题主要考查读图能力，向量的概念，及其有关向量、三角的基本运算能力.例4 如图4，甲、乙两人分别位于方格中A 、B 两处，从某一时刻开始，两人同时以每分钟一格的速度向东或西或南或北方向行走，已知甲向东、西行走的概率均为41，向南、北行走的概率分别为31和p ；乙向东、西、南、北行走的概率均为q .（1）求p 和q 的值；（2）试判断最少几分钟，甲、乙两人可以相遇，并求出最短时间内可以相遇的概率. 解析 （1）甲向四个方向行走是一个必然事件， ∴41+41+31+p =1，∴p =61. 同理4q =1，∴q =41. （2）甲、乙两人最少需要2分钟可以相遇.如图5，设甲、乙两人在C 、D 、E 处相遇的概率分别为p C 、p D 、p E .则p C =（61×61）×（41×41）=5761，p D =2（61×41）×2（41×41）=961，p E =（41×41）×（41×41）=2561.∴p C +p D +p E =5761+961+2561=230437.即所求的概率为230437.点评 本题主要考查相互独立事件同时发生和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力.三、统计图信息题条形统计图能直观反映各种数据，具有可比较性、规律性.理解图形内容，找出变化趋势和规律，是解答条形图信息题的关键.例5 甲、乙两射击运动员进行射击训练比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数稳定在7，8，9，10环.他们的这次成绩画成频率分布直方图如图6所示.（1）根据这次训练比赛的成绩频率分布直方图，推断乙击中8环的概率P（ξ乙=8），并求甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率；（2）根据这次训练比赛的成绩估计甲，乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）.解析（1）由图乙可知P（ξ乙=7）=0.2，P（ξ乙=9）=0.2，P（ξ乙=10）=0.35，∴P（ξ乙=8）=1-0.2-0.2-0.5=0.25.由图甲可知P（ξ甲=7）=0.2，P（ξ甲=8）=0.15，P（ξ甲=9）=0.3，∴P（ξ甲=10）=1-0.2-0.15-0.3=0.35.∵P（ξ甲≥9）=0.3+0.35=0.65，P（ξ乙≥9）=0.2+0.35=0.55，∴甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率为：P=P（ξ甲≥9）×P（ξ乙≥9）=0.65×0.35=0.3575.（2）∵Eξ甲=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8，Eξ乙=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7，∴Eξ甲>Eξ乙，所以估计甲的水平更高.点评本题以频率分布直方图为载体，考查概率的计算和期望的意义及计算，富有时代气息和生活气息，具有较高的实用价值.四、表格信息题表格能集中给出解题信息，简洁明了.理解表中内容，根据数据特征找出数量关系进行计算或推理，是求解表格信息题的关键.例6函数f(x)=ax32则函数y=lg f(x)的定义域为.分析观察表中有三个x值使y=0，联想二次函数的零点解析式y=a(x-x1)(x-x2)，因而不难设出f(x)的解析式，进而求之，再解高次不等式即可求出函数y=lg f(x)的定义域.解析设f(x)=a(x+1)(x-1)(x-2)，而f(0)=4，∴a=2，∴f(x)=2(x+1)(x-1)(x-2).要使y=lg f(x)有意义，则有f(x)=2(x+1)(x-1)(x-2)>0，由数轴标根法解得-1<x<1或x>2.∴函数y=lg f(x)的定义域为（-1，1）∪（2，+∞）.点评本题把求函数解析式与高次不等式的解法巧妙地结合在一起，而且给出了多余的条件信息，属开放问题，这些正是题目命制的创新之处.解答这类信息过剩的问题时，要注意从众多的信息中，观察、分析、筛选，放弃无用的信息，挑选出与解题有关的信息，找到解题的突破口，这种能力正是在当今“信息大爆炸”的社会所需要的能力.解答这类背景新颖的创新试题，要善于观察分析，挖掘问题的本质特征，联想类似的熟悉问题（如本例中联想二次函数的零点解析式），通过类比迁移使问题得到解决，这种联想、类比、迁移的能力是继续学习和发明创造的需要，因而也是现在的高考考查的热点.针对练习1 某人定制了一批地板砖，每块地板砖（如图1所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，CE=CF ，△CFE ，△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE ，△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3﹕2﹕1。
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湖南省衡阳县四中2014高三下期周考数学试题（二）本试卷共22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是（ ）A.4B.3C.2D.1 2. 复数z =iim 212+-（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为（ ）A.（4π，2π）∪（π，45π） B.（4π，π） C.（4π，45π）D.（4π，π）∪（45π，23π） 4. 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足S n =90n （21n －n 2－5）（n =1，2，……，12）. 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ ）A.5月、6月B.6月、7月 C ．7月、8月 D.8月、9月5. 如果111A BC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形6.设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=， 则(|| 1.96)P ξ<=（ ） A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.9757、如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，1112,4AC AA ==,则该几何体的表面积为（ ）B 24C 6D 32(第7题图) （第8题图） 8、如图在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若,AB mAM AC nAN == ，则mn 的最大值为（ ）A12B 1C 2D 4 9. 已知双曲线12222=-by a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2)C.[2,+∞]D.(2,+∞)10. 对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分． （一）必做题（11~ 13题）11. 一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．12. 在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是________________13. 设P （3，1）为二次函数2()2(1)f x ax ax b x =-+≥的图象与其反函数)(1x f f -=的图象的一个交点，则a=________________b=________________ （二）选做题（14 ~ 16题，考生只能从中选做两题）14. （坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两CM图种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线12cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）相交于两点A 和B ，则|AB|=_______. 15. （不等式选讲选做题）不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为_______.16. (几何证明选讲选做题)如图，三角形ABC 中，AC AB =，⊙O 经过点A ，与BC 相切于B ，与AC 相交于D ，若1==CD AD ，则⊙O 的 半径=r ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. （本题满分12分）如图A 、B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限. C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，△AOB 为正三角形. （Ⅰ）求sin COA ∠； （Ⅱ）求cos COB ∠.18. (本题满分12分)甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是25，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是320，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是340，且乙通过测试的概率比丙大.（Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少； （Ⅱ）求测试结束后通过的人数ξ的数学期望E ξ.第16题图19. （本题满分12分)如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形, PA ⊥平面ABCD , 点F 为PC 的中点. （Ⅰ）求证://PA 平面BDF ; （Ⅱ）求证:BD ⊥平面PAC .20. （本题满分13分)已知数列的等比数列公比是首项为41,41}{1==q a a n ，设 *)(log 3241N n a b n n ∈=+，数列n n n n b a c c ⋅=满足}{。
（1）求证：}{n b 是等差数列； （2）求数列}{n c 的前n 项和S n ； （3）若对1412-+≤m m c n 一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围。
21. （本题满分13分) 已知函数()32(,)f x x a x b a b R =-++∈. （1）若()f x 在[0，2]上是增函数，2x =是方程()0f x =的一个实根，求证：(1)2f ≤-； （2）若()f x 的图象上任意不同两点的连线斜率小于1，求实数a 的取值范围.AFPDCB22. （本题满分13分) 已知点100(,)P x y 为双曲线222218x y b b -=（b 为正常数）上任一点,2F 为双曲线的右焦点,过1P 作右准线的垂线,垂足为A ,连接2F A 并延长交y 轴于2P .(1) 求线段1P 2P 的中点P 的轨迹E 的方程; (2) 设轨迹E 与x 轴交于B D 、两点,在E 上任取一点111,(0)Q x y y ≠（）,直线QB QD ，分别交y 轴于M N ，两点.求证:以MN 为直径的圆过两定点.周考（二）参考答案及详细解析答案：1-10:CACCDCABCD 11.10 12.10 13. 15,.22a b =-=14.14 15. (,1][4,)-∞-+∞ 16.7142 一、选择题 1.答案：C【解析】M={2，3}或M={1，2，3}因为M ⊆{1，2，3}，因此M 必为集合{1，2，3}的子集，同时含元素2，3. 2. 答案：A 【解析】由已知z =51)21)(21()21)(2(212=-+--=+-i i i i m i i m ［（m －4）－2（m +1）i ］在复平面对应点如果在第一象限，则⎩⎨⎧<+>-0104m m 而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.3. 答案：C【解析】解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4π和45π，由图1可得C 答案.图1 图2解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图2） 4. 答案：C【解析】n 个月累积的需求量为S n ．∴第n 个月的需求量为a n ＝S n －S n －1＝90n （21n －n 2－5）－901-n ［21（n －1）－（n －1）2－5］ ＝301（－n 2＋15n －9）a n ＞1．5即满足条件，∴90n （－n 2＋15n －9）＞1.5，6＜n ＜9（n ＝1，2，3，…，12）， ∴n =7或n =8． 5.答案:D【解析】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A BC ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形。
故选D 。
6.答案：C【解析】ξ服从标准正态分布(01)N ，，(|| 1.96)( 1.96 1.96)P P ξξ⇒<=-<<= (1.96)( 1.96)12( 1.96)120.0250.950.ΦΦΦ--=--=-⨯= 7. 答案：A【解析】此几何体为正三棱柱，底面边长为2，高为4。
8. 答案：B 【解析】)(21(21n m AC +=+=,M 、O 、N 共线，所以)0,0(2>>=+m n n m 1)2(2=+≤n m mn 9. 答案：C【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a ，∴ b a≥3，离心率e 2=22222c a b a a +=≥4，∴ e ≥2，选C 10.答案：D【解析】函数①()lg(21)f x x =-+，函数(2)f x +=lg(||1)x +是偶函数；且()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；但对命题丙：(2)()f x f x +-=||1lg(||1)lg(|2|1)lg|2|1x x x x ++--+=-+在x ∈(－∞,0)时，(||1)12lglg lg(1)(|2|1)213x x x x x +-+==+-+-+-为减函数，排除函数①，对于函数③，()cos(2)f x x =+函数(2)cos(2)f x x +=+不是偶函数，排除函数③ 只有函数②2()(2)f x x =-符合要求，选D 二、填空题 11. 答案：10 12.答案：10【解析】对于()251031551()()1r rrr r r r T C x C x x--+=-=-，对于1034,2r r -=∴=，则4x 的 项的系数是225(1)10C -=13.答案：15,.22a b =-=【解析】 P （3，1）为二次函数2()2(1)f x ax ax b x =-+≥上的点，196.a a b =-+ 又P （3，1）为反函数上的点，则P （1，3）在原函数上，32.a a b ⇒=-+联立解得15,.22a b =-= 14.答案：【解析】直线的普通方程为y x =，曲线的普通方程22(1)(2)4x y -+-=∴||AB == 15.答案：(,1][4,)-∞-+∞【解析】因为24314313x x x x a a -≤+--≤+--≤-对对任意x 恒成立，所以22343041a a a a a a -≥-≥≥≤-即，解得或16. 答案7142 三、解答题17. （本题满分12分） 解：（1）因为A 点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，根据三角函数定义可知4sin 5COA ∠=---4分 （2）因为三角形AOB 为正三角形，所以060AOB ∠=，4sin 5COA ∠=，3cos 5COA ∠=， -----------------------------6分 所以cos COB ∠=0cos(60)COA ∠+00cos cos60sin sin 60COA COA =∠-∠ -------------------------10分18. 解（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是x 、y 依题意得：23,52033(1)(1),540xy x y ⎧=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ 即3,41.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或 1,23.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）┅┅┅┅┅┅┅4分 所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是34、12. ┅┅┅┅┅┅┅6分 （Ⅱ）因为3(0)40P ξ== 3(3)20P ξ==2312312317(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)54254254220P ξ==--+--+--=01317(2)1()40P P P P ξ==-++= 所以E ξ=371733301234020402020⋅+⋅+⋅+⋅= ┅┅┅┅┅┅┅12分 19.(本题满分12分)（Ⅰ）证明: 连结AC ，BD 与AC 交于点O ，连结OF .…… 1分 ABCD 是菱形, O ∴是AC 的中点.点F 为PC 的中点, //OF PA ∴. …… 4分OF ⊂平面,BDF PA ⊄平面BDF ,∴//PA 平面BDF . …… 6分(Ⅱ)证明: PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD , PA BD ∴⊥. …… 8分ABCD 是菱形, AC BD ∴⊥. …… 10分 PA AC A =， BD ∴⊥平面PAC . …… 12分 20. 1）由题意知，*)()41(N n a nn ∈=12log 3,2log 3141141=-=-=a b a b n n3log 3log 3log 3log 341141411411===-=-∴+++q a a a a b b nn n n n n ∴数列3,1}{1==d b b n 公差是首项的等差数列（2）由（1）知，*)(23,)41(N n n b a n nn ∈-==*)(,)41()23(N n n c nn ∈⨯-=∴,)41()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=∴- 于是1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141+⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S两式相减得132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--++++=n n n n S.)41()23(211+⨯+-=n n *)()41(3812321N n n S n n ∈⨯+-=∴+ （3）n n n n n n c c )41()23()41()13(11⋅--⋅+=-++ *)(,)41()1(91N n n n ∈⋅-=+∴当n=1时，4112==c c当n n n c c c c c c c n <<<<=<≥+ 43211,,2即时∴当n=1时，n c 取最大值是41又恒成立对一切正整数n m m c n 1412-+≤411412≥-+∴m m即510542-≤≥≥-+m m m m 或得21. （1）2'()32f x x a x=-+ 由题可知2'()320f x x a x =-+≥在[0，2]上恒成立. 2232023x a x a x x-+≥⇒≥ 当0x =时此式显然成立，a R ∈；当(0,2]x ∈时有23a x ≥恒成立，易见应当有263a a ≥⇒≥， 可见2'()320f x x a x =-+≥在[0，2]上恒成立，须有3a ≥ 又(2)084f b a =⇒=- (1)1732f a b a ⇒=+-=-≤- （2）设()()(,),(,)P x fx Q y fy 是()f x 图象上的两个不同点，则 ()()1f x f y x y-<-3232()()1x a x b y a y b xy -++--++⇒<-22()()1xyx y a x y ⇒-++++< 22()(1)0x y a x y a y ⇒+-+-+>此式对于x 恒成立，从而2203240y a y a ∆<⇒--+>此式对于y 也恒成立，从而2'03a a ∆<⇒<注：用导数方法求解略，按相应步骤给分.22. (1) 由已知得208303F b A b y （，），（，）,则直线2F A 的方程为:03(3)y y x b b=--, 令0x =得09y y =,即20(0,9)P y ,设P x y （，）,则0000 2952x x y y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩,即0025x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩代入22002218x y b b -=得:222241825x y b b -=, 即P 的轨迹E 的方程为22221225x y b b-=. (2) 在22221225x y b b-=中令0y =得222x b =,则不妨设00B D （，，）, 于是直线QB 的方程为:)y x =,直线QD 的方程为:)y x =,则00M N （（, 则以MN 为直径的圆的方程为: 20x y y ++=（, 令0y =得:222122122b y x x b =-,而11,Q x y （）在22221225x y b b -=上,则222112225x b y -=, 于是5x b =±,即以MN 为直径的圆过两定点(5,0),(5,0)b b -.。