008-函数A
二次函数的特殊性质与公式解析与归纳

二次函数的特殊性质与公式解析与归纳二次函数是数学中的一种常见函数形式,由形如y = ax^2 + bx + c 的方程所表示。
在二次函数中,a、b、c为常数,且a ≠ 0。
本文将就二次函数的特殊性质进行探讨,并对其公式进行解析与归纳。
一、二次函数的图象特殊性质1. 对称轴:二次函数的图象总是关于一条垂直于x轴的直线对称。
这条直线称为二次函数的对称轴。
对称轴的方程可以通过以下公式计算:x = -b / (2a)2. 零点:二次函数在坐标系中与x轴相交的点称为零点。
求二次函数的零点可以通过以下公式计算:x = (-b ± √(b^2-4ac)) / (2a)其中,b^2-4ac被称为判别式,当判别式大于0时,函数有两个不相等的零点;当判别式等于0时,函数有一个唯一的零点;当判别式小于0时,函数没有实数解。
3. 开口方向:二次函数的开口方向由二次项的系数a所决定。
当a>0时,二次函数开口向上;当a<0时,二次函数开口向下。
4. 最值点:二次函数的最值点就是函数的最大值或最小值点。
最值点的纵坐标称为二次函数的最值。
当二次函数的开口向上时,最值为最小值;当二次函数的开口向下时,最值为最大值。
最值点的横坐标可以通过对称轴的x坐标计算得出。
二、二次函数的公式解析与归纳1. 一次项系数的影响:在二次函数的标准形式y = ax^2 + bx + c中,一次项系数b确定了对称轴的位置。
当b>0时,对称轴向右平移;当b<0时,对称轴向左平移。
2. 二次项系数的影响:二次项系数a决定了二次函数的开口方向。
当|a|>1时,开口较为陡峭;当0<|a|<1时,开口较为平缓;当a=1时,开口最为平缓;当a=0时,函数退化为一次函数。
3. 常数项的影响:常数项c表示二次函数与y轴的交点,也即函数在x=0时的取值。
当c>0时,函数在原点下方与y轴相交;当c<0时,函数在原点上方与y轴相交。
MATLAB编程练习(含答案很好的)

001双峰曲线图:z=peaks(40);mesh(z);surf(z)002解方程:A=[3,4,-2;6,2,-3;45,5,4];>> B=[14;4;23];>> root=inv(A)*B003傅里叶变换load mtlb ;subplot(2,1,1);plot(mtlb);>> title('原始语音信息');>> y=fft(mtlb);>> subplot(2,1,2);>> yy=abs(y);>> plot(yy);>> title('傅里叶变换')004输入函数:a=input('How many apples\n','s')005输出函数a=[1 2 3 4 ;5 6 7 8;12 23 34 45;34 435 23 34]a =1 2 3 45 6 7 812 23 34 4534 435 23 34disp(a)a =1 2 3 45 6 7 812 23 34 4534 435 23 34b=input('how many people\n' ,'s')how many peopletwo peopleb =two people>> disp(b)two people>>006求一元二次方程的根a=1;b=2;c=3;d=sqrt(b^2-4*a*c);x1=(-b+d)/(2*a)x1 =-1.0000 + 1.4142i>> x2=(-b-d)/(2*a)x2 =-1.0000 - 1.4142i007求矩阵的相乘、转置、存盘、读入数据A=[1 3 5 ;2 4 6;-1 0 -2;-3 0 0];>> B=[-1 3;-2 2;2 1];>> C=A*BC =3 142 20-3 -53 -9>> C=C'C =3 2 -3 314 20 -5 -9>> save mydat C>> clear>> load mydat C008编写数学计算公式:A=2.1;B=-4.5;C=6;D=3.5;E=-5;K=atan(((2*pi*A)+E/(2*pi*B*C))/D) K =1.3121009A=[1 0 -1;2 4 1;-2 0 5];>> B=[0 -1 0;2 1 3;1 1 2];>> H=2*A+BH =2 -1 -26 9 5-3 1 12>> M=A^2-3*BM =3 3 -62 13 -2-15 -3 21>> Y=A*BY =-1 -2 -29 3 145 7 10>> R=B*AR =-2 -4 -1-2 4 14-1 4 10>> E=A.*BE =0 0 04 4 3-2 0 10>> W=A\BW =0.3333 -1.3333 0.66670.2500 1.0000 0.25000.3333 -0.3333 0.6667 >> P=A/BP =-2.0000 3.0000 -5.0000-5.0000 3.0000 -4.00007.0000 -9.0000 16.0000>> Z=A.\BWarning: Divide by zero.Z =0 -Inf 01.0000 0.2500 3.0000-0.5000 Inf 0.4000>> D=A./BWarning: Divide by zero.D =Inf 0 -Inf1.0000 4.0000 0.3333-2.0000 0 2.5000010a=4.96;b=8.11;>> M=exp(a+b)/log10(a+b)M =4.2507e+005011求三角形面积:a=9.6;b=13.7;c=19.4;>> s=(a+b+c)/2;>> area=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))area =61.1739012逻辑运算A=[-1 0 -6 8;-9 4 0 12.3;0 0 -5.1 -2;0 -23 0 -7]; >> B=A(:,1:2)B =-1 0-9 40 00 -23>> C=A(1:2,:)C =-1.0000 0 -6.0000 8.0000 -9.0000 4.0000 0 12.3000>> D=B'D =-1 -9 0 00 4 0 -23>> A*Bans =1.0000 -184.0000-27.0000 -266.90000 46.0000 207.0000 69.0000>> C<Dans =0 0 1 01 0 0 0>> C&Dans =1 0 0 00 1 0 1>> C|Dans =1 1 1 11 1 0 1>> ~C|~Dans =0 1 1 11 0 1 0013矩阵运算练习:A=[8 9 5;36 -7 11;21 -8 5]A =8 9 536 -7 1121 -8 5>> BB =-1 3 -22 0 3-3 1 9>> RT=A*BRT =-5 29 56-83 119 6-52 68 -21>> QW=A.*BQW =-8 27 -1072 0 33-63 -8 45>> ER=A^3ER =6272 3342 294415714 -856 52608142 -1906 2390 >> BF=A.^3BF =512 729 12546656 -343 13319261 -512 125 >> A/Bans =3.13414.9634 -0.4024-1.2561 12.5244 -3.2317-1.9878 6.4512 -2.0366>> EKV=B\AEKV =10.7195 -1.2683 3.52449.4756 1.5854 3.71954.8537 -1.4878 1.3171>> KDK=[A,B]KDK =8 9 5 -1 3 -236 -7 11 2 0 321 -8 5 -3 1 9 >> ERI=[A;B]ERI =8 9 536 -7 1121 -8 5-1 3 -22 0 3-3 1 9014一般函数的调用:A=[2 34 88 390 848 939];>> S=sum(A)S =2301>> min(A)ans =2>> EE=mean(A)EE =383.5000>> QQ=std(A)QQ =419.3794>> AO=sort(A)AO =2 34 88 390 848 939 >> yr=norm(A)yr =1.3273e+003>> RT=prod(A)RT =1.8583e+012>> gradient(A)ans =32.0000 43.0000 178.0000 380.0000 274.5000 91.0000 >> max(A)ans =939>> median(A)ans =239>> diff(A)ans =32 54 302 458 91>> length(A)ans =6>> sum(A)ans =2301>> cov(A)ans =1.7588e+005>>015矩阵变换:A=[34 44 23;8 34 23;34 55 2]A =34 44 238 34 2334 55 2>> tril(A)ans =34 0 08 34 034 55 2>> triu(A)ans =34 44 230 34 230 0 2>> diag(A)ans =34342norm(A)ans =94.5106>> rank(A)ans =3>> det(A)ans =-23462>> trace(A)ans =70>> null(A)ans =Empty matrix: 3-by-0>> eig(A)ans =80.158712.7671-22.9257>> poly(A)ans =1.0e+004 *0.0001 -0.0070 -0.1107 2.3462>> logm(A)Warning: Principal matrix logarithm is not defined for A with nonpositive real eigenvalues. A non-principal matrixlogarithm is returned.> In funm at 153In logm at 27ans =3.1909 + 0.1314i 1.2707 + 0.1437i 0.5011 - 0.2538i0.4648 + 0.4974i 3.3955 + 0.5438i 0.1504 - 0.9608i0.2935 - 1.2769i 0.8069 - 1.3960i 3.4768 + 2.4663i>> fumn(A)Undefined command/function 'fumn'.>> inv(A)ans =0.0510 -0.0502 -0.0098-0.0326 0.0304 0.02550.0305 0.0159 -0.0343>> cond(A)ans =8.5072>> chol(A)Error using ==> cholMatrix must be positive definite.>> lu(A)ans =34.0000 44.0000 23.00000.2353 23.6471 17.58821.0000 0.4652 -29.1816>> pinv(A)ans =0.0510 -0.0502 -0.0098-0.0326 0.0304 0.02550.0305 0.0159 -0.0343>> svd(A)ans =94.510622.345611.1095>> expm(A)ans =1.0e+034 *2.1897 4.3968 1.93821.31542.6412 1.16431.8782 3.7712 1.6625>> sqrtm(A)ans =5.2379 + 0.2003i 3.4795 + 0.2190i 1.8946 - 0.3869i0.5241 + 0.7581i 5.1429 + 0.8288i 2.0575 - 1.4644i3.0084 - 1.9461i4.7123 - 2.1276i 2.1454 + 3.7589i >>016多项式的计算:A=[34 44 23;8 34 23;34 55 2]A =34 44 238 34 2334 55 2>> P=poly(A)P =1.0e+004 *0.0001 -0.0070 -0.1107 2.3462>> PPA=poly2str(P,'X')PPA =X^3 - 70 X^2 - 1107 X + 23462017多项式的运算:p=[2 6 8 3];w=[32 56 0 2];>> m=conv(p,w)m =64 304 592 548 180 16 6 >> [q,r]=deconv(w,p)q =16r =0 -40 -128 -46>> dp=polyder(w)dp =96 112 0>> [num,den]=polyder(w,p)num =80 512 724 312 -16den =4 24 68 108 100 48 9>> b=polyfit(p,w,4)Warning: Polynomial is not unique; degree >= number of data points. > In polyfit at 74b =-0.6704 9.2037 -32.2593 0 98.1333>> r=roots(p)r =-1.2119 + 1.0652i-1.2119 - 1.0652i-0.5761018求多项式的商和余p=conv([1 0 2],conv([1 4],[1 1]))p =1 5 6 10 8>> q=[1 0 1 1]q =1 0 1 1>> [w,m]=deconv(p,q)w =1 5m =0 0 5 4 3>> cq=w;cr=m;>> disp([cr,poly2str(m,'x')])5 x^2 + 4 x + 3>> disp([cq,poly2str(w,'x')])x + 5019将分式分解a=[1 5 6];b=[1];>> [r,p,k]=residue(b,a)r =-1.00001.0000p =-3.0000-2.0000k =[]020计算多项式:a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];>> p=[3 0 2 3];>> q=[2 3];>> x=2;>> r=roots(p)r =0.3911 + 1.0609i0.3911 - 1.0609i-0.7822>> p1=conv(p,q)p1 =6 9 4 12 9>> p2=poly(a)p2 =1.0000 -15.0000 -18.0000 -0.0000 >> p3=polyder(p)p3 =9 0 2>> p4=polyval(p,x)p4 =31021求除式和余项:[q,r]=deconv(conv([1 0 2],[1 4]),[1 1 1])022字符串的书写格式:s='student's =student>> name='mary';>> s1=[name s]s1 =marystudent>> s3=[name blanks(3);s]s3 =marystudent>>023交换两个数:clearclca=[1 2 3 4 5];b=[6 7 8 9 10];c=a;a=b;b=c;ab24If语句n=input('enter a number,n=');if n<10nend025 if 双分支结构a=input('enter a number ,a=');b=input('enter a number ,b=');if a>bmax=a;elsemax=b;endmax026三个数按照由大到小的顺序排列:A=15;B=24;C=45;if A<BT=A;A=B;B=T;elseif A<CT=A;A=C;C=T;elseif B<CT=B;B=C;C=T;endABC027建立一个收费优惠系统:price=input('please jinput the price : price=') switch fix(price/100)case[0,1]rate =0;case[2,3,4]rate =3/100;case num2cell(5:9)rate=5/100;case num2cell(10:24)rate=8/100;case num2cell(25:49)rate=10/100;otherwiserate=14/100;endprice=price*(1-rate)028:while循环语句i=0;s=0;while i<=1212s=s+i;i=i+1;ends029,用for循环体语句:sum=0;for i=1:1.5:100;sum=sum+i;endsum030循环的嵌套s=0;for i=1:1:6;for j=1:1:8;s=s+i^j;end;end;s031continue 语句的使用:for i=100:120;if rem(i,7)~=0;continue;end;iend032x=input ('输入X的值x=')if x<1y=x^2;elseif x>1&x<2y=x^2-1;elsey=x^2-2*x+1;endy033求阶乘的累加和sum=0;temp=1;for n=1:10;temp=temp*n;sum=sum+temp;endsum034对角线元素之和sum=0;a=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16]; for i=1:4;sum=sum+a(i,i);endsum035用拟合点绘图A=[12 15.3 16 18 25];B=[50 80 118 125 150.8];plot(A,B)036绘制正玄曲线:x=0:0.05:4*pi;y=sin(x);plot(x,y)037绘制向量x=[1 2 3 4 5 6;7 8 9 10 11 12;13 14 15 16 17 18] plot(x)x=[0 0.2 0.5 0.7 0.6 0.7 1.2 1.5 1.6 1.9 2.3]plot(x)x=0:0.2:2*piy=sin(x)plot(x,y,'m:p')038在正弦函数上加标注:t=0:0.05:2*pi;plot(t,sin(t))set(gca,'xtick',[0 1.4 3.14 56.28])xlabel('t(deg)')ylabel('magnitude(v)')title('this is a example ()\rightarrow 2\pi')text(3.14,sin(3.14),'\leftarrow this zero for\pi')039添加线条标注x=0:0.2:12;plot(x,sin(x),'-',x,1.5*cos(x),':');legend('First','Second',1)040使用hold on 函数x=0:0.2:12;plot(x,sin(x),'-');hold onplot(x,1.5*cos(x),':');041一界面多幅图x=0:0.05:7;y1=sin(x);y2=1.5*cos(x);y3=sin(2*x);y4=5*cos(2*x);subplot(221);plot(x,y1);title('sin(x)')subplot(222);plot(x,y2);title('cos(x)')subplot(223);plot(x,y3);title('sin(2x)')subplot(224);plot(x,y4);title('cos(2x)')042染色效果图x=0:0.05:7;y1=sin(x);y2=1.5*cos(x);y3=sin(2*x);y4=5*cos(2*x);subplot(221);plot(x,y1);title('sin(x)');fill(x,y1,'r') subplot(222);plot(x,y2);title('cos(x)');fill(x,y2,'b') subplot(223);plot(x,y3);title('sin(2x)');fill(x,y3,'k') subplot(224);plot(x,y4);title('cos(2x)');fill(x,y4,'g')043特殊坐标图clcy=[0,0.55,2.5,6.1,8.5,12.1,14.6,17,20,22,22.1] subplot(221);plot(y);title('线性坐标图');subplot(222);semilogx(y);title('x轴对数坐标图');subplot(223);semilogx(y);title('y轴对数坐标图');subplot(224);loglog(y);title('双对数坐标图')t=0:0.01:2*pi;r=2*cos(2*(t-pi/8));polar(t,r)044特殊函数绘图:fplot('cos(tan(pi*x))',[-0.4,1.4])fplot('sin(exp(pi*x))',[-0.4,1.4])045饼形图与条形图:x=[8 20 36 24 12];subplot(221);pie(x,[1 0 0 0 1]);title('饼图');subplot(222);bar(x,'group');title('垂直条形图');subplot(223);bar(x,'stack');title('累加值为纵坐标的垂直条形图'); subplot(224);barh(x,'group');title('水平条形图');046梯形图与正弦函数x=0:0.1:10;y=sin(x);subplot(121);stairs(x);subplot(122);stairs(x,y);047概率图x=randn(1,1000);y=-2:0.1:2;hist(x,y)048向量图:x=[-2+3j,3+4j,1-7j];subplot(121);compass(x);rea=[-2 3 1];imag=[3 4 -7];subplot(122);feather(rea,imag);049绘制三维曲线图:z=0:pi/50:10*pi;x=sin(z);y=cos(z);plot3(x,y,z)x=-10:0.5:10;y=-8:0.5:8;[x,y]=meshgrid(x,y);z=sin(sqrt(x.^2+y.^2))./sqrt(x.^2+y.^2); subplot(221);mesh(x,y,z);title('普通一维网格曲面');subplot(222);meshc(x,y,z);title('带等高线的三维网格曲面'); subplot(223);meshz(x,y,z);title('带底座的三维网格曲面'); subplot(224);surf(x,y,z);title('充填颜色的三维网格面')050 带网格二维图x=0:pi/10:2*pi;y1=sin(x);y2=cos(x);plot(x,y1,'r+-',x,y2,'k*:')grid onxlabel('Independent Variable x') ylabel('Dependent Variable y1&y2') text(1.5,0.5,'cos(x)')051各种统计图y=[18 5 28 17;24 12 36 14;15 6 30 9]; subplot(221);bar(y)x=[4,6,8];subplot(222);bar3(x,y)subplot(223);bar(x,y,'grouped') subplot(224);bar(x,y,'stack')052曲面图x=-2:0.4:2;y=-1:0.2:1;[x,y]=meshgrid(x,y);z=sqrt(4-x.^2/9-y.^2/4); surf(x,y,z)grid on053创建符号矩阵e=[1 3 5;2 4 6;7 9 11];m=sym(e)符号表达式的计算问题因式分解:syms xf=factor(x^3-1)s=sym('sin(a+b)'); expand(s)syms x tf=x*(x*(x-8)+6)*t; collect(f)syms xf=sin(x)^2+cos(x)^2; simplify(f)syms xs=(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1); simplify(s)通分syms x yf=x/y-y/x;[m,n]=numden(f)嵌套重写syms xf=x^4+3*x^3-7*x^2+12; horner(f)054求极限syms x a;limit(exp(-x),x,0,'left')求导数syms xdiff(x^9+x^6)diff(x^9+x^6,4)055求不定积分与定积分syms x ys=(4-3*x^2)^2;int(s)int(x/(x+y),x)int(x^2/(x+2),x,1,3) double(ans)056函数的变换:syms x ty=exp(-x^2);Ft=fourier(y,x,t)fx=ifourier(Ft,t,x)057求解方程syms a b c xs=a*x^2+b*x+c;solve(s)syms x y zs1=2*x^2+y^2-3*z-4;s2=y+z-3;s3=x-2*y-3*z;[x,y,z]=solve(s1,s2,s3)058求微分方程:y=dsolve('Dy-(t^2+y^2)/t^2/2','t')059求级数和syms x ksymsum(k)symsum(k^2-3,0,10)symsum(x^k/k,k,1,inf)060泰勒展开式syms xs=(1-x+x^2)/(1+x+x^2);taylor(s)taylor(s,9)taylor(s,x,12)taylor(s,x,12,5)061练习syms x a;s1=sin(2*x)/sin(5*x);limit(s1,x,0)s2=(1+1/x)^(2*x);limit(s2,x,inf)syms xs=x*cos(x);diff(s)diff(s,2)diff(s,12)syms xs1=x^4/(1+x^2);int(s1)s2=3*x^2-x+1int(s2,0,2)syms x y zs1=5*x+6*y+7*z-16;s2=4*x-5*y+z-7;s3=x+y+2*z-2;[x,y,z]=solve(s1,s2,s3)syms x yy=dsolve('Dy=exp(2*x-y)','x')y=dsolve('Dy=exp(2*x-y)','y(0)=0','x')n=sym('n');s=symsum(1/n^2,n,1,inf)x=sym('x');f=sqrt(1-2*x+x^3)-(1-3*x+x^2)^(1/3);taylor(f,6)062求于矩阵相关的值a=[2 2 -1 1;4 3 -1 2;8 5 -3 4;3 3 -2 2]adet=det(a)atrace=trace(a)anorm=norm(a)acond=cond(a)arank=rank(a)eiga=eig(a)063矩阵计算A=[0.1389 0.6038 0.0153 0.9318;0.2028 0.2772 0.7468 0.4660;0.1987 0.1988 0.4451 0.4186]B=var(A)C=std(A)D=range(A)E=cov(A)F=corrcoef(A)064求根及求代数式的值P=[4 -3 2 5];x=roots(P)x=[3 3.6];F=polyval(P,x)065多项式的和差积商运算:f=[1 2 -4 3 -1]g=[1 0 1]g1=[0 0 1 0 1]f+g1f-g1conv(f,g)[q,r]=deconv(f,g)polyder(f)066各种插值运算:X=0:0.1:pi/2;Y=sin(X);interp1(X,Y,pi/4)interp1(X,Y,pi/4,'nearest')interp1(X,Y,pi/4,'spline')interp1(X,Y,pi/4,'cubic')067曲线的拟合:X=0:0.1:2*pi;Y=cos(X);[p,s]=polyfit(X,Y,4)plot(X,Y,'K*',X,polyval(p,X),'r-')068求函数的最值与0点x=2:0.1:2;[x,y]=fminbnd('x.^3-2*x+1',-1,1) [x,y]=fzero('x.^3-2*x+1',1)069求多项式的表达式、值、及图像y=[1 3 5 7 19]t=poly(y)x=-4:0.5:8yx=polyval(t,x)plot(x,yx)070数据的拟合与绘图x=0:0.1:2*pi;y=sin(x);p=polyfit(x,y,5);y1=polyval(p,x)plot(x,y,'b',x,y1,'r')071求代数式的极限:syms xf=sym('log(1+2*x)/sin(3*x)');b=limit(f,x,0)072求导数与微分syms xf=sym('x/(cos(x))^2');y1=diff(f)y2=int(f,0,1)078划分网格函数[x,y]=meshgrid(-2:0.01:2,-3:0.01:5); t=x.*exp(-x.^2-y.^2);[px,py]=gradient(t,0.05,0.1);td=sqrt(px.^2+py.^2);subplot(221)imagesc(t)subplot(222)imagesc(td)colormap('gray')079求多次多项方程组的解:syms x1 x2 a ;eq1=sym('x1^2+x2=a')eq2=sym('x1-a*x2=0')[x1 x2]=solve(eq1,eq2,x1,x2)v=solve(eq1,eq2)v.x1v.x2an1=x1(1),an2=x1(2)an3=x2(1),an4=x2(2)080求解微分方程:[y]=dsolve('Dy=-y^2+6*y','y(0)=1','x')s=dsolve('Dy=-y^2+6*y','y(0)=1','x')[u]=dsolve('Du=-u^2+6*u','u(0)=1')w=dsolve('Du=-u^2+6*u','z')[u,w]=dsolve('Du=-w^2+6*w,Dw=sin(z)','u(0)=1,w(0)=0','z') v=dsolve('Du=-w^2+6*w,Dw=sin(z)','u(0)=1,w(0)=0','z')081各种显现隐含函数绘图:f=sym('x^2+1')subplot(221)ezplot(f,[-2,2])subplot(222)ezplot('y^2-x^6-1',[-2,2],[0,10])x=sym('cos(t)')y=sym('sin(t)')subplot(223)ezplot(x,y)z=sym('t^2')subplot(224)ezplot3(x,y,z,[0,8*pi])082极坐标图:r=sym('4*sin(3*x)')ezpolar(r,[0,6*pi])083多函数在一个坐标系内:x=0:0.1:8;y1=sin(x);subplot(221)plot(x,y1)subplot(222)plot(x,y1,x,y2)w=[2 3;3 1;4 6]subplot(223)plot(w)q=[4 6:3 5:1 2]subplot(224)plot(w,q)084调整刻度图像:x=0:0.1:10;y1=sin(x);y2=exp(x);y3=exp(x).*sin(x);subplot(221)plot(x,y2)subplot(222)loglog(x,y2)subplot(223)plotyy(x,y1,x,y2)085等高线等图形,三维图:t=0:pi/50:10*pi;subplot(2,3,1)plot3(t.*sin(t),t.*cos(t),t.^2) grid on[x,y]=meshgrid([-2:0.1:2])z=x.*exp(-x.^2-y.^2)subplot(2,3,2)plot3(x,y,z)box offsubplot(2,3,3)meshz(x,y,z)subplot(2,3,4)surf(x,y,z)contour(x,y,z)subplot(2,3,6)surf(x,y,z)subplot(2,3,5)contour(x,y,z)box offsubplot(2,3,6)contour3(x,y,z)axis off086统计图Y=[5 2 1;8 7 3;9 8 6;5 5 5;4 3 2]subplot(221)bar(Y)box offsubplot(222)bar3(Y)subplot(223)barh(Y)subplot(224)bar3h(Y)087面积图Y=[5 1 2;8 3 7;9 6 8;5 5 5;4 2 3];subplot(221)area(Y)grid onset(gca,'Layer','top','XTick',1:5)sales=[51.6 82.4 90.8 59.1 47.0];x=90:94;profits=[19.3 34.2 61.4 50.5 29.4];subplot(222)area(x,sales,'facecolor',[0.5 0.9 0.6], 'edgecolor','b','linewidth',2) hold onarea(x,profits,'facecolor',[0.9 0.85 0.7], 'edgecolor','y','linewidth',2) hold offset(gca,'Xtick',[90:94])set(gca,'layer','top')gtext('\leftarrow 销售量') gtext('利润')gtext('费用')xlabel('年','fontsize',14)088函数的插值:x=0:2*pi;y=sin(x);xi=0:0.1:8;yi1=interp1(x,y,xi,'linear')yi2=interp1(x,y,xi,'nearest') yi3=interp1(x,y,xi,'spline')yi4=interp1(x,y,xi,'cublic')p=polyfit(x,y,3)yy=polyval(p,xi)subplot(3,2,1)plot(x,y,'o')subplot(3,2,2)plot(x,y,'o',xi,yy)subplot(3,2,3)plot(x,y,'o',xi,yi1)subplot(3,2,4)plot(x,y,'o',xi,yi2)subplot(3,2,5)plot(x,y,'o',xi,yi3)subplot(3,2,6)plot(x,y,'o',xi,yi4)089二维插值计算:[x,y]=meshgrid(-3:0.5:3);z=peaks(x,y);[xi,yi]=meshgrid(-3:0.1:3); zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline') plot3(x,y,z)hold onmesh(xi,yi,zi+15)hold offaxis tight090函数表达式;function f=exlin(x)if x<0f=-1;elseif x<1f=x;elseif x<2f=2-x;elsef=0;end091:硬循环语句:n=5;for i=1:nfor j=1:nif i==ja(i,j)=2;elsea(i,j)=0;endendendwhile 循环语句:n=1;while prod(1:n)<99^99;n=n+1endn:092 switch开关语句a=input('a=?')switch acase 1disp('It is raning') case 0disp('It do not know')case -1disp('It is not ranging')otherwisedisp('It is raning ?')end093画曲面函数:x1=linspace(-3,3,30)y1=linspace(-3,13,34)[x,y]=meshgrid(x1,y1);z=x.^4+3*x.^2-2*x+6-2*y.*x.^2+y.^2-2*y; surf(x,y,z)。
函数零点的题型总结

函数零点的题型总结例题及解析考点一函数零点存在性定理的应用【例1】已知函数f(x)=(12)x-13x,那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是( )(A)(0,13) (B)(13,12)(C)(12,23) (D)(23,1)解析:f(0)=1>0,f(13)=(12)13-(13)13>0,F(12)=(12)12-(12)13<0,f(13)f(12)<0,所以函数f(x)在区间(13,12)内必有零点,选B.【跟踪训练1】已知函数f(x)=2x-log3x,在下列区间中包含f(x)零点的是( )(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:由题意,函数f(x)=2x-log3x为单调递减函数,且f(2)= 22-log32=1-log32>0,f(3)= 23-log33=-13<0,所以f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)=2x-log3x在区间(2,3)上存在零点,故选C.【教师备用巩固训练1】设函数f(x)=ln (x+1)+a(x2-x),若f(x)在区间(0,+∞)上无零点,则实数a的取值范围是( )(A)[0,1] (B)[-1,0](C)[0,2] (D)[-1,1]解析:f(1)=ln 2>0,当a=-1时,f(2)=ln 3-2<0,所以f(x)在(1,2)上至少有一个零点,舍去B,D;当a=2时,f(12)=ln 32-12<0,所以f(x)在(12,1)上至少有一个零点,舍去C.因此选A.考点二函数零点的个数考查角度1:由函数解析式确定零点个数【例2】 (1)函数f(x)=xcos(x2-2x-3)在区间[-1,4]上的零点个数为( )(A)5 (B)4 (C)3 (D)2(2)已知f(x)=2xx +x-2x,则y=f(x)的零点个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:(1)由题意可知x=0或cos(x2-2x-3)=0,又x∈[-1,4],所以x2-2x-3=(x-1)2-4∈[-4,5],当cos(x2-2x-3)=0时,x2-2x-3=kπ+π2,k ∈Z,在相应的范围内,k只有-1,0,1三个值可取,所以总共有4个零点,故选B.解析:(2)令2xx +x-2x=0,化简得2|x|=2-x2,画出y=2|x|,y=2-x2的图象,由图可知,图象有两个交点,即函数 f(x)有两个零点.故选C.考查角度2:根据函数零点个数确定参数范围 【例3】 (1)已知函数f(x)= 24,1,ln 1,1,x x a x x x ⎧-+⎪⎨+≥⎪⎩<若方程f(x)=2有两个解,则实数a 的取值范围是( ) (A)(-∞,2) (B)(-∞,2] (C)(-∞,5) (D)(-∞,5] (2)已知函数f(x)= 3,2,1e ,20x xa x x a x x ⎧--≤-⎪⎪+⎨⎪--⎪⎩<<恰有3个零点,则实数a 的取值范围为( )(A)(-1e ,-13) (B)(-1e ,-21e) (C)[-23,-21e ) (D)[-23,-13)解析:(1)可知x ≥1时,f(x)=2必有一解,x=e,所以只需x<1时f(x)=2有一解即可,即x 2-4x+a=2有解,设g(x)=x 2-4x+a-2,由于该函数的对称轴为直线x=2,故只需g(1)=-3+a-2<0,即a<5,故实数a 的取值范围是(-∞,5).选C. 解析:(2)-1x x +-3a=-111x x +-+-3a=1x x +-1-3a,在(-∞,-2]上单调递减.若a≥0,则e x -a x在(-2,0)上递增,那么零点个数至多有一个,不符合题意,故a<0.故需f(x)当x ≤-2时,-1-3a>0,a<-13,且121-+-1-3a ≤0,a ≥-23,使得第一段有一个零点,故a ∈[-23,-13).对于第二段,e x -a x=e xx a x -,故需g(x)=xe x -a 在区间(-2,0)有两个零点,g ′(x)=(x+1)e x ,故g(x)在(-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增,所以(2)0,(1)0,(0)0,g g g -⎧⎪-⎨⎪⎩><>解得-22e >a>-1e.综上所述,a ∈(-1e ,-13).故选A.【题组通关】1.若函数f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a 的取值范围为( C ) (A)(0,4) (B)(0,+∞)(C)(3,4) (D)(3,+∞)解析:如图,若f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a ∈(3,4),故选C.2.已知偶函数f(x)= 4log,04,(8),48,x x f x x ⎧≤⎪⎨-⎪⎩<<<且f(x-8)=f(x),则函数F(x)=f(x)-12x在区间[-2 018,2 018]的零点个数为( A )(A)2 020 (B)2 016 (C)1 010 (D)1 008解析:依题意,当4<x<8时,f(x)=f(8-x)对称轴为直线x=4,由f(x-8)=f(x)可知,函数f(x)的周期T=8. 令F(x)=0,可得f(x)=12x,求函数F(x)=f(x)-12x的零点个数,即求偶函数f(x)与函数y=12x图象交点个数,当0<x<8时,函数f(x)与函数y=12x图象有4个交点,2 018=252×8+2由f(2)=|log 42|=12>212=14知, 当0<x<2时函数f(x)与函数y=12x图象有2个交点.故函数F(x)的零点个数为(252×4+2)×2=2 020, 故选A.3.已知函数f(x)= 31,1,,1,x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩<若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同零点,则k 的取值范围是 . 解析:作出f(x)=31,1,,1x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩<的函数图象如图所示.方程f(x)=k 有两个不同零点,即y=k 和f(x)= 31,1,1x x x x ⎧≥⎪⎨⎪⎩<的图象有两个交点,由图可得k 的取值范围是(0,1). 答案:(0,1)【教师备用 巩固训练2】 已知函数f(x)=32233,2,4(56),2,x x x x x x ⎧-+⎪⎨--+≥⎪⎩<则函数f(f(x))的零点个数为( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 解析:画出函数的图象,如图所示,令f(x)=t,因为f(f(x))=0则f(t)=0,由图象可知,f(t)=0有四个解,分别为t 1=2,t 2=3,-1<t 3<0,1<t 4<2, 由图象可知,当t 1=2时,f(x)=2有两个根,即函数f(f(x))有2个零点; 由图象可知,当t 2=3时,f(x)=3有一个根,即函数f(f(x))有1个零点;由图象可知,当-1<t 3<0时,f(x)=t 有三个根,即函数f(f(x))有3个零点;由图象可知,当1<t 4<2时,f(x)=t 有两个根,即函数f(f(x))有2个零点;综上所述,函数f(f(x))有8个零点. 考点三 函数零点的性质考查角度1:求零点的代数式的取值或取值范围 【例4】 (1)已知函数f(x)=122log ,022,0,x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩>函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点x 1,x 2,x 3,x 4,且满足:x 1<x 2<x 3<x 4,则43x x -2213232x x x x +的取值范围是( )(A)(2,+∞) (B)(174,25716] (C)[2,174) (D)[2,+∞) (2)已知函数f(x)是定义域为R 的偶函数,且满足f(12+x)=f(32-x),当x ∈[-1,0]时,f(x)=-x.若函数F(x)=f(x)+412x x +-,则在区间[-9,10]上的所有零点之和为 . 解析:(1)f(x)=122log ,0,22,0x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩>=122log ,0,(11,0x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩>), 由二次函数的对称性可得x 1+x 2=-2,由12log x 3=-12log x 4可得x 3x 4=1,函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点,等价于y=f(x)的图象与y=b 的图象有四个不同的交点,画出y=f(x)的图象与y=b 的图象,由图可得1<b ≤2,所以1<12log x 3≤2⇒x 3∈[14,12),所以43x x -2123()2x x x +=43x x +23x =231x+23x , 令t=23x ∈[116,14), 所以1t +t ∈(174,25716],故选B. 解析:(2)因为满足f(12+x)=f(32-x), 所以f(x)=f(2-x), 又因函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(2+x),即f(x)=f(2+x),所以T=2,令F(x)=0,f(x)=421x x +-,即求f(x)与y=421x x +-交点横坐标之和.y=421x x +-=12+9221x -, 作出图象如图所示.由图象可知有10个交点,并且关于(12,12)中心对称, 所以其和为102=5. 答案:(1)B (2)5考查角度2:隐性零点的性质 【例5】已知函数f(x)= ln(1),0,11,0,2x x x x +⎧⎪⎨+≤⎪⎩>若m<n,且f(m)=f(n),则n-m 的取值范围为( )(A)[3-2ln 2,2) (B)[3-2ln 2,2] (C)[e-1,2) (D)[e-1,2]解析:作出函数f(x)的图象,如图所示,若m<n,且f(m)=f(n),则当ln(x+1)=1时,得x+1=e,即x=e-1, 则满足0<n ≤e-1, -2<m ≤0,则ln(n+1)=12m+1,即m=2ln(n+1)-2,则n-m=n+2-2ln(n+1), 设h(n)=n+2-2ln(n+1),0<n ≤e-1,则h ′(n)=1-21n +=11n n -+, 当h ′(n)>0,解得1<n ≤e-1,当h ′(n)<0,解得0<n<1,当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2-2ln(1+1)=3-2ln 2,当n=0时,h(0)=2-2ln 1=2;当n=e-1时,h(e-1)=e-1+2-2ln(e-1+1)=e-1<2,所以3-2ln 2≤h(n)<2,即n-m的取值范围是[3-2ln 2,2),故选A.【题组通关】1.已知a>1,方程12e x+x-a=0与ln 2x+x-a=0的根分别为x1,x2,则21x+22x+2x1x2的取值范围为( A ) (A)(1,+∞) (B)(0,+∞)(C)(12,+∞) (D)(12,1)解析:方程12e x+x-a=0的根,即y=12e x与y=a-x图象交点的横坐标,方程ln 2x+x-a=0的根,即y=ln 2x与y=a-x图象交点的横坐标, 而y=12e x与y=ln 2x的图象关于直线y=x对称,如图所示.所以x1+x2=a,所以21x +22x +2x 1x 2=(x 1+x 2)2=a 2,又a>1,所以21x +22x +2x 1x 2>1,故选A2.已知函数f(x)= 42log ,04,1025,4,x x x x x ⎧≤⎪⎨-+⎪⎩<>若a,b,c,d 是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd 的取值范围是( A ) (A)(24,25) (B)(18,24) (C)(21,24) (D)(18,25)解析:由题意可知,ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c),4<c<5,所以取值范围是(24,25),故选A.考点四 函数零点的应用【例6】 (1)已知α,β分别满足α·e α=e 2,β(ln β-2)=e 4,则αβ的值为( )(A)e (B)e 2 (C)e 3 (D)e 4 (2)已知f(x)=9x-t ·3x,g(x)=2121x x -+,若存在实数a,b 同时满足g(a)+g(b)=0和f(a)+f(b)=0,则实数t 的取值范围是 . 解析:(1)因为α·e α=e 2,所以e α=2e α, 因为β(ln β-2)=e 4,所以ln β-2=4e β,所以ln β-ln e 2=4e β,所以ln 2e β=4e β=22e e β. 所以α,2e β分别是方程ex=2e x ,ln x=2e x的根,因为点(α,2e α)与点(2e β,4e β)关于直线y=x 对称, 所以α=4e β,所以αβ=e 4.故选D.解析:(2)因为g(-x)=2121x x ---+=1212xx-+=-2121x x -+=-g(x),所以函数g(x)为奇函数, 又g(a)+g(b)=0,所以a=-b. 所以f(a)+f(b)=f(a)+f(-a)=0有解, 即9a -t ·3a +9-a -t ·3-a =0有解, 即t=9933a a aa--++有解.令m=3a+3-a(m ≥2),则9933a aa a--++=22m m-=m-2m ,因为ϕ(m)=m-2m 在[2,+∞)上单调递增,所以ϕ(m)≥ϕ(2)=1.所以t ≥1.故实数t 的取值范围是[1,+∞). 答案:(1)D 答案:(2)[1,+∞)【跟踪训练2】函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D 内是单调函数;②存在[a,b]⊆D 使得f(x)在[a,b]上的值域为[2a ,2b ],则称函数f(x)为“成功函数”.若函数f(x)=log m (m x +2t)(其中m>0,且m ≠1)是“成功函数”,则实数t 的取值范围为( ) (A)(0,+∞) (B)(-∞,18] (C)[18,14) (D)(0,18] 解析:无论m>1还是0<m<1,f(x)=log m (m x +2t)都是R 上的单调增函数,故应有(),2(),2a f a b f b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则问题可转化为求f(x)=2x ,即f(x)=log m (m x +2t)=2x,即m x+2t=12x m在R上有两个不相等的实数根的问题,令λ=12x m (λ>0),则m x+2t=12x m可化为2t=λ-λ2=-(λ-12)2+14,结合图形可得t∈(0,18].故选D.。
35《函数应用》全章复习与巩固(提高)-巩固练习_《函数应用》全章复习巩固_ 提高 (1)

【巩固练习】1.若函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续不断的曲线,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实数根,则f(-1)·f(1)的值()A.大于0B.小于0C.无法判断D.等于零2.下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y=f(x)-1没有零点的是()3.方程x 3+3x-3=0的解在区间()A.(0,1)内B.(1,2)内C.(2,3)内D.以上均不对4.已知f(x)、g(x)均为[-1,3]上连续不断的曲线,根据下表能判断方程f(x)=g(x)有实数解的区间是()x -10123f(x)-0.677 3.011 5.432 5.9807.651g(x)-0.530 3.451 4.890 5.241 6.892A .(-1,0)B .(0,1)C .(1,2)D .(2,3)5.若方程0xa x a --=有两个实数解,则a 的取值范围是()A .(1,)+∞B .(0,1)C .(0,2)D .(0,)+∞6.3()21f x x x =--零点的个数为()A .1B .2C .3D .47.若方程310x x -+=在区间(,)(,,1)a b a b Z b a ∈-=且上有一根,则a b +的值为()A .1-B .2-C .3-D .4-8.据报道,青海湖的湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2008年的湖水量为m,从2008起,过x 年后湖水量y 与x 的函数关系式为()A .y=0.950x B .y=(1-0.150x)m C .y=0.950x·m D .y=(1-0.150x )m9.若函数f(x)=x 2-ax-b 的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx 2-ax-1的零点是________.10.若一元二次方程f(x)=ax 2+bx +c =0(a>0)的两根x 1、x 2满足m<x 1<n<x 2<p ,则f(m)·f(n)·f(p)________0.(填“>”、“=”或“<”)11.下表列出了一项试验的统计数据,表示将皮球从高h 米处落下,弹跳高度d 与下落高度h 的关系.h(米)5080100150…d(米)25405075…写出一个能表示这种关系的式子为________.12.我国股市中对股票的股份实行涨、跌停制度,即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为10%.某股票连续四个交易中日前两日每天涨停,后两日每天跌停,则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是________.13.用二分法求方程x 3+3x-5=0的一个近似解(精确度0.1).14.若方程x 2-ax +2=0有且仅有一个根在区间(0,3)内,求a 的取值范围.15.已知函数f (x )=1x +212x -2,试利用基本初等函数的图象,判断f (x )有几个零点,并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1).16.某农产品从5月1日起开始上市,通过市场调查,得到该农产品种植成本Q (单位:元/102kg)与上市时间t (时间:天)的数据如下表:时间t 50110250种植成本Q 150108150(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述该农产品种植成本Q 与上市时间t 的变化关系:Q=at +b ,Q =at 2+bt +c ,Q =ab t,Q =a log b t ;(2)利用你选取的函数,求该农产品种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.【答案与解析】1.【答案】C【解析】由题意不能断定零点在区间(-1,1)内部还是外部.2.答案C【解析】把y=f(x)的图象向下平移1个单位后,只有C 图中图象与x 轴无交点.3.【答案】A【解析】将函数y 1=x 3和y 2=3-3x 的图象在同一坐标系中画出,可知方程的解在(0,1)内.4.【答案】B【解析】令φ(x)=f(x)-g(x),φ(0)=f(0)-g(0)<0.φ(1)=f(1)-g(1)>0且f(x),g(x)均为[-1,3]上连续不断的曲线,所以φ(x)的图象.在[-1,3]上也连续不断,因此选B .5.【答案】A【解析】作出图象,发现当1a >时,函数xy a =与函数y x a =+有2个交点6.【答案】A【解析】令3221(1)(221)0x x x x x --=-++=,得1x =,就一个实数根7.【答案】C【解析】容易验证区间(,)(2,1)a b =--8.【答案】C【解析】设湖水量每年为上一年的q%,则(q%)50=0.9,所以q%=0.9150,即x 年后湖水量为y=0.950x·m.9.【答案】-12和-13【解析】2和3是方程x 2-ax-b=0的两根,所以a=5,b=-6,∴g(x)=-6x 2-5x-1.令g(x)=0得x 1=-12,x 2=-13.10.【答案】<【解析】∵a>0,∴f(x)的图象开口向上,∴f(m)>0,f(n)<0,f(p)>0,∴f(m)·f(n)·f(p)<0.11.【答案】d=2h 12.【答案】跌了1.99%【解析】(1+10%)2·(1-10%)2=0.9801,而0.9801-1=-0.0199,即跌了1.99%.13.解f(0)=-5,f(1)=-1,f(2)=9,f(3)=31.所以f(x)在区间(1,2)内存在零点x 0.区间中点m f(m)的符号区间长度(1,2) 1.5+1(1,1.5) 1.25+0.5(1,1.25) 1.125-0.25(1.125,1.25) 1.1875+0.125(1.125,1.1875)0.0625∵|1.875-1.125|=0.0625<0.1,∴x 0可取为1.125(不唯一).14.【解析】令f (x )=x 2-ax +2,则方程x 2-ax +2=0有且仅有一个根在区间(0,3)内⇔203280a a ⎧<<⎪⎨⎪∆=-=⎩或f (0)·f (3)<0⇔a 或a >113.15.【解析】由f(x)=0,得21122x x =-+,令11y x =,22122y x =-+,分别画出它们的图象如图,其中抛物线顶点为(0,2),与x 轴交于点(-2,0)、(2,0),y 1与y 2的图象有3个交点,从而函数y=f(x)有3个零点.由f(x)的解析式知x≠0,f(x)的图象在(-∞,0)和(0,+∞)上分别是连续不断的曲线,且f(-3)=613>0,f(-2)=21-<0,f ⎪⎭⎫ ⎝⎛21=81>0,f(1)=21-<0,f(2)=21>0,即f (-3)·f (-2)<0,1(2f ·f (1)<0,f (1)·f (2)<0,∴三个零点分别在区间(-3,-2)、1,12⎛⎫⎪⎝⎭、(1,2)内.16.【解析】(1)由表中提供的数据知道,描述该农产品种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常函数,从而用函数Q =at +b ,Q =ab t,Q =a log b t 中的任一个进行描述时都应有a ≠0,而此时上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以,应选取二次函数Q =at 2+bt +c (a ≠0,当a=0时,为单调函数)进行描述.将表格所提供的三组数据分别代入Q=at2+bt+c,得到:150250050 10812100110 150********a b ca b ca b c=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩.解上述方程组得a=1200,b=-32,c=4252,所以,描述该农产品种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=1200t2-32t+4252.(2)当t=-3212200-⨯=150(天)时,该农产品种植成本最低为Q=1200×1502-32×150+4252=100(元/102kg).所以,该农产品种植成本最低时的上市时间为150天,最低种植成本为100元/102kg.。
高二常考的三角函数的试题整理

高二常考的三角函数的试题整理经典数学题【例一】1.(2009·江苏常州一模)已知角α是第三象限角,则角-α的终边在第________象限. 2.(2010·连云港模拟)与610°角终边相同的角表示为______________.1sin 2θ3.(2010·浙江潮州月考)已知2<1,则θ所在象限为第________象限.π3π4.(2010·南通模拟)已知角θ的终边经过点P(-4cos α,3cos α)(<α<,则sin θ+cos θ=________.22ππ-且sin θ+cos θ=a,其中a∈(0,1),则关于tan θ的值,以下四个答案中,可能正5.(2010·福州调研)已知θ∈22111确的是________(填序号).①-3 ②3或③- ④-3或-3336.(2009·江西九江模拟)若角α的终边与直线y=3x重合且sin α<0,又P(m,n)是角α终边上一点,且|OP|10,则m-n=________.|sin α||cos α|7.(2010·山东济南月考)已知角α的终边落在直线y=-3x (x<0)上,则=________.sin αcos α8.(2010·南京模拟)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d=________,其中t∈[0,60].π49.(2010·泰州模拟)若0”,“<”或“=”填空).2π210.(2010·镇江模拟)已知角θ的终边上一点P(3,m),且sin θm,求cos θ与tan θ的值.411.(2010·江苏南京模拟)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:31(1)sin α;(2)cos α.2212.(2010·佳木斯模拟)角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a≠0),角β终边上的点Q与A关于直线y=x对称,求sin α·cos α+sinβ·cosβ+tan α·tan β的值.同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2010·南通模拟)cos(-174-sin(-174π)的值为___________________________.2.(2010·江苏镇江一模)设tan(5π+α)=m,则sin(α-3π)+cos(π-α)sin(-α)-cos(π+α)的值为__________.3.(2009·辽宁沈阳四校联考)已知sin α+cos αsin α-cos α=2,则sin αcos α=________.4.(2008·浙江理,8)若cos α+2sin α=-,则tan α=__________.5.(2008·四川理,5)设0≤α<2π,若sin α3cos α,则α的取值范围是____________.6.(2010·吉林长春调研)若sin α+cos α=tan α0<α<π2,则α的取值范围是__________. 7.(2009·苏州二模)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=________.8.(2010·浙江嘉兴月考)已知f(x)= 1-xπ1+xα∈(2,π),则f(cos α)+f(-cos α)=________.9.(2009·北京)若sin θ=-45tan θ>0,则cos θ=____________________________________.10.(2010·泰州模拟)化简:(1)1-cos4α-sin4α1-cosα-sinα2sin(π4x)+6cos(π; 4-x).11.(2010·盐城模拟)已知sin22α+sin 2αcos α-cos 2α=1,α∈(0,π2),求sin α、tan α的值.12.(2009·福建宁德模拟)已知0<α<π52sin αcos α-cos α+12cos α-sin α=-5,试求1-tan α和差倍角的三角函数1.(2010·山东青岛模拟)cos 43°cos 77°+sin 43°·cos 167°的值为________. 2.(2010·南京模拟)已知α、β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tan α=________.3.(2009·湖北四校联考)在△ABC中,3sin A+4cos B=6,4sin B+3cos A=1,则∠C的大小为________.4.(2009·湖南长沙调研)在锐角△ABC中,设x=sin A·sin B,y=cos A·cos B,则x,y的大小关系是________.5.(2009·广东韶关模拟)已知tan α=2,则sin 2α-cos 2α1+cosα________.6.(2010·无锡模拟)1+tan x1-tan x2 010,则1cos 2x+tan 2x的值为________.7.(2010·苏州调研)若锐角α、β满足(1+3tan α)·(13tan β)=4,则α+β=________. 8.(2009·江苏南通二模)已知sin αcos β=12,则cos αsin β的取值范围是____________.9.(2010·苏、锡、常、镇四市调研)若tan(α+β)=2π1π5,tan(β-4)=4,则tan(α+4=________.10.(2008·广东)已知函数f(x)=Asin(x+φ) (A>0,0<φ<π) (x∈R)的最大值是1,其图象经过点Mπ13,2. (1)求f(x)的解析式;(2)已知α、β∈0,π2,且f(α)=3125,f(β)=13,求f(α-β)的值.11.(2010·宿迁模拟)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|=41313(1)求cos(α-β)的值;(2)若0<α<π2,-π42β<0,且sin β=-5,求sin α的值.三角函数的图象与性质1.(2009·大连一模)y=sin(2x+π6)的最小正周期是_____________________________.2.(2010·扬州模拟)y=2-cos__________,此时x=________.3π3.(2010·盐城模拟)函数y=tan(x)的定义域是________________.4.(2009·牡丹江调研)已知函数y=2cos x(0≤x≤1 000π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是________5.(2010·江苏盐城月考)已知函数y=tan ωx在(-,内是减函数,则ω的取值范围是________________.7.(2009·浙江宁波检测)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周8.(2010·连云港模拟)sin 2,cos 1,tan 2的大小顺序是________________.9.(2008·全国Ⅱ理)若动直线x=a与函数f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象分别交于M、N两点,则|MN|的最大值为_______.11.(2008·陕西)已知函数f(x)=2sincos+3cos.12.(2010·山东济宁第一次月考)设a=sin2b. ,cos x+sin x,b=(4sin x,cos x-sin x),f(x)=a·4(1)求函数f(x)的解析式(3)设集合A=x6x≤3,B={x||f(x)-m|<2},若A⊆B,求实数m的取值范围.三角函数的`最值及应用1.(2010·连云港模拟)函数y3sin(2x)-cos 2x的最小值为________.2.(2010·泰州模拟)若函数y=2cos ωx在区间[0,上递减,且有最小值1,则ω的值可以是________.3.(2010·湖北黄石调研)设函数f(x)=2sin(+.若对任意x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为____.4.(09·湖南株州模拟)函数y=sin 2x按向量a平移后,所得函数的解析式是y=cos 2x+1,则模最小的一个向量a=__.5.(2009·广东惠州二模)函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<在同一单调区间内的x=x29291小值-________________________.2a+b,ab≤0,6.(2010·广西南宁检测)定义运算a*b=a则函数f(x)=(sin x)*(cos x)的最小值为________., ab>0,b7.(2010·苏州调研)一半径为10的水轮,水轮的圆心距水面7,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上点P到水面距离y与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ω+φ)+7(A>0,ω>0),则A=________,ω=________. 8.(2009·徐州二模)函数y=(sin x-a)2+1,当sin x=a时有最小值,当sin x=1时有最大值,则a的取值范围是_______. 9.(2009·江苏)函数y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则ω=10.(2010·镇江模拟)已知函数f(x)=cos(2ωx+2φ) (A>0,ω>0,0<φ<),且y=f(x)的最大值为2,其图象上相邻两对称轴间的距离为2,并过点(1,2).(1)求φ;(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2 008).11.( 10·辽宁瓦房店月考)如图所示,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b. (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.12.(2010·吉林延吉模拟)如图,在一个奥运场馆建设现场,现准备把一个半径为3 m的球形工件吊起平放到6 m高的平台上,工地上有一个吊臂长DF=12 m的吊车,吊车底座FG高1.5 m.当物件与吊臂接触后,钢索CD的长可通过顶点D处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触.求物件能被吊车吊起的最大高度,并判断能否将该球形工件吊到平台上?解三角形1.(2010·江苏靖江调研)在△ABC中,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则A=________.2.(2010·宿迁模拟)在△ABC中,已知acos A=bcos B,则△ABC的形状为____________. 3.(2010·江苏淮阴模拟)如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为____________. 4.(2010·浙江绍兴模拟)△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,如果a,b,c成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为,那么b=__________.25b,A=2B,则cos B=________. 26.(2010·南通模拟)一船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向,行驶4 h后,船到达B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为________km.7.(2009·福建泉州二模)如图所示,我炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面C处和D处,已知CD=6 000 m,∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面B处时测得∠BCD=30°,∠BDC=15°,则炮兵阵地到目标的距离是________________(结果保留根号).8.(2009·江西宜泰模拟)线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶,则运动开始____ h后,两车的距离最小. 9.(2009·广东改编)已知△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,若a=c=6+2,且∠A=75°,则b=________.10.(2009·安徽)在△ABC中,C-A=sin B=23(1)求sin A的值;(2)设AC=6,求△ABC的面积.11.(2009·山东泰安第二次月考)在海岸A处,发现北偏东45°方向,距A处3-1)海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船,并求出所需要的时间.5.(2008·四川,7)△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a=三角函数的综合应用1.(2009·济宁期末)已知a=(cos 2α,sin α),b=(1,2sin α-1),α∈π),若a·b=,则25πtan(α+的值为________.2.(2008·江苏)若AB=2,AC2BC,则S△ABC的最大值是________.3.(2009·肇庆期末)定义运算a*b=a2-ab-b2,则sin=________.4.(2009·广州第二次联考)已知a,b,x,y∈R,a2+b2=4,ax+by=6,则x2+y2的最小值为________.5.(2010·宿州模拟)若函数f(x)=sin(x+α)-2cos(x-α)是偶函数,则cos2α=________.6.(2010·泰州调研)函数f(x)=(sin2x+(cos2x+)的最小值是________. 2 009sinx2 009cosx7.(2009·福建文)已知锐角△ABC的面积为33,BC=4,CA=3,则角C的大小为________.8.(2010·苏南四市模拟)俗话说“一石激起千层浪”,小时候在水上打“水漂”的游戏一定不会忘记吧.现在一个圆形2π波浪实验水池的中心已有两个振动源,在t秒内,它们引发的水面波动可分别由函数y1=sin t和y2=sin(t+来描3述,当这两个振动源同时开始工作时,要使原本平静的水面保持平静,则需再增加一个振动源(假设不计其他因素,则水面波动由几个函数的和表达),请你写出这个新增振动源的函数解析式______________. 9.(2010·南通模拟)2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos 2θ的值等于____________.经典数学题【例二】知识考点:本节知识的考查一般以填空题和选择题的形式出现,主要考查锐角三角函数的意义,即运用sina、cosa、tana、cota准确表示出直角三角形中两边的比(a为锐角),考查锐角三角函数的增减性,特殊角的三角函数值以及互为余角、同角三角函数间的关系。
高三数学一轮复习 第九章 第2课时 基本算法语句、算法案例与框图课件

输入信息
语句
一般格式
功能
输出 _P_R_I_N__T_“__提__示__内__ 输出_常__量__、__变___量__ 语句 _容__”__;__表__达__式___ 的__值___和__系__统__信__息__
赋值 语句
__变__量__=__表__达__式___
将表达式所代表的 值_赋__给__变___量__
1.四位二进制数 1 111(2)表示的十进制数是
()
A.4
B.15
C.64
D.127
解 析 : 1 111(2)= 1×23+ 1×22+ 1×21+ 1×20=8+4+2+1=15.
答案: B
2.用“辗转相除法”求得 168 和 486 的最大
公约数是( )
A.3
B.4
C.6
D.16
解析: 486=2×168+150,168=1×150 +18,
某工种按工时计算工资,每月总工资=每月劳 动时间(小时)×每小时工资,从总工资中扣除 10%作公积金,剩余的为应发工资,当输入劳 动时间和每小时工资数时,试编写一程序输出 应发工资.
解析: 算法分析:第一步,输入月劳动时 间 t 和每小时工资 a; 第二步,求每月总工资 y=每月劳动时间 t× 每小时工资 a; 第三步,求应发工资 z=每月总工资 y×(1 -10%);
答案: 21 4
练规范、练技能、练速度
人教版八年级上
Unit 4 What’s the best movie theater?
课时4 Section B (2a-2e)
二、根据句意,用括号内所给词的适当形式填空。 6. We are looking for the best singers and the most exciting
指数基本公式

指数基本公式
指数基本公式包括指数运算法则和指数函数运算公式。
指数运算法则是一种数学运算规律,包括加法、减法和乘法等规则。
具体来说,两个或者两个以上的数、量合并成一个数、量的计算叫加法,例如
a+b=c;同底数幂相除,底数不变,指数相减,例如(a^m)÷(a^n)=a^(m-n);幂的乘方,底数不变,指数相乘,例如(a^m)^n=a^(mn)。
指数函数运算公式包括指数函数的基本性质和运算性质。
指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1),函数图形下凹,a大于1时指数函数单调递增,若0<a<1,则为单调递减的。
同时,还有换底公式等运算性质。
综上所述,指数基本公式包括指数运算法则和指数函数运算公式,它们是数学运算中常用的规则和性质。
四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末能力测评数学试题含答案

高二2023-2024学年度上期期末能力测评数学(答案在最后)满分150分考试时间120分钟注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置;2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上相应题目答案标号涂黑.如需改动,请用橡皮擦干净;3.回答非选择题时,在答题卡上作答.写在本试卷上无效;4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.每小题的四个选项中,只有一个选项符合题目要求.1.直线:l 2310x y +-=的一个方向向量为()A.()2,3- B.()3,2- C.()2,3 D.()3,2【答案】B 【解析】【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可.【详解】由2310x y +-=得,2133y x -+,所以直线的一个方向向量为2(1,)3-,而2(3,2)3(1,)3-=--,所以(3,2)-也是直线的一个方向向量.故选:B.2.对于变量x ,条件:p Q x ∈,条件:q R ,则p 是q 的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据充分必要条件的要求,分别判断p 能否推出q ,以及q 能否推出p 即得.【详解】由Q x ∈,若取=1x -R ,即p 不是q 的充分条件;R ,若取πx =,显然不满足Q x ∈,即p 不是q 的必要条件.3.对某社团进行系统抽样,编号为001,002,⋯,120,则抽取的序号不可能是()A.001,004,⋯,117B.008,020,⋯,116C.005,015,⋯,115D.014,034,⋯,114【答案】A 【解析】【分析】根据系统抽样的要求抽取的序号的间隔相同,序号构成等差数列,逐项验证.【详解】根据系统抽样的要求抽取的序号的间隔相同,序号构成等差数列,对A :121,4,3,32n a a d a n ====-,令32117n -=此方程没有正整数解,故A 不可能;对B :128,20,12,124n a a d a n ====-,令124116n -=得10n =满足要求,故B 可能;对C :125,15,10,105n a a d a n ====-,令105115n -=得12n =满足要求,故C 可能;对D :1214,34,20,206n a a d a n ====-,令206114n -=得6n =满足要求,故D 可能;故选:A4.若直线:l 260x y m -+-=平分圆:C 22240x mx y +++=,则实数m 的值为()A .2- B.2 C.3 D.2-或3【答案】C 【解析】【分析】列出22240x mx y +++=所满足的条件,由直线l 过圆心求得m 的值.【详解】22240x mx y +++=可化为()2224x m y m ++=-,则240m ->,直线260x y m -+-=始终平分圆22240x mx y +++=的周长,则直线l 经过圆心(,0)m -.代入直线得260m m --=,解得3m =或2m =-.因为2m =-不满足240m ->,故3m =故选:C.5.若数列{}n a 满足12a =,1123n nn S S n a +++=+,则88S a +的值为()A.9B.10C.11D.12【解析】【分析】由n S 与n a 的关系求得()()112n n S n S n +=++,从而1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列,得到1n S n =+,即可求88S a +的值.【详解】由11n n n S S a ++-=及1123n nn S S n a +++=+得()()1123n n n n S S n S S +++=+-,即()()112323n n n n S S n S n S ++-+=++,即()()112n n S n S n +=++,所以112n n S S n n +=++,即1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列,又11221S a ==,所以11n Sn =+,即1n S n =+,所以878879,81,S S a S S ===-=,所以8810S a +=.故选:B6.已知实数,x y28x y =+-,则点(),P x y 的轨迹为()A.抛物线B.双曲线C.一条直线D.两条直线【答案】D 【解析】【分析】将已知方程等价变形为()()334170x x y -⋅+-=,即可判断点(),P x y 的轨迹.28x y =+-,所以两边平方得()()22223246443216x y x y xy x y -+-=+++--,化简整理得2351426120x xy x y ++--=,所以()()334170x x y -⋅+-=,所以30x -=或34170x y +-=,即点(),P x y 的轨迹方程为30x -=或34170x y +-=,所以点(),P x y 的轨迹为两条相交直线.故选:D7.若复数z 满足()24z z z ⋅+=,则23z z +的最小值为()A .16B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】设i z x y =+,利用复数的乘法运算及模的公式得422491016x x y y ++=,所求式子为()2244x y +,令224t x y =+,则利用422152160x tx t --+=有解求得t ≥,即可得解.【详解】设i z x y =+,则()()()()222i 3i 34i 4z z z x y x y x yxy ⋅+=+⋅+=-+=,所以()()22223416x y xy -+=,即422491016x x y y ++=,而()()()2222222333i i 42i 16444z zx y x y x y x y x y +=++-=+=+=+,令224t x y =+,则224y t x =-,所以()()242229104416x x t x t x +-+-=,即422152160x tx t --+=,记20m x =≥,则22152160m tm t --+=,由题意,该方程存在非负根,且二次函数对称轴015tm =>,所以()()22Δ2415160t t =-⨯⨯-+≥,所以215t ≥,又0t >,所以t ≥,所以234z z t +=≥,即23z +的最小值为.故选:C8.计算:cos 20cos 40cos 40cos80cos80cos 20-+= ()A.12B.23C.34D.2【答案】C 【解析】【分析】根据和差角公式以及积化和差公式即可求解.【详解】()()()()11cos 20cos 40cos 40cos80cos80cos 20cos 4020cos 4020cos 8040cos 804022⎡⎤⎡⎤-+=++--++-⎣⎦⎣⎦()()1cos 8020cos 80202⎡⎤+++-⎣⎦111131cos 20cos 40cos100cos 202cos 40cos100222242112⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+++=+⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣-⎦+()()3131cos 20cos 40cos100cos 3010cos 3010sin104242⎡⎤⎡⎤=+=+--+-⎣⎦-+⎦⎣3132sin 30sin10sin10424⎡⎤=+-=⎣⎦,故选:C二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题的四个选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分.9.设集合A ={|αα为两个非零向量可能的夹角},集合B ={|ββ为两条异面直线可能的夹角},则下列说法错误的是()A.4π3A ∉ B.2π3B ∈C.ππ2A B θθ⎧⎫⊆≤≤⎨⎬⎩⎭ð D.ππ2A B θθ⎧⎫⊇≤≤⎨⎬⎩⎭ð【答案】BCD 【解析】【分析】由向量夹角定义和异面直线所成角取值范围求出集合A ,B ,再结合集合相关概念即可求解.【详解】由题集合[]0,πA =,π0,2B ⎛⎤= ⎥⎝⎦,所以4π3A ∉,2π3B ∈,故A 对,B 错;由上{}π0,π2A B ⎛⎤=⋃ ⎥⎝⎦ð,故C 、D 错.故选:BCD.10.已知曲线:Γ1x x y y +=-,将曲线Γ用函数()f x 表示,则下列说法正确的是()A.()f x 在R 上单调递减;B.()y f x =的图象关于34y x =对称;C.()22fx x +的最小值为9;D.若直线:l y kx b =+()0b <与()y f x =的图象没有交点,则实数k 为定值.【答案】ACD 【解析】【分析】分段讨论确定Γ所表示的曲线方程作出图象,由图象判断A ,B ,D 选项;求出()22f x x +的表达式求其最小值判断C 选项;【详解】当0,0x y >≥时,221916x y+=-不存在,故在第一象限内无图象;当0,0x y <≥时,221916x y-+=-,在第二象限内为双曲线的一部分,其渐近线为43y x =-,此时2216169x y =-,即()()221616,39x f x x =-≤-,所以()222251699x f x x +=-≥;当0,0x y ≤<时,221916x y +=,在第三象限内为椭圆的一部分;此时2216169x y =-,即()()221616,309x f x x =--<≤,所以()22271699x f x x +=->当0,0x y ><时,22916x y -=-,在第四象限内为双曲线的一部分,其渐近线为43y x =-;此时2216169x y =+,即()()221616,09x f x x =+>,所以()2222516169x f x x +=+>;综上:()22fx x +的最小值为9,故C 正确;()y f x =图象如图所示:对于A :由图象可得()f x 在R 上单调递减,故A 正确;对于B ,由图象可得()f x 图象不关于直线34y x =成轴对称图形,也可以求得()3,0-关于直线34y x =对称的点2172,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭不在()f x 图象上,故B 错误;对D :若直线:l y kx b =+()0b <与()y f x =的图象没有交点,则直线l 与渐近线平行,即43k =-为定值,否则直线l 与渐近线相交,则一定会与()y f x =的图象相交,故D 正确.故选:ACD【点睛】关键点点睛:本题关键是能根据,x y 的正负去掉绝对值符号得到曲线方程,作出图象,数形结合分析.11.已知独立的事件A 、B 满足()()0P A P B <<,则下列说法错误的是()A.()()P A P AB +一定小于()2P B ;B.()()P A B P AB +可能等于()2PB ;C.事件AB 和事件AB 不可能相互独立;D.事件AB 和事件A B +可以相互独立.【答案】BC 【解析】【分析】利用独立事件的定义和性质可判断A 正确,B 错误;根据事件A 与B ,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立,利用相互独立事件概率公式计算即可.【详解】()()P A P B <且,A B 相互独立,则()()P AB P B <,()()2()P A P AB P B +<,A 正确.∵A B +表示事件,A B 至少发生一个,AB 表示事件,A B 同时发生,∴()(),()()()()P A B P B P AB P A P B P B +>=<,∴()()P A B P AB +不能等于()2P B ,B 错误.若1()2P B =,则1()2P B =,此时()()P AB P AB =,∵AB AB A = .∴()(()(()()()P A P AB AB P AB P AB P A P B P AB ==+=+ .∴移项得(()()()()()()(1())()()P AB P A P AB P A P A P B P A P B P A P B =-=-=-=.∴事件A 与B 相互独立,同理可知事件A 与B ,A 与B 也都相互独立.∴事件AB 和AB 可能相互独立,事件AB 和A B +可能相互独立,C 错误,D 正确.故选:BC【点睛】关键点点睛:解题的关键是已知独立事件A 、B ,可推出事件A 与B ,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立.12.如图,在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -上,点M 为体对角线1BD 靠近1D 点的三等分点,点E F 、为棱AB 、1CC 的中点,点P 在平面MEF 上,且在该平面与正方体表面的交线所组成的封闭图形中(含边界),则下列说法正确的是()A.平面MEF 与底面ABCD 的夹角余弦值为77;B.点D 到平面MEF 的距离为11; C.点D 到点P 的距离最大值为6345;D.设平面MEF 与正方体棱的交点为1T 、…、n T ,则n 边形1n T T ⋯最长的对角线的长度大于172.【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系,即可利用法向量的夹角求解A ,根据点面距离的向量法即可求解B ,根据面面平行的性质可得截面为六边形EQFNKT ,即可根据点点距离公式求解CD.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()2,2,4,6,3,0,0,6,3M E F ,()()4,1,4,2,4,1ME MF =-=--,设平面MEF 法向量为(),,m x y z =,440240ME m x y z MF m x y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩,取4y =,则()5,4,6m = ,而平面ABCD 的一个法向量为()10,0,6AA =,所以平面MEF 与底面ABCD的夹角余弦值为1677cos ,77m AA ==.故A 错误,()2,2,4,DM = 所以点D 到平面MEF的距离为11DM m m ⋅==,故B正确,延长EM 交11D C 于点N ,连接NF 交DC 延长线于点H ,连接EH 交BC 于Q ,由于点M 为体对角线1BD 靠近1D 点的三等分点,所以1111322D M D N D N MB EB ==⇒=,11912C N C F CH CH CF ==⇒=,9612235CH CQ BQ BQ EB BQ BQ -=⇒=⇒=,在棱11A D 上取K ,使得165D K =,由于11116124455,35352D K D KBQ BQ D N EB EB D N==⇒=⇒=,故//KN EQ ,连接,,TE TK FQ ,故六边形EQFNKT 即为平面MEF 上与正方体所截得的截面,由于1121863,6,555FC AE CQ D K ===-==113//,2932C F AT ATNF TE AT NC AE ∴=⇒=⇒= ,由于CQ 最大,故DQ为最大值5DQ =,故当P 在Q 处时,DP最大为5,C正确,由于()()()1863,6,0,6,3,0,0,6,3,6,0,2,,0,6,0,,6,552Q E F T K N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭172NE ==>,因此六边形EQFNKT 的最长对角线的长度不小于NE 的长度,因此六边形EQFNKT 的最长对角线的长度大于172,故D 正确,故选:BCD【点睛】方法点睛:作截面的常用三种方法:直接法,截面的定点在几何体的棱上;平行线法,截面与几何体的两个平行平面相交,或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行;延长交线得交点,截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数()f x =的定义域为______.【答案】()11,2∞⎧⎫+⋃⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据根式函数和对数函数及分式函数定义域法则列不等式求解即可.【详解】由题意2100ln 0x x x -≥⎧⎪>⎨⎪>⎩或2100ln 0x x x -=⎧⎪>⎨⎪≠⎩,解得1x >或12x =,所以函数()f x =的定义域为()11,2∞⎧⎫+⋃⎨⎬⎩⎭.故答案为:()11,2∞⎧⎫+⋃⎨⎬⎩⎭14.已知某平面内三角形ABC 为等腰三角形,AB AC =,点D 为AC 中点,且3BD =,则ABC 面积的最大值为____________.【答案】6【解析】【分析】根据向量的模长公式可得259cos 4A x=-,即可利用面积公式得()()2229203664ABC S x =--+ ,利用二次函数的性质即可求解.【详解】设AB AC x==由于12BD AC AB =- ,所以2222215cos 44BD AC AB AC AB x x A =+-⋅=- ,故259cos 4A x=-,()()222424211159sin 1cos 12444ABC S AB AC A x A x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()24229458192036648464x x x =-+-=--+故当220x =时,此时()2ABC S 取最大值36,故面积的最大值为6,故答案为:615.已知锐角α,β满足2tan cos αβ=,2tan tan2αβ=,则sin sin βα的值为______.【答案】56【解析】【分析】根据已知结合同角关系消去β得1tan tan2tan ααα-=,再根据二倍角公式化弦为切得1sin 2cos αα+=,然后利用同角三角函数关系求得33sin ,tan 54αα==,然后代入sin sin βα==计算可得.【详解】因为2tan cos αβ=,2tan tan 2αβ=,所以22sin 1tan tan 2cos tan αβαβα-==,又2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222αααααααα-===,所以1cos 1tan cos sin sin tan sin ααααααα---==,所以1cos cos sin ααα-=-,即1sin 2cos αα+=,又22sin cos 1αα+=,所以25sin 2sin 30αα+-=,又α为锐角,解得3sin 5α=,或sin 1α=-(舍去),所以43cos ,tan 54αα==,所以sin 5sin 6βα==.故答案为:5616.假设视网膜为一个平面,光在空气中不折射,眼球的成像原理为小孔成像.思考如下成像原理:如图,地面内有圆1O ,其圆心在线段MB 上,且与线段MB 交于不与,M B 重合的点A ,PM ⊥地面,且24BM PM ==,P 点为人眼所在处,视网膜平面与直线BM 垂直.过A 点作平面α平行于视网膜平面.科学家已经证明,这种情况下圆1O 上任意一点到P 点的直线与平面α交点的轨迹(令为曲线C )为椭圆或圆,且由于小孔成像,曲线C 与圆1O 在视网膜平面上的影像是相似的,则当视网膜平面上的圆1O 的影像为圆时,圆1O 的半径r 为____________.当圆1O 的半径r 满足112r ≤≤时,视网膜平面上的圆1O 的影像的离心率的取值范围为____________.【答案】①.32②.26,23⎣⎦【解析】【分析】使用空间向量方法可以验证曲线C 的两条半轴(半长轴和半短轴,但顺序可能不对应)的长分别为2r和,然后根据题设求解.【详解】由于视网膜平面与直线BM 垂直,平面α平行于视网膜平面,故平面α与直线BM 垂直.设地面平面为β,则据已知条件有PM β⊥.从而在β内可过M 作MA 的垂线MD ,使得,,MA MD MP 可分别作为以M为原点的一个右手坐标系的,, x y z轴正方向.由已知有4BM=,2PM=,故()0,0,0M,()4,0,0B,()0,0,2P.而42MA MB AB r=-=-,故()42,0,0A r-.再由1O A r=,知()14,0,0O r-.由于平面α与直线BM垂直,即平面α与x轴垂直,从而平面α上每一点的坐标的x轴分量都是定值42r-.再根据点A在线段MB内部及4BM=,又有0424r<-<,得02r<<.此时,地面平面即平面xOy,故圆1O的方程为()2224x r y rz⎧+-+=⎪⎨=⎪⎩.据此可设圆1O上的一点Q的坐标为()4cos,sin,0r r t r t-+,故()4cos,sin,2PQ r r t r t=-+-.设直线PQ和平面的交点为R,则,,P Q R三点共线,且R的坐标的x轴分量是42r-.故()22sin424842,,4cos4cos4cosr r tr rPR PQ rr r t r r t r r t⎛⎫---==-⎪-+-+-+⎝⎭,这得到R的坐标为()()22sin21cos42,,4cos4cosr r t r trr r t r r t⎛⎫-+-⎪-+-+⎝⎭.设()22sin4cosr r tyr r t-=-+,()21cos4cosr tzr r t+=-+,则()222221682242r ry zrr r-⎛⎫⎛⎫⋅+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-()()22222242142r ry zrr r--⎛⎫=⋅+-⎪⎝⎭-()()()222168sin41cos14cos4cosr t tr r tr r t⎛⎫-+=+-⎪-+-+⎝⎭()()()()()()22221681cos4cos4cos4cosr t r t rr r t r r t---+=+-+-+()()()()()2221681cos 4cos 4cos r t r t r r r t --+-+=-+()()()()()22222168168cos 168cos 24cos 4cos r r t r r t r r t r r r t ---+-++-+=-+()()()222216824cos cos 4cos r r r r t r tr r t -++-+=-+()()224cos 4cos r r t r r t -+=-+1=.所以我们得到点R 的轨迹为()222224216821242x r r r y z r r r =-⎧⎪-⎛⎫⎛⎫⎨⋅+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎩.由此可知,曲线C 是位于平面α内,以42,0,2r r ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中心,半长轴和半短轴分别(顺序可能不对应)为2r22-=的椭圆(或者是圆,因为在二者相等时是圆).而曲线C 和视网膜平面上的圆1O 的影像相似,故其中一个是圆当且仅当另一个是圆,且二者离心率相等.当曲线C 是圆时,有2r=12=,两边平方可得32r =.当112r ≤≤时,2r>=>,故和2r分别(顺序对应)是半长轴和半短轴的长,从而离心率e =再由112r≤≤,23⎣⎦.故答案为:32,26,23⎣⎦.【点睛】关键点点睛:本题的关键点在于,利用已知的坐标,采取适当的配凑得到类似椭圆的方程,从而得到相应曲线的性质.四、解答题:本题共5小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知抛物线C 的顶点是坐标原点O ,焦点是双曲线2241x y -=的右顶点.(1)求抛物线C 的方程;(2)若直线:l 2x y +=与抛物线相交于A 、B 两点,解决下列问题:(i )求弦长AB ;(ii )求证:OA OB ⊥.【答案】(1)22y x =;(2)(i);(ii )证明见解析.【解析】【分析】(1)求出双曲线右顶点,再求出抛物线的方程即得.(2)把直线l 的方程与抛物线方程联立,利用韦达定理,结合弦长公式及数量积的坐标表示求解即得.【小问1详解】双曲线2241x y -=,即22114x y -=,其右顶点为1(,0)2,则抛物线C 的焦点为1(,0)2,而抛物线C 的顶点是坐标原点O ,所以抛物线C 的方程:22y x =.【小问2详解】(i )设211)1(,2A y y ,222)1(,2B y y ,由222y xx y ⎧=⎨=-+⎩消去x 得:2240y y +-=,则122y y +=-,124y y =-,于是12y y -==所以12AB y y =-==.(ii )显然211)1(,2OA y y = ,222)1(,2OB y y = ,则221212121211(1)044OA OB y y y y y y y y ⋅=+=+= ,显然0,0OA OB ≠≠ ,即OA OB ⊥ ,所以OA OB ⊥.18.已知递增数列{}n a 和{}n b 分别为等差数列和等比数列,且113=a b ,422a b =,73a b =,126a b +=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)若ln ln n nb n a ac b =,证明:1211nc c c n 迹+.【答案】(1)2n a n =+,13n n b -=(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由等差和等比数列的性质结合题意列方程组,解出11,,,a d q b ,再由基本量法求出通项即可;(2)由对数的运算性质化简再简单放缩可得()11133log 32log 31n n n n n nc n ++-=+≤=+,最后利用累乘法可证明.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,由题意可得:11112111133266a b a d b q a d b q a b q =⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩,前两式化简后有1111131322a b a d b q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,由上述式子可得:()21111136322a a d a d ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,化简得:()()11930a d a d +-=,则19a d =-或13a d =,若19a d =-,可得1233b b b d ===-,数列{}n b 为常数列,故舍去;若13a d =,带入得3q =,又由116a b q +=,解得1d =,13a =,11b =,于是得到数列{}n a 的通项公式为2n a n =+,数列{}n b 的通项公式为13n n b -=.【小问2详解】由题可得()113ln log log 32ln n n a n nnb n n b b a ac a b +-===+,由于N n *∈时,()()113322310nn n ---+=-≥,则1332n n -³+(当且仅当1n =时取等号),所以()11133log 32log 31n n n n n nc n ++-=+≤=+,则121212311nn c c c n n 迹创即=++(当且仅当1n =时取等号).所以1211n c c c n 迹+.19.如图,1111ABCD A B C D -为一个平行六面体,且12AB AD AA ===,1BAA ∠=23πBAD ∠=,13DAA π∠=.(1)证明:直线AB 与直线1AC 垂直;(2)求点1B 到平面ABCD 的距离;(3)求直线1AC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)3(3)3【解析】【分析】(1)利用垂直关系的向量表示求1AB AC即可证明.(2)由已知条件得三棱锥1B ABC -为正四面体,再利用正四面体结构特征即可求解得到点1B 到平面ABCD 的距离.(3)由(1)可得1AC,再由(2)得点1C 到平面ABCD 的距离,进而可求出线面角的正弦值,再结合同角三角函数平方和为1求解余弦值即可.【小问1详解】由题可得111AC AC CC AB AD AA =+=++,所以()2111····AB AC AB AB AD AA AB AB AD AB AA =++=++ 2π2π422cos 22cos 033=+⨯+⨯=,则1AB AC ⊥,于是得证:1AB AC ⊥.【小问2详解】连接11,,AB CB AC ,则由题意可知1113DAA CBB ABC ABB π∠=∠=∠=∠=,且1AB BB BC ==,所以三棱锥1B ABC -为正四面体,所以由正四面体结构性质1B 在底面ABC 的投影O 在BG (G 为AC 中点)上,且1112333GO BO BG ====,所以1B O ⊥平面ABC ,且1263B O ==,即点1B 到平面ABCD 的距离为3.【小问3详解】设直线1AC 与平面ABCD 的夹角为θ,由于1111ABCD A B C D -为一个平行六面体,则点1C 到平面ABCD 的距离等于点1B 到平面ABCD 的距离为3d =,由(1)中11AC AB AD AA =++,得到:1AC === ,则1sin 3d AC θ== ,显然π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos 3θ==.20.已知圆1:O 224x y +=,圆2:O ()221x y m +-=()01m ≤<,点P 为圆2O 上的一点.(1)若过P 点作圆2O 的切线l 交圆1O 于A 、B 两点,且弦AB长度最大值与最小值之积为m 的值;(2)当0m =时,圆1O 上有C 、D 两点满足PC PD ⊥,求线段CD 长度的最大值.【答案】(1)12(21【解析】【分析】(1)画出图形,得出AB =,进一步由三角形三边关系得出1O Q 的最值,由此即可顺利得解.(2)由三角形三边关系、直角三角形性质可得关于CD 的不等式,解不等式即可得解.【小问1详解】设AB 中点为Q 点,连接12O O 、1O Q 、2O Q 、2O P ,由01m ≤<,得12211O O <-=,则圆1O 内含圆2O ,由垂径定理得:AB =,1AB O Q ⊥,由切线l 可得2AB O P ⊥,可得112121O Q O P O P O O m ≤≤+=+(当且仅当直线AB 为1y m =+时都取等),12121121O Q O P O O O P O O m ≥-≥-=-(当且仅当直线AB 为1y m =-+时都取等),所以111m O Q m -≤≤+,于是=,解得12m =.【小问2详解】取CD 中点T ,连接1O T 、TP 、1O P .当0m =时,1O 和2O 重合,由于PC PD ⊥,则12PT CD =,而11112O T PT O P CD ≥-=-,221144O T CD +=,则22114142CD CD ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭,解得:1CD ≤,当且仅当1O 在线段TP 上时取等,所以CD 1.21.请解决以下两道关于圆锥曲线的题目.(1)已知圆:M ()22224x y a ++=()02a <<,圆P 过点()2,0N 且与圆M 外切.设P 点的轨迹为曲线E .①已知曲线Γ:x yλ=()R λ∈与曲线E 无交点,求λ的最大值(用a 表示);②若记(2)中题①的λ最大值为0λ,圆:Q ()2211x y -+=和曲线00Γ:x y λ=相交于A 、B 两点,曲线E 与x 轴交于K 点,求四边形OAKB 的面积的最大值,并求出此时a 的值.(参考公式:322223a b c abc ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭,其中,,0a b c >,当且仅当a b c ==时取等号)(2)如图,椭圆:C 22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F 、2F ,其上动点M 到1F 的距离最大值和最小值之积为1,且椭圆C 的离心率为2.①求椭圆C 的标准方程;②已知椭圆C 外有一点P ,过P 点作椭圆C 的两条切线,且两切线斜率之积为12-.是否存在合适的P 点,使得123F PF π∠=?若存在,请写出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1;②四边形OAKB 的面积的最大值为839,实数a的值为3(2)①2214x y +=;②不存在P 点使得123F PF π∠=,理由见解析【解析】【分析】(1)①根据已知条件求出点P 的轨迹方程E ,再将两个曲线无交点转化为对应的方程组无解即可.②根据已知条件求出,A B 两点坐标,表示出所求四边形的面积结合参考的不等式求解即可.(2)①根据焦点弦的范围和离心率列方程组求解即可.②由点P 和椭圆关系可以求出点P 的轨迹方程;再根据123F PF π∠=也以确定点所在圆弧的轨迹方程;根据联立两个方程有没有解来判断是否存在这样的点P 即可.【小问1详解】由圆P 过点()2,0N 且与圆M 外切可得:2P P M P ON R OM R R R a ⎧=⎪⎨=+=+⎪⎩,所以有24OM ON a MN -=<=,则点P 的轨迹为以M 、N 为左右焦点,实轴长为2a 的双曲线右支,所以曲线:E 222214x y a a-=-()0x >.①显然,当0λ≤时,曲线Γ与曲线E 无交点,当0λ>时,()222Γ:Γ:0x y x y x λλ=⇔=≥,于是令2222222014x x y a a x y λ>⎧⎪⎪-=⎨-⎪=⎪⎩,得222241a a x λ⎛⎫--= ⎪⎝⎭,若该方程在()0,∞+上无实数解,则22240a a λ--≤,解得λ≤所以λ.②将0λ=曲线00Γ:x y λ=得:曲线0Γ:x =22224a x y a ⇔=-()0x ≥,不妨令()222222411a x y a x y ⎧=⎪-⎨⎪-+=⎩,得0x =或212a ,于是212A B x x a ==,则四边形OAKB的面积12OAKB S a ==根据参考公式将该式化为32222228283269OAKB a a a S a ⎛⎫⎛⎫++-=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,2a =取等号,解得263a =或3-,负值舍去)所以四边形OAKB 的面积的最大值为839,此时实数a 的值为263.【小问2详解】①由焦点弦取值范围1a c MF a c -≤≤+,离心率c e a =得:()()21c a a c a c ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩,解得:21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.②设00(,)P x y ,过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-,由对称性不妨令00≥y ,()220014x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩,消元得()()()2220000418440k x k y kx x y kx ++-+--=,令Δ0=,化简得:()()22200004210x k x y k y --+-=,由于两切线斜率之积为12-,则202020401142x y x ⎧-≠⎪-⎨=-⎪-⎩,化简得:2200163x y +=()02x ≠±,由于123F PF π∠=,则点P 在以12F F 为弦所对圆心角为23π的圆的优弧 12F F 上,当00≥y 时,易得该圆的方程为()2214x y +-=,不妨令()22221631420x y x y x y ⎧+=⎪⎪⎪+-=⎨⎪≠±⎪⎪≥⎩,解得该方程组无实数解,则当00≥y 时,不存在P 点使得123F PF π∠=,由对称性可知,当00≤y 时也不存在P 点使得123F PF π∠=,综上,不存在P 点使得123F PF π∠=.。
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引子
例:输出边长为n的空心等腰梯形
图形打印思路:
* * *************
*
*
*****
*
*
1. 外层循环控制打印图 形的行数,循环量即 是行数——用i控制行 2. 循环体内,一种连续 字符用一个循环,字 符的个数用循环次数 控制——用j控制列 3. 特殊情况特殊处理
1
for(j=1;j<=n-i;j++) printf(“ ”); 设 i : 1~n ***** 循环体内: * * (1) 输出n-i个„ ‟ * * (2) 如果是第一行或最后 * * 一行:输出n+2i-2个* ************* (3) 否则: ① 输出1个* ② 输出(n+2i-4)个„ ‟ 利用同一个功能: ③ 输出1个* 输出x个字符c void pt (int x, char c) (4) 输出1个„\n‟
27
一个函数中,可以有一个或多个返回语句, 但只执行其中一个返回语句,只有一个返 回值。 int max(int x,int y) int main( ) { if (x>y) return x; { int a=3, b=6,c; else return y; } int max(int x,int y) c=max(a,b);
练习 以下函数首部定义错误的是:
A. fun(x, y) float x; float y; B. fun(x, y) float x, y; C. fun(float x, float y) D. fun(float x, y)
16
8.1 函数的定义、声明、调用与返回
四.函数声明与函数原型
函数在被调用前须给出函数声明或函数原型, 以便编译程序检查形参的个数和类型。 1. 函数声明 函数类型 函数名(形参类型1 形参名1,…); 如: float max(int a,int b);
函数1m
函数2n
可以通过工程文件将属于 同一个程序的不同源文件 组装成一个程序。
C语言允许将一个程序 写入不同的源文件,一 个源文件可以被不同的 程序使用; 一个源文件可以由多个 函数组成,一个函数可 以被位于不同源文件中 的其他函数调用; 主函数可以放在任何一 个源文件中,程序一定 从主函数开始执行。
29
void函数不返回值。 print( )函数只输出 3个*
int main() { int n,i; scanf(“%d”,&n); for(i=1;i<=n;i++) { pt (n-i,„ ‟); if (i==1||i==n) pt (n+2*i-2,„*‟); else { pt (1,„*‟); pt (n-2*i-4, „ ‟); pt (1,„*‟); } pt (1,„\n‟); } }
printf(“%d\n”,c);
}
{
int z;
z=x>y?x:y;
return z; }
28
若函数使用return;或没有返回语句, 则返 回一个不确定的值。定义void函数可以消 除不确定返回值的影响。 void print() { } printf(“***\n”); int main() { print(); print(); }
19
8.1 函数的定义、声明、调用与返回
在下列情况下可以省略函数声明:
当函数返回值为整型int或者字符型char时 定义在调用之前
在下列情况下必须对函数进行声明:
返回值不是整型和字符型并且函数定义在 调用之后 函数的定义和调用在两个不同的文件中
声明时要 加extern
20
8.1 函数的定义、声明、调用与返回
/*文件2*/
int max(int x, int y) { int z; if (x>y) z=x; else z=y; return z; }
24
8.1 函数的定义、声明、调用与返回
2. 函数原型 函数声明的简化形式,只说明形参的类型和 个数。一般形式: 函数类型 函数名(形参类型1, 形参类型2,…); 如: float max(int, int);
2
引子
int main() 实现“输出若干个 { int n,i; 字符”功能的函数: scanf(“%d”,&n); for(i=1;i<=n;i++) void pt (int x, char c) { pt (n-i,„ ‟); { if (i==1||i==n) while (x-->0) pt (n+2*i-2,„*‟); else printf(“%c”,c); { pt (1,„*‟); } pt (n-2*i-4, „ ‟); pt (1,„*‟); } pt (1,„\n‟); } }
很象函数定义,但是„„ 缺少函数体!!!
17
8.1 函数的定义、声明、调用与返回
函数声明和函数定义的区别:
函数定义有函数具体的功能语句(函数体), 而函数声明仅是向编译系统的一个说明,不 含具体的执行动作。
函数定义只能有一次,而函数的声明可以有 多次。
18
8.1 函数的定义、声明、调用与返回
main( ) { int a=12, b=42; printf(“%d\n”, ps(a,b) ); } 函数定义在 ps (int x, int y) 调用之后, { return x+y; 函数为int型 OK }
21
8.1 函数的定义、声明、调用与返回
float ps (float x, float y) { return x+y; 函数不为int } 或char型,但 函数定义在调 main( ) 用之前,OK { float a=12, b=42; printf(“%f\n”, ps(a,b) ); }
13
8.1 函数的定义、声明、调用与返回
求阶乘函数facto的定义
函数名 形式参数列表
long facto ( int x ) { long y; for (y=1; x>0; --x) y *= x; return y; }
函数体
函数返回
14
#include <stdio.h> int max(int x, int y) /*函数max的定义*/ { int z; if (x>y) z=x; else z=y; return z; } int main( ) { int max(int x,int y); /*对被调函数max的声明*/ int a, b, c; scanf(“%d,%d”,&a,&b); c=max(a,b); /*调用max函数*/ printf(“max=%d\n”,c); return 0; } 15
5
8.1 函数的定义、声明、调用与返回
采用模块化程序设计有很多优越性:
控制程序设计的复杂性,
提高软件的可靠性,
提高软件开发的效率,
提高软件的可维护性,
提高程序的重用性。
6
8.1 函数的定义、声明、调用与返回
二.C语言程序的结构
程序1
源程序文件1 源程序文件2
函数11 函数21
float plus(float x, float y) { return x+y; }
26
8.1 函数的定义、声明、调用与返回
五.函数的返回
返回:被调用函数执行完毕回到主调函数,
称为返回; 返回值:返回时通过return语句带回的计算 结果称为返回值。 1. 返回语句 形式1:return 表达式 ; 或 return (表达式) ; 形式2:return ;
10
8.1 函数的定义、声明、调用与返回
类型:是函数返回值类型,即return语句返
回值的类型,默认为int;类型为void 时,函数在返回时没有返回值。 函数名:函数名按标识符规定起名,是函数 定义中唯一不可省略的部分。 形式参数:形参表是用逗号分隔的一组变量 说明,有两种表示形式: int fun(int x,int y) int fun(x,y) {……} int x,y; {……}
3
第8章 函数
函数的定义、声明、调用与返回 函数间数据传递 变量的存储属性 递归 库函数简介
4
8.1 函数的定义、声明、调用与返回
一.程序的模块化
模块化就是把程序分成若干个模块,
每个模块完成一个确定的子功能,把这 些模块整合起来组成一个整体,就可以 完成对问题的求解。 模块化是结构化程序设计的基础。
25
float plus ( float , float ) ; float plus ( float x, float y ) ; int main( ) 或函数原型 { float a, b; scanf(“%f,%f”,&a,&b); printf(“%f\n”,plus(a,b) ); }
float plus ( float x, float y ) ; int main( ) { float a, b; scanf(“%f,%f”,&a,&b); printf(“%f\n”,plus(a,b) ); /*调用前未声明*/ }
float plus(float x, float y) { return x+y; }
22
#include <stdio.h> int max(int x, int y) /*函数max的定义*/ { int z; if (x>y) z=x; else z=y; return z; } int main( ) { int max(int x,int y); /*对被调函数max的声明*/ int a, b, c; scanf(“%d,%d”,&a,&b); c=max(a,b); /*调用max函数*/ printf(“max=%d\n”,c); retu的一般形式