极大函数交换子在广义Morrey空间的估计

高校应用数学学报　２０１３，２８（１）：９６－－１０６　

极大函数交换子在广义Ｍｏｒｒｅｙ空问的估计　樊云　，贾厚玉　（１．湖州师范学院，浙江湖州３１３０００；２．浙江大学数学系，浙江杭州３１００２７１　

摘要：主要讨论了Ｈａｒｄｙ—Ｌｉｔｔｌｅｗ＿０ｏｄ极大函数，Ｓｈａｒｐ极大函数以及分数次极大函数　与ＢＭＯ（Ｒ＇　）函数生成的交换子在广５（Ｍｏｒｒｅｙ空间上有界性的等价刻画．　关键词：极大函数；交换子；ＢＭＯ（Ｒ￣　）；广ＫＭｏｒｒｅｙ空间　中图分类号：Ｏ１７４．２　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００－．４４２４（２０１３）０１—００９６－．０１１　

§１　引　言　

设　是经典的奇异积分算子，　是分数次积分算子，它们与Ｒ”上的一个局部可积函数６（　）生　成的交换子定义为　

【　，６］，＝ｂＴ（ｆ）一　（６＿厂）；　［Ｌ，ｂ］ｆ＝６　（＿厂）一　（６，）．　（１．１）　１９７６年，Ｃｏｉｆｍａｎ，ＲｏｃｈｂｅｒｇＳＨＷｅｉｓｓ在『１］中最先提出了交换子理论，并证明了当１＜Ｐ＜　∞时，交换子［　，６】在ＬＰ（Ｒ＇　）中有界当且仅当ｂ￣ＢＭＯ（Ｒ＇　）．后来：Ｃｈａｎｉｌｌｏ在『２］中给出了分数　次积分交换子在ＬＰ（Ｒ￣　）上的有界等价刻画，当０＜　＜ｎ，１＜Ｐ＜　和　＝　１一　时，交换　子［　，６］从ＬＰ（Ｒ　）到　（Ｒ　）有界也当且仅当６∈ＢＭＯ（Ｒ　）．一直以来交换子的研究都是调和分　析的热点之一，被许多学者所关注，可参见文献［３—６】＿但对于非线性算子生成的交换子研究的却　不多，得到的结论也不多．　设６（　）是Ｒ”上的一个局部可积的函数，它￣ＨＨａｒｄｙ　Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ极大函数Ｍ，Ｓｈａｒｐ极大函　数Ｍ＃生成的交换子分别定义为　

［Ｍ，６】，＝ｂＭ（ｆ）一Ｍ（６　［ＭＨ，ｂ］ｆ＝ｂＭ￣（ｆ）一Ｍ　（６，）．　（１．２）　当６　６ＢＭＯ￣，Ｍｉｌｍａｎ和ｓｃｈｏｎｂｅｋ首先在［７】中建立了［Ｍ，６］和［ＭＨ，６］在　ｐ（Ｒ　）空间中的有　界性；２０００ｑ￣Ｂａｓｅｒｏ，Ｍｉ１ｍａｎ和Ｒｕｉｚ在【７］的基础上于［８］中给出了［Ｍ，ｂ］和［ＭＨ，ｂ］在Ｌ　（Ｒ　）中有　界的等价刻画．之后【９］又将这一等价刻画推广到Ｍｏｒｒｅｙ空间．最近ｚｈａｎｇ和ｗｕ【１０］考虑了分　数次极大函数交换子　

［　，６］，＝ｂ　（，）一　（ｂｆ）　收稿日期：２０１２．０５－．１６　修回日期：２０１３－－０２－－０６　基金项目：国家自然科学基金（１０８７１ｌ７３；１０９３１００１；１１２２６１０９）　樊　云等：极大函数的交换子在Ｍｏｒｒｅｙ＃＿间的有界性　９７　在ＬＰ（Ｒ”）中的有界刻画．　定理Ａ［。】　设６（　）是Ｒ　上局部可积的实值函数，１＜Ｐ＜∞，则下述结论等价：　（Ｉ）ｂ∈ＢＭＯ（Ｒ　），且ｂ一∈　（Ｒ　）；　（ＩＩ）［Ｍ，ｂ】在ＬＰ（Ｒ　）上有界；　（ＩＩＩ）ｓｕｐｑ　ＩＱＩ　Ｉｂ（ｘ）一ＭＱ（ｂ）（ｘ）Ｉ　ｄｘ＜∞，　其中　ｂ～（Ｘ）＝～ｍｉｎ｛ｂ（ｘ），０）．　定理Ｂ［１ｏ］　设６　）是Ｒ　上局部可积的实值函数，０＜　＜ｎ，１＜Ｐ＜　ｎ，　１＝　１一芸，则下述　结论等价：　（Ｉ）ｂ∈ＢＭＯ（Ｒ　），且ｂ一∈　（Ｒ　）；　（ＩＩ）［　，ｂ］是从ＬＰ（Ｒｎ）￣＝Ｉ］Ｌｑ（Ｒ”）有界的；　（ＩＩＩ）ｓｕｐＱ　ＩＱＩ　ｌｂ（ｘ）一ＭＱ（ｂ）（ｘ）ｌ　ｄｘ＜。。．　受上述结论的启发，本文考虑了极大函数与ＢＭＯ（Ｒ　）函数生成的交换子在广义Ｍｏｒｒｅｙ空　间中有界的充要条件．　

§２定义和主要结果　

设０　＜ｎ，ｆ∈　。（Ｒ　）．分数次极大函数定义为　广　（，）（　）＝ｓｕｐ　ｌＱＩ芸一　／Ｉｆ（Ｙ）ｌｄＹ，　∈Ｒ”，　

∈Ｑ　ｌ，Ｑ　

其中Ｑ表示以各边分别平行于坐标轴的方体，ＩＱｌ表示Ｑ的Ｌｅｇｅｓｇｕｅ测度．当　＝０Ｎ，　就　是Ｈａｒｄｙ—Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ极大函数　．　设Ｑ０是一个固定方体，限制在Ｑｏ上的分数次极大函数定义为　

Ｍｓ，

Ｑ。（，）（　）＝　ｓｕｐ　ＩＱ　Ｊ　一　／Ｊｆ（Ｙ）ｌｄＹ．　

当　：ＯＮ，把　，Ｑ。记作ＭＱ。，就是限制在Ｑ０Ｊ：￣Ｈａｒｄｙ—Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ￥￣：　数［　定义２．１设．厂∈　。（Ｒ　），ＢＭＯ（Ｒ　）空间定义为　

ＢＭＯ（Ｒ　）＝｛‘厂∈　｝０。（Ｒ　）：　ＪＩｆＩＩＢＭＯ＜。。），　其中　ＩＩ／１１ＢＭ。　ｓ　。　１　Ｊ＿，（　）一，Ｑ　Ｊｄ　，　

上式中的Ｑ取遍Ｒ　中各边分别平行于坐标轴的方体．　定义２．２令１　Ｐ＜∞，假设　（ｒ）是Ｒ＋上的非负单调递增函数，且满足双倍条件，即对所　有的ｒ＞０，　（２ｒ）　Ｄ　（ｒ）．　这里的Ｄ是与ｒ无关的常数，Ｄ＝Ｄ（　）　１，则广义Ｍｏｒｒｅｙ空间　，　（Ｒｎ）定义为　

（Ｒ　）＝｛ｆ∈Ｌ　。（Ｒ　）：ｌＩｆｌｌｐ，　＜∞），　９８　高校应用数学学报　第２８卷第１期　其中　，ｔ－　ｘｏ　＞。

（南９７　Ｊ　Ｑ（、ｘ　，∈Ｒｎ，　＞０、　ｌ　．　１　ｌｆ（ｘ）ｌＰｄｘ　ｌ｝　

Ｑ（ｘｏ，￡）是指以Ｘｏ为中心边长为ｔ的方体．　当　（ｒ）＝ｒＡ时，Ｌｐ，４）（Ｒ　）正是经典的Ｍｏｒｒｅｙ空间　ｐ，Ａ（Ｒｎ），这类空间是Ｍｏｒｒｅｙ为了研究　二阶椭圆偏微分方程引进的．当　＝０时，Ｌｐ，　ｆＲｎ）：ＬＰ（Ｒｎ）．　下面就给出主要结果：　定理１　设６（　）是Ｒ　上局部可积的实值函数，１＜Ｐ＜∞，１　Ｄ＜２ｎ，则下述结论等价：　（Ｉ）ｂ∈ＢＭＯ（Ｒ　），且ｂ一∈　ｏ。（Ｒｎ）；　（ＩＩ）［Ｍ，６］是从　，　（Ｒ　）￣＝ＩＪＬＰ，　（Ｒｎ）有界的；　（ＩＩＩ）ｓｕｐＱ　ｌＱＩ　Ｉｂ（ｘ）一ＭＱ（ｂ）（ｘ）ｌＰｄｘ＜∞，　其中　

ｂ一（Ｘ）＝一ｍｉｎ｛ｂ（ｘ），０）　定理２设６（　）是Ｒ　上局部可积的实值函数　１　Ｄ＜２ｎ－－￣ｐ，则下述结论等价：　（Ｉ）ｂ　ｅＢＭＯ（Ｒ　），且６一∈Ｌ。。（Ｒ　）；　（ＩＩ）［　）６］是从Ｌ　，　（Ｒｎ）到　ｑ，　詈（Ｒｎ）有界的；　

（ＩＩＩ）ｓｕｐＱ　ＩＱＩ　Ｉｂ（ｘ）一ＭＱ（ｂ）（ｘ）ｌ。ｄｘ＜∞．　

０＜　＜礼，１＜Ｐ＜詈，　１＝　１一并　

§３定理１的证明　为证明定理１，需要下面的引理　引理３．１［　】　设１＜Ｐ＜∞，￣ｉｂ（ｘ）∈ＢＭＯ（Ｒ　）且ｂ（ｚ）　０，则［Ｍ，６］在　（Ｒｎ）上有界．　引理３．２【ｕ］　设１＜Ｐ＜∞，１　Ｄ＜２ｎ，则Ｍ在Ｌｐ，　ｆＲｎ１上有界．　

引理３・３　设ｌ＜Ｐ＜∞，１　Ｄ＜２”，若６（　）∈ＢＭＯ（Ｒｎ）且６（　）　０，则［Ｍ，６】在　ｐ，　（Ｒｎ）　上有界．　

证对任意的，∈Ｌｐ，４）（Ｒ　），固定方体Ｑ＝Ｑ（ｘ，ｒ），ｒ为方体Ｑ的边长，令．厂（　）：Ｉ厂）（２Ｑ（　）＋　，）（２Ｑ。（Ｙ），其中２Ｑ＝Ｑ（ｘ，２ｒ），所以对任意的ｒ＞０有　

（　，　）　（南　）吉＋（　）　：＝Ｉ１＋　．　樊　云等：极大函数的交换子在Ｍｏｒｒｅｙ￣Ｎ的有界性　对于　１，由引Ｎ３．１得　南（　）　，６】，ｘｚ　）　赤（　Ｉ［Ｍ，ｂ］ｆ　）ｌ　Ｃｌ６ＩＢＭ。　（　Ｉ，Ｘ２　ｄ　）　ｃＩｌｂｌ…（　Ｑ　Ｉ／（　）　

对于　，由于Ｙ∈Ｑ（ｘ，ｒ），ｂ　）　０，则　ｂ］ｆｘ２Ｑｃ（　ｃｓｆ＞Ｏｕｐ　

ｆ）ｎＱ（蝴　

ｌ６（们　）ｌｌ，（　ｌｄ　

注意到由于　∈Ｑ（　，ｒ），　∈Ｑ（　，１）ｎＱ（ｘ，２ｒ）ｃ，即ｌ　一　１＜　ｒ，Ｉｚ－－ｙ］＜　２，Ｉｘ－ｚｌ＞　ｒ　则有ｆ＞、／　『　一　ｌ＞、／　（１　—ｘｌ—Ｉｘ—ｙ１）＞ｒ和Ｑ（ｚ，２）Ｃ　Ｑ（ｙ，４／），Ｑ（ｙ，ｆ）Ｃ　Ｑ（ｘ，４／），所以　

，Ｘ２　＜Ｃ　ｓｕｐ　。　ｆ）ｌ　（　）ｌｌｆ（　

Ｉ天Ｉｌ　ｃ赤（　－　ｓｕ＞ｐ。　ｆ）ｌ　ｃ　

赤ｆＱ［ｓｕｐ。　ｆ）ｌ　Ｑｔ　＋ｃ赤（　ｓｕｐ　。　ｆ）ｌ　

。杀　。（　／Ｑ（ｘ，４１）Ｉｆ（ｚ）ｌＰｄｚ）　。ｓｕ　（　ｆ）】　ｄ　）吉　Ｏｓｕ　（　ｆ）１　ｄｚ）　ＣＩＩｂ｝ｌＢＭＯＩ｝ｆｌｌ　，　．　对ｒ取上确界后知引理得证　

＜一　＜一　＜一　＜一　＜一　ｈ　、、●●●，１一Ｐ　ｌ—ｐ　、、●／、、●ｄ　ｄ　ｄｐ　ｐｄ　川　ｄ　ｄ川　１００　高校应用数学学报　第２８卷第１期　定理１的证明　由［８，命题４］的证明可知，（ＩＩＩ）成立蕴含着（Ｉ）成立，所以只须证明（Ｉ）　（ＩＩ）和　（ＩＩ）￣（ＩＩＩ）．　首先证明（Ｉ）　（ＩＩ），因为　

［Ｍ，ｂ］ｆ一【Ｍ，ｌｂ１］ｆＩ＝ＩＭ（ｂｆ）一ｂＭ（ｆ）一Ｍ（１ｂｌｆ）＋ｌｂ［Ｍ（ｆ）　Ｍ（（１６ｌ—ｂ）ｆ）＋（Ｉｂｌ—ｂ）Ｍ（ｆ）　＝２（Ｍ（ｂ—ｆ）＋ｂ—Ｍ（．厂））．　

由引理３．３知，［Ｍ，Ｉｂ１］ｆ￣ＬＰ，　（Ｒ　）上是有界的，￣Ｎ：Ｎｂ一∈Ｌ　以及引理３．２￣ｔＪ［Ｍ，６】，　在Ｌｐ，　（Ｒ　）上是有界的．　

再证明（ＩＩ）－－－￣，（ＩＩＩ），对任意的ｔ　ｒ＞０，存在正整数后＞０，使得２　一　ｒ　ｔ＜２ｋｒ，又因　为　（ｒ）单调递增且满足双倍条件，则有　

器　，　

最后一个不等式是因为Ｄ＜２　．给定任意方体Ｑ（　，ｒ）＝Ｑ，令．厂＝）（Ｑ∈Ｌｐ，　（Ｒ　），则　／ｌｌｐ，￣　Ｒｓｕ　ｐ

＞。　，　

这里的Ｑｄ是指以ｄ为半径的方体，ｄ　ｍｉｎ（ｒ，　），￣ｌＱ（ｘ０，ｔ）ｎ　Ｑｌ＝Ｑｄ．于是有　（　１　ｌ１［Ｍ，ｂ］ｆ１］　，　ｃＩｆｌ　，　１　Ｃ（ＩＱＩ／　（ｒ））　．　

结果得证，因为对任意的　∈Ｑ，￣ＭＱ（ＸＱ）＝）（Ｑ和Ｍ（ｂｘＱ）（ｘ）＝ＭＱ（ｂ）（ｘ）成立．　命题３．１　设６（　）是Ｒ　上局部可积的实值函数，１＜Ｐ＜。。，１　Ｄ＜２　，则下面的结论等　价：　

（Ｉ）ｂ∈ＢＭＯ（Ｒ　），且６一∈　（Ｒ　）；　（ＩＩ）［Ｍｔ￣，ｂ】是从　ｐ，　（Ｒ　）到Ｌｐ，　（Ｒ　）有界的；　（ＩＩＩ）ｓｕｐＱ　ｌＱＩ　Ｉｂ（ｘ）一２Ｍ“（ｂＸＱ）（Ｘ）ｌ　ｄｘ＜。。．　

命题３．１的证明　先证（Ｉ）　（ＩＩ）．只须证当６（　）∈ＢＭＯ（Ｒ　）且ｂ（　）　０时，【Ｍ＃，ｂ］￣！ＥＬｐ，　（Ｒ”）上有界