非线性耦合标量场方程的精确解析解
多场耦合方程的非线性特征解的开题报告
多场耦合方程的非线性特征解的开题报告一、研究背景和意义多场耦合方程中非线性特征解的研究对于理解物理现象以及应用于实际问题具有重要意义。
例如，在研究材料的力学行为时，需要考虑不同场之间的相互作用，如电场、磁场、热场等，这时多场耦合方程就被用来描述这些复杂的相互作用。
而非线性特征解则是这些方程中具有奇异性质的解，可以描述诸如高频振动、局部化、孤子等现象。
研究其存在性、稳定性和非线性行为等性质，将对材料科学、物理学和应用数学等领域的发展产生重要影响。
二、研究内容和方法本次研究将集中在探讨多场耦合方程中的非线性特征解，研究内容包括：1. 多场耦合方程的建立和分析。
2. 针对不同类型的非线性特征解，通过合适的变量变换和数学方法，推导出其具体的表达式。
3. 对这些解的存在性、稳定性和非线性行为进行深入研究，并给出解存在的范围和参数条件等限制。
4. 在实际应用中，利用这些特征解，探讨其在纳米机械、光子学、量子信息等领域的应用，并进行数值模拟。
研究方法主要包括：变量分离法、Painlevé展开、局部化方法、微扰法、奇异摄动法等。
三、研究预期成果和意义本次研究旨在探索多场耦合方程中非线性特征解的存在性、稳定性和非线性行为，并将其应用于实际问题中。
预期取得以下成果：1. 推导出多种类型的非线性特征解，分析其数学性质。
2. 建立数学模型，分析其存在性、稳定性及非线性行为，并给出其解存在的范围和参数条件等限制。
3. 在实际应用中，探讨其在纳米机械、光子学、量子信息等领域的应用，并进行数值模拟。
4. 结合实际问题，提出一些新的理论和方法，推动材料科学、物理学和应用数学等领域的研究发展。
总之，本次研究将有助于深入理解多场耦合方程和非线性特征解，在实际问题中的应用将会给相关领域的发展带来新的突破和进展。
耦合Burgers方程的显式精确解
（ 广元广播电视大学 四川广元 ６ ８ １ ） ２０ ７
摘要 ： 针对耦合 Ｂ ｙｅ 系统 ， ｕ ｒ ｓ 采用 Ｆ一展 开法 和 Ｒ ｃｆ 方程辅助 ， ｉｉ ｃａ 得到 了系统的分别 由双 曲函数、 三角 函数 和有理
函数表示 的显式精确解 。 关键词 ： 耦合 Ｂ ｒｅｓ ｕｇｒ 方程 Ｆ一展开法 中图分类号： １５ ２ ０ ７ ．９ Ｏ ７ ． ； １５ ２ Ｒｃｔ 方程 ｉｃ ａ ｉ 精 确解 文献标 志码 ： Ａ 文章编号 ：６ １— ７ ５ ２ １ ） １ ０ ９ ０ １７ ８ ５ （ ０ １ ０ — ０ ６— ３
ｌ 一般形式精确解
为 获得系统 （ ） １ 的显 式 精 确解 ， 们 引入 如 下 我
波变换 ：
Ｐ ＝Ｐ ）ｑ ＝ｑ （ ， （）
（） ２
分方 程组 ：
其 中 ＝ｋ ｘ—ｈ ， 为波数 ，为波速 ，ｚ 。 （ ） （ ）ｋ ｚ ≠Ｏ 将 ２ 代 人 （ ）并积 分一次 可得关 于 ｐ １ （）和 ｇ ）的常微 （
＝
（ ＝一 ｒ＝０ ） ／ ，
（）＝ ａ（ ） 一 ０ ）ｒ＞ ｎ雇 ， ｔ （ ， ０
由此 可得方 程组 （ ） １ 的显式精 确解 。 ３ １ ｒ＜０时得 扭 状孤波 解 ．
０Ｃ ，２＝一２ 得 Ｐ （ ｔ ，１ ，） 域结 构如 图 ２ ， ４ ，）ｇ（ ｔ 局 。
（） ９
（９ １） （０ ２）
ｂ ０＝ｂ，ｌ＝ｋ２ ｃ ０ｂ ／ √
为：
Ｐ（ ）＝ｆ √６ ＋ ｏ ４ ）２ ８ ／ ｃ √ｃｔ ７ ／ ， ２＋ 。 （￣ ｇ（ ）＝６ 一 ｒ ｔ ）２ ０ √ ｏ（ ／ ｃ ２ ２ ４ ＋ （ ＋ ２ ） ＋ ｒ ４ ｃ √ ｃ ）＝０时有 ：
管道非线性多场耦合问题及其数值计算
管道非线性多场耦合问题及其数值计算引言管道流动是工业界和科学界研究的一个重要问题，它不仅涉及到工业生产中的管道系统，还关系到自然界中流体运动的理论探究。
但是管道流动本身并不是一个简单的问题。
由于流体的不可压缩性、湍流以及温度变化等原因，管道流动往往会面临一些复杂的非线性多场耦合问题，这就使得其数值计算更加困难。
本文旨在探讨管道非线性多场耦合问题以及如何进行数值计算，通过对其物理模型的分析以及数学方法的研究，希望能够推动这一领域的研究和应用。
物理模型在管道流动中，流体的非线性多场耦合问题主要体现在以下几个方面：1. 不可压缩性：流体的密度变化非常小，可以近似看作不可压缩，这就导致了一个很重要的问题，即速度分布和压力分布之间的耦合。
2. 湍流性质：管道流动往往会产生湍流，这就涉及到多个非线性耦合的问题，包括速度分布、湍流能量和湍流应力等。
3. 温度变化：管道流体在流动过程中往往会受到外界热传递的影响，这就会导致流体的温度发生变化。
不同温度的流体之间也会发生相互作用，导致温度分布和速度分布之间的耦合。
以上这些因素不仅相互作用，而且相互影响，这就是管道流体的非线性多场耦合问题。
如何对这些问题进行数学建模和数值计算，是当前研究者们面临的主要问题。
数学方法针对管道非线性多场耦合问题，研究者们采用了不同的数学方法进行数值计算，以下是其中一些常见的方法：1. 有限体积方法：这是一种常见的数值计算方法，它通过将流域分成多个体积，然后在体积边界处进行参数算法和通量重构，从而计算流体在不同区域中的物理量。
2. 有限差分方法：这是另一种常见的数值计算方法，它利用近似法将微分方程转化为差分方程，然后在网格点上计算有限差分，从而得出物理量的近似解。
3. 谱方法：谱方法是一种基于频谱分析的数值计算方法，它将流体的物理量在频域内进行分解和重构，从而得出流体在空间和时间上的物理量分布。
以上这些数值计算方法都在管道流动的研究中得到了广泛的应用，并对管道流体的非线性多场耦合问题的研究和应用做出了重要的贡献。
一类耦合非线性薛定谔方程组的求解
第３８卷第１期２０２４年１月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３８N o ．１J a n ．２０２４收稿日期:２０２３Ｇ０５Ｇ１５基金项目:国家自然科学基金项目(１１７６１０４４)作者简介:仁世杰(１９９５Ｇ),男,甘肃庄浪人,助教,硕士,研究方向为孤立子理论及其应用．E Ｇm a i l :４８７４５０３９５＠q q．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２４)０１Ｇ００３９Ｇ０５一类耦合非线性薛定谔方程组的求解仁世杰１,李永军２,张㊀娟３(１．兰州城市学院信息工程学院,甘肃兰州７３００７０;２．兰州城市学院电子工程学院,甘肃兰州７３００７０;３．宁夏师范学院数学与计算机科学学院,宁夏固原７５６０００)摘要:在可积条件c (t )＝(γ２(t ))２＝１(C １t ＋C ２)２,γ１(t )＝γ２(t )＝１C １t ＋C ２ìîíïïïï下,利用特殊变换法和S i n e Ｇc o s i n e 方法,得到了双芯光纤变系数线性耦合薛定谔方程组i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x u (x ,t )－∂２∂t ２u (x ,t )＋γ１(t )u (x ,t )２u (x ,t )＋㊀㊀c (t )v (x ,t )＝０,i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x v (x ,t )－∂２∂t ２v (x ,t )＋γ２(t )v (x ,t )２v (x ,t )＋㊀㊀c (t )u (x ,t )＝０ìîíïïïïïï的精确解．其中:C i (i ＝１,２)是常数;γi (t )(i ＝１,２)是第i 个纤芯的非线性参数;c (t )是两个纤芯之间的线性耦合参数．关键词:双芯光纤;线性耦合;薛定谔方程;可积;S i n e Ｇc o s i n e 方法中图分类号:O １７５．２９㊀㊀㊀文献标志码:AS o l v i n g aC l a s s o fC o u p l e dN o n l i n e a r S c h r öd i n g e rE qu a t i o n s R E N S h i Ｇj i e １,L IY o n g Ｇju n ２,Z HA N GJ u a n ３(１．S c h o o l o f I n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g ,L a n z h o uC i t y U n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a ;２．S c h o o l o fE l e c t r o n i cE n g i n e e r i n g ,L a n z h o uC i t y U n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a ;３．S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dC o m p u t e r S c i e n c e ,N i n g x i aN o r m a lU n i v e r s i t y,G u y u a n７５６０００,N i n gx i a ,C h i n a )A b s t r a c t :I n t h i s p a p e r ,t h e e x a c t s o l u t i o n s o f t h e l i n e a r l y c o u p l e d n o n l i n e a r S c h r öd i n g e r E qu a Ｇt i o n G r o u p i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x u (x ,t )－∂２∂t ２u (x ,t )＋γ１(t )u (x ,t )２u (x ,t )＋㊀㊀c (t )v (x ,t )＝０i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x v (x ,t )－∂２∂t ２v (x ,t )＋γ２(t )v (x ,t )２v (x ,t )＋㊀㊀c (t )u (x ,t )＝０ìîíïïïïïïïïw i t h v a r i a b l e c o e f f i c i e n t s o f t w o Ｇc o r e f i b e r a r e c a l c u l a t e db y s p e c i a l t r a n s f o r m a t i o nm e t h o d a n dm e t h o du n Ｇd e r i n t e g r a b l e c o n d i t i o n c (t )＝(γ２(t ))２＝１(C １t ＋C ２)２γ１(t )＝γ２(t )＝１C １t ＋C ２ìîíïïïïa m o n g wh i c h C i (i ＝１,２)i s t h e c o n Ｇs t a n t ,γi (t )i s t h e n o n l i n e a r p a r a m e t e r s o f t h e i Ｇt h c o r e a n d c (t )i s t h e l i n e a r c o u p l i n g p a r a m e Ｇt e r sb e t w e e n t h e t w o c o r e s ．K e y wo r d s :t w o Ｇc o r e f i b e r ;l i n e a r c o u p l i n g ;S c h r öd i n g e r e q u a t i o n ;i n t e g r a b l e ;S i n e Ｇc o s i n em e t h o d 0㊀引言双芯光纤耦合方程是一类数学与物理领域研究的热点方程,它描述了光纤中光孤子是光波在传播过程中色散效应与非线性压缩效应相平衡的结果．因为光孤立子通信具有高码率㊁长距离和大容量的优点,可以构成超高速传输系统,所以光孤立子及其在通信中的应用研究具有重要的研究价值．文献[１]研究了变系数线性耦合的非线性薛定谔方程组:i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x β１１u (x ,t )－㊀β１２２∂２∂t ２u (x ,t )＋γ１(t )u (x ,t )２㊀u (x ,t )＋c v (x ,t )＋δa u (x ,t )＝０,i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x β２１v (x ,t )－㊀β２２２(t )∂２∂t２v (x ,t )＋γ２(t )v (x ,t )２㊀v (x ,t )＋c (t )u (x ,t )－δav (x ,t )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïïïï(１)其中:βj １(j ＝１,２)是第j 个纤芯的群速度参数;βj ２(j ＝１,２)是第j 个纤芯的色散参数;γi (i ＝１,２)是非线性参数;c 是两个纤芯之间的线性耦合参数;δa 是两个纤芯的相速度参数．对于方程组(１),文献[１]针对非线性定向耦合器中光学明孤子的相互作用动力学进行了广泛的数值研究,考虑群速度失配,相速度失配,以及群速度色散和有效模面积的差异等因素的影响,主要使用数值方法研究了在均匀白躁声形式下的谐波无穷小扰动作用下亮孤子的稳定性．求解此类方程学有以下方法:I S T 方法[２Ｇ３],齐次平衡法[４Ｇ５],B äc k l u n d 变换方法[６Ｇ７],S i n e Ｇc o s i n e 方法[８Ｇ９]等．本文研究的是变系数的线性耦合非线性薛定谔方程组,方程组为i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x u (x ,t )－∂２∂t ２u (x ,t )＋㊀γ１(t )u (x ,t )２u (x ,t )＋㊀c (t )v (x ,t )＝０,i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x v (x ,t )－∂２∂t ２v (x ,t )＋㊀γ２(t )v (x ,t )２v (x ,t )＋㊀c (t )u (x ,t )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïï(２)通过P a i n l e v é检验,得到当非线性参数和耦合参数满足:c (t )＝(γ２(t ))２＝１(C １t ＋C ２)２,γ１(t )＝γ２(t )＝１C １t ＋C ２ìîíïïïï(３)时,方程组(２)是P a i n l e v é可积的．本文在条件(３)基础上,首先利用S i n e Ｇc o s i n e 方法求解方程组的特殊精确解,然后选取满足方程的特定参数,并给出图像,所涉及的计算均由M a pl e 完成．1㊀预备知识S i n e Ｇc o s i n e 方法是求解非线性数学物理方程的有效方法,主要用于可积系统的求解．本节简单地介绍S i n e Ｇc o s i n e 方法．考虑非线性偏微分方程组i ∂∂T U (X ,T )－α∂２∂X ２U (X ,T )＋㊀㊀βU (X ,T )２U (X ,T )＋㊀㊀μV (X ,T )＝０,i ∂∂T V (X ,T )－α∂２∂X ２V (X ,T )＋㊀㊀βV (X ,T )２V (X ,T )＋㊀㊀μU (X ,T )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïï(４)假设方程组(４)的解具有如下形式:U (X ,T )＝r １(X ,T )e i (ωT ＋k X ),V (X ,T )＝r ２(X ,T )e i (ωT ＋k X )．{(５)将(５)代入方程组(４),得－α∂２∂X２r １(X ,T )＋i ∂∂T r １(X ,T )－㊀㊀２i αk ∂２∂X２r １(X ,T )＋β(r １(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r １(X ,T )＋μr ２(X ,T )＝０,－α∂２∂X ２r ２(X ,T )＋i ∂∂T r ２(X ,T )－㊀㊀２i αk ∂２∂X ２r ２(X ,T )＋β(r ２(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r ２(X ,T )＋μr １(X ,T )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïïïï(６)分离(６)中实部和虚部,则式(６)等价于虚部为０:式(７),实部为０:式(８)．０４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷∂∂T r １(X ,T )－２αk ∂２∂X２r １(X ,T )＝０,∂∂T r ２(X ,T )－２αk ∂２∂X ２r ２(X ,T )＝０．ìîíïïïï(７)－α∂２∂X ２r １(X ,T )＋β(r １(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r １(X ,T )＋μr ２(X ,T )＝０,－α∂２∂X２r ２(X ,T )＋β(r ２(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r ２(X ,T )＋μr １(X ,T )＝０．ìîíïïïïïïïï(８)求解(７)可得r １(X ,T )＝F １(ξ),r ２(X ,T )＝F ２(ξ)．{(９)其中ξ＝２T αk ＋X２αk,F i (ξ)(i ＝１,２)为任意函数,其具体形式根据F i (ξ)(i ＝１,２)满足的条件确定．将(９)代入(８)得－１４αk ２∂２∂ξ２F １(ξ)＋β(F １(ξ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)F １(ξ)＋μF ２(ξ)＝０,－１４αk ２∂２∂ξ２F ２(ξ)＋β(F ２(ξ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)F ２(ξ)＋μF １(ξ)＝０．ìîíïïïïïïïï(１０)在方程组(１０)中,假设F i (ξ)(i ＝１,２)有如下形式:F i (ξ)＝E i s i n (h (ξ))＋G i c o s (h (ξ))＋H i (i ＝１,２),(１１)其中E i ,G i 和H i (i ＝１,２)是待定常数,同时h (ξ)满足常微分方程:d h (ξ)d ξ＝A s i n (h (ξ))＋B c o s (h (ξ))＋E ,(１２)其中A ,B 和E 是待定常数．再将(１１),(１２)代入(１０)中,整理得到关于s i n (h (ξ)),c o s (h (ξ))的多项式,令其系数为零,得到关于E １,E ２,G １,G ２,H １,H ２,A ,B ,E ,k 和ω的代数方程组．将得到的解带回(１２)中,再利用文献[１０]中介绍的S i n e ＧG o r d o n 方程(１２)的解,可以得到方程组(４)的解．2㊀方程组的求解本节使用S i n e Ｇc o s i n e 方法和特殊变换求方程组(２)的一组精确解．定义下列函数:T (t )＝－１t ,b (x ,t )＝－１２ln (２t ),a (x ,t )＝－(t －x )２４t,X (x ,t )＝x ２t ．ìîíïïïïïïïïïï(１３)方程(２)可经过变换:㊀u (x ,t )＝U (X (x ,t ),T (t ))e i a (x ,t )＋b (t ),v (x ,t )＝V (X (x ,t ),T (t ))e i a (x ,t )＋b (t ){(１４)转化为方程(４)．故先求解方程(４)得到方程的解U (X ,T ),V (X ,T ),然后再通过变换(１４)就可以得到原方程组(２)的解．由第一节求解方程组(４)可以得到E １,E ２,G １,G ２,H １,H ２,A ,B ,E ,k ,ω的代数方程组,令D １＝４H １α２k ４－４H １αk ２ω＋４H ２αk ２μ＋２A E E １－B E G １,D ２＝４H ２α２k ４＋４H １αk ２μ－４H ２αk ２ω＋２A E E ２－B E G ２,D ３＝４E ２α２k ４＋４E １αk ２μ－４E ２αk ２ω＋A ２E ２－A B G ２＋E ２E ２,D ４＝４G １αk ２μ－４G ２αk ２ω＋２A ２G ２＋３A B E ２－B ２G ２＋E ２G ２,则代数方程组有如下表示,－２４Ε１G １H １αβk ２＋３A E G １＋３B E E １＝０,(１５)１２E １２H １αβk ２－１２G １２H １αβk ２－３A E E １＋３B E G １＝０,(１６)１２E １２G １αβk ２－４G １３αβk ２－２A ２G １－４A B E １＋２B ２G １＝０,(１７)４E １３αβk ２－１２E １G １２αβk ２－２A ２E １＋４A B G １＋２B ２E １＝０,(１８)㊀－１２E １２H １αβk ２－４H １３αβk ２＋D １＝０,(１９)－４G １αk ２ω＋４G ２αk ２μ＋２A ２G １＋３AB E １－B ２G １＋E ２G １＋４＝０,(２０)－２４E ２G ２H ２αβk ２＋３A E G ２＋３B E E ２＝０,(２１)１２E ２２H ２αβk ２－１２G ２２H ２αβk ２－３A E E ２＋３B E G ２＝０,(２２)１２E ２２G ２αβk ２－４G ２２αβk ２－２A ２G ２－４A B E ２＋２B ２G ２＝０,(２３)４E ２３αβk ２－１２E ２G ２２αβk ２－１４第１期仁世杰等:一类耦合非线性薛定谔方程组的求解２A ２E ２＋４A B G ２＋２B ２E ２＝０,(２４)－１２E ２２H ２αβk ２－４H ２３αβk ２＋D ２＝０,(２５)－４E ２３αβk ２－１２E ２H ２２αβk ２＋D ３＝０,(２６)－１２E ２２G ２αβk ２－１２G ２H ２２αβk ２＋４G ２α２k ４＋D ４＝０．(２７)求解方程组(１５)－(２７),选取其中一组非平凡解:A ＝３３B ,B ＝B ,E ＝０,E １＝E ２,E ２＝E ２,H １＝０,H ２＝０,G １＝－３３E ２,G ２＝－３３E ２,k ＝－B ２E ２２αβ,ω＝－８E ４２β２－６E ２２βμ＋３B ２６E ２２β．ìîíïïïïïïïï(２８)将(２８)代入方程(１２),得d h (ξ)d ξ＝３３B s i n (h (ξ))＋B c o s (h (ξ))．(２９)求解微分方程(２９),得h (ξ)＝２a r c t a n ３(１＋e ２３３B ξ)－３＋e ２３３B ξéëêêùûúú．(３０)取特定例子如下:取定常数μ＝１０,β＝－１,α＝１,B ＝－１,E ２＝３,将(３０)代入方程组(１１),得F １(ξ)＝F ２(ξ)＝３s i n２a r c t a n ３(１＋e ２３３B ξ)－３＋e ２３３B ξéëêêùûúú{}－３c o s２a r c t a n ３(１＋e ２３３B ξ)－３＋e ２３３B ξéëêêùûúú{}．(３１)相应F ２i (ξ)(i ＝１,２)的图像如图１所示,特别地,当待定系数αβ＜０时,发现F ２i (ξ)(i ＝１,２)的能量凹陷,即为暗孤立子解．根据(５)和(２８)可知U (X ,T )＝V (X ,T )．当常数确定后,则k ＝－２６,ω＝３９７１８,ξ＝T ＋２６X ．(３２)由此U (X ,T ),V (X ,T )表示为U (X ,T )＝V (X ,T )＝{３s i n２a r c t a n ３１＋e －２３３(T ＋２６X )()－３＋e－２３３(T ＋２６X )éëêêùûúú{}－３c o s２a r c t a n ３１＋e －２３３(T ＋２６X )()－３＋e－２３３(T ＋２６X )éëêêùûúú{}}e I (３９７１８T －２６X )．(３３)图１㊀F ２i (ξ)的图像㊀㊀限制自变量的范围,得到U (X ,T )２图像,如图２所示．图２㊀U (X ,T )２的图像从图２发现U (X ,T )２的能量凹陷,即为暗孤立子解．将(１３)代入(３３)中,令D (x ,t )＝e －I (９x ２＋９t ２＋３２x －１８t x ＋７９４)＋１８t l n (２t )３６t,u (x ,t ),v (x ,t )表示为u (x ,t )＝v (x ,t )＝{３s i n２a r c t a n ３(１＋e －３２x －４３６t )－３＋e －３２x －４３６t éëêêùûúú{}－２４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷３c o s２a r c t a n ３１＋e －３２x －４３６t ()－３＋e－３２x －４３６t éëêêùûúú{}}D (x ,t)．(３４)限制自变量的范围,得到u (x ,t )２图像如图３所示．图３㊀u (x ,t )２的图像㊀㊀从图３可以发现u (x ,t )２的部分能量突起,即为亮孤立子解．3㊀结语本文主要研究的是一类薛定谔方程组在可积条件下,通过特殊变换法和S i n e Ｇc o s i n e 求解其精确解,然后给定待定的常数,确定方程组精确解的图像．本文的目标方程可进行适当地调整,若将部分常系数改为变量系数,那么可积条件将会发生变化,同时可使用上述方法求方程的精确解．参考文献:[１]G O V I N D A R A J A N A ,A R UMU G AM M ,U T HA Y A ＧK UMA R A．I n t e r a c t i o nd y n a m i c so fb r i gh ts o l i t i o n s i n L i n e a r l y c o u p l e d a s y mm e t r i c s y s t e m s [J ]．O p t Q u a n tE l e c t r o n ,２０１６,４８(１２):５６３．[２]G A R D N E R C S ,G R E E N EJ M ,K R U S K A L M D ,e ta l ．M e t h o d f o r s o l v i n g t h eK o r t e w e g Ｇd eV r i e s e q u a t i o n [J ]．P h y sR e v ,１９６７,１９:１０９５Ｇ１０９７．[３]郭玉翠．非线性偏微分方程引论[M ]．北京:清华大学出版社,２００８．[４]F A N E G ,Z HA N G H Q．N e we x c e pt s o l u t i o n s t oa s y s t e mo fc o u p l e de q u a t i o n s [J ]．P h y Le t t A ,１９９８,２４５:３８９Ｇ３９２．[５]WA N G M L ．E x a c ts o l u t i o n sf o rac o m po u n d K d v ＧB u r g e r s e q u a t i o n [J ]．P h ys L e t t A ,１９９６,２１３:２７９Ｇ２８７．[６]M I U R A M R．B a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n [M ]．B e r l i n :S p r i n g e r ＧV e r l a g,１９７８．[７]C A O X F ．B äc k l u n dt r a n s f o r m a t i o nf o raf a m i l y of c o u p l e dK d ve q u a t i o n s [J ]．P h y sS c r ,２０２３,９８:１１５Ｇ２０９．[８]李新月,祁娟娟,赵敦,等．自旋Ｇ轨道耕合二分量玻色Ｇ爱因斯坦凝聚系统的孤子解[J ]．物理学报,２０２３,７２(１０):２８５Ｇ２９５．[９]X I AJ ,Y A N GD ,Z HO U H ,e t a l ．E v o l v i n g ke r n e l e x Ｇt r e m e l e a r n i n g m a df o r m e d i c a ld i ag n o s i sv i aad i s Ｇp e r s e f o r a g i n g s i n ec o n s i n ea l g o r i th m [J ]．C o m pu t e r s i nB i o l o g y an d M e d i c i n e ,２０２２,１４１:１０５１３７．[１０]Y A N C T．S o m e t h i n g hi d d e ni nt h eF o u r i e rs e r i e s a n d i t s p a r t i a l s u m :S o l i t a r y w a v e s o l u t i o n t o p o l y n o Ｇm i a l n o n l i n e a r d i f f e r e n t i a l e qu a t i o nw a v em o t i o n [J ]．P h y Le t tA ,１９９７,２６:２１９Ｇ２３７．[责任编辑:赵慧霞]３４第１期仁世杰等:一类耦合非线性薛定谔方程组的求解。
《2024年非线性耦合方程组的高阶无振荡有限体积方法》范文
《非线性耦合方程组的高阶无振荡有限体积方法》篇一一、引言在科学与工程领域，非线性耦合方程组的求解是一项关键技术。
其精确性与稳定性对多种问题，如流体动力学、电路模拟和材料科学等具有重要意义。
为了更好地处理这些问题，研究者们提出了一种高阶无振荡有限体积方法。
本文将探讨此方法在非线性耦合方程组中的应用。
二、非线性耦合方程组的基本概念非线性耦合方程组由多个非线性偏微分方程组成，它们在空间和时间上相互依赖和影响。
这种复杂性使得求解过程变得复杂且计算量大。
为了解决这一问题，我们需要寻找一种有效的数值求解方法。
三、高阶无振荡有限体积方法高阶无振荡有限体积方法是一种求解偏微分方程的有效数值方法。
它利用有限体积的概念将求解空间离散化，通过求解离散化后的方程来逼近原方程的解。
此方法具有高精度、无振荡的特性，特别适合于求解非线性耦合方程组。
四、高阶无振荡有限体积方法的实施步骤高阶无振荡有限体积方法的实施步骤主要包括以下几步：1. 空间离散化：将求解空间划分为一系列的有限体积单元，每个单元代表一个离散点或一组离散点。
2. 建立离散化方程：基于高阶导数的空间分布特性，在每个有限体积单元上建立离散化后的偏微分方程。
3. 时间推进：采用合适的时间推进策略（如Runge-Kutta方法）求解离散化后的方程。
4. 迭代与收敛：通过迭代过程逐步逼近原方程的解，同时需要确保解的稳定性和收敛性。
五、高阶无振荡有限体积方法在非线性耦合方程组中的应用将高阶无振荡有限体积方法应用于非线性耦合方程组时，需要考虑以下几点：1. 适当的离散化策略：根据问题的特性选择合适的空间离散化策略，以确保解的准确性和稳定性。
2. 耦合项的处理：对于非线性耦合方程组中的耦合项，需要采用适当的方法进行处理，以保持解的准确性。
3. 时间推进策略的选择：根据问题的特性和需求选择合适的时间推进策略，如显式或隐式时间积分方法等。
六、实验与结果分析我们采用了几种典型的非线性耦合方程组进行实验，并比较了高阶无振荡有限体积方法与其他方法的性能。
关于求解非线性耦合Schrǒdinger方程的Sonnier—Christov格式
（． １） ４
由（ ） 知，只要 一 Ｌ和 Ｒ足够大 （ 一 Ｌ 即 Ｘ， Ｒ》 ０）则问题 （．）（．） （ １一１ ） ， １１～１ 与 １ ）（． 、 ４ ３ （ ） 一致的 ． 是
收 稿 日期 ： ０ ７ １ —５ 修 订 日期 ： ０ ９０ — ６ ２ ０ —２ １ ； ２ ０ —２ １
、 、
（．） １１
（． １） ２ （． １） ３
（半 半）
进行 了数值研 究，提 出Ｔ－＋ ＮＮ－ 恒差分格 式 ．其 中 、 １ － ， ￣ Ｆ是 已知常数 ．非线 性耦合 Ｓｈ６ ｉ ｅ 方程在诸如非线性光学、量子物理等物理学的很多领域都有很重要的应 ｃｒｄ ｇｒ ｎ 用 ［ ９ 便于计 算 ，我们取 如下边 界条件 ４ ］ －． ＵＸ ，） ｕｘ ，） ， ＶＸ ，） （ｎ０ ＝０ （Ｌ０ （ｎ ０ ＝０ （Ｌ０ ＝ｖｘ ，） ．
文 献 ［５ 指 出 非守恒 格式 容 易导 致非 线性 的 ｂｏ —ｐ 并对 非 线性 ＳｈＳ ｉｇｒ方 程提 １】 ｌ ｕ， ｗ ｃｒｄｎｅ 出一个 新的 线性化 守恒 差分 格式 ． Ｌ 和 Ｖ — ｏ 也 在文 献 ｆ ］ ｉ ｕＱｕ ｃ １ 中指 出 “ ｏ ｒａ，ｈ ６ ｉ ｓｍｅａｅｓｔｅ ｎ
Ｅ— ａ ｌ ｍ ｉ：ｗａｎ ｔ ｎ ｈｕ ｇ ｉ ｇｃ ｎ＠ｎｕ ａ ｅ ａ ｄｕ． ｎ ｃ
．
基 金 项 目： 国家 自然 科 学基 金 （０ ７ ０ ７ １５ ２ ５ ）资 助
Ｎ ． 王廷 春等 ：关 于求 解 非线性耦 合 Ｓｈ６ｉｇｒ 程的 Ｓ ｎ ｉ — ｒ ｔｖ格 式 ｏ１ ｃｒｄｎ ｅ 方 ｏｎｅ Ｃｈｉｏ ｒ ｓ 初 边值 问题 （． １ ） 有两个 重 要的守 恒性 质 ．即 电荷守 恒 １ ）（． 具 １ ４
物理学中的一个非线性耦合偏微分方程组的精确解
3期 周宇斌等: 物理学中的一个非线性耦合偏微分方程组的粗确解 3 5
5I 5x
由此解得
p = 1, q = 0, m = 0, n = 1.
(116)
将 (116) 代入 (111) 及 (112) , 则 (111) 和 (112) 简单地具形式 (选择其中线性组合的系数为零)
I=
5f (Υ) 5t
=
f ′Υt,
(111′)
N
=
5g (Υ) 5x
=
g ′Υx ,
(112′)
(215′)
(215′) 是 X (x ) 的线性非齐次方程, 其通解为 其中: c2 是待定常数. 将 (214) 和 (216) 代入 (1113) 得
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得 (011) 和 (012) 的精确解
I= -
1 ab X
T′ +T
,
(1113)
N=
1 a
aX
X′ +T
.
(1114)
此外, 我们还可将 (011) 和 (012) 化为一个二阶方程后, 用齐次平衡方法, 仍可得到结果 (1113)
和 (1114) (见附录).
2 初值 — 边值问题
我们考虑方程组 (011) 和 (012) 的初值 — 边值问题
3期 周宇斌等: 物理学中的一个非线性耦合偏微分方程组的粗确解 3 3
《2024年非线性耦合方程组的高阶无振荡有限体积方法》范文
《非线性耦合方程组的高阶无振荡有限体积方法》篇一一、引言在科学计算和工程应用中，非线性耦合方程组的求解问题显得尤为重要。
此类问题广泛存在于流体力学、电磁场、量子力学等多个领域。
传统的方法如有限差分法、有限元法等在处理高阶、非线性及耦合性强的方程组时，常常出现数值振荡或数值耗散的问题。
因此，寻找一种能够有效处理非线性耦合方程组的高阶无振荡有限体积方法显得尤为重要。
本文将详细介绍一种新型的高阶无振荡有限体积方法，并探讨其在实际问题中的应用。
二、非线性耦合方程组的特点非线性耦合方程组具有高阶、非线性和耦合性强的特点。
在求解过程中，需要考虑各个变量之间的相互影响，以及方程本身的复杂性。
传统的数值方法在处理这类问题时，往往难以保证数值解的稳定性和精度。
因此，需要寻找一种新的数值方法，以更好地解决非线性耦合方程组的求解问题。
三、高阶无振荡有限体积方法高阶无振荡有限体积方法是一种新型的数值方法，它通过引入高阶插值函数和限制器技术，有效地避免了数值振荡和数值耗散的问题。
该方法将计算区域划分为有限体积，然后在每个体积内采用高阶插值函数对未知函数进行近似，通过求解离散化的方程组得到数值解。
在求解过程中，采用限制器技术来控制数值解的振荡，保证数值解的稳定性和精度。
四、高阶无振荡有限体积方法的具体实现高阶无振荡有限体积方法的实现过程包括以下几个步骤：1. 计算区域的离散化：将计算区域划分为若干个有限体积，每个体积内采用高阶插值函数对未知函数进行近似。
2. 构建离散化方程组：根据物理问题的数学模型，构建离散化的方程组。
3. 引入限制器技术：在求解过程中，采用限制器技术来控制数值解的振荡，保证数值解的稳定性和精度。
4. 求解离散化方程组：采用适当的数值算法（如迭代法、直接法等）求解离散化的方程组，得到数值解。
五、应用实例以二维欧拉方程组为例，采用高阶无振荡有限体积方法进行求解。
通过与传统的有限差分法和有限元法进行比较，发现高阶无振荡有限体积方法能够更好地捕捉流场的细节信息，避免了数值振荡和数值耗散的问题。
双模耦合KdV方程的多孤子解与精确解
双模耦合KdV方程的多孤子解与精确解双模耦合KdV方程是一类非线性偏微分方程，其描述了波动的演化行为。
多孤子解是指在该方程中存在多个孤立波解的解析解。
双模耦合KdV方程可以写作如下形式：\begin{cases}u_t + u_x + 6uu_x + vvv_x + au_{xxx} + b(uv)_x = 0, \\v_t + v_x + 6vv_x + uuu_x + av_{xxx} + b(uv)_x = 0.\end{cases}u(x,t)和v(x,t)是随时间和空间变化的波动解；a和b是常数。
双模耦合KdV方程的多孤子解可以通过求解适当的参数和初值条件得到。
一种常见的方法是利用Miura变换，将其转化为多孤子方程。
Miura变换的形式为：u = u_0 + 2c \left(\ln\left|\frac{\phi_{t1}}{\phi_1}\right|\right)_x, \quad v = v_0 + 2c \left(\ln\left|\frac{\phi_{t2}}{\phi_2}\right|\right)_x,u_0和v_0是常数，c是与孤子波动速度相关的参数，\phi_1和\phi_2是二维线性Schrödinger方程的解，满足以下形式的方程：\mu_1和\mu_2分别是关于参数a和b的函数。
通过求解二维线性Schrödinger方程，可以得到\phi_1和\phi_2的解析形式。
将其代入到Miura变换中，可以得到双模耦合KdV方程的多孤子解。
这些多孤子解往往包含多个孤立波解，其相互作用形成一种特殊的波动现象。
需要注意的是，双模耦合KdV方程的精确解往往比较复杂，很难通过解析的方法得到。
通常情况下，人们会通过数值方法或近似方法求解该方程，从而得到其近似解或数值解。
这些解可以用于研究该方程的特性和波动行为。
双模耦合KdV方程的多孤子解与精确解
双模耦合KdV方程的多孤子解与精确解双模耦合KdV方程是一种非线性偏微分方程，描述了水波在可压缩介质中传播的现象。
在实际应用中，该方程可以用于描述大气中的孤立大气波、等离子体中的孤子波等现象。
在本文中，我们将讨论双模耦合KdV方程的多孤子解与精确解。
我们来描述一下双模耦合KdV方程的数学形式：\[\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} +\alpha\frac{\partial^3 u}{\partial x^3} + \beta\frac{\partial^5 u}{\partial x^5} + \gamma u\frac{\partial v}{\partial x} = 0\]u和v是波动函数，t和x分别表示时间和空间坐标，α、β和γ是与非线性项相关的参数，δ是描述两种波动相互耦合的参数。
要求该方程的多孤子解与精确解，通常可以采用类似于适用于KdV方程的方法。
我们可以采用适当的变换将方程化简为KdV方程的形式，然后应用适当的解析技术求解。
通过适当的约束条件和变换，我们也可以求得该方程的多孤子解。
在这里，我们将讨论双模耦合KdV方程的两孤子解。
通过适当的方法，我们可以得到双孤子解的表达式：\[u(x,t) = 3A^2sech^2(η)\]A是描述波动振幅的参数，η是描述波动速度和位置的参数。
通过适当的变换和约束条件，我们可以得到双孤子解的位置和速度随时间的演化规律。
我们还可以采用适当的数值方法来求解双模耦合KdV方程的精确解。
通过适当的离散化和数值求解技术，我们可以得到双模耦合KdV方程的精确解的数值解。
在实际应用中，这种方法可以帮助我们更好地理解该方程描述的物理现象。
双模耦合KdV方程是一种重要的非线性偏微分方程，可以描述水波在可压缩介质中传播的现象。
通过适当的分析和求解技术，我们可以得到该方程的多孤子解和精确解。
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Ｊ １ ０ ２ ｕ ．２ ０
Ｖ ０１ １ ｏ．４ ． ７Ｎ
第 １ ７卷 第 ４期
文 章 编 号 ：０ — ３ １ ２ ０ ）４０ ８ —４ １ ０１ ５ ６ （ ０ ２ ０ — ０ ５ ０
非 线 性 耦 合 标 量 场 方 程 的 精 确 解 析 解
Ｅｘａ ｔ Ａｎａ ｙｔｃａ ｏｌ ｉ ｓ ｏｆ Ｎ ｏｎｌｎｅａ ｅ ａ ａ ｅ ｄ Ｅｑｕａ ｉ ｐｌ ｄ Ｓｃ ｌ ｒ Ｆｉ ｌ ｔｏｎｓ
程 Ｅ 。
（ ） ＿ ｍ 厂一 ｄ 一 １ — ｄ（ 一 ２ ／ ２ 一 ３ ， ＜ ０ ， ｄ ） （ｄ ）ｄ
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ｎ—二 十 ， —＝ ｃ ０］ １０～ ＋ｚＩ — ＝ｚ
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＜ 』 ｌ — 一６２ —ｃ ｄ～６ ｆ ０
尚 亚 东 ， 帆 高
（ 安 石 油 学 院 信 息 科 学 系 ， 西 西 安 ７１ ０ ５ 西 陕 ０６ ）
摘 要 ： 直接 方 法 和 假 设 方 法 的 结 合 得 到 了非 线性 耦 合 标 量 场 方 程 的 几 种 新 的 显 式 精 确 解析 解 ， 用 对
该 方 程 已有 的 一 些孤 子 解 ， 出 了更 一般 的 形 式 ， 大 了参 数 的 取 值 范 围 ， 广 改 进 了 已有 文 献 的 给 扩 推
和 Ｓｎ — ｒ ｏ ｉｅＧｏ ｄ ｎ方 程 的近 似 等 方 程 的行 波 解 都 可 归
结 为 方 程 （ ）的 求 解 ． ［ ］用 规 道 函数 法 ， 特 殊 １ 文 １ 对
的 参 数 厂， 和 ｄ， 得 了 方 程 （ ）的 孤 子 解 ． 获 １ （） ０＜ 厂 ＜ １ ２ ｉ ／ ，
ｆ ± ｓ ［ （ ］ ０ √ 一 ｃ ． ｃ ｈ ＋
王 心 宜 等 采 用 函 数 变 换 ， 不 同 的 参 数 厂， 。 对 ｄ 和 ， 重 新 得 到 上 述 解 外 ， 发 现 如 下 ２种 孤 子 解 ． 除 还 （ ） ＿ 一 ２ 一 （ 一 厂 ｄ ＞ ４ ｉ 厂 ｉ ， ｄ ），
一
Ｉ ］部 分 结 果 ， 用 与 之 不 同 的 函数 变 换 ， 新 得 到 － ３ 采 重
（ｉ 和 （ ｉ ， 对 ｄ的其 他 取 值 范 围也 找 到 了 几种 精 ｉ ） ｉ）并 ｉ 确 解 ； 用 采 用 齐 次 平 衡 方 法㈨ 找 出 （ ） 并 １ 的 ， 均 为 ， Ｄ
＞ （ ～ 厂） ， ＞ ０ ｄ 。ｄ
结 果 ．
关 键 词 ： 线 性 偏 微 分 方程 ； 立子 解 ； 合 标 量 场 ； 确 解 非 孤 耦 精 中图分类号 ： ７．９ ｏ１ ５ ２ 文献标识码 ： Ａ
非 线 性 耦 合 标 量 场 方 程 是 如 下 的 非 线 性 微 分
一
方 程 组
±
√ ｓ［ ｃ ］ ｅ√ ｚ ， ｃ ＋ ｈ
作 者 简 介 ： 亚 东 （ ３ ） 男 ， 西 周 至 人 ， 士 ， 教 授 ， 要 从 事 非 线 性 微 分 方 程 理 论 与 应 用 研 究 ． 尚 １６一 ， 陕 ９ 博 副 主
± ｔｎ ［√ｆ （ ＋ ３ ） ， ａｈ ｚ ７ ］ 。
扭 状 的 孤 子 解 ， Ｅ ］还 指 出耦 合 场 方 程 精 确 解 的 文 ｓ
种 类 和 参 数 的取 值 范 围都 有 待 进 一 步 扩 充 ．
基 于 已 有 文 献 的 结 果 ， 用 双 曲 函 数 和 三 角 函 利 数 的 基 本 性 质 ， 直 接 假 设 方 法 ， 到 方 程 （ ）的 一 用 得 １
维普资讯
２０ ０ ２年 ７月
西 安 石 油 学 院 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ Ｐ ｔ ｏ ｅ ｍ ｎ ｔｔ ｔ Ｎａ ｕ ａ ｃ ｅ ｃ ｉｉ ｎ） ｏ ｒ ａ ｆＸｉ ｅ ｒ ｌ ｕ Ｉ ｓ ｉｕ ｅ（ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ Ｅｄ ｔ０ ａ
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一 （ 一 ４ ｆ 口 ） Ｄ— ｂ 。一 ｂ ａ ， ｐ ｐ 。
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ｈ ［ 老 ｃ ］ ＋ ．
Ｋｌｉ — ｒ ｏ 方 程 ， ａ ｄ ｕ Ｇｉ ｇ ｒ — ｇ ｓ方 程 ｅｎ Ｇｏ ｄ ｎ Ｉ ｎ ｏ ～ ｎ ｂｕ ｇ Ｈｉ ｇ
文 献 ［ －也 求 出 了 方 程 （ ）的 一 些 新 的 精 确 孤 －］ ４ １ 子 解 ， 近 范 恩 贵 等 嘲 重 新 研 究 了 方 程 （ ） 利 用 文 最 １，
些 新 的 精 确 解 析 解 ， 精 确 解 的 种 类 和 参 数 的 取 值 对
范 围进 行 了扩 充 ， 广 改 进 了 已有 文 献 的许 多 结 果 ． 推
收 稿 日期 ： ０ １ ０ — ５ ２ ０ —９ ０
收 稿 日期 ： 家 自然 科 学 基 金 项 目（ 部 ） １ ９ １ ６ ） 国 内 （ ９ ７ ０ ８
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一 ＋ 十一
一
一
主 要 来 源 于 基 本 粒 子 理 论 中 量 子 化 荷 电 孤 子 的 研 究 … ， 中 和 ｆ 标 量 场 ， 厂 和 为 有 关 参 数 ． 其 Ｄ为 ｄ， 方 程 （ ）的 研 究 不 仅 有 其 自 身 的 物 理 意 义 ， 且 还 与 １ 而 物 理 学 中其 他 许 多 重 要 模 型 方 程 的 研 究 密 切 相 关 ． 例 如 ， 源 于 导 电 聚 合 物 中 弱 钉 扎 电 荷 密 度 模 方 起