数学物理方程第九章 广义函数
广义函数的运算
但对一般的广义函数， 义上的函数。
T ( x)
仅是一个记号，并非经典意
运算：对变量操作
• 对正规函数变量操作：平移、对称、放缩
T ( x a)、T ( x)、T (ax)
其对应的分布如何变化？
Ta , f T ( x a) f ( x)dx T ( x) f ( x a)dx T , f a
• 库伦势的Laplacian
Байду номын сангаас
1 / rf (r )dV
f (r )(1 / r ) 1 / r( f (r )) dS
1 / rf (r )dV 1 / r , ( f (r )) 1 d 2 df (r ) 2 r dr dr 1 / r , f (r ) 4f (0) 4 , f ( f (r )) 1 / r 4
– 将其推广到一般的广义函数上 – 经典例子：
H , f H , f H ( x) f ( x)dx f (0)
0
H
经典例子
1 / r , f (r ) (1 / r ) f (r )dV (1 / r ) f (r ) dS (1 / r ) ( f (r ))dV
• 被作用的函数一般在有限区域取值：场是定域的
Definition
• 广义函数是定义在测试函数空间 ( R n )上的连续线
性函数： T : ( Rn ) R / C
• 测试函数：光滑、在有限区域上定义的函数 • 广义函数通过积分作用在测试函数上，更近似于一种 算符 • 其集合构成 测试函数空间 的对偶空间
广义函数及其运算pdf
广义函数及其运算pdf广义函数是数学中的一个重要概念，它是对传统函数的一种扩展和推广。
广义函数的定义和运算在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍广义函数的概念、性质以及其在数学和物理学中的应用，并提供相关的pdf资料供读者深入学习。
广义函数是一种将函数的概念推广到更一般的对象上的数学工具。
传统的函数是将一个自变量映射到一个因变量的规则，而广义函数则可以将一个自变量映射到一个更一般的对象，如分布或测度。
广义函数的定义和性质在分析学、泛函分析、偏微分方程等领域中有着重要的应用。
广义函数的定义可以通过极限的概念来进行。
对于一个广义函数，我们可以通过一个序列或者一个函数列来逼近它。
当这个序列或者函数列收敛到一个有限的函数时，我们就可以说这个广义函数是可积的。
广义函数的积分运算是广义函数运算中的一个重要操作，它可以通过逼近的方法来定义。
广义函数的运算包括加法、乘法、导数等。
广义函数的加法运算可以通过逐点相加的方式进行。
对于两个广义函数f和g，它们的和f+g可以通过逐点相加的方式定义为(f+g)(x)=f(x)+g(x)。
广义函数的乘法运算可以通过逐点相乘的方式进行。
对于两个广义函数f和g，它们的乘积fg可以通过逐点相乘的方式定义为(fg)(x)=f(x)g(x)。
广义函数的导数运算可以通过逐点求导的方式进行。
对于一个广义函数f，它的导数f'可以通过逐点求导的方式定义为f'(x)=lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗。
广义函数在数学和物理学中有着广泛的应用。
在分析学中，广义函数可以用来描述一些不连续或者不可导的函数。
在泛函分析中，广义函数可以用来描述一些非线性算子的性质。
在偏微分方程中，广义函数可以用来描述一些奇异解的性质。
在物理学中，广义函数可以用来描述一些物理量的分布或者测度。
为了帮助读者更好地理解广义函数及其运算，我们提供了一份相关的pdf资料。
这份资料包括广义函数的定义、性质以及一些典型的例子和应用。
缓增广义函数
缓增广义函数
缓增广义函数是一类函数，它在无穷远处增长得比多项式函数慢，但仍比指数函数增长得快。
具体来说，如果函数$f(x)$ 在$x\rightarrow \infty$ 时满足：
$$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x^{\alpha}} = 0 \ \ \ \ \text{对某个}\ \alpha > 0$$
则称$f(x)$ 是一个缓增广义函数。
其中，指数$\alpha$ 可以取任意正实数，代表了函数增长速度的上界。
如果$\alpha$ 很大，那么函数增长得很慢；如果$\alpha$ 很小，那么函数增长得很快。
缓增广义函数的定义比较宽泛，包括了许多重要的函数，如$\log x$、$x^p e^{q x^\beta}$ （其中$p,q,\beta$ 为实数）、$\mathrm{sinc}(x)$ 等。
这些函数在数学分析、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
由于它们的增长速度比指数函数慢，因此它们有助于研究一些复杂问题的性质和解析解的求解。
数学物理方程：第9章 格林函数法
第9章 格林函数法§9.1 格林函数的概念本节讨论：①格林函数的定义，②格林函数与基本解的比较，③格林函数与基本解的关系⒈ 格林函数的概念格林函数：称下述定解问题（B ）的解(,,,)G t x τξ为定解问题（A ）的格林函数。
（A ）：0(,)ϕ=⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩t S it i L u Lu f t x Bu g D u （B ）：0(,)00δτξ=⎧=+--⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩t S i t L G LG t x BG D G (9.1.1)此处：算子i D 对t 的i 阶导数，B 为边界算子，如第一、二、三类边界条件；式中ξ在边界域S 内部，式中0τ>即(0,)τ∈+∞。
其它同上述说明。
格林函数可细分为边值问题的格林函数、柯西问题的格林函数与混合问题的格林函数等。
例1 二维边值问题=∆=⎧⎨=⎩r R u f u g （边界为园）的格林函数为()0δξ=∆=-⎧⎨=⎩r R G x G 的解。
例2 常微分方程=Lu f 的格林函数为()δ=LG x 的解。
此时格林函数就是基本解。
例3 柯西问题20(,)()ϕ=⎧'=+⎪⎨=⎪⎩xx t u a u f t x u x 的格林函数为20(,)δτ=⎧=+-⎪⎨=⎪⎩t xx t G a G t x G 的解。
例4 传导问题2(,)(0,)()(,0)(),(,)()xx u a u f t x u x x u t g t u t l h t ϕ⎧'=+⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩的格林函数为2(,)(0,,,)0(,0,,)(,,,)0t xx G a G t x G x G t G t l δτξτξτξτξ⎧=+--⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩的解。
注：例1与例2中的问题与t 无关，可取τ=t ；例2与例3中∈x R ，可取ξ为0。
⒉ 格林函数与基本解的比较将不同定解问题的格林函数与基本解的定义共同列表如下：表9.1基本解与格林函数的相似性注意：①边值问题没有基本解的提法。
《数学物理方法》第九章_11
ut(x,y,z,t) = a2∇2u(x,y,z,t)
(9.2.9)
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扩散方程具有相同的形式，见习题9.2.1 尽管热传导现象与扩散现象的物理本质不同， 一个是热量的传递，一个是粒子的运动，但 它们都满足同一偏微分方程，都遵守输运过 程的共同规律 。
39
【例9.2.1】匀质导线的横截面积为S，电阻率为h，
因此杆或弦上任一小段xxdx的伸长为uxdxtuxt相对伸长本节着重讨论一维波动现象在弹性限度内作用于物体的应力单位横截面上的内力与应变物体的相对伸长成正比在惯性参考系中作用于物体的合外力平比于物体动量的时间变化率即对于一维运动上式可改写为标量形式考虑一均匀细杆沿杆长方向的微小振动见图91
第9章 讨论定解问题，是将物理问题转化为数学上的 定解问题，即建立有关物理量遵守的泛定方程和定解 条件．
初始条件: 描述所研究系统的初始状态。 由于波动方程含有对时间的二阶偏导数，因
此，要给出两个初始条件．即要给出系统各
点的初位移和初速度 u(x,0) ＝ j (x,0) ut(x,0) ＝ y (x,0) (9.1.14) (9.1.15)
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【9.1.1】一根长为l , 两端固定的弦，用手把它 的中点横向拉开距离b(图9.3), 然后放手任其自 由振动, 写出它的初始条件．
比例系数Y称为杨氏模量．
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2.牛顿(Newton)第二定律
在惯性参考系中，作用于物体的合外力平比 于物体动量的时间变化率，即
对于一维运动, 上式可改写为标量形式
如果物体的质量m不随时间变化，动量p=mut 中的m可提出微商号外．由此得
7
§9.1.2 杆的纵振动方程
广义函数、脉冲函数的基本概念与性质
广义函数、脉冲函数的基本概念与性质广义函数、脉冲函数的基本概念与性质 1 广义函数的产生一般地，给定非空数集A、B，按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A 到集合B的一个函数。
函数是数与数之间的一种对应关系，是经典数学分析的一个基本概念，是代数学中最重要的概念之一。
自然科学的发展表明，古典的函数概念是不够的，或是不完全适合的。
于是，广义函数论随之兴起。
广义函数包括通常的函数在内，甚至更广。
它应是无限次可导和自由地进行极限交换。
广义函数被广泛地应用于数学、物理、力学以及分析数学的其他各个分支，例如微分方程、随机过程、流形理论等等，它还被应用到群的表示理论，特别是它有力地促进了偏微分方程近30年来的发展。
历史上第一个广义函数是由物理学家P。
A。
M。
狄拉克引进的，他因为陈述量子力学中某些量的关系时需要引入了“函数”:当x?0时，=0，但x=0时，=?。
,x,x,x，，，，，，按20世纪前所形成的古典数学概念是无法理解这样奇怪的函数的。
然而物理学上一切点量，如点质量、点电荷、偶极子、瞬时打击力、瞬时源等物理量用它来描述不仅方便、物理含义清楚，而且当它被当作普通函数参加运算，如对它进行微分和傅里叶变换，将它参与微分方程求解等所得到的数学结论和物理结论是吻合的。
这就迫使人们要为这类怪函数确立严格的数学基础。
最初理解的方式之一是把这种怪函数设想成直线上某种分布所相应的“密度”函数。
所以广义函数又称为分布，广义函数论又叫做分布理论。
用分布的观念为这些怪函数建立基础虽然很直观，但对于复杂情况就又显得繁琐而不很明确。
后来随着泛函分析的发展，L。
施瓦尔茨(1945)用泛函分析观点为广义函数建立了一整套严格的理论，接着И。
盖尔范德对广义函数论又作了重要发展。
2 广义函数的定义把普通函数视为某类函数空间上的线性泛函是推广函数概念的一条行之有效的途径。
广义函数论与函数空间
广义函数论与函数空间摘要：一、引言1.广义函数论的概念2.函数空间的概念二、广义函数论的发展历程1.早期发展2.成熟阶段3.现代广义函数论的研究三、广义函数论的重要意义1.数学领域的应用2.物理领域的应用3.其他领域的应用四、函数空间的发展1.函数空间的定义2.函数空间的性质3.函数空间的分类五、函数空间的重要意义1.数学领域的应用2.物理领域的应用3.其他领域的应用六、广义函数论与函数空间的联系1.广义函数论对函数空间的影响2.函数空间对广义函数论的影响七、总结1.广义函数论与函数空间的贡献2.未来发展趋势正文：广义函数论与函数空间是数学领域的两个重要概念，它们在理论和实际应用中都发挥着重要作用。
广义函数论是一种数学理论，主要研究无限可微函数的性质及其应用。
它的发展历程可以追溯到20 世纪初，经过早期的发展，成熟阶段，到现代广义函数论的研究，已经成为数学领域的一个重要分支。
广义函数论的重要意义不仅在于它推动了数学领域的发展，而且在物理等领域也具有广泛的应用。
函数空间是数学中另一个重要的概念，它是一种将函数集合组织成空间的理论。
函数空间的定义及其性质是函数空间研究的基础，而函数空间的分类则是函数空间研究的重点。
函数空间在数学领域及其他领域具有广泛的应用，这使得函数空间成为了一个备受关注的研究领域。
广义函数论与函数空间之间存在着密切的联系。
广义函数论对函数空间的发展产生了深远的影响，而函数空间也为广义函数论提供了丰富的研究素材。
这种相互作用使得广义函数论与函数空间在数学领域的研究中相互促进，共同发展。
总之，广义函数论与函数空间在数学领域及其他领域具有重要的意义。
数学物理方法第九章课件
第九章的习题解答
习题1
求解无限长杆在垂直磁场中的扭转问题。利用分离变量法将偏微分 方程化为常微分方程，得出杆的扭转角与磁场强度的关系。
习题2
求解三维空间中的电场问题。利用分离变量法将偏微分方程化为三 个常微分方程，进而得出电势的解。
习题3
求解波动方程在非周期边界条件下的解。通过分离变量法将波动方程 化为常微分方程，得到波函数的解。
本章内容的总结
偏微分方程
偏微分方程是描述物理现象的重要工具，例如波动、热传导、弹性力学等问题都可以用偏微 分方程来描述。
本章介绍了偏微分方程的基本概念和分类，以及如何求解偏微分方程，包括分离变量法、有 限差分法等。
后续学习的展望
更深层次的数学物理方法
这些方法在解决物理问题时具有更广泛的应用，例如在 量子力学、相对论等领域。
在掌握基本的数学物理方法后，可以进一步学习这些方 法在各个领域的应用，例如在材料科学、生物医学、环 境科学等领域的应用。
在后续的学习中，可以进一步学习更深入的数学物理方 法，例如广义函数与分布、积分方程、微分几何等。
应用领域的拓展
通过深入了解这些应用，可以更好地理解数学物理方法 在解决实际问题中的作用和价值。
在工程学中的应用
结构分析
数学物理方法能够用于分 析工程结构中的力学问题， 如弹性力学、断裂力学等。
控制系统设计
数学物理方法能够用于设 计各种控制系统，如航空 航天、机器人等领域。
信号处理
数学物理方法能够用于信 号处理和图像处理，如图 像压缩、图像增强等。
在其他领域的应用
经济学
数学物理方法能够用于分析经济现象和预测经济 趋势，如金融市场分析、风险评估等。
数学物理方法定义
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（20141217）第九章 广义函数
一、定义
引入定义前的准备
支集：若f 是定义在R n 上的函数，我们称所有满足()0f x ≠的点x 的闭包（此处可简单将其理解为集合）为f 的支集，即这些使f 非零的点支撑起了f 。
f 的支集记为
supp()f 。
若supp()f E ⊂，我们就说f 被E 支起。
测试函数集：若维度n 给定时，定义在R n 上的函数任意阶可（偏）导且连续，同时由这些函数所构成的函数空间的支集（即满足让这些函数非零的点所构成的集合）是R n 的
有界子集，我们就称这些函数空间（函数所构成的集合）为测试函数集，并记为0
(R )n C ∞
，且其中的每个元素都称作测试函数。
广义函数的定义
广义函数（分布）：是在对应法则F 下从集合0(R )n C ∞
到集合C 的映射，且满足条件 （1）线性：对120,C φφ∞
∀∈和12,C c c ∀∈都有
[][][]11221122F c c c F c F φφφφ+=+
（2）连续性：若{}k φ是0
(R )n C ∞
中的一个序列（即{}k φ是测试函数集的子集），且对所有k 而言，其支集都包含于一个固定的有界集合D 中，且假定当k →∞时，函数k φ及其所有的偏导数k αφ∂都一致收敛于0，此时则有[]0k F φ→。
广义函数[]F φ的表示式为
[]()()d F F φφ=⎰x x x
其中
120(,,,), ()n x x x C φ∞=∈x x K
另外，每个局部可积的函数都可以视为广义函数。
最简单的广义函数是Dirac delta 函数
δ，其定义为
[]()()d ()δφδφφ==⎰x x x 0
此处的0为0向量。
若C 是上R n 的光滑曲线，曲线的弧长微元记为d σ，则可以定义在R n 上的广义函数F
[]()d ()C
F φφσ=⎰x x
当给定曲线的参数方程为()t =x x 时
[][]()'()d C
F t t t φφ=⎰x x
二、广义函数的运算
若0
()()C R φ∞
∈x ，当1n =时则有 '[]'()()d ()()()'()d F F x x x F x x F x x x φφφφ∞
-∞==-⎰⎰
根据测试函数的定义，即测试函数集是的R n 有界子集，因此当x 很大时，()x φ必然为0，所以
'[]()'()d [']F F x x x F φφφ=-=-⎰
同时，上式可以推广到k 阶导数
()()()[]1[]k
k k F F φφ=-
且当其导数为偏导数时，上式也成立，即
()()
[]1[]F F α
α
αφφ∂=-∂
利用上述性质，可以证明单位阶跃函数的导数为冲激函数，即'H δ=，过程如下
00
'[][']()'()d '()d ()(0)H H H x x x x x x φφφφφφ∞∞
∞
-∞
=-=-=-=-=⎰⎰
又因为
[](0)δφφ=
所以
'H δ=
利用上述性质还可以找到广义函数导数和函数导数之间的关系。
若将广义函数f 的导数记为'f ，函数()f x 的导数记为(1)()f x ，并假设()f x 在R 上分段光滑，并在0x ≠时都可微，且在0x =存在一个跳跃间断点，则有
[][]0
''()'()d ()'()d ()'()d f f f x x x f x x x f x x x φφφφφ∞
-∞
=-=-=--⎰⎰
⎰
根据分部积分法，有
(1)
(1)()'()d ()()()()d (0)(0)()()d f x x x f x x f
x x x f f x x x φφφφφ-∞-∞
-∞-∞
-=-+=--+⎰
⎰
⎰
(1)
(1)00
()'()d ()()()()d (0)(0)()()d f x x x f x x f
x x x f f x x x φφφφφ∞
∞
∞
∞
-=-+=++⎰⎰⎰。