特殊的平行四边形 培优题

特殊的平行四边形

知识点归纳：

1.菱形：四条边相等的四边形。

（1）菱形具有一切平行四边形的性质，其特殊点在于：对角线互相垂直，对角线平分对角。

（2）菱形的对称性：菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是对角线），它有两条对称轴。

（3）在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的3倍。

（4）菱形的面积可以用对角线乘积的一半来计算。对角线互相垂直，这个特性容易和勾股定理相结合。

2．矩形：四个角都是直角的四边形。

（1）矩形具有一切平行四边形的性质，其特殊点在于:四个角均为直角，对角线相等。（2）矩形的对称性：矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它有两条对称轴。

3．正方形：四边相等且四个角都是直角的四边形。

（1）正方形具有平行四边形的一切性质，确切的说，它是矩形和菱形的交集，因此具有矩形和菱形的一切特性。

（2）正方形的对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴，分别是两条对角线和两条中点连线）。

（3）正方形的两条对角线把正方形分成8个等腰直角三角形。

典型例题讲解及练习：

例1 已知菱形的一条对角线是另一条的对角线的2倍，面积为S，则它的边长是________.

练习：

1.边长为13的菱形ABCD的对角线BD长10cm，则对角线AC长为_________,面积是

________.

2．菱形两个邻角度数比是1：3，边长是25，则高是________.

3. 菱形ABCD 的周长为16，一个内角为60°，则这个菱形的两条对角线AC 、BD 的长度分别是__________,菱形的面积是__________.

例2 如图，CD 为ABC Rt ∆斜边AB 边上的高，BAC ∠的平分线交CD 于E ，交BC 于F ，

AB FG ⊥于G ，求证：四边形EGFC 是菱形。

C

D

A

B

F

G

E 练习：

1．ABC ∆中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE//AB 交MN 于E ，连接AE 、CD 。求证：ADCE 为菱形。

C

B

N

M

A

D

E

O

2．菱形ABCD 的边长为2，对角线BD=2，E 、F 分别是AD 、CD 上的两个动点，且满足

2=+CF AE 。求证：（1）BCF BDE ∆≅∆；（2）判断BEF ∆的形状，并说明理由，同

时指出BCF ∆是由BDE ∆如何变换得到的？

B

C

D

E

F

A

例3 矩形ABCD 中，BD AE ⊥，BE:ED=1:3,AB=2,AC 长为________. 练习：

1. 在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ， 60=∠AOB ，AE 平分BAD ∠，交BC 于点

E ，则BOE ∠=________.

2. 在矩形ABCD 中，E 为BC 中点， 30=∠BAE ，AE=2，AC=________.

3. 在矩形ABCD 中,AD=12,AB=5,P 是AD 上的动点，有AC PE BD PF ⊥⊥,，E 、F 为垂足，

则PE+PF=__________.

A

B C

D

P

E

F

例4

练习 1.

2.

3.矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向B 以2cm/s 的速度运动，Q 沿DA 边从点D 向A 以1cm/s 的速度运动，若P 、Q 同时出发，t 表示运动时间（0

（2）试求四边形QABC 的面积，并提出一个相关结论。

D

A B C

P

Q