北师大版九年级数学上学期期末培优训练第一章：特殊的平行四边形(含答案)

九年级数学上学期期末培优训练：特殊的平行四边形1．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O直线EF分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若EF＝BD，BE＝8，BF＝16，求菱形ABCD的面积；（3）若EF⊥AB，垂足为G，OB＝3AG，求的值．2．菱形ABCD中，F是对角线AC的中点，过点A作AE⊥BC垂足为E，G为线段AB上一点，连接GF并延长交直线BC于点H．（1）当∠CAE＝30°时，且CE＝，求菱形的面积；（2）当∠BGF+∠BCF＝180°，AE＝BE时，求证：BF＝（+1）GF．3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．4．如图1，在矩形ABCD中，AC为对角线，延长CD至点E使CE＝CA，连接AE．F为AB上的一点，且BF＝DE，连接FC．（1）若DE＝1，CF＝，求CD的长；（2）如图2，点G为线段AE的中点，连接BG交AC于H，若∠BHC+∠ABG＝60°，求证：AF+CE＝AC．5．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD 于点E，（1）求DE的长；（2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．6．如图，在正方形ABCD中，点E在射线AB上，点F在射线AD上．（1）若CE⊥CF，求证：CE＝CF；（2）若CE＝CF，则CE⊥CF是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请画图说明．7．【感知】如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE＝DG．【拓展】如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A＝∠F．求证：BE＝DG．【应用】如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE＝2ED，∠A＝∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为．8．已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）9．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b）且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动．（Ⅰ）点B的坐标为；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为；（Ⅱ）在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；（Ⅲ）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，求点P移动的时间．10．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH ⊥DE 交DG 的延长线于点H ，连接BH ． （1）求证：GF ＝GC ；（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．11．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＞BC ，分别以AB ，BC ，CA 为一边向△ABC 外作正方形ABDE 、BCMN ，CAFG ，连接EF 、GM 、ND ，设△AEF 、△BND 、△CGM 的面积分别为S 1、S 2、S 3． （1）猜想S 1、S 2、S 3的大小关系．（2）请对（1）的猜想，任选一个关系进行证明；（3）若将图1中的Rt △ABC 改为图2中的任意△ABC ，若S ABC ＝5，求出S 1+S 2+S 3的值； （4）若将图2中的任意△ABC 改为任意凸四边形ABCD ，若S △AEG +S △CNK +S △IBH +S △DFM ＝α，则四边形ABCD 的面积为 （直接用含α的代数式表示结果）12．（1）如图1，已知DE∥BC，∠D：∠DBC＝2：1，∠1＝∠2．求∠DEB的度数．（2）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，今天人们已经知道，仅用圆规直尺是不可能做出的．在探索中，有人曾利用过如图2所示的图形，其中，ABCD是长方形（AD∥CB，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F，你能证明∠ECB＝∠ACB吗？13．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF （1）求证：AE＝AF；（2）若BD与EF交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理由．14．（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别是边BC，CD上两点，且BM＝CN，连AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN，交于点P．求△APB 周长的最大值．15．已知，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．（1）如图1，若AC＝BC，求证：四边形DECF为菱形；（2）如图2，过C作CG∥AB交DE延长线于点G，连接EF，AG，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有与△ADG面积相等的平行四边形．16．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，F为AB边上一点，满足CF⊥CP，过点B作BM⊥CF，分别交AC、CF于点M、N（1）若AC＝AP，AC＝4，求△ACP的面积；（2）若BC＝MC，证明：CP﹣BM＝2FN．参考答案1．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，又∠AOE＝∠COF∴△AOE≌△COF（AAS）；（2）由△AOE≌△COF，得OE＝OF，∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF＝BD，∴▱EBFE是矩形，∴∠EBF＝90°，设菱形ABCD的边长为x，∴AB＝AD＝x，∴AE＝16﹣x，在Rt△AEB中，根据勾股定理，得AB2＝AE2+BE2，即x2＝（16﹣x）2+82，解得x＝10，＝BC•BE＝10×8＝80．∴S菱形答：菱形ABCD的面积为80．（3）∵EF⊥AB，垂足为G，∵四边形ABCD是菱形，∴OA⊥OB∴∠AOG+∠BOG＝90°，∵OG⊥AB，∴∠AOG+∠OAG＝90°，∴∠BOG＝∠OAG，∠AGO＝∠BGO＝90°，∴△OBG∽△AOG∴，∴OG2＝AG•BG∵在Rt△GOB中，根据勾股定理，得OG2＝OB2﹣BG2∴OB 2﹣BG 2＝AG •BG ， ∵OB ＝3AG ，∴BG 2+AG •BG ﹣90AG 2＝0 ∴（BG ﹣9AG ）（BG +10AG ）＝0BG ＝9AG ，BG ＝﹣10AG （不符合题意，舍去）， AB ＝BG +AG ＝10AG ，在Rt △AOB 中，根据勾股定理，得 OA 2＝AB 2﹣OB 2＝100AG 2﹣90AG 2＝10A G 2∴OA ＝AG ∴＝答：的值为．2．（1）解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ，∵AE ⊥BC ，∠EAC ＝30°，∴∠ACE ＝60°，AC ＝2EC ＝2，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，∴S 菱形ABCD ＝2•S △ABC ＝2××（2）2＝6．（2）如图，连接GC ，作GM ⊥GF 交BF 于M ．∵四边形ABCD 是菱形， ∴BA ＝BC ，∵AF ＝FC ， ∴BF ⊥AC ， ∴∠BF A ＝90°，∵∠BGF +∠BCF ＝180°，∠AGF +∠BGF ＝180°， ∴∠AGF ＝∠ACB ，∵∠GAF ＝∠CAB ∴△AGF ∽△ACB ，∴＝，∴＝，∵∠CAG＝∠BAF，∴△CAG∽△BAF，∴∠CGA＝∠BF A＝90°，∵AE⊥BE，AE＝BE，∴∠ABE＝45°，∴∠GBC＝∠GCB＝45°，∴GB＝GC，∵∠BGC＝∠MGF，∴∠BGM＝∠CGF，∵∠GBM＝∠GCF，∴△BGM≌△CGF，∴BM＝CF，GM＝GF，FM＝GF，∵∠AGC＝90°AF＝FC，∴GF＝FC＝BM，∴BF＝BM+FM＝GF+GF＝（+1）GF．3．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，DE＝AC，∴AC⊥BD，DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵AC⊥BD，四边形OCED是平行四边形，∴四边形OCED是矩形，∴OE＝CD．（2）解：∵菱形ABCD的边长为6，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，BD⊥AC，AO＝CO＝AC．∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，∵△AOD中BD⊥AC，AD＝6，AO＝3，∴OD＝＝3，∵四边形OCED是矩形，∴CE＝OD＝3，∵在Rt△ACE中，AC＝6，CE＝3，∴AE＝＝＝3．4．解：（1）设CD＝x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠B＝90°，AD＝BC，在Rt△BCF中，BC＝＝，∵AC＝CE＝x+1，在Rt△ADC中，∵AC2＝AD2+CD2，∴（x+1）2＝x2+（）2，∴x＝3，∴CD＝3．（2）如图2中，连接CG．作FJ⊥AC于J．∵CA＝CE，AG＝EG，∴CG⊥AE，∠ACG＝∠ECG，∵∠AGC＝∠ABC＝90°，∴∠AGC+∠ABC＝180°，∴A、G、C、B四点共圆，∴∠ABG＝∠ACG，∴∠ACG＝∠ECG＝∠ABG，设∠ACG＝∠ECG＝∠ABG＝x，则∠BAH＝∠ACD＝2x，∠BHC＝∠BAH+∠ABG＝3x，∵∠BHC+∠ABG＝60°，∴4x＝60°，∴x＝15°，∴∠F AJ＝30°，∠DAC＝∠ACB＝60°，∠CAE＝75°，∴∠EAD＝15°，∵DE＝BF，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，∴△ADE≌△CBF，∴∠BCF＝∠DAE＝15°，∴∠FCJ＝45°，∴CJ＝FJ，设CJ＝FJ＝a，则AJ＝a，AF＝2a，AC＝a+a，∴＝＝﹣1，∴AF＝（﹣1）AC，∴AF＝AC﹣AC，∵AC＝CE，∴AF+CE＝AC．5．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DBC＝∠BCA＝∠ACD＝45°，∵CE平分∠DCA，∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACD＝22.5°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠DBC＝45°，∴∠BEC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°＝∠BCE，∴BE＝BC＝，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝2，∴DE＝BD﹣BE＝2﹣；（2）∵FE⊥CE，∴∠CEF＝90°，∴∠FEB＝∠CEF﹣∠CEB＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠DCE，∵∠FBE＝∠CDE＝45°，BE＝BC＝CD，∴△FEB≌△ECD，∴BF＝DE＝2﹣；（3）延长GE交AB于F，由（2）知：DE＝BF＝2﹣，由（1）知：BE＝BC＝，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∴△DGE∽△BFE，∴＝，∴＝，解得：DG＝3﹣4．6．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴CB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°∵CE⊥CF∴∠ECF＝90°∴∠BCE＝∠DCF＝90°﹣∠BCF在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF，∴CE＝CF．（2）若CE＝CF，则CE⊥CF不一定成立当点E在线段AB上，且点F在AD延长线上或当点E在AB延长线上，且点F在线段AD上时CE⊥CF成立，证明如下：∵四边形ABCD是正方形∴CB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°∵CE＝CF在Rt△BCE和Rt△DCF中，，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），∴∠ECB＝∠FCD，∴∠ECB+∠BCF＝90°，∴CE⊥CF；当点E在线段AB上，且点F在线段AD上或当点E在线段AB延长线上，且点F在AD 延长线上时，CE⊥CF不成立，如图如下：．7．解：拓展：∵四边形ABCD 、四边形CEFG 均为菱形， ∴BC ＝CD ，CE ＝CG ，∠BCD ＝∠A ，∠ECG ＝∠F ． ∵∠A ＝∠F ， ∴∠BCD ＝∠ECG ．∴∠BCD ﹣∠ECD ＝∠ECG ﹣∠ECD ， 即∠BCE ＝∠DCG ． 在△BCE 和△DCG 中，，∴△BCE ≌△DCG （SAS ）， ∴BE ＝DG ．（6分）应用：∵四边形ABCD 为菱形， ∴AD ∥BC ， ∵BE ＝DG ，∴S △ABE +S △CDE ＝S △BEC ＝S △CDG ＝8， ∵AE ＝2ED ，∴S △CDE ＝×8＝，∴S △ECG ＝S △CDE +S △CDG ＝，∴S 菱形CEFG ＝2S △ECG ＝．故答案为：．（9分）8．解：（1）如图①AH ＝AB ．（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE＝DN．∵ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，，∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAB+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM．∴S△AEM ＝S△ANM，EM＝MN，∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB＝AH．（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°．分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，由（2）可知，AH＝AB＝BC＝CD＝AD．设AH＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2∴52＝（x﹣2）2+（x﹣3）2（6分）解得x1＝6，x2＝﹣1．（不符合题意，舍去）∴AH＝6．9．解：（Ⅰ）∵a、b满足+|b﹣6|＝0，∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，解得a＝4，b＝6，∴点B的坐标是（4，6），∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动，∴2×3.5＝7，∵OA＝4，OC＝6，∴当点P移动4秒时，在线段CB上，离点C的距离是：7﹣6＝1，即当点P移动4秒时，此时点P在线段CB上，离点C的距离是2个单位长度，点P的坐标是（1，6）；故答案为（4，6），（1，6）．（Ⅱ）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，存在两种情况，第一种情况，当点P在OC上时，点P移动的时间是：4÷2＝2秒，第二种情况，当点P在BA上时．点P 移动的时间是：（6+4+2）÷2＝6秒，故在移动过程中，当点P 到x 轴的距离为4个单位长度时，点P 移动的时间是2秒或6秒．（Ⅲ）如图1所示：∵△OBP 的面积＝10，∴OP •BC ＝10，即×4×OP ＝10． 解得：OP ＝5． ∴此时t ＝2.5s 如图2所示；∵△OBP 的面积＝10，∴PB •OC ＝10，即×6×PB ＝10．解得：BP ＝．∴CP ＝．∴此时t ＝s ， 如图3所示：∵△OBP的面积＝10，∴BP•BC＝10，即×4×PB＝10．解得：BP＝5．∴此时t＝s如图4所示：∵△OBP的面积＝10，∴OP•AB＝10，即×6×OP＝10．解得：OP＝．∴此时t＝s综上所述，满足条件的时间t的值为2.5s或s或s或s．10．证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF＝GC；（2）BH＝AE，理由是：证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ADC＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴2∠2+2∠3＝90°，∴∠2+∠3＝45°，即∠EDG＝45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，∴∠1＝∠BEH，在△DME和△EBH中，∵，∴△DME≌△EBH（SAS），∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM＝AE，∴BH＝AE；证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH＝90°，由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENH（AAS），∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝HN＝AE．11．解：（1）猜想：S1＝S2＝S3（2）如图1，延长F A，过点E作EH⊥F A于H由已知：∠BAE ＝∠CAH ＝90° ∴∠CAB ＝∠HAE∵∠ACB ＝∠AHE ＝90°，AE ＝AB ∴△HAE ≌△CAB ∴EH ＝BC∴S △AEF ＝＝＝S △ABCS 1＝S △ABC同理：S 2＝S △ABC S 3＝S △ABC ∴S 1＝S 2＝S 3 （3）如图2分别过点G 和A 作GQ ⊥MC 于Q ，AP ⊥BC 于P 由已知：∠GCA ＝∠QCB ＝90° ∴∠GCQ ＝∠ACP 又∵∠GQC ＝∠APC ＝90° GC ＝AC∴△GCQ ≌△ACP ∴GQ ＝AP∵S △GCM ＝S △ABC ＝MC ＝BC ∴S △GCM ＝S △ABC ∴S 3＝S △ABC 同理：S 1＝S △ABC S 2＝S △ABC∴S 1＝S 2＝S 3＝S △ABC ∵S ABC ＝5 ∴S 1+S 2+S 3＝15 （4）如图3，连AC由（3）可知，S △DFM ＝S △ADC S △IBH ＝S △ABC∴S △DFM +S △IBH ＝S △ADC +S △ABC ＝S 四边形ABCD 同理：S △AEG +S △CNK ＝S 四边形ABCD∴S △AEG +S △CNK +S △IBH +S △DFM ＝2S 四边形ABCD ∵S △AEG +S △CNK +S △IBH +S △DFM ＝α ∴2S 四边形ABCD ＝α∴四边形ABCD 的面积为故答案为：12．（1）解：如图1中，∵DE ∥BC ， ∴∠D +∠DBC ＝180°，∵∠D：∠DBC＝2：1，∴∠D＝2∠DBC，∴2∠DBC+∠DBC＝180°，即∠DBC＝60°，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝30°，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠1＝30°．（2）解：如图2中，∵AD∥CB，∴∠FCB＝∠F，∵∠AGC是△AGF的外角，∴∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F，又∵∠ACG＝∠AGC，∠ACB＝∠ECB+∠ACG，＝∠F+2∠F＝3∠F＝3∠ECB，∴∠ECB＝∠ACB．13．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABE＝∠ADC＝∠ADF＝90°，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF；（2）AM⊥EF，AM＝EF，理由是：由（1）得：△ABE≌△ADF，∴∠F AD＝∠EAB，∴∠F AE＝∠DAB＝90°，∴△F AE是直角三角形，如图，过E作EN∥CD，交BD于N，∴∠MNE＝∠MDF，∠MEN＝∠MFD，∵四边形ABCD为正方形，∴∠NBE＝45°，∴△NBE是等腰直角三角形，∴EN＝BE＝DF，在△MNE和△MDF中，∵，∴△MNE≌△MDF（ASA），∴EM＝FM，∵AE＝AF，∴AM⊥EF，AM＝EF．14．解：（1）结论：AM⊥BN．理由：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN＝90°，∵BM＝CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN，∵∠CBN+∠ABN＝90°，∴∠ABN+∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，∴AM⊥BN．（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB＝90°，作EF⊥P A 于F，作EG⊥PB于G，连接EP．∵∠EFP＝∠FPG＝∠G＝90°，∴四边形EFPG是矩形，∴∠FEG＝∠AEB＝90°，∴∠AEF＝∠BEG，∵EA＝EB，∠EF A＝∠G＝90°，∴△AEF≌△BEG，∴EF＝EG，AF＝BG，∴四边形EFPG是正方形，∴P A+PB＝PF+AF+PG﹣BG＝2PF＝2EF，∵EF≤AE，∴EF的最大值＝AE＝2，∴△APB周长的最大值＝4+4．15．（1）证明：∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴DE∥CF，DF∥EC，DE＝BC，DF＝AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵AC＝BC，∴DE＝DF，∴四边形DECF是菱形．（2）∵CG∥EF，EG∥CF，∴四边形EFCG是平行四边形，△ADG面积相等的平行四边形有：四边形DECF，四边形DEFB，四边形EFCG，四边形ADFE．16．解：（1）∵AC＝AP，AC＝4，∴AP＝．AD＝CD＝4＝AP×CD∴S△ACP＝××4＝7；（2）在CF上截取FN＝NG，连接BG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝CD，∠CBF＝∠CDP＝∠BCF+∠FCD＝90°，又∵CF⊥CP，∴∠DCP+∠FCD＝90°，∴∠BCF＝∠BCD，在△BCF和△DCP中，，∴△BCF≌△DCP，∴CF＝CP，∵BC＝MC，BM⊥CF，∴∠BCF＝∠ACF＝∠BCA＝22.5°，∴∠CFB＝67.5°，∵FC⊥BM，FN＝NG∴BF＝BG∴∠FBG＝45°，∠FBN＝22.5°∴∠CBG＝45°，在△BCG和△BAN中，，∴△BCG≌△ABM，∴BM＝CG，∴CF﹣CG＝FG，∵BF＝BG，BM⊥CF，∴FN＝NG，∴CP﹣BM＝2FN．。