程序框图 案例

算法案例(一)辗转相除法与更相减损术1.短除法求两个正整数的最大公约数的步骤:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所有的商是两个互质的数为止,然后把所有的处暑连乘起来.2.穷举法(也叫枚举法)穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤:从两个较小的数开始由大到小列举,直到找到公约数立即中断列举,得到的公约数便是最大公约数.3.辗转相除法(1)辗转相除法:该算法又称欧几里得算法,就是对于给定的两个正整数,用较大的数除以较小的数,若余数不为零,则将余数和较小的数构成一对新数,继续上面的除法,直到余数为零,此时处暑就是所求两正整数的最大公约数.(2)算法步骤:以求正整数nm,的最大公约数为例.第一步,输入两个正整数nm,.第二步,判断nm,的大小,让m表示较大的数,n表示较小的数.第三步,计算m除以n的余数.第四步,让r=,.m=nn第五步,如果0r,则n=m,的最大公约数等于m;否则返回第三步.(3)程序：INPUT “m=”;mINPUT “n=”;nIF m>n THENx=mm=nn=xEND IFr=m MOD nWHILE r<>0r=m MOD nm=nn=rWENDPRINT nEND(4)程序1为:INPUT “m,n=”;m,n IF m<n THENt=mm=nn=tEND IFDOr=m MOD nm=nn=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND 程序2为:INPUT “m,n=”;m,n IF m<n THENt=mm=nn=tEND IFr=1WHILE r<>0r=m MOD nm=nn=rWENDPRINT mEND4.更项减损术(1)更项减损术:我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术.《九章算术》是中国古代的数学专著,其中的“更相减损术”也可以来用来求两个数的最大公约数,即“可半者半之,不可半者,副置分母、子子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之.”(2)算法步骤:第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数,若是,用2约简之;若不是,执行第二步.第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减去小数,继续这个操作,直到所得的数相等为止.则这个数(等数)或这个数与约简数的乘积就是所求的最大公约数.(3)程序框图为:略(4)程序为:INPUT “m,n=”;m,nIF m<n THENt=mm=nn=tEND IFk=0WHILE (m MOD 2=0) AND (n MOD 2=0) m=m/2n=n/2k=k+1WENDd=m-nWHILE d<>nIF d>n THENm=dELSEm=nn=dEND IFd=m-nWENDd=2^k*dPRINT dEND(二)秦九韶算法1.怎么求多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值?一个自然的做法是把5代入多项式)(x f ,急速各项的值,然后把它们加起来,这时,我们一共做了1054321=++++次乘法运算,5次加法运算.另一种算法是先计算2x 的值,然后计算x x x x x x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅))((,)(,222的值,这样每次都可以利用上一次计算的结构,这时,我们一共做了4次乘法运算,5次加法运算.第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算此时减少了,因而能够提高运算效率,对于计算机来说,做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多,所以采用第二种算法,计算机能更快地得到结果.2.求多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 的值时,常用秦九韶算法,这种算法的运算次数较少,是多项式求值比较先进的算法,其实质是转化为求n 个一次多项式的值,共进行n 次乘法运算和n 次加法运算.3.秦九韶算法(1)改写多项式:0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 0122101231201211))))((())(()(a x a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a n n n n n n n x n n n ++++++==+++++=++++=--------设11-+=n n a x a v ,212-+=n a x v v ,,323-+=n a x v v ,01a x v v n n +=-.(2)算法步骤:第一步,输入多项式次数n ,最高次项的系数n a 和x 的值.第二步,1,-==n i a v n .第三步,输入i 次项的系数i a .第四步,1,-=+=i i a vx v i .第五步,判断i 是否大于等于0,若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值v .(3)程序框图为:略(4)程序为:INPUT “n=”;nINPUT “an=”;a INPUT “x=”;xv=ai=n-1WHILE i>=0PRINT “i=”;i INPUT “ai=”;a v=v*x+ai=i-1WENDPRINT vEND(三)进位制算法1.定义:人们为了计数和运算方面而约定的计数系统,“满k 进一”就是k 进制,k 是基数(其中k 是大于1的整数).k 进制的数可以表示为一串数字连写在一起的形式.),,,0,0(01)(011k a a a k a a a a a a n n k n n <≤<<--2.在日常生活中,我们最熟悉、最常用的是十进制.除此之外还有二进制,七进制,八进制,十二进制,十六进制,六十进制等.3.非十进制的k 进制数a (共有n 位)化为十进制数b 的计算公式为:0111)(011a k a k a k a a a a a n n n n k n n ++++=---(1)算法步骤:第一步,输入n k a ,,的值.第二步,1,0==i b .第三步,1,1+=+=-i i k a b b i i .第四步,判断n i >是否成立,若是,则执行第五步;否则,返回第三步.第五步,输出b 的值.(2)程序框图为:略(3)程序为:INPUT “a,k,n=”;a,k,nb=0i=1t=a MOD 10DOb=b+t*k^(i-1)a=a\10t= a MOD 10i=i+1LOOP UNTIL i>nPRINT bEND4.十进制数a 转化为非十进制的k 进制数b 的方法(1)算法步骤:第一步,输入k a ,的值.第二步,求出a 除以k 所得的商q ,余数r .第三步,若0≠q ,则q a =,返回第二步;否则执行第四步.第四步,将依次得到的余数从右到左排列,得到k 进制数.(2)程序框图为:略(3)程序为:INPUT “a,k=”;a,nb=0i=0DOq=a\kr=a MOD kb=b+r*10^ii=i+1LOOP UNTIL q=0PRINT bEND三、典例剖析(一)辗转相除法与更项减损术例1 分别用辗转相除法和更相减损术求204与85的最大公约数.解: (1)辗转相除法第一步,34852204+⨯=第二步,1734285+⨯=第三步,17234⨯=因此,17是204与85的最大公约数.(2)更相减损术第一步,11985204=-,3485119=-第二步,513485=-,173451=-第三步,171734=-因此,17是204与85的最大公约数.点评: 更相减损术与辗转相除法的比较:尽管两种算法分别来源于东西方古代数学专著,但是二者的算理却是相似的,右异曲同工之妙.主要区别在于辗转相除法进行的是出发运算,即辗转相除;而更相减损术进行的是减法运算,即辗转相减,但是实质都是一个不断的递归过程.例2 请用辗转相除法和更相减损术求1734和816的最大公约数.解：(1)辗转相除法第一步,10281621734+⨯=第二步,1028816⨯=因此,102是1734和816的最大公约数.(2)更相减损术第一步,因为两个数皆为偶数,首先除以2得到408,867,在求这两个数的最大公约数第二步,459408867=-,51408459=-第三步,35751408=-,30651357=-第四步,25551306=-,20451255=-第五步,15351204=-,10251153=-第六步,5151102=- 因此,102251=⨯是1734和816的最大公约数.例3 用辗转相除法和更相减损术求三个数135,234,324的最大公约数. 解：(1)辗转相除法812431324+⨯=,813243⨯=则324与243的最大公约数为81又54811135+⨯=,2754181+⨯=,27254⨯=则81与135的最大公约数为27因此,三个数135,234,324的最大公约数为27.(2)更相减损术81243324=-,16281243=-,8181162=-则324与243的最大公约数为81又5481135=-,275481=-,272754=-则81与135的最大公约数为27因此,三个数135,234,324的最大公约数为27.练习: 1.用辗转相除法求123和48的最大公约数.(答案:3)2.用更相减损术求80和36的最大公约数.(答案:4)3.求116,377,319的最大公约数.(答案:29)(二)秦九韶算法例1 已知n 次多项式n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)( ,如果在一种算法中,计算),,4,3,2(0n k x k =的值需要1-k 次乘法,计算)(03x P 的值共需要9次运算(6次乘法3次加法),那么计算)(010x P 的值需要_________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法:00)(a x P =,)1,,2,1,0()()(11-=+=++n k a x xP x P k k k .利用该算法,计算)(03x P 的值共需要6次运算,计算)(010x P 的值共需要_____次运算.答案: 20,65点评: 秦九韶算法使用一般的多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达2)1(+n n ,加法最多n 次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n 次,加法最多n 次. 例2 已知一个5次多项式为8.07.16.25.325)(2345-+-++=x x x x x x f ,用秦九韶算法求这个多项式当5=x 时的值.解: 根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:8.0)7.1)6.2)5.3)25(((()(-+-++=x x x x x x f按照从内到外的顺序,一次计算一次多项式当5=x 时的值:50=v ,272551=+⨯=v ,5.1385.35272=+⨯=v , 9.6896.255.1383=-⨯=v ,2.34517.159.6894=+⨯=v 2.172558.052.34515=-⨯=v所以,当5=x 时,多项式的值为2.17255点评: 如果多项式函数中又缺项的画,要以系数为0的项补齐后再计算.练习: 1.已知多项式函数763452)(2345+-+--=x x x x x x f ,求)5(f .2.当2=x 时,用秦九韶算法求多项式6125383)(2345-++-+=x x x x x x f 的值.3.用秦九韶算法求多项式x x x x x x x x f ++++++=224567234567)(当3=x 时的值.答案: 1.2677; 2.238; 3.21324例3 某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的%6,并且每年新增汽车3万辆.设计算法,计算经过多少年可使汽车保有量达到40万辆.将此算法用程序语言给出.解：设94.0%61=-=c ,经过几年的汽车保有量为n a ,则300==b a301+=c a a3)3(3012++=+=c c a c a a3)3)3((3023+++=+=c c c a c a a3)3)3)3(((0+++++=c c c c a a n上述各式充分说明了秦九韶算法的优点:可以通过递推关系31+=-c a a n n 进行迭代处理.程序为:C=0.94A=30n=0WHILE A<40A=A*C+3n=n+1WENDPRINT nEND(三)进位制算法例1 (1)二进制数)2(101用十进制表示是( )A.7B.6C.5D.4(2)十进制数8用二进制表示是( )A.1000B.1001C.1010D.1100答案: (1) C (2) A例 2 (1)一斤半的东西,用现在的10两制(即10两等于1斤)计是15两,若按过去的16两制(即16两等于1斤)计是_______两.(2)现在最常用的十进制是逢十进一,而用角度制度量角时,却是是逢六十进一.在角度制中,2度12分等于________分.答案: (1) 24 (2) 132例3 (1)把二进制数)2(110011化为十进制数.(2)把89转化为二进制数.解: (1)51212120202121110011012345)2(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(2)144289+⨯= 022244+⨯= 011222+⨯=15211+⨯= 1225+⨯= 0122+⨯=1021+⨯=所以)2(101100189=例4 (1)将八进制数)8(314706化为十进制数,并编写出一个实现算法的程序.(2)把十进制数89化为三进制数,并写出程序语句.解：(1)104902868087848183314706012345)8(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 程序略(可参加把k 进制数转化为十进制数的一般方法)(2)229389+⨯= 29329+⨯= 0339+⨯=0133+⨯= 1031+⨯=所以)3(1002289=程序略(可参加把十进制数转化为k 进制数的一般方法)练习: 1.将十进制数34转化为二进制数.2.把)5(1234分别转化为十进制数和八进制数.3.完成下列进位制的转换(1)=)10(105_________=)2(_________=)6(__________)8((2)=)2(10110________=)10(_________=)4(_________)16(答案: 1.)2(10001034=; 2.)8()10()5(3021941234==;3.)8()6()2()10(1512531101001105=== )16()4()10()2(161122210110===。