2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第3章 3.1 双曲线及其标准方程 Word版含答案
2019-2020学年高中数学北师大版选修2-1同步配套教学案：第三章 3.2 抛物线
_物_线2．1 抛物线及其标准方程[对应学生用书P49]如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：曲线上点D到直线EF的距离是什么？提示：线段DA的长．问题2：曲线上点D到定点C的距离是什么？提示：线段DC的长．问题3：曲线上的点到直线EF和定点C之间的距离有何关系？提示：相等．抛物线的定义已知某定点和定直线l(定点不在定直线l上)，且定点到l的距离为6，曲线上的点到定点距离与到定直线l 的距离相等．在推导曲线的方程的过程中，由建系的不同，有以下点和直线．A(3,0)，B(－3,0)，C(0,3)，D(0，－3)；l1：x＝－3，l2：x＝3，l3：y＝－3，l4：y＝3.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？并指出曲线开口方向．提示：y 2＝12x . 向右．问题2：到定点B 和定直线l 2距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：y 2＝－12x . 向左．问题3：到定点C 和定直线l 3距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：x 2＝12y . 向上．问题4：到定点D 和定直线l 4距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：x 2＝－12y . 向下．抛物线的标准方程1．平面内与一定点F 和一定直线l 距离相等的点的集合是抛物线，定点F 不在定直线上，否则点的轨迹是过点F 垂直于直线l 的直线．2．抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上．[对应学生用书P50][例1] (1)y ＝14x 2；(2)x ＝ay 2(a ≠0)．[思路点拨] 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出p .再写出焦点坐标和准线方程． [精解详析] (1)抛物线y ＝14x 2的标准形式为x 2＝4y ，∴p ＝2，∴焦点坐标是(0,1)，准线方程是y ＝－1.抛物线开口向上． (2)抛物线方程的标准形式为y 2＝1ax ，∴2p ＝1|a|.①当a >0时，p 2＝14a，抛物线开口向右，∴焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程是x ＝－14a ；②当a <0时，p 2＝－14a，抛物线开口向左，∴焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程是x ＝－14a .综合上述，当a ≠0时，抛物线x ＝ay 2的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a .a >0时，开口向右；a <0时，开口向左．[一点通]1．先将抛物线方程化成标准形式，再判断开口方向、焦点位置，准确地求出p 值．2．抛物线y 2＝2ax (a ≠0)的焦点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，准线x ＝－a2，不必讨论a 的正负．1．抛物线x 2＝8y 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(4,0)D ．(－4,0)解析：由抛物线的方程为x 2＝8y 知，抛物线的焦点在y 轴上，所以2p ＝8，p2＝2，所以焦点坐标为(0,2)，故选A.答案：A2．(北京高考)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．解析：因为抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p2，抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，所以p ＝2，准线方程为x ＝－1.答案：2 x ＝－1[例2] (1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上；(3)已知抛物线焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为3.[思路点拨] 确定p 的值和抛物线的开口方向，写出标准方程．[精解详析] (1)设所求的抛物线方程为y 2＝－2p 1x (p 1>0)或x 2＝2p 2y (p 2>0)，∵过点(－3,2)， ∴4＝－2p 1(－3)或9＝2p 2·2. ∴p 1＝23或p 2＝94.故所求的抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)令x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线方程y 2＝16x ； 当焦点为(0，－2)时，p2＝|－2|，∴p ＝4，此时抛物线方程为x 2＝－8y . 故所求的抛物线的方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .(3)由题意知，抛物线标准方程为x 2＝2py (p >0)或x 2＝－2py (p >0)且p ＝3，∴抛物线标准方程为x 2＝6y 或x 2＝－6y .[一点通]求抛物线标准方程的方法有：(1)定义法，求出焦点到准线的距离p ，写出方程．(2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)．3．(陕西高考)设拋物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则拋物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x解析：由准线方程x ＝－2，可知拋物线为焦点在x 轴正半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为y 2＝2px ＝8x .答案：B4．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上一点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程是________．解析：因为点(－5,25)在第二象限，且以原点为顶点，x 轴为对称轴，故抛物线开口向左，设其方程为y 2＝－2px ，把(－5,25)代入得p ＝2，故所求方程为y 2＝－4x .答案：y 2＝－4x5．已知焦点在x 轴上，且抛物线上横坐标为3的点A 到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程． 解：由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，其准线为x ＝－p2.∵A 到焦点的距离为5，∴A 到准线的距离也是5，即3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝5，解得p ＝4.故所求的抛物线标准方程为y 2＝8x .[例3]某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽3 m ，车与箱共高4m ，此车能否通过此隧道？请说明理由．[思路点拨] 可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方程，然后比较当车辆从正中通过时，1.5 m 处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断．[精解详析] 建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，当x ＝3时，y ＝－3，即点(3，－3)在抛物线上． 代入得2p ＝3，故抛物线方程为x 2＝－3y . 已知集装箱的宽为3 m ，当x ＝32时，y ＝－34，而桥高为5 m ，所以5－34＝414>4.故卡车可通过此隧道． [一点通]1．本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．2．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得方程的形式更为简单，便于计算．6．某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶6 m 时，水面宽10 m ，抛物线的方程可能是( ) A ．x 2＝－256yB ．x 2＝－2512yC ．x 2＝－365yD ．x 2＝－2524y解析：建立直角坐标系如图，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则P (5，－6)在抛物线上．∴25＝－2p (－6)，∴p ＝2512.∴抛物线方程为x 2＝－256y .答案：A7．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．解：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．依题意知，点P (10，－4)在抛物线上， ∴100＝－2p ×(－4)，2p ＝25. 即抛物线方程为x 2＝－25y . ∵每4米需用一根支柱支撑， ∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.由图知，AB 是最长的支柱之一，点B 的坐标为(2，y B )，代入x 2＝－25y ，得y B ＝－425.∴|AB |＝4－425＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．1．确定抛物线的标准方程，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0)．2．求抛物线标准方程的方法：特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，要分类讨论．错误!1．抛物线y ＝－18x 2的焦点坐标是( )A ．(0，－4)B ．(0，－2)C ．(－12，0)D ．(－132，0)解析：抛物线方程可化成x 2＝－8y ，所以焦点坐标为(0，－2)，故选B. 答案：B2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．4B ．2C ．6D ．8解析：∵a 2＝6，b 2＝2， ∴c 2＝a 2－b 2＝4，c ＝2.椭圆的右焦点为(2,0)，∴p2＝2，p ＝4.答案：A3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8解析：由y ＝ax 2，得x 2＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18.答案：B4．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：设动圆的半径为r ，圆心O ′(x ，y )，且O ′到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y 2＝8x .答案：A5．抛物线y 2＝2px 过点M (2,2)，则点M 到抛物线准线的距离为________．解析：因为y 2＝2px 过点M (2,2)，于是p ＝1，所以点M 到抛物线准线的距离为2＋p 2＝52.答案：526．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于________．解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，故焦点F 到抛物线准线的距离等于4.答案：47．由条件解下列各题的标准方程及准线方程．(1)求焦点在直线2x －y ＋5＝0上的抛物线的标准方程及其准线方程． (2)已知抛物线方程为2x 2＋5y ＝0，求其焦点和准线方程． (3)已知抛物线方程为y ＝mx 2(m ≠0)，求其焦点坐标及准线方程．解：(1)直线2x －y ＋5＝0与坐标轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0，(0,5)，以此两点为焦点的抛物线方程分别为y 2＝－10x ，x 2＝20y .其对应准线方程分别是x ＝52，y ＝－5.(2)抛物线方程即为x 2＝－52y ，焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程：y ＝58.(3)抛物线方程即为x 2＝1m y (m ≠0)，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m ，准线方程y ＝－14m .8.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线方程；(2)过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是，4＋p2＝5，p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又F (1,0)，所以k AF ＝43.因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34.则F A 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y ＝－34x ＋2.解方程组错误!得错误!所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.2.2 抛物线的简单性质[对应学生用书P52]太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个．问题2：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？提示：椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点．问题3：抛物线有对称中心吗？提示：没有．问题4：抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？提示：有；1条．抛物线的简单性质1．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； 2．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； 3．抛物线的离心率是确定的，e ＝1；4．抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为p2.[对应学生用书P53][1]已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．[思路点拨] 因为圆和抛物线都关于x 轴对称，所以它们的交点也关于x 轴对称，即公共弦被x 轴垂直平分，于是由弦长等于23，可知交点纵坐标为±3.[精解详析]如图，设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)， 则|y 1|＋|y 2|＝23， 即y 1－y 2＝23.由对称性知y 2＝－y 1，∴y 1＝3.将y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1， ∴点(1，3)，(－1，3)分别在抛物线y 2＝2px ，y 2＝－2px 上．∴3＝2p 或3＝(－2p )×(－1)，p ＝32.故所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x . [一点通]由抛物线的性质求抛物线的标准方程时，关键是确定抛物线的焦点位置，并结合其性质求解p 的值，其主要步骤为：1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6y解析：由顶点与焦点的距离等于3，所以p2＝3，p ＝6.又因为对称轴是y 轴，所以抛物线标准方程为x 2＝±12y .答案：C2．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( ) A ．y 2＝36x B ．y 2＝－36xC ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x解析：当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，如图所示，∵△OAB 为等边三角形，且边长为1.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12.设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， ∴14＝2p ·32，∴p ＝312， ∴抛物线方程为y 2＝36x ，同理，当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，方程为y 2＝－36x .答案：C3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边所在的直线方程是y ＝2x ，求此抛物线的方程．解：由题意得另一直角边所在的直线方程是y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2px ，y ＝2x得三角形的一顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2px ，y ＝－12x 得三角形的另一个顶点为(8p ，－4p )，由已知，得⎝⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋(－4p －p )2＝(213)2.解得p ＝45.故所求抛物线的方程为y 2＝85x .[例2] 若动点M[思路点拨] “点M 与点F 的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1”，就是“点M 与点F 的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离”，由此可知点M 的轨迹是以F 为焦点，直线x ＋4＝0为准线的抛物线．[精解详析] 如图，设点M 的坐标为(x ，y )．由已知条件可知，点M 与点F 的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离．根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以F (4,0)为焦点的抛物线，且p2＝4，即p ＝8.因为焦点在x 轴的正半轴上，所以点M 的轨迹方程为：y 2＝16x . [一点通]由于抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，所以常把抛物线上点到焦点距离转化为到准线距离处理．即：若p (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px 上任意一点，则p 到焦点F 的距离为|PF |＝x 0＋p2(称为焦半径)．4．平面上点P 到定点(0，－1)的距离比它到y ＝2的距离小1，则点P 轨迹方程为________．解析：由题意，即点P 到(0，－1)距离与它到y ＝1距离相等，即点P 是以(0，－1)为焦点的抛物线，方程为x 2＝－4y .答案：x 2＝－4y5．已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点坐标．解：将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，由图可知，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，设P (x 0，y 0)，则y 0＝2， ∴x 0＝2.故P 点坐标为(2,2)．[例3] 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，直线l 过抛物线焦点F ⎝ ⎭⎪p 2，0与抛物线交于A ，B 两点．求证：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．[思路点拨] 解答本题可设出A ，B 两点坐标，并用A ，B 的坐标表示圆心坐标，然后证明圆心到准线的距离为圆的半径．[精解详析] 设直线l 与抛物线两交点A ，B 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则中点M ⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22，y1＋y22. 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p .设圆心M 到准线x ＝－p2的距离为d ，则d ＝x1＋x22＋p 2＝x1＋x2＋p 2，∴d ＝|AB|2，即圆心到准线x ＝－p2的距离等于圆的半径．∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． [一点通]1．涉及抛物线的焦半径、焦点弦长问题可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．2．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，则①|AB |＝x 1＋x 2＋p ，②x 1·x 2＝p24，y 1y 2＝－p 2.6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |的值为( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：∵y 2＝4x ，∴2p ＝4，p ＝2. ∴由抛物线定义知： |AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝ x 1＋x 2＋2＝6＋2＝8. 答案：B 7．(江西高考)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶5B ．1∶2C ．1∶5D ．1∶3解析：如图，直线MF 的方程为x2＋y1＝1，即x ＋2y －2＝0.设直线MF 的倾斜角为α，则tan α＝－12.由抛物线的定义得|MF |＝|MQ |.所以|MF||MN|＝|MQ||MN|＝sin α＝15.答案：C1．抛物线y 2＝2px 上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离(焦半径)：|PF |＝x 0＋p2.2．若过抛物线y 2＝2px 的焦点的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝x 1＋x 2＋p (焦点弦公式)．当AB ⊥x 轴时，AB 为通径且|AB |＝2p .3．解决与焦点弦有关的问题：一是注意运用焦点弦所在直线方程和抛物线方程联立方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦、焦半径公式的应用，注意整体思想的运用．错误!1．设抛物线的顶点在原点，焦点F 在y 轴上，抛物线上的点(k ，－2)与F 的距离为4，则k 的值为( ) A ．4 B ．－2 C ．4或－4D ．2或－2解析：由题意知抛物线方程可设为x 2＝－2py (p ＞0)，则p2＋2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y ，将(k ，－2)代入得k ＝±4. 答案：C2．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B ．1 C.54D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54.答案：C 3．(新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上的一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．22C ．23D ．4解析：如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF |＝x 0＋2＝42，得x 0＝32，代入抛物线方程得，y 20＝42×32＝24，所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12|OF ||y 0|＝12×2×26＝23.答案：C4．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．43B ．8C ．83D ．16解析：由抛物线的定义得，|PF |＝|P A |，又由直线AF 的斜率为－3，可知∠P AF ＝60°.△P AF 是等边三角形，∴|PF |＝|AF |＝4cos 60°＝8.答案：B5．顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为6的抛物线方程是________．解析：设抛物线的方程为y 2＝2ax ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0.∴|y |＝2a×a 2＝a2＝|a |.由于通径长为6，即2|a |＝6， ∴a ＝±3.∴抛物线方程为y 2＝±6x . 答案：y 2＝±6x6．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．则使抛物线方程为y 2＝10x 的必要条件是________(要求填写合适条件的序号)． 解析：由抛物线方程y 2＝10x ，知它的焦点在x 轴上，所以②适合．又∵它的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，原点O (0,0)，设点P (2,1)，可得k PO ·k PF ＝－1，∴⑤也合适．而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意．∴应填序号为②⑤. 答案：②⑤7．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线方程及|OM |的值．解：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准抛物线方程为x ＝－p2.∵M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离，即 ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 22＋y20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋p 22＝3. 解得：p ＝1，y 0＝±22，∴抛物线方程为y 2＝2x . ∴点M (2，±22)，根据两点间距离公式有：|OM |＝错误!＝2错误!.8．已知y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点． (1)若|AB |＝10，求实数m 的值； (2)若OA ⊥OB ，求实数m 的值．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y2＝8x得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2、y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1·x 2＝m 2，y 1·y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1·x 2＋m 2＝8m . (1)因为|AB |＝1＋k2错误!＝错误!·错误!＝10，所以m ＝错误!.(2)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8，m ＝0(舍去)．故实数m 的值为－8.。
2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第2章 章末分层突破 Word版含答案
章末分层突破①平面间的夹角 ②直线与平面的夹角 ③点到直线的距离 ④点到平面的距离法则、运算律与平面向量基本一致．主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．沿着正四面体O ABC 的三条棱OA →、OB →、OC →的方向有大小等于1、2和3的三个力f 1、f 2、f 3.试求此三个力的合力f 的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值．【精彩点拨】 用向量表示f 1，f 2，f 3，再根据求模与夹角的向量运算公式求解．【自主解答】 如图所示，用a ，b ，c 分别代表棱OA →、OB →、OC →上的三个单位向量，则f 1＝a ，f 2＝2b ，f 3＝3c则f ＝f 1＋f 2＋f 3＝a ＋2b ＋3c ， ∴|f |2＝(a ＋2b ＋3c )(a ＋2b ＋3c )＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2＋4a·b ＋6a·c ＋12b·c ＝14＋4cos 60°＋6cos 60°＋12cos 60° ＝14＋2＋3＋6＝25.∴|f |＝5，即所求合力的大小为5. 且cos 〈f ，a 〉＝f·a|f|·|a|＝|a|2＋2a·b＋3a·c5＝1＋1＋325＝710，同理可得：cos 〈f ，b 〉＝45，cos 〈f ，c 〉＝910.1．如图21，在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0；②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0；③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0；④SA →·SB →＝SC →·SD →；⑤SA →·SC →＝0，其中正确结论的序号是________．图21【解析】 容易推出：SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.【答案】 ③④大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下．(1)线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则a⊥b⇔a·b＝0.(3)线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量线性表示直线的方向向量．(4)线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(5)面面平行①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(6)面面垂直①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．如图22，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.图22(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.【精彩点拨】(1)可以求出平面BDE的一个法向量，只要证明直线AF的方向向量与面BDE的一个法向量垂直，即数量积为零．也可以证明AF∥平面BDE.(2)可以通过证明直线CF的方向向量与面BDE的法向量共线证明CF⊥平面BDE.【规范解答】因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C xyz ，则C (0,0,0)，A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，E (0，0,1)，F ⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1.(1)设AC 与BD 交于点G ，则点G 为AC 的中点，连接EG ，于是G ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，从而EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，－1，又AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1＝－EG →，所以AF →∥EG →.又AF 与EG 不共线，所以AF ∥EG ， 又AF平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)由于CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1，BE →＝(0，－2，1)，DE →＝(－2，0,1)，所以CF →·BE →＝0－1＋1＝0， CF →·DE →＝－1＋0＋1＝0.所以CF ⊥BE ，CF ⊥DE .所以CF ⊥平面BDE .2．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点，求证：平面AED ⊥平面A 1FD 1.【导学号：32550056】【证明】 如图，建立空间直角坐标系D xyz . 设正方体棱长为1，则E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12， D 1(0,0,1)，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，A (1,0,0)．∴DA →＝(1,0,0)＝D1A1→， DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，D 1F ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，－1.设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面AED 和A 1FD 1的一个法向量，由⎩⎨⎧m·DA →＝0，m·DE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x1＝0，x1＋y1＋12z1＝0.令y 1＝1，得m ＝(0,1，－2)． 又由⎩⎨⎧n·D1A1→＝0，n·D1F →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x2＝0，12y2－z2＝0.令z 2＝1，得n ＝(0,2,1)．∵m·n ＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0， ∴m ⊥n ，故平面AED ⊥平面A 1FD 1.(1)设两异面直线的方向向量分别为n 1、n 2，那么这两条异面直线的夹角为θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉，∴cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|. (2)求面面的夹角如图24，设平面α、β的法向量分别为n 1、n 2.因为两平面的法向量的夹角(或其补角)就等于平面α、β的夹角θ，所以cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.图24(3)求斜线与平面的夹角如图25，设平面α的法向量为n 1，斜线OA 的方向向量为n 2，斜线OA 与平面的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.图25如图26所示四棱锥P ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝2，点M ，N 分别在棱PD ，PC 上，且PC ⊥平面AMN .图26(1)求AM 与PD 所成的角； (2)求二面角P AM N 的余弦值；(3)求直线CD 与平面AMN 所成角的余弦值．【精彩点拨】 易观察知PA 、AB 、AD 两两垂直，以A 为原点建立直角坐标系，用向量法求解．【规范解答】 建立如图所示的空间直角坐标系． ∵A (0,0,0)，C (2,2,0)，P (0,0,2)，D (0,2,0)，B (2,0,0)， ∴PC →＝(2,2，－2)， PD →＝(0,2，－2)．设M (x 1，y 1，z 1)，∴PM →＝λPD →， ∴(x 1，y 1，z 1－2)＝λ(0,2，－2)， ∴x 1＝0，y 1＝2λ，z 1＝－2λ＋2， ∴M (0,2λ，2－2λ)． ∵PC ⊥平面AMN ，∴PC →⊥AM →， ∴PC →·AM →＝0，∴(2,2，－2)·(0,2λ，2－2λ)＝0⇒4λ－2(2－2λ)＝0，∴λ＝12，∴M (0,1,1)．设N (x 2，y 2，z 2)，∵PN →＝t PC →，∴(x 2，y 2，z 2－2)＝t (2,2，－2)， ∴x 2＝2t ，y 2＝2t ，z 2＝－2t ＋2，∴N (2t,2t,2－2t )． ∵PC →⊥AN →，∴AN →·PC →＝0，∴(2t,2t,2－2t )·(2,2，－2)＝0，∴4t ＋4t －2(2－2t )＝0，∴t ＝13，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，43.(1)∵cos 〈AM →，PD →〉＝，1，，2，－0＋1＋1×0＋4＋4＝0，∴AM 与PD 所成角为90°.(2)∵AB ⊥平面PAD ，PC ⊥平面AMN ，∴AB →，PC →分别是平面PAD ，平面AMN 的法向量， ∴二面角P AM N 的余弦值 cos θ ＝AB →·PC →|AB →||PC →|＝33.(3)直线CD 的方向向量DC →＝AB →＝(2,0,0)， 平面AMN 的法向量PC →＝(2,2，－2)， ∴直线CD 与平面AMN 所成角的正弦值 sin φ＝⎪⎪⎪⎪cos 〈DC →，PC →〉＝33.∴直线CD 与平面AMN 所成角的余弦值为63.3．如图27，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是CE 与AD 的交点，AC ⊥BC ，且AC ＝BC . (1)求证：AM ⊥平面EBC ； (2)求直线AB 与平面EBC 的夹角； (3)求平面EAB 与平面EBC 的夹角．图27【解】 (1)证明：∵四边形ACDE 是正方形， ∴EA ⊥AC ，∵平面ACDE ⊥平面ABC ， ∴EA ⊥平面ABC .∴可以以点A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为x 轴，分别以AC 和AE 所在直线为y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系A xyz .设EA ＝AC ＝BC ＝2，则A (0,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,0,2)． ∵M 是正方形ACDE 的对角线的交点， ∴M (0,1,1)．∵AM →＝(0,1,1)，EC →＝(0,2，－2)，CB →＝(2,0,0)， ∴AM →·EC →＝0，AM →·CB →＝0. ∴AM ⊥EC ，AM ⊥CB . 又∵EC ∩CB ＝C ，AM 平面EBC ，∴AM ⊥平面EBC . (2)∵AM ⊥平面EBC ，∴AM →为平面EBC 的一个法向量． ∵AM →＝(0,1,1)，AB →＝(2,2,0)， ∴cos 〈AB →，AM →〉＝AB →·AM →|AB →|·|AM →|＝12.∴〈AB →，AM →〉＝60°.∴直线AB 与平面EBC 的夹角为30°. (3)设平面EAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ⊥AE →，且n ⊥AB →，∴n ·AE →＝0且n ·AB →＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧，0，，y ，＝0，，2，，y ，＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，x ＋y ＝0.取y ＝－1，∴x ＝1.∴n ＝(1，－1,0)．又∵AM →为平面EBC 的一个法向量，且AM →＝(0,1,1)， ∴cos 〈n ，AM →〉＝n·AM →|n|·|AM →|＝－12.设平面EAB 与平面EBC 的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n ，AM →〉|＝12，∴θ＝60°.∴平面EAB 与平面EBC 的夹角60°.(1)数形结合：利用向量法求空间距离时，一定要注意结合图形分析，再利用向量求解．(2)向量式的共同点：空间两几何元素(点、直线、平面)之间的距离，除两点间距离及点线距外都具有相同的表达形式．设平面的法向量为n (求异面直线间的距离时，取与两异面直线都垂直的向量为n )，求距离的两几何图形上各取一点A ，B ，则距离d ＝|AB →·n||n|.(3)坐标方法：利用数及其运算来解决问题． 坐标方法经常与向量运算结合．图28如图28，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，CA ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2. (1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； (3)求点E 到平面ACD 的距离．【精彩点拨】 证明AO ⊥平面BCD ，可以利用题中的已知条件证明AO 与平面BCD 内的两条相交直线垂直．(2)、(3)可以建立空间直角坐标系，利用向量法求解．(2)也可以不建系，利用异面直线所成角的定义作出异面直线所成的角，(3)也可以利用等积变换法求解．【自主解答】 (1)如图，连接OC . ∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD . ∵BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD .在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3，而AC ＝2， ∴AO 2＋CO 2＝AC 2.∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC . ∵BD ∩OC ＝O ，∴AO ⊥平面BCD .(2)以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,0,0)，C (0，3，0)，A (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，BA →＝(－1,0,1)，CD →＝(－1，－3，0)．∴cos 〈BA →，CD →〉＝BA →·CD →|BA →||CD →|＝24.∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦为24. (3)设平面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n·AD →＝，y ，－1，0，－＝0，n·AC →＝，y ，，3，－＝0，∴⎩⎨⎧x ＋z ＝0，3y －z ＝0.令y ＝1，得n ＝(－3，1，3)是平面ACD 的一个法向量． 又EC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，0，∴点E 到平面ACD 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EC →·n |n|＝37＝217.4．如图29，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1B 1，CD 的中点，求点B到截面AEC 1F 的距离．图29【解】 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，1，B (1,1,0)． ∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1， AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，0.设平面AEC 1F 的一个法向量为n ＝(1，λ，μ)，则n ·AE →＝0，n ·AF →＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝0－1＋12λ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝－1，∴n ＝(1,2，－1)．又∵AB →＝(0,1,0)，∴点B 到截面AEC 1F 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →·n |n|＝26＝63.为有关的向量计算；另一方面，将异面直线间的距离、平行的直线与平面间的距离、平行平面间的距离转化成点到面的距离，这些都是这一思想方法的具体应用．在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中． (1)求证：平面A 1BD ∥平面CB 1D 1； (2)求平面A 1BD 与平面CB 1D 1间的距离．【精彩点拨】 (1)利用面面平行的判定定理证明；(2)先将面面距离等价转化为点面距离后利用向量方法求解．【规范解答】 (1)由于A 1D 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，则有CD 1∥A 1B ，同理可以证明BD ∥B 1D 1，由BD ∩BA 1＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.(2)如图所示建立空间直角坐标系，根据题意，平面A 1BD 与平面CB 1D 1间的距离为其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离，则我们不妨求点B 1到平面A 1BD 的距离，则D (0,0,0)，B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，B 1(a ，a ，a )．因为BB1→＝(0,0，a )，DB →＝(a ，a,0)，DA1→＝(a,0，a )， 设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有：⎩⎨⎧n·DB →＝0n·DA1→＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋ay ＝0ax ＋az ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，所以可取n ＝(1，－1，－1)，则点B 1到平面A 1BD 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BB1→·n |n|＝a 3＝33a ， 即平面A 1BD 与平面CB 1D 1间的距离为33a .5．如图210，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°. (1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若PA ＝AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值； (3)当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长．图210【解】 (1)证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD . 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD . 所以BD ⊥平面PAC . (2)设AC ∩BD ＝O ，因为∠BAD ＝60°，PA ＝AB ＝2，所以BO ＝1，AO ＝CO ＝ 3.如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz ，则P (0，－3，2)，A (0，－3，0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)． 所以PB →＝(1，3，－2)，AC →＝(0，23，0)． 设PB 与AC 所成角为θ，则cos θ＝|PB →·AC →||PB →||AC →|＝622×23＝64.(3)由(2)知BC →＝(－1，3，0)．设P (0，－3，t )(t ＞0)，则BP →＝(－1，－3，t )． 设平面PBC 的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则BC →·m ＝0，BP →·m ＝0.所以⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0.令y ＝3，则x ＝3，z ＝6t .所以m ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，3，6t . 同理，平面PDC 的法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，3，6t .∵平面PBC ⊥平面PDC ，∴m ·n ＝0，即－6＋36t2＝0，解得t ＝ 6.所以PA ＝ 6.1．如图211，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点．求证：MN ∥平面ABCD .【导学号：32550057】图211【证明】 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A (0,0,0)，C (2，0,0)，D (1，－2,0)，B 1(0,1,2)，D 1(1，－2,2)．因为M ，N 分别为B 1C ，D 1D 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N (1，－2,1)． 依题意，可得n ＝(0,0,1)为平面ABCD 的一个法向量，又MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，0，则MN →·n ＝0，又直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .2．如图212所示，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .图212(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．【解】 (1)证明：如图，连结BD ，设BD ∩AC ＝G ，连结EG ，FG ，EF . 在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1.由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3. 由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ，可知AE ＝EC . 又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC . 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝62. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22，可得EF ＝322. 从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG . 又AC ∩FG ＝G ，可得EG ⊥平面AFC .因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC .(2)如图，以G 为坐标原点，分别以GB →，GC →的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB →|为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz .由(1)可得A (0，－3，0)，E (1,0，2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，22，C (0，3，0)，所以AE →＝(1，3，2)，CF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－3，22. 故cos 〈AE →，CF →〉＝AE →·CF →|AE →||CF →|＝－33.所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33. 3．如图213①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图213②.图213(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．【解】 (1)证明：在题图①中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在题图②中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC . 又CD ∥BE ， 所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ， 所以∠A 1OC 为二面角A 1BE C 的平面角， 所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系， 因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，所以B ⎝⎛⎭⎪⎫22，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，得BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，A1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－22，CD →＝BE →＝(－2，0,0)．设平面A 1BC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ，则⎩⎨⎧n1·BC →＝0，n1·A1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x1＋y1＝0，y1－z1＝0，取n 1＝(1,1,1)；⎩⎨⎧n2·CD →＝0，n2·A1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x2＝0，y2－z2＝0，取n 2＝(0,1,1)，从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝23×2＝63， 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为63. 4．如图214，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．【导学号：32550058】图214(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值．【解析】 (1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8. 因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH2－EM2＝6，所以AH ＝10.以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则A (10,0,0)，H (10,10,0)，E (10,4,8)，F (0,4,8)，FE →＝(10,0,0)，HE →＝(0，－6,8)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的法向量，则⎩⎨⎧n·FE →＝0，n·HE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0，所以可取n ＝(0,4,3)．又AF →＝(－10,4,8)，故|cos 〈n ，AF →〉|＝|n·AF →||n||AF →|＝4515.所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4515.图2155．如图215，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B D ′A C 的正弦值．【解】 (1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD ，故AC ∥EF .因为EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB2－AO2＝4. 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD .(2)如图，以H 为坐标原点，HF →的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系H xyz ，则H (0,0,0)，A (－3，－1,0)，B (0，－5,0)，C (3，－1,0)，D ′(0,0,3)．AB →＝(3，－4,0)，AC →＝(6,0,0)，AD′→＝(3,1,3)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量，则⎩⎨⎧ m·AB →＝0，m·AD′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x1－4y1＝0，3x1＋y1＋3z1＝0，所以可取m ＝(4,3，－5)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量，则⎩⎨⎧n·AC →＝0，n·AD′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x2＝0，3x2＋y2＋3z2＝0，所以可取n ＝(0，－3,1)．于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝－1450×10＝－7525.sin 〈m ，n 〉＝29525.因此二面角B D ′A C 的正弦值是29525.。
2019-2020学年高二数学北师大版选修1-2教师用书：第3章 章末分层突破 Word版含答案
章末分层突破①合情推理②间接证明③归纳推理④综合法________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________合情推理1.归纳推理的特点及一般步骤2．类比推理的特点及一般步骤(1)观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，由此可归纳出的式子为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n2<2n －1nD ．1＋122＋132＋…＋1n2<2n 2n ＋1(2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为__________．【精彩点拨】 (1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得． (2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论．【规范解答】 (1)由各式特点，可得1＋122＋132＋…＋1n2<2n －1n.故选C.(2)用两点等分单位圆时，关系为sin α＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π，用三点等分单位圆时，关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3－α＝2π3.依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为2π4＋α＝π2＋α，第三个角为π2＋α＋2π4＝π＋α，第四个角为π＋α＋2π4＝3π2＋α，即其关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0.【答案】 (1)C (2)sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝01．已知函数y ＝sin 4x ＋cos 4x (x ∈R )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则(1)函数y ＝sin 6x ＋cos 6x (x ∈R )的值域是__________；(2)类比上述结论，函数y ＝sin 2nx ＋cos 2nx (n ∈N ＋)的值域是__________．【解析】 (1)y ＝sin 6x ＋cos 6x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 4x －sin 2x cos 2x ＋cos 4x )＝sin 4x －sin 2x cos 2x ＋cos 4x ＝(sin 2 x ＋cos 2 x )2－3sin 2x cos 2x ＝1－34sin 2(2x )＝1－38(1－cos 4x )＝58＋38cos 4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1.(2)由类比可知，y ＝sin 2nx ＋cos 2nx 的值域是．【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 (2)综合法与分析法1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．2．分析法和综合法是两种思路相反的推理方法．分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.试用综合法和分析法分别证明．【精彩点拨】 (1)综合法：根据a ＋b ＝1，分别求1a ＋1b 与1ab 的最小值．(2)分析法：把1ab 变形为a ＋b ab ＝1a ＋1b 求证．【规范解答】 法一：(综合法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.法二：(分析法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， 要证1a ＋1b ＋1ab≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab ≥8， 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8， 即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb≥4.即证b a ＋ab≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时， b a ＋ab ≥2成立，所以原不等式成立．2．(1)已知a ，b ，c 为互不相等的非负数． 求证：a 2＋b 2＋c 2>abc(a ＋b ＋c)． (2)用分析法证明：2cos(α－β)－α－βsin α＝sin βsin α. 【解】 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，又因为a ，b ，c 为互不相等的非负数， 所以上面三个式子中都不能取“＝”， 所以a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ，因为ab ＋bc ≥2ab2c ，bc ＋ac ≥2abc2，ab ＋ac ≥2a2bc ，又a ，b ，c 为互不相等的非负数， 所以ab ＋bc ＋ac >abc(a ＋b ＋c)， 所以a 2＋b 2＋c 2>abc(a ＋b ＋c)． (2)要证原等式成立，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，① 因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α ＝sin β＝右边，所以①成立，即原等式成立.反证法反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论．反证法的思路：反设→归谬→结论．设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列．【精彩点拨】 (1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n 项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论． 【规范解答】 (1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝－1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na1，q ＝1，－1－q ，q≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是f (x )＝0的一个根；(2)试比较1a与c 的大小．【解】 (1)证明：∵f (x )的图像与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2. ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根． 又x 1x 2＝ca ，∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴1a 是f (x )＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ， ∴1a>c .数学归纳法1.关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少．2．关注点二：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．已知正数数列{a n }(n ∈N ＋)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1an，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1.【规范解答】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a1＋1a1，所以a 21＝1(a n >0)，所以a 1＝1，又1－0＝1， 所以n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫ak ＋1＋1ak ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫ak ＋1ak ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫ak ＋1＋1ak ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫ak ＋1＋1ak ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2k a k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k(a n >0)，所以n ＝k ＋1时，结论成立． 由(1)(2)可知，对n ∈N ＋都有a n ＝n －n －1.4．设数列{a n }的前n 项和S n ＝＋2(n ∈N ＋)，a 2＝2.(1)求{a n }的前三项a 1，a 2，a 3； (2)猜想{a n }的通项公式，并证明． 【解】 (1)由S n ＝＋2，得a 1＝1，又由a 2＝2，得a 3＝3.(2)猜想：a n ＝n .证明如下：①当n ＝1时，猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥2)时，猜想成立，即a k ＝k ，那么当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝＋＋1＋2－＋2＝＋＋1＋2－＋2.所以a k＋1＝k2k－1－1k－1＝k＋1，所以当n＝k＋1时，猜想也成立．根据①②知，对任意n∈N＋，都有a n＝n.转化与化归思想转化与化归是数学思想方法的灵魂．在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a，b，c都为整数，已知f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)＝0无整数根．【精彩点拨】假设方程f(x)＝0有整数根k，结合f(0)，f(1)均为奇数推出矛盾．【规范解答】假设方程f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＋c＝0，∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c都为奇数，∴a＋b必为偶数，ak2＋bk为奇数．当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，则ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必为偶数，与ak2＋bk为奇数矛盾；当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak2＋bk为奇数矛盾．综上可知，方程f(x)＝0无整数根．5．用数学归纳法证明：当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除．【证明】设n＝2m－1，m∈N＋，则x n＋y n＝x2m－1＋y2m－1.要证明原命题成立，只需证明x2m－1＋y2m－1能被x＋y整除(m∈N＋)．(1)当m＝1时，x2m－1＋y2m－1＝x＋y能被x＋y整除．(2)假设当m＝k(k∈N＋)时命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，那么当m＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋2－1＋y2k＋2－1＝x2k－1x2－x2k－1y2＋y2k－1y2＋x2k－1y2＝x2k－1(x2－y2)＋y2(x2k－1＋y2k－1)＝x2k－1(x－y)(x＋y)＋y2(x2k－1＋y2k－1)．因为x2k－1(x－y)(x＋y)与y2(x2k－1＋y2k－1)均能被x＋y整除，所以当m＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)知，原命题成立．1．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这106人，则( )A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛【解析】由题意可知1到8号学生进入了立定跳远决赛．由于同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，因此1到8号同学中有且只有6人进入两项决赛，分类讨论如下：(1)当a<60时，a－1<59，此时2号和8号不能入选，即入选的只有1,3,4,5,6,7号；(2)当a＝60时，a－1＝59，此时2号和4号同时入选或同时都不入选，均不符合题意；(3)当a＝61时，a－1＝60，此时8号和4号不能入选，即入选的只有1,2,3,5,6,7号；(4)当a＝62或63时，相应的a－1＝61或62，此时8号和4号不能入选，即入选的只有1,2,3,5,6,7号；(5)当a≥64时，此时a－1≥63，不符合题意．综上可知1,3,5,6,7号学生一定进入30秒跳绳决赛．【答案】 B2．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．【解析】根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理．由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3.【答案】1和33．一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n(n∈N＋)，其中x k(k＝1,2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0，x2⊕x3⊕x6⊕x7＝0，x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．【解析】 因为x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，所以x 2，x 3，x 6，x 7都正确．又因为x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1，故x 1和x 4都错误，或仅x 5错误．因为条件中要求仅在第k 位发生码元错误，故只有x 5错误．【答案】 54．设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明： 【导学号：67720022】(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．【证明】 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a >0，b >0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立． (2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1； 同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾． 故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立． 5．设函数f (x )＝x 3＋11＋x ，x ∈．证明：(1)f (x )≥1－x ＋x 2；(2)34<f (x )≤32.【证明】 (1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－－1－－＝1－x41＋x， 由于x ∈，有1－x41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f (x )≥1－x ＋x 2.(2)由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝－＋＋＋32≤32， 所以f (x )≤32.由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34， 又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924>34，所以f (x )>34.综上，34<f (x )≤32.。
2019-2020学年高二数学北师大版选修1-2教师用书：第3章 3 3.2 分析法 Word版含答案
3.2 分析法1．了解分析法的思维过程、特点．(重点)2．会用分析法证明数学问题．(难点)教材整理分析法阅读教材P61～P63，完成下列问题．1．分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．2．分析法证明的思维过程用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图336表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件图3363．综合法和分析法的综合应用在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，即可证明结论成立．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分析法就是从结论推向已知．( )(2)分析法的推理过程要比综合法优越．( )(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．( )【解析】(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．【答案】(1)×(2)×(3)√预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________应用分析法证明不等式已知a >b >0，求证：－8a<a ＋b2－ab<－28b.【精彩点拨】 本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．【自主解答】 要证－8a<a ＋b 2－ab <－8b， 只需证－8a<a －b 2<－8b.∵a >b >0， ∴同时除以a －b 2，得a ＋b 4a <1<a ＋b 4b，同时开方，得a ＋b 2a<1<a ＋b 2b，只需证a ＋b<2a ，且a ＋b>2b ， 即证b<a ，即证b <a . ∵a >b >0，∴原不等式成立， 即－8a<a ＋b 2－ab<－8b.1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．1．已知a >0，求证：a2＋1a2－2≥a ＋1a－2.【证明】 要证a2＋1a2－2≥a ＋1a－2，只需证a2＋1a2＋2≥a ＋1a ＋2，即证⎝⎛⎭⎪⎫a2＋1a2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a 2＋1a2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋4，只需证2a2＋1a2≥ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a . 只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋1a2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋2＋1a2， 即a 2＋1a2≥2.上述不等式显然成立，故原不等式成立．用分析法证明其他问题求证：以过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦为直径的圆必与直线x ＝－p 2相切．【精彩点拨】【自主解答】 如图所示，过点A ，B 分别作AA ′，BB ′垂直准线于点A ′，B ′，取AB 的中点M ，作MM ′垂直准线于点M ′.要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证|MM ′|＝12|AB |.由抛物线的定义有|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |，所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|，因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y 2＝2px 焦点的弦为直径的圆必与直线x ＝－p2相切．1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．2．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．【证明】 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12.∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．综合法与分析法的综合应用探究1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．探究2 综合法与分析法有什么区别？【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．在某两个正数x ，y 之间，若插入一个数a ，则能使x ，a ，y 成等差数列；若插入两个数b ，c ，则能使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1). 【导学号：67720019】【精彩点拨】 可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来． 【自主解答】 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝x ＋y ，b2＝cx ，c2＝by ，消去x ，y 得2a ＝b2c ＋c2b ，且a >0，b >0，c >0.要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)，只需证a ＋1≥＋＋，因＋＋≤＋＋＋2，只需证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12，即证2a ≥b ＋c . 由于2a ＝b2c ＋c2b ，故只需证b2c ＋c2b≥b ＋c ，只需证b 3＋c 3＝(b ＋c )(b 2＋c 2－bc )≥(b ＋c )bc ， 即证b 2＋c 2－bc ≥bc ，即证(b －c )2≥0.因为上式显然成立，所以(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c .【证明】 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即证c a ＋b ＋a b ＋c＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 只需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2. ∵A ，B ，C 成等差数列， ∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°. ∵c 2＋a 2－b 2＝2ac cos B ， ∴c 2＋a 2－b 2＝ac ， ∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2， ∴1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c成立．1．要证明2＋7>23，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．比较法D ．归纳法【解析】 由分析法和综合法定义可知选B. 【答案】 B2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3【解析】 ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2. 【答案】 C3.3a －3b<3a －b 成立的充要条件是( ) A ．ab (b －a )>0 B ．ab >0且a >b C ．ab <0且a <b D ．ab (b －a )<0【解析】3a －3b<3a －b ⇔(3a －3b)3<(3a －b)3⇔a －b －33a2b ＋33ab2<a －b ⇔3ab2<3a2b⇔ab 2<a 2b ⇔ab (b －a )<0. 【答案】 D4．设a >0，b >0，c >0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．【解析】 因为a ＋b ＋c ＝1，且a >0，b >0，c >0， 所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 【答案】 95．已知a，b，c∈R且不全相等，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.【证明】法一：(分析法)要证a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca，只需证2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，因为a，b，c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因为a，b，c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0成立．所以原不等式a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca成立．法二：(综合法)因为a，b，c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因为a，b，c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，所以(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。
2019-2020高中北师大版数学选修1-1 第3章 §2 2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义
§2导数的概念及其几何意义2．1导数的概念2．2导数的几何意义学习目标：1.理解函数在某点处的导数定义及其几何意义．(重点、难点)2.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义．(难点)1．导数的概念设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为ΔyΔx＝f(x1)－f(x0)x1－x0＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limx1→x0f(x1)－f(x0)x1－x0＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.思考：平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？[提示]平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；当Δx趋于0时，平均变化率ΔyΔx趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．2．导数的几何意义(1)如图所示，设函数y＝f(x)的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l.直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线．(2)导数的几何意义：函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．思考：若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，能否求出过点A的切线方程？[提示]∵f′(1)＝k＝－1，∴切线方程为：y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数在某一点的导数与Δx值的正、负无关．()(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值是Δx＝0时的平均变化率．()(3)若函数y＝f(x)在x＝x0处有导数，则函数y＝f(x)在x＝x0处有唯一的一条切线．()(4)若函数y＝f(x)在x＝x0处导数不存在，则函数y＝f(x)在x＝x0处的切线不存在．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．设函数f(x)的定义域为R，limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx为常数，则它等于()A．f′(1)B．f′(0)C．f′(Δx) D.Δy ΔxA[由定义知它是f(x)在x＝1处的导数．]3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线() A．不存在B．与x轴重合或平行C．与x轴垂直D．与x轴斜交B[f′(x0)＝0，即y＝f(x)在x0处的切线的斜率为0.当f(x0)＝0时，切线与x轴重合；当f(x0)≠0时，切线与x轴平行．]4．已知函数f(x)＝x＋1x，则f′(1)的值为________．[解析]f(x)＝1＋1x(x≠0)，f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0－11＋Δx＝－1.[答案]－1导数的概念及应用【例1】建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝x10＋x10＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．[解]当x从100变为100＋Δx时，函数值y关于x的平均变化率为f(100＋Δx)－f(100)Δx＝100＋Δx＋100＋Δx＋3－(100＋100＋3)10Δx＝110＋110(100＋Δx＋10).当x趋于100时，即Δx趋于0时，平均变化率趋于0.105，即f′(100)＝0.105，f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1 050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1 050元．利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤：(1)求函数的增加量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率：ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx；(3)求f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.1．一质点的运动路程s(单位：m)是关于时间t(单位：s)的函数：s＝－2t＋3，求s′(1)，并解释它的实际意义．[解] Δs Δt ＝－2(1＋Δt )＋3－(－2×1＋3)Δt ＝－2.当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－2， 则s ′(1)＝－2 m/s ，导数s ′(1)表示该质点在t ＝1 s 时的瞬时速度是－2 m/s .利用导数几何意义求切线方程【例2】 已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，求：(1)在点P 处的切线的斜率； (2)在点P 处的切线方程．思路探究：(1)曲线在x ＝2时的导数即为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83处的切线的斜率． (2)根据直线的点斜式方程写出切线方程． [解] (1)由y ＝13x 3，得 Δy ＝13(x ＋Δx )3－13x 3＝13[3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3]， Δy Δx ＝13[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]， 当Δx 无限趋近于0时，13[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]无限趋近于x 2， ∴f ′(x )＝x 2，f ′(2)＝4. ∴点P 处的切线的斜率等于4.(2)在点P 处的切线方程是y －83＝4(x －2)， 即12x －3y －16＝0.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤如下： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).2．求曲线f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．[解]由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．而f′(－2)＝limΔx→0f(－2＋Δx)－f(－2)Δx＝limΔx→02－2＋Δx＋1Δx＝limΔx→01－2＋Δx＝－12，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－12(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.求切点坐标[探究问题]1．抛物线y＝x2在点P处的切线与直线4x－y＋2＝0平行，能否求出P点的坐标？[提示]f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝limΔx→0(x＋Δx)2－x2Δx＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．因为切线与直线4x－y＋2＝0平行，所以2x0＝4，∴x0＝2，y0＝4，故切点P的坐标为(2,4)．2．上述问题中，请求出在点P处的切线方程．[提示]切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.【例3】直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝f(x)＝x3－x2＋1相切，求a 的值及切点的坐标．思路探究：由导数的几何意义，切点处的切线为l：y＝x＋a，可建立切线斜率的一个方程，从而求解切点坐标及a .[解] 设直线l 与曲线C 相切于P (x 0，y 0)点． f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3－(x 0＋Δx )2＋1－(x 30－x 20＋1)Δx＝3x 20－2x 0.由题意知，3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1. 于是切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2327或(1,1)．当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，a ＝3227；当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，a ＝0(舍去)． ∴a 的值为3227，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2327.求切点坐标一般先设出切点坐标，然后根据导数的几何意义，表示出切线的斜率，与已知斜率建立关于切点横坐标的方程，求出切点的横坐标，又因切点在曲线上，可得切点的纵坐标.1．若函数f (x )在x ＝a 处可导，则当h 无限趋近a 时，f (h )－f (a )h －a为( ) A ．f (a ) B ．f ′(a ) C ．f ′(h )D ．f (h )B [根据导数的定义及f (x )在x ＝a 处可导知，f (h )－f (a )h －a 当h 无限趋近于a 时表示f ′(a )．]2．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 值为( ) A ．1 B . 2 C ．－1D ．0A [Δy Δx ＝a (1＋Δx )2－a Δx＝a Δx ＋2a .当Δx →0时，上式趋于2a ，∴2a ＝2，即a ＝1.]3．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为1，则当x 趋近于0时，f (x ＋1)－f (1)2x 趋向________．[解析]f (x ＋1)－f (1)2x ＝12×f (1＋x )－f (1)x，∴x 趋于0时，上式趋于12f ′(1)＝12.[答案]124．曲线y＝x2－x＋1在点(1,1)处切线的倾斜角为________．[解析]f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0[(1＋Δx)2－(1＋Δx)＋1]－(12－1＋1)Δx＝limΔx→0Δx＋(Δx)2Δx＝limΔx→0(1＋Δx)＝1，设切线的倾斜角为α，则tan α＝1，∴α＝π4.[答案]π45．在曲线y＝4x2上求一点P，使曲线在点P处的切线平行于直线y＝x＋1.[解]设点P坐标为(x0，y0)，则Δy＝4(x0＋Δx)2－4x20＝4x20－4(x0＋Δx)2x20(x0＋Δx)2＝－8x0Δx－4(Δx)2x20(x0＋Δx)2，∴ΔyΔx＝－8x0－4Δxx20(x0＋Δx)2.∴当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于－8x30.即f′(x0)＝－8 x30.因为切线与直线y＝x＋1平行．所以由导数几何意义知f′(x0)＝1，即－8x30＝1.∴x0＝－2，y0＝1.即P(－2,1)．。
2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第3章 1.2 椭圆的简单性质 Word版含答案
1.2 椭圆的简单性质1．掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴、离心率的概念，理解椭圆的范围和对称性．(重点) 2．掌握已知椭圆标准方程时a ，b ，c ，e 的几何意义及其相互关系．(重点)3．用代数法研究曲线的几何性质，在熟练掌握椭圆的几何性质的过程中，体会数形结合的思想．(难点)教材整理 椭圆的几何性质阅读教材P 67～P 68上半部分，完成下列问题．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长等于a .( )(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c .( ) (3)椭圆的离心率e 越小，椭圆越圆．( )【解析】 (1)长轴长为2a . (2)、(3)正确．【答案】 (1)× (2)√ (3)√2．已知点(x 0，y 0)在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，则下列点中不一定在椭圆上的点是( )A ．(－x 0，y 0)B ．(x 0，－y 0)C ．(－x 0，－y 0)D ．(y 0，x 0)【解析】 由椭圆的对称性可知，选项A ，B ，C 中的点一定在椭圆上． 【答案】 D3．椭圆x24＋y216＝1的离心率为________．【解析】 a 2＝16，b 2＝4，∴c 2＝12， ∴e ＝c a ＝234＝32.【答案】324．求焦点在x 轴上，长轴、短轴的长分别是8和6的椭圆的标准方程．【解】 由题意设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝8,2b ＝6，即a ＝4，b ＝3，故椭圆的标准方程为x216＋y29＝1.预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问2：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问3：________________________________________________ 解惑：________________________________________________(1)椭圆x225＋y29＝1与x29－k ＋y225－k ＝1(0＜k ＜9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【自主解答】 椭圆x225＋y29＝1中c 21＝25－9＝16，椭圆x29－k ＋y225－k ＝1中c 2＝25－k －(9－k )＝16，∴两椭圆焦距相等． 【答案】 D(2)已知椭圆的标准方程为x2100＋y264＝1，则椭圆上的点P 到椭圆中心|OP |的范围为( )A ．B ．C ．D ．【自主解答】 设P (x 0，y 0)，则|OP |＝x20＋y20.由椭圆的范围，知|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，又∵P 在椭圆上，∴x20100＋y2064＝1，∴y 20＝64－1625x 20，∴|OP |＝925x20＋64. ∵0≤x 20≤100，∴64≤925x 20＋64≤100，∴8≤|OP |≤10.【答案】 C(3)椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长为________．短轴长为________．【导学号：32550068】【自主解答】 把已知方程化为椭圆的标准方程为： x29＋y24＝1，∴a ＝3，b ＝2， ∴长轴长为2a ＝6，短轴长为2b ＝4. 【答案】 6 4由椭圆方程探究简单性质时，需先看所给方程是否为标准方程，这是依据方程求参数a ，b ，c 值的关键，进而可研究椭圆的性质．(1)焦点在y 轴上，a ＝2，离心率e ＝12；(2)一焦点坐标为(－3,0)，一顶点坐标为(0,5)； (3)过点(3,0)，离心率e ＝63. 【精彩点拨】 (1)由a ＝2，e ＝c a ＝12，易得c ，代入b 2＝a 2－c 2可求得b 2，此时可写出焦点在y 轴上的椭圆方程；(2)由已知可以确定焦点在x 轴上及c ，b 的值，从而可写出椭圆的标准方程；(3)不能确定焦点所在的坐标轴，需分类讨论．【自主解答】 (1)由a ＝2，e ＝12，可得a 2＝4，且c 2＝12，即c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.已知椭圆的焦点在y 轴上，所以所求的标准方程为y24＋x23＝1.(2)由椭圆的一个焦点坐标为(－3,0)，可知椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝3.又由一顶点坐标为(0,5)，可得b ＝5，所以a 2＝b 2＋c 2＝25＋9＝34.因此所求的标准方程为x234＋y225＝1.(3)当椭圆的焦点在x 轴上时，因为a ＝3，e ＝63，所以c ＝6，从而b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x29＋y23＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，因为b ＝3，e ＝63，所以a2－b2a ＝63，所以a 2＝27，所以椭圆的标准方程为y227＋x29＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1.已知椭圆的简单性质求标准方程：(1)先审题，看题目的条件能否确定焦点所在的坐标轴：在椭圆的性质中，焦点的位置、长轴(或短轴)的位置、长轴(或短轴)的端点坐标都可以确定焦点所在的坐标轴；一个顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率等不能确定焦点所在的坐标轴，此时需分焦点在x 轴上或在y 轴上进行讨论．(2)然后依据关系式e ＝c a ，b 2＝a 2－c 2确定a ，b (a 2，b 2)的值，从而求出椭圆的标准方程．1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为8，离心率为0.8；(2)长轴是短轴的3倍，且经过点(3,0)． 【解】 (1)若焦点在x 轴上， 设方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意得c ＝4，e ＝45，∴a ＝5，b ＝3.∴椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.若焦点在y 轴上，同理可求得方程为x29＋y225＝1.∴椭圆的标准方程为x225＋y29＝1或x29＋y225＝1.(2)若焦点在x 轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆过点(3,0)，∴a ＝3，又2a ＝3×2b ，∴b ＝1. ∴椭圆的标准方程为x29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为x2b2＋y2a2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆过点(3,0)，∴b ＝3.又2a ＝3×2b ，∴a ＝9. ∵椭圆的标准方程为x29＋y281＝1.∴椭圆的标准方程为x29＋y 2＝1或x29＋y281＝1.已知F 1，F 21A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率．【精彩点拨】 根据已知条件得出a 、c 的关系即可．【自主解答】 不妨设椭圆的焦点在x 轴上，因为AB ⊥F 1F 2，且△ABF 2为正三角形，所以在Rt △AF 1F 2中，∠AF 2F 1＝30°，令|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝2x ，所以|F 1F 2|＝|AF2|2－|AF1|2＝3x ＝2c ，再由椭圆的定义，可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝3x ， ∴e ＝2c 2a ＝3x 3x ＝33.求椭圆的离心率通常有两种方法：(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置先求a 2、b 2，再求出a 、c 的值，利用公式e ＝c a 直接求解；(2)若椭圆的方程未知，则根据条件建立a 、b 、c 之间的关系式，化为关于a 、c 的齐次方程，再将方程两边同除以a 的最高次幂，得到e 的方程，解方程求得e .2．将本例中条件“过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形”改为“A 为y 轴上一点，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，若△AF 1F 2为正三角形”．如何求椭圆的离心率？【解】 如图，连接BF 2.因为△AF 1F 2为正三角形，且B 为线段AF 1的中点，所以F 2B ⊥BF 1，又因为∠BF 2F 1＝30°，|F 1F 2|＝2c ，所以|BF 1|＝c ，|BF 2|＝3c .根据椭圆定义得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，即c ＋3c ＝2a ，所以ca ＝3－1.所以椭圆的离心率为e ＝3－1.探究1 还有其他方法求出椭圆a2＋b2＝1(a ＞b ＞0)的范围吗？【提示】 有．可以利用三角换元，令x a ＝cos θ，yb ＝sin θ，θ∈R ，则x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，θ∈R ，由余弦函数及正弦函数的有界性(|cos θ|≤1，|sin θ|≤1)可得x ，y 的取值范围．探究2 椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)上到中心和焦点距离最近和最远的点分别在什么位置？【提示】 (1)椭圆上到中心距离最近和最远的点：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远．(2)椭圆上的点与焦点距离的最值：点(a,0)，(－a,0)与焦点F 1(－c,0)的距离，分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离．探究3 利用椭圆方程如何判断点P (x 0，y 0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系？【提示】 点P (x 0，y 0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P 在椭圆内部⇔x20a2＋y20b2＜1；点P 在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2＞1.探究4 椭圆的离心率如何刻画椭圆的扁平程度？椭圆的扁平程度与椭圆位置有关吗？【提示】 (1)椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝1－e2，因此，当e 越趋近于1时，b a 越接近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时，b a越接近于1，椭圆越接近于圆．当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2＋y 2＝a 2.所以e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆．(2)椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关．已知椭圆x25＋y2k ＝1的离心率e ＝105，则实数k 的值为( )A ．3B ．3或253C. 5D ．15或153【精彩点拨】 由椭圆的标准方程确定焦点位置时，要看方程中分母的大小．当分母的大小不确定时，要对分母的大小进行讨论．【自主解答】 (1)当焦点在x 轴上时，由椭圆方程x25＋y2k ＝1，可知a 2＝5，b 2＝k >0，则c 2＝a 2－b 2＝5－k ，而e 2＝c2a2＝5－k 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1052.解之得k ＝3.(2)当焦点在y 轴上时，由椭圆方程x25＋y2k ＝1，可知a 2＝k >0，b 2＝5，则c 2＝a 2－b 2＝k －5，而e 2＝c2a2＝k －5k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1052. 解之得k ＝253，综上，符合条件的实数k 值为3或253，因此选B.【答案】 B1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值是( )【导学号：32550069】A.14 B ．12 C ．2D ．4【解析】 椭圆x 2＋my 2＝1可化为x21＋y21m ＝1，∵长轴长是短轴长的2倍，∴1m ＝4，∴m ＝14.【答案】 A2．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)【解析】 直线x ＋2y ＝2与坐标轴的交点(2,0)与(0,1)为椭圆的顶点，∴a ＝2，b ＝1， ∴c ＝a2－b2＝ 3.∴椭圆的焦点坐标是(±3，0)． 【答案】 A3．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )A.22B ．2－12C ．2－ 2D ．2－1【解析】 由平面几何知识和椭圆的定义知，|PF 1|2＝2|F 1F 2|2，即(2a －2c )2＝2(2c )2，整理得a 2－2ac －c 2＝0，两边同除以a 2得e 2＋2e －1＝0，∴e ＝2－1 【答案】 D4．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．【导学号：32550070】【解析】 建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则A (－1,0)，B (1,0)，C (1,2)，|AC |＝2 2.依椭圆的定义知2a ＝|AC |＋|BC |＝22＋2，a ＝2＋1， 又c ＝1，则e ＝c a ＝12＋1＝2－1.【答案】2－15．已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e ＝32，且过P (2,3)，求此椭圆的标准方程． 【解】 (1)当焦点在x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝32，4a2＋9b2＝1，a2＝b2＋c2，解得b 2＝10，a 2＝40.所以所求椭圆的标准方程为x240＋y210＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，9a2＋4b2＝1，a2＝b2＋c2，解得b 2＝254，a 2＝25.所以所求椭圆的标准方程为y225＋x2254＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x240＋y210＝1或y225＋x2254＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________ (2)________________________________________________。
2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第3章 1.1 椭圆及其标准方程 Word版含答案
§1 椭圆1．1 椭圆及其标准方程1．了解椭圆的实际背景，理解椭圆、焦点、焦距的定义．(重点)2．掌握、推导椭圆标准方程的过程．(难点)3．会求简单的椭圆的标准方程．(易混点)教材整理1 椭圆的定义阅读教材P62上半部分，完成下列问题．平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA|＋|MB|为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么( )A．p是q的充分不必要条件B．p是q的必要不充分条件C．p是q的充要条件D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件【解析】若|MA|＋|MB|为定值，只有定值＞|AB|时，点M轨迹才是椭圆．故p为q的必要不充分条件．【答案】 B教材整理2 椭圆的标准方程阅读教材P62下半部分，完成下列问题.1．a ＝5，c ＝3，焦点在x 轴上的椭圆标准方程为________．【导学号：32550063】 【解析】 ∵焦点在x 轴上，b 2＝a 2－c 2＝16，∴标准方程为x225＋y216＝1.【答案】x225＋y216＝1 2．求方程4x 2＋9y 2＝1的焦点坐标． 【解】 4x 2＋9y 2＝1可化为x214＋y219＝1， ∴a 2＝14，b 2＝19，∴c 2＝a 2－b 2＝14－19＝536，∴c ＝±56，∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫56，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，0预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：______________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问2：__________________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问3：__________________________________________________ 解惑：__________________________________________________(1)椭圆x225＋y29＝1上一点A 到焦点F 的距离为2，B 为AF 的中点，O 为坐标原点，则|OB |的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．32【自主解答】 设F ′为椭圆的另一焦点则|AF |＋|AF ′|＝2a ＝10， ∴|AF ′|＝8，∵O ，B 分别为FF ′，AF 的中点． ∴|OB |＝12|AF ′|＝4.【答案】 B(2)平面内一动点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为( )A ．椭圆B ．圆C ．线段D ．椭圆或线段或无轨迹【自主解答】 要注意2a 与|F 1F 2|的大小关系对点M 的轨迹形状的影响．当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹为椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为线段；当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹不存在． 【答案】 D(3)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2是它的焦点，过F 1的直线AB 与椭圆交于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为________．【自主解答】 ∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ， ∴△ABF 2的周长＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ＝4a .【答案】 4a1．到两定点的距离之和是常数且必须大于两定点间的距离的点的轨迹是椭圆，此时这个常数为2a ，两定点的距离为2c .2．由椭圆定义可知，椭圆上任一点到椭圆的两个焦点距离之和为定值，所以椭圆定义有以下应用：(1)实现两个焦点半径之间的相互转化；(2)将两个焦点半径之和看成一个整体，求解定值问题．(1)焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，并且过点(－5，3)； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同的焦点．【精彩点拨】 (1)设出相应焦点位置的椭圆方程，利用关系式b 2＝a 2－c 2及点(－5，3)在椭圆上求待定系数；(2)由与已知椭圆共焦点可设出椭圆方程，再根据条件求待定系数．【自主解答】 (1)依题意知椭圆的焦点在x 轴上，可设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知得c ＝4，且b 2＝a 2－c 2，所以a 2－b 2＝16 ①.因为点(－5，3)在椭圆上，所以－5a2＋3b2＝1，即5a2＋3b2＝1 ②.由①②得a 2＝20，b 2＝4.因此，所求椭圆的标准方程为x220＋y24＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆y225＋x29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16 ①. 又点(3，－5)在椭圆上，所以－5a2＋3b2＝1，即5a2＋3b2＝1 ②.由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.1．椭圆的标准方程在形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的正常数． 2．运用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤：(1)定位：确定椭圆的焦点在x 轴还是y 轴上，从而设出相应的标准方程的形式．(2)定量：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组，求出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程．1．(1)两个焦点坐标分别是(0，－4)、(0,4)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于20，求椭圆的方程．(2)两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)且过⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，求椭圆的方程．【解】 (1)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)∵2a ＝20,2c ＝8，∴a ＝10，c ＝4， ∴b 2＝a 2－c 2＝102－42＝84，所以所求椭圆标准方程为y2100＋x284＝1.(2)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，由椭圆的定义知，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝3210＋1210＝210， ∴a ＝10，又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6，所以所求标准方程为x210＋y26＝1.(1)已知方程5－2m ＋|m|－1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为________．(2)已知椭圆方程为kx 2＋3y 2－6k ＝0，焦距为4，则k 的值为________．【精彩点拨】 (1)因为焦点在y 轴上，所以椭圆方程与y2a2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)相对应；(2)将方程化为椭圆的标准方程，然后利用a ，b ，c 三者之间的关系进行求解，但应考虑是否需要分类讨论．【自主解答】 (1)∵椭圆焦点在y 轴上，∴其标准方程应为y2a2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)，∴|m |－1＞5－2m ＞0，解得2＜m ＜52，∴m 的取值范围为2＜m ＜52.(2)将方程kx 2＋3y 2－6k ＝0化为x26＋y22k ＝1.∵焦距为4，∴2c ＝4，即c ＝2.当焦点在x 轴上时，6－2k ＝4，解得k ＝1； 当焦点在y 轴上时，2k －6＝4，解得k ＝5. 综上，k ＝1或5.【答案】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52 (2)1或51．判断焦点所在坐标轴其依据是看x 2项，y 2项的分母哪个大，焦点在分母大的坐标轴上．2．对于方程x2m ＋y2n ＝1(m ＞0，n ＞0)，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n ＞m ＞0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．特别地，当n ＝m ＞0时，方程表示圆心在原点的圆．2．将本例(1)中的方程改为：“x25－2m ＋y2m －1＝1”其他不变．【解析】 ∵焦点在y 轴上， ∴m －1＞5－2m ＞0， ∴2＜m ＜52.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52已知圆B ：(x AC 的垂直平分线l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程．【精彩点拨】 P 为AC 垂直平分线上的点，则|PA |＝|PC |，而BC 为圆的半径，从而4＝|PA |＋|PB |，可得点P 轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆．【自主解答】 如图所示，连接AP ，∵l 垂直平分AC ， ∴|AP |＝|CP |.∴|PB |＋|PA |＝|BP |＋|PC |＝4， ∴P 点的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆． ∵2a ＝4,2c ＝|AB |＝2， ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3. ∴点P 的轨迹方程为x24＋y23＝1.求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：(1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；(2)首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭圆的标准方程，求出其中a ，b 的值，得到标准方程．3．已知B 、C 是两个定点，|BC |＝10，且△ABC 的周长等于24，求顶点A 的轨迹方程．【导学号：32550064】【解】 由已知|AB |＋|AC |＋|BC |＝24，|BC |＝10，得|AB |＋|AC |＝14，由定义可知，顶点A 的轨迹是椭圆，且2c ＝10,2a ＝14，即c ＝5，a ＝7，所以b 2＝a 2－c 2＝24.建立如图所示的平面直角坐标系，使x 轴经过B 、C 两点，原点O 为BC 的中点，当点A 在直线BC 上，即y ＝0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，所以点A 的轨迹方程是x249＋y224＝1(y ≠0)．探究1 【提示】 同一椭圆在不同坐标系下的方程是不同的，只有当焦点在坐标轴上，且以线段|F 1F 2|的中点为坐标原点时，对应的椭圆的方程才是标准方程，我们只研究标准方程．探究2 在椭圆标准方程的推导过程中，为什么令b 2＝a 2－c 2，b ＞0?【提示】 令b 2＝a 2－c 2可以使方程变得简单整齐，在今后讨论椭圆的几何性质时，b 还有明确的几何意义，因此设b ＞0.探究3 椭圆x2a2＋y2b2＝1和y2a2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)有何异同点？【提示】 因为椭圆标准方程中的两个参数a ，b 确定了椭圆的形状、大小，所以椭圆x2a2＋y2b2＝1和y2a2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)的形状、大小相同，且焦距相等，都有c 2＝a 2－b 2.但这两个椭圆的位置不同，焦点坐标也不同．探究4 如何求椭圆的标准方程【提示】 (1)定义法：即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．(2)待定系数法，即设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a 2、b 2的值，可归纳为“先定型，再定量”，其一般步骤是：①定类型：根据条件判断焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两种情况都有可能，并设椭圆方程为 x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)或y2a2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)；也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )． ②确定未知量：根据已知条件列出关于a 、b 、c 的方程组，解方程组，可得a 、b 的值，然后代入所设方程即可．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a ＋b ＝8，c ＝4；(2)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)．【精彩点拨】 求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定椭圆标准方程的形式，最后由条件确定a 和b 的值．【自主解答】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，a2－b2＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，＋－＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，a －b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3.∴椭圆的标准方程为x225＋y29＝1或y225＋x29＝1.(2)法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3a2＋－b2＝1，－23a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝15，b2＝5.所以所求椭圆的方程为x215＋y25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－a2＋3b2＝1，1a2＋－23b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝5，b2＝15.舍去，故所求椭圆的方程为x215＋y25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的方程为x215＋y25＝1.探究 【提示】 (1)椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的三角形称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF 1|(或|PF 2|)的方程求得|PF 1|(或|PF 2|)的长度；有时把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．(2)焦点三角形的周长等于2a ＋2c .如图311所示，已知椭圆的方程为x24＋y23＝1，若点P 在椭圆上，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．图311【精彩点拨】 因为∠PF 1F 2＝120°，|F 1F 2|＝2c ，所以要求S △PF 1F 2，只要求|PF 1|即可．可由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，并结合余弦定理求解．【自主解答】 由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a2－b2＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2， 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|.② 将②代入①解得|PF 1|＝65，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335.因此所求△PF 1F 2的面积是353.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a 2＝b 2＋c 2.( ) (2)平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆．( ) (3)椭圆的特殊形式是圆．( ) 【解析】 (1)由定义知a 2＝b 2＋c 2. (2)常数大于两定点距离的点的集合是椭圆； 常数等于两定点距离的点的集合是线段； 常数小于两定点距离的点的集合不存在． (3)椭圆标准方程中a ≠b ，不可能是圆． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×2．已知椭圆x216＋y27＝1上一点P ，它到左焦点F 1的距离为2，则它到右焦点的距离为( )A ．4B ．6C ．30D ．23【解析】 由定义|PF 1|＋|PF 2|＝8，知|PF 2|＝6. 【答案】 B3．若方程x225－m ＋y2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )【导学号：32550065】A ．－9＜m ＜25B ．8＜m ＜25C ．16＜m ＜25D ．m ＞8 【解析】 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m ＞0，m ＋9＞0，m ＋9＞25－m ，解得8＜m ＜25，即实数m 的取值范围是8＜m ＜25. 【答案】 B 4．已知椭圆x249＋y224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________. 【解析】 依题意a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，|F 1F 2|＝2c ＝10， 由于PF 1⊥PF 2， 所以由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝100.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝100，即196－2|PF 1|·|PF 2|＝100.解得|PF 1|·|PF 2|＝48.【答案】 485．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，且过点(0,2)和(1,0)；(2)已知椭圆E 的两焦点分别为(－1,0)，(1,0)，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22. 【解】 (1)椭圆的焦点在y 轴上，设其标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)．又椭圆过点(0,2)和(1,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a2＋0b2＝1，0a2＋1b2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a2＝4，b2＝1.∴椭圆的标准方程为y24＋x 2＝1； (2)设椭圆E 的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意知c ＝1,2a ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋22， ∴a ＝2，b ＝a2－c2＝1，椭圆E 的方程为x22＋y 2＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)________________________________________________。
2019-2020学年高中数学北师大版选修2-2教师用书：第3章 §2 2.1 实际问题中导数的意义+2.2 最大值、最小
§2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中导数的意义2.2 最大值、最小值问题1.了解实际问题中导数的意义及最大值、最小值的概念.(难点)2.理解函数的最值与导数的关系.(重点)3.掌握利用导数求函数的最值及由导数解决实际中的优化问题.(难点)教材整理1 导数的实际意义阅读教材P63～P65“练习”以上部分，完成下列问题.在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量.以中学物理为例，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等.质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示( )A.t＝1 s时的速度B.t＝1 s时的加速度C.t＝1 s时的位移D.t＝1 s的平均速度【解析】v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度，故选B.【答案】 B教材整理2 函数的最值与导数阅读教材P66，完成下列问题.1.最大值点与最小值点.函数y＝f(x)在区间上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).函数y＝f(x)在区间上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不低于f(x0).2.最大值与最小值最大(小)值或者在极大(小)值点取得，或者在区间的端点取得.因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值.函数的最大值和最小值统称为最值.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值.( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值.( )(3)函数f (x )在区间上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)×2.函数f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上( ) A.无最值 B.有极值 C.有最大值D.有最小值【解析】 f ′(x )＝2＋sin x >0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值. 【答案】 A预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：如图(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W (t )＝t 3－6t 2＋16t .图321(1)求t 从1 s 变到3 s 时，功W 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求W ′(1)，W ′(2)，并解释它们的实际意义. 【精彩点拨】 弄清题意，根据物理中导数的意义解答：(1)功的平均变化率表示平均每秒做的功；(2)功率是功关于时间的导数.【自主解答】 (1)当t 从1 s 变到3 s 时，功W 从W (1)＝11 J 变到W (3)＝21 J ，此时功W 关于时间t 的平均变化率为W （3）－W （1）3－1＝21－113－1＝5(J/s).它表示从t ＝1 s 到t ＝3 s 这段时间，这个人平均每秒做功5 J. (2)首先求W ′(t ).根据导数公式和求导法则可得W ′(t )＝3t 2－12t ＋16，于是，W ′(1)＝7 J/s ，W ′(2)＝4 J/s.W ′(1)和W ′(2)分别表示t ＝1 s 和t ＝2 s 时，这个人每秒做的功分别为7 J 和4 J.1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率.2.导数可以刻画实际问题中两个变量变化的快慢程度；在应用时我们首先要建立函数模型，利用定义或公式法则求出导数并能结合实际问题解释导数的实际意义.1.已知某商品生产成本c 与产量q (0<q <200)的函数关系为c ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系为p ＝25－18q ，求利润L 关于产量q 的关系式，用L ＝f (q )表示，并计算f ′(80)的值，解释其实际意义.【解】 ∵f (q )＝p ×q －c ＝⎝⎛⎭⎪⎫25－18q ×q －(100＋4q )，∴f (q )＝－18q 2＋21q －100(0<q <200)，∴f ′(q )＝－14q ＋21，∴f ′(80)＝－14×80＋21＝1. 说明产量q ＝80时，产量每增加1，利润也增加1.求函数f (x )【导学号：94210063】【精彩点拨】 求函数的最值与求函数的极值相似，先列出表格，再进行判断，从而求出最值. 【自主解答】 ∵f ′(x )＝12x 2＋6x －36， 令f ′(x )＝0，得2x 2＋x －6＝0，∴x ＝－2或32. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如表所示：∴f (x )在x ＝32处取极小值，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝－4.又∵f (－2)＝57，f (3)＝32，∴f (x )的最大值为f (－2)＝57，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－1154.求f (x )在上的最值的步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值点； (2)求出f (x )在区间端点和极值点的值；(3)将上述值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.2.已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋m (x ∈)，f (x )的最小值为1，则m ＝__________. 【解析】 f ′(x )＝－3x 2＋6x ，x ∈. 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2， 当x ∈(－2，0)时，f ′(x )<0， 当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，∴当x ＝0时，f (x )有极小值，也是最小值， ∴f (0)＝m ＝1. 【答案】 1x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【精彩点拨】 (1)根据x ＝5时，y ＝11求a 的值.(2)把每日的利润表示为销售价格x 的函数，用导数求最大值. 【自主解答】 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2＋10＝11，a ＝2. (2)由(1)知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2，3＜x ＜6， 从而，f ′(x )＝10＝30(x －4)·(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减由上表可得，x ＝4所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.1.经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.2.关于利润问题常用的两个等量关系 (1)利润＝收入－成本.(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.3.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为：p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x (元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？【解】 每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫24 200－15x2x －(50 000＋200x ) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)，由f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x ＝200或x ＝－200(舍去).因为f (x )在探究1 已知函数f (x )＝x2＋2ln x ，若当a >0时，f (x )≥2恒成立，如何求实数a 的取值范围？ 【提示】 由f (x )＝a x2＋2ln x 得f ′(x )＝2（x2－a ）x3，又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a (舍去)或x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.故x ＝a 是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，且f (a )＝ln a ＋1.要使f (x )≥2恒成立，需ln a ＋1≥2恒成立，则a ≥e.故a 的取值范围为4.设f (x )＝a x＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围.【解】 (1)存在x 1，x 2∈使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于max ≥M . 由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝⎛⎭⎪⎫x －23. 由g ′(x )>0，得x <0或x >23，又x ∈，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上是单调递减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上是单调递增函数，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－8527，g (x )max ＝g (2)＝1.故max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227≥M ， 则满足条件的最大整数M ＝4.(2)对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，函数f (x )min ≥g (x )max . 由(1)可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，g (x )的最大值为g (2)＝1.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，f (x )＝a x＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立.设h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，可知h ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数，又h ′(1)＝0，所以当1<x <2时，h ′(x )<0；当12<x <1时，h ′(x )>0.即函数h (x )＝x －x 2ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，在上单调递减，所以h (x )max ＝h (1)＝1，即实数a 的取值范围是函数的最大（小）值与导数—⎪⎪⎪⎪—最值—⎪⎪⎪⎪—最大值—最小值—求最值的步骤与方法—导数在实际问题中的应用—实际问题中导数的意义1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A.8B.203C.－1D.－8【解析】 原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.【答案】 C2.函数y ＝x 4－4x ＋3在区间上的最小值为( )【导学号：94210064】A.72B.36C.12D.0【解析】 因为y ＝x 4－4x ＋3，所以y ′＝4x 3－4.令y ′＝0，解得x ＝1.当x ＜1时，y ′＜0，函数单调递减；当x ＞1时，y ′＞0，函数单调递增，所以函数y ＝x 4－4x ＋3在x ＝1处取得极小值0.而当x ＝－2时，y ＝27，当x ＝3时，y ＝72，所以当x ＝1时，函数y ＝x 4－4x ＋3取得最小值0.【答案】 D3.函数y ＝x ex在上的最大值为________. 【解析】 ∵y ′＝x′·ex－x （ex ）′（ex ）2＝1－xex，令y ′＝0，得x ＝1∈. ∴f (1)＝1e ，f (0)＝0，f (2)＝2e2， ∴f (x )max ＝f (1)＝1e. 【答案】 1e4.某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产________千台.【解析】 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)， ∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6).令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点. 【答案】 65.已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)·(x －a ). (1)求导数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求f (x )在上的最大值和最小值. 【解】 (1)由原式得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4.(2)由f ′(－1)＝0，得a ＝12， 此时有f (x )＝(x 2－4)·⎝⎛⎭⎪⎫x －12，f ′(x )＝3x 2－x －4.由f ′(x )＝0，得x ＝43或x ＝－1. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0，∴f (x )在上的最大值为92，最小值为－5027.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
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§3 双曲线3．1 双曲线及其标准方程1．掌握双曲线的定义及其应用．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点) 3．会求双曲线的标准方程．(易混点)教材整理1 双曲线的定义阅读教材P 78“动手实践”以下的部分，完成下列问题．我们把平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．定点F 1、F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．1．双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P 到F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22【解析】 由双曲线定义知||PF 1|－|PF 2||＝10，即|12－|PF 2||＝10.解得|PF 2|＝2或|PF 2|＝22. 【答案】 D2．设F 1，F 2是双曲线x216－y220＝1的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离．【解】 因为a ＝4，所以2a ＝8，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8，所以|9－|PF 2||＝8，所以|PF 2|＝1或17.因为c 2＝a 2＋b 2＝36，所以|F 1F 2|＝12，当|PF 2|＝1时，|PF 1|＋|PF 2|＝10＜|F 1F 2|，不符合“两点之间线段最短”，应舍去，所以|PF 2|＝17.教材整理2 双曲线的标准方程阅读教材P 79“例1”以上的部分，完成下列问题．1．双曲线x24－y216＝1的焦点坐标为________．【解析】 c 2＝a 2＋b 2＝20，∴c ＝25， ∵焦点在x 轴上，∴焦点坐标为(25，0)，(－25，0)． 【答案】 (25，0)，(－25，0)2．若a ＝3，b ＝4，则双曲线的标准方程是________________．【解析】 当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为x29－y216＝1；当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为y29－x216＝1.【答案】x29－y216＝1或y29－x216＝1预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问2：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问3：________________________________________________ 解惑：________________________________________________①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|－|PF 2|＝2的点P 的轨迹为双曲线； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足||PF 1|－|PF 2||＝4的点P 的轨迹为两条射线； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P 的轨迹为双曲线；④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离，则点P 的轨迹为双曲线．【自主解答】 ①2＜2，故点P 的轨迹是双曲线的一支；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线；③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7，而7＞6，故点P 的轨迹不存在；④点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离为－3－＋－1－＝5＜8，故点P 的轨迹是以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点的双曲线．【答案】 ②④如图331，若F 1，F 2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．图331(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． 【精彩点拨】 (1)利用双曲线的定义求解．(2)欲求△F 1PF 2的面积，可考虑用12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2求解，只要求出∠F 1PF 2的正弦值即可．而△F 1PF 2的三边中，|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|＝10，故可考虑用余弦定理求解．【自主解答】 双曲线的标准方程为x29－y216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a2＋b2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.由△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.1．求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．1．已知双曲线x29－y216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．【导学号：32550081】【解】 由x29－y216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.(1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M (1,1)，N (－2,5)两点，求双曲线的标准方程．【精彩点拨】 用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．【自主解答】 (1)法一：(待定系数法) 由题意知双曲线的两焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程得 25a2－16b2＝1，又a 2＋b 2＝9， 解得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为y25－x24＝1.法二：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F 1(0，－3)，F 2(0,3)且A (4，－5)在双曲线上， 则2a ＝||AF 1|－|AF 2||＝|20－80|＝25， ∴a ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为y25－x24＝1.(2)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为M (1,1)，N (－2,5)在双曲线上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1a2－1b2＝1，－a2－52b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝78，b2＝7.若焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理有⎩⎪⎨⎪⎧1a2－1b2＝1，52a2－－b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝－7，b2＝－78(不合题意，舍去)．所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.法二：设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)． 将点M (1,1)，N (－2,5)代入上述方程，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，4m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝87，n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.求双曲线标准方程的常用方法：(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程． (2)用待定系数法，具体步骤如下：2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，经过点(4，－2)和(26，22)； (2)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上．【解】 (1)因为焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为点(4，－2)和(26，22)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧16a2－4b2＝124a2－8b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝8b2＝4.故所求双曲线的标准方程是x28－y24＝1.(2)因为焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程可设为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2525a2－4b2＝1，解得b 2＝16.因此，所求双曲线的标准方程为y220－x216＝1.已知动圆M 12内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【导学号：32550082】【精彩点拨】 利用两圆内、外切的充要条件找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．【自主解答】 如图，设动圆M 的半径为r ，则由已知|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，∴|MC 1|－|MC 2|＝2 2. 又C 1(－4,0)，C 2(4,0)， ∴|C 1C 2|＝8， ∵22＜|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4，0)为焦点的双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14， ∴点M 的轨迹方程是x22－y214＝1(x ≥2)．1．本题易忽略|MC 1|－|MC 2|＝22没有“绝对值”，故忘加“x ≥2”这一条件．2．求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，需用变量的范围确定．3．在△ABC 中，B (4,0)，C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ．求点A 的轨迹．【解】 在△ABC 中，sin B －sin C ＝12sin A ，∴|AC |－|AB |＝12|BC |.又∵B (4,0)，C (－4,0)，∴|BC |＝8.∴|AC |－|AB |＝4＜|BC |.∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的右支(除去与B ，C 共线的一点)．其方程为x24－y212＝1(x ＞2)．探究1 【提示】 双曲线的定义中若没有“的绝对值”，则点的轨迹就是双曲线的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中的“的绝对值”不能去掉．当P 满足0<|PF 1|－|PF 2|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的一支；当0<|PF 2|－|PF 1|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的另一支；当|PF 1|－|PF 2|＝±|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线，||PF 1|－|PF 2||不可能大于|F 1F 2|.探究2 设点M 是双曲线上的任意一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，如何确定|MF 1|－|MF 2|的符号？【提示】 若点M 在双曲线的右支上，则|MF 1|＞|MF 2|，故|MF 1|－|MF 2|＝2a ；若点M 在双曲线的左支上，则|MF 1|＜|MF 2|，故|MF 1|－|MF 2|＝－2a ，综上得|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，这是与椭圆不同的地方．探究1 双曲线的标准方程a2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)和a2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)有何异同点？【提示】 相同点：它们的形状、大小都相同，都有a ＞0，b ＞0和c 2＝a 2＋b 2. 不同点：它们的位置不同，焦点坐标不同．探究2 椭圆、双曲线的定义及标准方程之间有什么区别？ 【提示】设双曲线与椭圆27＋36＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，则此双曲线的标准方程为________．【导学号：32550083】【精彩点拨】 常规解法易想到，但需解方程组，解方程时易错，而巧妙解法利用曲线系方程求解，将方程设为x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)求解．可以减少计算量．【自主解答】 由题意设双曲线方程为：x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)，将A (±15，4)代入得λ＝32，λ＝0(舍)，所以所求双曲线方程为y24－x25＝1.【答案】 y24－x25＝14．已知某双曲线与x216－y24＝1共焦点，且过点(32，2)，则此双曲线的标准方程为________．【导学号：32550084】【解析】 设双曲线的方程为x216－k －y24＋k＝1(－4＜k ＜16)． 将点(32，2)代入得k ＝4， 所以双曲线的标准方程为x212－y28＝1.【答案】x212－y28＝11．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( ) (2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 【解析】 (1)注意双曲线定义中是“差的绝对值”． (2)x2a2－y2b2＝1中，a ＜0，b ＜0也可以． (3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系不确定． 【答案】 (1)× (2)× (3)×2．双曲线x29－y27＝1的焦距为( )A. 2 B ．2 2 C. 4D ．8【解析】 c 2＝a 2＋b 2＝9＋7＝16， ∴c ＝4，∵焦距为2c ＝8， 【答案】 D3．已知点F 1，F 2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 是双曲线上的一点，且PF1→·PF2→＝0，则△PF 1F 2的面积为( )A ．abB ．12abC ．b 2D ．a 2【解析】 由题意知|||PF1|－|PF2|＝2a .① |PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2.② ②－①2，得|PF 1||PF 2|＝2b 2， ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2.【答案】 C4．双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则双曲线的标准方程为________． 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9b ＝3c2＝a2＋b2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4c ＝5，∵焦点在x 轴上，∴双曲线标准方程为x216－y29＝1.【答案】x216－b29＝1 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)已知焦点F 1(0，－6)，F 2(0,6)，双曲线上的一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于8； (2)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上． 【解】 (1)∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵2a ＝8,2c ＝12，∴a ＝4，c ＝6，∴b 2＝62－42＝20. ∴所求双曲线的标准方程为y216－x220＝1.(2)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1. ∵c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝6－a 2.由题意知25a2－4b2＝1，∴25a2－46－a2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍去)．∴b 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x25－y 2＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)________________________________________________。