新湘教版必修4高中数学 分期付款问题中的有关计算

9．4分期付款问题中的有关计算[读教材·填要点]1．单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期．若以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，则有S＝P(1＋nr)．2．复利把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，若以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，则有复利的计算公式为S ＝P(1＋r)n.[小问题·大思维]1．单利和复利分别对应什么函数类型？[提示]单利对应一次函数模型，复利对应指数函数模型．2．单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？[提示]单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．用分期付款购买价格为25万元的住房一套，按单利计算如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？[解]购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{a n}，则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)；…；a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝⎝⎛⎭⎫4－n －15(万元)(n ＝1,2，…，10)．因而数列{a n }是首项为4，公差为－15的等差数列．a 5＝4－5－15＝3.2(万元)．S 10＝10×4＋10×(10－1)×⎝⎛⎭⎫－152＝31(万元)．31＋5＝36(万元)，因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚： (1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式．1．某人从1月起，每月第一天存入100元，到第12个月最后一天取出全部本金及利息，按照单利计息，若月利率为1.65‰，求到年底的本利和．解：第1月存入的100元到12月底的利息为a 1＝100×0.001 65×12， 第2月存入的100元到12月底的利息为a 2＝100×0.001 65×11，… 第12月存入的100元到12月底的利息为a 12＝100×0.001 65，全部利息和为S 12＝a 1＋a 2＋…＋a 12＝100×0.001 65×(1＋2＋…＋12)＝0.165×78＝12.87(元)，按单利计息，到年底所取出的本利和为1 212.87元.某人购买价值为10 000元的彩电，采用分期付款的方法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付一次，如此下去，到第24次付款后全部付清，已知月利率为0.8%，如果每月利息按复利计算。

那么每期应付款多少元(精确到1元)？(1.00824＝1.210 7)[解] 设每期付款为x 元，第1期付款x 元连同到最后全部付清时所生利息之和为：x (1＋0.008)23， 第2期付款x 元连同到最后全部付清所产生的利息之和为：x (1＋0.008)22， …第24期付款x 元，没有利息．于是各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为： A ＝x ＋x (1＋0.008)＋x (1＋0.008)2＋…＋x (1＋0.008)23，另一方面，这个商品的售价与其从购买到最后一次付款时的利息之和：B ＝104×(1＋0.008)24，∴x (1＋1.008＋1.0082＋…＋1.00823)＝104×1.00824， 即x ·1.00824－11.008－1＝104×1.00824，∴x ＝104×1.00824·(1.008－1)1.00824－1≈460.按复利计算分期付款问题的一般计算公式：商品为a 元，在m 个月内分n 次付清(n 是m 的约数)，月利率为p ，每期付款x 元，则x [1＋(1＋p )m n ＋(1＋p )2mn ＋…＋(1＋p )(n －1)m n]＝a (1＋p )m ，∴x ＝a (1＋p )m[(1＋p )mn －1](1＋p )m －1.2．某同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月息按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年取出本利共多少元(保留到个位)？(1.062＝1.123 6，1.063＝1.191 0，1.00212＝1.024 3)解：为了便于思考一年内每月的存款的本金和利息的和按月分开算． 第一年内的本息和可分为： 第一个月：5(1＋0.2%)11， 第二个月：5(1＋0.2%)10，…， 第十二个月：5.那么，第一年的本息和为5(1＋0.2%)11＋5(1＋0.2%)10＋…＋5＝5·1.00212－10.002.于是三年后取出时第一年所存钱的本息和为 5·1.00212－10.002(1＋6%)2.同理第二年所存钱在最后取时本息和为 5·1.00212－10.002·(1＋6%)．第三年所存钱在年底取出时的本息和为5·1.00212－10.002.∵每月存5元，月利为0.2%，年利为6%， ∴三年后取出的本息和为5·1.00212－10.002(1＋6%)2＋5·1.00212－10.002(1＋6%)＋5·1.00212－10.002＝5·1.00212－10.002·1.063－11.06－1≈193(元)．∴三年后取出的本利共193元．[随堂体验落实]1．按活期存入银行1 000元，年利率是0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和是( ) A ．1 036元 B ．1 028元 C ．1 043元D ．1 026元解析：选A 第五年末的本利和是1 000＋1 000×0.72%×5＝1 000＋36＝1 036(元)．2．某厂在2018年底制订生产计划，要使2028年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为( )A ．4110 －1B ．2110C ．4111 －1D ．2111 －1解析：选A 设年增长率为x,2018年总产量为1，到2028年底翻两番后的总产量为4，故得1·(1＋x )10＝4，∴x ＝4110－1. 3．某企业今年初贷款a 万元，年利率为r ，从今年末开始，每年末偿还一定金额，预计5年内还清，则每年应偿还的金额数为( )A.a (1＋r )5(1＋r )5－1万元 B ．ar (1＋r )5(1＋r )5－1万元C.ar (1＋r )5(1＋r )4－1万元 D.ar (1＋r )5万元 解析：选B 设每年还x 元，则a (1＋r )5－x (1＋r )4－x (1＋r )3－x (1＋r )2－x (1＋r )－x ＝0， ∴x ＝ar (1＋r )5(1＋r )5－1.4．某工厂第一个月的生产总值为a ，月生产总值平均增长率为p ，则年平均生产总值的平均增长率为________．解析：S2S1＝a(1＋p)12＋a(1＋p)13＋…＋a(1＋p)23a＋a(1＋p)＋…＋a(1＋p)11＝(1＋p)12.答案：(1＋p)12－15．某家用电器一件现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为1个月，购买后1个月第1次付款，每月付款1次，共付12次，购买后1年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少(1.00812≈1.1)?解：设每期应付款x元，则到款数还清时，第1期所付款数连同利息之和为x(1＋0.008)11，第2期所付款数连同利息之和为x(1＋0.008)10，…，第12期所付款数没有利息．所以各期所付款数连同利息之和为x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x＝1.00812－1 1.008－1x.又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812，于是有1.00812－11.008－1x＝2 000×1.00812，解得x＝16×1.008121.00812－1≈176.即每期应付款176元．[感悟高手解题]某职工2018年年初向银行贷款20万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的优惠年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，若这笔贷款要求分10次等额还清，每年一次，10年还清，并从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元(精确到1元)？(1.110＝2.593 7)[解]已知贷款额为a＝200 000，贷款年利率为r＝0.1，设次年等额归还b元，第n＝10年还清，则一年后的欠款数为a1＝(1＋r)a－b＝1.1×200 000－b，二年后的欠款数为a2＝(1＋r)a1－b＝(1＋r)[(1＋r)a－b]－b＝(1＋r)2a－b(1＋r)－b，三年后的欠款数为a3＝(1＋r)a2－b＝(1＋r)[(1＋r)2a－b(1＋r)－b]－b＝(1＋r)3a－b(1＋r)2－b(1＋r)－b，…，n年后的欠款数为a n＝(1＋r)a n－1－b＝(1＋r )n a －b [(1＋r )n －1＋(1＋r )n －2＋…＋(1＋r )＋1]．由于a n ＝0，贷款还清，故可求出b . 对上式化简得(1＋r )n a －b [(1＋r )n －1＋(1＋r )n －2＋…＋(1＋r )＋1]＝0，即(1＋r )n a＝b ·[(1＋r )n －1＋(1＋r )n －2＋…＋(1＋r )＋1]＝b ·(1＋r )n －1(1＋r )－1＝b ·(1＋r )n －1r . ∴b ＝a (1＋r )n r (1＋r )n －1＝200 000×1.110×0.11.110－1，＝200 000×2.593 71.593 7×0.1≈32 549(元)．答：每年应还32 549元．[点评] 复利问题的数学模型为等比数列，可利用等比数列的有关知识灵活求解．一、选择题1．现存入银行10 000元钱，年利率是0.72%.那么按照复利，第5年末的本利和是( ) A ．10 000×1.00723 B ．10 000×1.00724 C ．10 000×1.00725D ．10 000×1.00726解析：选C 记各年末的本利和为数列{a n }， 由a n ＝a (1＋r )n ，其中，a ＝10 000，r ＝0.72%， 得a 5＝10 000×1.007 25.2．某钢厂的年产值由2007年的40万吨，增加到2017年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2027年的年产值将接近( )A ．60万吨B ．61万吨C ．63万吨D ．64万吨解析：选C 设年增长率为x ，则2017年为： 40(1＋x )10＝50，则(1＋x )10＝54.2027年为：40(1＋x )20＝40×[(1＋x )10]2＝40×54×54＝62.5≈63(万吨)．3．某商品零售价2018年比2017年上涨25%，欲控制2019年比2017年上涨10%，则2019年比2018年降价( )A ．15%B ．12%C ．10%D ．5%解析：选B 设2017年商品零售价为a (a >0)，2019年比2018年下降x %，则a (1－x %)(1＋25%)＝a (1＋10%)，即x %＝12%.4．某企业2017年12月份产值是这年1月份产值的p 倍，则该企业2017年度的产值月平均的增长率为( )A.p p －1 B ．p －111 C.11pD.11p －1解析：选D 设2017年1月份产值为a ，则12月份的产值为pa ，假设月平均增长率为r ，则a (1＋r )11＝pa ，∴r ＝11p －1.二、填空题5．有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是上面一层的两倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是________．解析：设最上面一层为a 1，则组成了以a 1为首项，公比q ＝2的等比数列，则有 S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝381.得a 1＝3，则a 7＝a 1q 6＝192，∴a 7＝192. 答案：1926．某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率为________．解析：设平均每次降价百分率为x ，则 512·(1－x )3＝216， ∴x ＝0.25. 答案：25%7．某人从2017年起，每年9月1日到银行新存a 元一年定期，若年利率r 保持不变，且每年到期存款均自动转成新一年的定期，到2022年9月1日将所有的存款及利息全部取回，他取回的钱数是________元(假设不扣利息税)．解析：本利和为a (1＋r )＋a (1＋r )2＋a (1＋r )3＋a (1＋r )4＋a (1＋r )5＝a (1＋r )[1－(1＋r )5]1－(1＋r )＝a r[(1＋r )6－(1＋r )]． 答案：ar [(1＋r )6－(1＋r )]8．某地2017年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市的人口平均增长率为1%，问使2027年底该城市人均住房面积增加到至少7 m 2，则平均每年新增住房面积至少为________万m2(保留到整数)．解析：设该城市平均每年新增住房面积为x万m2，依题意6×500＋10x500(1＋1%)10≥7，化简得x≥350(1＋1%)10－300≈350×1.104 6－300≈86.6.∴该城市平均每年至少新增87万m2.答案：87三、解答题9．陈老师购买安居工程集资房一套需82 000元，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，陈老师已有现金28 800元，尚缺10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷．陈老师从借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清，试问每月应支付多少元？(不满百元凑足百元，lg 1.01＝0.004 3，lg 1.061＝0.025 8，lg 1.07＝0.029 4)解：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还货a元后，还剩下欠款a n元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，…a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝(1.01)6×102 (1.01)6－1.又因为lg(1.01)6＝6lg 1.01＝0.025 8，所以1.016＝1.061，a＝1.061×1021.061－1≈1 800.答：每月应支付1 800元．10．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)解：甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝1.310－11.3－1≈42.63(万元)，到期时银行贷款的本息为10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)，∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为42．63－25.94≈16.7(万元)．乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)＝10(1＋5.5)2＝32.50(万元)，而贷款本利和为1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×1.110－1 1.1－1≈17.53(万元)．∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为32．50－17.53≈15.0(万元)比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利.。