高考数学一轮复习第七章立体几何7.3空间点、直线、平面之间的位置关系课件文 (1)
(2)两个平面 α，β 有一个公共点 A，就说 α，β 相交于 A 点，记 作 α∩β＝A.( ) ) )
(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( (4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且 C∉l，直线 AB∩l＝M， 过 A，B，C 三点的平面记作 γ，则 γ 与 β 的交线必通过( A．点 A B．点 B C．点 C 但不过点 M D．点 C 和点 M )
在正方体 ABCD－A′B′C′D′中， 直线 BB′⊥AB， BB′ ⊥CB，但 AB 与 CB 不平行，∴⑥错．AB∥CD，BB′∩AB＝B， 但 BB′与 CD 不相交，∴⑦错．如图(2)所示，AB＝CD，BC＝ AD，四边形 ABCD 不是平行四边形，故⑧也错．
【答案】 ④
【总结反思】 对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结 合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的 限制条件， 如公理 3 中“不共线的三点”，“不共线”是很重要 的条件．另外，对于平面几何中的一些正确命题，包括一些定理 推论，在空间几何中应当重新认定，有些命题因为空间中位置关 系的变化，可能变为错误命题，学习中要养成分类讨论的习惯， 再就是结合较熟悉的立体几何图形或现实生活中的实物进行辨 析，也可利用手中的笔、书本等进行演示，验证.
以下四个命题中，正确命题的个数是(
)
①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则 A，B，C， D，E 共面； ③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b ，c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． A．0 B．1 C．2 D．3
一个平面内
2．异面直线所成的角 (1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的____________叫做异面直 线 a 与 b 所成的角(或夹角)． (2)范围：____________. 3．定理 空间 中如 果两 个角 的两 边分 别对 应平 行， 那 么这 两个角 ____________．
答案：90°
热点命题· 突破 02
课堂升华 强技提能
热点一 【例 1】ຫໍສະໝຸດ 平面的基本性质 下列命题：
①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形； ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一直线的两直线平行；
⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形． 其中正确的命题是________．
解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ. 又 α∩β＝l，M∈l，∴M∈β. 根据公理 3 可知，M 在 γ 与 β 的交线上． 同理可知，点 C 也在 γ 与 β 的交线上．
答案：D
知识点二
直线与直线的位置关系
1．两直线位置关系的分类 共面直线 异面直线：不同在
第七章
立体几何
第三节 空间点、直线、平面之间的 位置关系
1.理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3 ．能运用公理、定理和已获得的结论证 明一些空间图形的位置关系的简单命题．
主干知识· 整合 01
课前热身 稳固根基
知识点一 平面的基本性质 1．公理 1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这 条直线在此平面内． 2．公理 2：过__________________的三点，有且只有一个平 面． 3．公理 3：如果两个不重合的平面有______公共点，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线．
所以 NC∥QB， 则有∠B′HB 为异面直线 B′M 与 CN 所成的角． 又 ∵ B′B ＝ BA，∠B′BM ＝∠BAQ＝ 90° ， BM ＝AQ，∴△B′BM ≌ △BAQ，∴∠MB′B＝∠QBM.而∠B′MB＋∠MB′B＝90° ，从而 ∠B′MB＋∠QBM＝90° ，∴∠MHB＝90° .
4．公理 2 的三个推论 推论 1： 经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论 2：经过两条______直线有且只有一个平面； 推论 3：经过两条______直线有且只有一个平面．
答案 1．两点 4．相交 2.不在一条直线上 平行 3.一个
1．判断正误 (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．( )
解析：①显然是正确的，可用反证法证明；②中若 A、B、C 三点共线，则 A、B、C、D、E 五点不一定共面；③构造长方体 或正方体，如图显然 b、c 异面，故不正确；④中空间四边形中 四条线段不共面．故只有①正确．
【解析】
由公理 3 知，不共线的三点才能确定一个平面，所
以知命题①错， ②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公 共点共线时)，②错．③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个 交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确 定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由公理 2 可得必为 平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示．
答案：(1)√ (2)× (3)×
4 ． ( 人教 A 必修 ②P52B1(2) 改编 ) 如图，在正方体 ABCD － A′B′C′D′中，AB 的中点为 M，DD′的中点为 N，则异面直线 B′M 与 CN 所成的角是________．
解析：取 AA′的中点 Q，连接 QN，BQ，且 BQ 与 B′M 相交 于点 H，则 QN 綊 AD 綊 BC，从而有四边形 NQBC 为平行四边形，
答案 1．平行 相交 任何
π (2)0， 2
2．(1)锐角(或直角) 3．相等或互补
3．判断正误 (1)已知 a，b，c，d 是四条直线，若 a∥b，b∥c，c∥d，则 a ∥d.( ) )
(2)两条直线 a，b 没有公共点，那么 a 与 b 是异面直线．(
(3)若 a，b 是两条直线，α，β 是两个平面，且 a ⊂α，b⊂β，则 a，b 是异面直线．( )
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高考数学总复习 第七章 立体几何 7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 文_00001
又因为 A1C∩β＝R，所以 R∈A1C．
所以 R∈α 且 R∈β.则 R∈PQ. 故 P，Q，R 三点共线．
2021/12/12
第八页，共四十六页。
(3)因为 EF∥BD，且 EF≠BD， 所以 DE 与 BF 一定相交，设交点为 M， 因为 BF⊂平面 BCC1B1，DE⊂平面 DCC1D1，且平面 BCC1B1∩ 平面 DCC1D1＝CC1， 所以 M∈CC1，所以 DE，BF，CC1 三线共点．
第七章
立体几何(lìtǐjǐhé)
2021/12/12
第一页，共四十六页。
第3节 空间(kōngjiān)点、直线、
平面之间的位置关系
2021/12/12
第二页，共四十六页。
考纲考情
考向预测
从近三年高考情况来看，本节在高
1.理解空间直线、平面位置关 系的定义． 2.了解可以作为推理依据的公 理和定理． 3.能运用公理、定理和已获得
作 FG∥BC 交 AC 于点 G，连接 PM，GE， 则 NP∥BC∥FG，由题意可知 PM∥GE∥AD， 由于 BC⊥AD，则△NPM 和△FGE 均为直角三角形，
2021/12/12
第二十一页，共四十六页。
因为|NP|＝|PM|＝12|BC|＝12|AD|＝3，NM＝3 2， 所以 NP 与 NM 所成的角为π4， |FG|＝13|BC|＝2，|GE|＝23|AD|＝4，|FE|＝2 5，cos∠GFE＝22 5
∴P∈平面 ABC．同理 P∈平面 ADC．
∴P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点． 又平面 ABC∩平面 ADC＝AC， ∴P∈AC，∴P，A，C 三点共线．
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所以 R∈α 且 R∈β.则 R∈PQ. 故 P，Q，R 三点共线．
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(3)因为 EF∥BD，且 EF≠BD， 所以 DE 与 BF 一定相交，设交点为 M， 因为 BF⊂平面 BCC1B1，DE⊂平面 DCC1D1，且平面 BCC1B1∩ 平面 DCC1D1＝CC1， 所以 M∈CC1，所以 DE，BF，CC1 三线共点．
第七章
立体几何(lìtǐjǐhé)
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第3节 空间(kōngjiān)点、直线、
平面之间的位置关系
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考纲考情
考向预测
从近三年高考情况来看，本节在高
1.理解空间直线、平面位置关 系的定义． 2.了解可以作为推理依据的公 理和定理． 3.能运用公理、定理和已获得
作 FG∥BC 交 AC 于点 G，连接 PM，GE， 则 NP∥BC∥FG，由题意可知 PM∥GE∥AD， 由于 BC⊥AD，则△NPM 和△FGE 均为直角三角形，
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因为|NP|＝|PM|＝12|BC|＝12|AD|＝3，NM＝3 2， 所以 NP 与 NM 所成的角为π4， |FG|＝13|BC|＝2，|GE|＝23|AD|＝4，|FE|＝2 5，cos∠GFE＝22 5
∴P∈平面 ABC．同理 P∈平面 ADC．
∴P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点． 又平面 ABC∩平面 ADC＝AC， ∴P∈AC，∴P，A，C 三点共线．
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全国版2019版高考数学一轮复习第7章立体几何第3讲空间点直线平面之间的位置关系课件
答题启示 由于长方体或正方体中包含了线线平行、线 面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系， 故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间的位置关 系，显得直观、易判断.构造时注意其灵活性，想象各种情 况反复验证.
跟踪训练 [2018·郑州模拟]设 l 是直线，α，β 是两个不同的平面， () A．若 l∥α，l∥β，则 α∥β B．若 l∥α，l⊥β，则 α⊥β C．若 α⊥β，l⊥α，则 l⊥β D．若 α⊥β，l∥α，则 l⊥β
解析 解法一：设 α∩β＝a，若直线 l∥a，且 l⊄α，l⊄β， 则 l∥α，l∥β，因此 α 不一定平行于 β，故 A 错误；由于 l ∥α，故在 α 内存在直线 l′∥l，又因为 l⊥β，所以 l′⊥β， 故 α⊥β，所以 B 正确；若 α⊥β，在 β 内作交线的垂线 l， 则 l⊥α，此时 l 在平面 β 内，因此 C 错误；已知 α⊥β，若 α∩β ＝a，l∥a，且 l 不在平面 α，β 内，则 l∥α 且 l∥β，因此 D 错误．
核心规律
1.三个公理的作用是证明点共线、点共面、线共面、线 共点等几何问题．
2.求异面直线所成的角就是要通过平移转化的方法，将 异面直线所成的角转化成同一平面内的直线所成的角，放到 同一个可解的三角形中去求解．
满ห้องสมุดไป่ตู้策略
1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含 义，不要理解成“不在同一个平面内”．
AD＝BC＝2，N 为 BC 的中点，由勾股定理易求得 AN
＝DN＝CM＝2 2，∴MK＝ 2.
在 Rt△CKN 中，CK＝ 22＋12＝ 3.在△CKM 中，
由余弦定理，得
cos∠KMC＝
22＋2 22－ 2× 2×2 2
新高考数学一轮复习第七章立体几何7.3空间点直线平面之间的位置关系课件
(3)以下四个命题中，正确命题的个数是( B )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则 A，B，
C，D，E 共面；
③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0
B．1
C．2
D．3
(4)如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且 C∉l，直线 AB∩l ＝M，过 A，B，C 三点的平面记作 γ，则 γ 与 β 的交线必通过( D )
设 AB＝1，在△CFN 中，CN＝ 25，FN＝ 45，CF＝
17 4.
由余弦定理得 cosθ＝|cos∠CNF|＝CN2＋ 2CFNN·F2－N CF2＝25.
02 考点探究 明晰规律
课堂升华 强技提能
考点一 平面的基本性质
【例 1】 已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为 D1C1，C1B1 的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中 点，则这四个点不共面的一个图是( D )
解析：A，B，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面．
2.如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB∥CD，直线 AB，BC， AD，DC 分别与平面 α 相交于点 E，G，H，F，求证：E，F，G， H 四点必定共线．
A．相交但不垂直 B．相交且垂直
C．异面
D．平行
解析：连接 D1E 并延长交 AD 于 M 点，因为 A1E＝2ED，可 得，M 为 AD 中点，连接 BF 并延长交 AD 于 N 点，因为 CF＝ 2FA，可得 N 为 AD 中点，所以 M，N 重合．且EMDE1＝12，MFBF＝12. 所以EMDE1＝MFBF，所以 EF∥BD1.
高考数学一轮复习第七章立体几何7_3空间点直线平面之间的位置关系课件文新人教A版
答案 B
二、走近高考
3．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点， 则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为( )
A．
2 2
B．
3 2
C．
5 2
D．
7 2
解析 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，CD∥AB，所以异面直线 AE 与 CD 所成角为∠EAB，设正方体棱长为 2a，则由 E 为棱 CC1 的中点，可得 CE＝a，所以 BE＝ 5a。又由 AB⊥平面 BCC1B1，可得 AB⊥BE，所以 tan ∠EAB＝BAEB＝ 25aa＝ 25。故选 C。
①直线 AM 与 CC1 是相交直线； ②直线 AM 与 BN 是平行直线； ③直线 BN 与 MB1 是异面直线； ④直线 AM 与 DD1 是异面直线。 其中正确的结论为________(注：把正确结论的序号都填上)。
解析 A，M，C1 三点共面，且在平面 AD1C1B 中，但 C∉平面 AD1C1B， 因此直线 AM 与 CC1 是异面直线，同理 AM 与 BN 也是异面直线，AM 与 DD1 也是异面直线；①②错误，④正确；M，B，B1 三点共面，且在平面 MBB1 中，但 N∉平面 MBB1，因此直线 BN 与 MB1 是异面直线，③正确。
⊥β；
④若直线 m，n 在平面 α 内的射影互相垂直，则 m⊥n。
A．②
B．②③
C．①③
D．②④
解析 对于①，m 与 n 可能平行，可能相交，也可能异面，①错误； 对于②，由线面垂直的性质定理可知，m 与 n 一定平行，故②正确；对于 ③，还有可能 n∥β 或 n 与 β 相交，③错误；对于④，把 m，n 放入正方体 中，如图，取 A1B 为 m，B1C 为 n，平面 ABCD 为平面 α，则 m 与 n 在 α 内的射影分别为 AB 与 BC，且 AB⊥BC。而 m 与 n 所成的角为 60°，故④ 错误。
二、走近高考
3．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点， 则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为( )
A．
2 2
B．
3 2
C．
5 2
D．
7 2
解析 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，CD∥AB，所以异面直线 AE 与 CD 所成角为∠EAB，设正方体棱长为 2a，则由 E 为棱 CC1 的中点，可得 CE＝a，所以 BE＝ 5a。又由 AB⊥平面 BCC1B1，可得 AB⊥BE，所以 tan ∠EAB＝BAEB＝ 25aa＝ 25。故选 C。
①直线 AM 与 CC1 是相交直线； ②直线 AM 与 BN 是平行直线； ③直线 BN 与 MB1 是异面直线； ④直线 AM 与 DD1 是异面直线。 其中正确的结论为________(注：把正确结论的序号都填上)。
解析 A，M，C1 三点共面，且在平面 AD1C1B 中，但 C∉平面 AD1C1B， 因此直线 AM 与 CC1 是异面直线，同理 AM 与 BN 也是异面直线，AM 与 DD1 也是异面直线；①②错误，④正确；M，B，B1 三点共面，且在平面 MBB1 中，但 N∉平面 MBB1，因此直线 BN 与 MB1 是异面直线，③正确。
⊥β；
④若直线 m，n 在平面 α 内的射影互相垂直，则 m⊥n。
A．②
B．②③
C．①③
D．②④
解析 对于①，m 与 n 可能平行，可能相交，也可能异面，①错误； 对于②，由线面垂直的性质定理可知，m 与 n 一定平行，故②正确；对于 ③，还有可能 n∥β 或 n 与 β 相交，③错误；对于④，把 m，n 放入正方体 中，如图，取 A1B 为 m，B1C 为 n，平面 ABCD 为平面 α，则 m 与 n 在 α 内的射影分别为 AB 与 BC，且 AB⊥BC。而 m 与 n 所成的角为 60°，故④ 错误。
高考数学一轮总复习第7章立体几何7.3空间点、直线、平
2 ． [2017· 济宁模拟 ] 直线 l1 ， l2 平行的一个充分条件是 ( ) A． l1，l2 都平行于同一个平面 B．l1，l2 与同一个平面所成的角相等 C．l1 平行于 l2 所在的平面 D．l1，l2 都垂直于同一个平面
解析
对 A，当 l1，l2 都平行于同一个平面时，l1 与 l2 可
第7章 立体几何
第3讲 空间点、直线、平面之间的位置 关系
板块一 知识梳理· 自主学习
[ 必备知识] 考点 1 平面的基本性质
考点 2 共面 直线
空间两条直线的位置关系
1．位置关系的分类
相交 直线：同一平面内，有且只有______ 一个 公共点； ①______ 平行 直线：同一平面内，______ 没有 公共点. ②______
解析
∵ AB⊂γ， M∈ AB，∴ M∈γ.又 α∩β＝ l， M∈ l，
∴ M∈ β.根据公理 3 可知， M 在 γ 与 β 的交线上． 同理可 知，点 C 也在 γ 与 β 的交线上．
4．如图是正四面体的平面展开图，G，H ，M，N分别 为DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中， ①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60° 角； ④DE与MN垂直．
[ 解]
(1)证明：由题设知，因为 G、H 分别为 F A、FD
1 的中点，所以 GH∥ AD 且 GH＝ AD， 2 1 又 BC∥ AD 且 BC＝ AD， 2 故 GH∥ BC 且 GH＝ BC， 所以四边形 BCHG 是平行四边形． (2)C， D， F， E 四点共面．理由如下： 1 由 BE∥AF 且 BE＝ AF， G是F A 的中点知 BE∥ GF 且 2 BE＝ GF，所以四边形 EFGB 是平行四边形，
立体几何与空间向量之 空间点、直线、平面之间的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(3) DE ， BF ， CC 1三线交于一点. [解析] 因为 EF ∥ BD 且 EF ＜ BD ，所以 DE 与 BF 相交，设交点为 M ，则由 M ∈ DE ， DE ⊂平面 D 1 DCC 1，得 M ∈平面 D 1 DCC 1，同理， M ∈平面 B 1 BCC 1. 又平面 D 1 DCC 1∩平面 B 1 BCC 1＝ CC 1，所以 M ∈ CC 1. 所以 DE ， BF ， CC 1三线交于一点.
(2)若 A 1 C 交平面 DBFE 于点 R ，则 P ， Q ， R 三点共线. [解析] 记 A 1， C ， C 1三点确定的平面为平面α，平面 BDEF 为平面β.因为 Q ∈ A 1 C 1，所以 Q ∈α.又 Q ∈ EF ，所以 Q ∈β，所以 Q 是α与β的公共点.同理， P 是α与β的公共点，所以α∩β＝ PQ . 又 A 1 C ∩β＝ R ，所以 R ∈ A 1 C ， R ∈α，且 R ∈β，则 R ∈ PQ ，故 P ， Q ， R 三点共线.
B. AC
C. AD1
D. B1C
[解析] 对于A，如图1，当点 P 为 A 1 C 1的中点时，连接 B 1 D 1， BD ，则 P 在 B 1 D 1 上， BP ⊂平面 BDD 1 B 1，又 DD 1⊂平面 BDD 1 B 1，所以 BP 与 DD 1共面，故A错误；
图1
对于B，如图2，连接 AC ，易知 AC ⊂平面 ACC 1 A 1， BP ⊄平面 ACC 1 A 1，且 BP ∩ 平面 ACC 1 A 1＝ P ， P 不在 AC 上，所以 BP 与 AC 为异面直线，故B正确；当点 P 与 点 C 1重合时，连接 AD 1， B 1 C (图略)，由正方体的性质，易知 BP ∥ AD 1， BP 与 B 1 C 相交，故C，D错误.故选B.
(2)若 A 1 C 交平面 DBFE 于点 R ，则 P ， Q ， R 三点共线. [解析] 记 A 1， C ， C 1三点确定的平面为平面α，平面 BDEF 为平面β.因为 Q ∈ A 1 C 1，所以 Q ∈α.又 Q ∈ EF ，所以 Q ∈β，所以 Q 是α与β的公共点.同理， P 是α与β的公共点，所以α∩β＝ PQ . 又 A 1 C ∩β＝ R ，所以 R ∈ A 1 C ， R ∈α，且 R ∈β，则 R ∈ PQ ，故 P ， Q ， R 三点共线.
B. AC
C. AD1
D. B1C
[解析] 对于A，如图1，当点 P 为 A 1 C 1的中点时，连接 B 1 D 1， BD ，则 P 在 B 1 D 1 上， BP ⊂平面 BDD 1 B 1，又 DD 1⊂平面 BDD 1 B 1，所以 BP 与 DD 1共面，故A错误；
图1
对于B，如图2，连接 AC ，易知 AC ⊂平面 ACC 1 A 1， BP ⊄平面 ACC 1 A 1，且 BP ∩ 平面 ACC 1 A 1＝ P ， P 不在 AC 上，所以 BP 与 AC 为异面直线，故B正确；当点 P 与 点 C 1重合时，连接 AD 1， B 1 C (图略)，由正方体的性质，易知 BP ∥ AD 1， BP 与 B 1 C 相交，故C，D错误.故选B.
高三理科数学一轮复习 第七章 立体几何 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件
21
【针对训练】
平面α外有两条直线m和n,如果m和n在平面α内的射影分别是直线m1和直线n1,给出下列四个命题: ①m1⊥n1⇒m⊥n;②m⊥n⇒m1⊥n1;③m1与n1相交⇒m与n相交或重合;④m1与n1平行⇒m与n平行或 重合.其中不正确的命题个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
D 【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中AD1,AB1,B1C在底面 上的射影分别是A1D1,A1B1,B1C1.A1D1⊥A1B1,但AD1不垂直AB1,故① 不正确;又AD1⊥B1C,但A1D1∥B1C1,故②也不正确;若m1与n1相交,则m 与n还可以异面,③不正确;若m1与n1平行,m与n可以平行,也可以异面, ④不正确.
说明:两条异面直线所成的角的范围是
0,
π 2
.
4
3.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
位置关系
图形语言
符号语言
直线在平面内
a⊂α
公共点 无数个
直线与平面 直线在 平面外
相交
平行
a∩α=A a∥α
有且只 有一个
无
两平面平行
平面与平面
两平面相交
α∥β
无
α∩β=a 有无数个(在一条直线上)
4.常用的数学方法与思想
(1)判断四边形D1MBN的形状;
【(解2)析求】四(边1)四形边D形1MDB1NM的BN面为积菱.形.取 BB1 的中点 Q,连接 QN,
则 QN B1C1,B1C1 A1D1, 所以 QN A1D1, 所以四边形 A1D1NQ 是平行四边形, 所以 D1N A1Q, 又 BM A1Q, 所以 D1N BM, 所以四边形 D1MBN 是平行四边形, 又 D1M=BM, 所以四边形 D1MBN 是菱形.
【针对训练】
平面α外有两条直线m和n,如果m和n在平面α内的射影分别是直线m1和直线n1,给出下列四个命题: ①m1⊥n1⇒m⊥n;②m⊥n⇒m1⊥n1;③m1与n1相交⇒m与n相交或重合;④m1与n1平行⇒m与n平行或 重合.其中不正确的命题个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
D 【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中AD1,AB1,B1C在底面 上的射影分别是A1D1,A1B1,B1C1.A1D1⊥A1B1,但AD1不垂直AB1,故① 不正确;又AD1⊥B1C,但A1D1∥B1C1,故②也不正确;若m1与n1相交,则m 与n还可以异面,③不正确;若m1与n1平行,m与n可以平行,也可以异面, ④不正确.
说明:两条异面直线所成的角的范围是
0,
π 2
.
4
3.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
位置关系
图形语言
符号语言
直线在平面内
a⊂α
公共点 无数个
直线与平面 直线在 平面外
相交
平行
a∩α=A a∥α
有且只 有一个
无
两平面平行
平面与平面
两平面相交
α∥β
无
α∩β=a 有无数个(在一条直线上)
4.常用的数学方法与思想
(1)判断四边形D1MBN的形状;
【(解2)析求】四(边1)四形边D形1MDB1NM的BN面为积菱.形.取 BB1 的中点 Q,连接 QN,
则 QN B1C1,B1C1 A1D1, 所以 QN A1D1, 所以四边形 A1D1NQ 是平行四边形, 所以 D1N A1Q, 又 BM A1Q, 所以 D1N BM, 所以四边形 D1MBN 是平行四边形, 又 D1M=BM, 所以四边形 D1MBN 是菱形.
高考数学一轮总复习第七章立体几何 2空间点直线平面之间的位置关系课件
所以1 //1 .
因为//1 ，所以//1 ，所以与1 能确定一个平面1 ，
即，，1 ，四点共面.
（2）由（1）知//1 ，且 =
1
1 ，
2
所以四边形1 是梯形.
所以与1 必相交，设交点为，
则 ∈ ，且 ∈ 1 .
A.一定是异面直线
C.可能是平行直线
)
B.一定是相交直线
D.可能是异面直线，也可能是相交直线
√
解：如图,设直线与直线分别与两条异面直线相交于点A,B,C,D
（不妨设点A与点C不重合）.
由题意,可得当点D与点B重合时，两条直线相交;当点D与点B不重合
时，两条直线异面.所以直线,的位置关系是异面或相交.故选D．
则与直线1 1 ,,都相交的直线(
A.有且仅有一条
B.有且仅有两条
)
C.有且仅有三条
D.无数条
√
解：如图,在上任意取一点，直线1 1 与点确定一个平面，这
个平面与有且仅有1个交点.当点取不同的位置就确定不同的平
面，从而与有不同的交点.而直线与这3条异面直线都有交点，
2.异面直线的两个常用判定
（1）与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.
（2）分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）如果两个不重合的平面 ， 有一条公共直线，就说平面 ， 相交，并记
作 ∩ = . ( √ )
A.异面
C.可能共面，也可能异面
√
)
B.相交
D.平行
解：两条直线都与一个平面平行，在空间中，这两条直线可能相交、平行或者异面.
其中相交或者平行属于共面直线，所以这两条直线的位置关系是可能共面，也可能异
因为//1 ，所以//1 ，所以与1 能确定一个平面1 ，
即，，1 ，四点共面.
（2）由（1）知//1 ，且 =
1
1 ，
2
所以四边形1 是梯形.
所以与1 必相交，设交点为，
则 ∈ ，且 ∈ 1 .
A.一定是异面直线
C.可能是平行直线
)
B.一定是相交直线
D.可能是异面直线，也可能是相交直线
√
解：如图,设直线与直线分别与两条异面直线相交于点A,B,C,D
（不妨设点A与点C不重合）.
由题意,可得当点D与点B重合时，两条直线相交;当点D与点B不重合
时，两条直线异面.所以直线,的位置关系是异面或相交.故选D．
则与直线1 1 ,,都相交的直线(
A.有且仅有一条
B.有且仅有两条
)
C.有且仅有三条
D.无数条
√
解：如图,在上任意取一点，直线1 1 与点确定一个平面，这
个平面与有且仅有1个交点.当点取不同的位置就确定不同的平
面，从而与有不同的交点.而直线与这3条异面直线都有交点，
2.异面直线的两个常用判定
（1）与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.
（2）分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）如果两个不重合的平面 ， 有一条公共直线，就说平面 ， 相交，并记
作 ∩ = . ( √ )
A.异面
C.可能共面，也可能异面
√
)
B.相交
D.平行
解：两条直线都与一个平面平行，在空间中，这两条直线可能相交、平行或者异面.
其中相交或者平行属于共面直线，所以这两条直线的位置关系是可能共面，也可能异
高考数学一轮复习 第7章 立体几何初步 第3节 空间点、
Байду номын сангаас
(2)∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE 与 D1F 必相交，设交点为 P， 则由 P∈直线 CE，CE⊂平面 ABCD， 得 P∈平面 ABCD.8 分 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝DA， ∴P∈直线 DA，∴CE，D1F，DA 三线共点.12 分
[规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法： (1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面． (2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内． (3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 α，再证明其余元素确定平面 β，最后证明平面 α，β 重合． 2．证明点共线问题的常用方法： (1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基 本性质 3 证明这些点都在这两个平面的交线上． (2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线 上．
[变式训练 1] 如图 7-3-3 所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形，BC 綊12AD，BE 綊12FA，G，H 分别为 FA，FD
的中点． (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；
(2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？
图 7-3-3
[解] (1)证明：由已知 FG＝GA，FH＝HD，得 GH 綊12AD.2 分
平面的基本性质
如图 7-3-2，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分 别是 AB 和 AA1 的中点．求证：
(1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点．
【导学号：31222249】
图 7-3-2
[证明] (1)如图，连接 EF，CD1，A1B. ∵E，F 分别是 AB，AA1 的中点， ∴EF∥BA1.2 分 又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F 四点共面.5 分
(2)∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE 与 D1F 必相交，设交点为 P， 则由 P∈直线 CE，CE⊂平面 ABCD， 得 P∈平面 ABCD.8 分 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝DA， ∴P∈直线 DA，∴CE，D1F，DA 三线共点.12 分
[规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法： (1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面． (2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内． (3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 α，再证明其余元素确定平面 β，最后证明平面 α，β 重合． 2．证明点共线问题的常用方法： (1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基 本性质 3 证明这些点都在这两个平面的交线上． (2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线 上．
[变式训练 1] 如图 7-3-3 所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形，BC 綊12AD，BE 綊12FA，G，H 分别为 FA，FD
的中点． (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；
(2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？
图 7-3-3
[解] (1)证明：由已知 FG＝GA，FH＝HD，得 GH 綊12AD.2 分
平面的基本性质
如图 7-3-2，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分 别是 AB 和 AA1 的中点．求证：
(1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点．
【导学号：31222249】
图 7-3-2
[证明] (1)如图，连接 EF，CD1，A1B. ∵E，F 分别是 AB，AA1 的中点， ∴EF∥BA1.2 分 又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F 四点共面.5 分
高考数学一轮复习第七章立体几何第3节空间点直线平面之间的位置关系课件
(2)平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB，CD，EF 和 GH 在原正方体中，显然 AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交，CD 与 GH 相交，CD 与 EF 平行．故互为异面的直线有且只有 3 对．
【答案】 (1)C (2)3
[规律总结] 1．空间中两直线位置关系的判定方法： (1)对于异面直线，可采用直接法或反证法； (2)对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行 与面面平行的性质定理； (3)对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决． 2．解答位置关系问题，当遇到抽象不好说明的情形时，常选取正(长)方体 作几何模型来辅助解决．
为
；
(2)若直线 AB⊥CD，则直线 AB 与 MN 所成的角为
．
【解析】 (1)如图，取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，则 PM∥AB，且 PM ＝12AB，PN∥CD，且 PN＝12CD，所以∠MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角．
则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°， 若∠MPN＝60°，因为 PM∥AB，所以∠PMN(或其补角) 是 AB 与 MN 所成的角．又因为 AB＝CD，所以 PM＝PN，则△PMN 是等边三角 形，所以∠PMN＝60°， 即 AB 与 MN 所成的角为 60°.
【答案】 B
4．下列命题正确的是( ) A．若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内，则 l∥α B．若直线 l∥平面 α，则 l 与 α 内的任一条直线都平行 C．若直线 a∥直线 b，a∥平面 α，则 b∥平面 α D．若直线 a∥平面 α，则 a 与 α 内的任意一条直线都没有公共点
【解析】 当直线 l 与 α 相交时，也有无数点不在 α 内，A 错；若 l∥α，则 l 与 α 内的直线平行或异面，B 错；当 a∥b，且 a∥α 时，b∥α 或 b⊂α，C 错； 由 B 知 D 正确．
【答案】 (1)C (2)3
[规律总结] 1．空间中两直线位置关系的判定方法： (1)对于异面直线，可采用直接法或反证法； (2)对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行 与面面平行的性质定理； (3)对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决． 2．解答位置关系问题，当遇到抽象不好说明的情形时，常选取正(长)方体 作几何模型来辅助解决．
为
；
(2)若直线 AB⊥CD，则直线 AB 与 MN 所成的角为
．
【解析】 (1)如图，取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，则 PM∥AB，且 PM ＝12AB，PN∥CD，且 PN＝12CD，所以∠MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角．
则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°， 若∠MPN＝60°，因为 PM∥AB，所以∠PMN(或其补角) 是 AB 与 MN 所成的角．又因为 AB＝CD，所以 PM＝PN，则△PMN 是等边三角 形，所以∠PMN＝60°， 即 AB 与 MN 所成的角为 60°.
【答案】 B
4．下列命题正确的是( ) A．若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内，则 l∥α B．若直线 l∥平面 α，则 l 与 α 内的任一条直线都平行 C．若直线 a∥直线 b，a∥平面 α，则 b∥平面 α D．若直线 a∥平面 α，则 a 与 α 内的任意一条直线都没有公共点
【解析】 当直线 l 与 α 相交时，也有无数点不在 α 内，A 错；若 l∥α，则 l 与 α 内的直线平行或异面，B 错；当 a∥b，且 a∥α 时，b∥α 或 b⊂α，C 错； 由 B 知 D 正确．