沪教版(上海)数学八年级第二学期21.1 一元整式方程 教案
八年级数学下册 21.1 整式方程学案(无答案) 沪教版五
当 时，方程有无数解，解为任意实数
当 时，方程没有实数解.
例3：如果关于 的方程 无解，那么 的取值范围是（ ）
A） ；B) ；C) ；D) 任意实数.
变式 如果关于 的方程 无解，那么 满足（ ）.
； B． ； C． ； D． 任意实数.
关于 的方程 ，分别求 为何值时，原方程（1）有唯一解（2）有无数多解（3）无解
11.某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是__________元（结果用含m的代数式表示）.
； B. ； C. ； D. .
方程① ；② ；③ ；④ 是双二次方程的有（ ）．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
变式：判断下列关于 的方程，哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程？
例2:【对方程根的判断】
方程 （ ）
A．有一个实数根 B．有两个实数根 C．有三个实数根 D．无实数根
方程 的实数根的个数是（ ）
（A）0 ；（B） 1 ； （C）2 ；（D）3 .
方程 的根的个数是（ ）
（A） 1 ；（B）2 ； C） 3 ；（D）4 .
变式 是方程 的一个实数根，则 分别是( )．
A．0，2 B．0，－2 C．不能确定，2 D．不能确定，－2
如果 是方程 的根，那么 的值是（ ）
A．0B．2C． D．
基本题型：方程 的解的情况：
一般形式：
解的情况：
当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，；
当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.
二项方程的基本方法是（开方）
沪教版(上海)数学八年级下册-21.1 一元二次方程 教案
一元二次方程学情分析：本班有学生25人，数学课还比较喜欢，学习热情也较高，课堂气氛比较活跃。
学生在学过一元一次方程的基础上学习，还是对方程有一定的认识。
一、教学目标、1、情感态度与价值观⑴.通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。
⑵感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2、过程与方法⑴通过观察，归纳一元二次方程概念的教学⑵使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式。
3、知识与技能⑴通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义。
⑵. 一元二次方程的一般形式及其有关概念二、教学重点、难点⑴．一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程有关概念解决问题。
⑵．通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。
三、教学资源⑴每人一份印刷练习题⑵教师自制的多媒体课件⑶上课环境为多媒体大屏幕环境四、教学过程㈠、情境导入•什么是方程？•含有未知数的等式叫方程你学过的方程是什么样子的？如：x+3=51\2x+4=85x-2=6 ……它们都有什么特点？一个未知数，未知数的最高次数是1它们都是一元一次方程问题展示1、用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒子．试求出截去的小正方形的边长．分析：由题意可知截取后的底面积．故应根据面积找相等关系解题．解：设小正方形边长为x cm，则盒子底面的长、宽分别为（80-2x）cm、（60-2x）cm，则有（80-2x）（60-2x）＝1500．即x2-70x+825＝02、剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？分析：要解决此问题，需求出铁片的长和宽，由于长比宽多5cm，可设宽为未知数来列方程．解：设这块铁片宽x cm，则长是（x+5）cm．根据题意，可得x（x+5）＝150．即x2+5x-150＝0二、活动观察这两个方程有什么共同点？x2-70x+825＝0x2+5x-150＝0方程中未知数的个数、次数各是多少？三、梳理等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程．1、定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程2、．观察下面两个方程1\2x(x-1)=28 x2-x-56=06x(x-1)+2=16 6x2-6x-14=0梳理：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax 2+bx +c =0 （a ≠0）为什么？这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．四、合作探究1、下列方程中哪些是一元二次方程？是一元二次方程的有： 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．解：方程(1)整理为5x 2-4x -1=0；其中二次项系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1．方程(2)整理为4x 2-81=0；其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81．分析：剪铁片的题目中，列得的方程为x 2+5x-150＝0． x 1 2 3 … 9 10 11 x 2+5x -150 -144-136 -126 … -24 16是方程x 2+5x -150的解．一元二次方程的解也叫一元二次方程的根．通过计算可知，当x =-15时，方程左边为0，与方程右边相等，所以x =-15也是方程x 2+5x -150=0的根．探究：虽然方程x 2+5x -150=0有两个根（x =10和x =-15），但剪铁片问题的答案21250x x -+=（）224310x y --=（）230ax bx c ++=（）4120x x +-=（）（）2150a a +=（）2621m -=（）（）)(1)(4)(622151424810x x x -=-=（）（）只有一个，宽应为10cm ．由实际问题列出方程并得出方程的解后，必须考虑这些解是否是该实际问题的解，即是否符合生活实际．思考1、下列哪些是方程的x 2+6x -16=0根？0，2，4，6，8，-2，-4，-6，-8．2、试写出下列方程的根．（1）3x 2-27=0（2）4x 2=1（3）x 2-x =03、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根． 列方程解决实际问题时，解不仅要满足所列方程，还需满足适合实际.五、巩固练习1、一元二次方程3y （y ＋1）=7（y ＋2）－5化为一般形式为 ；其中二次项系数为 ；一次项系数为 ；常数项为 ．2、已知关于x 的方程（k 2-1）x 2+kx -1=0为一元二次方程，则k六、应用拓宽关于x 的方程是一元二次方程，求m 的值。
沪教版(五四制)八年级数学下册 21.1 整式方程 同步讲义
--------整式方程★1、知道一元整式方程的概念，理解高次方程的概念；2、会解含有字母系数的一元一次方程与一元二次方程，体会分类讨论的思想方法；3、会用计算器求二项方程的实数根（近似根)，会用换元法解双二次方程，会用因式分解的方法解某些简单的高次方程．通过解特殊的高次方程，体会整体思想和降次策略；4、培养学生分析问题、解决问题的能力。
【课堂导入】解下列问题时所列出的方程属于哪一种类型？（1）买a（a是正整数）本同样的练习本共需12元，求练习本的单价。
（2）一个正方形的面积的b倍（b＞0）等于2s（平方单位），求正方形的边长。
答案：（1）ax = 12 （这个方程是含字母系数的一元一次方程）（2）bx2 = 2s (b＞0) （这个方程是含字母系数的一元二次方程）知识结构1、代数方程的知识结构2、一元整式方程如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程。
5、 高次方程如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），那么这个方程就叫做一元n 次方程；其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程，本章简称高次方程。
例如：53116102x x x -+-=，42540x x -+=等都是高次方程。
6、 二项方程如果一元n 次方程的一边只含有未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程。
关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为0(0,0,)n ax b a b n +=≠≠是正整数1.本部分建议时长2分钟.2.请学生先思考，发现有遗忘时让学生查看讲义，最后口述完成.3.概念中的关键词一定要搞清楚。
1.本部分建议时长25分钟.2.进行例题讲解时，教师宜先请学生试着自行解答.若学生能正确解答，则不必做过多的讲解；若学生不能正确解答，教师应对相关概念、公式进行进一步辨析后再讲解例题.3.在每一道例题之后设置了变式训练题，应在例题讲解后鼓励学生独立完成，以判断学生是否真正掌握了相关考点和题型.4.教师应正确处理好例题与变式训练题之间的关系，宜采用讲练结合的方式，切不可将所有例题都讲完后再让学生做变式训练题.题型一：整式方程的概念“典例精讲”这一部分的教学，可采用下面的策略：“知识结构”这一部分的教学，可采用下面的策略：判断下列关于x 的方程,哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程? (★);1523)3(;0814)2(;0121)1(332ax x a x x a x -=+=+=-+ .087)6(;322)5(;3122)4(242=-+--=+=+x x a a x xx x答案：整式方程：（1）、（2）（3）、（6）分别为一元二次方程、一元三次方程、一元一次方程、一元四次方程。
沪教版数学八年级下册21.1《整式方程》教学设计
沪教版数学八年级下册21.1《整式方程》教学设计一. 教材分析《整式方程》是沪教版数学八年级下册第21章第1节的内容，主要介绍了整式方程的定义、解法及其应用。
学生在学习了整式的运算和一元一次方程的基础上，进一步学习整式方程，旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本节课的内容是后续学习更复杂方程的基础，具有重要的意义。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对整式的运算和一元一次方程有一定的了解。
但是，学生对整式方程的理解和应用还有一定的困难，需要通过实例分析和练习来进一步巩固。
此外，学生的逻辑思维能力和解决问题的能力还有待提高，需要教师在教学过程中进行引导和培养。
三. 教学目标1.了解整式方程的定义，掌握整式方程的解法。
2.能够应用整式方程解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和合作交流能力。
四. 教学重难点1.重点：整式方程的定义和解法。
2.难点：整式方程的应用和解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探究来发现和总结整式方程的解法。
2.利用实例分析和练习，让学生在实际问题中体会整式方程的应用。
3.采用小组合作交流的方式，培养学生的团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学素材，如PPT、例题、练习题等。
2.准备黑板和粉笔，用于板书和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学方法来解决这些问题。
通过问题的引入，激发学生的学习兴趣，引出整式方程的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示整式方程的定义和解法，让学生初步了解整式方程的基本概念和解法。
同时，引导学生思考如何将实际问题转化为整式方程，并解答一些简单的整式方程。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，解决一些关于整式方程的实际问题。
鼓励学生发表自己的观点和思路，培养学生的合作交流能力。
教师在这个过程中给予适当的引导和帮助，解答学生遇到的问题。
2024春八年级数学下册21.1一元整式方程教学设计沪教版五四制
2024春八年级数学下册21.1一元整式方程教学设计沪教版五四制一. 教材分析本节课的教学内容是沪教版八年级数学下册21.1一元整式方程。
一元整式方程是初中数学中重要的一部分，是解决实际问题和其它数学问题的重要工具。
通过本节课的学习，学生将对一元整式方程有更深入的了解，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经接触过一些方程的概念，对解方程有一定的了解。
但他们对一元整式方程的理解还不够深入，需要通过本节课的学习来进一步掌握。
此外，学生可能对一些新的概念和符号感到困惑，需要教师的耐心引导和解释。
三. 教学目标1.了解一元整式方程的概念和特点。
2.学会解一元整式方程的方法。
3.能够应用一元整式方程解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：一元整式方程的概念和特点，解一元整式方程的方法。
2.难点：对一元整式方程的理解和应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索；通过案例分析，让学生深入了解一元整式方程的应用；通过小组合作学习，促进学生之间的交流和合作。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。
2.准备教学PPT和教学素材。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一个问题：“在日常生活中，你有没有遇到过需要解决一些含有未知数的问题？”引导学生思考和探索。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示一元整式方程的定义和特点，以及解一元整式方程的方法。
同时，给出相关的案例和实际问题，让学生直观地了解一元整式方程的应用。
3.操练（10分钟）让学生独立解答PPT上给出的一元整式方程题目。
教师在这个过程中提供必要的帮助和指导。
4.巩固（10分钟）让学生通过小组合作学习，共同解决一些一元整式方程的实际问题。
教师在这个过程中观察学生的表现，及时给予反馈和指导。
5.拓展（10分钟）让学生思考和探索一元整式方程在实际生活中的应用，提出自己的问题并尝试解决。
《21.1一元整式方程》作业设计方案-初中数学沪教版上海八年级第二学期
《一元整式方程》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次《一元整式方程》第一课时的作业设计，旨在帮助学生巩固整式的基本概念和方程的基本形式，能够理解并掌握一元整式方程的组成和基本解法。
通过作业练习，加强学生对一元整式方程的认知，提高解决实际问题的能力。
二、作业内容本次作业内容主要围绕一元整式方程的基础知识和基本解法展开。
1. 整式概念复习：复习整式的定义、整式的加法与乘法等基本概念，并完成相关练习题。
2. 一元整式方程的构成：学习一元整式方程的定义和形式，理解未知数、系数和等号在一元整式方程中的作用。
3. 一元整式方程的解法：学习并掌握一元整式方程的基本解法，包括移项、合并同类项等。
4. 实际应用问题：设计实际生活中的应用问题，要求学生运用所学知识建立一元整式方程并求解。
三、作业要求1. 认真审题：仔细阅读题目，明确题目要求，理解题目的意图和考察点。
2. 独立思考：独立完成作业，不依赖他人或参考资料。
3. 规范书写：作业书写要规范，步骤要清晰，答案要准确。
4. 及时反馈：如有疑问或错误，及时向老师或同学请教和讨论。
5. 注重质量：在保证完成速度的同时，更要注重完成质量，确保每道题目都得到正确的解答。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生的作业完成情况，从准确性、规范性、创新性等方面进行评价。
2. 互评与自评：鼓励学生进行互评和自评，相互学习，共同进步。
3. 教师评价：教师根据学生作业情况，给出详细的评价和建议，帮助学生更好地掌握知识和技能。
五、作业反馈1. 及时反馈：教师及时批改作业，给出详细的批注和评分，让学生及时了解自己的学习情况。
2. 个性化指导：针对学生在作业中出现的错误和不足，教师给出个性化的指导和建议，帮助学生改正错误，提高学习能力。
3. 总结反思：学生根据教师的反馈，总结自己的学习情况，反思自己的学习方法和思路，为今后的学习做好准备。
通过以上作业设计，旨在通过系统性的练习和反馈，帮助学生全面掌握一元整式方程的知识和技能，提高解决实际问题的能力。
沪教版(上海)数学八年级第二学期第21章小结《方程复习课》教案
案例《方程复习课》教学内容：方程复习 教学目标：1、 系统地复习所学方程（组）的概念及解法。
2、 理解在解方程过程中所渗透的数学思想——化归思想，整体思想。
3、 在解题过程中，培养学生观察、分析、应用等能力，养成良好的学习习惯。
教学重点：进一步理解解方程过程中所含的化归思想，能运用整体思想解题。
教学难点：能运用整体思想解方程。
教学过程：一、将下列方程进行分类（1） 2123312-=--x x （2） 03322=--x x （3） 511-=-+x x （4）2=+x x （5）24)13(2x x =- （6）33842322=++-++x x x x （7）152-=-+x x x （8）06322=+-x x二、选用合适的方法解下列方程（组）1.2123312-=--x x 2. 2)12(34)24(2-=+-x x 3. 04)1(4=--x 4. 8320322=+-+xx x x5. 6125+=+x x6. ⎩⎨⎧=-+=-121522322y xy x y x练习：1． 方程0223=+-x x x 的解是 2． 方程023=-⋅-x x 的解是3． 解方程：a bx b a x -=-22)0(≠≠b a 4． 若方程：122123222--=+--+x bx xx b x 有增根，求b 的值。
5． xx x x +=++2225426． 22058=+-+x x7． ⎪⎩⎪⎨⎧=+---=++03)(4)(92222y x y x y xy x小结：你今天的体会是……教学反思：八年级的代数类复习课主要是方程类复习课，它是指在学生经历了方程新授课、习题课后，针对学生已经具有一定解题能力的特征，在复习课中将方程知识进行系统梳理，找寻各类方程之间的联系。
通过复习，能够让学生充分理解各类方程之间的内在联系，因此，教师在课堂上应为学生提供好的学习平台，利用新的主线，增强解题方式的挑战性，提高学生的学习兴趣。
沪教版八年级下册211整式方程知识讲解讲义.docx
整式方程知识讲解【学习目标】1、知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式.2、经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.3、通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程，体会分类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想.4、理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；5、学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法，经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐.【要点梳理】要点一、一元整式方程1.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，这个方程叫做一元整式方程；2.—元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是料（〃是正整数），这个方程叫做一元〃次方程.3.一元高次方程概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是斤，若次数兀是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。
要点诠释:一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.要点二、二项方程1.概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点诠释：注：①血"=o （aHO）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.2.一般形式：ax n +b = 0（a H 0,Z? H 0,斤是正整数）3.二项方程的基本方法:是（开方）4.解的情况:当n为奇数时，方程有且只有一个实数根当n为偶数时，如果ab<0,那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如杲ab>0,那么方程没有实数根.要点三、双二次方程1.概念：只含有偶数次项的一元四次方稈.要点诠释：当常数项不是0时，规定它的次数为0.2.一般形式：ax4 + hx2 + c = 0（。
丰 0）3.解题的一般步骤：换元一一解一元二次方程一一回代4. 解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法(目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程)通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了 “降次”的策略。
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21.1 一元整式方程
教学目标:
1、知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式.
2、经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.
3、通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程,体会分类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想.
教学重点及难点:
重点:理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念及解法. 难点: 解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程中的分类讨论. 教学过程设计:
一、问题引入
1、什么叫一元整式方程？（学生回答，不一定要完全准确）
2、你能举几个是一元整式方程的例子吗？（换句话说，只要
方程有一个未知数，它就是一个一元整式方程,对不对？）
根据问题1学生的回答适当提出。
然后推出一元整式方程
的概念）
二、新课学习
思考1：有一块边长为10分米的正方形薄铁皮，在它的四个角
上分别剪去大小一样的一个小正方形，然后做成一个容积为48立方分米的无盖长方体物件箱.设小正方形的边长为分米，根据题意列方程；
整理得：
提问：这个方程是不是一元整式方程？未知数的最高次数是几次？（推出高次方程的概念）
思考2：
1、买a（a是正整数）本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价.
（（a是正整数））
提问：在这个方程里，a是用字母表示的已知数，所以这个方程有几个未知数？（1个）它是一个什么方程？（一元一次方程）字母系数概念的推出：在这个方程里，a虽然是字母，但它在题目当中不是未知数，而是ax项中的系数，所以我们给它一个名称叫字母系数。
2、一个正方形的面积的b（b＞0）倍等于2s（平方单位），求这个正方形的边长
（（b＞0））
提问：在这个方程里， b和s是用字母表示的已知数，所以这个方程有几个未知数？（1个）它是一个什么方程？（一元二次方程）这里b和s也是字母系数，因为它们也是用字母表示的已知数。
例题1：判断下列关于的方程,哪些是整式方程?这些整式方程
分别是一元几次方程?
提问：如果例题1的题目改为判断下列关于a的方程，是不是跟原来的答案一样？
例题2：解下列关于X的方程
（1）
（2）
例题3：解下列关于X的方程
（1）
（2）
三、课堂小结
在解含有字母系数的方程时要注意什么？
1．除以未知数前面的字母系数时，如果题目中无限制条件，则要
讨论字母系数是否等于0
2．方程实施开平方运算时，如果题目中无限制条件，则要讨论被开方数（字母系数）是否大于0
四、作业布置
课后小练习：书本26页第一大题2，4小题
完成练习册21.1作业。