拟合优度检验及其应用

拟合优度检验及其应用

辅修专业：经济学 12级法学1班 201210141419 刘金锋摘要：数理统计的两个主要形式就是参数估计和假设检验，在这里，我

们只介绍后者——假设检验，其中又只对假设检验中的拟合优度检验假设作介绍。假设检验根据样本分布族的数学形式已知与否，可分为参数假设检验和非参数假设检验，作为非参数假设检验之一的拟合优度检验，又是检验理论分布假设的重要方法。为了帮助我们更好了解拟合优度检验，本文将首先给我们介绍拟合优度检验的数学定义。其次，重点介绍时下讨论最多的两种

拟合优度方法——2

Pearsonχ检验和Kolmogorov Smirnov

-检验，并穿插具体实例解答来给我们直观的印象，帮助理解。最后，考虑到检验过程会很复杂，本文在最后一节讲述了这两种检验的软件实现，结合实例，编写运行程序。关键词：假设检验；非参数假设检验；拟合优度；2

Pearsonχ检验；

-检验

Kolmogorov Smirno

内容安排

1.拟合优度检验的提出

2.几种常用拟合优度检验介绍

2.1.2

Pearsonχ检验

2.1.1.理论分布完全已知情况

1.随机变量X是离散型

2.理论分布为确定分布

2.1.2.理论分布带有未知参数

2.2．Kolmogorov Smirnov

-检验

2.3.2

Pearsonχ检验与Kolmogorov Smirnov

-检验的比较

3.拟合优度检验实例分析

4.拟合优度检验的软件实现

4.1．2

Pearsonχ检验的软件实现

4.2.Kolmogorov Smirnov

-检验的软件实现

5.参考文献

1.拟合优度检验的提出[1]

假设检验问题就是通过从有关总体中抽取一定容量的样本，利用样本去检验总体分布是否具有某种特性。假设检验问题大致分为两大类：

（1）参数型假设检验：即总体的分布形式已知（如正态、指数、二项分布等），总体分布依赖于未知参数（或参数向量）θ，要检验的是有关未知参数的假设。例如，总体X ～N (α，2б), α未知，检验

0010::H a a H a a =↔≠ 或 0010::H a a H a a ≤↔>.

（2）非参数型假设检验：如果总体分布形式未知，此时就需要有一种与总体分布族的具体数学形式无关的统计方法，称为非参数方法。例如，检验一批数据是否来自某个已知的总体，就属于这类问题。

正如摘要所说，我们在本节只讨论非参数型假设检验问题，常用的非参数假设检验方法有：符号检验、符号秩和检验、秩和检验及Fisher 臵换检验和拟合优度检验。本文又只对拟合优度检验做深入介绍。

拟合优度检验问题的提法如下：设有一个一维或多维随机变量X ，令

1,,n X X …为总体X 中抽取的简单样本，F 是一已知的分布函数。要利用样本1,,n X X …检验假设

0:..H r v X 的分布为F ，

（1.1.1） 其中F 常称为理论分布。

导出这种假设检验的想法大致如下：设法提出一个反映实际数据1,,n X X …与理论分布F 偏差的量1(,,;)n D D X X F =…。如果D 较大，如D C ≥，则认为理论分布F 与数据1,,n X X …不符，因而否定0H 。然而这种“非此即彼”的提法常显得有点牵强。因为一般来说，理论和实际没有截然的符合或不符合。更恰当的提法是实际数据与理论分布符合的程度如何？因此通常对0H 的检验不是以“是”或“否”来回答，而是提供一个介于0和1之间的数字作为回答，即用此数作为符合程度的度量刻画。就具体样本算出D 之值，记为0d 。称下列的条件概率：

000()()p d P D d H =≥|

为在选定的偏离指标D 之下，样本与理论分布的拟合优度。0()p d 越接近1，表示样本与理论分布拟合的越好，因而原假设越可信。反之，它越接近0，则原假设0H 越不可信。如果它低到指定的水平α之下，则就要否定0H 了。

因此，在给定检验水平0<α<1后，根据拟合优度可以给出检验问题的一个检验如下：

当0()p d <α时否定0H ，当0()p d ≥α时接受0H 这种类型的检验称为拟合优度检验。

2.几种常用拟合优度检验介绍

2.1.2Pearson χ检验[1]

2.1.1.理论分布完全已知情况

1.随机变量X 是离散型

设1,,n X X …为从总体X 中抽取的简单样本，理论分布为

121

2

F:r r a a a p p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭

其中12,,

,r p p p 已知，且1

1r

i i p ==∑，那么根据拟合优度检验的提法，我们所需检

验的问题就是

0:(),1,2,

,i i H P X a p i r ===

设样本1,,n X X …中等于i a 的个数记为,1,2,

,i v i r =。则i v 称为i a 的观察频数，显

然有1

r

i i v n ==∑，相应的i np 就称为i a 的理论频数（因为n i v /为1,,n X X …中取值为i

a 的频率，频率的极限是i p ，故当n 充分大时有n i v /≈i p ，因此极限情形的理论频

数为i np ）。由此可见，我们可以用2

1()r

i i i i v C p n =-∑作为样本与理论分布偏差的一种

度量。在这里，.K Pearson 告诉我们，若取/i i C n p =，则在0H 成立条件下，

2

11

()(,

,;)r

i i n n n i i v np K K X X F np =-==∑ 的极限分布（当n →∞时）为21r -χ。因此有了如下定理：

定理 2.1.1 设n K =2

1

()r

i i i i v np np =-∑，则在0H 成立条件下，当样本容量

n →∞时有