第20讲 一次不定方程w
多元一次不定方程的完整讲义和练习
二元 一次不定方程知识要点和基本方法1．当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程——只讨论有二个未知数的一次不定方程2．一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解 例1． 解方程83=-y x解：由原方程，易得y x 38+= 因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为⎩⎨⎧=+=k y kx 38 其中k 为任意数 整数解问题：例2． 求方程863=+y x 的整数解解：因为)2(363y x y x +⨯=+， 所以，不论x 与y 取何整数，总有,633y x +但3不能整除8，因此，不论x 与y 取何整数，y x 63+都不可能等于8，即原方程无整数解定理1：整系数方程c by ax =+有整数解的充分而且必要条件是a 与b 的最大公约数d 能整除c例3． 求方程34104=+y x 的整数解解：因为4与10的最大公约数为2，而34是2的倍数，由定理得，原方程有整数解。
两边约去2后，得,1752=+y x 故5217xy -=，因此，要使y 取得整数，1x 27-=15，3=y ，即我们找到方程的一组解,3,100==y x 设原方程的所有解的表达式为：⎩⎨⎧+=+=n y mx 31代入原方程，得05217)3(5)1(2=+⇒=+++n m n m （n m ,为整数）2与5互质，所以k k n k m (2,5-==为整数）由此得到原方程的所有解为⎩⎨⎧-=+=ky kx 2351（k 为任意整数）定理2。
若a 与b 的最大公约数为1（即a 与b 互质），00,y x 为二元一次整系数不定方程c by ax =+的一组整数解（也称为特解），则c by ax =+的所有解（也称通解）为 ⎩⎨⎧-=+=aky y bkx x 00其中k 为任意整数 但不定方程11051999=+y x 很难直接找到一组整数解 例4． 求方程1253=+y x 的整数解。
多元一次不定方程的完整讲义和练习
二元 一次不定方程知识要点和基本方法1．当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程——只讨论有二个未知数的一次不定方程2．一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解 例1． 解方程83=-y x解：由原方程，易得y x 38+= 因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为⎩⎨⎧=+=k y kx 38 其中k 为任意数 整数解问题：例2． 求方程863=+y x 的整数解解：因为)2(363y x y x +⨯=+， 所以，不论x 与y 取何整数，总有,633y x +但3不能整除8，因此，不论x 与y 取何整数，y x 63+都不可能等于8，即原方程无整数解定理1：整系数方程c by ax =+有整数解的充分而且必要条件是a 与b 的最大公约数d 能整除c例3． 求方程34104=+y x 的整数解解：因为4与10的最大公约数为2，而34是2的倍数，由定理得，原方程有整数解。
两边约去2后，得,1752=+y x 故5217xy -=，因此，要使y 取得整数，1x 27-=15，3=y ，即我们找到方程的一组解,3,100==y x 设原方程的所有解的表达式为：⎩⎨⎧+=+=n y mx 31代入原方程，得05217)3(5)1(2=+⇒=+++n m n m （n m ,为整数）2与5互质，所以k k n k m (2,5-==为整数）由此得到原方程的所有解为⎩⎨⎧-=+=ky kx 2351（k 为任意整数）定理2。
若a 与b 的最大公约数为1（即a 与b 互质），00,y x 为二元一次整系数不定方程c by ax =+的一组整数解（也称为特解），则c by ax =+的所有解（也称通解）为⎩⎨⎧-=+=aky y bkx x 00其中k 为任意整数 但不定方程11051999=+y x 很难直接找到一组整数解 例4． 求方程1253=+y x 的整数解。
一次不定方程及方程的整数解问题-1
一次不定方程及方程的整数解问题-1一次不定方程（组）及方程的整数解问题【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有： 定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；定理2 若),(0y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=aty y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.定理3 若),(0y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(0cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.根据定理2 ，)(1,31是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=是原方程的所有整数解.（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，∴根据定理1，原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ； （2）11145=-y x .答案：（1）无整数解；（2）)(51,145是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=-= 【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.由原方程可得75323075314210719213yy y y y x -+-=-+-=-=， 由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.∴方程的通解为)(72,1925是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=.其中⎩⎨⎧>->+072,01925t t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->72,1925t t ∴721925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,25.9,6y x y x 或【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来.【实践】求方程2654731=+y 的正整数解. 答案： x=4,y=3.【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程3783654=+y x ，即2123=+y x .又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知⎩⎨⎧==9,1y x 是一个特解，通解为)(99,21是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+= 由题意可知⎩⎨⎧≥-≥+099,021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,7.3,5.6,3.9,1y x y x y x y x答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车. 【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？ 答案：7【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日.【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.〈方法一〉〈方法二〉 特解：)(3116125165是整数通解：t t y tx y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== )31347(|123134712x xy -∴-=16550125121121)(512)12(mod 711)12(mod 31347===∴=∴≤+≤∴≤≤+=∴≡∴≡∴y x x t t x t t x x x 代入原方程得：把是整数答：此人的生日为5月16日.【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识.【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的31，求一切这样三位数的和. 答案：432【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 .【分析】把m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值.【解答】∵698+=+mn n m ，∴n mn m 968-=-，n m n 96)8(-=-由题意可得，n ≠8，∴8669866729869896-+=-+-=--=--=n n n n n n n m ， ∵m,n 为正整数， ∴ 当n=9时，m 有最大值为75..16503131161121251311121是符合题意解解得⎩⎨⎧==∴=∴⎩⎨⎧≤-≤≤+≤∴⎩⎨⎧≤≤≤≤y x t t t y x【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 . 答案：28【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？ 【分析】分析：用x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(1003135)1(100z y x z y x (2)×3－(1)得：14x +8y =200，即7x +4y =100.〈方法一〉)(71844.184是整数通解：，特解：t t y t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧==.2,1,0718171804400=∴⎪⎩⎪⎨⎧<->⎩⎨⎧>->+∴⎩⎨⎧>>t t t t t y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===844128111878184,z y x z y x z y x 原方程有三组解：相应地〈方法二〉〉下面的方法同〈方法一为整数）（通解：的特解是其特解为令.75004300.1004750030053,147t t y tx y x y x y x y x ⎩⎨⎧--=+==+⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧-===+〈方法三〉下面方法同〈一〉是整数得：代入把是整数，即，，).(71844718)3(44).(44)4(mod 30:)4(mod 7100)7100(|4)3(71004t ty tx ty t x t t x x x x x y ⎩⎨⎧-=+=∴-=+=+=∴≡≡∴-∴-=【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解. 【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？ 答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）【例7】求方程23732=++z y x 的整数解.【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【解答】设t y x =+32，则原方程可看作⎩⎨⎧=+=+)2(.237)1(,32z t t y x 对于方程（1）x =-t ,y =t 是一个特解，从而（1）的整数解是)()4(.2)3(,3-是整数u u t y u t x ⎩⎨⎧+=-=又t =2,z =3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是)()6(.72)5(,3是整数v v t v z ⎩⎨⎧+=-=将（6）代入（3）、（4）消去t 得到原方程的所有整数解为：)(.3,272,372是整数、v u v z u v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=---=【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式. 【实践】求方程7892439=+-z y x 的整数解. 答案：)(.83213,3,238是整数、v u v u z v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+-=【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？ 【分析】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，由题意得365313028=++c b a . 要求c b a ++，可以运用放缩法从确定c b a ++的取值范围入手.【解答】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，则365313028=++c b a .∵)(31365313028)(28c b a c b a c b a ++<=++<++，∴2836531365<++<c b a . ∵c b a ++是整数，∴c b a ++=12或13.但当c b a ++=13时，得132=+c b ，无正整数解.答：三个小组共有12名同学.【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she buys 5 radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag? 答案：96【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.（1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？（2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数.【解答】（1）设小明摸的红球有x 个，黄球有y 个，蓝球有）（y x --10个，则21)10(32=--++y x y x ，整理，得x y 29-=，因为x 、y 均为正整数，可知x 的最大值为4.即红球最多不超过4个.（2）由（1）知蓝球的个数是1)29(1010+=---=--=x x x y x z ， 又∵.290.01,029,0,0,0,0<<⎪⎩⎪⎨⎧>+>->∴⎪⎩⎪⎨⎧>>>x x x x z y x 解得 ∴.4,3,2,1=x 因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数.答案：170，40.【例10】设非负整数n ，满足方程n z y x =++2的非负整数（x,y,z ）的组数记为na . （1）求3a 的值；（2）求2001a 的值. 【分析】审清题中na 的n 与方程n z y x =++2是同一个非负整数，3a 的含义是方程32=++z y x 的非负整数解的（x,y,z ）的组数.【解答】（1）当n=3时，原方程为3x，由于+zy2=+≥zx得≤y≥.1,0≤,0当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y）=(0,1),(1,0) 有2组；当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组.综上，a=6.3（2）当n=2001时，原方程为2001yx，由于+z+2=≥≥zyx得≤,0≤.,01000当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组；当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…；当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0) 有2002组.综上，a=2+4+6+…+2002=1003002.2001【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题.【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个 CA.20001999B.19992000C.2001000D.2001999【总结反思】以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.【题海拾贝】1.（2000年希望杯竞赛题）若a 、b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=10，则b 的值为（ ）A. 一切偶数B.2、4、6、8C.2、4、6D.2、42. 若正整数x,y 满足2004a=15y ，则 x+y 的最小值为 .3. 如果三个既约真分数6,432b a ，的分子都加上b ，这时得到的三个分数之和为6. 求这三个既约真分数的和.4. （重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？5. （2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h ，在平地上的速度是63km/h ，上坡的速度是56km/h.汽车从A地到B地用了4h，而返程用了4小时40分，求AB两地的距离.答案：1.D2.6733.5 4.121 5.27312。
初中数学竞赛辅导-一次不定方程
学科：奥数教学内容：一次不定方程经验谈一次不定方程是一元一次方程的拓展，就是在一元一次方程这个最基础的平面上向上跨了一个台阶，它的解答需要将许多基础的知识进行扩展、综合，也就是要在把基础知识牢牢掌握的前提下进行的升华。
思维在解题中得到锻炼，解题又使知识在思维中得到巩固。
多多思考，多多练习对学习是大有裨益的。
内容综述：我们曾在课堂上学过一元一次方程，例如解方程，解这个方程可得。
如果未知数的个数不只一个，而是二个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，例如就是一个二元一次方程。
显然这个方程有无数多组解。
比如等。
这种未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）就叫做不定方程（或方程组）。
不定方程（组），顾名思义，就是方程（组）的解不确定，有的方程（组）有无数多组解，有的方程（组）没有解，有的方程（组）有限组解。
我们经常关心这类方程（组）的整数解、正整数解或者有理数解。
本期主要研究整系数一次不定方程的整数解，下面若不加声明，方程的系数都是整数。
要点讲解：§1、二元一次方程的整数解例1 求方程的整数解解若x,y为整数解，则方程左边为偶数，而右边是奇数，不能成立，所以方程无整数解。
由上例可以得到下面的定理定理1若二元一次不定方程，a和b的最大公约数不能整除c，则方程没有整数解。
由此，当a,b的最大公约数能够整除c时，可以用这个最大公约数去除方程两边，从而使x和y的系数的最大公约数为1，这样，为了解二元一次不定方程，只要考虑x,y的系数的最大公约数是1（即这两个系数互质）的情形就可以了，一般地，有定理2若整数a,b 互素，则方程有整数时，同时方程也有整数解。
若是方程的一个整数解，则是方程的一个整数解。
★★例2 求方程的整数解解设x,y是已知方程的整数解由x,y之中较小的系数4去除各项得把和中的整数分离出来，得因为5-y和x都是整数，则也是整数，设，k为整数，则，把代入已知方程得所以是方程的整数解，并且当k取遍所有整数时，就得到方程的所有整数解。
一次不定方程的解法
一次不定方程的解法我们现在就这个问题，先给出一个定理．定理 如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程ax by c += ①有一组整数解00,x y 则此方程的一切整数解可以表示为00x x bty y at =-⎧⎨=+⎩其中0,1,2,3,t =±±±…证 因为00,x y 是方程①的整数解，当然满足00ax by c += ②因此0000()()a x bt b y at ax by c -++=+=．这表明0x x bt =-，0y y at =+也是方程①的解． 设,x y ''是方程①的任一整数解，则有ax by c ''+= ③③-②得 00()()a x x b y y ''-=-- ④由于(,)1a b =，所以0a y y '-，即0y y at '=+，其中t 是整数．将0y y at '=+代入④，即得0x x bt '=-．因此,x y ''可以表示成0x x bt =-，0y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0y y at =+表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解.例1 求11157x y +=的整数解．解法1 将方程变形得71511y x -=因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得002,1x y ==-是这个方程的一组整数解，所以方程的解为215111x t y t=-⎧⎨=-+⎩ t 为整数解法2 先考察11151x y +=，通过观察易得11(4)1531⨯-+⨯=，所以11(47)15(37)7⨯-⨯+⨯⨯=，可取0028,21x y =-=，从而28152111x ty t=--⎧⎨=+⎩ t 为整数 可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t 做适当代换，就可化为同一形式．例2 求方程62290x y +=的非负整数解． 解 因为(6,22)2=，所以方程两边同除以2得31145x y += ①由观察知，114,1x y ==-是方程3111x y += ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为0045418045(1)45x y =⨯=⎧⎨=⨯-=-⎩ 由定理，可得方程①的一切整数解为18011453x ty t=-⎧⎨=-+⎩ 因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有1801104530t t -≥⎧⎨-+≥⎩③ 由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能．当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是150x y =⎧⎨=⎩ ，43x y =⎧⎨=⎩ 例3 求方程719213x y +=的所有正整数解．分析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解． 解 用方程719213x y += ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得213193530277y yx y --==-+② 因为,x y 是整数，故357yu -=也是整数，于是573y u +=．化简得到573y u += ③令325uv -=（整数），由此得 253u v += ④由观察知11u v =-⎧⎨=⎩是方程④的一组解．将11u v =-⎧⎨=⎩代入③得2y =，再将2y =代入②得25x =．于是方程①有一组解00252x y =⎧⎨=⎩，所以它的一切解为251927x t y t =-⎧⎨=+⎩t 为整数由于要求方程的正整数解，所以25190270t t ->⎧⎨+>⎩解不等式，得t 只能取0,1．因此得原方程的正整数解为252x y =⎧⎨=⎩ ，69x y =⎧⎨=⎩ 当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明． 例4 求方程3710725x y +=的整数解．解1072373337133433841=⨯+=⨯+=⨯+ 为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得13384=-⨯37484=--⨯ 3794=-⨯ 379(3733)=-⨯- 933837=⨯-⨯9(107237)837=⨯-⨯-⨯ 91072637=⨯-⨯ 37(26)1079=⨯-+⨯由此可知1126,9x y =-=是方程371071x y +=的一组整数解．于是025(26)650x =⨯-=-，0259225y =⨯=是方程3710725x y +=的一组整数解． 所以原方程的一切整数解为65010722537x t y t=--⎧⎨=+⎩ t 为整数例5 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解 设需x 枚7分，y 枚5分恰好支付142分，于是75142x y += ①所以142722222828555x x x y x x ---==-+=--由于7142x ≤，所以20x ≤，并且由上式知52(1)x -．因为(5,2)1=，所以51x -，从而1,6,11,16x =，所以①的非负整数解为127x y =⎧⎨=⎩ ，620x y =⎧⎨=⎩ ，1113x y =⎧⎨=⎩ ，166x y =⎧⎨=⎩所以，共有4种不同的支付方式．说明 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程． 例6 求方程92451000x y z +-=的整数解．解 设9243x y t +=，即38x y t +=，于是351000t z -=．于是原方程可化为38351000x y tt z +=⎧⎨-=⎩ ① 用前面的方法可以求得①的解为383x t y t u =-⎧⎨=-+⎩（u 是整数） ② ②的解为2000510003t vz v=+⎧⎨=+⎩ （v 是整数） ③ 消去t ，得600081520003510003x u v y u v z v =-+⎧⎪=-+-⎨⎪=+⎩（,u v 都是整数） 大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解 设公鸡、母鸡、小鸡各买,,x y z 只，由题意列方程组 ①②化简得159300x y z ++= ③ ③-②得148200x y +=即74100x y +=，解741x y +=得12x y =-⎧⎨=⎩于是74100x y +=的一个特解为⎧⎪⎨⎪⎩1531003x y z ++=100x y z ++=00100200x y =-⎧⎨=⎩ 由定理知74100x y +=的所有整数解为10042007x t y t =-+⎧⎨=-⎩t 为整数由题意知，0,,100x y z <<，所以0100410002007100t t <-+<⎧⎨<-<⎩t 为整数解得42528724142877t t ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩∴ 425287t <<由于t 是整数，故t 只能取26,27,28，而且,,x y z 还应满足100x y z ++=．即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．。
初等数论不定方程
初等数论不定方程一、知识归纳：所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。
在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。
1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。
以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
定理1.方程有解的充要是；定理2.若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成为任意整数)。
定理3.元一次不定方程，()有解的充要条件是.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。
若有解，可先求一个特解，从而写出通解。
当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
人教版高中数学 选修 4-6 第三章 一次不定方程 第三节 多元一次不定方程
次不定方程是否有解，并找它的求
解方法.
教学目标 知识与能力
1、了解多元一次不定方程组的一般 解法过程. 2、弄清方程的解满足的条件以及通 解表达式中参数应满足的条件. 3、理解通解表达式的证明过程中的 几个关键步骤.
过程与方法
1、通过探讨引人多元一次不定方 程有解的充要条件. 2、通过实例应用使学生更透彻的
对“百钱买百鸡”的问题，我们可 以列出以下的不定方程组.
1 ① 5x 3y z 100 3 ② x y z 100
在以往的解法中我们是用①×3- ②消去
未知数z，转化为二元一次不定式来求解的.
上面的求解方法是——消元法
求解.还有其它办法可以求出来吗？
下面我们就来学习怎样判断多元一
知识回顾
下列方程各举一例：
1、一元一次方程： 2、一元二次方程： x + 3=5
x2 - 7=1
3、二元一次不定方程： x + y=3 4、三元一次不定方程： 4x - 5y + 2z=8
导入新课
我们已经学习了二元一次不定方程 ax+by=c(a,b为非零整数，c为整数.)的求解方 法——辗转相除法. 对于多元一次方程ax+by+cz=d（a，b， c为非零整数，d为整数.）又该怎样求解呢？
消去 t 可得
x=6000+15v-8u, y=-2000-5v+3u, z=1000+3v , u,v∈z
不定方程 9x+24y-5z=1000,的一切整数 解为 x=6000+15v-8u , y=-2000-5v+3u , z=1000+3v, u,v∈z
3、求不定方程 6x+15y+21z+9t=30 的一切整数解. 解：因为（6，15，21，90）=3 且3︱30 所以可化为2x+5y+7z+3t=10 又因为（2，5）=1，（1，7）=1，（1，3）=1 所以 2x+5y=u， u+7z=v， v+3t=10 分别解得 x=3u+5t1, u=-6v-2t2, y=-u-2t1 , z=v-t2, v=1+3t3 t=3-t3, t1,t2,t3∈z
一次不定方程的解法
（ ２ ）不定 方程 （ 组） 的解 的表 达形 式不 唯
一
把矩阵③ 展开得
８× １＋６ × （ 一１ ） ＝２ （＝ ｇ ｅ ｄ （ ８ ， ６） ） ，
如 在例 １中， 该不定方程 的通 解也可表达为 （ ， Ｙ ）＝（ 一１— ３ ， ２＋４ ｋ ） ， ｋ∈Ｚ， 其中（ ，
３ ｙ＋１的一个 特解 （ ， Ｙ ）＝ （ ２ ， ２ ３ ）得到 的 ； ２ ｌ 是 由二元一次不定方程 ２ １ ｘ＝５ ｙ＋ｌ 的 一 个
（ 三－ １ ８… …②
（ ３
＝
８年第 ９ 期
＝
数 学 教 学
９一 裆
（ ３ ＿ ４ １ ） （ …・ ③
数之 ， 取数 ２ １ ， 与余 数 ３相 乘 ； 七七 数 之 ， 取数
ｌ ５ ， 与余 数 ２相 乘． 将诸乘积相加 ， 然 后 除 以 ３×５ Ｘ ７ ＝１ ０ ５ ， 得 到余 数 ７ ０ Ｘ ２＋２ １ Ｘ ３＋ ｌ ５× ２— ２ Ｘ １ ０ ５＝３ ５ ， ３ ５ 是方程组 ① 的一个 特 解， 也是符合 题 意 的最小 解 ； ３ ５＋１ ０ ５ ｋ （ ｋ是 非 负整数 ） 是符合题意 的通解． 为什么要寻求 ７ Ｏ 、 ２ １ 、 １ ５这些数？如何求 出这些数 呢？我们 注意到 ， ７ ０是 ５×７＝３ ５的 倍数， 且 除以 ３ 余１ ； ２ １ 是 ３× ７＝２ １ 的倍数 ， 且 除以５ 余１ ； １ ５ 是 ３×５的倍数 ， 且除 以 ７ 余１ ． 也就 是 说 ， ７ ０是 由二 元 一 次 不 定 方 程 ３ ５ ｘ：
６ ＋ｒ ， ０≤ ｒ＜ ｂ ，ｋ是 非 负 整 数．易 证 得 ｇ ｃ ｄ （ ０ ， ｂ ）＝ ｇ ｃ ｄ （ ｂ ， ｒ ） ， 据此 我们可用辗 转相 除法求 出 ：
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第20讲 一次不定方程知识方法扫描在一个一次方程或方程组中，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。
例如方程x -2y=3，方程组10025100x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩等。
像这类方程或方程组就称为一次不定方程或一次不定方程组．它们通常都有无限多组解。
然而，在一定的条件下，例如在求其正整数解时，其解也可能是有限的；有时我们还需找出无限多组解中最优的解来；求不定方程的整数解的方法很多，我们可以根据题目的条件和要求选择最简单的解法。
我们常将一个未知数用另外一个未知数表示出来，然后利用约数与倍数的关系来分析或穷举，有时也可利用不等关系先缩小范围，从而求出其符合题意的解来。
对于一般的一次不定方程ax+by=c ，可采用“特解-通解”法，即先通过观察或用辗转相除法，找出它的一组“特解”00.,x x y y =⎧⎨=⎩ 那么这个不定方程的通解就是00.,x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩。
经典例题解析例1 （第八届“五羊杯”初中数学竞赛题）李林在银行兑换一张面额为100元以内的人民币支票, 兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒位置了（例如把12.34元看成34.12）并按看错的数字支付, 李林将其款化去3.50元之后, 发现其余款项恰为支票面额的二倍, 于是急忙到银行将多领的款额退回. 那么, 李林应退回的款额是 元.解．设支票上的元数与角、分数分别为x 和y, 由题意, 得：(100x ＋y)－350＝2 (100x ＋y), 其中, x, y 为整数且0≤x, y ＜100.化简方程得：98x ＝199x ＋350 ①∴y ＝98350199+x , 即： y ＝2x ＋3＋98563+x ② 由②知y ＞2x, 由①知x 为偶数, 其可能取值为2, 4, …, 48. 取x ＝2, 4,…, 48计算y 值. 只有当x ＝14时, y ＝32是整数, 所以李林支票面额为14.32元, 兑换时误看成32.14元, 李林应退款额为32.14－14.32＝17.82元.例2（1995年云南昆明市初中数学竞赛）用5元钱共买西瓜、梨子、山楂共100个, 西瓜一个5角, 梨子一个1角, 山楂十个1角, 可每样各买多少个？设西瓜、梨子、山楂分别买了x, y, z 个, 根据题意, 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.5100110121,100z y x z y x 消去z, 得 49x ＋9y ＝400.可知x 不能为大于2的自然数,当x ＝1时, y ＝39, z ＝60; 当x ＝2时, y 无整数解.可买西瓜1个, 梨子39个, 山楂60个.例3 (2003年四川省初中数学竞赛试题)一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区。
他们出发后每天17km 的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后达到目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km 的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km 后回到出发点。
试问：科学考察队在生态区考察了多少天？[解] 设考察队到生态区用了x 天，返回用了y 天，考察用了z 天，则有60(1)25171(2)x y z y x ++=⎧⎨-=⎩方程（2）有一个特解是 3,2x y =-⎧⎨=-⎩通解是325,217x t y t =-+⎧⎨=-+⎩ 于是有 x+y=42t-5 (t 是整数)注意到 0<x+y<60, 0<42t-5<60， 显然仅当t=1时才符合题意，这时x+y=37，于是有x=-3+25=22。
例4 (1996年山东省初中数学竞赛）某市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨部分按0.45/吨收费；超过10吨而不超过20吨部分按0.80元/吨收费；超过20吨部分按1.50元/吨收费。
某月甲户比乙户多缴水费7.10元，乙户比丙户多缴水费3.75元。
问甲、乙、丙户该月各缴水费多少（自来水按整吨收费）？解 设丙户用水x 吨（x 为整数，且0<x ≤10），乙户用水（10+y ）吨（y 为整数，且0≤y ≤10）。
因乙户比丙户多缴3.75元，得0.45 3.750.800.4510,x y +=+⨯即 9x-16y=15。
因3能整除9和15，但不整除16，则3必整除y ，即y 是3的倍数。
又 0<y ≤10.故y 只能取3，6，9.经检验知y=3是惟一能使x 为整数的值，得x=7。
同理，设甲户用水（20+z ）(z 为整数，且z>0)吨，因甲户比乙户多缴7.10元，得0.800.45107.10 1.500.45100.810.y z +⨯+=+⨯+⨯即 8y-15z=9。
由y=3，解得 z=1。
所以甲户缴水费14元，乙户缴水费6.9元，丙户缴水费为3.15元。
例5 (2004年重庆市初中数学竞赛试题)某校七年级的新生男女同学的比例为8:7，一年后收转学生40名，男女同学的比例变为17:15，到九年级时，原校有转学走的，又有转学来的，统计知净增人数10名，此时男女同学的比例变为7：6．问：该校在七年级时，招收的新生中，各招了男女同学多少名？（注：该校七年级新生人数不超过1 000人） 解 设七年级共收新生15a 人，八年级学生总数为32b 人，九年级学生总数为13c 人，a ．b ，c 均为整数，由题意，得⎩⎨⎧=+=+②①,135015,324015c a b a 13)516(2,+=-b c ①② 则(16b+5)是13的倍数，令16b=13k 十8，即8（2b-1）= 13k ，知8|k ．且k 为奇数的倍数，当k=8×1时,b=7, 代人①，得32×7-40=184, 184 不是15的倍数：当k=8×3时,b=20, 代人①，得32×20-40=600, 600是15的倍数：当k=8×5时，b=33，代入①，得32×33-40=1 016>1 000且1016不是15的倍数：综上知，该校年级招收七年级新生600人，其中男生600×158=320人，女生280人．例6 （第六届“华罗庚杯”竞赛试题）甲乙丙三个班向“希望工程”捐赠图书，已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余每人各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余每人各捐10册；丙班有2人各捐十册，6人各捐7册，其余每人各捐9册．已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，每个班捐书总数在400册与550册之间，问每班各有多少人？12． 设甲班x 人，乙班y 人，丙班：人，则甲班捐赠图书6+7×2+11（x-3）=（llx - 13）册，乙班捐赠图书6+8×3+lO(y-4)=(10y- 10)册，丙班捐赠图书4×2+7×6+9(z-8)=(9z-22)册， 根据题意，得⎩⎨⎧+-=-+-=-.1012291010,2810101311z y y x 化简，得⎩⎨⎧=-=-.89910,103111z y y x又由题意，得400≤llx - 13≤550， ．38≤x≤51.由①知l0y 的末位数是0，．．．∴11x 的末位数为1，．．，∴x=41或x=51. 当x=41时，y=42.但由②知z 无整数解．当x=51时，y=53,由②得z=49.答：甲班51人，乙班53人，丙班49人．例7. (2003年湖南省长沙市初中竞赛试题)某城市有一段马路需要整修，这段马路总长不超过3500米，今有甲、乙、丙三个施工队分别施工人行道、嚣机动车道和机动车道．他们于某天零时同时开工，每天24小时蔷续施工．若干天后的零时，甲队完成任务；几天后的18时，乙队完成任务；从乙队完成任务的当天零时起，再过几天后的8时，丙队完成任务．已知三个施工队每天完成的施工任务分别为300米，240米，180米，问这段路面有多长？解 设甲队a 天完成，过b 天后的18时乙队完成，从乙队完成任务的当天零时起，再过c 天后的8时，丙队完成，则根据题意，得.60)(180)(240300+++++=c b a b a a即⎩⎨⎧-=++=,23,34c b a b a (*)两式相加，得,2335-=+c b代入方程组(*)，得,153,1512-=-=c b c a 令分式部分等于整数t ，即51c=t ． 于是有一般解⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.5,13,112t c t b t a （t 为正整数）当t=l 时，a=l1，b=2，c=5，此时300a=3300<3500;当t=2时，a≥23，b≥5，c≥10，此时300a≥6900>3500矛盾．因此，马路总长为3300米.例8（1999年山东省初中数学竞赛）现有质量分别为9克和13克的砝码若干只, 在天平上要称出质量为3克的物体, 问至少要用多少只这样的砝码才能称出？并证明你的结论.分析 根据题意知, 相同质量的砝码不会同时出现在天平的两个称盘之中, 所以可以转化为求解不定方程的问题.解 假定当天平平衡时, 用9克的砝码|x|只, 当该砝码出现在被物体所在的称盘中时, x 取负整数. 同理, 假定13克的砝码用了|y|只. 所以当天平平衡称出了3克的物体时, 应有9x ＋13y=3.问题转变为在上述条件下，求|x|＋|y|的最小值.易得x=9, y=-6是该方程的一组解, 则⎩⎨⎧=+=⨯-⨯.3139,361399y x 两式相减, 得： 9(x-9)-13(y ＋6) = 0因为9和13互质, x-9必被13整除, 故设x-9=13k, 这里k 是整数, 这时有 9×13k= -13(y ＋6)所以 y=-6-9k.总之, 有⎩⎨⎧--=+=ky k x 96139 k=0, ±1, ±2, …… （1）当k=0时, x=9, y=－6, |x|＋|y|=15;（2）当k ≥1时, |x|≥22, |y|＞0, 从而|x|＋|y|＞22;（3）当k ≤-1时, 若 k=-1, 则x=-4, y=3, |x|＋|y|＝7;若k ＜-1, 则|y|≥12, |x|＞0, 从而|x|＋|y|＞12由上述可知, 至少要用7只这样的砝码, 其中9克的4只, 13克的3只.原版赛题传真同步训练一 选择题1．(1987年部分省市通讯赛试题)方程4x+5y= 98的正整数解的个数是( )(A)4 (B)5 (C)6 (D)无穷多解：这是一个二元一次不定方程．将原方程变为：⋅-=4598y x 因为x 是正整数，必须98-5y>O ，故y<598<20，又y 也为正整数，所以y 只可能取正整数1，2，3，…，19.又必须98-5y 是4的倍数，故98- 5y 是偶数，5y 是偶数，即y 应是偶数，从而y 只能取2，4，6，8，10，12，14，16，18，将这些值逐个代入598y x -=得由上可见原方程有5个正整数解．选(B)2．（2002年重庆初中数学竞赛试题）从1分，2分，5分等3种硬币中取出100枚，总计3元，其中2分硬币枚数的可能情况有（ ）（A ） 13种 （B ） 16 种 （C ） 17 种 （D ） 19种 解 设1分，2分，5分的硬币分别有x,y,z 枚，则有10025100x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩消去z ，得4x+3y=200显然，y 应该是4的倍数，设y=4k, 上式可化为4x+12k=200,3．（第11届“五羊杯”竞赛试题）方程x+y+9z=99的正整数解（x ，y ，z ）的个数是( )．(A)999 (B)485 (c)199 (D)993．B解 ∵x+y+9z=99，x 、y.z 为正整数．∴z≤10.若z= 10则x+y=9，（x ，y ）有8组解：(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(7,2),(8,1).若z=9，则x+y=18，（x ，y ）有17组解；．若z=8，则x+y=27，（x,y ）有26组解；可以看出z 每减少1，所得（x ，y ）解的个数增加9个．若z=l ，则x+y=90，（x ，y ）有89组解，（x ，y ）正整数解的个数是8+ 17+26+... +89= (8+89) x 10=4854．（1990年江苏省初中数学竞赛试题）方程1990x-1989y= 1991的一组正整数解是( )．(A) x=12785，y=12768 (B) x=12785，y=12770(C) x=11936，y= 11941 (D) x=13827，y=126234．C[提示：只需检查尾数，答案：(C)．]5．（第七届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题）小英在邮局买了10元的邮票, 其中面值0.10元的邮票不少于2枚, 面值0.20元的邮票不少于5枚, 面值0.50元的邮票不少于3枚, 面值2元的邮票不少于1枚, 则小英最少买了 枚邮票.（A ）17 （B ）18 （C ）19 （D ） 205．A设小英买的面值0.10元的邮票x ＋2枚, 面值0.20元的邮票y ＋5枚, 面值0.50元的邮票z ＋3枚, 面值2元的邮票w ＋1枚, 则0.10·(x ＋2)＋0.20·(y ＋5)＋0.50(z ＋3)＋2(w ＋1)＝10,其中, x, y, z, w 是非负整数, 于是有x ＋2y ＋5z ＋20w ＝53.为使小英所买的邮票枚数最少, 则w ＝2, y ＝1, x ＝1.因此小英最少买了17枚邮票.故选A.二 填空题6．（第18届“五羊杯”数学竞赛初一试题）如下算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字 喜 欢 五 羊 杯× 1 2五 羊 杯 我 喜 欢“五”+“羊”+“杯”=6．14设“喜欢”=x ，“五羊杯”=y ，“我”=z ，则有(100x+y)×12=1000y+100x+z (1)化简得 13(923x-76y)=100z (2)（2）的左边是13的倍数，所以右边也应该是13的倍数，100与13互质， 所以z 是13的倍数，但z 是一个一位数字， 于是 z=0。