第20讲一次不定方程w

第20讲一次不定方程

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在一个一次方程或方程组中，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一

般来说，它的解往往是不确定的。例如方程x -2y=3，方程组10025100

x y z x y z ++=??++=?等。

像这类方程或方程组就称为一次不定方程或一次不定方程组．它们通常都有无限多组解。

然而，在一定的条件下，例如在求其正整数解时，其解也可能是有限的；有时我们还需找出无限多组解中最优的解来；求不定方程的整数解的方法很多，我们可以根据题目的条件和要求选择最简单的解法。

我们常将一个未知数用另外一个未知数表示出来，然后利用约数与倍数的关系来分析或穷举，有时也可利用不等关系先缩小范围，从而求出其符合题意的解来。

对于一般的一次不定方程ax+by=c ，可采用“特解-通解”法，即先通过观察

或用辗转相除法，找出它的一组“特解”00.

,x x y y =??=? 那么这个不定方程的通解就是00.,x x bt y y at =+??=-?

。

经典例题解析

例1 （第八届“五羊杯”初中数学竞赛题）

李林在银行兑换一张面额为100元以内的人民币支票, 兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒位置了（例如把12.34元看成34.12）并按看错的数字支付, 李林将其款化去3.50元之后, 发现其余款项恰为支票面额的二倍, 于是急忙到银行将多领的款额退回. 那么, 李林应退回的款额是元.

解．设支票上的元数与角、分数分别为x 和y, 由题意, 得：

(100x ＋y)－350＝2 (100x ＋y), 其中, x, y 为整数且0≤x, y ＜100.

化简方程得：

98x ＝199x ＋350 ①

∴y ＝

350199+x , 即： y ＝2x ＋3＋98563+x ② 由②知y ＞2x, 由①知x 为偶数, 其可能取值为2, 4, …, 48. 取x ＝2, 4,…, 48计算y 值. 只有当x ＝14时, y ＝32是整数, 所以李林支票面额为14.32元, 兑换时误看

成32.14元, 李林应退款额为32.14－14.32＝17.82元.

例2（1995年云南昆明市初中数学竞赛）

用5元钱共买西瓜、梨子、山楂共100个, 西瓜一个5角, 梨子一个1角, 山楂十个1角, 可每样各买多少个？

设西瓜、梨子、山楂分别买了x, y, z 个, 根据题意, 得

?????=++=++.510011012

1,100z y x z y x 消去z, 得 49x ＋9y ＝400.

可知x 不能为大于2的自然数,

当x ＝1时, y ＝39, z ＝60; 当x ＝2时, y 无整数解.

可买西瓜1个, 梨子39个, 山楂60个.

例3 (2003年四川省初中数学竞赛试题)

一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区。他们出发后每天17km 的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后达到目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km 的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km 后回到出发点。试问：科学考察队在生态区考察了多少天？

[解] 设考察队到生态区用了x 天，返回用了y 天，考察用了z 天，则有

60(1)25171(2)x y z y x ++=??-=?

方程（2）有一个特解是 3,2x y =-??=-?

通解是325,217x t y t =-+??=-+? 于是有 x+y=42t-5 (t 是整数)

注意到 0

例4 (1996年山东省初中数学竞赛）

某市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨部分按0.45/吨收费；超过10吨而不超过20吨部分按0.80元/吨收费；超过20吨部分按1.50元/吨收费。某月甲户比乙户多缴水费7.10元，乙户比丙户多缴水费3.75元。问甲、乙、丙户该月各缴水费多少（自来水按整吨收费）？

解设丙户用水x 吨（x 为整数，且0

0.45 3.750.800.4510,x y +=+?

即 9x-16y=15。

因3能整除9和15，但不整除16，则3必整除y ，即y 是3的倍数。又 0

故y 只能取3，6，9.经检验知y=3是惟一能使x 为整数的值，得x=7。

同理，设甲户用水（20+z ）(z 为整数，且z>0)吨，因甲户比乙户多缴7.10元，得

0.800.45107.10 1.500.45100.810.y z +?+=+?+?

即 8y-15z=9。

由y=3，解得 z=1。

所以甲户缴水费14元，乙户缴水费6.9元，丙户缴水费为3.15元。

例5 (2004年重庆市初中数学竞赛试题)

某校七年级的新生男女同学的比例为8:7，一年后收转学生40名，男女同学的比例变为17:15，到九年级时，原校有转学走的，又有转学来的，统计知净增人数10名，此时男女同学的比例变为7：6．问：该校在七年级时，招收的新生中，各招了男女同学多少名？（注：该校七年级新生人数不超过1 000人）解设七年级共收新生15a 人，八年级学生总数为32b 人，九年

级学生总数为13c 人，a ．b ，c 均为整数，由题意，得

???=+=+②

①,135015,324015c a b a 13

)516(2,+=

-b c ①② 则(16b+5)是13的倍数，令16b=13k 十8，即8（2b-1）= 13k ，知8|k ．且k 为奇数的倍数，

当k=8×1时,b=7, 代人①，得32×7-40=184, 184 不是15的倍数：

当k=8×3时,b=20, 代人①，得32×20-40=600, 600是15的倍数：

当k=8×5时，b=33，代入①，得32×33-40=1 016>1 000且1016不是15的倍数：

综上知，该校年级招收七年级新生600人，其中男生600×15

8=320人，女生280人．

例6 （第六届“华罗庚杯”竞赛试题）

甲乙丙三个班向“希望工程”捐赠图书，已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余每人各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余每人各捐10册；丙班有2人各捐十册，6人各捐7册，其余每人各捐9册．已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，每个班捐书总数在400册与550册之间，问每班各有多少人？

12．设甲班x 人，乙班y 人，丙班：人，则

甲班捐赠图书6+7×2+11（x-3）=（llx - 13）册，

乙班捐赠图书6+8×3+lO(y-4)=(10y- 10)册，

丙班捐赠图书4×2+7×6+9(z-8)=(9z-22)册，根据题意，得?

??+-=-+-=-.1012291010,2810101311z y y x 化简，得???=-=-.

89910,103111z y y x

又由题意，得

400≤llx - 13≤550，．38≤x≤51.

由①知l0y 的末位数是0，．．．∴11x 的末位数为1，．．，∴x=41或x=51. 当x=41时，y=42.但由②知z 无整数解．

当x=51时，y=53,由②得z=49.

答：甲班51人，乙班53人，丙班49人．

例7. (2003年湖南省长沙市初中竞赛试题)

某城市有一段马路需要整修，这段马路总长不超过3500米，今有甲、乙、丙三个施工队分别施工人行道、嚣机动车道和机动车道．他们于某天零时同时开工，每天24小时蔷续施工．若干天后的零时，甲队完成任务；几天后的18时，乙队完成任务；从乙队完成任务的当天零时起，再过几天后的8时，丙队完成任务．已知三个施工队每天完成的施工任务分别为300米，240米，180米，问这段路面有多长？

解设甲队a 天完成，过b 天后的18时乙队完成，从乙队完成任务的当天零时起，再过c 天后的8时，丙队完成，则根据题意，得

.60)(180)(240300+++++=c b a b a a

即???-=++=,23,34c b a b a (*)

两式相加，得,2335-=+c b

代入方程组(*)，得,15

3,1512-=-=

c b c a 令分式部分等于整数t ，即51c=t ．于是有一般解??

???=-=-=.5,13,112t c t b t a （t 为正整数）

当t=l 时，a=l1，b=2，c=5，此时300a=3300<3500;

当t=2时，a≥23，b≥5，c≥10，此时300a≥6900>3500矛盾．

因此，马路总长为3300米.

例8（1999年山东省初中数学竞赛）

现有质量分别为9克和13克的砝码若干只, 在天平上要称出质量为3克的物体, 问至少要用多少只这样的砝码才能称出？并证明你的结论.

分析根据题意知, 相同质量的砝码不会同时出现在天平的两个称盘之中, 所以可以转化为求解不定方程的问题.

解假定当天平平衡时, 用9克的砝码|x|只, 当该砝码出现在被物体所在的称盘中时, x 取负整数. 同理, 假定13克的砝码用了|y|只. 所以当天平平衡称出了3克

的物体时, 应有9x ＋13y=3.

问题转变为在上述条件下，求|x|＋|y|的最小值.

易得x=9, y=-6是该方程的一组解, 则???=+=?-?.

3139,361399y x 两式相减, 得： 9(x-9)-13(y ＋6) = 0

因为9和13互质, x-9必被13整除, 故设x-9=13k, 这里k 是整数, 这时有 9×13k= -13(y ＋6)

所以 y=-6-9k.

总之, 有???--=+=k

y k x 96139 k=0, ±1, ±2, …… （1）当k=0时, x=9, y=－6, |x|＋|y|=15;

（2）当k ≥1时, |x|≥22, |y|＞0, 从而|x|＋|y|＞22;

（3）当k ≤-1时, 若 k=-1, 则x=-4, y=3, |x|＋|y|＝7;

若k ＜-1, 则|y|≥12, |x|＞0, 从而|x|＋|y|＞12

由上述可知, 至少要用7只这样的砝码, 其中9克的4只, 13克的3只.

原版赛题传真

同步训练

一选择题

1．(1987年部分省市通讯赛试题)

方程4x+5y= 98的正整数解的个数是( )

(A)4 (B)5 (C)6 (D)无穷多

解：这是一个二元一次不定方程．将原方程变为：

?-=4

598y x 因为x 是正整数，必须98-5y>O ，故y<5

98<20，又y 也为正整数，所以y 只可能取正整数1，2，3，…，19.又必须98-5y 是4的倍数，故98- 5y 是偶数，5y 是偶数，即y 应是偶数，从而y 只能取2，4，6，8，10，12，14，16，18，将这些值逐个代入598y x -=得

由上可见原方程有5个正整数解．选(B)

高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲不定方程

第七讲不定方程不定方程，顾名思义就是“不确定”的方程，这里的不确定主要体现在方程的解上．之前我们学习的方程一般都有唯一解，比如方程3419x +=只有一个解5x =，方程组25238x y x y +=??+=?只有一组解12x y =??=? ．什么样的方程，解不唯一呢？举个简单的例子，二元一次方程25x y +=的解就不唯一，因为每当y 取定一个数值时，x 就会有相应的取值和它对应，使方程成立，这样一来就会有无穷多组解．通常情况下，当未知数的个数大于方程个数时．．．．．．．．．．．．．．，这个方程（或．．．．．．方程组）就会有无穷多个解．．．．．．．．．．．．．可是方程的解那么多，究竟哪个才是正确的呢？应该说，如果不加任何额外的限制条件，这无穷多个解都是正确的．但在实际情况中，我们通常会限定方程的解必须是自然数，这样一来，往往就只有少数几个解能符合要求，甚至在某些情况下所有的解都不对．练一练求下列方程的自然数解：（1）25x y +=；（2）238x y +=；（3）321x y +=；（4）4520x y +=．

本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组）：它们所含未知数的个数往往大于方程的个数，而未知数本身又有一定的取值范围，这个范围通常都是自然数——这类方程就是“不定方程”．形如ax by c +=（a 、b 、c 为正整数）的方程是二元一次不定方程的标准形式．解这样的方程，最基本的方法就是枚举．那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢？我们下面结合例题来进行讲解．例1．甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完．请问：张明共买了多少支铅笔？「分析」设张明买了甲级铅笔x 支，乙级铅笔y 支，可以列出不定方程：7350x y +=，其中x 和y 都是自然数．怎么求解呢？练习1、（1）求3535x y +=的所有自然数解；（2）求1112160x y +=的所有自然数解．一般地，如果x m y n =??=?是ax by c +=的一组解，那么x m b y n a =+??=-? （当n a ≥时）也是ax by c +=的一组解．这是因为()()()()a m b b n a am ab bn ab am bn c ++-=++-=+=．另外，x m b y n a =-??=+? （当m b ≥时）也是ax by c +=的一组解，理由相同．这条性质有什么用呢？我们以求2350x y +=的自然数解为例，我们容易看出它有一组自然数解1010x y =??=?．应用上面的规律，x 每次增加3，y 每次减少2（只要y 还是自然数），所得结果仍然是2350x y +=的一组解，所以138x y =??=?、166x y =??=?、194x y =??=?、222x y =??=?、250x y =??=?都是2350x y +=的自然数解．另外x 每次减少3（只要x 还是自然数），y 每次增加2，所得结果也是2350x y +=的自然数解，所以712x y =??=?、414x y =??=?、116x y =??=? 也都是2350x y +=的自然数解．而且这样就已经求出了2350x y +=的所有自然数解，它们是： 116x y =??=?、414x y =??=?、712x y =??=?、1010x y =??=?、138x y =??=?、166x y =??=?、194x y =??=?、222x y =??=?、250x y =??=?．这就告诉我们，在求形如ax by c +=（a 、b 、c 为正整数）的不定方程的自然数解时，我们可以先找出一组解，之后其余的所有解都可由这一组解的x 值每次变化b ，y 值每次变化a 得到（注意变化的方向相反，一个增加，另一个就得减少，才能保证ax by +的大小不变）．

六年级奥数第28讲：不定方程

简单的不定方程所谓有定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。解不定方程的方法是：（1）根据整除知识，缩小未知数的取值范围，然后试算求解。（2）分析末位数字，缩小未知数的取值范围，寻求方程的整数解。（3）求出一个未知数用另一个未知数表示的式子，然后试算求解。（4）直接根据方程确定未知数的取值范围，通过试算求解。例1、马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职。甲公每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。年终，马小富从两家公司共获薪金7 620元。问他在甲公司打工多少个月，在乙公司兼职多少个月。做一做：有A、B、C三种商品若干，价值共300元，其中A商品单价为16元，B商品单价为158元，C商品单价为19元。那么，全部C商品至少价值多少元？最多价值多少元？例2、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？

做一做：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于何月何日吗？例3、某单位的职工到效外植树，其中的男职工，也有女职工，并有3 1的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中女职工有多少人？做一做：一群猴子采摘水蜜桃。猴王不在的时候，一只大猴子1小时可采摘15千克，一只小猴子1小时可采摘11千克；猴王在场监督的时候，大猴子的51和小猴子的5 1必须停止采摘，去伺候猴王，有一天采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共摘3 382千克水密桃。问：在这个猴群中，共有大猴子多少只？例4、小明用5天时间看完一本200页的故事书。已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一天、第二天看的页数之和，第四天看的页数是第五天至少看了多少页？

数论--综合-第6讲初等数论竞赛班学生版

第六讲初等数论初等数论是主要用算术方法研究整数最基本性质的一个数学分支，是数学中最古老的分支之一．近几十年来，初等数论在计算机科学、组合数学、代数编码、信号的数字处理等领域得到广泛应用．同时，初等数论在各类数学竞赛中占有重要地位，以国际数学奥林匹克为例，约有四分之一的题目是主要用初等数论知识来解的．一、基础知识 1．整除理论性质1：如果a b ，b c ，那么a c ；性质2：若a b ，a c ，则对于任意整数x 、y 都有a bx cy + 2．质数与合数性质1：设n 为大于1的正整数，p 是n 的大于1的约数中最小的正整数，则p 为质数；性质2：如果对任意1到n 之间的质数p ，都有p 不整除n ，那么n 为质数，这里n 为大于1的正整数；性质3：质数有无穷多个；性质4：质数中只有一个数是偶数，即2； 3．同余定义：如果a 、b 除以m （正整数）所得得余数相同，那么称a 、b 对模m 同余，记作 (mod )a b m ≡ 性质1：如果(mod )a b m ≡，则m a b -；性质2：若(mod )a b m ≡，(mod )c d m ≡则(mod )a c b d m +≡+ (mod )a c b d m -≡-，(mod )ac bd m ≡ 性质3：(mod )a b m ≡，n 为正整数，则(mod )n n a b m ≡ 4．费尔马小定理 Fermat 小定理：设p 为质数，a 为整数，则(mod )p a a p ≡.特别地，如果a 不能被p 整除，则 11(mod )p a p -≡ 二、例题部分例1（★★，2006年希望杯初二培训题）已知一个五位数用4，5，6，7，8五个数码各一次组成，如64875等，在这样的五位数中，能被55整除的有几个，它们分别是多少？《数理天地》2005增刊P22，80 例2（★★，86年全国）设a 、b 、c 是三个互不相等的正整数，求证：在33a b ab -，33b c bc -，33c a ca -

六年级奥数竞赛试题及答案

六年级奥数竞赛试题一.计算: ⑴. =?+???+?+?+?100991431321211 ⑵. 13471711613122374?+?+?= ⑶. 222345567566345567+??+= ⑷. 45 13612812111511016131+++++++= 二.填空: ⑴.甲、乙两数是自然数,如果甲数的 65恰好是乙数的4 1.那么甲、乙两数之和的最小值是 . ⑵.某班学生参加一次考试,成绩分优、良、及格、不及格四等.已知该班有21的学生得优,有31的学生得良,有71的学生得及格.如果该班学生人数不超过60人,则该班不及格的学生有人. ⑶.一条公路,甲队独修24天完成,乙队独修30天完成.甲乙两队合修若干天后,乙队停工休息,甲队继续修了6天完成,乙队修了天. ⑷. 用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字,能够组成个没有重复数字的三位数. ⑸.“IMO ”是国际数学奥林匹克的缩写,把这三个字母写成三种不同颜色,现有五种不同颜色的笔,按上述要求能写出 _______种不同颜色搭配的“IMO ”. ⑹不定方程172112=+y x 的整数解是 . ⑺一个正方体的表面积是384平方分米，体积是512立方分米，这个正方体棱长的总和是 .

⑻. 把19个边长为2厘米的正方体重叠起来堆成如右图所示的立方体, 这个立方体的表面积是平方厘米. ⑼.两车同时从甲乙两地相对开出,甲每小时行48千米,乙车每小时行54千米,相遇时两车离中点36千米,甲乙两地相距千米. ⑽.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有 _人. ⑾.从学校到少年宫有4条东西的马路和3条南北的马路相通(如图),李楠从学校出发,步行到少年宫(只许向东或向南行进),最多有种走法. ⑿.算出圆内正方形的面积为 . ⒀.如图所求,圆的周长是厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周长是厘米.)14.3(=π ⒁.一付扑克牌共有54张(包括大王、小王),至少从中取张牌,才能保证其中必有3种花色. ⒂.规定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246, 1※4=1+11+111+1111=※5= . ⒃.甲、乙、丙、丁四位学生在广场上踢足球，打碎了玻璃窗，有人问他们时，他们这样说：甲：“玻璃是丙也可能是丁打碎的”；乙：“是丁打碎的”；丙：“我没有打坏玻璃”；丁：“我才不干这种事”；深深了解学生的老师说：“他们中有三位决不会说谎话”。那么，到底是谁打碎了玻璃答: 是打碎了玻璃。北少年宫学校6厘米

初二数学竞赛辅导资料(共12讲)

初二数学竞赛辅导资料(共12讲) 目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高本内容难度适中讲练结合由浅入深讲解与练习同步重在提高学生的数学分析能力与解题能力另外在本次培训中内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容其中《因式分解》为初二下册内容但是考虑到它的重要性和工具性将在本次培训进行具体解读注有标注的为选做内容本次培训具体计划如下以供参考第一讲实数一第二讲实数二第三讲平面直角坐标系函数第四讲一次函数一第五讲一次函数二第六讲全等三角形第七讲直角三角形与勾股定理第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷未装订在内另发第九讲竞赛中整数性质的运用第十讲不定方程与应用第十一讲因式分解的方法

第十二讲因式分解的应用第十三讲考试未装订在内另发第十四讲试卷讲评第1讲实数一知识梳理一非负数正数和零统称为非负数 1几种常见的非负数 1实数的绝对值是非负数即a≥0 在数轴上表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值用a来表示设a为实数则绝对值的性质 ①绝对值最小的实数是0 ②若a与b互为相反数则a＝ba＝ba＝b ③对任意实数a则a≥a a≥－a ④a·b＝ab b≠0 ⑤a－b≤a±b≤a＋b 2实数的偶次幂是非负数如果a为任意实数则≥0n为自然数当n＝1≥0 3算术平方根是非负数即≥0其中a≥0 算术平方根的性质 a≥0 ＝ 2非负数的性质 1有限个非负数的和积商除数不为零是非负数

2若干个非负数的和等于零则每个加数都为零 3若非负数不大于零则此非负数必为零 3对于形如的式子被开方数必须为非负数 4推广到的化简 5利用配方法来解题开平方或开立方时将被开方数配成完全平方式或完全立方例题精讲 ◆专题一利用非负数的性质解题例1已知实数xyz满足求x＋y＋z的平方根巩固 1已知则的值为______________ 2若的值拓展设abc是实数若求abc的值 ◆专题二对于的应用例2已知xy是实数且例3 已知适合关系式求的值巩固 1已知b＝且的算术平方根是的立方根是试求的平方根和立方根 2已知则

六年级奥数考点：不定方程问题

考点：不定方程问题一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有： x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6 y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3 如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。先将原方程变形，y＝23－3x 4 。可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为 X=1 x=5

Y=5 y=2 练习1 1、（课后）求3x+2y＝25的自然数解。 2、求4x+5y＝37的自然数解。 3、求5x－3y＝16的最小自然数解。【例题2】求下列方程组的正整数解。 5x+7y+3z＝25 3x－y－6z＝2 这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。 5x+7y+3z＝25 ① 3x－y－6z＝2 ② 由①×2+②，得13x+13y＝52 X+y＝4 ③ 把③式变形，得y＝4－x。因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3. 当x＝1时，y＝3 当x＝2时，y＝2 当x＝3时，y＝1 把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。 x＝2，y＝2时，z也无正整数解。 x＝3时，y＝1时，z＝1.

六年级奥数—— 不定方程

第六讲不定方程【知识要点】 1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。 2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。【例题精讲】例1：求下列方程的整数解（x ＞0，y ＞0）。（1）5x+10y=14；（2）11x+3y=89. 【思路点拨】 5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－ 3211-x ，11x －2能被3整除且x ＜9。模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。（2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =77 57，求A+B 的值。例2：某单位职工到郊外植树，其中3 1的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人？【思路点拨】设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子 3 y x +人，这个条件说明3|x+y 。模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。问中、小宿舍共有多少间？例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过400.A 除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少？【思路点拨】 A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别是13、15、23。问这三张牌的数字是多少？

六年级奥数不定方程

六年级奥数不定方程Prepared on 21 November 2021

（2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =77 57，求A+B 的值。例2：某单位职工到郊外植树，其中3 1的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人【思路点拨】设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子 3y x +人，这个条件说明3|x+y 。模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。问中、小宿舍共有多少间例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少【思路点拨】 A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别是13、15、23。问这三张牌的数字是多少例4：求解不定方程组? ??=++=++)2(36753)1(52975z y x z y x 的正整数解。【思路点拨】

六年级数学重点内容不定方程

六年级数学重点内容不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有： x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6 ……… y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3 如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。例1．求3x+4y＝23的自然数解。先将原方程变形，y＝23－3x 4 。可列表试验求解： X=1 x=5 Y=5 y=2 练习一 1、求3x+2y＝25的自然数解。

2、求4x+5y＝37的自然数解。 3、求5x－3y＝16的最小自然数解。例2 求下列方程组的正整数解。 5x+7y+3z＝25 3x－y－6z＝2 这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。 5x+7y+3z＝25 ① 3x－y－6z＝2 ② 由①×2+②，得13x+13y＝52 X+y＝4 ③ 把③式变形，得y＝4－x。因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3. 当x＝1时，y＝3 当x＝2时，y＝2 当x＝3时，y＝1 把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。 x＝2，y＝2时，z也无正整数解。 x＝3时，y＝1时，z＝1. 所以，原方程组的正整数解为 x＝1 y＝1 z＝1 练习2 求下面方程组的自然数解。 1、－2z＝7 2、 7x+9y+11z＝68 3x+2y+4z＝21 5x+7y+9z＝52 4、5x+7y+4z＝26 3x－y－6z＝2

六年级奥数专题讲义：不定方程与整数分拆

六年级奥数专题讲义：不定方程与整数分拆求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法,与此相关或涉及整数分拆的数论问题．补充说明：对于不定方程的解法,本讲主要利用同余的性质来求解,对于同余性质读者可参考《思维导引详解》五年级[第15讲余数问题]. 解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．本讲讲解顺序：③?包括1、2、3题?④?②?①包括4、5题?③?包括6、7题,其中③④步骤中加入百鸡问题．复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．整数分拆问题：11、12、13、14、15． 1．在两位数中,能被其各位数字之和整除,而且除得的商恰好是4的数有多少个? 【分析与解】设这个两位数为ab ,则数字和为a b +,这个数可以表达为 10a b +,有()()104a b a b +÷+= 即1044a b a b +=+,亦即2b a =．注意到a 和b 都是0到9的整数,且a 不能为0,因此a 只能为1、2、3或4,相应地b 的取值为2、4、6、8．综上分析,满足题目条件的两位数共有4个,它们是12、24、36和48． 2．设A 和B 都是自然数,并且满足 1711333 A B +=,那么A+B 等于多少? 【分析与解】将等式两边通分,有3A+llB=17,显然有B=l,A=2时满足,此时A+B=2+1=3．

3．甲级铅笔7分钱一支,乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支? 【分析与解】设购买甲级铅笔x支,乙级铅笔y支．有7x+3y=50,这个不定方程的解法有多种,在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法：将系数与常数对3取模(系数7,3中,3最小)：得x=2(mod 3),所以x可以取2,此时y取12；x还可以取2+3=5,此时y取5；即 2 12 x y = ? ? = ? 、 5 5 x y = ? ? = ? ,对应x y +为14、10 所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支． 4．有纸币60张,其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元? 【分析与解】设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张, 列方程如下：由 () () 601 101001000100002 a b c d a b c d +++= ?? ? +++= ?? (2)(1)得9999999940 b c d ++=③ 注意到③式左边是9的倍数,而右边不是9的倍数,因此无整数解,即这些纸币的总面值不能恰好为100元． 5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管,加工损耗忽

数论--综合-第6讲初等数论竞赛班教师版

第六讲初等数论初等数论是主要用算术方法研究整数最基本性质的一个数学分支，是数学中最古老的分支之一.近几十年来，初等数论在计算机科学、组合数学、代数编码、信号的数字处理等领域得到广泛应用.同时，初等数论在各类数学竞赛中占有重要地位，以国际数学奥林匹克为例，约有四分之一的题目是主要用初等数论知识来解的. 一、基础知识 1.整除理论性质1：如果a\b t b\c t那么d|c；性质2：若a\c t则对于任意整数x、y都有a\bx+cy 2.质数与合数性质1：设n为大于1的正整数，p是n的大于1的约数中最小的正整数，则p为质数；性质2：如果对任意1到亦之间的质数p,都有p不整除n,那么n为质数，这里n为大于1的正整数；性质3：质数有无穷多个；性质4：质数中只有一个数是偶数，即2； 3.同余定义：如果a、b除以m (正整数)所得得余数相同，那么称a、b对模m同余，记作 a=b (mod in) 性质X如果a三b (mod 则m\a-bt 性质2：若a = b (mod m) f c = d (mod 加)贝i]a + c = b + d (mod nt) a-c 三b-d (mod /H),ac = bd (mod ni) 性质3：a = b (mod m), n 为正整数，则a n = b" (mod m) 4.费尔马小定理 Fermat小定理：设p为质数，a为整数，则/三?(mod “).特别地，如果a不能被p整除，则三l(mod p) 二、例题部分例1 (2006年希望杯初二培训题)已知一个五位数用4, 5, 6, 7, 8五个数码各一次组成，如64875 等，在这样的五位数中，能被55整除的有几个，它们分别是多少？《数理天地》2005增刊P22, 80 例2 (★★, 86年全国)设a、b. c是三个互不相等的正整数，求证：在—b'c — bF, c3a-ca3三个数中，至少有一个数能被10整除；

六年级奥数之不定方程

不定方程1.求3x+4y＝23的自然数解。 2.求3x+2y＝25的自然数解。 3.求4x+5y＝37的自然数解。 4.求5x－3y＝16的最小自然数解。 5.求下列方程组的正整数解。 5x+7y+3z＝25

3x－y－6z＝2 6.求下面方程组的自然数解。 1、 4x+3y－2z＝7 2、 7x+9y+11z＝68 3x+2y+4z＝21 5x+7y+9z＝52 3、 5x+7y+4z＝26 3x－y－6z＝2 7.一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？ 8.某校6（1）班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，

每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有） 9.甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？ 10.小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？ 11.买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？

12.有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少只？ 13.用10元钱买25枝笔。已知毛笔每枝2角，彩色笔每枝4角，钢笔每枝9角。问每种笔各买几枝？（每种都要买） 14.晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张8分，荧光纸每张1角，高级纸每张2角。她一共用了一元两角两分钱。那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？ 15.某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，

第6讲不定方程解应用题

第6讲不定方程解应用题解题思路：把不定方程化为某个未知数的表达式，根据整除性等求解。例1有三张扑克牌，牌的数字互不相同，并且都在10以内.把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人.每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数.这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别为13、15、23.请问这三张牌的数字是什么？例2采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干，又买单价670元的B种物若干，其中B种个数多于A种个数，找回了几张100元和几张10元的（10元的不超过9张）.如把购A种物品和B种物品的个数互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个，B物几个？例3 现有3米长和5米长钢管各6根，安装31米长的管道，问怎样接用最省料？例4 55人去游园划船，小船每只坐4人，大船每只坐7人，问要使船正好坐满，租大、小船各多少只？例5王虎用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包.油菜籽每包3元，西红柿种子每包4元，萝卜籽1元钱7包，问他每种各买了多少包？例6 100匹马驮100筐物品，一匹大马驮3筐，一匹中马驮2筐，两匹小马驮1筐.问大、中、小马各多少？

习题 1.小明问小强：“你养了几只兔和鸡？”小强说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿，你猜猜我养了几只兔和鸡？” 2.李明带6元钱到花店买花.如果月季花1元钱一盆，茉莉花8角钱一盆，要把6元钱刚好用完.问能买月季花和茉莉花各多少盆？ 3.甲种铅笔7分钱一支，乙种铅笔3分钱一支，张明用6角钱恰好买两种不同的铅笔共多少支？ 4.李大伯下山去小商店买东西.下午1时离开家，先走了一段山路，来到山脚下，又走了一段平路，到了小商店.半小时后，他离开商店沿原路返回家，下午3时半到家.已知平地每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米.请问：李大伯去商店买东西走了多少千米的路？ 5.大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人，问大、小汽车各要几辆才能使每个人都上车且每个车上无空座？

六年级奥数专题练习

六年级奥数－分数、百分数应用题 1.一块菜地和一块麦地，菜地的1/2和麦地的1/3共13公顷，麦地的1/2和菜地的1/3共12公顷，菜地和麦地各有多少公顷？ 2.菜园里西红柿获得丰收，收下全部的3/8时，装满3筐还多24千克，收完其余部分时，又刚好装满6筐，求共收西红柿多少千克？ 3.服装厂一车间人数占全厂的25％，二车间人数比一车间少1/5，三车间人数比二车间多3/10，三车间是156人，这个服装厂全厂共有多少人？ 4.二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，又知一班少先队员占本班人数的3/4，二班少先队员占本班人数的5/6，求两个班各有多少人？ 5.某校有学生465人，其中女生的2/3比男生的4/5少20人，男生比女生少几人？ 6.红旗商场的木桌按20%的利润定价，结果又按8折出售,亏本32元,这个木桌买入价多少元？

1、浓度为10％的盐水800克和浓度为20％的盐水200克混在一起，浓度是多少？ 2、有浓度为3.5％盐水200克，为了制成浓度为2.5％的盐水，需要加水多少克？ 3、有浓度为2.5％的盐水900克，为了制成浓度为7.5％的盐水，要蒸发掉多少克水？ 4、小明的妈妈买了10千克萝卜，含水量为80％，晾晒一段时间后，含水量只有75％，这时萝卜重多少千克？ 5、有浓度为10％的盐水170克，加入多少克盐后，盐水的浓度为15％？ 6、有甲乙两种糖水，甲含糖270克，含水30克，乙含糖400克，含水100克，现要得到浓度是82.5%的糖水100克，问每种应取多少克？

1. 一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天。若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？ 2.师徒二人合做生产一批零件，6天可以完成任务。师傅先做5天后，因事外出，由徒弟接着做，一共完成任务的7/10，如果每人单独做这批零件各需几天？ 3.一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成。甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成。如果甲做3小时后，由乙接着做，还需要多少小时完成？ 4.一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，…，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？ 5.一项工程，8人干需15天完成，先由18人做了3天，余下的由一部分人做3天，共完成这项工程的3/4，那么后三天有多少人参加？ 6. 一项工程，如果由一、二、三小队合干需18天完成，由二、三、四小队合干需15天完成，由一、二、四小队合干需12天完成，由一、三、四小队合干需20天完成，那么一小队单独干需多少天完成？

【6年级奥数课本(上)】第07讲不定方程

小学奥数创新体系6年级（上册授课课本）最新讲义小学奥数

第七讲不定方程不定方程，顾名思义就是“不确定”的方程，这里的不确定主要体现在方程的解上．之前我们学习的方程一般都有唯一解，比如方程3419x +=只有一个解5x =，方程组25238x y x y +=??+=?只有一组解12 x y =??=?．什么样的方程，解不唯一呢？举个简单的例子，二元一次方程25x y +=的解就不唯一，因为每当y 取定一个数值时，x 就会有相应的取值和它对应，使方程成立，这样一来就会有无穷多组解．通常情况下，当未知数的个数大于方程个数时．．．．．．．．．．．．．．，这个方程（或．．．．．．方程组）就会有无穷多个解．．．．．．．．．．．．．可是方程的解那么多，究竟哪个才是正确的呢？应该说，如果不加任何额外的限制条件，这无穷多个解都是正确的．但在实际情况中，我们通常会限定方程的解必须是自然数，这样一来，往往就只有少数几个解能符合要求，甚至在某些情况下所有的解都不对．练一练求下列方程的自然数解：（1）25x y +=；（2）238x y +=；（3）321x y +=；（4）4520x y +=．

不定式方程(六年级)

不定式方程一：不定方程知识精讲一．不定方程的定义 1．一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程． 2．多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一．二．不定方程的解法及步骤 1．常规方法：观察法、试验法、枚举法． 2．多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可． 3．涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较．

三．解不定方程的步骤 1．列方程． 2．消元． 3．写出表达式． 4．确定范围． 5．确定特征． 6．确定答案．四．技巧总结 1．写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数． 2．消元技巧：消掉范围大的未知数．三点剖析题模精讲题模一不定方程的计算

（1）；（2）；（3）；（4）．（1）（2）（3）（4）无整数解（1），，所以，即得，（2），，所以，．（3），，所以，．（4），，所以．无整数解．已知△和☆分别表示两个自然数，并且，则△+☆=__________．

5 依题意得11△+5☆=37，易知其自然数解为△=2，☆=3．所以△+☆=5．有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为．已知a，b，c都小于10，a，b，c依次为__________，__________，__________． 7，3，2 由题意有．解这个不定方程，得．已知代表两位整数，求方程的解．题模二不定方程的应用有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个．问：需要大盒子__________个、小盒子__________个，才能恰好把这些球装完．大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个

六年级奥数-不定方程

不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6 ……… y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3 如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。例1．求3x+4y＝23的自然数解。先将原方程变形，y＝23－3x 4。可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为 X=1 x=5 Y=5 y=2 练习一 1、求3x+2y＝25的自然数解。 2、求4x+5y＝37的自然数解。 3、求5x－3y＝16的最小自然数解。例2 求下列方程组的正整数解。 5x+7y+3z＝25 3x－y－6z＝2 这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。 5x+7y+3z＝25 ① 3x－y－6z＝2 ② 由①×2+②，得13x+13y＝52 X+y＝4 ③ 把③式变形，得y＝4－x。因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3. 当x＝1时，y＝3

五年级下册数学专项训练奥数第六讲不定方程解应用题_全国版(含答案)

第六讲不定方程解应用题大家已学过简单的列方程解应用题，一般都是未知数个数与方程的个数一样多，例如中国古代著名的“鸡兔同笼”问题。如果方程（组）中未知数的个数多于方程的个数，此方程（组）称为不定方程（组）。小学阶段主要是涉及整系数不定方程的整数解.试看一些例。例1 有三张扑克牌，牌的数字互不相同，并且都在10以内.把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人.每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数.这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别为13、15、23.请问这三张牌的数字是什么？分析设三张牌为x、y、z（x＞y＞z）.再设共发牌n轮（每轮发3张）.记作x+y＋z＝S。 n·S＝13＋15＋23=51。由于n和S都是整数，51＝3×17.只有n=3，S=17.现在转变为不定方程：x＞y＞z且10＞x＞y＞z≥1的条件下： x+y＋z＝17 求整数解。即x≥6.x可能值为6、7、8、9。第一种情况，x=6＞y＞z，而y+z=17-6=11，而此时y+z最多为5+4.所以x≠6。第二种情况，x=7＞y＞z，y＋z=17-7=10，只有y=6，z=4.但是丙三次牌数字和为23，而23显然不可能表示为｛7，6，4｝中任意三个（可以重复的，下同）数之和。第二种情况x=7亦被排除。第三种情况，x=8＞y＞z，y＋z＝17-8=9，（y，z）可能情况有（7，2）；（6，3）；（5，4）。而13（甲三次牌数字和）不能表示为｛8，7，2｝中任意三个数之和，23不能表示为｛8，6，3｝和｛8，5，4｝中任意三个数之和，故x=8亦被排除。

第四种情况，x=9＞y＞z，y＋z=17-9=8，观察知y=5，z=3.（可排除｛9，7，1｝和｛9，6，2｝.）综上所述，三张牌为3、5、9。例2 采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干，又买单价670元的B种物若干，其中B种个数多于A种个数，找回了几张100元和几张10元的（10元的不超过9张）.如把购A种物品和B种物品的个数互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个，B物几个？解：设购A种物x个，购B种物为x+y个，并设第一次购物找回r 张100元，s张10元，则这是4个未知数，2个方程的不定方程组.解方程时，方程变形的一些法则（方程两边同时乘或除以不为0的数，方程不变；方程两边同时加或减一个数，方程不变）仍适用.先将（1）（2）两边约去10，得由于（3）（4）式的右边都等于1000，因此它们相等，整理后得8y ＋9r-9s=0，再在方程两边同时加上9s-9r，得： 8y＝9（s-r）（5）由于y是大于0的整数，所以s-r也是整数＞0。因此8｜9·（s-r），9｜8y。但是s是10元钱的张数，s≤9，r是100元钱的张数，所以k=1，因此y=9，s-r=8.显然s=9，r=1。代回（3）式：得到x=3。所以：x=3，x+y=3+9＝12，r＝1，s=9.采购员购A物3件，B物12件，找回1张100元，9张10元。这两个例题已综合地体现了不定方程的“风味”。例3 现有3米长和5米长钢管各6根，安装31米长的管道，问怎样接用最省料？解：设3米长用x根，5米长用y根，列成不定方程： 3x＋5y=31.分两种思路求解

第20讲 一次不定方程w

高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲 不定方程