几何图形中的思想
《几何图形初步》中蕴含的思想方法例析
《几何图形初步》中蕴含的思想方法例析作者：明师来源：《语数外学习·上旬》2013年第12期数学思想是数学知识的灵魂，是解决数学问题的武器.恰当地运用数学思想方法，不但能提高学生的解题效率，还能提高学生的思维能力.因此，在数学学习中同学们要学会提炼和总结数学思想方法.《几何图形初步》一章中蕴含着许多的数学思想，同学们在小结时除了要掌握基本的知识外，还要学会运用数学思想解题.为此下面对本章的数学思想归纳如下，供同学们参考和选用.一、数形结合思想数形结合思想是数学解题中常用的思想方法，数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化，能够使同学们变抽象思维为形象思维，有助于同学们把握数学问题的本质.由于使用了数形结合思想，很多问题便可以迎刃而解，且解法简捷.例1 同学们去公路旁植树，每隔3米植一棵树，问在21米长的公路旁最多可植几棵树？分析：你可能会脱口说出：三七二十一，可植树7棵，那就错了！如果结合图形来解决问题就很直观了.解：如图1所示，可植树8棵.点评：解决本题要注意考虑线段的端点，否则容易出错.二、方程思想所谓方程思想，就是通过列方程或方程组（下学期我们将学习方程组）来解决问题的一种思想方法，特别是在解决某些几何问题时，运用方程思想往往可使问题的解决变得简便.例2 如图2，点D、E在线段AB上，且都在AB中点的同侧，点D分AB为2：5两部分，点E分AB为4：5两部分，若DE=5cm，求AB的长.例3 若两个角的度数之比是3∶4，它们的差是25°，求这两个角.分析：根据题意可设每份角为x度，于是两个角分别为3x度和4x度，从而由条件“差是25°”得到方程，解方程可求出两个角的度数.解：设每份角为x度，可得两个角分别为3x度和4x度，则列方程为4x-3x=25.解得x=25.所以3x=75，4x=100.所以这两个角的度数分别为75°、100°.点评：遇到比例问题时可以通过设未知数，列方程解决问题.三、整体思想整体思想就是根据问题的整体结构特征，从整体上去解决问题的一种重要的思想方法.例4 如图3所示，线段AB=4，点O是线段AB上一点，C、D分别是线段OA、OB的中点，求线段CD的长.分析：虽然通过已知条件不能求出线段OC、OD的具体长度，但可以把OC+OD作为整体进行求解.四、分类思想所谓分类思想，就是根据事物的共性和差异性的特点，分别归类，然后逐一去研究解决.在运用分类思想解决问题时，应明确分类的标准，做到不重不漏.例6 已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且BC=3cm，求线段AC的长.分析：题目的条件只是告诉我们A、B、C三点在一条直线上，但不能判断点C是在线段AB的延长线上，还是在线段AB上，所以要分类讨论解决问题.解：有两种情形：（1）当点C在线段AB的延长线时，如图5，AC=AB+BC=8+3=11（cm）；（2）当点C在线段AB上时，如图6，AC=AB-BC=8-3=5（cm）.所以线段AC的长为11cm或5cm.例7 OC平分∠AOB，OD是∠BOC内的一条三等份线，试问∠AOB是∠COD的几倍？分析：由于∠BOC的三等份线有两条，因此要分类讨论.故∠AOB是∠COD的6倍或3倍.点评：本题由于没有明确∠BOC内的一条三等份线OD是指靠近边OC还是边OB，因此要分类讨论求解.。
八年级数学几何图形第02讲 三角形中的数学思想方法与热点题型(学生版)
第02讲三角形中的数学思想与热点题型（原卷版）第一部分典例剖析+针对训练类型一方程思想典例1在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠A的3倍与∠B的2倍相等，∠B的5倍与∠C的6倍相等，求∠A：∠B：∠C：∠D．典例2（江阴市期中）如图，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC＝132°，∠BGC ＝118°，则∠A的度数为（）A．65°B．66°C．70°D．78°针对训练11．（2018秋•安庆期末）已知△ABC中，∠A比它相邻的外角小10°，则∠B+∠C为（）本*号资料皆来源于微信公众号：数学第六感A．85°B．95°C．100°D．110°3．（2020春•江都区期中）如图，△ABC的面积为18，BD＝2DC，AE＝EC，那么阴影部分的面积是．4．（2021•柳南区校级模拟）一个正多边形的一个内角比它的外角的2倍多60°，则它的边数是．2．（2021春•锡山区期中）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠DCE ＝10°，∠B＝60°，求∠A的度数．类型二分类讨论思想典例3（永年区期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）* 本号@资料皆*来源于微信公众号：数学第六感①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．典例4（平泉市期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝；当∠BAD＝∠BDA时，x＝．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．针对训练25．（2017春•景德镇期中）已知一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为6cm，那么这个等腰三角形的周长为（）A．14cm B．16cm C．14cm或16cm D．以上都不对6．将长为24的木棒截成互不相等的且长都为整数的三段，使这三段能构成一个三角形的三条边，则不同的截法有种．。
图形与几何有关的核心素养及思想方法
数学教学：传统的数学教育重视思维训练，那么， 数学思维与数学思想方法的关系是什么？ 哲学：认识的过程：感性 理性，实践 理论 实践 心理学：认知过程：感觉 知觉 注意 记忆 思维 想象 思维的过程：分析、综合、抽象、概括、比较、分类、系统化 思维的形式：概念、判断、推理 思维的分类：直观动作思维、具体形象思维、抽象逻辑思维
核心素养到哪里去？ 核心素养的外在表现
转化思想
核心素养内涵
数学概念
是什么？
数学规律
数学关系
核心素养从哪里来？ 数学认知
数学认知
概念：概念是关系、规律、思想方法的基础。
有研究表明：对数学概念的表征水平与数学成绩呈正相关。 表征（representation）是信息在头脑中的呈现方式。 也可以用“表示”，更容易理解。
在2015年1月25日小学数学换届会议上，教育部课程发展中心 的田慧生主任指出：要构建学科核心素养，学科内部纵向整合， 梳理核心思想、重点问题，整体把握学科本质。
多元表征是加强学生理解知识的有效方式。 有研究表明，高中生对数学概念的表征（理解）水平，多数 通过具体例子、画图（像）和描述性语言表征，如单调增函数 的概念，有52.63%的学生通过画函数图像、28.42%的学生通过 描述性语言表征；只有3.16%的学生能够用定义表征。
数学思想在高中解析几何中的应用研究
数学思想在高中解析几何中的应用研究1. 引言1.1 研究背景高中解析几何是高中数学课程中的一部分，是对平面几何学研究的延伸和深化。
在高中阶段学习解析几何，学生需要掌握坐标系、直线、圆、抛物线、双曲线等图形的相关知识，并能够运用代数方法解决几何问题。
研究背景：随着社会的发展和数学教育的不断深化，高中解析几何作为数学思想的一个重要部分，越来越受到人们的重视。
传统的几何学虽然有其独特的美感和直观性，但在解决实际问题和深入理解几何现象方面存在一定的局限性。
而解析几何则通过引入坐标系统和运用代数方法，将几何问题转化为代数问题，从而提高了问题的解决效率和深度。
在这样的背景下，研究数学思想在高中解析几何中的应用具有重要的理论和实践意义。
通过深入探讨数学思想在解析几何中的应用，可以帮助学生更好地理解几何概念、提高数学建模和问题解决的能力，同时也可以为数学教学改革提供借鉴和启示。
对数学思想在高中解析几何中的应用进行研究具有重要的现实意义和深远影响。
1.2 研究目的研究目的主要是探究数学思想在高中解析几何中的应用情况，通过对基础应用、高级应用、实际案例分析、未来发展趋势以及教学实践与方法等方面进行深入研究，旨在揭示数学思想在解析几何中的重要性和实用性。
希望通过这篇研究，能够为解析几何的教学提供新的思路和方法，促进学生对数学知识的理解和应用能力的提升，推动高中数学教育的发展。
我们还希望能够总结出一些关于数学思想在解析几何中的规律和特点，为进一步研究和应用提供参考。
通过本研究，我们期望能够深入挖掘数学思想在高中解析几何中的潜力，促进数学教育的创新和发展。
1.3 研究意义研究意义是指研究所涉及的主题对学科发展、社会进步、人类文明甚至个体人生的重要性和价值。
数学思想在高中解析几何中的应用研究具有重要的意义，主要体现在以下几个方面：深入探讨数学思想在高中解析几何中的应用，可以帮助我们更好地理解数学的本质和逻辑，提高数学思维能力和创新意识。
几何图形中函数思想总结
几何图形中函数思想总结函数思想在几何图形中的应用是数学中的一个重要领域。
通过函数思想，我们可以给几何图形赋予更多的数学分析和推理能力，从而更好地理解和解决几何问题。
下面对几何图形中函数思想的应用进行总结。
首先，函数思想可以用来定义几何图形。
在几何学中，我们经常需要定义各种形状和大小的图形，而函数思想提供了一种很好的方法。
比如，我们可以用函数描述一个圆的形状，其方程为x^2+y^2=r^2，其中r为半径。
这样，我们就能通过该函数方程来确定圆的形状和大小。
其次，函数思想可以用来描述几何图形的运动和变化。
在几何学中，我们经常需要研究几何图形在平面上的运动和变化情况，而函数思想能够提供一个很好的分析工具。
通过将几何图形的位置或形状与某个参数关联起来，我们就可以用函数来描述图形的运动和变化。
比如，我们可以用函数描述一条直线的斜率，通过改变斜率的值，可以实现直线的平行移动或斜率变化。
函数思想还可以用来解决几何图形之间的关系问题。
在几何学中，我们经常需要研究图形之间的位置关系和相交情况，而函数思想可以提供一种很好的分析方法。
通过将几何图形的性质和特征用函数表示，我们可以通过函数的交点或相交情况来确定图形之间的位置关系。
比如，我们可以用函数表示两条直线的方程，通过求解方程组的解，可以确定两条直线的交点。
最后，函数思想还可以用来证明几何图形的性质和定理。
在几何学中，我们经常需要证明各种图形的性质和定理，而函数思想提供了一种很好的方法。
通过将几何图形的性质和特征用函数表示，我们可以利用函数的性质和运算来推导和证明各种几何定理。
比如，我们可以利用函数的导数性质来证明曲线的切线斜率等于该点的导数值。
综上所述，函数思想在几何图形中的应用是非常广泛的。
通过函数的定义、描述、分析和推导，我们可以更好地理解和解决几何问题。
因此，函数思想在几何学中的应用具有重要的意义，对于我们深入研究几何学和数学的其他分支都具有积极的推动作用。
数形结合思想在初中数学几何图形中的应用
数形结合思想在初中数学几何图形中的应用摘要】在目前的初中数学教学中，最主要的教学内容就是对数与形的研究。
通过以数解形或者是以形助数的学习思维来帮助学生更好地学习数学，同时以上教学思维还是初中数学教学中最为主要的。
由此可见，数形结合不仅是初中数学中非常重要的教学思维，同时也是帮助学生学习数学，培养学生探索数学的重要途径。
数学对于学生而言，是一门非常重要的学科，是一门贯穿学生整个教育生涯的学科。
但是由于初中阶段的数学学习难度增加，面对这种更加抽象化的数学学习，更多的学生表现出的都是束手无措。
学生对数学学习的兴趣降低，学生的数学学习能力也会相应的降低。
在这种状况下，在初中数学教学过程中适当的应用数形结合的思维可以更好地帮助学生解决数学困惑。
帮助学生培养一种成熟的数学解题思维。
在目前的初中数学教学中，应用数形结合思维最多的部分就是初中数学中解析几何。
在解决解析几何基本思路这一模块的问题时，教师经常就会运用到数形结合的思想。
可见，数形结合是一种常常应用于初中数学几何图形的学习思维。
在初中阶段几何图形的教学过程中，教师如果能够适当地融入数形结合的教学思维，那么学生所面对的很多问题都会迎刃而解。
本文主要研究了数形结合的学习思维在初中几何图形的学习中的应用。
通过对数形结合学习思维的详细分析提出了一系列的解决数学几何问题的方法策略，以期对初中数学几何教学有所提升。
【关键词】数形结合；初中数学；结合图形中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2020）10-021-01随着时间的不断推移，我国的素质教育进程也开始不断推进，越来越多的数学教师开始在数学教学过程中适当的数学思想渗入，尤其是对于初中数学教学而言，教师们开始借助数形结合的思想来将原本抽象复杂的数学知识变得更加地简单。
另外，学生也可以通过该思想学会用绘图的方式来解答数学疑惑。
除此之外，数形结合的思想不仅可以提升学生的数学解题能力，还可以有效锻炼学生的动手探索能力。
小学数学几何图形教学中渗透数学思想方法的实践与思考
小学数学几何图形教学中渗透数学思想方法的实践与思考作者：严丽来源：《新课程·小学》2019年第04期摘要：数学思想是对数学认识的一部分思维认知模式，学生想学好数学，首先就要理解数学的奥秘，透过知识的面具看透数学的本质。
教师要慎重对待数学教学工作，在教授几何图形的过程中，要认真培养学生，使学生逐渐掌握合格的空间思维能力，让学生的思维和眼手密切配合起来。
关键词：小学数学；数学思想；图形与几何；实践和思考几何图形的学习对于小学生来说并不容易，而是一个重难点，如果能够深入地让学生理解这些知识，那就为学生今后的学习铺垫了一条稳定的道路。
数学思想需要老师润物细无声般地渗透到学生的脑海中，帮助学生去学习和理解。
现如今大多数的小学数学老师上课还只是单纯地引入问题讲解问题，只注重传道授业，而缺乏了数学思想的渗透，没有真正开发出学生的思维，培养学生的思考能力。
几何图形的教学一定要注重渗透数学思想，在几何面积公式的推导教学中，例如圆柱是怎样转化成长方形的，菱形该怎么样转变呢？这就要靠学生自己推导，小组配合工作，遇到瓶颈时老师再伸手相助，从而让数学思想进入学生心里。
一、数学转化思想与几何图形数学思想是数学学习者必须具备的思想，需要一定的数学知识作为基础。
对于教育工作者来说，帮助学生掌握一种有效的思维方式至关重要。
让学生的学习由难到易，由易变难再变易，不断地解决数学问题。
在图形与几何中，图形的变换中就隐含了许多数学思想，这个是小学数学跨度的一个总结，学生如果无法掌握数学思想，那么数学就会变成学习生涯的拦路虎。
笔者认为小学阶段是数学思想建立的重要时期，只要现在打好了基础，之后的学习就会轻松起来。
图形与几何里有许多的内容都涉及了数学思想，如将未知转换为已知，将没有头绪的东西变成了清楚明了的步骤，这些都是数学转化思想在起作用。
小学教师应该让小学生培养看见数学题没有头绪时就会自发想到转化的意识，将繁琐的问题变成简单的问题。
初中几何图形常用思想总结
初中几何图形常用思想总结初中几何图形常用思想总结几何学作为数学的一个重要分支，研究空间形体和它们的性质以及它们之间的关系。
初中阶段的学习重点主要集中在平面几何中的基本图形和性质上，如线段、射线、直线、角、三角形、四边形等。
在学习这些图形和性质的过程中，我们常常运用一些思想和方法来解决问题。
以下是初中几何图形常用思想的总结。
1. 图形的特点思想几何图形都有自己的特点和性质，我们可以通过观察和发现图形的特点来解决问题。
例如，平行四边形的对角线互相等长和平分，并且对角线的交点可以将平行四边形分成四个三角形，这些特点可以帮助我们求解平行四边形的面积和周长。
2. 切割思想有时候，将一个图形切割成几个更简单的图形来进行研究，可以更容易地求解问题。
比如，对于一个复杂的多边形，我们可以将其切割成几个简单的三角形或四边形，然后分别计算它们的面积，最后将结果相加得到整个多边形的面积。
3. 分割思想有时候，我们可以通过将一个大的图形分割成几个小的图形来简化问题。
例如，对于一个复杂的多边形，我们可以通过将其分割成几个已知图形的组合来求解其面积和周长。
4. 规则思想几何图形中有很多规则和定理，我们可以利用这些规则和定理来解决问题。
比如，直角三角形的斜边长等于两直角边长的平方和的平方根，这个规则可以帮助我们计算直角三角形的斜边长。
5. 对称思想对称是几何学中一个非常重要的概念，在解决问题时可以利用图形的对称性来简化问题。
例如，两条相交直线的交点是图形的对称中心，将图形分成两个对称的部分，我们可以利用一个部分的性质来推导整个图形的性质。
6. 平移思想平移是一种重要的图形变换，通过将一个图形在平面上移动到另一个位置，我们可以改变图形的位置和形状而不改变其性质。
在解决问题时，我们可以将一个图形进行平移来简化问题，例如平移一个三角形或四边形，使其和另一个图形重合，然后利用它们的性质来解决问题。
7. 全等思想全等是几何学中的一个关键概念，两个图形全等意味着它们形状和大小完全相同。
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跟踪练习
1、点A、B、C 、D是直线上顺次四个点， AB:BC:CD=2:3:4,如果AC=10cm,求线段BC 的长
A B
C
D
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A
a
B C
（2）当C点在线段AB上时
A
C B
a
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跟踪练习
点A，B，C 在同一条直线上，AB＝3 cm， BC=1 cm．点M是AB的中点，点N是BC的 中点，求MN.
A
M
B
NC
A
M
C
N
B
图①
图②
解：（1）如图①， ∵ M是AB 1 的中点
（2）如图②，
∵M是 AB的中点 1 ∴MB=2 AB=1.5cm ∵N是 BC的中点 1 ∴BN=2 BC=0.5cm ∴MN=MB－BN=1cm
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几何图形中的思想
实验中学
王清波
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知识点梳理
图形结合思想 分类思想 方程思想
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典型例题分析
图形结合思想
例1．如图所示： （1）∠AOC是哪两个角的和？ ∠AOC＝∠AOB＋∠BOC. （2）∠AOB是哪两个角的差？ ∠AOB＝∠AOC－∠BOC或∠AOD－∠BOD. （3）如果∠AOB＝∠COD，则∠AOC与∠BOD的大 小关系如何？
∴ MB= 2 AB=1.5cm ∵ N是BC 1 的中点 ∴ BN= 2 BC=0.5cm ∴MN=MB+BN=2cm实验中学
典型例题分析
方程思想
例3 已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一 半比∠α小30º ，求∠α、∠β。
解：设∠α＝xº ，则∠β＝180º － xº ． 根据题意 ∠β＝2(∠α－30º )， 得 180－ x＝2(x －30)， 解得 x＝80． 所以 ，∠α＝80º ，∠β＝100º 。
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跟踪练习
1、点C是AB延长线上的一点,点D是AB 中点,如果点B 恰好是DC的中点,设 AB=2cm，求线段 AC的长。
A
D
B
C
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典型例题分析
分类思想 例2、直线a上有A、B、C三点，且 AB=8cm，BC=5cm，求线段AC的。 （1）当C点在线段AB的延长线上时