几何图形中的思想
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跟踪练习
1、点A、B、C 、D是直线上顺次四个点， AB:BC:CD=2:3:4,如果AC=10cm,求线段BC 的长
A B
C
D
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A
a
B C
（2）当C点在线段AB上时
A
C B
a
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跟踪练习
点A，B，C 在同一条直线上，AB＝3 cm， BC=1 cm．点M是AB的中点，点N是BC的 中点，求MN.
A
M
B
NC
A
M
C
N
B
图①
图②
解：（1）如图①， ∵ M是AB 1 的中点
（2）如图②，
∵M是 AB的中点 1 ∴MB=2 AB=1.5cm ∵N是 BC的中点 1 ∴BN=2 BC=0.5cm ∴MN=MB－BN=1cm
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几何图形中的思想
实验中学
王清波
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知识点梳理
图形结合思想 分类思想 方程思想
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典型例题分析
图形结合思想
例1．如图所示： （1）∠AOC是哪两个角的和？ ∠AOC＝∠AOB＋∠BOC. （2）∠AOB是哪两个角的差？ ∠AOB＝∠AOC－∠BOC或∠AOD－∠BOD. （3）如果∠AOB＝∠COD，则∠AOC与∠BOD的大 小关系如何？
∴ MB= 2 AB=1.5cm ∵ N是BC 1 的中点 ∴ BN= 2 BC=0.5cm ∴MN=MB+BN=2cm实验中学
典型例题分析
方程思想
例3 已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一 半比∠α小30º ，求∠α、∠β。
解：设∠α＝xº ，则∠β＝180º － xº ． 根据题意 ∠β＝2(∠α－30º )， 得 180－ x＝2(x －30)， 解得 x＝80． 所以 ，∠α＝80º ，∠β＝100º 。
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跟踪练习
1、点C是AB延长线上的一点,点D是AB 中点,如果点B 恰好是DC的中点,设 AB=2cm，求线段 AC的长。
A
D
B
C
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典型例题分析
分类思想 例2、直线a上有A、B、C三点，且 AB=8cm，BC=5cm，求线段AC的。 （1）当C点在线段AB的延长线上时
《几何图形初步》中蕴含的思想方法例析
《几何图形初步》中蕴含的思想方法例析作者：明师来源：《语数外学习·上旬》2013年第12期数学思想是数学知识的灵魂，是解决数学问题的武器.恰当地运用数学思想方法，不但能提高学生的解题效率，还能提高学生的思维能力.因此，在数学学习中同学们要学会提炼和总结数学思想方法.《几何图形初步》一章中蕴含着许多的数学思想，同学们在小结时除了要掌握基本的知识外，还要学会运用数学思想解题.为此下面对本章的数学思想归纳如下，供同学们参考和选用.一、数形结合思想数形结合思想是数学解题中常用的思想方法，数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化，能够使同学们变抽象思维为形象思维，有助于同学们把握数学问题的本质.由于使用了数形结合思想，很多问题便可以迎刃而解，且解法简捷.例1 同学们去公路旁植树，每隔3米植一棵树，问在21米长的公路旁最多可植几棵树？分析：你可能会脱口说出：三七二十一，可植树7棵，那就错了！如果结合图形来解决问题就很直观了.解：如图1所示，可植树8棵.点评：解决本题要注意考虑线段的端点，否则容易出错.二、方程思想所谓方程思想，就是通过列方程或方程组（下学期我们将学习方程组）来解决问题的一种思想方法，特别是在解决某些几何问题时，运用方程思想往往可使问题的解决变得简便.例2 如图2，点D、E在线段AB上，且都在AB中点的同侧，点D分AB为2：5两部分，点E分AB为4：5两部分，若DE=5cm，求AB的长.例3 若两个角的度数之比是3∶4，它们的差是25°，求这两个角.分析：根据题意可设每份角为x度，于是两个角分别为3x度和4x度，从而由条件“差是25°”得到方程，解方程可求出两个角的度数.解：设每份角为x度，可得两个角分别为3x度和4x度，则列方程为4x-3x=25.解得x=25.所以3x=75，4x=100.所以这两个角的度数分别为75°、100°.点评：遇到比例问题时可以通过设未知数，列方程解决问题.三、整体思想整体思想就是根据问题的整体结构特征，从整体上去解决问题的一种重要的思想方法.例4 如图3所示，线段AB=4，点O是线段AB上一点，C、D分别是线段OA、OB的中点，求线段CD的长.分析：虽然通过已知条件不能求出线段OC、OD的具体长度，但可以把OC+OD作为整体进行求解.四、分类思想所谓分类思想，就是根据事物的共性和差异性的特点，分别归类，然后逐一去研究解决.在运用分类思想解决问题时，应明确分类的标准，做到不重不漏.例6 已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且BC=3cm，求线段AC的长.分析：题目的条件只是告诉我们A、B、C三点在一条直线上，但不能判断点C是在线段AB的延长线上，还是在线段AB上，所以要分类讨论解决问题.解：有两种情形：（1）当点C在线段AB的延长线时，如图5，AC=AB+BC=8+3=11（cm）；（2）当点C在线段AB上时，如图6，AC=AB-BC=8-3=5（cm）.所以线段AC的长为11cm或5cm.例7 OC平分∠AOB，OD是∠BOC内的一条三等份线，试问∠AOB是∠COD的几倍？分析：由于∠BOC的三等份线有两条，因此要分类讨论.故∠AOB是∠COD的6倍或3倍.点评：本题由于没有明确∠BOC内的一条三等份线OD是指靠近边OC还是边OB，因此要分类讨论求解.。
八年级数学几何图形第02讲 三角形中的数学思想方法与热点题型(学生版)
第02讲三角形中的数学思想与热点题型（原卷版）第一部分典例剖析+针对训练类型一方程思想典例1在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠A的3倍与∠B的2倍相等，∠B的5倍与∠C的6倍相等，求∠A：∠B：∠C：∠D．典例2（江阴市期中）如图，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC＝132°，∠BGC ＝118°，则∠A的度数为（）A．65°B．66°C．70°D．78°针对训练11．（2018秋•安庆期末）已知△ABC中，∠A比它相邻的外角小10°，则∠B+∠C为（）本*号资料皆来源于微信公众号：数学第六感A．85°B．95°C．100°D．110°3．（2020春•江都区期中）如图，△ABC的面积为18，BD＝2DC，AE＝EC，那么阴影部分的面积是．4．（2021•柳南区校级模拟）一个正多边形的一个内角比它的外角的2倍多60°，则它的边数是．2．（2021春•锡山区期中）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠DCE ＝10°，∠B＝60°，求∠A的度数．类型二分类讨论思想典例3（永年区期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）* 本号@资料皆*来源于微信公众号：数学第六感①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．典例4（平泉市期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝；当∠BAD＝∠BDA时，x＝．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．针对训练25．（2017春•景德镇期中）已知一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为6cm，那么这个等腰三角形的周长为（）A．14cm B．16cm C．14cm或16cm D．以上都不对6．将长为24的木棒截成互不相等的且长都为整数的三段，使这三段能构成一个三角形的三条边，则不同的截法有种．。
图形与几何有关的核心素养及思想方法
数学教学：传统的数学教育重视思维训练，那么， 数学思维与数学思想方法的关系是什么？ 哲学：认识的过程：感性 理性，实践 理论 实践 心理学：认知过程：感觉 知觉 注意 记忆 思维 想象 思维的过程：分析、综合、抽象、概括、比较、分类、系统化 思维的形式：概念、判断、推理 思维的分类：直观动作思维、具体形象思维、抽象逻辑思维
核心素养到哪里去？ 核心素养的外在表现
转化思想
核心素养内涵
数学概念
是什么？
数学规律
数学关系
核心素养从哪里来？ 数学认知
数学认知
概念：概念是关系、规律、思想方法的基础。
有研究表明：对数学概念的表征水平与数学成绩呈正相关。 表征（representation）是信息在头脑中的呈现方式。 也可以用“表示”，更容易理解。
在2015年1月25日小学数学换届会议上，教育部课程发展中心 的田慧生主任指出：要构建学科核心素养，学科内部纵向整合， 梳理核心思想、重点问题，整体把握学科本质。
多元表征是加强学生理解知识的有效方式。 有研究表明，高中生对数学概念的表征（理解）水平，多数 通过具体例子、画图（像）和描述性语言表征，如单调增函数 的概念，有52.63%的学生通过画函数图像、28.42%的学生通过 描述性语言表征；只有3.16%的学生能够用定义表征。
数学思想在高中解析几何中的应用研究
数学思想在高中解析几何中的应用研究1. 引言1.1 研究背景高中解析几何是高中数学课程中的一部分，是对平面几何学研究的延伸和深化。
在高中阶段学习解析几何，学生需要掌握坐标系、直线、圆、抛物线、双曲线等图形的相关知识，并能够运用代数方法解决几何问题。
研究背景：随着社会的发展和数学教育的不断深化，高中解析几何作为数学思想的一个重要部分，越来越受到人们的重视。
传统的几何学虽然有其独特的美感和直观性，但在解决实际问题和深入理解几何现象方面存在一定的局限性。
而解析几何则通过引入坐标系统和运用代数方法，将几何问题转化为代数问题，从而提高了问题的解决效率和深度。
在这样的背景下，研究数学思想在高中解析几何中的应用具有重要的理论和实践意义。
通过深入探讨数学思想在解析几何中的应用，可以帮助学生更好地理解几何概念、提高数学建模和问题解决的能力，同时也可以为数学教学改革提供借鉴和启示。
对数学思想在高中解析几何中的应用进行研究具有重要的现实意义和深远影响。
1.2 研究目的研究目的主要是探究数学思想在高中解析几何中的应用情况，通过对基础应用、高级应用、实际案例分析、未来发展趋势以及教学实践与方法等方面进行深入研究，旨在揭示数学思想在解析几何中的重要性和实用性。
希望通过这篇研究，能够为解析几何的教学提供新的思路和方法，促进学生对数学知识的理解和应用能力的提升，推动高中数学教育的发展。
我们还希望能够总结出一些关于数学思想在解析几何中的规律和特点，为进一步研究和应用提供参考。
通过本研究，我们期望能够深入挖掘数学思想在高中解析几何中的潜力，促进数学教育的创新和发展。
1.3 研究意义研究意义是指研究所涉及的主题对学科发展、社会进步、人类文明甚至个体人生的重要性和价值。
数学思想在高中解析几何中的应用研究具有重要的意义，主要体现在以下几个方面：深入探讨数学思想在高中解析几何中的应用，可以帮助我们更好地理解数学的本质和逻辑，提高数学思维能力和创新意识。
几何图形中函数思想总结
几何图形中函数思想总结函数思想在几何图形中的应用是数学中的一个重要领域。
通过函数思想，我们可以给几何图形赋予更多的数学分析和推理能力，从而更好地理解和解决几何问题。
下面对几何图形中函数思想的应用进行总结。
首先，函数思想可以用来定义几何图形。
在几何学中，我们经常需要定义各种形状和大小的图形，而函数思想提供了一种很好的方法。
比如，我们可以用函数描述一个圆的形状，其方程为x^2+y^2=r^2，其中r为半径。
这样，我们就能通过该函数方程来确定圆的形状和大小。
其次，函数思想可以用来描述几何图形的运动和变化。
在几何学中，我们经常需要研究几何图形在平面上的运动和变化情况，而函数思想能够提供一个很好的分析工具。
通过将几何图形的位置或形状与某个参数关联起来，我们就可以用函数来描述图形的运动和变化。
比如，我们可以用函数描述一条直线的斜率，通过改变斜率的值，可以实现直线的平行移动或斜率变化。
函数思想还可以用来解决几何图形之间的关系问题。
在几何学中，我们经常需要研究图形之间的位置关系和相交情况，而函数思想可以提供一种很好的分析方法。
通过将几何图形的性质和特征用函数表示，我们可以通过函数的交点或相交情况来确定图形之间的位置关系。
比如，我们可以用函数表示两条直线的方程，通过求解方程组的解，可以确定两条直线的交点。
最后，函数思想还可以用来证明几何图形的性质和定理。
在几何学中，我们经常需要证明各种图形的性质和定理，而函数思想提供了一种很好的方法。
通过将几何图形的性质和特征用函数表示，我们可以利用函数的性质和运算来推导和证明各种几何定理。
比如，我们可以利用函数的导数性质来证明曲线的切线斜率等于该点的导数值。
综上所述，函数思想在几何图形中的应用是非常广泛的。
通过函数的定义、描述、分析和推导，我们可以更好地理解和解决几何问题。
因此，函数思想在几何学中的应用具有重要的意义，对于我们深入研究几何学和数学的其他分支都具有积极的推动作用。
数形结合思想在初中数学几何图形中的应用
数形结合思想在初中数学几何图形中的应用摘要】在目前的初中数学教学中，最主要的教学内容就是对数与形的研究。
通过以数解形或者是以形助数的学习思维来帮助学生更好地学习数学，同时以上教学思维还是初中数学教学中最为主要的。
由此可见，数形结合不仅是初中数学中非常重要的教学思维，同时也是帮助学生学习数学，培养学生探索数学的重要途径。
数学对于学生而言，是一门非常重要的学科，是一门贯穿学生整个教育生涯的学科。
但是由于初中阶段的数学学习难度增加，面对这种更加抽象化的数学学习，更多的学生表现出的都是束手无措。
学生对数学学习的兴趣降低，学生的数学学习能力也会相应的降低。
在这种状况下，在初中数学教学过程中适当的应用数形结合的思维可以更好地帮助学生解决数学困惑。
帮助学生培养一种成熟的数学解题思维。
在目前的初中数学教学中，应用数形结合思维最多的部分就是初中数学中解析几何。
在解决解析几何基本思路这一模块的问题时，教师经常就会运用到数形结合的思想。
可见，数形结合是一种常常应用于初中数学几何图形的学习思维。
在初中阶段几何图形的教学过程中，教师如果能够适当地融入数形结合的教学思维，那么学生所面对的很多问题都会迎刃而解。
本文主要研究了数形结合的学习思维在初中几何图形的学习中的应用。
通过对数形结合学习思维的详细分析提出了一系列的解决数学几何问题的方法策略，以期对初中数学几何教学有所提升。
【关键词】数形结合；初中数学；结合图形中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2020）10-021-01随着时间的不断推移，我国的素质教育进程也开始不断推进，越来越多的数学教师开始在数学教学过程中适当的数学思想渗入，尤其是对于初中数学教学而言，教师们开始借助数形结合的思想来将原本抽象复杂的数学知识变得更加地简单。
另外，学生也可以通过该思想学会用绘图的方式来解答数学疑惑。
除此之外，数形结合的思想不仅可以提升学生的数学解题能力，还可以有效锻炼学生的动手探索能力。
小学数学几何图形教学中渗透数学思想方法的实践与思考
小学数学几何图形教学中渗透数学思想方法的实践与思考作者：严丽来源：《新课程·小学》2019年第04期摘要：数学思想是对数学认识的一部分思维认知模式，学生想学好数学，首先就要理解数学的奥秘，透过知识的面具看透数学的本质。
教师要慎重对待数学教学工作，在教授几何图形的过程中，要认真培养学生，使学生逐渐掌握合格的空间思维能力，让学生的思维和眼手密切配合起来。
关键词：小学数学；数学思想；图形与几何；实践和思考几何图形的学习对于小学生来说并不容易，而是一个重难点，如果能够深入地让学生理解这些知识，那就为学生今后的学习铺垫了一条稳定的道路。
数学思想需要老师润物细无声般地渗透到学生的脑海中，帮助学生去学习和理解。
现如今大多数的小学数学老师上课还只是单纯地引入问题讲解问题，只注重传道授业，而缺乏了数学思想的渗透，没有真正开发出学生的思维，培养学生的思考能力。
几何图形的教学一定要注重渗透数学思想，在几何面积公式的推导教学中，例如圆柱是怎样转化成长方形的，菱形该怎么样转变呢？这就要靠学生自己推导，小组配合工作，遇到瓶颈时老师再伸手相助，从而让数学思想进入学生心里。
一、数学转化思想与几何图形数学思想是数学学习者必须具备的思想，需要一定的数学知识作为基础。
对于教育工作者来说，帮助学生掌握一种有效的思维方式至关重要。
让学生的学习由难到易，由易变难再变易，不断地解决数学问题。
在图形与几何中，图形的变换中就隐含了许多数学思想，这个是小学数学跨度的一个总结，学生如果无法掌握数学思想，那么数学就会变成学习生涯的拦路虎。
笔者认为小学阶段是数学思想建立的重要时期，只要现在打好了基础，之后的学习就会轻松起来。
图形与几何里有许多的内容都涉及了数学思想，如将未知转换为已知，将没有头绪的东西变成了清楚明了的步骤，这些都是数学转化思想在起作用。
小学教师应该让小学生培养看见数学题没有头绪时就会自发想到转化的意识，将繁琐的问题变成简单的问题。
初中几何图形常用思想总结
初中几何图形常用思想总结初中几何图形常用思想总结几何学作为数学的一个重要分支，研究空间形体和它们的性质以及它们之间的关系。
初中阶段的学习重点主要集中在平面几何中的基本图形和性质上，如线段、射线、直线、角、三角形、四边形等。
在学习这些图形和性质的过程中，我们常常运用一些思想和方法来解决问题。
以下是初中几何图形常用思想的总结。
1. 图形的特点思想几何图形都有自己的特点和性质，我们可以通过观察和发现图形的特点来解决问题。
例如，平行四边形的对角线互相等长和平分，并且对角线的交点可以将平行四边形分成四个三角形，这些特点可以帮助我们求解平行四边形的面积和周长。
2. 切割思想有时候，将一个图形切割成几个更简单的图形来进行研究，可以更容易地求解问题。
比如，对于一个复杂的多边形，我们可以将其切割成几个简单的三角形或四边形，然后分别计算它们的面积，最后将结果相加得到整个多边形的面积。
3. 分割思想有时候，我们可以通过将一个大的图形分割成几个小的图形来简化问题。
例如，对于一个复杂的多边形，我们可以通过将其分割成几个已知图形的组合来求解其面积和周长。
4. 规则思想几何图形中有很多规则和定理，我们可以利用这些规则和定理来解决问题。
比如，直角三角形的斜边长等于两直角边长的平方和的平方根，这个规则可以帮助我们计算直角三角形的斜边长。
5. 对称思想对称是几何学中一个非常重要的概念，在解决问题时可以利用图形的对称性来简化问题。
例如，两条相交直线的交点是图形的对称中心，将图形分成两个对称的部分，我们可以利用一个部分的性质来推导整个图形的性质。
6. 平移思想平移是一种重要的图形变换，通过将一个图形在平面上移动到另一个位置，我们可以改变图形的位置和形状而不改变其性质。
在解决问题时，我们可以将一个图形进行平移来简化问题，例如平移一个三角形或四边形，使其和另一个图形重合，然后利用它们的性质来解决问题。
7. 全等思想全等是几何学中的一个关键概念，两个图形全等意味着它们形状和大小完全相同。
七年级上册第四章几何图形初步教材分析文字稿及例题解析含答案
七年级上册第四章几何图形初步教材分析文字稿及例题解析含答案第四章《几何图形初步》教材分析一、教材分析1.本章地位和作用本章是初中阶段“图形与几何”领域的第一章，是初中几何的起始章节，在前面两个学段研究的“空间与图形”内容的基础上，让学生进一步欣赏丰富多彩的图形世界，初步尝试用数学的眼光观察立体图形与平面图形，分析它们之间的关系．并通过对线段和角等一些简单几何图形的再认识，初步接触由实验几何向推理几何的过渡．本章内容是几何知识的重要基础，对后续几何的研究有很重要的意义和作用．（1）内容上：本章分为两部分，第一部分“几何图形”，从观察现实生活中的各种物体抽象出几何图形或几何概念，体会几何图形的抽象性特点和数学的抽象性．第二部分“线段、角”是平面几何中最基础也是最重要的图形，有关线段和角的概念、公理、性质，相关的画法、计算、推理、几何语言与图形语言之间的转化能力，对今后几何研究将起到导向作用．（2）方法上：三种数学语言（文字语言、符号语言、图形语言）的转化贯穿于研究的始终．要学会用分析法、综合法思考解决几何问题，这也是今后解决几何问题的基本方法．（3）思想上：这一章中所涉及到从具体到抽象的思想、把立体图形转化为平面图形的思想、代数方法解决几何问题的思想、数形结合的思想、运动变换的思想、分类讨论的思想、方程的思想以及应用意识的渗透．2.本章研究目标（1）通过从什物和具体模型的抽象，了解几何图形、立体图形与平面图形以及几何体、平面和曲面、直线和曲线、点等概念．（2）能画出从分歧偏向看一些基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）以及它们的简朴组合体获得的平面图形；了解直棱柱、圆柱、圆锥的展开图，能根据展开图设想响应的几何体，制作立体模型，在平面图形和立体图形相互转换的过程当中，培养空间看法和空间设想力．（3）进一步认识直线、射线、线段的概念，掌握它们的符号透露表现；掌握基本究竟：“两点确定一条直线”、“两点之间，线段最短”，了解它们在生活和出产中的应用；了解两点间距离的意义，能度量两点间的距离；了解平面上两条直线具有相交和不相交两种位置关系；会比较线段的大小；了解线段的和、差及线段中点的概念，会画一条线段等于已知线段．（4）了解角的概念，掌握角的符号透露表现；会比较角的大小；认识度、分、秒，并会举行简朴的换算，会计较角的和与差．了解角的平分线、余角、补角的概念，知道余角和补角的性质．（5）初步认识几何图形是描述现实天下的紧张工具，初步应用几何图形的知识解决一些简朴的实际题目，培养研究图形和几何知识的乐趣，通过交换活动，初步形成积极介入数学活动、自动与他人合作交换的意识．3．本章知识结构图几何图形4．重点、难点重点：（1）几何与图形的基本概念，线段、角的基本知识，图形与几何的知识与客观实际的联系．（2）熟悉一些基本的几何语言，养成优秀的几何作图的气，体会和模仿几何计较的较为规范的书写方式．（3）结合立体图形与平面图形的互相转化的研究，来发展空间观念以及一些重要的概念、性质.难点：（1）概念的抽象性：能由什物形状设想（抽象）出几何图形，由几何图形设想出什物形状．（2）对图形的透露表现方法，对几何语言的认识与运用．（3）根据文字作图的训练，注意到其中可能蕴含的分类讨论等情形．5．本章共16课时，具体分配如下（仅供参考）：4.1几何图形4.3角小结点、线、面、体从不同方向看立体图形立体图形展开立体图形线段大小的比较直线、射线、线段两点确定一条直线两点之间、线段最短角的度量角角的大小比较与运算角的平分线平面图形平面图形余角和补角等角的补角相等等角的余角相等4课时3课时5课时2课时2课时4.2直线、射线、线段4.4课题研究二、教学发起1.总体教学建议（1）教学中要注意与小学知识内容的衔接，要在已有的知识基础上教学，避免不适当的重复．【小学要求】：对于一些简朴几何体和平面图形有一些感性的了解，能联合实例了解线段、射线和直线，了解一些几何体和平面图形的基本特征，知道周角、平角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系，能辨认从分歧偏向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图，能认识最简朴的几何体（长方体、正方体和圆柱）的展开图.（2）要善于利用模型、生活什物、图片、多媒体工具演示等要学生充分去体验激发学生乐趣．多从生活中的实物出发，让学生感受到图形普遍存在于我们的周围，运用信息技术工具的展现丰富多彩的图形，进行动态演示．在实践中培养学生研究的兴趣．对于一些抽象的概念、性质等，也可借助实物或多媒体，让学生在探索中逐步理解这些知识.（3）要重视画图技能的培养．应注意要求学生养成良好的惯，画图要认真，图应该画得清楚、干净，并能很好地表现图形之间的位置关系．在画图的过程中，一方面培养学生的绘图技能，同时也培养学生严谨、认真的研究态度，形成良好的个性品质．在这方面老师也应起到良好的示范作用．（4）要重视几何语言的教学．几何图形是“空间与图形”的研究工具，对它的一般描述透露表现是按“几何模型→图形→文字→符号”这类程序举行的．其中，图形是将几何模型第一次抽象后的产品，也是形象、直观的语言；文字语言是对图形的描述、解释与讨论；符号语言则是对文字语言的简化和再次抽象．明显，首先建立的是图形语言，其次是文字语言，再次是符号语言，最后形成的是对于研究工具的三种数学语言的综合描述，有了这类团体认识，三种语言达到融汇贯通的程度，就能基本掌控工具了．要留意概念的定义和性质的表述，逐步使学生懂得几何语句的意义并能建立几何语句与图形之间的联系．准确的几何语言应当贯穿课堂、作业、课外题等各个环节，逐步训练学生的几何推理表达.这些不仅是研究好本章的关键，同时对于学好以后各章也是很重要的．（5）在研究中通过对比（如直线、射线、线段）和类比（线段和角）加深理解．（6）注意训练几何推理书写方式，纠正用算术式进行几何计算的惯：【“旧”气】90245【“新”写法】COB11AOB904522【为什么惯要“改”？】体现了图形语言和符号语言的对应；体现了推理的过程；从算术思维到代数思维．（7）要通过立体图形的三视图与展开图发展空间概念（不要过于总结规律）．（8）要注重基本概念与性质的教学．例如：①在研究直线、线段、射线的有关概念时，容易出现延长直线或延长射线之类的错误，在用两个大写字母表示射线时，忽视第一个字母表示的是这条射线的顶点．②直线有这样一个紧张性质：经过两点有一条直线，并且只要一条直线.即两点确定一条直线.线段有这样一条紧张性质：两点的所有连线中，线段最短.XXX说成：两点之间，线段最短.这两个性质是研究几何图形的根蒂根基，复时应抓住性质中的枢纽性字眼，不能出现似是而非的错误．③注意线段的中点是指把线段分成相等的两条线段的点；而连结两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.这里应特别注意线段与距离的区别，即距离是线段的长度，是一个量；线段则是一种图形，它们之间是不能等同的．④在复角的概念时，应留意了解两种方式来描述，即一种是从一些实际题目中抽象地概括出来，即有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角；另一种是用旋转的观点来定义，即一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.角的两种定义都告诉我们这样一些究竟：（1）角有两个特征：一是角有两条射线，二是角的两条射线必需有公共端点，两者缺一不可；（2）由于射线是向一方无限延长的，所以角的双方无所谓长短，即角的大小与它的边的长短无关；（3）当角的大小一旦确定，它的大小就不因图形的位置、图形的放大或缩小而改动.如一个37°的角放在放大或缩小多少倍的放大镜下它仍然是37°不能误以为角的大小也放大或缩小多少倍.另外对角的透露表现方法中，当用三个大写字母来透露表现时，顶点的字母必需写在中央，在角的双方上各取一点，将透露表现这两个点的字母划分写在顶点字母的两旁，两旁的字母不分前后．⑤在研究互为余角和互为补角时，容易混淆这两个概念.常常误以为互为余角的两个角的和等于180°，互为补角的两个角的和等于90°.（9）要准确把握好教学要求总体上说，起始章的教学要求不宜过高，要充分保护学生研究积极性，避免产生畏难情绪，但是基础知识要落实扎实，养成规范的表达分析惯，为后续研究打好基础，因此要注意根据学生具体情况来把握教学要求.①立体图形和平面图形、点线面体的概念要求学生在实际背景中认识、理解这些概念，体会抽象的过程，而不是通过形式化的描述让学生接受概念．②视图的知识对于三视图大部分内容是安排在第29章“视图与投影”中的．在这一章，没有给出严格的三视图的概念，是要求能从一组图形中辨认出是从什么方向看得到的图形，能说出从不同方向看一些最基本的几何体（长方体、正方体、圆柱、圆锥、球）以及它们的简单组合所能得到的图形（对于语言难以表达的，可画出示意图，基本形状正确即可，不做尺寸要求）．③展开图的要求教材从展开和折叠两个方面都有要求，且教材中的题中出现正方体表面有图案的情况，这也是中考的一个热点．圆锥的侧面展开图在背面的章节还要再研究，其余的多面体的展开图很少涉及，所以尽可能多做一些练，尽可能在本章中过关．在教学中，能够从看图阐发图形特点举行设想或先动手做再阐发图形，两方面同时举行．正方体的11种展开图，在操作中理解展开和折叠的过程，从不同的分类角度认识展开图．④推理能力的要求教科书是按照“简单说理”“说理”“推理”“用符号表示推理”不同层次分阶段逐步加深安排的．在本章，不仅要求学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质，还要“简单说理”．直线和线段性质的应用、余角和补角的性质的得出等都有简单说理的成分．教学中要注意利用这里“简单说理”的因素，为后面逐步让学生养成言之有据的惯作准备．规范的推理形式，学生虽然一开始接受有些困难，随着教学的深入不断地纠正、强化，学生是可以掌握的，为以后的几何研究起到示范作用．本章中线段的中点、角平分线、互余、互补、同角的余角（补角）相等，等角的余角（补角）相等，要从文、图、式三方面加深理解，并加以应用，要配上适当的练，巩固学生的说理．（10）关于本章作图的要求：①作一条线段等于已知线段②作已知线段的中点③作一个角等于已知角④作一个角的平分线2.各小节教学建议4．1．1立体图形与平面图形知识点1：在实际背景中了解立体图形和平面图形的概念，体会抽象的过程，能举出实例．教学建议：1.理解从模型→图形，就是数学化的过程．2.能够认清N棱柱和N棱锥，圆柱和圆锥，留意“棱”字和“锥”字的写法；能区分棱柱（锥）与圆柱（锥），能区分圆形和球体，不要求但也能够认识棱台或圆台．知识点2：从分歧角度看立体图形获得平面图形．教学建议：简单几何体要求会画图；复杂几何体能想象、辨认、说明即可．知识点3：立体图形的展开图．教学建议：1．对于立体图形展开图，学生首先要分析认清立体图形的空间结构，可以把每个面都标上它的位置名称，在展开后方便分清每个面所达到的位置．正方体的11种展开图，不要肄业生记忆，紧张的是展开和折叠的过程．鼓励学生自己动手尝试．圆锥的侧面展开图在背面圆一章中还能够再研究，其余的多面体的展开图很少涉及，所以尽可能多做一些练，尽可能在本章中过关．2.通过“展开”和“围成”两种途径认识常见几何体的展开图．尽量提供学生动手操作的机会．4．1．2点、线、面、体知识点：能从几何实体中抽象出点、线、面、体；知道“…动成…”．教学建议：这局部学生在小学阶段就有了响应的体验，枢纽是学生能进一步抽象了解这些概念，如对点的认识，它只透露表现一个位置，没有大小，甚至于无法画出来．这里还要说明线分直线和曲线，面分平面和曲面．4．2直线、射线、线段知识点1：三种基本几何图形的概念、表示、作图、性质教学建议：联系：射线、线段是直线的一部分，反向延长射线得到直线，两方延长线段得到直线．区别：名称直线图像透露表现1.直线AB(或直线BA)直线l2.射线线段1.射线AB2.射线l1.线段AB(或线段BA)2.线段a延伸向两端无限延长向一端无限延伸不可延长2可度量1不可度量端点度量不可度量知识点2：几何语言和作图；点和直线教学发起：1.该当学会“过某点”、“点在线上/外”、“相交于某点”、“延长（到某点）”、“在某线上截取”、“连接AB”、“作直线/射线/线段AB”、“有且只要”等说法，并能画出响应的图形．2.学生在书写时可能会出现用小写字母表示点的问题．知识点3：尺规作图：作一条线段等于已知线段；叠合法比较两条线段的长度大小教学发起：要让学生了解为什么在“射线”上截取，在直线或线段上截取行不行．知识点4：线段的中点、N等分点的概念教学建议：1.夸大中点必需在线段上，能够提出探讨性题目“MA=MB，能否断言M就是线段AB的中点？”，能够要学生利用尺规作图举行探讨．2.合理利用中点举行推理．知识点5：线段的和差倍分教学建议：1．注意规范符号语言的书写，要求学生模仿，从现在起必须变算术式为几何语言．2．发起此时不上难题、综合题，目的是先解决“三种语言”的题目，也为后续研究角的计较打好根蒂根基，分散难点．4．3．1角知识点1：角的两种定义方法教学发起：1.通常情况下角的范围是(0,180]．2.明确角的分类．3.在第二种定义下，说明角的范围可以进一步扩展到和大于180的角．知识点2：角的三种表示方法教学建议：1.角的表达规范题目．2.书写时尽可能写成简洁的表达形式．知识点3：角的大小、单位制、方位角教学发起：1.度分秒的转换、计算是难点，学生对于60进制的换算还是不太适应．2.一般方位，都统一用“北偏X”或“南偏X”表示；在图中标记角度．4．3．2角的比较与运算知识点1：叠合法比较角度大小；角分线的概念；角度和差倍分的计算教学建议：1.类比“线段”的研究来研究“角”．可以从以下方面作类比：①定义、图形、符号表示②测量：测量工具、测量方法、度量单位③比较大小：两条线段/两个角的大小关系的方法④特殊位置：线段的等分点、角等分线⑤和差倍分运算：感受运算中的推理和方程思想⑥角的作图：感受作图中的方案设计2.典型题：线段同一直线上有n个点，求线段的条数．已知：点C是直线AB上一点，满足已知：平面内有AOB，射线OC满足BOC角平面内有共端点的n条射线，求角的个数．AC1BC2BC1AB，2BC2则点C有两个可能位置：已知：如图，点C在线段AB上，1AOB，O2AC1则射线OC有两个可能位置：已知：如图，射线OC在AOB内部，M,N划分是线段AC,BC中点，OM,ON划分是AOC,BOC平分线，A总有MON1总有XXX．21AOB．2OXXX4．3．3余角和补角知识点：余角和补角的概念和计算教学建议：1．明确这两个概念仅透露表现数量关系、不涉及位置关系；但反过来，特殊的位置关系（垂直、邻补角）则每每会出现两个角互为余角/补角，能够用来计较角的大小．2．可以考虑将性质写成“已知-求证-证明”的形式，让学生初步感受几何中的推理和证明．4.4课题研究制作长方体形状的包装纸盒通过这一研究体会长方体（立体图形）与其侧面展开图（平面图形）之间的关系．教学建议：能够安排与立体图形展开图教学联合举行．第四章几何图形初步小结复1.建立完善的认知结构，体会一些数学思想方法的应用．2.注重渗透数学思想方法：分类讨论思想、方程思想、数形联合思想等等．分类讨论思想例1．两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，求它们的交点个数？分析由于题设条件中并没有明确这三条直线的具体位置，所以应分情况讨论.前两条的关系很确定，当画第三条时，会出现分类，或平行于某一条，或相交于同一个点，或相交不在同一个点等三种情况．说明：在过平面上若干点可以画多少条直线，应注意这些点的分情况讨论；或在画其它的图形时，应注意图形的各种可能性.例 2.点A，B，C在统一条直线上，AB＝3 cm，BC=1 cm．求AC的长．方程思想在处理有关角的大小，线段大小的计较经常需要通过列方程来解决．例．如果一个角的补角是150°，求这个角的余角.分析若设这个角的大小为x°，则这个角的余角是90°－x，于是由这个角的补角是150°可列出方程求解．数形联合思想例．如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF．将∠BEF半数，点B落在直线EF 上的点B'处，得折痕EM；将∠AEF半数，点A落在直线EF上的点A'处，得折痕EN，求∠XXX的度数．说明：对于几何中的一些概念、性质及关系，应把几何意义与数量关系结合起来加以认识，达到形与数的统一．三、几个主要知识点1．从分歧偏向看例1．将两个大小完全不异的杯子（如图1-甲）叠放在一起（如图1-乙），则从上往下看图乙，获得的平面图形是（）第图1解析：从上面往下看，能够看到上面杯子的底和两杯子的口都是圆形，应用实线透露表现，故选C.例2．图2是一个几何体的什物图，从正面看这个几何体，获得的平面图形是（）图2ABCD解析：此几何体由上下两部分组成，从正面看上面的几何体，看到的是一个等腰梯形，从正面看下面的几何体，看到的是一个长方形，再根据上面的几何体放置的位置特征，应选C.2．展开与折叠例3．如图3所示的平面图形中，不可能围成圆锥的是（）图3解析：圆锥的展开图是一个圆和一个扇形，D选项中是一个圆和一个三角形，不能围成圆锥，故选D.例4．图4是正方体的展开图，原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是图4________．解析：将正方体的展开图折成正方体，能够获得2与6两个面相对，3与4两个面相对，1与5两个面相对，所以相对两个面上的数字之和的最小值是：1＋5=6．故填6.3 .线段的性质与计算例5.在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是___________.解析：本题是线段性质的实际应用，根据线段的性质直接获得谜底.应填“两点之间，线段最短.”例6．如图5，点C是线段AB上的点，点D是线段BC 的中点，若AB=12，AC=8，则CD=______．解析：由图可知，CB=AB-AC=12-8=4.又因为D是BC的中点，所以CD=BC=2.故填2.4.角度的计算例7．如图6所示，已知O是直线AB上一点，∠1=40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 70°CA1OD2图512解析：由∠1=40°及平角定义，可求出∠BOC的度数，由角平分线的定义，通过∠BOC=2∠2可求出∠2的度数.因为∠1=40°，所以∠BOC=180°-∠AOC=140°.又由于OD是∠BOC的平分线，所以∠2=B图61XXX∠BOC=70°.故选D.2例8．如图7，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数是（）A. 125°B. 135°C. 145°D. 155°解析：因为OE⊥AB，所以∠BOE=90°.由于∠BOD=45°，所以∠DOE=45°.所以∠COE=180°-∠DOE=135°.故选B.5.余角与补角例9．（1）已知∠α＝20°，则∠α的余角等于度.（2）一个角的补角是36°35′，这个角是．ACO图7EDB解析：（1）由余角定义，∠α的余角为：90°-20°=70°．故填70.。
浅谈分类思想在初中几何入门中的应用
浅谈分类思想在初中几何入门中的应用作者：张晓会来源：《文理导航·教育研究与实践》 2020年第10期广东省中山市第一中学张晓会数学思想方法，是对数学的本质认识，是数学学习的一种重要指导思想和方法。
数学中的分类讨论思想，是一种重要的逻辑方法，它能使复杂的问题变得简单明了，还可以培养学生严密的数学逻辑思维和发散思维。
在初中平面几何中，分类思想也是比较常用的一种数学方法。
那么平面几何问题一般在什么情况下需要进行分类讨论呢？又该怎么进行分类呢？通常在平面几何未给出相应图形，且关键词具有“模糊性”性时，往往就需要我们进行分类讨论。
分类一般分为以下几步：首先，找出题目中的关键词；其次，画出相应图形；最后，分别按照图形进行分析作答。
下面仅以几个题目为例进行说明。
例1:已知：线段AB=5cm，点C在直线AB上，且BC=2cm，则AC=_____cm。
解析：本题没有给出相应的图形，并且关键词是“点C在直线AB上”而不是“点C在线段AB上”，而直线是具有无限延伸性，所以C点可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上。
画出相应的图形（见下图）例3:在三角形ABC中，∠A=60°，∠ACB=40°，D为BC边延长线上一点，MB平分∠ABC，E为射线BM上一点，若直线CE垂直于三角形ABC的一边，请写出∠BEC的度数。
解析：∵∠A=60°，∠ACB=40°∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=80°又∵MB平分∠ABC∴∠ABM=∠MBC=1/2∠ABC=40°本题只给出了基础的背景图形，关键词是“直线CE垂直于三角形ABC的一边”，没有明确说明具体时间那一条边，而三角形有三条边，所以本题要分三种情况讨论。
1.当CE⊥BC时（如图七），∠BCE=90°，∴∠BEC=180°-∠MBC-∠BCE=50°。
2.当CE⊥AC时(如图八），∠ACE=90°∴∠BEC=180°-∠MBC-∠BCE=10°。