中垂线、角平分线与等腰三角形性质综合应(北师大)知识分享

中垂线、角平分线与等腰三角形性质综合应(北师大)

中垂线、角平分线、等腰三角形性质综合应用

一、知识点回顾

1、 线段垂直平分线性质定理及其逆定理：

定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上.

2、 角平分线的性质定理及其逆定理：

定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.

逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.

D

2

1P C

A

B

E

O

1、等腰三角形的性质

等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。

三线合一：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合 证明以下推论：

等腰三角形的两底角的平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高相等。

等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半

4、 等腰三角形的判定：

P

M N

C B

A

等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形

二、典型例题讲解

1、已知：如图所示△ABC ，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD ，M 为垂足，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上.

2、如图，已知：CD 、CE 分别是AB 边上的高和中线，且

ACE ECD DCB ∠=∠=∠。求证：90o ACB ∠=

A

3、如图，已知：在,90,30o o ABC C A ∆∠=∠=中，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD 。求证：AF=FG=BG 。

F E A

M

E

F B

A

C

D

4、 如图，已知：在△ABC ，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，EF ⊥AB 于F ，且CE=EF 。 求证：FG//AC

5、如图，在ABC ∆中，OE 、OF 分别是AB 、AC 边的垂直平分线，,OBC OCB ∠∠的平分线相交于点I ，判断OI 与BC 的位置关系，并证明你的判断。

B

6：如图，已知：BAC CBF ∠∠与的平分线相交于P ，联结CP ，分别过点B 、C 作PC 、PB 的垂线交AC 、AB 的延长线于E 、F ，G 、H 为垂足。 求证：

BF=CE

B

D

F

B

A

课堂随练

1、如图14－73所示，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3cm，求BE的长.

2、如图14－74所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线分别与BC，AB交于M，N.求证MB=2AC.

3、如图14－97所示，CE是△ABC的角平分线，过点E画BC的平

行线，交AC于点D，交外角∠ACG的平分线于点F.试证明DE=DF.

4、如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边

三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。求证：（1）∠AOB＝120°；

（2）CM＝CN；

（3）MN∥AB。