八年级初二数学勾股定理测试试题附解析

一、选择题

1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，在矩形内部有一动点P 满足S △PAB ＝3S △PCD ，则动点P 到点A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为（ ）

A ．5

B ．35

C ．332+

D ．213

2．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠=，8AD =，6BC =，分别以点A ，

C 为圆心，大于

1

2

AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）

A ．42

B ．6

C ．210

D ．8

3．如图，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A 出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB 1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n 条棱所在的直线必须既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）

A ．0

B ．1

C 3

D 2

4．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形

拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直

角三角形的两直角边分别是a 、b ，那么2

()a b + 的值为（ ）.

A ．49

B ．25

C ．13

D ．1

5．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)( )

A ．3

B ．5

C ．4.2

D ．4

6．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（ ） A ．5.3尺 B ．6.8尺 C ．4.7尺 D ．3.2尺 7．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ）

A ．5

B ．7

C ．5

D ．5或7

8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）

A ．1

B ．2021

C ．2020

D ．2019

9．为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（ ） A ．0.6米 B ．0.7米 C ．0.8米 D ．0.9米 10．一个直角三角形的两条边的长度分别为3和4，则它的斜边长为（ ）

A ．5

B ．4

C 7

D ．4或5

二、填空题

11．如图，ACB △和ECD 都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ABC 的顶

点A 在ECD 的斜边上．若3AE =，7AD =，则AC 的长为_________

12．在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC ?的周长为_______________． 13．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC 边上的高AD ＝4，则△ABC 的周长为__________. 14．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB ，BC ，BD ，DE 的端点均在格点上，线段AB 和DE 交于点F ，则DF 的长度为_____．

15．以直角三角形的三边为边向外作正方形P ，Q ，K ，若S P =4，S Q =9，则K S =___ 16．已知，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=7，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，DE=DF ，若BF=4，则EF=_______

17．Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以 AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段 BD 的长为_____．

18．如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，AN ＝2，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，则BM +MN 的最小值是_____．

19．如图，正方体的底面边长分别为2cm 和3cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm ．

20．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．

三、解答题

△中，∠ACB = ∠DCE=90°．

21．如图，在两个等腰直角ABC和CDE

（1）观察猜想：如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是，位置关系是；

△绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？（2）探究证明：把CDE

说明理由；

△绕点C在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A、E、（3）拓展延伸：把CDE

D三点在直线上时，请直接写出 AD的长．

22．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；

（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；

（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．

23．定义：如图1，平面上两条直线AB、CD相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线AB、CD的距离分别为p、q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O．

（1）“距离坐标”为(1，0)的点有个；

（2）如图2，若点M在过点O且与直线AB垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为(p，q)，且∠BOD = 150?，请写出p、q的关系式并证明；

（3）如图3，点M的“距离坐标”为3)，且∠DOB = 30?，求OM的长．

24．如图，在ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ， （1）求证：ABD ACE ?； （2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，

①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明； ②若3BD =，4CF =，求AD 的长，

25．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=?，则ADB =∠______． （2）求证：BED CDF △≌△．

（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．

26．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，动点D 在直线AB （点A 与点B 重合除外）上时，以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ，且90ECD ∠=?，连接AE ．

（1）判断AE 与BD 的数量关系和位置关系；并说明理由．

（2）如图2，若4BD =，P ，Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==，试求PQ 的长． （3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由． 27．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动

2

3

秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．

设点E 的运动时间为t :（秒）

（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）

（2）当1t =时，将OEF ?沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；

（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设

MBN ?的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．

28．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ?，ADE ?，AFO ?均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ?内部，点E 在ABC ?的外部，32=AD 30DOE ∠=?，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .

（1）求点A 的坐标；

（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由； （3）直接写出ADG ?的周长.

29．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．

已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离

()

()2

2

121212PP x x y y =

-+-，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂

直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y . （1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.

已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；

（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．

（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．

30．（已知：如图1，矩形OACB 的顶点A ，B 的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y 轴上一点且坐标为（0，2），点P 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC ﹣CB 方向运动，到达点B 时运动停止．

（1）设点P 运动时间为t ，△BPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；

（2）当点P 运动到线段CB 上时（如图2），将矩形OACB 沿OP 折叠，顶点B 恰好落在边AC 上点B ′位置，求此时点P 坐标；

（3）在点P 运动过程中，是否存在△BPD 为等腰三角形的情况？若存在，求出点P 坐标；

若不存在，请说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

首先由PAB PCD S =3S △△，得知动点P 在与AB 平行且与AB 的距离为3的直线l 上，作点A 关于直线l 的对称点E ，连接AE 、BE ，则BE 的长就是所求的最短距离，然后在直角三角形ABE 中，由勾股定理求得BE 的值，即PA+PB 的最小值． 【详解】

解：∵PAB PCD S =3S △△， 设点P 到CD 的距离为h ，则点P 到AB 的距离为(4-h ),

则

11

AB (4-h)=3CD h 22

?????，解得：h=1，∴点P 到CD 的距离1，到AB 的距离为3， ∴如下图所示，动点P 在与AB 平行且与AB 的距离为3的直线l 上，作点A 关于直线l 的对称点E ，连接AE 、BE ，且两点之间线段最短，

∴PA+PB 的最小值即为BE 的长度，AE=6，AB=3，∠BAE=90°， 根据勾股定理：22222BE =AE AB =63=35++ 故选：B ． 【点睛】

本题考查了轴对称—最短路线问题（两点之间线段最短），勾股定理，得出动点P 所在的位置是解题的关键．

2．A

解析：A 【分析】

连接FC ，根据基本作图，可得OE 垂直平分AC ，由垂直平分线的性质得出AF =FC ．再根据ASA 证明△FOA ≌△BOC ，那么AF =BC =3，等量代换得到FC =AF =3，利用线段的和差关系求出FD =AD -AF =1．然后在直角△FDC 中利用勾股定理求出CD 的长． 【详解】

解：如图，连接FC ，

∵点O 是AC 的中点，由作法可知，OE 垂直平分AC ， ∴AF =FC ．

∵AD ∥BC ， ∴∠FAO =∠BCO ． 在△FOA 与△BOC 中，

FAO BCO OA OC

AOF COB ∠∠??

??∠∠?

＝＝＝ ， ∴△FOA ≌△BOC （ASA ）， ∴AF =BC =6，

∴FC =AF =6，FD =AD -AF =8-6=2． 在△FDC 中，∵∠D =90°， ∴CD 2+DF 2=FC 2， ∴CD 2+22=62， ∴CD =42 故选：A ． 【点睛】

本题考查了作图-基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF 与DF 是解题的关键．

3．D

解析：D 【分析】

先确定黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点，再根据停止点确定它们之间

【详解】

根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→B A，回到起点．

乙甲壳虫爬行一圈的路线是AB→BB1→B1C1→C1D1→D1A1→A1A．

因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱，

因为2017÷6=336…1，

所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点都是A1，B.

所以它们之间的距离是2，

故选D．

【点睛】

此题考查了立体图形的有关知识．注意找到规律：黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径是解此题的关键．

4．A

解析：A

【分析】

根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方25，也就是两条直角边的平方和是25，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12，据此即可得结果.

【详解】

根据题意，结合勾股定理a2+b2=25，

四个三角形的面积=4×1

2

ab=25-1=24，

∴2ab=24，

联立解得：（a+b）2=25+24=49．

故选A.

5．C

解析：C

【分析】

根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．【详解】

解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：

x2+42=（10-x）2，

解得：x=4.2，

答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．

【点睛】

此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．

6．D

解析：D 【分析】

根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可． 【详解】

解：设折断处离地面的高度OA 是x 尺，根据题意可得：

x 2+62=（10-x ）2， 解得：x=3.2，

答：折断处离地面的高度OA 是3.2尺． 故选D ． 【点睛】

此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．

7．D

解析：D 【分析】

分4是直角边、4是斜边，根据勾股定理计算即可． 【详解】

当4是直角边时，斜边2234+， 当4是斜边时，另一条直角边22473-=， 故选：D ． 【点睛】

本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．

8．B

解析：B 【分析】

根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】

解：由题意得，正方形A 的面积为1，

由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，

∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，

同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，

∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，

……

∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，

故选：B．

【点睛】

本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么

a2+b2=c2．

9．B

解析：B

【解析】

试题解析：依题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定

22

-（米）．

2.5 2.4

故选B．

10．D

解析：D

【分析】

根据题意，可分为已知的两条边的长度为两直角边，或一直角边一斜边两种情况，根据勾股定理求斜边即可．

【详解】

当3和4为两直角边时，由勾股定理，得：

22

+=；

345

当3和4为一直角边和一斜边时，可知4为斜边．

∴斜边长为4或5．

故选：D．

【点睛】

本题考查了勾股定理，关键是根据题目条件进行分类讨论，利用勾股定理求解．

二、填空题

11．

5

【分析】

由题意可知，AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，求出∠ACE ＝∠BCD 可证△ACE ≌△BCD ，可得AE ＝BD ＝3，∠ADB ＝90°，由勾股定理求出AB 即可得到AC 的长． 【详解】

解：如图所示，连接BD ，

∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，

∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°， 且∠ACE ＝∠BCD ＝90°-∠ACD ， 在ACE 和BCD 中，

AC=BC ACE=BCD CE=CD ??

∠∠???

∴△ACE ≌△BCD （SAS ），

∴AE ＝BD 3E ＝∠BDC ＝45°， ∴∠ADB ＝∠ADC+∠BDC ＝45°+45°＝90°， ∴AB 22AD +BD =7+3=10， ∵AB=2BC ， ∴BC ＝

2AB=52

5 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 12．32或42 【分析】

根据题意画出图形，分两种情况：△ABC 是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC ，即可得到答案 【详解】

当△ABC 是钝角三角形时， ∵∠D=90°，AC=13，AD=12，

∴222213125CD AC AD =-=-=,

∵∠D=90°，AB=15，AD=12， ∴222215129BD AB AD =-=-=, ∴BC=BD-CD=9-5=4， ∴△ABC 的周长=4+15+13=32；

当△ABC 是锐角三角形时， ∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12， ∴222213125CD AC AD =

-=-=，

∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12， ∴222215129BD AB AD =-=-=， ∴BC=BD-CD=9+5=14， ∴△ABC 的周长=14+15+13=42；

综上，△ABC 的周长是32或42， 故答案为：32或42. 【点睛】

此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键. 13．1425+或825+【分析】

分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中，利用勾股定理求出BD 与DC 的长，由BD+DC 求出BC 的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，同理由BD -CD 求出BC 的长，即可求出周长． 【详解】

解：分两种情况考虑：

如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，

在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：BD=22226425AB AD -=-=， 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：CD=2222543AC AD -=-=，

∴BC=253+，

∴△ABC 的周长为：652531425+++=+； 如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，

在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：22226425AB AD -=-=

在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：2222543AC AD --=，

∴BC=253-，

∴△ABC 的周长为：65253825++=+ 综合上述，△ABC 的周长为：145+85+ 故答案为：145+825+ 【点睛】

此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 14．2 【分析】

连接AD 、CD ，由勾股定理得：22435AB DE ==+=，224225BD =+=22125CD AD =+=，得出AB ＝DE ＝BC ，222

BD AD AB +=，由此可得△ABD 为

直角三角形，同理可得△BCD 为直角三角用形，继而得出A 、D 、C 三点共线.再证明△ABC ≌△DEB ，得出∠BAC ＝∠EDB ，得出DF ⊥AB ，BD 平分∠ABC ，再由角平分线的性得出DF ＝DG ＝2即可的解. 【详解】

连接AD 、CD ，如图所示：

由勾股定理可得，

22435AB

DE ==+=，224225BD =+=，22125CD AD ==+=，

∵BE=BC=5，∴AB=DE ＝AB ＝BC ，222BD AD AB +=， ∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°， 同理可得：△BCD 是直角三角形，∠BDC ＝90°， ∴∠ADC ＝180°，∴点A 、D 、C 三点共线， ∴225AC AD BD ===， 在△ABC 和△DEB 中，

AB DE BC EB AC BD =??

??=?

＝，∴△ABC ≌△DEB(SSS)，∴∠BAC ＝∠EDB ， ∵∠EDB+∠ADF ＝90°，∴∠BAD+∠ADF ＝90°， ∴∠BFD ＝90°，∴DF ⊥AB ， ∵AB=BC ，BD ⊥AC ，∴BD 平分∠ABC ， ∵DG ⊥BC ，∴DF ＝DG ＝2. 【点睛】

本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理和过股定理的逆定理. 15．5或13 【分析】

根据已知可得题意中的图是一个勾股图，可得S P +S Q =S K 为从而易求S K ． 【详解】 解：如下图所示，

若A=S P =4．B=S Q =9，C=S K ， 根据勾股定理，可得 A+B=C ，

∴C=13．

若A=S P=4．C=S Q=9，B=S K，

根据勾股定理，可得

A+B=C，

∴B=9-4=5．

∴S K为5或13．

故答案为：5或13．

【点睛】

本题考查了勾股定理．此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．

16．322

或11或5或109 5

【分析】

分别就E，F在AC,BC上和延长线上，分别画出图形，过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H，通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可.

【详解】

解：①过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H

∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°

又∵D是AB的中点，

∴DG=1

2 BC

同理：DH=1

2 AC

又∵BC=AC

∴DG=DH

在Rt△DGE和Rt△DHF中

DG=DH,DE=DF

∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL）

∴GE=HF

又∵DG=DH,DC=DC

∴△GDC≌△FHC

∴CG=HC

∴CE=GC-GE=CH-HF=CF=AB-BF=3

∴EF=223332+=

②过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H

∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45° 又∵D 是AB 的中点， ∴DG=

12

BC 同理：DH=

12

AC 又∵BC=AC ∴DG=DH

在Rt△DGE 和Rt△DHF 中 DG=DH,DE=DF

∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ） ∴GE=HF 又∵DG=DH,DC=DC ∴△GDC≌△FHC ∴CG=HC

∴CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11 221111112+=③如图，以点D 为圆心，以DF 长为半径画圆交AC 边分别为E 、E '，过点D 作DH⊥AC 于点H ，可知DF DE DE '==，可证△EHD≌△E HD '，CE D CFD '≌，△DHC 为等腰直角三角形， ∴∠1+∠2=45°

∴∠EDF=2（∠1+∠2）=90° ∴△EDF 为等腰直角三角形 可证AED CFD △△≌ ∴AE=CF=3,CE=BF=4

∴2222435EF CE CF =+=+=

④有第③知，EF=5，且△EDF 为等腰直角三角形， ∴

ED=DF=

52

2

,可证△E CF E DE ''?∽,

2223y x +=

5252x =

+综上可得：422

x =∴2222E F DE DF DE '''''=

+=

109

5

E F ''=

【点睛】

本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本题的关键.

17．4或2510 【分析】

分三种情况讨论：①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ；②以C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD ；③以AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC ．分别画图，并求出BD ． 【详解】

①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，如图1．∵∠DAC=90°，且AD=AC，

∴BD=BA+AD=2+2=4；

②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，如图2．连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，

∴∠DCE=45°．

又∵DE⊥CE，

∴∠DEC=90°，

∴∠CDE=45°，

∴CE=DE=2

2

2

2

?=．

在Rt△BAC中，BC22

22

=+=22，∴BD2222

2222

BE DE（）（）

=+=++= 25；

③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，如图3．

∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，

∴AD=DC=AC sin45°=2

2

2

2

?=．

又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，

∴∠ACB=∠ACD=45°，

∴∠BCD=90°．

又∵在Rt△ABC中，BC22

22

=+=22，

∴BD2222

22210

BC CD

=+=+=

（）（）．

故BD的长等于4或510．

故答案为4或510．

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是分情况考虑问题，187

【解析】