自动控制原理复习资料(相当全)
自动控制原理学习资料
《自动控制原理》学习资料第一章 自动控制概论1、教学目的: 掌握自动控制系统组成结构和基本要素，理解自动控制的基本控制方式和对系统的性能要求，了解一些实际自动控制系统的控制原理。
2、基本要求： 掌握基本概念：自动控制、反馈、控制系统的构成。
要求初步了解如何由系统原理图形成系统的原理方块图及判别控制方式的方法。
要求初步了解本门课程的意义与作用。
一、自动控制的任务通常，在自动控制技术中，把工作的机器的设备称为被控对象，把表征这些机器设备工作状态的物理参量称为被控量，而对这些物理参量的要求值称为给定值或希望值（或参考输入）。
则控制的任务可概括为：使被控对象的被控量等于给定值。
下面通过具体例子来说明自动控制和自动控制系统的概念。
图1-1 水位自动控制系统水位自动控制系统：控制任务：维持水箱内水位恒定；控制装置：气动阀门、控制器；受控对象：水箱、供水系统；被控量：水箱内水位的高度；给定值：控制器刻度盘指针标定的预定水位高度；测量装置：浮子；比较装置：控制器刻度盘；干扰：水的流出量和流入量的变化都将破坏水位保持恒定；由此可见：自动控制即没有人直接参与的控制，其基本任务是：在无人直接参与情况下，只利用控制装置操纵被控对象，使被控制量等于给定值。
自动控制系统：指能够完成自动控制任务的设备，一般由控制装置和被控对象组成。
二、自动控制的基本方式图1-2 自动控制方框图在上图中，除被控对象外的其余部分统称为控制装置，其必须具备以下三种职能部件。
测量元件：用以测量被控量或干扰量。
比较元件：将被控量与给定值进行比较。
执行元件：根据比较后的偏差，产生执行作用，去操纵被控对象。
参与控制的信号来自三条通道，即给定值、干扰量、被控量。
下面根据不同的信号源来分析自动控制的几种基本控制方式：按给定值操纵的开环控制；按干扰补偿的开环控制；按偏差调节的闭环控制。
1、按给定值操纵的开环控制开环控制——系统的输出端与输入端之间不存在反馈回路，输出量对系统的控制作用没有影响。
自动控制原理复习资料
一、单选题（共20题，40分）1、在伯德图中反映系统抗高频干扰能力的是( )（2.0）A、低频段B、中频段C、高频段D、无法反应正确答案： C2、设单位负反馈控制系统的开环传递函数G(s)=，其中K>0,a>0，则闭环控制系统的稳定性与（）o（2.0）A、K值的大小有关B、a值的大小有关C、a和K值的大小有关D、a和K值的大小无关正确答案： D3、关于线性系统稳态误差，正确的说法是：( )（2.0）A、一型系统在跟踪斜坡输入信号时无误差B、C、增大系统开环增益K可以减小稳态误差D、增加积分环节可以消除稳态误差，而且不会影响系统稳定性正确答案： C4、传递函数定义线性定常系统在零初始状态下系统输出拉氏变换与输入拉氏变换之（）。
（2.0）A、积B、比C、和D、差正确答案： B5、下列系统中属于不稳定的系统是( )。
（2.0）A、闭环极点为的系统B、闭环特征方程为的系统C、阶跃响应为的系统D、脉冲响应为的系统正确答案： D6、系统开环对数幅频特性L(ω)中频段主要参数的大小对系统的（）性能无影响。
（2.0）A、动态B、稳态C、相对稳定性D、响应的快速性正确答案： D7、设控制系统的开环传递函数为，该系统为( )（2.0）A、 0型系统B、Ⅰ型系统C、Ⅱ型系统D、Ⅲ型系统正确答案： B8、确定系统根轨迹的充要条件是（）。
（2.0）A、根轨迹的模方程B、根轨迹的相方程C、根轨迹增益D、根轨迹方程的阶次正确答案： C9、高阶系统的主导闭环极点越靠近虚轴，则系统的 ( )（2.0）A、准确度越高B、准确度越低C、响应速度越快D、响应速度越慢正确答案： D10、闭环系统的动态性能主要取决于开环对数幅频特性的( )（2.0）A、低频段B、开环增益C、高频段D、中频段正确答案： D11、Z变换中复变量z的物理含义是什么？（2.0）A、滞后一个采样周期。
B、超前一个采样周期。
C、跟复变量s一样。
D、没有什么物理含义，就是为了计算方便。
自动控制原理总复习
3.化简结构图求传递函数 ①结构图化简的方法有：
第二章
1、串联方框的简化 2、并联方框的简化 3、反馈连接方框的简化 4、比较点的移动 5、引出点移动
结构图化简原则
❖多个方框串联原则：总传递函数等于各方框传递函数之积。 ❖多个方框并联原则：总传递函数等于各方框传递函数之代数和。
有源校 正装置
无相移校正装置 相位超前校正装置 相位滞后校正装置 相位滞后—超前校正装置
4. 常用校正装置的特性
无源校正网络：电阻电容元件电路 有源校正网络：电阻电容元件电路+线性集成运算放大器
5. 串联校正的分类
1.串联超前校正：
利用超前网络的相角超前特性进行校正
2.串联滞后校正：
利用滞后网络的高频衰减特性进行校正
3.串联超前—滞后校正
第七章
1.为了从采样信号中不失真地复现原连续信号,采样周期T与频率
分量ωm的关系是：
2
T
2m
2.闭环系统脉冲传递函数形式的证明
闭环脉冲传递函数是闭环离散系统输出信号的Z变换与输入信
号的Z变换之比，即
(z) C(z) R(z)
P.276表7-3列出了典型的闭环离散系统及其输出的Z变换函数
G(s) 2(s 2) (s 1)(s 4)
G(s) (0.5s 1) (s 1)(0.25s 1)
第二章
2.传递函数的相关内容
③ 模态与闭环特征根的关系：e pit
④ 根据给定的零初条件下的系统阶跃响应形式，求得系统的 单位脉冲响应 第一步：根据给定的零初条件下的系统阶跃响应形式，写出闭 环传递函数的表达式； 第二步：得到系统输出s域的表达式； 第三步：对系统输出进行拉式反变换。
自动控制原理复习课件可编辑全文
1 F
xdt
1 Fs
1
dx
(6)PID环节：
y kc ( x Ti
xdt Td
) dt
kc
(1
1 Ti s
Td
s)
(7)纯滞后环节： y(t) x(t )
e s
(8)带有纯滞后的一阶环节：
T dy(t ) y(t ) Kx(t) dt
K e s Ts 1
三、结构图 结构图：
应用函数方块描述信号在控制系统中传输过程的 图解表示法。
X (s) 1 G(s)H (s)
G(s)： 前 向 通 道 传 递 函 数 ， H(s)： 反 馈 通 道 传 递 函 数 ， G(s)H(s)：开环传递函数 1+ G(s)H(s)=0：闭环特征方程。 单位反馈系统： (s) G(s)
1 G(s)
正反馈：
自动控制原理
(s) G(s)
E(s) X (s) Z(s)
y(t) 斜率=1/T y(t)=1-exp(-t/T)
1
0.632
63.2％
0
T 2T 3T 4T 5T t
二、二阶系统的动态响应
G(s)
Y (s) X (s)
s2
n2 2n
n2
ωn：无阻尼自然频率，ζ：阻尼系数（阻尼比）。
阻尼情况 ζ值
欠阻尼 0＜ζ＜1
临界阻尼 ζ=1 过阻尼 ζ＞1 无阻尼 ζ＝0
自动控制原理
武汉理工大学自动化学院
希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。设
S S1 a Z a
j
并代入原方程式中，得到以 S1 为变量
的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该
方程中是否有根位于垂线 S a 右侧。
自动控制原理题目(含答案)
《自动控制原理》复习参考资料一、基本知识 11、反馈控制又称偏差控制，其控制作用是通过输入量与反馈量的差值进行的。
2、闭环控制系统又称为反馈控制系统。
3、在经典控制理论中主要采用的数学模型是微分方程、传递函数、结构框图和信号流图。
4、自动控制系统按输入量的变化规律可分为恒值控制系统、随动控制系统与程序控制系统。
5、对自动控制系统的基本要求可以概括为三个方面，即：稳定性、快速性和准确性。
6、控制系统的数学模型，取决于系统结构和参数, 与外作用及初始条件无关。
7、两个传递函数分别为 G1(s)与 G2(s)的环节，以并联方式连接，其等效传递函数为G(s)+G2(s)，以串联方式连接，其等效传递函数为G1(s)*G2(s)。
18、系统前向通道传递函数为 G (s)，其正反馈的传递函数为 H (s)，则其闭环传递函数为G(s) /(1-G(s) H(s) )。
9、单位负反馈系统的前向通道传递函数为 G (s)，则闭环传递函数为G(s) /(1+ G(s) )。
10 、典型二阶系统中，ξ=0.707 时，称该系统处于二阶工程最佳状态，此时超调量为 4.3%。
11、应用劳斯判据判断系统稳定性，劳斯表中第一列数据全部为正数，则系统稳定。
12、线性系统稳定的充要条件是所有闭环特征方程的根的实部均为负，即都分布在S平面的左平面。
13、随动系统的稳态误差主要来源于给定信号，恒值系统的稳态误差主要来源于扰动信号。
14、对于有稳态误差的系统，在前向通道中串联比例积分环节，系统误差将变为零。
15、系统稳态误差分为给定稳态误差和扰动稳态误差两种。
16 、对于一个有稳态误差的系统，增大系统增益则稳态误差将减小。
17 、对于典型二阶系统，惯性时间常数 T 愈大则系统的快速性愈差。
18 、应用频域分析法，穿越频率越大，则对应时域指标 ts越小，即快速性越好19 最小相位系统是指 S 右半平面不存在系统的开环极点及开环零点。
20、按照校正装置在系统中的不同位置，系统校正可分为串联校正、反馈校正、补偿校正与复合校正四种。
完整版)自动控制原理知识点汇总
完整版)自动控制原理知识点汇总自动控制原理总结第一章绪论在自动控制中，被控对象是要求实现自动控制的机器、设备或生产过程，而被控量则是表征被控对象工作状态的物理参量或状态参量，如转速、压力、温度、电压、位移等。
控制器是由控制元件组成的调节器或控制装置，它接受指令信号，并输出控制作用信号于被控对象。
给定值或指令信号r(t)是要求控制系统按一定规律变化的信号，是系统的输入信号。
干扰信号n(t)又称扰动值，是一种对系统的被控量起破坏作用的信号。
反馈信号b(t)是指被控量经测量元件检测后回馈送到系统输入端的信号。
偏差信号e(t)是指给定值与被控量的差值，或指令信号与反馈信号的差值。
闭环控制的主要优点是控制精度高，抗干扰能力强。
但是使用的元件多，线路复杂，系统的分析和设计都比较麻烦。
对控制系统的性能要求包括稳定性、快速性和准确性。
稳定性和快速性反映了系统的过渡过程的性能，而准确性则是衡量系统稳态精度的指标，反映了动态过程后期的性能。
第二章控制系统的数学模型拉氏变换是一种将时间域函数转换为复频域函数的数学工具。
单位阶跃函数1(t)、单位斜坡函数、等加速函数、指数函数e-at、正弦函数sinωt、余弦函数cosωt和单位脉冲函数(δ函数)都有其典型的拉氏变换。
拉氏变换的基本法则包括线性法则、微分法则、积分法则、终值定理和位移定理。
传递函数是线性定常系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比，称为系统或元部件的传递函数。
动态结构图及其等效变换包括串联变换法则、并联变换法则、反馈变换法则、比较点前移“加倒数”和比较点后移“加本身”，以及引出点前移“加本身”和引出点后移“加倒数”。
梅森公式是一种求解传递函数的方法，典型环节的传递函数包括比例(放大)环节、积分环节、惯性环节、一阶微分环节、振荡环节和二阶微分环节。
第三章时域分析法时域分析法是一种分析控制系统时域特性的方法。
其中，时域响应包括零状态响应和零输入响应。
《自动控制原理》复习提纲
《自动控制原理》复习提纲自动控制原理复习提纲第一章：自动控制系统基础1.1自动控制的基本概念1.2自动控制系统的组成1.3自动控制系统的性能指标1.4自动控制系统的数学建模第二章：系统传递函数与频率响应2.1一阶惯性系统传递函数及特性2.2二阶惯性系统传递函数及特性2.3高阶惯性系统传递函数及特性2.4惯性环节与纯时延环节的传递函数2.5开环传递函数与闭环传递函数2.6频率响应曲线及其特性第三章：传递函数的绘制和分析3.1 Bode图的绘制3.2 Bode图的分析方法3.3 Nyquist图的绘制和分析3.4极坐标图的应用3.5稳定性分析方法第四章：闭环控制系统及稳定性分析4.1闭环控制系统4.2稳定性的概念和判据4.3 Nyquist稳定性判据4.4 Bode稳定性判据4.5系统的稳态误差分析第五章：比例、积分和微分控制器5.1比例控制器的原理和特性5.2积分控制器的原理和特性5.3微分控制器的原理和特性5.4比例积分(P)控制系统5.5比例积分微分(PID)控制系统第六章：根轨迹法6.1根轨迹的概念和基本性质6.2根轨迹的绘制方法6.3根轨迹法的稳定性判据6.4根轨迹设计法则6.5根轨迹法的应用案例第七章：频域设计方法7.1频域设计基本思想7.2平衡点反馈控制法7.3频域设计法的应用案例7.4系统频率响应的优化设计7.5频域方法的灵敏度设计第八章：状态空间分析和设计8.1状态空间模型的建立8.2状态空间的矩阵表示8.3状态空间系统的特性8.4状态空间系统的稳定性分析8.5状态空间设计方法和案例第九章：模糊控制系统9.1模糊控制的基本概念9.2模糊控制系统的结构9.3模糊控制器设计方法9.4模糊控制系统的应用案例第十章：遗传算法与控制系统优化10.1遗传算法的基本原理10.2遗传算法在控制系统优化中的应用10.3遗传算法设计方法和案例第十一章：神经网络及其应用11.1神经网络的基本概念和结构11.2神经网络训练算法11.3神经网络在控制系统中的应用11.4神经网络控制系统设计和优化方法第十二章：自适应控制系统12.1自适应控制的基本概念12.2自适应控制系统的结构12.3自适应控制器设计方法12.4自适应控制系统的应用案例第十三章：系统辨识与模型预测控制13.1系统辨识的基本概念13.2建模方法及其应用13.3模型预测控制的原理13.4模型预测控制系统设计和优化方法第十四章：多变量控制系统14.1多变量控制系统的基本概念14.2多变量系统建模方法14.3多变量系统稳定性分析14.4多变量系统控制器设计14.5多变量系统优化控制方法以上是《自动控制原理》的复习提纲，内容覆盖了自动控制系统的基本概念、传递函数与频率响应、传递函数的绘制和分析、闭环控制系统及稳定性分析、比例、积分和微分控制器、根轨迹法、频域设计方法、状态空间分析和设计、模糊控制系统、遗传算法与控制系统优化、神经网络及其应用、自适应控制系统、系统辨识与模型预测控制、多变量控制系统等知识点。
自动控制原理题目(含答案)
《自动控制原理》复习参考资料一、基本知识11、反馈控制又称偏差控制，其控制作用是通过输入量和反馈量的差值进行的。
2、闭环控制系统又称为反馈控制系统。
3、在经典控制理论中主要采用的数学模型是微分方程、传递函数、结构框图和信号流图。
4、自动控制系统按输入量的变化规律可分为恒值控制系统、随动控制系统和程序控制系统。
5、对自动控制系统的基本要求可以概括为三个方面，即：稳定性、快速性和准确性。
6、控制系统的数学模型，取决于系统结构和参数, 和外作用及初始条件无关。
7、两个传递函数分别为G1(s)和G2(s)的环节，以并联方式连接，其等效传递函数为G1(s)+G2(s)，以串联方式连接，其等效传递函数为G1(s)*G2(s)。
8、系统前向通道传递函数为G（s），其正反馈的传递函数为H（s），则其闭环传递函数为G（s）/(1- G（s）H（s）)。
9、单位负反馈系统的前向通道传递函数为G（s），则闭环传递函数为G（s）/(1+ G（s）)。
10、典型二阶系统中，ξ=0.707时，称该系统处于二阶工程最佳状态，此时超调量为4.3%。
11、使用劳斯判据判断系统稳定性，劳斯表中第一列数据全部为正数，则系统稳定。
12、线性系统稳定的充要条件是所有闭环特征方程的根的实部均为负，即都分布在S平面的左平面。
13、随动系统的稳态误差主要来源于给定信号，恒值系统的稳态误差主要来源于扰动信号。
14、对于有稳态误差的系统，在前向通道中串联比例积分环节，系统误差将变为零。
15、系统稳态误差分为给定稳态误差和扰动稳态误差两种。
16、对于一个有稳态误差的系统，增大系统增益则稳态误差将减小。
17、对于典型二阶系统，惯性时间常数T 愈大则系统的快速性愈差。
18、使用频域分析法，穿越频率越大，则对应时域指标t s 越小，即快速性越好19最小相位系统是指S 右半平面不存在系统的开环极点及开环零点。
20、按照校正装置在系统中的不同位置，系统校正可分为串联校正、反馈校正、 补偿校正和复合校正四种。
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总复习第一章的概念1、典型的反馈控制系统基本组成框图：2、自动控制系统基本控制方式：(1)、反馈控制方式；(2)、开环控制方式；(3)、复合控制方式。
3、基本要求的提法：可以归结为稳定性（长期稳定性）、准确性（精度）和快速性（相对稳定性）。
第二章要求:1、掌握运用拉氏变换解微分方程的方法；2、牢固掌握传递函数的概念、定义和性质；3、明确传递函数与微分方程之间的关系；4、能熟练地进行结构图等效变换；5、明确结构图与信号流图之间的关系；6、熟练运用梅逊公式求系统的传递函数；例1 某一个控制系统动态结构图如下，试分别求系统的传递函数:)()(,)()(1211s R s C s R s C ，)()(,)()(2122S R S C s R s C 。
串连补偿元件放大元件执行元件被控对象反馈补偿元件测量元件输出量主反馈局部反馈输入量－－43213211243211111)()(,1)()()(G G G G G G G s R s C G G G G s G s R s C --=-=例2 某一个控制系统动态结构图如下，试分别求系统的传递函数：)()(,)()(,)()(,)()(s N S E s R s E s N s C s R s C 。
例3：1()i t 2()i t 1()u t ()c t ()r t 1R 2R 1C 2C +_+_+_Ka11C s21C s 21R 1R()R s ()C s 1()U s 1()U s 1()U s 1()I s 1()I s 2()I s 2()I s 2()I s ()C s (b)(t)i R (t)u r(t)111=-⎰-=(t)]dt i (t)[i C 1(t)u 2111(t)i R c(t)(t)u 221=-⎰=(t)dt i C 1c(t)22(s)H(s)(s)G G 1(s)(s)G G R(s)C(s)2121+=(s)H(s)(s)G G 1(s)G -N(s)C(s)212+=将上图汇总得到：例4、一个控制系统动态结构图如下，试求系统的传递函数。
X r5214323211)()(W W W W W W W W W S X S X r c ++=例5 如图RLC 电路，试列写网络传递函数 U c (s)/U r (s).解: 零初始条件下取拉氏变换：(t))()()()(22t u t u dtt du RC dt t u d LC r c c c =++11)()()(2++==RCs LCs s U s U s G r c )()()()(2s U s U s RCsU s U LCs r c c c =++=∆k K K 1例6某一个控制系统的单位阶跃响应为：t te et C --+-=221)(，试求系统的传递函数、微分方程和脉冲响应。
解：传递函数： )1)(2(23)(+++=s s s s G ，微分方程：)(2)(3)(2)(3)(22t r dt t dr t c dt t dc dtt c d +=++ 脉冲响应：t te et c 24)(--+-=例7一个控制系统的单位脉冲响应为t te et C ---=24)(，试求系统的传递函数、微分方程、单位阶跃响应。
解：传递函数： )1)(2(23)(+++=s s s s G ，微分方程：)(2)(3)(2)(3)(22t r dt t dr t c dt t dc dtt c d +=++ 单位阶跃响应为：t te e t C --+-=221)(第三章 本章要求： 1、稳定性判断1）正确理解系统稳定性概念及稳定的充要条件。
闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均分布在平面的左半部。
2）熟练运用代数稳定判据判定系统稳定性，并进行分析计算。
2、稳态误差计算1）正确理解系统稳态误差的概念及终值定理应用的限制条件。
2）牢固掌握计算稳态误差的一般方法。
3）牢固掌握静态误差系数法及其应用的限制条件。
3、动态性能指标计算1）掌握一阶、二阶系统的数学模型和典型响应的特点。
2）牢固掌握一阶、二阶系统特征参数及欠阻尼系统动态性能计算。
3）掌握典型欠阻尼二阶系统特征参数、极点位置与动态性能的关系。
:., )/(40.5, ,1.n 解性能指标试求系统的动态信号时当输入信号为单位阶跃秒弧度其中二阶系统如图所示例==ωξ%3.16%100%100 )(91.0 t)(60.0 t 46.35.0141 )(05.16025.015.0212222p 46.31p 46.305.11r 22d 5.05.011=⨯=⨯========-=-=====----------πξξπσξωωβπξωππξωβπξξe earctgarctgn n n 秒秒弧度ο例 3 已知图中T m =，K =5，求系统单位阶跃响应指标。
解3：系统闭环传递函数为化为标准形式即有 2n =1/T m =5, n2=K /T m =25解得n =5,ζ=例4某控制系统动态结构图如下，要求系统阻尼比ξ=,确定K 值；并计算单位阶跃函数输入时闭环系统响应的σ%、t s （5%）。
)1(+s T s Km R (s )(-)C (s )Ks T s Ks G s G s m ++=+=Φ)1()(1)()(22222///)(nn nm m m s s T K T s s T K s ωζωω++=++=Φ%3.16%100%21=⨯=--ζπζσe 秒4.15.3==ns t ςω秒73.012=-==ςωπωπn dpt 秒486.0=-=dr t ωβπ0.02 )(14.245.05.45.4 t 0.05 )(57.145.05.35.3 t s s =∆=⨯===∆=⨯==秒秒nnξωξω.K ,1 %3.16 c(t) , 2p 之值及内反馈系数益试确定前置放大器的增秒峰值时间和调量有超具阶跃响应要求该系统的单位如图所示已知某控制系统方框图例τσ==p trad/s 3.63n21p t 0.5%3.16%10021/p p )1(:=-===⨯--=ωξωπξξξπσωξσ得又得由及参数计算出二阶系统和由已知解n e np t0.263 32. 1021012 222s 2R(s)C(s)(3) 10)101(2s 10KR(s)C(s), (2) ===+=++=+++=τωτξωωξωωτK K n ns n nK s 解得与标准形式比较并化成标准形式求闭环传递函数闭环传递函数：10)51(10)(2+++=Φs K s s ，由K n n 512,,,10+==ζωω 得K=；例5：设控制系统的开环传递函数系统为 )32(54)(22+++=s s s s s G ，试用劳斯判据判别系统的稳定性，并确定在复平面的右半平面上特征根的数目。
解：特征方程：0542234=++++s s s s劳斯表控制系统不稳定，右半平面有两个特征根。
例6：一个单位负反馈控制系统的开环传递函数为：G （S ）=)125.0)(11.0(++S S S K，要求系统闭环稳定。
试确定K 的范围(用劳斯判据)。
解：特征方程：0035025.023=+++K s s s劳斯表%5.9%100%21=⨯=--ζπζσe 秒4.25.3==ns t ςω系统稳定的K 值范围（0，14）例6：系统的特征方程：0617177234=++++s s s s 解：列出劳斯表：因为劳斯表中第一列元素无符号变化，说明该系统特征方程没有正实部根，所以：系统稳定。
第四章 根轨迹1、根轨迹方程),2,1,0(1)()()12(11*Λ ± ± = =-=--+==∏∏k e p s z s K k j ni im j j π,1||||11*=--∏∏==ni imj jps zs Kπ)12()()(11+=-∠--∠∑∑==k p s zs ni i mj j型 别 静态误差系数阶跃输入 )(1)(t R t r ⋅=斜坡输入Rt t r =)( 加速度输入2)(2Rt t r =ν p K v K a K )1(P ss K R e +=V ss K R e =a ss K R e =K0 0 )1(K R +∞∞ Ⅰ ∞ K 0 0 K R∞Ⅱ ∞ ∞ K 0 0 K RⅢ ∞∞∞2、根轨迹绘制的基本法则3、广义根轨迹（1）参数根轨迹 （2）零度根轨迹例1: 某单位反馈系统， （1）3条根轨迹的起点为;2,1,0321-=-==p p p(2) 实轴根轨迹 （0，-1）；（-2，-∞）（3）渐近线：3条。
渐近线的夹角：)2)(1()(*++=s s s Ks G 1321011-=--+-+=--=∑∑==)()(mn zp σm i in i ia π,3π,3πm n 1)π(2k a - =-+=ϕ渐近线与实轴的交点：（4）分离点：得： ， （5）与虚轴的交点系统的特征方程：实部方程:虚部方程：解得： (舍去) 临界稳定时的K =6例2已知负反馈系统闭环特征方程025.025.0)(23=+++=K s s s s D ，试绘制以K 为可变参数的根轨迹图； 由根轨迹图确定系统临界稳定时的K 值；解 特征方程025.025.0)(23=+++=K s s s s D 得根轨迹方程为1)5.0(25.02-=+s s K； （1）根轨迹的起点为∞-===终点为;5.0,0321p p p （无开环有限零点）；21111=++++d d d )(58.1,42.021舍去 -= -=d d 03*2=+-K ω023=+-ωω⎩⎨⎧==00*K ω⎩⎨⎧=±=62*K ω0230)23(0)()(1*23*23=++--→=+++=+=K j j K s s s s H s G j s ωωωω即（2） 根轨迹共有3支，连续且对称于实轴； （3） 根轨迹的渐近线有条3=-m n ，33.031;180,60)12(11-≈-=--=±=-+=∑∑==mn zp mn k n i mj ji a a σπϕοο；（4） 实轴上的根轨迹为]5.0,(]5.0,0[-∞⋃-；（5）分离点，其中分离角为2/π±，分离点满足下列方程∑==++=-ni id d p d 105.0211； 解方程得 17.061-≈-=d ； （7） 根轨迹与虚轴的交点：将ωj s =代入特征方程，可得实部方程为025.02=K ＋－ω；虚部方程为 025.03=+-ωω；1,5.02,1=±=∴K ω 由根轨迹图可得系统临界稳定时1=K ；由上述分析可得系统概略根轨迹如右图所示：例3已知负反馈系统闭环特征方程02410)(23=+++=K s s s s D , 试绘制以K 为可变参数的根轨迹图; 由根轨迹图确定系统临界稳定时的K 值.解 特征方程02410)(23=+++=K s s s s D得根轨迹方程为1)6)(4(-=++s s s K；（1）3条根轨迹的起点为;6,4,0321-=-==p p p(2) 渐近线：3条。