天津市武清区九年级(上)期中数学试卷
23. 某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为 40 元．经市场调研，当该纪念品每 件的销售价为 50 元时，每天可销售 200 件；当每件的销售价每增加 1 元，每天的 销售数量将减少 10 件． （1）当每件的销售价为 52 元时，该纪念品每天的销售数量为______件； （2）当每件的销售价 x 为多少时，销售该纪念品每天获得的利润 y 最大？并求出 最大利润．
A.
B.
C.
D.
7. 若关于 x 的一元二次方程（m-2）x2+3x+m2-3m+2=0 的常数项为 0，则 m 等于（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 1 或 2
8. 若 x2-4x+p=（x+q）2，那么 p、q 的值分别是（ ）
A. p=4，q=2
B. p=4，q=−2
C. p=−4，q=2
A. 55∘ B. 60∘ C. 65∘ D. 70∘
12. 已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个 结论，其中正确的结论有（ ） ①abc＜0；②b2-4ac＞0；③b-2a＞0；④（a+c）2＜b2．
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分） 13. 写出一个以-1 为一个根的一元二次方程______． 14. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，若方程
B. (10−2x)(6−2x)=32
C. (10−x)(6−x)=32
D. 10×6−4x2=32
10. 如果在二次函数的表达式 y=ax2+bx+c 中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数
的图象可能是（ ）
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A.
B.
C.
D.
11. 如图，BA=BC，∠ABC=70°，将△BDC 绕点 B 逆时针旋转 至△BEA 处，点 E，A 分别是点 D，C 旋转后的对应点，连接 DE，则∠BED 为（ ）
D. p=−4，q=−2
9. 如图，有一张矩形纸片，长 10cm，宽 6cm，在它的四角各剪
去一个同样的小正方形然，后折叠成一个无盖的长方体纸盒若．
纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 32cm2，求剪去的小正方形
的边长．设剪去的小正方形边长是 xcm，根据题意可列方程
为（ ）
A. 10×6−4×6x=32
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17. 如图，在边长为 a 的正方形 ABCD 中，把边 BC 绕点 B 逆时针旋转 60°，得到线段 BM，连接 AM 并延长交 CD 于 N，连接 MC，则△MNC 的面积为______．（用含 a 的式子表示）．
18. 已知实数 m，n 满足 m-n2=1，则代数式 2m2-2n2+4m-1 的最小值等于______． 三、计算题（本大题共 1 小题，共 8.0 分） 19. 用适当的方法解下列方程
24. 将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 α（0°＜α＜360°），得到矩形 AEFG．
（1）如图，当点 E 在 BD 上时．求证：FD=CD； （2）当 α 为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．
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25. 如图，已知抛物线 y=ax2+32x+4 的对称轴是直线 x=3，且与 x 轴相交于 A，B 两点 （B 点在 A 点右侧）与 y 轴交于 C 点． （1）求抛物线的解析式和 A、B 两点的坐标； （2）若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点（不与 B、C 重合），则是否存 在一点 P，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在， 试说明理由； （3）若 M 是抛物线上任意一点，过点 M 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 N，当 MN=3 时，求 M 点的坐标．
九年级（上）期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
四
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）
1. 将一元二次方程 5x2－1=4x 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是( )
A. 5，−1
B. 5，4
C. 5，−4
D. 5x2，−4x
2. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 下列关于抛物线 y=（x+2）2+6 的说法，正确的是（ ）
A. 抛物线开口向下
B. 抛物线的顶点坐标为(2,6)
C. 抛物线的对称轴是直线 x=6
D. 抛物线经过点(0,10)
4. 若 x=1 是方程 ax2+bx+c=0 的解，则下列各式一定成立的是（ ）
A. a+b+c=1
21. 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0． （1）当 b=a+2 时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 a，b 的值，并求此时方程 的根．
22. 在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（-2，0），点 B 在 y 轴的正半轴上，且 OB=2OA，将线 AB 绕着 A 点顺时针旋转 90°，点 B 落在点 C 处． （Ⅰ）在图中描出点 A，B，C，并写出点 B，点 C 的坐标； （Ⅱ）在 x 轴上有一点 D，使得△ACD 的面积为 3，求点 D 的坐标．
ax2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ______．
15. 点 A（a，3）与点 B（-4，b）关于原点对称，则 a+b=______． 16. 如图，已知桥拱形状为抛物线，其函数关系式为
y=-14x2，当水位线在 AB 位置时，水面的宽度为 12m，这时水面离桥拱顶部的距离是______．
①2（x-3）=3x（x-3） ②x2-2x-2=0
四、解答题（本大题共 6 小题，共 58.0 分） 20. 某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3
月份的生产成本是 361 万元． 假设该公司 2、3、4 月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测 4 月份该公司的生产成本．
B. a+b+c=0
C. a−b+c=0
D. a−b+c=1
5. 已知 x1、x2 是关于 x 的方程 x2-ax-2=0 的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A. x1≠x2
B. x1+x2>0
C. x1⋅x2>0
D. x1<0，x2<0
6. 将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转 90°后可以得到的图案是（ ）
2020-2021天津市武清区雍阳中学九年级数学上期中一模试卷(及答案)
A．﹣1或3B．﹣3或1C．3D．1
7．抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是( )
A．(3，4)B．(－3，4)C．(3，－4)D．(2，4)
8．如图，从一张腰长为 ，顶角为 的等腰三角形铁皮 中剪出一个最大的扇形 ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（ ）
∵x1是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，
∴ax12+2x1+c=0，即ax12+2x1=-c，
则M-N=（ax1+1）2-（2-ac）
=a2x12+2ax1+1-2+ac
=a（ax12+2x1）+ac-1
=-ac+ac-1
=-1，
∵-1＜0，
∴M-N＜0，
∴M＜N．
故选C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．
∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，
∴a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，
即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；
当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，
故选：D．
【点睛】
此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.
A．AB=CDB．AB=BCC．AC⊥BDD．AC=BD
天津市武清区2019届九年级上学期期中考试数学试题
九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题：
（1）B（2）D（3）C（4）B（5）B（6）B（7）A（8）C（9）D（10）B
（11）D (12)D
二、填空题：
（13）答案不唯一，如 ；（14）（ ， ）；（15） ；（16） ＜
（17） ；（18）4.
三、解答题：
（19）①解：原方程可化为 …………………………………………1分
∵ ， ，
∴△= ……………………………………………2分
∴ ………………3分
∴ ， ………………………………4分
②解：由原方程得
………………………………………1分
或 …………………………3分
， ……………………………4分
（此题中的两小题用其他方法解，答案正确亦给全分）
所以 的取值范围是： ，且 是整数……………………4分
（Ⅱ）设所获利润为 元，
则 ………………7分
………………8分
∴当 时， 取得最大值，最大值是
答：超市定价为每箱 元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是 元.
…………10分
(25)解：（Ⅰ）∵抛物线与 轴有两个交点，
∴ ＞ ……………………1分
A．1B．2C．3D．4
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．已知函数y=–（x–1）2图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a>2，则y1与y2的大小关系是y1__________y2（填“<”、“>”或“=”）
12．某工程生产一种产品，第一季度共生产了364个，其中1月份生产了100个，若2、3月份的平均月增长率为x，则可列方程为__________．
天津市部分区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
天津市部分区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<9．已知二次函数25y x x m =-+（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为()10，，则关于x 的一元二次方程250x x m -+=的两个实数根是（）A ．11x =，21x =-B ．11x =，24x =C ．11x =，20x =D ．11x =，25x =10．如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转，点B 的对应点为点E ，点A 的对应点为点D ，当点E 恰好落在AC 边上时，连接AD ，若30ACB ∠=︒，则DAC ∠的度数是（）A ．60︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒11．某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查反映：若每千克涨价1元，每天销售量减少20千克，设每千克涨价x （单位：元），且025x ≤≤，每天售出商品的利润为y （单位：元），则y 与x 的函数关系式是（）A ．50020y x =-B ．(50020)(10)y x x =-+C ．(50010)(10)y x x =+-D ．(50010)(10)y x x =-+12．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①0abc >；②20a b +=；③0a b c -+>；④m 为任意实数，则2a b am bm +≥+．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（1）旋转角的大小为（2）点P 的坐标是三、计算题19．解下列关于x 的方程．(1)2(21)90x --=；(2)25210x x +-=．四、作图题20．在平面直角坐标系中，ABC 各顶点的坐标分别为(2,4)A --，(0,4)B -，(1,1)C -．(1)请在图中画出ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的图形A B C ''' ；(2)写出A B C ''' 各顶点的坐标．五、计算题21．已知关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m +-++-=有两个不相等的实数根1x ，2x ．(1)求m 的取值范围；(2)若12125x x x x ++=，求m 的值．六、问答题22．已知抛物线()212y x m x m =+-+-的对称轴为直线1x =，请你解答下列问题：(1)求m 的值及顶点坐标；(2)求抛物线与x 轴的交点坐标，并画出函数图像；(3)当1x <时，y 随x 的增大而___________（填“增大”或“减小”）；(4)当0y <时，x 的取值范围是______________．七、解答题23．在ABC 中，120ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转，得EDC △，D ，E 分别是点B ，A 的对应点．记旋转角为α．（1）如图①，连接AD ，若6BC =，8AC =，30α=︒，求AD 的长；（2）如图②，连接BD ，若60α=︒，求证：BD AC ∥．24．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示），设矩形的一边AB 的长为x 米（要求AB ＜AD ），矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（2）要想使花圃的面积最大，AB 边的长应为多少米？最大面积为多少平方米?八、问答题25．已知抛物线25y ax bx =++（a b ，为常数，0a ≠）与x 轴交于点()50A -，，()10B -，，顶点为D ，且过点()4C m -，．(1)求抛物线解析式和点C D ，的坐标；(2)若点P 在直线BC 下方的抛物线上（与点B C ，不重合）运动时，且满足PBC 的面积最大时，求点P 坐标及PBC 面积的最大值．。
天津市武清区九年级(上)期中数学试卷
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.将一元二次方程5x2－1=4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是( )A. 5，−1B. 5，4C. 5，−4D. 5x2，−4x2.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（）A. 抛物线开口向下B. 抛物线的顶点坐标为(2,6)C. 抛物线的对称轴是直线x=6D. 抛物线经过点(0,10)4.若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则下列各式一定成立的是（）A. a+b+c=1B. a+b+c=0C. a−b+c=0D. a−b+c=15.已知x1、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根，下列结论一定正确的是（）A. x1≠x2B. x1+x2>0C. x1⋅x2>0D. x1<0，x2<06.将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（）A. B. C. D.7.若关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x+m2-3m+2=0的常数项为0，则m等于（）A. 0B. 1C. 2D. 1或28.若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）A. p=4，q=2B. p=4，q=−2C. p=−4，q=2D. p=−4，q=−29.如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A. 10×6−4×6x=32B. (10−2x)(6−2x)=32C. (10−x)(6−x)=32D. 10×6−4x2=3210.如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A. B.C. D.11.如图，BA=BC，∠ABC=70°，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，连接DE，则∠BED为（）A. 55∘B. 60∘C. 65∘D. 70∘12.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论，其中正确的结论有（）①abc＜0；②b2-4ac＞0；③b-2a＞0；④（a+c）2＜b2．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.写出一个以-1为一个根的一元二次方程______．14.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．15.点A（a，3）与点B（-4，b）关于原点对称，则a+b=______．16.如图，已知桥拱形状为抛物线，其函数关系式为y=-14x2，当水位线在AB位置时，水面的宽度为12m，这时水面离桥拱顶部的距离是______．17.如图，在边长为a的正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为______．（用含a的式子表示）．18.已知实数m，n满足m-n2=1，则代数式2m2-2n2+4m-1的最小值等于______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.用适当的方法解下列方程①2（x-3）=3x（x-3）②x2-2x-2=0四、解答题（本大题共6小题，共58.0分）20.某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．21.关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．22.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（-2，0），点B在y轴的正半轴上，且OB=2OA，将线AB绕着A点顺时针旋转90°，点B落在点C处．（Ⅰ）在图中描出点A，B，C，并写出点B，点C的坐标；（Ⅱ）在x轴上有一点D，使得△ACD的面积为3，求点D的坐标．23.某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为______件；（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．24.将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD=CD；（2）当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．25.如图，已知抛物线y=ax2+32x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程化为一般形式后，找出二次项系数与一次项系数即可．【解答】解：方程整理得：5x2-4x-1=0，则二次项系数和一次项系数分别为5，-4．故选：C．2.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.【答案】D【解析】解：∵y=（x+2）2+6=x2+4x+10，∴a=1，该抛物线的开口向上，故选项A错误，抛物线的顶点坐标是（-2，6），故选项B错误，抛物线的对称轴是直线x=-2，故选项C错误，当x=0时，y=10，故选项D正确，故选：D．根据抛物线的解析式可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4.【答案】B【解析】解：∵x=1是方程ax2+bx+c=0的解，∴将x=1代入方程得a+b+c=0，故选：B．本题根据一元二次方程的根的定义求解，把x=1代入方程ax2+bx+c=0得，a+b+c=0．本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．解该题的关键是要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0中几个特殊值的特殊形式：x=1时，a+b+c=0；x=-1时，a-b+c=0．5.【答案】A【解析】解：A∵△=（-a）2-4×1×（-2）=a2+8＞0，∴x1≠x2，结论A正确；B、∵x1、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根，∴x1+x2=a，∵a的值不确定，∴B结论不一定正确；C、∵x1、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根，∴x1•x2=-2，结论C错误；D、∵x1•x2=-2，∴x1、x2异号，结论D错误．故选：A．A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=-2，结论C错误；D、由x1•x2=-2，可得出x1、x2异号，结论D错误．综上即可得出结论．本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是B中图案，故选：B．根据旋转的意义，找出图中眼、尾巴等关键处按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案．本题考查的是图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度．7.【答案】B【解析】解：∵关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x+m2-3m+2=0的常数项为0，∴m2-3m+2=0，m-2≠0，解得：m=1．故选：B．直接利用一元二次方程的定义以及结合一元二次方程的解法计算得出答案．此题主要考查了一元二次方程的定义以及结合一元二次方程的解法，正确把握相关定义是解题关键．8.【答案】B【解析】解：∵x2-4x+p=（x+q）2=x2+2qx+q2∴2q=-4，p=q2，∴q=-2，p=4，故选：B．因为x2-4x+p=（x+q）2=x2+2qx+q2，所以根据等式的基本性质可知：2q=-4，p=q2，即可求解．本题主要考查了多项式相等的条件，即对应项系数相同，对条件的理解是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10-2x）cm，宽为（6-2x）cm，根据题意得：（10-2x）（6-2x）=32．故选：B．设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10-2x）cm，宽为（6-2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴-＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．由a＞0，b＜0，c＜0，推出-＞0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y 轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断．本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11.【答案】A【解析】解：∵△BDC绕点B逆时针旋转得到△BEA，∴BD=BE，∠EBD=∠ABC=70°，∴∠BED=∠BDE，∴∠BED=（180°-70°）=55°．故选：A．先根据旋转的性质得到BD=BE，∠EBD=∠ABC=70°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠BED的度数．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．12.【答案】C【解析】解：①∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，∴a＜0，-＜0，c＞0，∴b＜0，∴abc＞0，结论①错误；②∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，结论②正确；③∵-＞-1，a＜0，∴b＞2a，∴b-2a＞0，结论③正确；④∵当x=1时，y＜0；当x=-1时，y＞0，∴a+b+c＜0，a-b+c＞0，∴（a+b+c）（a-b+c）＜0，∴（a+c）2-b2＜0，即（a+c）2＜b2，结论④正确．故选：C．①由二次函数图象的开口方向、对称轴在y轴左侧以及与y轴交于正半轴，即可得出a＜0，-＜0，c＞0，进而可得出abc＞0，结论①错误；②由二次函数图象与x轴有两个交点，即可得出b2-4ac＞0，结论②正确；③由-＞-1，a ＜0，可得出b＞2a，即b-2a＞0，结论③正确；④由当x=1时y＜0和当x=-1时y＞0，可得出a+b+c＜0，a-b+c＞0，两式相乘后即可得出（a+c）2-b2＜0，即（a+c）2＜b2，结论④正确．综上即可得出结论．本题考查了二次函数图象与系数的关系，观察二次函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．13.【答案】x（x+1）=0【解析】解：形如（x+1）（ax+b）=0（a≠0）的一元二次方程都有一个根是-1，当a=1，b=0时，可以写出一个一元二次方程：x（x+1）=0．故答案可以是：x（x+1）=0．有一个根是-1的一元二次方程有无数个，只要含有因式x+1的一元二次方程都有一个根是-1．本题考查的是一元二次方程的根，有一个根是-1的一元二次方程有无数个，写出一个方程就行．14.【答案】k＜5【解析】解：由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，5），∴=5，即b2-4ac=-20a，∵ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，∴方程ax2+bx+c-k=0的判别式△＞0，即b2-4a（c-k）=b2-4ac+4ak=-20a+4ak=-4a （5-k）＞0∵抛物线开口向下∴a＜0∴5-k＞0∴k＜5．故答案为：k＜5．先移项，整理为一元二次方程，让根的判别式大于0求值即可．本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及数形结合法；二次函数中当b2-4ac＞0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点．15.【答案】1【解析】解：根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴a+（-4）=0，3+b=0，即：a=4且b=-3，∴a+b=1．根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则a+（-4）=0且3+b=0，从而得出a，b，推理得出结论．本题主要考查了平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，该题比较简单．16.【答案】9m【解析】解：根据题意，当x=6时，原式=-×62=-9，即水面离桥拱顶部的距离是9m，故答案为：9m．结合图形求出x=6或x=-6时，y的值即可得．本题主要考查二次函数的应用，结合图形弄清实际意义是解题的关键．17.【答案】3−14a2【解析】解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，则BG=GC，AB∥MG∥CD，∴AM=MN，∵MH⊥CD，∠D=90°，∴MH∥AD，∴NH=HD，由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，∴MC=BC=a，由题意得，∠MCD=30°，∴MH=MC=a，CH=a，∴DH=a-a，∴CN=CH-NH=a-（a-a）=（-1）a，∴△MNC的面积=××（-1）a=a2，故答案为a2．作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，根据旋转变换的性质得到△MBC是等边三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出MH、CH，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质、平行线的性质是解题的关键．18.【答案】5【解析】解：∵m-n2=1，∴n2=m-1，m≥1，∴2m2-2n2+4m-1=2m2-2m+2+4m-1=2（m+）2+∵（m+）2≥0，∴当m=1时，原式的最小值是5．故答案是：5．把m-n2=1变形为n2=m-1，代入所求式子，根据配方法进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意偶次方的非负性的应用．19.【答案】解：①2（x-3）-3x（x-3）=0，（x-3）（2-3x）=0，x-3=0或2-3x=0，所以x1=3，x2=23；②x2-2x=2，x2-2x+1=3，（x-1）2=3，x-1=±3，所以x1=1+3，x2=1-3．【解析】①先移项得到2（x-3）-3x（x-3）=0，然后利用因式分解法解方程；②利用配方法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解一元二次方程．20.【答案】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1-x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%．（2）361×（1-5%）=342.95（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1-下降率），即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．21.【答案】解：（1）a≠0，△=b2-4a=（a+2）2-4a=a2+4a+4-4a=a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2-4a=0，若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=-1．【解析】（1）计算判别式的值得到△=a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△=b2-4a=0，设b=2，a=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．22.【答案】解：（Ⅰ）如图点A，B，C即为所求，点B（0，4），点C的坐标（2，-2）；（Ⅱ）设D（m，0）．由题意；12•|m+2|•2=3，解得m=1或-5，∴D（1，0）或（-5，0）；【解析】（Ⅰ）在图中描出点A，B，C，写出点B，点C的坐标J即可；（Ⅱ）设D（m，0），构建方程即可解决问题；本题考查坐标与图形变化-旋转，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】180【解析】解：（1）由题意得：200-10×（52-50）=200-20=180（件），故答案为：180；（2）由题意得：y=（x-40）[200-10（x-50）]=-10x2+1100x-28000=-10（x-55）2+2250∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；（2）根据等量关系“利润=（售价-进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握．24.【答案】解：（1）由旋转可得，AE=AB，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EF=BC=AD，∴∠AEB=∠ABE，又∵∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF，∴∠EDA=∠DEF，又∵DE=ED，∴△AED≌△FDE（SAS），∴DF=AE，又∵AE=AB=CD，∴CD=DF；（2）如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，∵GC=GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM=BH=12AD=12AG，∴GM垂直平分AD，∴GD=GA=DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG=60°，∴旋转角α=60°；②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG=60°，∴旋转角α=360°-60°=300°．【解析】（1）先运用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF=AE，再根据AE=AB=CD，即可得出CD=DF；（2）当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．25.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+32x+4的对称轴是直线x=3，∴-322a=3，解得：a=-14，∴抛物线的解析式为y=-14x2+32x+4．当y=0时，-14x2+32x+4=0，解得：x1=-2，x2=8，∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0）．（2）当x=0时，y=-14x2+32x+4=4，∴点C的坐标为（0，4）．设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）．将B（8，0）、C（0，4）代入y=kx+b，8k+b=0b=4，解得：k=−12b=4，∴直线BC的解析式为y=-12x+4．假设存在，设点P的坐标为（x，-14x2+32x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，-12x+4），如图所示．∴PD=-14x2+32x+4-（-12x+4）=-14x2+2x，∴S△PBC=12PD•OB=12×8•（-14x2+2x）=-x2+8x=-（x-4）2+16．∵-1＜0，∴当x=4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．∵0＜x＜8，∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．（3）设点M的坐标为（m，-14m2+32m+4），则点N的坐标为（m，-12m+4），∴MN=|-14m2+32m+4-（-12m+4）|=|-14m2+2m|．又∵MN=3，∴|-14m2+2m|=3．当0＜m＜8时，有-14m2+2m-3=0，解得：m1=2，m2=6，∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；当m＜0或m＞8时，有-14m2+2m+3=0，解得：m3=4-27，m4=4+27，∴点M的坐标为（4-27，7-1）或（4+27，-7-1）．综上所述：M点的坐标为（4-27，7-1）、（2，6）、（6，4）或（4+27，-7-1）．【解析】（1）由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a值，进而可得出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A、B的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，假设存在，设点P的坐标为（x，-x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，-x+4），PD=-x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出S△PBC关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）设点M的坐标为（m，-m2+m+4），则点N的坐标为（m，-m+4），进而可得出MN=|-m2+2m|，结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论．本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出a的值；（2）根据三角形的面积公式找出S△PBC关于x的函数关系式；（3）根据MN的长度，找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程．。
2020-2021学年天津市武清区九年级上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年天津市武清区九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 下面四个图标中，中心对称图形个数是( )A. 0B. 1个C. 2个D. 3个 2. 下列方程是一元二次方程的是( )A. 2x −1=0B. y 2+x =5C. x =x 2D. 1x +x 2=2 3. 二次函数y =x 2+2x +2的图象的对称轴是( )A. x =−1B. x =−2C. x =1D. x =2 4. 下列方程中解为x =0的是( )A. x +1=−1B. 2x =3xC. 2x =2D. x+12+4=5x 5. 已知点A(1,0)、B(0,−1)、C(−1,2)、D(2,−1)、E(4、2)中有三个点在关于x 的二次函数y =a(x −1)2+k(a >0)的图象上，请结合你学过的抛物线的知识挑选你认为正确的三个点( )A. A 、C 、EB. B 、C 、DC. B 、C 、ED. A 、B 、D 6. 6、如图摆放的三个正方形，S 表示面积，谋求S =A. 10B. 50C. 300D. 30 7. 方程组{x −y =22x −y =1的解为( ) A. {x =−1y =−3B. {x =1y =−3C. {x =−1y =3D. {x =1y =3 8. 将抛物线y =x 2向右平移a 个单位，再向上平移b 个单位得到解析式y =x 2−4x +2，则a 、b 的值是( )A. −2，−2B. −2，2C. 2，−2D. 2，29.将▱ABCD绕O点旋转到▱A′B′C′D′的位置，错误的是()A. AB=A′B′B. AB一定平行于A′B′C. ∠B=∠B′D. △ABC≌△A′B′C′10.一元二次方程x2−3x−1=0的根的情况是()A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根11.某超市一月的营业额是72万元，三月份的营业额为96万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为()A. 72(1−x)2=96B. 72(1+x)2=96C. 96(1−x)2=72D. 96(1+x)2=7212.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c−m=0没有实数根，有下列结论：①b2−4ac>0，②abc<0，③2a+b<0，④m>2，其中，正确的是结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.关于x的一元二次方程经过配方后为(x−m)2=k，其中m=−3，k=5.那么这个一元二次方程的一般形式为______．14.若x1，x2是方程5x2−4x−1=0的两个根，且点A(x1,x2)在第二象限，点B(m,n)和点A关于原的值是______ ．点O对称，则√m2−n2m+n15.若x=√a，y=a−1，求出y与x的函数关系式______ ．16.等腰三角形三边长分别为a、b、3，且a、b是关于x的一元二次方程x2−10x+n+2=0的两根，则n的值为______．17.如果抛物线y=x2−6x+c−1的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于______ ．18.已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如下表：x…−1012…y…0343…该二次函数图象向左平移______个单位，图象经过原点．三、计算题（本大题共4小题，共38.0分）19. 利用公式法解方程：x2−x−3=0．20. (1)已知二次函数y=x2−mx+m的图象与x轴只有一个公共点，求m的值；(2)已知二次函数y=x2−2x−3a的图象与两坐标轴只有一个公共点，求a的取值范围．21. 用指定的方法解一元二次方程，否则不得分(1)(直接开平方法)(2)(配方法)(3)(公式法)(4)(因式分解法)22. 某农业生态园引进种植一种新品种水果，这种水果成本为10元/斤，现将这种水果投放超市进行销售．经过调查，得到如下数据：销售单价x(元/…10203040…斤)每天销售量y(…500400300200…斤)(1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直y角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；(2)当地物价部门规定，该水果销售单价最高不能超过40元/斤，那么销售单价定为多少元时，销售该水果每天获得的利润最大？最大利润是多少？(利润=销售总价−成本总价)(3)若要该水果每天获得的利润不低于6000元，求该水果销售单价的范围．四、解答题（本大题共3小题，共28.0分）23. 将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ,n]．(1)如图①，对△ABC作变换[60°,√3]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=______ ；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为______ 度；(2)如图②，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值．24. 如图，四边形ABCD中，AD//BC，AB=CD，BD平分∠ABC，BD⊥CD．(1)求出sin∠CBD的值；(2)若AD=3，把∠BOC绕点O顺时针旋转α(0°≤α≤60°)，交AB于点M，交BC于点N(如图)，试问：四边形OMBN的面积是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．25. 已知抛物线y=−√33x2+2√33x+√3与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC、BC，过点A作BC的平行线交抛物线于点D．(1)如图1，若点P为直线BC上方抛物线上任意一点，直线AD上有一动点E，当四边形BPCE面积最大时，求PE−12AE的最小值：(2)如图2，将△BOC绕点O顺时针旋转，点B，C的对应点分别为B′、C′，且C′恰好落在∠BCO的平分线上，再将旋转后的△B′OC′沿直线AC翻折得到△B″O′C″，点S是抛物线对称轴上的一个动点，则△BC″S能否为直角三角形？若能，请求出点S的坐标；若不能，请说明理由．参考答案及解析1.答案：C解析：解：根据中心对称图形的定义可知从左到右第1个图形和第三个图形是中心对称图形，第二和第四个图形不是中心对称图形．故选：C．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．此题主要考查了中心对称图形，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.答案：C解析：试题分析：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．A、是一元一次方程，故本选项错误；B、含有两个未知数，故本选项错误；C、符合一元二次方程的形式，故本选项正确；D、是分式方程，故本选项错误．故选C．3.答案：A解析：解：∵y=x2+2x+2中a=1，b=2，=−1．∴抛物线对称轴为直线x=−b2a故选：A．根据二次函数对称轴为直线x=−b求解．2a．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的对称轴为直线x=−b2a4.答案：B解析：此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，看看x=0能使ABCD四个选项中哪一个方程的左右两边相等，就是哪个答案；也可以分别解这四个选项中的方程．解：A.由x+1=−1得，x=−2；B.由2x=3x得，x=0；C.由2x=2得，x=1；+4=5x得，x=1．D.由x+12故选B．5.答案：D解析：解；∵二次函数y=a(x−1)2+k(a>0)，∴顶点坐标为(1,k)，对称轴x=1，根据抛物线的对称性，B(0,−1)、D(2,−1)正好关于直线x=1对称，∴有A(1,0)、B(0,−1)、D(2,−1)三点在关于x的二次函数y=a(x−1)2+k(a>0)的图象上；故选D．根据抛物线的解析式求得顶点坐标和对称轴，可以判定A在二次函数y=a(x−1)2+k(a>0)的图象上，根据二次函数的对称性结合对称轴可以判定B、D在二次函数y=a(x−1)2+k(a>0)的图象上．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6.答案：D解析：本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用．7.答案：A解析：解：{x −y =2 ①2x −y =1 ②， ②−①得：x =−1，把x =−1代入①得：y =−3，则方程组的解为{x =−1y =−3， 故选：A ．方程组利用加减消元法求出解即可．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 8.答案：C解析：首先根据二次函数图象的平移规律求出抛物线向右平移a 个单位，再向上平移b 个单位得到解析式，然后把配成顶点式，然后进行对照，即可得到答案．解：抛物线向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到，又，所以a=2，b=−2．故选C．9.答案：B解析：解：由旋转变换的定义和性质，可以判断：将▱ABCD绕O点旋转到▱A′B′C′D′的位置时，AB=A′B′，∠B=∠B′，△ABC≌△A′B′C′均成立，而AB不一定平行于A′B′，∴错误的是B．故选B．运用旋转变换的定义和性质，逐一判断、解析，即可解决问题．该题主要考查了旋转变换的定义及其性质的应用问题；牢固掌握旋转变换的定义及其性质是解题的关键．10.答案：B解析：解：∵x2−3x−1=0，∴△=(−3)2−4×1×(−1)=9+4=13>0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：B．计算方程根的判别式进行判断即可．本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．11.答案：B解析：解：依题意，得72(1+x)2=96，故选：B．根据该超市一月份及三月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12.答案：C解析：解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ=b2−4ac>0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a<0，=1，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a∴b=−2a>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，所以②正确；∵b=−2a，∴2a+b=0，所以③错误；∵方程ax2+bx+c−m=0没有实数根，即ax2+bx+c=m没有实数根，而二次函数y=ax2+bx+c的最大值为2，∴m>2，所以④正确．故选：C．根据判别式的意义可对①进行判断；由抛物线开口方向得到a<0，由抛物线的对称轴方程得到b=−2a>0，由抛物线与y轴的交点位置得到c>0，则可对②进行判断；利用抛物线的对称轴方程可对③进行判断；利用二次函数的最大值为2可对④进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．13.答案：x2+6x+4=0解析：解：把m=−3，k=5代入方程(x−m)2=k得：(x+3)2=5，整理得：x2+6x+4=0，故答案为：x2+6x+4=0．先把m=−3，k=5代入方程，再整理即可．本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的特点是解此题的关键．14.答案：解析：解：方程化为：(5x+1)(x−1)=0，5x+1=0或x−1=0，∴x1=−15，x2=1．因为点A(x1,x2)在第二象限，所以x1<0，x2>0．方程5x2−4x−1=0的两个根是x1=−15，x2=1．又因为点B和点A关于原点对称，所以m=15，n=−1．所以√m2−n2m+n =√m−n=√15+1=√305，故答案为√305．用十字相乘法因式分解求出方程的两个根，确定点A的坐标，根据关于原点对称的点的坐标，得到点B坐标，求出m，n的值，代入代数式求出代数式的值．本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，先求出方程的根，再根据各象限的特点和关于原点对称的点的特征，确定m，n的值代入代数式求出代数式的值．15.答案：y=x2−1解析：解：∵x=√a，∴a=x2，∵y=a−1，∴y=x2−1，故答案为：y=x2−1．由x和a的关系可得，a=x2，代入已知条件y=a−1，进而可求出y与x的函数关系式．本题考查了根据实际问题确定二次函数关系式，得到a和x的关系式是解题的关键．16.答案：23解析：解：当a、b为三角形的腰时，Δ=102−4(n+2)=0，解得n=23，此时方程为x2−10x+25=0，解得a=b=5，符合三角形三边的关系；当a=3或b=3时，把x=3代入方程x2−10x+n+2=0得9−30+n+2=0，解得n=19，此时方程为x2−10x+21=0，解得x1=3，x2=7，因为3+3=6<7，不符合三角形三边的关系，舍去，所以n的值为23．故答案为23．讨论：当a、b为三角形的腰时，利用判别式的意义得到Δ=102−4(n+2)=0，解得n=23，解得a=b=5；当a=3或b=3时，把x=3代入方程得n=19，由于此时方程的解为x1=3，x2=7，利用3+3=6<7，不符合三角形三边的关系，所以舍去．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，x1+x2=−b，ax1x2=c.也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．a17.答案：6或14解析：解：∵抛物线y=x2−6x+c−1的顶点到x轴的距离是4，|=4，∴|4×1×(c−1)−(−6)24×1解得c1=6，c2=14，故答案为：6或14．根据抛物线y=x2−6x+c−1的顶点到x轴的距离是4，可知顶点的纵坐标的绝对值是4，然后计算即可．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18.答案：3=1．解析：解：由表格得：二次函数的对称轴是直线x=0+22∵抛物线与x轴另一个交点为(−1,0)，∴抛物线与x轴另一个交点为(3,0)，∴该二次函数图象向左平移3个单位，图象经过原点；或该二次函数图象向右平移1个单位，图象经过原点．故答案为3．利用表格中的对称性得：抛物线与x轴另一个交点为(3,0)，可得结论．本题考查了二次函数图象与几何变换−平移，根据平移的原则：左加右减进行平移；也可以利用数形结合的思想画图解决．19.答案：解：x 2−x −3=0，∵a =1，b =−1，c =−3，∴△=(−1)2−4×1×(−3)=13>0，(2分) ∴x =−b±√△2a =1±√132， ∴x 1=1+√132，x 2=1−√132.(4分)解析：观察方程为一般形式，找出此时二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，发现其结果大于0，故利用求根公式可得出方程的两个解．此题考查了利用公式法来求一元二次方程的解，利用此方法解方程时，首先将方程化为一般形式，找出相应的a ，b 及c 的值，代入b 2−4ac 中求值，当b 2−4ac ≥0时，可代入求根公式来求解．20.答案：解：(1)根据题意得△=(−m)2−4m =0，解得m =0或m =4；(2)因为二次函数y =x 2−2x −3a 的图象与两坐标轴只有一个公共点， 所以抛物线与x 轴没有公共点， 所以△=(−2)2−4⋅(−3a)<0， 解得a <−13．解析：(1)利用△=b 2−4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点得到△=(−m)2−4m =0，然后解关于m 的一元二次方程即可；(2)由于二次函数y =x 2−2x −3a 的图象的顶点不是原点，则可判断抛物线与x 轴没有公共点，利用△=b 2−4ac <0时，抛物线与x 轴没有交点得到△=(−2)2−4⋅(−3a)<0，然后解关于a 的不等式即可．本题考查了抛物线与x 轴的交点：对于二次函数y =ax 2+bx +c(a,b,c 是常数，a ≠0)，△=b 2−4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数：△=b 2−4ac >0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2−4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2−4ac <0时，抛物线与x 轴没有交点．21.答案：解：(1)x 2=9x=±3，则x 1=3，x 2=−3；(2)x 2−4x+3=0，x 2−4x+4=−3+4(x−2) 2=1x−2=±1，则x 1=3，x 2=1；(3)2x 2+3x+1=0这里a=2，b=3，c=1∵△=b 2−4ac=9−8=1∴则x 1=−1，x 2=；(4)4x(2x−1)=3(2x−1)4x(2x−1)−3(2x−1)=0(2x−1)(4x−3)=0∴2x−1=0或4x−3=0则。
初中数学天津市武清区九年级上期中数学考试卷含答案解析.docx
xx学校xx学年xx 学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:一元二次方程3x2﹣4=﹣2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3，﹣4，﹣2 B．3，﹣2，﹣4 C．3，2，﹣4 D．3，﹣4，0试题2:下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．试题3:抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）试题4:下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+=3 B．x2+x=y C．（x﹣4）（x+2）=3 D．3x﹣2y=0试题5:若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7试题6:如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D 处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2 C．3 D．2试题7:用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（）A．（x+）2= B．（x+）2=C．（x﹣）2= D．（x﹣）2=试题8:已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大试题9:如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3试题10:已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y=﹣2x2﹣8x+m上的点，则（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1试题11:．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则下面所列方程中正确的是（）A．x（x+1）=81 B．1+x+x2=81 C．（1+x）2=81 D．1+（1+x）2=81试题12:如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤试题13:已知x=1是方程x2+mx+3=0的一个实数根，则m的值是．试题14:如图所示的花朵图案，至少要旋转度后，才能与原来的图形重合．试题15:如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为．试题16:方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为﹣3和1，那么抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线．试题17:一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为米．试题18:如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD 边长为，则AK= ．试题19:x2﹣2x=4试题20:x（x﹣3）=x﹣3．试题21:如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，2）、B（0，4）、C（0，2），（1）画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为．试题22:）已知二次函数y=﹣x2+2x+3．（1）求函数图象的顶点坐标和图象与x轴交点坐标；（2）当x取何值时，函数值最大？（3）当y＞0时，请你写出x的取值范围．果农李明种植的草莓计划以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．（1）求李明平均每次下调的百分率；（2）小刘准备到李明处购买3吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由．试题24:如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．试题25:如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为x米，则a= （用含x的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存，请说明理由．试题1答案:C【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．【解答】解：方程整理得：3x2+2x﹣4=0，则二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为﹣4，故选C【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．试题2答案:A【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．试题3答案:A【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），直接根据抛物线y=（x+2）2+3写出顶点坐标则可．【解答】解：由于y=（x+2）2+3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）．故选：A．【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．试题4答案:C【考点】一元二次方程的定义．【分析】依据分式方程、二元二次方程、一元二次方程的定义求解即可．【解答】解：A、分母中含有位置数，是分式方程，故A错误；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故B错误；C、整理后可变形为x2﹣2x﹣11=0，是一元二次方程，故C正确；D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．试题5答案:D【考点】二次函数的性质；解一元二次方程-因式分解法．【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=7，求出x的值即可．【解答】解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，∴﹣=3，解得m=﹣6，∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2﹣6x﹣7=0，即（x+1）（x﹣7）=0，解得x1=﹣1，x2=7．故选D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．试题6答案:A【考点】旋转的性质．【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故选：A．【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．试题7答案:A【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可．【解答】解：ax2+bx+c=0，ax2+bx=﹣c，x2+x=﹣，x2+x+（）2=﹣+（）2，（x+）2=，故选：A．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．试题8答案:D【考点】二次函数的性质．【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x 轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=1判断二次函数的增减性．【解答】解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．试题9答案:D【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；菱形的判定．【分析】根据旋转和等边三角形的性质得出∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE，求出△ACD是等边三角形，求出AD=AC，根据菱形的判定得出四边形ABCD和ACED都是菱形，根据菱形的判定推出AC⊥BD．【解答】解：∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，∴∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE，∴∠ACD=120°﹣60°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=AD，AC=AD=DE=CE，∴四边形ACED是菱形，∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，AC=AD，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴①②③都正确，故选D．【点评】本题考查了旋转的性质，菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．试题10答案:C【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】求出抛物线的对称轴，结合开口方向画出草图，根据对称性解答问题．【解答】解：抛物线y=﹣2x2﹣8x+m的对称轴为x=﹣2，且开口向下，x=﹣2时取得最大值．∵﹣4＜﹣1，且﹣4到﹣2的距离大于﹣1到﹣2的距离，根据二次函数的对称性，y3＜y1．∴y3＜y1＜y2．【点评】此题考查了二次函数的性质，通常根据开口方向、对称轴，结合草图即可判断函数值的大小．试题11答案:C【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这（x+1）台电脑又感染给了x（1+x）台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．【解答】解：每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，列方程得：1+x+x（1+x）=81，即（1+x）2=81故选：C．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解决此题的关键．试题12答案:D【考点】二次函数的性质．【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．试题13答案:﹣4 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=1代入方程x2+mx+3=0得出1+m+3=0，求出方程的解即可．【解答】解：把x=1代入方程x2+mx+3=0得：1+m+3=0，解得：m=﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了解一元一次方程和一元二次方程的解的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，解此题的关键是得出关于m的方程．试题14答案:45【考点】旋转对称图形．【分析】该图形被平分成8部分，因而每部分被分成的圆心角是45°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转45度的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：花朵图案，至少要旋转=45度后，才能与原来的图形重合．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．试题15答案:﹣1或2 ．【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个相等的实数根列出关于a的方程，求出a的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，∴△=0，即4a2﹣4（a+2）=0，解得a=﹣1或2．故答案为：﹣1或2．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的解与判别式之间的关系是解答此题的关键．试题16答案:x=﹣1 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根及两根之和公式来解决此题．【解答】解：∵函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，∵x1+x2=﹣3+1=﹣=﹣2．则对称轴x=﹣=×（﹣）=×（﹣2）=﹣1．【点评】要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．（利用二次函数的对称性解答更直接）试题17答案:3 米．【考点】二次函数的应用．【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可．【解答】解：由题意可得：y=﹣=﹣（x2﹣8x）+=﹣（x﹣4）2+3，故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出最值是解题关键．试题18答案:2﹣3 ．【考点】旋转的性质．【分析】连接BH，由正方形的性质得出∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，得出∠ABE=60°，由HL证明Rt△ABH≌Rt△EBH，得出∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，由三角函数求出AH，得出EH、FH，再求出KH=2FH，即可求出AK．【解答】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，∴AH=AB•tan∠ABH=×=1，∴EH=1，∴FH=﹣1，在Rt△FKH中，∠FKH=30°，∴KH=2FH=2（﹣1），∴AK=KH﹣AH=2（﹣1）﹣1=2﹣3；故答案为：2﹣3．【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．试题19答案:原方程可化为x2﹣2x﹣4=0，∵a=1，b=﹣2，c=﹣4，∴△=b2﹣4ac=20＞0，∴x===1±，∴x1=1﹣，x2=1+；试题20答案:由原方程得x（x﹣3）﹣（x﹣3）=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，∴x﹣3=0或x﹣1=0，解得：x=3或 x=1．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同方程的特点选择合适的方法求解是解题的关键．试题21答案:【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B关于点C成中心对称的点A1、B1的位置，再与点A顺次连接即可；根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；（2）根据中心对称的性质，连接两组对应点的交点即为对称中心．【解答】解：（1）△A1B1C如图所示，△A2B2C2如图所示；（2）如图，对称中心为（2，﹣1）．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．试题22答案:【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的最值．【分析】（1）把二次函数化为顶点式，则可得出二次函数的对称轴和顶点坐标；（2）、（3）利用二次函数图象性质作答．【解答】解：（1）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴图象顶点坐标为（1，4），当y=0时，有﹣x2+2x+3=0解得：x1=﹣1，x2=3，∴图象与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；（2）由（1）知，抛物线顶点坐标为（1，4），且抛物线开口方向向下，当x=1时，函数值最大；（3）因为图象与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），且抛物线开口方向向下，所以当y＞0时，﹣1＜x＜3．【点评】本题主要考查二次函数的对称轴和顶点坐标，掌握二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k是解题的关键．试题23答案:【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）设出平均每次下调的百分率，根据从15元下调到9.6列出一元二次方程求解即可；（2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．【解答】解（1）设平均每次下调的百分率为x．由题意，得15（1﹣x）2=9.6．解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8．因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20%．答：平均每次下调的百分率是20%．（2）小刘选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：9.6×0.9×3000=25920（元），方案二所需费用为：9.6×3000﹣400×3=27600（元）．∵25920＜27600，∴小刘选择方案一购买更优惠．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，在解决有关增长率的问题时，注意其固定的等量关系．试题24答案:【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案；（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．【解答】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确得出△AQE≌△AFE（SAS）是解题关键．试题25答案:【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）根据通道宽度为x米，表示出a即可；（2）根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则a=；故答案为：（2）根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x•=2430，解得x1=2，x2=38（不合题意，舍去）．答：中间通道的宽度为2米．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．试题26答案:【考点】二次函数综合题．【分析】（1）直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；（2）首先求出直线BC的解析式，再利用轴对称求最短路线的方法得出答案；（3）根据S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣16，得出函数最值，进而求出P点坐标即可．【解答】解：（1）将A（2，0），B（﹣4，0）代入得：，解得：，则该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+8；（2）如图1，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，设直线BC的解析式为：y=kx+d，将点B（﹣4，0）、C（0，8）代入得：，解得：，故直线BC解析式为：y=2x+8，直线BC与抛物线对称轴 x=﹣1的交点为Q，此时△QAC的周长最小．解方程组得，则点Q（﹣1，6）即为所求；（3）如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，P点（x，﹣x2﹣2x+8）（﹣4＜x＜0）∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣16若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC=BE•PE+OE（PE+OC）=（x+4）（﹣x2﹣2x+8）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+8+8）=﹣2（x+2）2+24，当x=﹣2时，S四边形BPCO最大值=24，∴S△BPC最大=24﹣16=8，当x=﹣2时，﹣x2﹣2x+8=8，∴点P的坐标为（﹣2，8）．【点评】此题主要考查了二次函数综合应用以及待定系数法求一次函数、二次函数解析式和图形面积求法、二次函数最值求法等知识，根据题意正确表示出四边形BPCO的面积是解题关键．。
天津市武清区届九级上期中数学试卷含答案解析
2015-2016学年天津市武清区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．方程x2﹣2=0的解为( )A．2 B．C．2与﹣2 D．与﹣2．下列图形中，是中心对称图形的是( )A．B．C．D．3．在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是( )A．y=（x+2）2B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）24．方程（m+2）x|m|+mx﹣8=0是关于x的一元二次方程，则( )A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±25．将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为( ) A．y=（x+2）2+3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x+2）2﹣3 D．y=（x﹣2）2﹣36．将下列图形绕其对角线的交点顺时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是( ) A．平行四边形B．矩形 C．正方形D．菱形7．用公式法解方程6x﹣8=5x2时，a、b、c的值分别是( )A．5、6、﹣8 B．5、﹣6、﹣8 C．5、﹣6、8 D．6、5、﹣88．二次函数y=﹣3（x﹣4）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是( )A．向下、直线x=4、（4，5）B．向下、直线x=﹣4、（﹣4，5）C．向上、直线x=4、（4，5）D．向上、直线x=﹣4、（﹣4，﹣5）9．点P（5，﹣3）关于原点的对称点是( )A．（5，3）B．（﹣3，5）C．（﹣5，3）D．（3，﹣5）10．根据下面表格中的对应值：x 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c ﹣0.02 0.01 0.03判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是( )A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.2611．两年前生产某药品的成本是5000元，现在生产这种药品的成本是3000元，设该药品成本的年平均下降率为x，则下面所列方程中正确的是( )A．5000（1﹣2x）=3000 B．3000（1+2x）=5000C．3000（1+x）2=5000 D．5000（1﹣x）2=300012．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2，0），有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是( )A．①②④ B．③④C．①③④ D．①②二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．把一元二次方程3x2+1=7x化为一般形式是__________．14．请给出一元二次方程x2﹣4x+__________=0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根（填在横线上，填一个答案即可）．15．△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得△AB′C′，则△ABB′是__________ 三角形．16．将二次函数y=x2﹣4x+5化为y=（x﹣h）2+k的形式，那么h+k=__________．17．某班有一人患了流感，经过两轮传染后，班上有49人被传染患上了流感，按这样的传染速度，若4人患了流感，则第一轮传染后患上流感的人数是__________．18．如图所示，抛物线y=ax2+bx（a＜0）的图象与x轴交于A、O两点，顶点为B，将该抛物线的图象绕原点O旋转180°后，与x轴交于点C，顶点为D，若此时四边形ABCD恰好为矩形，则b的值为__________．三、解答题（共7小题，满分66分）19．解下列方程：①x2﹣4x﹣6=0；②3x（x+2）=5（x+2）．20．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（4，2）和（3，0），将△OAB 绕原点O按逆时针方向旋转90°得到△OA′B′．①画出△OA′C；②点A′的坐标为__________；③求BB′的长．21．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．22．已知某函数图象如图所示，请回答下列问题：（1）自变量x的取值范围是__________；（2）函数y的取值范围是__________；（3）当x=0时，y的对应值是__________；（4）当x为__________时，函数值最大；（5）当y随x的增大而增大时，x的取值范围是__________．23．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．24．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．25．如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．2015-2016学年天津市武清区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．方程x2﹣2=0的解为( )A．2 B．C．2与﹣2 D．与﹣【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】这个式子先移项，变成x2=2，从而把问题转化为求2的平方根．【解答】解：移项得x2=2，解得x=±．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．2．下列图形中，是中心对称图形的是( )A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．【解答】解：根据中心对称图形的概念可知A、B、C不是中心对称图形；D是中心对称图形．故选D．【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．3．在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是( )A．y=（x+2）2B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）2【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．【解答】解：y=（x+2）2的对称轴为x=﹣2，A正确；y=2x2﹣2的对称轴为x=0，B错误；y=﹣2x2﹣2的对称轴为x=0，C错误；y=2（x﹣2）2的对称轴为x=2，D错误．故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的性质，正确求出二次函数图象的对称轴是解题的关键．4．方程（m+2）x|m|+mx﹣8=0是关于x的一元二次方程，则( )A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±2【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义求解，可得答案．【解答】解：由（m+2）x|m|+mx﹣8=0是关于x的一元二次方程，得．解得m=2，故选：B．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．5．将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为( ) A．y=（x+2）2+3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x+2）2﹣3 D．y=（x﹣2）2﹣3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出解析式．【解答】解：∵将抛物线y=x2向上平移3个单位再向右平移2个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2+3．故选B【点评】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．6．将下列图形绕其对角线的交点顺时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是( ) A．平行四边形B．矩形 C．正方形D．菱形【考点】旋转对称图形．【分析】根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件，结合选项即可得出答案．【解答】解：由题意可得，此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形．故选：C．【点评】本题主要考查了旋转对称图形旋转的最小的度数的计算方法，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．7．用公式法解方程6x﹣8=5x2时，a、b、c的值分别是( )A．5、6、﹣8 B．5、﹣6、﹣8 C．5、﹣6、8 D．6、5、﹣8【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】将原方程化为一般式，然后再判断a、b、c的值．【解答】解：原方程可化为：5x2﹣6x+8=0；∴a=5，b=﹣6，c=8；故选C．【点评】此题主要考查确定一元二次方程三个系数的方法．首先要把方程转化为一般形式．8．二次函数y=﹣3（x﹣4）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是( )A．向下、直线x=4、（4，5）B．向下、直线x=﹣4、（﹣4，5）C．向上、直线x=4、（4，5）D．向上、直线x=﹣4、（﹣4，﹣5）【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数顶点式解析式分别解答即可．【解答】解：二次函数y=﹣3（x﹣4）2+5的开口方向向下；对称轴是直线x=4；顶点坐标是（4，5）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式形式求解对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．9．点P（5，﹣3）关于原点的对称点是( )A．（5，3）B．（﹣3，5）C．（﹣5，3）D．（3，﹣5）【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】利用两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数求出即可．【解答】解：∵5的相反数是﹣5，﹣3的相反数是3，∴点P（5，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（﹣5，3），故选：C．【点评】此题主要考查了两点关于原点对称的坐标的特点：两点关于原点对称，两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，用到的知识点为：a的相反数为﹣a．10．根据下面表格中的对应值：x 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c ﹣0.02 0.01 0.03判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是( )A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.26【考点】估算一元二次方程的近似解．【分析】根据表中数据得到x=3.24时，ax2+bx+c=﹣0.02；x=3.25时，ax2+bx+c=0.01，则x 取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c=0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．【解答】解：∵x=3.24时，ax2+bx+c=﹣0.02；x=3.25时，ax2+bx+c=0.01，∴关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．故选B．【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．11．两年前生产某药品的成本是5000元，现在生产这种药品的成本是3000元，设该药品成本的年平均下降率为x，则下面所列方程中正确的是( )A．5000（1﹣2x）=3000 B．3000（1+2x）=5000C．3000（1+x）2=5000 D．5000（1﹣x）2=3000【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】等量关系为：2年前的生产成本×（1﹣下降率）2=现在的生产成本，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设这种药品成本的年平均下降率是x，根据题意得：5000（1﹣x）2=3000，故选D．【点评】本题考查一元二次方程的应用；得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．12．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2，0），有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是( )A．①②④ B．③④C．①③④ D．①②【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；②根据对称轴求出b=﹣a；③把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；④求出点（0，y1）关于直线x=的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．【解答】解：①∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，∴c＞0，∵对称轴是直线x=，∴﹣，∴b=﹣a＞0，∴abc＜0．故①正确；②∵由①中知b=﹣a，∴a+b=0，故②正确；③把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，∵抛物线经过点（2，0），∴当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0．故③错误；④∵（0，y1）关于直线x=的对称点的坐标是（1，y1），∴y1=y2．故④正确；综上所述，正确的结论是①②④．故选：A【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．把一元二次方程3x2+1=7x化为一般形式是3x2﹣7x+1=0．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．【解答】解：由3x2+1=7x，得3x2﹣7x+1=0，即方程3x2+1=7x化为一元二次方程的一般形式为3x2﹣7x+1=0．故答案是：3x2﹣7x+1=0．【点评】考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．14．请给出一元二次方程x2﹣4x+3=0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根（填在横线上，填一个答案即可）．【考点】根的判别式．【专题】开放型．【分析】设这个常数项为a，则这个一元二次方程为程x2﹣4x+a=0，根据方程有两个不相等的根，求出a的取值范围即可．【解答】解：设这个常数项为a，则这个一元二次方程为程x2﹣4x+a=0，∵此方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴42﹣4a＞0，即a＜4，所以这个常数项为小于4的任意一个数即可，可为3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等根，则△＞0，此题难度不大．15．△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得△AB′C′，则△ABB′是等边三角形．【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】先根据旋转的性质得∠BAB′=60°，AB=AB′，然后根据等边三角形的判定方法进行判断．【解答】解：∵△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得△AB′C′，∴∠BAB′=60°，AB=AB′，∴△ABB′是等边三角形．故答案为等边．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定．16．将二次函数y=x2﹣4x+5化为y=（x﹣h）2+k的形式，那么h+k=3．【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．【解答】解：y=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1，则h=2，k=1，所以h+k=2+1=3．故答案是：3．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．17．某班有一人患了流感，经过两轮传染后，班上有49人被传染患上了流感，按这样的传染速度，若4人患了流感，则第一轮传染后患上流感的人数是28．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设这种流感的传播速度是一人可才传播给x人，则一轮传染以后有（x+1）人患病，第二轮传染的过程中，作为传染源的有（x+1）人，一个人传染x个人，则第二轮又有x（x+1）人患病，则两轮后有1+x+x（x+1）人患病，据此即可列方程求解．可通过列方程求出流感的传播速度，然后计算4人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有的人数就可以了．【解答】解：设这种流感的传播速度是一人可才传播给x人根据题意有1+x+（x+1）x=49解得x1=6，x2=﹣8（负值舍去）故4人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有4+4×6=28人，故答案为：28．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，注意的是题目中的“共有”二字，否则一定得出错误的结果．18．如图所示，抛物线y=ax2+bx（a＜0）的图象与x轴交于A、O两点，顶点为B，将该抛物线的图象绕原点O旋转180°后，与x轴交于点C，顶点为D，若此时四边形ABCD恰好为矩形，则b的值为﹣2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】利用矩形性质得出要使平行四边形ABCD是矩形，必须满足AC=BD，即可求出．【解答】解：如图，连接AB、OB．过点B作BE⊥x轴于点E．要使平行四边形ABCD是矩形，必须满足AC=BD，∴OA=OB．∵点B是抛物线的顶点，∴AB=OB，∴△ABO是等边三角形，∠BAE=60°，AE=OA．∵y=ax2+bx=ax（x+）=0，y=ax2+bx=a（x+）2﹣∴A（﹣，0），B（﹣，﹣），∴tan60°===．解得b=﹣2．故答案是：﹣2．【点评】此题主要考查了二次函数图象的几何变换，根据矩形的性质和等边三角形的判定与性质得到△ABO是等边三角形是解题的难点．三、解答题（共7小题，满分66分）19．解下列方程：①x2﹣4x﹣6=0；②3x（x+2）=5（x+2）．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【分析】①先把方程的左边化为完全平方的形式，再利用直接开方法求出x的值即可；②把方程化为两个因式积的形式，进而可得出结论．【解答】解：①原方程可化为x2﹣4x+4﹣4﹣6=0，即（x﹣2）2=10，两边开方得，x﹣2=±，故x1=2+，x2=2﹣；②∵原方程可化为（x+2）（3x﹣5）=0，∴x+2=0或3x﹣5=0，∴x1=﹣2，x2=．【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知因式分解法和配方法解一元二次方程是解答此题的关键．20．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（4，2）和（3，0），将△OAB 绕原点O按逆时针方向旋转90°得到△OA′B′．①画出△OA′C；②点A′的坐标为（﹣2，4）；③求BB′的长．【考点】作图-旋转变换．【专题】计算题；作图题．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A′、B′即可得到△OA′B′；（2）利用（1）中所画图形可写出A′点的坐标；（3）利用勾股定理计算．【解答】解：（1）如图，△OA′B′为所作；（2）点A′的坐标为（﹣2，4）；故答案为（﹣2，4）；（3）BB′==3．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．21．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．【解答】解：（1）∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．22．已知某函数图象如图所示，请回答下列问题：（1）自变量x的取值范围是﹣4≤x≤3；（2）函数y的取值范围是﹣2≤y≤4；（3）当x=0时，y的对应值是3；（4）当x为1时，函数值最大；（5）当y随x的增大而增大时，x的取值范围是﹣2≤x≤1．【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．【分析】根据自变量的定义，函数值的定义以及二次函数的最值和增减性，观察函数图象分别写出即可．【解答】解：（1）自变量x的取值范围是﹣4≤x≤3；（2）函数y的取值范围是﹣2≤y≤4；（3）当x=0时，y的对应值是3；（4）当x为1时，函数值最大；（5）当y随x的增大而增大时，x的取值范围是﹣2≤x≤1．故答案为：（1）﹣4≤x≤3；（2）﹣2≤y≤4；（3）3；（4）1；（5）﹣2≤x≤1．【点评】本题考查了二次函数的性质，函数图象，熟练掌握函数自变量的定义，函数值的定义以及函数的增减性并准确识图是解题的关键．23．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【分析】（1）由旋转的性质可知CO=CD，∠OCD=60°，可判断：△COD是等边三角形；（2）由（1）可知∠COD=60°，当α=150°时，∠ADO=∠ADC﹣∠CDO，可判断△AOD为直角三角形．【解答】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠OCD=60°，CO=CD，∴△OCD是等边三角形；（2）解：△AOD为直角三角形．理由：∵△COD是等边三角形．∴∠ODC=60°，∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠ADC=∠BOC=α，∴∠ADC=∠BOC=150°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠CDO=150°﹣60°=90°，于是△AOD是直角三角形．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是利用旋转前后，对应边相等，对应角相等解题．24．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据AB为xm，BC就为（24﹣3x）m，利用长方形的面积公式，可求出关系式．（2）由（1）可知y和x为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长；（3）根据BC的长度大于0且小于等于8列出不等式组求解即可．【解答】解：（1）∵AB=x，∴BC=24﹣4x，∴S=AB•BC=x（24﹣4x）=﹣4x2+24x（0＜x＜6）；（2）S=﹣4x2+24x=﹣4（x﹣3）2+36，∵0＜x＜6，∴当x=3时，S有最大值为36；（3）∵，∴4≤x＜6，∴当x=4时，花圃的最大面积为32．【点评】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉．25．如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P 的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．【解答】解：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA 的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．由，解得，，∴点M的坐标为（，）．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．。
天津市武清区2018届九年级数学上学期期中试题扫描版20180115165
天津市武清区2018届九年级数学上学期期中试题2017—2018学年度第一学期期中质量调查试卷九年级数学参考答案及评分标准一、选择题：（1）B （2）D （3）C （4）B （5）B （6）B （7）A （8） C （9）D （10） B（11）D (12)D二、填空题：（13）答案不唯一，如 x 2 4 0 ；（14）（ 2，3）；（15）1（17） 1y x x；（18）4. 2三、解答题：7 2 ；（16）b ＜1 （19）①解：原方程可化为 x 2 4x 1 0…………………………………………1分 ∵ a 1，b 4 ， c 1∴△=b 2 4ac 20……………………………………………2分 ∴ 2 4ac 4 20b bx (3)分 2a2 ∴ 2 5 2x ， 2 51 x ………………………………4分②解：由原方程得2x 1 x………………………………………1分3 1 2x 1 3x 1或 2x 1 3x 1 …………………………3分 x 1 ，2 x 2…………… ………………4分 （此题中的两小题用其他方法解，答案正确亦给全分） （20）解：（Ⅰ）△ A如图所示…………………………3分 1B C1 1 （Ⅱ） ①点 A 如图所示， A ( 2，2 ）， …………………………5分9（21）解：（Ⅰ）∵方程有两个相等的实数根∴ 2 4 1 0m 2 m 2 …………………………2分1解得m …………………………5分21 1（Ⅱ）将m 代入原方程得x2 x 0 ………………………7分2 41解得x 1 x …………………………10分22（22）解：（Ⅰ）设这两年该企业年利润平均增长率为x，……………………1分根据题意得，得2 1 2.88x 2 ……………………………4分解这个方程，得x ， 2.21 0.2 x（舍去） (6)分2∴x 0.2 20%答：这两年该企业年利润平均增长率为20% . ………………7分（Ⅱ）如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为：2.88 …………………………………8分1 20% 3.456∵3.456＞3.4 …………………………………9分∴该企业2017年的利润能超过3.4亿元. ……………10分（23）解：（Ⅰ）将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60 ，得到线段AD，∴AC AD，∠CAD 60 …………………………2分∴△ACD是等边三角形，………………………………4分∴DC AC 4 ．……………………………………5分（Ⅱ）过D点作DE⊥BC于点E．……………………6分∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD 60 ，……………………7分又∵AC⊥BC，∴∠DCE=∠ACB﹣∠ACD=90 60 30 ，∴Rt△CDE中，DE= DC=2 ，CE CD DE 2 3 ，………8分2 2∴BE=BC﹣CE=3 ﹣2= ．∴Rt△BDE中，BD DE BE7 ……………10分2 210(24) 解：（Ⅰ）根据题意，y 60 10x……………………………………2分由36 x 24 ，得x 12所以x的取值范围是：1 x 12 ，且x是整数……………………4分（Ⅱ）设所获利润为W元，则W 36 x 24 (10x 60) ………………7分 10x2 60x 72010 x………………8分3 8102∴当x 3时，W取得最大值，最大值是810答：超市定价为每箱33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元.…………10分(25)解：（Ⅰ）∵抛物线与x轴有两个交点，∴4 1 4 2 3 16 16k 2 k2 k k ＞0 ……………………1分∴k＞ 1∴k的取值范围是k＞ 1 ……………………3分（Ⅱ）∵k＞ 1且k取最小整数∴k 0 ……………………4分此时二次函数为y x2 2x 3 ……………………5分x 21 4对称轴为：x 1 ……………………6分顶点坐标为（1， 4）……………………7分（Ⅲ）翻折后所得新图像如图所示：平移直线y x m，当位于l和l时，与新图像有三个不同公共点1 2①直线位于l时，此时直线l过点A（ 1，0 ）1 1∴0 1 m，∴m 1 ………………8分11②当直线位于l时，此时l与函数y x2 2x 3的图像有唯一公共点，2 2∴方程x m x2 2x 3有两个相等实根∴ 1 4 m 3 013∴m ……………………9分413综上所述，m的值为1或……………………10分412。
2018-2019学年天津市武清区九年级(上)期中数学试卷(含详细解析)
2018-2019学年天津市武清区九年级（上）期中数学试卷一、选择题本大题共12小题，每小原3分，共36分1．（3分）将一元二次方程5x2﹣1=4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．5，﹣1B．5，4C．5，﹣4D．5x2，﹣4x 2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（）A．抛物线开口向下B．抛物线的顶点坐标为（2，6）C．抛物线的对称轴是直线x=6D．抛物线经过点（0，10）4．（3分）若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则下列各式一定成立的是（）A．a+b+c=1B．a+b+c=0C．a﹣b+c=0D．a﹣b+c=1 5．（3分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2B．x1+x2＞0C．x1•x2＞0D．x1＜0，x2＜0 6．（3分）将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（）A．B．C．D．7．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（）A．0B．1C．2D．1或28．（3分）若x2﹣4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）A．p=4，q=2B．p=4，q=﹣2C．p=﹣4，q=2D．p=﹣4，q=﹣2 9．（3分）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x=32B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32C．（10﹣x）（6﹣x）=32D．10×6﹣4x2=3210．（3分）如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．11．（3分）如图，BA=BC，∠ABC=70°，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，连接DE，则∠BED为（）A．55°B．60°C．65°D．70°12．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论，其中正确的结论有（）①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③b﹣2a＞0；④（a+c）2＜b2．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共6小，每小题3分．共18分13．（3分）写出一个以﹣1为一个根的一元二次方程．14．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．15．（3分）点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b=．16．（3分）如图，已知桥拱形状为抛物线，其函数关系式为y=﹣x2，当水位线在AB位置时，水面的宽度为12m，这时水面离桥拱顶部的距离是．。
天津市武清区雍阳中学九年级上册期中试卷检测题
天津市武清区雍阳中学九年级上册期中试卷检测题一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象1l 分别与x 轴，y 轴交于A ，B两点，点A 坐标为()9,0，正比例函数12y x =的图象2l 与1l 交于点(),3C m ，点(),0N n 在x 轴上一个动点，过点N 作x 轴的垂线与直线1l 和2l 分别交于P 、Q 两点．（1）求m 的值及直线1l 所对应的一次函数表达式； （2）当03PQ <时，求n 的取值范围； （3）求出当n 为何值时，PQC ∆面积为12？【答案】（1）6m =；9y x =-+；（2）46n <或68n <；（3）2n =或10． 【解析】 【分析】（1）直接将点C 代入正比例函数，可求得m 的值，然后将点C 和点A 代入一次函数，可求得一次函数解析式；（2）用含n 的式子表示出PQ 的长，然后解不等式即可；（3）用含有n 的式子表示出△PQC 的底边长和高的长，然后求解算式即可得． 【详解】（1）将点C(m ，3)代入正比例函数12y x =得： 3=1m 2，解得：m=6 则点C(6，3) ∵A(9，0)将点A ，C 代入一次函数y kx b =+得：0936k bk b =+⎧⎨=+⎩解得：k=－1，b=9∴一次函数解析式为：y=－x+9 （2）∵N(n ，0) ∴P(n ，9－n)，Q(n ，12n ) ∴PQ=192n n --∵要使03PQ < ∴0＜1932n n --≤ 解得：46n <或68n <（3）在△PQC 中，以PQ 的长为底，则点C 到PQ 的距离为高，设为h 第（2）已知：PQ=139922n n n --=- 由图形可知，h=6n - ∵△PQC 的面积为12 ∴12=136922nn -- 情况一：当n ＜6是，则原式化简为：12=()136922n n ⎛⎫--⎪⎝⎭ 解得：n=2或n=10(舍)情况二：当n ≥6时，则原式化简为：12=()136922n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭解得：n=2(舍)或n=10 综上得：n=2或n=10． 【点睛】本题考查一次函数的综合，用到了解一元二次方程，求三角形面积等知识点，解题关键是用含n 的算式表示出PQ 的长度，注意需要添加绝对值符号．2．阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d 表示，我们可以用公式(1)2n n S na d -=+⨯来计算等差数列的和．（公式中的n 表示数的个数，a 表示第一个数的值，）例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋10(101)2-×2＝120． 用上面的知识解决下列问题．（1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．【答案】（1）1180；（2）到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．【解析】【分析】（1）根据题意，由公式(1)2n nS na d-=+⨯来计算等差数列的和，即可得到答案；（2）根据题意，设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即可得到答案．【详解】解：（1）由题意，得6d=，20n=，2a=，∵(1)2n nS na d-=+⨯，∴20(201)22062S-=⨯+⨯401140=1180=+；（2）解：设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得1200x+(1)2x x-×400＝25200，整理得：（x﹣9）（x+14）＝0，∴x＝9或x＝﹣14（负值舍去）．∴2009+9-1=2017；答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题．3．（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发时，点P和点Q之间的距离是10cm；（2）逆向发散:当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？（3）拓展应用：若点P沿着AO→OC→CB移动，点P，Q分别从A，C同时出发，点Q从点C移动到点B停止时，点P随点Q的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ的面积为12cm2？【答案】（1）85s或245s（2）62cm；213cm（3）4s或6s【解析】【分析】(1)过点P作PE⊥BC于E，得到AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，利用勾股定理得到方程，故可求解；（2）根据运动时间求出EQ、PE，利用勾股定理即可求解；(3) 分当点P在AO上时，当点P在OC上时和当点P在CB上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解．【详解】解：（1）设运动时间为t秒时，如图，过点P作PE⊥BC于E，由运动知，AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，∵点P和点Q之间的距离是10 cm，∴62+（16﹣5t）2＝100，解得t1=85，t2=245，∴t＝85s或245s.故答案为85s或245s（2）t=2时，由运动知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，∴四边形APEB 是矩形， ∴PE ＝AB ＝6，BE ＝6，∴EQ ＝BC ﹣BE ﹣CQ ＝16﹣6﹣4＝6， 根据勾股定理得PQ=2262PE EQ +=, ∴当t ＝2 s 时，P ，Q 两点的距离为62 cm ；当t ＝4 s 时，由运动知AP ＝3×4＝12 cm ，CQ ＝2×4＝8cm ， ∴四边形APEB 是矩形， ∴PE ＝AB ＝6，BQ ＝8，CE=OP=4 ∴EQ ＝BC ﹣CE ﹣BQ ＝16﹣4﹣8＝4， 根据勾股定理得PQ=22213PE EQ +=, P ，Q 两点的距离为213cm .（3）点Q 从C 点移动到B 点所花的时间为16÷2=8s ， 当点P 在AO 上时，S △POQ ＝2PO CO ⋅＝(163)62t -⋅＝12， 解得t ＝4．当点P 在OC 上时，S △POQ ＝2PO CQ ⋅＝(316)22t t-⋅＝12， 解得t ＝6或﹣23（舍弃）． 当点P 在CB 上时，S △POQ ＝2PQ CO ⋅＝(2223)62t t +-⨯＝12， 解得t ＝18＞8（不符合题意舍弃），综上所述，经过4 s 或6 s 时，△POQ 的面积为12 cm 2． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用，根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解．4．有n 个方程：x 2+2x ﹣8=0；x 2+2×2x ﹣8×22=0；…x 2+2nx ﹣8n 2=0． 小静同学解第一个方程x 2+2x ﹣8=0的步骤为：“①x 2+2x=8；②x 2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x 1=4，x 2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．（2）用配方法解第n 个方程x 2+2nx ﹣8n 2=0．（用含有n 的式子表示方程的根） 【答案】（1）⑤；（2）x 1=2n ，x 2=﹣4n ． 【解析】 【分析】（1）根据移项要变号，可判断；（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解. 【详解】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的， 故答案为⑤； （2）x 2+2nx ﹣8n 2=0， x 2+2nx=8n 2， x 2+2nx+n 2=8n 2+n 2， （x+n ）2=9n 2， x+n=±3n ， x 1=2n ，x 2=﹣4n ．5．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%5a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值.【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】 【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥， 解这个不等式，得56x ≤，答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件， 根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2523a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=，解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =， 即a 的值是30. 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME △沿ME 所在直线翻折，得到FME ，当FME 与AME △重叠部分的面积是AMC 面积的14时，请直接写出线段AM 的长． 【答案】（1）22y x x =-++；（2）存在，（23，209）或（103，529-）；（3）5或 【解析】 【分析】（1）根据点A 和点C 的坐标，利用待定系数法求解；（2）在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，构造出∠PBC=∠BDE ，分点P 在第三象限时，点P 在x 轴上方时，点P 在第四象限时，共三种情况分别求解；（3）设EF 与AD 交于点N ，分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ，FN=NE ，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解． 【详解】解：（1）∵抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点A （-2，-4）和点C （2，0），则44220422a b a b -=-+⎧⎨=++⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为22y x x =-++； （2）存在，理由是：在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ， 在22y x x =-++中， 令y=0，解得：x=2或-1， ∴点B 坐标为（-1，0）， ∴点E 坐标为（1，0）， 可知：点B 和点E 关于y 轴对称， ∴∠BDO=∠EDO ，即∠BDE=2∠BDO ， ∵D （0，2），∴=， 在△BDE 中，有12×BE ×OD=12×BD ×EF ，即2×EF ，解得：，∴，∴tan ∠BDE=EF DF =55÷=43， 若∠PBC=2∠BDO ， 则∠PBC=∠BDE ，∵BE=2，则BD 2+DE 2＞BE 2， ∴∠BDE 为锐角， 当点P 在第三象限时， ∠PBC 为钝角，不符合； 当点P 在x 轴上方时，∵∠PBC=∠BDE ，设点P 坐标为（c ，22c c -++）， 过点P 作x 轴的垂线，垂足为G ， 则BG=c+1，PG=22c c -++，∴tan ∠PBC=PG BG =221c c c -+++=43， 解得：c=23， ∴22c c -++=209， ∴点P 的坐标为（23，209）；当点P 在第四象限时，同理可得：PG=22c c --，BG=c+1，tan ∠PBC=PG BG =221c c c --+=43，解得：c=103， ∴22c c -++=529-， ∴点P 的坐标为（103，529-）， 综上：点P 的坐标为（23，209）或（103，529-）；（3）设EF 与AD 交于点N ，∵A （-2，-4），D （0，2），设直线AD 表达式为y=mx+n ， 则422m n n -=-+⎧⎨=⎩，解得：32m n =⎧⎨=⎩，∴直线AD 表达式为y=3x+2， 设点M 的坐标为（s ，3s+2），∵A （-2，-4），C （2，0），设直线AC 表达式为y=m 1x+n 1，则11114202m n m n -=-+⎧⎨=+⎩，解得：1112m n =⎧⎨=-⎩，∴直线AC 表达式为y=x-2， 令x=0，则y=-2， ∴点E 坐标为（0，-2）， 可得：点E 是线段AC 中点， ∴△AME 和△CME 的面积相等， 由于折叠，∴△CME ≌△FME ，即S △CME =S △FME ， 由题意可得：当点F 在直线AC 上方时， ∴S △MNE =14S △AMC =12S △AME =12S △FME ，即S △MNE = S △ANE = S △MNF ， ∴MN=AN ，FN=NE ，∴四边形FMEA 为平行四边形， ∴CM=FM=AE=12AC=221442+22 ∵M （s ，3s+2）， ()()2223222s s -++=解得：s=45-或0（舍），∴M （45-，25-）， ∴AM=22422455⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=6105，当点F 在直线AC 下方时，如图， 同理可得：四边形AFEM 为平行四边形， ∴AM=EF ，由于折叠可得：CE=EF ， ∴AM=EF=CE=22，综上：AM 的长度为105或22 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．7．在平面直角坐标系中，点(),p tq 与(),q tp ()0t ≠称为一对泛对称点．（1）若点()1,2，()3,a 是一对泛对称点，求a 的值；（2）若P ，Q 是第一象限的一对泛对称点，过点P 作PA x ⊥轴于点A ，过点Q 作QB y ⊥轴于点B ，线段PA ，QB 交于点C ，连接AB ，PQ ，判断直线AB 与PQ 的位置关系，并说明理由；（3）抛物线2y ax bx c =++()0a ＜交y 轴于点D ，过点D 作x 轴的平行线交此抛物线于点M （不与点D 重合），过点M 的直线y ax m =+与此抛物线交于另一点N ．对于任意满足条件的实数b ，是否都存在M ，N 是一对泛对称点的情形？若是，请说明理由，并对所有的泛对称点(),M M M x y ，(),N N N x y 探究当M y ＞N y 时M x 的取值范围；若不是，请说明理由． 【答案】（1）23；（2）AB ∥PQ ，见解析；（3）对于任意满足条件的实数b ，都存在M ，N 是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M(x M ，y M )，N(x N ，y N )，当y M ＞y N 时，x M 的取值范围是x M ＜1且x M ≠0 【解析】 【分析】（1）利用泛对称点得定义求出t 的值，即可求出a.（2）设P ，Q 两点的坐标分别为P （p,tq ），Q （q,tp ），根据题干条件得到A （p,0），B （0,tp ），C （p,tp ）的坐标，利用二元一次方程组证出k 1=k 2，所以AB ∥PQ.（3）由二次函数与x 轴交点的特征，得到D 点的坐标；然后利用二次函数与一元二次方程的关系，使用求根公式即可得到答案. 【详解】（1）解：因为点（1，2），（3，a ）是一对泛对称点， 设3t ＝2 解得t ＝23所以a ＝t×1＝23（2）解：设P ，Q 两点的坐标分别为P （p,tq ），Q （q,tp ），其中0＜p ＜q ，t ＞0. 因为PA ⊥x 轴于点A ，QB ⊥y 轴于点B ，线段PA ，QB 交于点C ，所以点A ，B ，C 的坐标分别为：A （p,0），B （0,tp ），C （p,tp ） 设直线AB ，PQ 的解析式分别为：y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2，其中k 1k 2≠0.分别将点A （p,0），B （0,tp ）代入y ＝k 1x ＋b 1，得111pk b tp b tp +=⎧⎨=⎩. 解得11k tb tp =-⎧⎨=⎩ 分别将点P （p,tq ），Q （q,tp ）代入y ＝k 2x ＋b 2，得2222pk b tp qk b tp +=⎧⎨+=⎩. 解得22k tb tp tp =-⎧⎨=+⎩ 所以k 1＝k 2. 所以AB ∥PQ（3）解：因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）交y 轴于点D ， 所以点D 的坐标为（0,c ）. 因为DM ∥x 轴，所以点M 的坐标为（x M ,c ），又因为点M 在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）上. 可得ax M 2＋bx M ＋c ＝c ，即x M （ax M ＋b ）＝0. 解得x M ＝0或x M ＝－b a . 因为点M 不与点D 重合，即x M ≠0，也即b≠0， 所以点M 的坐标为（－ba,c ） 因为直线y ＝ax ＋m 经过点M ，将点M （－b a ,c ）代入直线y ＝ax ＋m 可得，a·（－b a）＋m ＝c. 化简得m ＝b ＋c所以直线解析式为：y ＝ax ＋b ＋c.因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝ax ＋b ＋c 交于另一点N ， 由ax 2＋bx ＋c ＝ax ＋b ＋c ，可得ax 2＋（b －a ）x －b ＝0. 因为△＝（b －a ）2＋4ab ＝（a ＋b ）2， 解得x 1＝－ba，x 2＝1. 即x M ＝－b a ，x N ＝1，且－ba ≠1，也即a ＋b≠0. 所以点N 的坐标为（1,a ＋b ＋c ） 要使M （－ba,c ）与N （1,a ＋b ＋c ）是一对泛对称点， 则需c ＝t ×1且a ＋b ＋c ＝t ×（－b a）. 也即a ＋b ＋c ＝（－ba）·c 也即（a ＋b ）·a ＝－（a ＋b ）·c. 因为a ＋b ≠0，所以当a ＝－c 时，M ，N 是一对泛对称点.因此对于任意满足条件的实数b ，都存在M ，N 是一对泛对称点的情形. 此时点M 的坐标为（－ba,－a ），点N 的坐标为（1,b ）. 所以M ，N 两点都在函数y ＝bx（b≠0）的图象上. 因为a ＜0，所以当b ＞0时，点M ，N 都在第一象限，此时 y 随x 的增大而减小，所以当y M ＞y N 时，0＜x M ＜1；当b ＜0时，点M 在第二象限，点N 在第四象限，满足y M ＞y N ，此时x M ＜0.综上，对于任意满足条件的实数b ，都存在M ，N 是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M （x M ,y M ），N （x N ,y N ），当y M ＞y N 时，x M 的取值范围是x M ＜1且x M ≠0. 【点睛】本题主要考察了新定义问题，读懂题意是是做题的关键；主要考察了二元一次方程组，二次函数、一元二次方程知识点的综合，把握题干信息，熟练运用知识点是解题的核心.8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 ．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125．【解析】 【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解； （2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可； （3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解． 【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3）， 将点D 坐标代入上式并解得：14a =-， 故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①， 则点C （0，32）；（2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=， ①∠MAN=∠ABD 时， （Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-，则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32）， AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）； （Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时， 同理可得：点N （-3，0），点M （0，32）， 故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时， （Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时， ∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）； （Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，AD BDAM AN==，解得：AN=94， 故点N （14-，0）、M （-1，32）； 故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； 综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； （3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35， 则直线AD 的表达式为：y=3342x -， 设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -）， 则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<， 故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．9．如图，已知顶点为M （32，258）的抛物线过点D （3，2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点P 是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线AD 上方时，求△PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标； （3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）最大值为4，点P （1，3）；（3）存在，点P 139313-+）． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）由△PAD 面积S ＝S △PHA +S △PHD ，即可求解；（3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（a ，213222a a -++），当P 点在y 轴右侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣h ）2+k ＝a （x ﹣32）2+258， 将点D 的坐标代入上式得：2＝a （3﹣32）2+258， 解得：a ＝﹣12， ∴抛物线的表达式为：213222y x x =-++； （2）当x ＝0时，y ＝﹣12x 2+32x +2＝2，即点C 坐标为（0，2），同理，令y ＝0，则x ＝4或﹣1，故点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），过点P 作y 轴的平行线交AD 于点H， 由点A 、D 的坐标得，直线AD 的表达式为：y ＝12（x +1）， 设点P （x ，﹣12x 2+32x +2），则点H （x ，12x +12）， 则△PAD 面积为： S ＝S △PHA +S △PHD ＝12×PH ×（x D ﹣x A ）＝12×4×（﹣12x 2+32x +2﹣12x 12-）＝﹣x 2+2x +3， ∵﹣1＜0，故S 有最大值，当x ＝1时，S 有最大值，则点P （1，3）；（3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ，点P 的坐标为（a ，﹣12a 2+32a +2），当P 点在y 轴右侧时（如图2），CQ ＝a ， PQ ＝2﹣（﹣12a 2+32a +2）＝12a 2﹣32a ， 又∵∠CQ ′O +∠FQ ′P ＝90°，∠COQ ′＝∠Q ′FP ＝90°， ∴∠FQ ′P ＝∠OCQ ′， ∴△COQ ′∽△Q ′FP ，'''Q C Q P CO FQ =，即213222'a aa Q F-=， ∴Q ′F ＝a ﹣3，∴OQ ′＝OF ﹣Q ′F ＝a ﹣（a ﹣3）＝3，CQ ＝CQ ′＝22223213CO OQ +=+=，此时a ＝13，点P 的坐标为（13，9313-+）． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目．10．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）224233y x x =--+；（2）存在，点P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，使△PAC 的面积最大；（3）存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）． 【解析】 【分析】（1）直接把点A （﹣3，0），B （1，0）代入二次函数y ＝ax 2+bx+2求出a 、b 的值即可得出抛物线的解析式；（2）设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2，连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．根据三角形的面积公式得出△PAC 的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；（3）以BC 为边，在线段BC 两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ，根据全等三角形的判定定理得出△Q 1CD ≌△CBO ，△CBO ≌△BQ 2E ，故可得出各点坐标．【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+2过点A （﹣3，0），B （1，0），∴093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得∴二次函数的关系解析式为y ＝﹣23x 2﹣43x+2； （2）存在．∵如图1所示，设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2． 连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ． 则PM ＝﹣23m 2﹣43m+2．，PN ＝﹣m ，AO ＝3． ∵当x ＝0时，y ＝﹣23×0﹣43×0+2＝2， ∴OC ＝2，∴S △PAC ＝S △PAO +S △PCO ﹣S △ACO ＝12AO•PM+12CO•PN ﹣12AO•CO ＝12×3×（﹣23m 2﹣43m+2）+12×2×（﹣m ）﹣12×3×2 ＝﹣m 2﹣3m ∵a ＝﹣1＜0∴函数S △PAC ＝﹣m 2﹣3m 有最大值 ∴当m ＝﹣2b a ＝﹣32时，S △PAC 有最大值． ∴n ＝﹣23m 2﹣43m+2＝﹣23×（﹣32）2﹣43×（﹣32）+2＝52， ∴存在点P （﹣32，52），使△PAC 的面积最大．（3）如图2所示，以BC 为边在两侧作正方形BCQ 1Q 2、正方形BCQ 4Q 3，则点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4为符合题意要求的点．过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ， ∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，在△Q 1CD 与△CBO 中，∵11324Q C BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△Q 1CD ≌△CBO ，∴Q 1D ＝OC ＝2，CD ＝OB ＝1，∴OD ＝OC+CD ＝3，∴Q 1（2，3）；同理可得Q 4（﹣2，1）；同理可证△CBO ≌△BQ 2E ，∴BE ＝OC ＝2，Q 2E ＝OB ＝1，∴OE ＝OB+BE ＝1+2＝3，∴Q 2（3，1），同理，Q 3（﹣1，﹣1），∴存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．三、初三数学 旋转易错题压轴题（难）11．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．【答案】（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【解析】【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点，//PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．12．直线m ∥n ，点A 、B 分别在直线m ，n 上（点A 在点B 的右侧），点P 在直线m 上，AP ＝13AB ，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BC ，连接AC 交直线n 于点E ，连接PC ，且ABE 为等边三角形． （1）如图①，当点P 在A 的右侧时，请直接写出∠ABP 与∠EBC 的数量关系是 ，AP 与EC 的数量关系是 ．（2）如图②，当点P 在A 的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为93，求线段AC的长．67【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP＝EC；故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，理由如下，∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP ＝EC ；（3）过点C 作CD ⊥m 于D ，∵将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BC ，∴△PBC 是等边三角形，∴34PC 293 ∴PC ＝3，设AP ＝CE ＝t ，则AB ＝AE ＝3t ，∴AC ＝2t ，∵m ∥n ，∴∠CAD ＝∠AEB ＝60°，∴AD ＝12AC ＝t ，CD 33， ∵PD 2+CD 2＝PC 2，∴（2t ）2+3t 2＝9，∴t 37（负值舍去）， ∴AC ＝2t ＝77． 【点睛】 本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解．13．综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展教学活动老师给每个小组发了两个等模直角三角形ABC 和DEC ，其中90,2,2ACB DCE AC CD ︒∠=∠===观案发现（1）将两个等腰直角三角形如图①摆放，设DE 的中点是,F AE 的中点是,H BD 的中点是G ，则HFG ∠=______度；操作证明（2）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，使点A C E 、、三点在一条直线上，如图②，其余条件不变，小明通过测量发现，此时FH FG =，请你帮助小明证明这个结论.探究发现（3）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，旋转角为()0180αα︒︒<<，DEC 在旋转的过程中，当直线FH 经过点C 时，如图③，请求出线段FG 的长.（4）在旋转过程中，在Rt ABC 和Rt CDE △中，始终有由,AC BC CE CD ⊥⊥，你在图③中还能发现哪两条线段在旋转过程中始终互相垂直？请找出并直接写出这两条线段.【答案】（1）90；（2）证明见解析；（3）31BD =-；（4）AD BE ⊥【解析】【分析】（1）根据题意，运用中点的性质找到线段之间的位置关系即可求解；（2）根据旋转的性质及等腰三角形ABC 可知()ACD BCE SAS ∆≅∆，进而通过中位线定理即可得到FH FG =；（3）根据旋转的性质及勾股定理，先求出BF 的长，再由BD BF DF =-即可求出BD 的长；（4）根据旋转的性质及垂直的判定可知AD BE ⊥.【详解】（1）,,90CE CD AC BC ECA DCB ==∠=∠=︒，BE AD ∴=，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点，//,//HF AD FG BE ∴，AD BE ⊥，HF GF ∴⊥，90HFG ∴∠=︒；（2）证明：如下图，连接AD BE ，，由旋转可知CE CD =，90ECD ACD ∠=∠=︒，又∵AC=BC ，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=， F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点，11,22FH AD FG BE ∴==， FH FG ∴=；（3）解：由题意可得CF DE CFD CFE ⊥∆∆，，都是等腰直角三角形， 2CD =1CF DF ∴==，2BC AC ==，BF ∴==1BD BF DF ∴=-=，G 是BD 的中点，DG ∴=1BD BF DF ∴=-=；（4）AD BE ⊥. 连接AD ，由（3）知，CF DE ⊥，∵ECD ∆是等腰直角三角形，∴F 是ED 中点，又∵H 是AE 中点，∴AD ∥HF ，∵HF ⊥ED ，∴AD BE ⊥.【点睛】本题主要考查了中的的性质，中位线定理，三角形全等，勾股定理等三角形综合证明，熟练掌握三角形的相关知识点是解决本题的关键.错因分析：（1）不能熟练运用重点的性质找到线段之间的关系；（2）未掌握旋转的性质；（3）不能将题目探究中的发现进行推广.14．如图1，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，以点E 直角顶点的直角三角形EFG 的两边EF ，EG 分别过点B ，C ，∠F＝30°.（1）求证：BE ＝CE（2）将△EFG 绕点E 按顺时针方向旋转，当旋转到EF 与AD 重合时停止转动.若EF ，EG 分别与AB ，BC 相交于点M ，N.（如图2）①求证：△BEM≌△CEN；②若AB ＝2，求△BMN 面积的最大值；③当旋转停止时，点B 恰好在FG 上（如图3），求sin∠EBG 的值.【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；③62 4.【解析】【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，∴∠BEM=∠CEN，∵EB=EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，∴S△BMN=12•x（4-x）=-12（x-2）2+2，∵-12＜0，∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．∴3（3m，∵S△BEG=12•EG•BN=12•BG•EH，∴EH=3?(13)m m+3+3m，在Rt△EBH中，sin∠EBH=3+362246EHEB m==．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，。