2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(四)文科数学

2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（四）

文科数学

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一?选择题:(每题5分,共60分,每题只有一个答案是正确的)

1.已知集合A={|36},{|27}x x B x x -<<=<<，则()R A B =( )

A. （2，6）

B. （2，7）

C. （-3，2]

D. （-3，2）

【答案】C 【解析】 【分析】

由题得C B ?={x|x ≤2或x ≥7}，再求()A C B ??得解.

【详解】由题得C B ?={x|x ≤2或x ≥7}，所以()A C B ??= (]

3,2-. 故选C

【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能

力.

2.“1x >”是“1

||x x

>”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】A 【解析】 【分析】

先解出1

||x x

>的解，再判断两命题的关系即可. 【详解】由1

||x x >得：1x >或0x <，

∴1x >能推出1

||x x >；反之，则由1x >或0x <，不可以推出1x >，

故“1x >”是“1

||x x

>”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义，同时考查了绝对值不等式的解法，属于基础题. 3.若224

1

12

2x x -+??≤ ???

,则函数2x

y =的值域是( )

A. 1,28??

????

B. 1,28??

????

C. 1,8

??-∞ ??

?

D. [2,)+∞

【答案】B 【解析】 【分析】

首先根据指数函数的单调性解不等式求出x 的取值范围，再利用指数函数的单调性即可求解.

【详解】由2

24

1122x x -+??≤ ???

，可得2142x x +≤-，

解得31x -≤≤，所以31222x -≤≤ 故函数2x

y =的值域是1,28??

????.

故选：B

【点睛】本题考查了利用指数函数的单调性解不等式、求值域，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题 4.函数的1

()sin cos 12

f x x x =+最小正周期是( ) A. 2π B. π

C.

2

π D.

3

π 【答案】B 【解析】 【分析】

首先利用二倍角的正弦公式将函数化为1()sin 421f x x =+，再利用2T πω

=即可求解. 【

详解】11

()sin cos 1sin 2412f x x x x =

+=+， 所以222

T πππω===. 故选：B 【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式、周期公式，属于基础题. 5.在公比为2的等比数列{}n a 中,已知126a a +=,则45a a +=( )

A. 12

B. 18

C. 24

D. 48

【答案】D 【解析】 【分析】

利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】由126a a +=，2q ()11161q a a q a =++=，

所以12a =，

所以()3

4

3

45111128348a a a q a q a q q +=+=+=??=. 故选：D

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.

6.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的表面积为( )

A. 4

B. 642+

C. 442+

D. 2

【答案】B 【解析】 【分析】

由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答案.

【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱， 底面面积为：

1

2112

??=， 底面周长为：222222+=+，

故棱柱的表面积(212222642S =?+?+=+故选：B

【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题. 7.在ABC ?中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2,2,sin cos 2a b B B ==+=则角A 的

大小为( ) A.

6π或

56

π

B.

3π

或

23

π C.

6

π

D.

3

π 【答案】C 【解析】 【分析】

由sin cos 224B B B π?

?+=+= ???可得sin 14B π??+= ??

?，即可解得B ，再利用正弦定

理即可得出.

【详解】在ABC ?中,

sin cos 4B B B π?

?+=+= ??

?

∴sin 14B π?

?+= ??

?，

又()0,B π∈，

4

2

B π

π

∴+

=

，解得4

B π

=

，

由正弦定理可得：2

sin sin

4

A π=

，

解得1sin 2

A =

， a b <，6

A π

∴=

.

故选：C

【点睛】本题考查了辅助角公式、正弦定理解三角形，属于基础题.

8.已知直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，给出下列命题：①//l m αβ?⊥； ②//l m αβ⊥?；③//l m αβ?⊥；④//l m αβ⊥?． 其中正确命题的序号是（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ②④ D. ①②③

【答案】A 【解析】 【分析】

利用线面垂直的判定与性质可判断①；利用线面、面面平行与垂直的判定与性质可判断②；利用线面、面面垂直的判定与性质可判断③；利用线面、面面平行与垂直的判定与性质可判断④.

【详解】①中，因为直线l ⊥平面α，//αβ，所以直线l ⊥平面β，又直线m ?平面β，

所以l m ⊥；故①正确；②中，因为直线l ⊥平面α，αβ⊥，所以//l β或l β?，又直线m ?

平面β，所以l 与m 可能平行、重合或异面，故②错；③因为直线l ⊥平面α，//l m ，所以m ⊥平面α，又直线m ?平面β，所以αβ⊥，故③正确；④中，因为直线l ⊥平面α，l m ⊥，所以//m α或m α?，又直线m ?平面β，所以α与β平行或相交，所以④错； 故选A

【点睛】本题主要考查线面、面面平行或垂直的判定与性质，熟记定理即可，属于常考题型. 9.设向量1(3,),(2,)a m b ==-,且3a b -与a b -垂直,则实数m 的值是( ) A. 0 B. -4

C. 0或4

D. 0或-4

【答案】D 【解析】 【分析】

利用向量线性的坐标运算以及向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】

向量1(3,),(2,)a m b ==-,

()()()33,32,13,3a b m m -=--=-+∴， ()1,1a b m -=+， 3a b -与a b -垂直可得

()()30a b a b -?-=，

()()()31310m m -?+++=，

240m m +=，解得0m =或-4.

故选：D

【点睛】本题考查了向量的线性坐标运算以及向量数量积的坐标运算，需熟记向量垂直数量积等于0，属于基础题. 10.函数4

(3)3

y x x x =+>-+图象的最低点的坐标是( ) A. 04（，） B. 12（，）

C. 1,1-（）

D.

57--（，）

【答案】C 【解析】 【分析】

将函数变形为4

33(3)3

y x x x =++

->-+，根据基本不等式对函数的最小值进行求解，进而通过不等式取等号的条件得出答案.

【详解】44333133

y x x x x =+=++-≥=++， 当且仅当1

33

x x +=

+，即1x =-时取等号, 所以函数图象的最低点的坐标是

1,1-（）. 故选：C

【点睛】本题考查了基本不等式的运用，掌握基本不等式的内容是解题的关键，属于基础题. 11.正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中,以任意三个顶点确定的平面中,与对角线1BD 垂直的平面个数为( ) A. 3 B. 2

C. 1

D. 0

【答案】B 【解析】 【分析】

根据正方体的性质可知：每个面的对角线互相垂直，由三垂线定理可知：

11111,D A B BD C A D ⊥⊥，从而111A B C D D ⊥，同理11BD AB C ⊥，从而得到结果.

【详解】正方体的性质可知：每个面的对角线互相垂直，

由三垂线定理可知：11111,D A B BD C A D ⊥⊥，从而111A B C D D ⊥， 同理11BD AB C ⊥，

故与对角线1BD 垂直的平面个数有2个. 故选：B

【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定定理以及正方体的性质，属于基础题. 12.已知等差数列{}

n a 前项和为n S ,且19200,0S S ><,则下列值最大的是( )

A. 77

S a

B. 88S a

C. 99S a

D. 1100

S a

【答案】D 【解析】 【分析】

由等差数列的性质和求和公式可得100a >，10110a a +<，即110a <，可得数列的前10项为正数，从第11项开始为负数，可得答案. 【详解】由等差数列的性质和求和公式可得，

()1191910101919

219022

a a S a a +=

=?=>，

()()1202010111919

022a a S a a +==+<，

1010110,0a a a ∴>+<，110a ∴<，

∴数列的前10项为正数，从第11项开始为负数，

所以n S 最大为10S ，n a 最小的正数项为10a ， 故选：D

【点睛】本题考查了等差数列的性质和求和公式，熟记性质与公式是解题的关键，属于基础题.

二?填空题:(每小题5分,共20分)

13.若,x y 满足约束条件40,

20,20,x y x x y -+≥??

-≤??+-≥?

则2z x y =+的最小值为__________．

【答案】2 【解析】 【分析】

先由约束条件作出可行域，再由目标函数2z x y =+可化为122

z

y x =-

+，因此当直线122

z

y x =-+在y 轴上截距最小时，2z x y =+取最小，结合图像即可求出结果.

【详解】由约束条件

40,

20,

20,

x y

x

x y

-+≥

?

?

-≤

?

?+-≥

?

作出可行域如下：

因为目标函数2

z x y

=+可化为

1

22

z

y x

=-+，

因此当直线

1

22

z

y x

=-+在y轴上截距最小时，2

z x y

=+取最小.

由图像易得，当直线

1

22

z

y x

=-+过点(2,0)

A时，在y轴上截距最小，

即min2

z=.

故答案为2

【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.

14.设复数1z、2z在复平面内的对应点关于虚轴对称，12

z i

=+（i为虚数单位），则

12

z z?= .

【答案】5

-

【解析】

试题分析：由题意得：22,

z i

=-+所以2

12

(2)(2)4 5.

z z i i i

?=+-+=-=-

考点：复数运算

15.设曲线x

y e

=在点（0,1）处的切线与曲线

1

(0)

y x

x

=>上点P处的切线垂直，则P的坐标为_____．

【答案】

【解析】

【详解】设00(,)P x y .

对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线1

(0)y x x

=>上点P 处的切线斜率为－1，由0

2

01

1x x y x ==-

=-'，得01x =，则01y =，所以P 的坐标为(1，1)．

考点：导数的

几何意义．

16.设函数()2

x

f x x =

+(0)x >，观察： ()()12x

f x f x x ==+， 21()(())34x f x f f x x ==+，

32()(())78

x

f x f f x x ==

+， 43()(())1516

x

f x f f x x ==+，……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当*n ∈N 且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== ________.

【答案】

(21)2n n

x

x -+

【解析】 【分析】

利用所给函数式，归纳出函数式分母多项式的规律，结合分子都是1，从而可得结果. 【详解】观察知:四个等式等号右边的分母为2,34,78,1516x x x x ++++,即

()()()()212,414,818,16116x x x x -+-+-+-+,所以归纳出分母为()()()

1n n f x f f x -=的分母为()212n

n

x -+,故当n N +

∈且2n ≥时，()()()1n n f x f f x -==.()1

212n

n x -+.

【点睛】本题主要可得函数的解析式以及归纳推理的应用，属于中档题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.

三?解答题:(本大题共5小题,共60分,解答应写出文字说明)

17.已知函数()sin 222f x x x =-+. （1）求()f x 的单调递增区间. （2）求()f x 的值域. 【答案】（1）5,,12

12k k k Z π

πππ?

?

-+

∈???

?

；（2）[]0,4 【解析】 【分析】

（1）先利用辅助角公式将函数化简，根据正弦函数的性质即可求出单调区间. （2）根据三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）

1

()sin 2222sin 2222sin 2223f x x x x x x π???

?=-+=+=-+ ? ? ?????

222,2

3

2

k x k k Z π

π

π

ππ∴-

≤-

≤+

∈，

即5,12

12

k x k k Z π

π

ππ-

≤≤+

∈， ∴函数的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ?

?-+∈????. （2）由1sin 213x π?

?-≤-≤ ??

?，

所以02sin 2243x π?

?

≤-+≤ ??

?

， 即()04f x ≤≤. 故()f x 的值域为[]0,4.

【点睛】本题考查了三角恒等变换辅助角公式、三角函数的性质，需熟记公式与性质，属于基础题.

18.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥.

求证：（1）直线DE 平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】

试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理. 试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11A C AC ，

在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DE

AC ，于是11DE AC ，

又因为DE ?平面1111,AC F AC ?平面11AC F ， 所以直线DE//平面11AC F .

（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA A B C ⊥平面 因为11A C ?平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，

又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥???=，平面平面， 所以11A C ⊥平面11ABB A .

因为1B D ?平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥.

又因为1111111111111,,B D A F AC AC F A F AC F AC A F A ⊥???=，平面平面， 所以111B D AC F ⊥平面.

因为直线11B D B DE ?平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面

【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系

【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.

19.已知数列{}n a 中,11a =,且当2n ≥时有121n n a a n --=-. （1）求数列{}n a 的通项公式; （2

）设n b =

,求数列{}n b 的前n 项和n S ;

【答案】（1）2

n a n =；（2）1

n n S n =

+ 【解析】 【分析】

（1）利用累加法，即可求出数列{}n a 的通项公式； （2）利用裂项求和法，即可求出数列{}n b 的前n 项和n S ； 【详解】（1）

数列{}n a 中,11a =,且当2n ≥时有121n n a a n --=-，

∴可得21221a a -=?-

32231a a -=?-

121n n a a n --=-

当2n ≥时，将上面各等式相加， 得()()()()12234111n a a n n n n -=+++

+--=+-，

∴数列{}n a 的通项公式2n a n =.

（2

）

()111

11n b n n n n =

===-

++，

∴数列{}n b 的前n 项和1111111223

111

n n

S n n n n 1

=-

+-++

-=-=

+++. 【点睛】本题考查了累加法求数列的通项公式、等差数列的前n 项和、裂项求和法，需熟记公

式，属于基础题.

20.在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知sin sin 03b C c B π??

--= ??

?

. （1）求角C 的值；

（2）若4,a c ==ABC ?的面积.

【答案】（1）23

π；（2）【解析】 【分析】

（1）利用三角函数恒等变换的应用化简，将已知等式化简得sin 03C π??

+

= ??

?

，结合范围 ()0,C π∈，可得角C 的值；

（2）利用余弦定理可求得24120b b +-=，解得b 的值，根据三角形的面积公式即可得出

ABC ?的面积.

【详解】解：（1）因为sin sin 03b C c B π?

?--= ??

?，

即12sin sin cos 2sin sin 02

2R B C C R C B ??-

-= ?

???

， 由于在ABC ?中，sin 0B >，

则得出：1

sin 022

C C +

=， 所以sin 03C π??

+

= ??

?

， 又因为()0,C π∈，则3

C π

π+=，

解得：23

C π=

.

（2）在ABC ?

中，4,a c == 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-， 所以24120b b +-=，且0b >， 解得：2b =， 则ABC ?的面积为：

11sin 4222S ab C =

=??=【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的综合应用，以及三角函数恒等变换的应用，同时考查学生的计算能力和转化思想.

21.已知函数()x

f x e ax =-(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切

线斜率为1-.

(1)求a 的值及函数()f x 的极值； (2)证明：当0x >时，2x x e <．

【答案】(1)2a =；当ln 2x =时，()f x 取得极小值，且极小值为

()ln2ln 22ln 22ln 4f e =-=-，()f x 无极大值；(2)祥见解析．

【解析】

试题分析：(1)利用导数几何意义求得a ，再利用导数法求得函数的极值；(2)构造函数g （x ）=e x -x 2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论． 试题解析：(1)由(),x

f x e ax =-得()x f x e a '=-.

又()011f a =-=-'，得2a =.所以()2x

f x e x =-，()2x

f x e '=-.

令()0f x '=，得ln 2x =.当ln 2x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当ln 2x >时，

()0f x '>，()f x 单调递增．所以当ln 2x =时，()f x 取得极小值，

且极小值为()ln2

ln 22ln 22ln 4f e

=-=-，()f x 无极大值．

(2)证明：令()2

,x g x e x =-则()2x

g x e x '=-.

由(1)得，()()()ln 22ln 40g x f x f =≥=->'，故()g x 在R 上单调递增，又()010g =>，所以当0x >时，()()00g x g >>，即2x x e <

考点：１．利用导数求函数的极值；２．利用导数证明不等式．

22.在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲

线C 的极坐标方程为2

sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点()24P --，

的直线l

的参数方程为22

42

x y ?

=-+???

?=-+??

（为参数），直线l 与曲线C 交于M 、N 两点． （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程： （2）若| |,| |,| |P M M N P N 成等比数列，求a 的值．

【答案】（1）l 的普通方程2y x =-；C 的直角坐标方程 2y ax =；（2）1a =. 【解析】 【分析】

（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数t 即可得到直线l 的直角坐标方程；

（2）将直线l 的参数方程，代入曲线C 的方程，利用参数的几何意义即可得出||||PM PN ?，从而建立关于a 的方程，求解即可．

【详解】（1）由直线l

的参数方程22

42

x y ?

=-+??

?

?=-+??

消去参数t 得, 42y x =-++，即2y x =-为l 的普通方程

由2

sin 2cos a ρθθ=，两边乘以ρ得2

2

sin 2cos a ρθρθ=

2y ax ∴=为C 的直角坐标方程.

（2

）将24x y ?

=-+??

?

?=-??

代入抛物线2

2y ax

得24)3280t a t a -+++=

2(22(4))4(328)

0a a =+-+>

124)0t t a +=+>

12328 0t t a =+> 120,0t t ∴>>

由已知| |,| |,| |P M M N P N 成等比数列，

2||||||MN PM PN ∴=?

即2

12

12t t t t -=?，

()

2

1212124t t t t t t +-=，()2

12125t t t t +=，

24))5(328)a a +=+整理得2340a a +-=

4a =-（舍去）或1a =.

【点睛】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线l 的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．

23.设函数()|||4|f x x a x =-+-.

（1）当1a =时,求f x （）的最小值;

（2）如果对,()1x R f x ?∈≥,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3；（2）()(),35,-∞+∞

【解析】 【分析】

（1）当1a =时,函数52,1

()143,1425,4x x f x x x x x x -≤??

=-+-=<

，作出函数f x （）的图像，由

图像可得函数f x （）的最小值.

（2）由绝对值的几何意义可得|||4|4x a x a -+-≥-，故有41a -≥，由此求得实数a 的取值范围.

详解】（1）当1a =时,函数52,1

()143,

1425,4x x f x x x x x x -≤??

=-+-=<

， 作出函数f x （）的图像，如图所示：

由图像可知函数f x （）的最小值等于3.

（2）如果对,()1x R f x ?∈≥,故|||4|1x a x -+-≥对任意实数x 都成立， 由绝对值的意义可得|||4|4x a x a -+-≥-，

∴41a -≥，

41a ∴-≥或41a -≤-，解得5a ≥或3a ≤.

故实数a 的取值范围为()

(),35,-∞+∞.

【点睛】本题考查了求分段函数的最值，由绝对值的意义解不等式恒成立求参数的取值范围，属于基础题.