Schmidt方法(单位正交化)matlab程序
Gram-Schmidt正交规范化方法的表格计算与矩阵表示
Gram-Schmidt正交规范化方法的表格计算与矩阵表示王书营【摘要】依据Gram-Schmidt正交化方法,把线性无关向量组的正交规范化设计成一个简易表格,给出了表格的结构说明及各部分的生成方法,结合实例给出表格的具体用法,通过表格的分区建立了无关向量组、正交向量组和规范向量组之间的矩阵关系.【期刊名称】《南京工业职业技术学院学报》【年(卷),期】2016(016)002【总页数】4页(P6-9)【关键词】向量组;正交规范化;表格计算;矩阵表格【作者】王书营【作者单位】南京工业职业技术学院文理学院,江苏南京210023【正文语种】中文【中图分类】O151.2一个线性无关向量组可以用正交化方法获得一组正交向量组，经规范化后得到单位向量组，常用的方法是Gram-Schmidt正交化方法。
此法在向量个数较多时计算非常繁琐，如秩为m的线性无关向量组仅正交化就需要计算内积次、商运算m/ 2次及数乘向量运算m/2次，整个计算过程中有部分数据能重复使用，但在每次的单独列式计算时数据共享率较低，尤其不便于最终的检查与纠错，对掌握正交化方法和提高计算效果不利[1]，但采用列表的方式可以进行快速准确计算。
本文就是把Gram-Schmidt正交规范化方法设计成一个简单的表格，只要对表格进行有序计算与填写就能获得需要的结果。
表中的数据计算单一，主要是向量的线性、内积和少部分商运算，表格生成顺畅，每次按序完成一个行和列的计算就可得到所需的关键数据，计算过程的数据显示清晰完整，有极高的共享率，便于检验查询，对于掌握正交化方法和求解正交规范向量组有极好的帮助。
对于欧氏向量空间V的n维向量称为α，β的内积，‖α‖称为α的范数[2]。
设V中的向量组，若A的秩为m，则可以把A化成正交向量组，并有：式(1)称为Gram-Schmidt正交化方法，把正交向量组B规范化成为单位向量组，并有：式(2)中的向量称为正交规范向量组[3]。
【免费下载】Gram Schmidt正交化方法
证明:只证（2） ) 设1,2,,s 线性相关，则存在一个向量，不妨设为1 ,可由其余向量线 性表示:
i, j 1,2,, s, 有 i , j tik k i , t jk k j
ti1,
ti2
,t
i,i1,1,0,,0
1 t21 ts1,1 0 1 ts1,2
令T
则
0 0 1
j 1
k 1
s1 .
1 i
t j1
t j1
10
t j1
0
i ,
i 1,2., s
(1)
1,1
2,1
s1 ,1 s ,1
1 , 2 2 , 2
中向量
,,s
det
1
，且上式取等号
（欧），则
(ⅱ)设
det
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
求向量组的等价正交单位向量组－施密特正交化C语言算法
求向量组的等价正交单位向量组－施密特正交化C语⾔算法求向量组的等价正交单位向量组－施密特正交化 C 语⾔算法 ⼀.施密特正交化⾸先需要确定已有基底向量的顺序，不妨设为。
Gram-Schmidt正交化的过程如下：这样就得到上的⼀组正交基，以及相应的标准正交基。
给定的S个N维向量组，第⼀步先求出向量组的极⼤线性⽆关组 将向量组排成矩阵A： （列向量组时）或（⾏向量组时）（＊） 将列（或⾏）向量组排成矩阵A如（＊）式，并⽤初等⾏（或列）变换化A为⾏（或列）阶梯形矩阵G（或），则G（或）中⾮零⾏（或列）的个数即等于向量组的秩，且是该向量组的⼀个极⼤线性⽆关组，其中是G（或）中各⾮零⾏（或列）的第1个⾮零元素所在的列（或⾏）。
⼆.C语⾔程序算法#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>void main(){int i,j,k;int s,n;//s个n维向量组int groupNum=0;//极⼤线性⽆关组个数double **array,**deterArray;double **result;int *groupPosition;void printfDouble2Dimension(int s, int n, double **array);void printfInt1Dimension(int n, int *array);void primaryRowChange(int s, int n, double **array);int getGreatLinerlyIndependentGroup(int s, int n, double **array, int *result);void calcOrthogonalization(int s, int n, double **result);printf("请输⼊向量个数S:");scanf("%d",&s);printf("请输⼊向量维度N:");scanf("%d",&n);array=(double**)malloc(s*sizeof(double*));deterArray=(double**)malloc(n*sizeof(double*));groupPosition =(int*)malloc(s*sizeof(int));for(i=0;i<n;i++){deterArray[i]=(double*)malloc(n*sizeof(double));}for(i=0;i<s;i++)*(groupPosition+i)=-1;//for(i=0;i<s;i++){array[i]=(double*)malloc(n*sizeof(double));printf("请输⼊第%d个向量:",i+1);for(j=0;j<n;j++){scanf("%lf",*(array+i)+j);*(*(deterArray+j)+i) = *(*(array+i)+j);}}printf("输⼊向量⾏矩阵:\n");printfDouble2Dimension(s,n,array);printf("输⼊向量列矩阵:\n");printfDouble2Dimension(n,s,deterArray);primaryRowChange(n,s,deterArray);printf("列矩阵初等⾏变换后:\n");printfDouble2Dimension(n,s,deterArray);groupNum = getGreatLinerlyIndependentGroup(n,s,deterArray,groupPosition);result = (double**)malloc(groupNum*sizeof(double*));for(i=0;i<groupNum;i++){if(*(groupPosition+i)!=-1){result[i] = (double*)malloc(n*sizeof(double));result[i] = *(array+ *(groupPosition+i));}}printf("极⼤线性⽆关组:\n");printfDouble2Dimension(groupNum,n,result);calcOrthogonalization(groupNum,n,result);printf("等价正交单位向量组:\n");printfDouble2Dimension(groupNum,n,result);system("pause");}//初等⾏变换void primaryRowChange(int s, int n, double **array){int i,j,k,ii,kk,flag;double temp;for(i=0,j=0;i<s-1;i++,j++)//s⾏，最外围只需要变换s-1{ii=i;//如果⾏的⾸元为0，向下查找⼀个不为0的，然后换⾏if(*(*(array+i)+j) == 0){flag=0;for(k=i+1;k<s;k++){if(*(*(array+k)+j)!=0)//第k⾏与第i⾏交换{for(kk=j;kk<n;kk++){temp=*(*(array+k)+kk);*(*(array+k)+kk) = *(*(array+i)+kk);*(*(array+i)+kk) = temp;}flag =1;break;}}//判断是交换成功，如果没有成功，则i--if(!flag){i--;continue;}i--;j--;continue;}for(;ii<s-1;ii++){if(*(*(array+ii+1)+j)==0)continue;temp =-*(*(array+ii+1)+j) / *(*(array+i)+j);for(k=j;k<n;k++)*(*(array+ii+1)+k) += *(*(array+i)+k) * temp;}}}//获取极⼤线性⽆关组位置及个数int getGreatLinerlyIndependentGroup(int s, int n, double **array, int *result){int i,j,num=0;for(i=0;i<s;i++){for(j=0;j<n;j++){if(*(*(array+i)+j)!=0){*(result + num++)=j;break;}}}return num;}//计算正交单位向量组void calcOrthogonalization(int s, int n, double **result){int i,j,k;double **tempArray ,temp;double sqrt(double x);double getInnerProduct(int n,double *array1, double *array2);for(i=0;i<s;i++){tempArray = (double**)malloc(i*sizeof(double*));for(j=0;j<i;j++){tempArray[j] = (double*)malloc(n*sizeof(double));temp = getInnerProduct(n,*(result+i),*(result+j)) / getInnerProduct(n,*(result+j),*(result+j));for(k=0;k<n;k++){*(*(tempArray+j)+k) = temp * *(*(result+j)+k);}}for(j=0;j<i;j++){for(k=0;k<n;k++)*(*(result+i)+k) -= *(*(tempArray+j)+k);}}//单位化for(i=0;i<s;i++){temp = getInnerProduct(n,*(result+i),*(result+i));temp = sqrt(temp);for(j=0;j<n;j++){*(*(result+i)+j) /= temp;}}}//计算两个向量的内积double getInnerProduct(int n, double *array1, double *array2){int i;double result=0;for(i=0;i<n;i++)result += *(array1+i) * *(array2+i);return result;}//print arrayvoid printfDouble2Dimension(int s, int n, double **array){int i,j;for(i=0;i<s;i++){for(j=0;j<n;j++){printf("%6.2lf",*(*(array+i)+j)); }printf("\n");}}void printfInt1Dimension(int n, int *array) {int i;for(i=0;i<n;i++){printf("%4d",*(array+i));}printf("\n");} 三.程序截图1> p219-例12> 3.5-93> test14> test2。
向量组(矩阵)正交化的合同变换模型
向量组(矩阵)正交化的合同变换模型
杨庆玺;杨光
【期刊名称】《济源职业技术学院学报》
【年(卷),期】2007(6)4
【摘要】通过对Schmidt正交化方法等价定理的证明,从模型化和程序化的角度,给出向量组(矩阵)正交化的对称变换法模型,使之利用计算机进行程序计算成为可能.【总页数】2页(P22-23)
【作者】杨庆玺;杨光
【作者单位】焦作大学,基础系,河南,焦作,454003;焦作大学,基础系,河南,焦
作,454003
【正文语种】中文
【中图分类】O151
【相关文献】
1.线性无关向量组正交化的矩阵解法 [J], 宋永顺;赵万伟;朱洪秀
2.一个简便的向量组(矩阵)正交化方法 [J], 付立志
3.向量组正交化的合同变换模型 [J], 王学敏;付立志
4.四元数矩阵的广义Schmidt分解与广酉空间中向量组的广义标准正交化 [J], 林春艳;王卿文
5.正交化向量组的矩阵方法 [J], 严家森
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标准正交基与Schmidt正交化方法
思考题
解:
1 =1;
5 2 (1, 1, 1); 3
( 1 , 3 ) ( 2 , 3 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
25 10 = (0, 5, 0) (1, 2, 1) 3 (1, 1, 1) 6 5
10 5 5 5 5 5 = (0 , 5 , 0 ) 3 3 3 3 3 3
1 2 ) ( 1 2 ) 0.
( 3 , 4 )
1 2
1 2
(
由定理2.1, 1, 2, 3, 4 线性无关, 即为正交规范基.
9
定理
任何一个非零向量空间 V 都存在正交规范基, 且若
1, …, r 为V 的一个基, 则可通过1, …, r 构造出
一个正交规范基.
x, y x, y;
( 2)
( 3)
x y, z x, z y, z ;
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
3
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
14
定义:
设A是n阶实矩阵,如果A满足
A A AA E
T T
则称A是正交矩阵,简称正交阵. 定理: n阶实矩阵A是正交阵的充要条件是A的行(或列)向量组 为Rn 的一组标准正交基.
15
例 设1= (1,2,1), 2= (1,3,1), 3= (0,5,0), 试将其正交 规范化.
= 0.
16
1, 2, 3 两两正交, 但不能规范化.
原因?
1= (1,2,1) 2= (1,3,1)3 线性相关.
三维欧氏空间中标准正交基的求解新方法
三维欧氏空间中标准正交基的求解新方法
陈丽雯;王振
【期刊名称】《理论数学》
【年(卷),期】2024(14)3
【摘要】本文对标准正交基的计算方法加以分析,分别采用Schmidt正交化方法、初等变换法、合同变换法和Givens变换法进行标准正交基的求解。
并在三维欧氏空间中,把向量积与这些方法结合,使得计算更为简单。
【总页数】7页(P151-157)
【作者】陈丽雯;王振
【作者单位】盐城工学院数理学院盐城
【正文语种】中文
【中图分类】O15
【相关文献】
1.有限维欧氏空间中标准正交基的求法探讨
2.欧氏空间标准正交基的几种求法
3.一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法
4.欧氏空间子空间的标准正交基的一种全新的求法──Givens变换法
5.欧氏空间子空间的标准正交基求法改进
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基于Schmidt正交单位化的稀疏化定位算法
基于Schmidt正交单位化的稀疏化定位算法赵春晖;许云龙;黄辉;崔冰【摘要】To improve the localization accuracy of a node in the wireless sensor network with a mobile beacon node, a sparse localization algorithm using Schmidt orthonormalization ( SLSO) was proposed. With the SLSO, the node localization problem was converted to a reconstruction problemof the sparse signal by gridding the sensing area, and a new observation matrix which is able to effectively satisfy the restricted isometry property ( RIP ) was obtained by Schmidt orthonormalization. To solve the problem of the sparse signal being approximately sparse in the model, a centroid algorithm was adopted to improve the localization accuracy. The experiment results show that, compared with MAP algorithms, SLSO has better localization accuracy, and requires less broadcasting times.%为了提高在一个移动信标节点下的无线传感器网络节点定位的精度，提出了一种稀疏化的无线传感器网络节点定位算法。
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关于施密特正交化的一点注释与应用蔡改香【摘要】高等代数中求标准正交基、求正交阵都要用到施密特正交化。
欧式空间的基中向量的位置不同，经过施密特正交化所得到的标准正交基的结果也不同，并且计算量的大小也不同。
用施密特正交化法求实对称矩阵的逆矩阵是一种新的方法。
%In higher algebra, we have used the Schmidt orthogonalization to solve standard orthogonal basis and the orthogonal array.This paper mainly introduces if positions of vectors are different in the base of Euclidean space, then the standard orthogonal basis obtained through the Schmidt orthogonalization is different, and the amount of calculation is different.This paper also intro-duces the method of solving the inverse matrix of real symmetric matrix by using Schmidt orthogonalization .【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】3页(P106-108)【关键词】基;标准正交基;施密特正交化【作者】蔡改香【作者单位】安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆 246133【正文语种】中文【中图分类】O151.21高等代数中，欧式空间的一组线性无关的向量张成一个子空间[1]，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。
施密特正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。