逻辑代数的基本定律
逻辑代数
一、逻辑代数的基本定律
结合律
分配律
A B C A B C A B C A B A C
A B C ( A B) ( A C )
A B C A B C
左右比较符合： ·变+，+变· 1变0，0变1 运算顺序不变
二、其它常用公式：
吸收律
A A B A
A ( A B) A
证明： 左边＝A(1+B)
证明： 左边＝A·A+A·B =A+AB
=A·1
=A =右边 练习：化简 AB+ABC 证明(A+B) ·(A+B+C)=A+B
=A
=右边
数字电路步入数字殿堂的台阶
2.3 逻辑代数的基本定律和规则
数字电路步入数字殿堂的台阶
2.4 逻辑代数的公式法化简
同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式，逻辑函数 式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，也有利于用最少的 电子器件实现这个逻辑函数。
其中，最常用的为“与或”逻辑表达式。
最简“与或”式的标准： １.含的与项最少； －－门最少 ２.各与项中的变量数最少。 －－门的输入端最少 除此以外，还有与非式、或非式、或与式、与或非式
A B
A B A B
A
B
摩根定律
AB
A B
A B
0
0
0
1
0 1 1 1
1 0
1 1
1
1
1
1
0
1
0
0
A B A B
0
0
左右比较符合： 0 0 ·变+，+变· 1变0，0变1 0 1 运算顺序不变 0 0 公共非号不变
逻辑代数的基本定律及规则2010.9.23
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三变量最小项的编号
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最大项
最大项标准式是以“或与”形式出现的标准式。 最大项： 对于一个给定变量数目的逻辑函数， 所有变 量参加相“或”的项叫做最大项。 在一个最大项中， 每个 变量只能以原变量或反变量出现一次。 例如， 一个变量A有二个最大项： (2 ) A, A。
例题：化简函数
AB + AC + BC = AB + AC
F = ABC + AD + C D + BD
F = ABC + AD + C D + BD
= ABC + ( A + C ) D + BD
= AC ⋅ B + AC ⋅ D + BD
= AC ⋅ B + AC ⋅ D
= ABC + AD + C D
最小项
2 n 个最小项。最小项通 以此类推，n变量共有
常用 mi 表示。 最小项标准式：全是由最小项组成的“与或” 式，便是最小项标准式(不一定由全部最小项 组成)。 例如：
F ( ABC ) = A B C + BC + A C = A B C + ABC + A BC + AB C + AB C = ∑ m(0,3,4,6,7)
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逻辑代数的基本定律及规则
对合律： A = A
冗余律： AB + A C + BC = AB + A C
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逻辑代数的基本定律及规则
3 基本规则
代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有 出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然 成立。这个规则称为代入规则。 反演规则：对于任何一个逻辑函数F，想要得到F的反 函数，只需要将F中的所有“·”换成“＋”，“＋”换 成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反 变量，反变量换成原变量。 长春理工大学软件学院
逻辑代数的基本定律
逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律是指逻辑代数中的基础规则和定理，这些定理是逻辑代数中最基本的概念和方法。
逻辑代数是用数学方法来处理逻辑问题的一种方法，它将逻辑问题转化为数学问题，从而可以用数学方法来解决。
逻辑代数的基本定律主要包括以下几个方面：1. 同一律同一律是指一个逻辑表达式和它自身相与（或相或）的结果不变。
即A ∧ T = A，A ∨ F = A。
这个定律的意思是，当逻辑表达式与真值或假值相与（或相或）时，结果不变。
例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ T，它与真值T 相与的结果仍然是A。
同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ F，它与假值 F 相或的结果仍然是 A。
2. 恒等律恒等律是指一个逻辑表达式与一个恒等式相与（或相或）的结果相等。
即A ∧ A = A，A ∨ A = A。
这个定律的意思是，当逻辑表达式与一个恒等式相与（或相或）时，结果相等。
例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ A，它与恒等式 A 相与的结果仍然是A。
同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ A，它与恒等式 A 相或的结果仍然是 A。
3. 交换律交换律是指一个逻辑表达式中的两个变量相与（或相或）的顺序可以交换。
即A ∧ B = B ∧ A，A ∨ B = B ∨ A。
这个定律的意思是，当逻辑表达式中的两个变量相与（或相或）时，它们的顺序可以交换。
例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ B，它与表达式B ∧ A 相与的结果是相等的。
同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ B，它与表达式B ∨ A 相或的结果是相等的。
4. 结合律结合律是指一个逻辑表达式中的多个变量相与（或相或）时，可以任意加括号，而结果不变。
即A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C，A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C。
这个定律的意思是，当逻辑表达式中有多个变量相与（或相或）时，可以任意加括号，而结果不变。
例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ (B ∧ C)，它与表达式(A ∧ B) ∧ C 相与的结果是相等的。
02-逻辑代数的基本规则和定律-课件
《脉冲数字电子技术及应用》长沙航空职业技术学院1-3 逻辑代数的基本规则和定律•内容提要：一、逻辑代数的基本定律；二、逻辑代数的基本规则。
一、逻辑代数的基本定律与运算：111 001 010 000=⋅=⋅=⋅=⋅（1）常量之间的关系（2）基本公式0-1律：⎩⎨⎧=⋅=+A A A A 10 ⎩⎨⎧=⋅=+0011A A 或运算：111 101 110 000=+=+=+=+非运算：10 01==互补律： 01=⋅=+A A A A 等幂律：AA A A A A =⋅=+ 双重否定律：AA =分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。
（3）基本定理交换律：⎩⎨⎧+=+⋅=⋅AB B A AB B A 结合律：⎩⎨⎧++=++⋅⋅=⋅⋅)()()()(C B A C B A C B A C B A 分配律：⎩⎨⎧+⋅+=⋅+⋅+⋅=+⋅)()()(C A B A C B A CA B A C B A 反演律（摩根定律）：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=++=⋅BA B A BA B A .利用真值表很容易证明这些公式的正确性。
如证明A·B=B·A ：A B A.B B.A0 00 11 01 100010001(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等幂率AA=A=A(1+B+C)+BC =A+BC 0-1率A+1=1证明分配率：A+BC=(A+B)(A+C)证明：（4）常用公式还原律：⎩⎨⎧=+⋅+=⋅+⋅AB A B A AB A B A )()(证明：))((B A A A B A A ++=+吸收率：⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅+⋅=+⋅⎩⎨⎧=+⋅=⋅+BA B A A BA B A A A B A A A B A A )( )()(1B A +⋅=BA +=分配率A+BC=(A+B)(A+C)互补率A+A=10-1率A ·1=1冗余律：CA AB BC C A AB +=++证明：BCC A AB ++BCA ABC C A AB +++=BCA A C A AB )(+++=互补率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC )1()1(B C A C AB +++=CA AB +=0-1率A+1=1二、逻辑代数的基本规则（1）代入规则例如，已知等式，用函数Y =AC 代替等式中的A ，根据代入规则，等式仍然成立，即有：B A AB +=CB A B AC B AC ++=+=)(任何一个含有变量A 的等式，如果将所有出现A 的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。
逻辑代数的基本定律及规则
逻辑代数的基本定律及规则文章来源：互联网作者：佚名发布时间：2012年05月26日浏览次数： 1 次评论：[已关闭] 功能：打印本文一、逻辑代数相等：假定Ｆ、Ｇ都具有ｎ个相同变量的逻辑函数，对于这ｎ个变量中的任意一组输入，如Ｆ和Ｇ都有相同的输出值，则称这两个函数相等。
在实际中，可以通过列真值表来判断。
二、逻辑代数的基本定律：在逻辑代数中，三个基本运算符的运算优先级别依次为：非、与、或。
由此推出10个基本定律如下：1.交换律Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ；Ａ·Ｂ＝Ｂ·Ａ2.结合律Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ；Ａ·（ＢＣ）＝（ＡＢ）·Ｃ3.分配律Ａ·（Ｂ＋Ｃ）＝ＡＢ＋ＡＣ；Ａ＋ＢＣ＝（Ａ＋Ｂ）·（Ａ＋Ｃ）4.0－1律Ａ＋0＝Ａ；Ａ·1＝ＡＡ＋1＝1 ；Ａ·0＝05.互补律Ａ＋＝1 ；Ａ·＝06.重叠律Ａ·Ａ＝Ａ；Ａ＋Ａ＝Ａ7.对合律＝Ａ8.吸收律Ａ＋ＡＢ＝Ａ；Ａ·（Ａ＋Ｂ）＝ＡＡ＋Ｂ＝Ａ＋Ｂ；Ａ·（＋Ｂ）＝ＡＢＡＢ＋Ｂ＝Ｂ；（Ａ＋Ｂ）·（＋Ｂ）＝Ｂ9.反演律＝·；＝＋10.多余项律ＡＢ＋Ｃ＋ＢＣ＝ＡＢ＋Ｃ；(Ａ＋Ｂ）·（＋Ｃ）·（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）·（＋Ｃ）上述的定律都可用真值表加以证明，它们都可以用在后面的代数化简中。
三、逻辑代数的基本规则：逻辑代数中有三个基本规则：代入规则、反演规则和对偶规则。
1.代入规则：在任何逻辑代数等式中，如果等式两边所有出现某一变量（如Ａ）的位置都代以一个逻辑函数（如Ｆ），则等式仍成立。
利用代入规则可以扩大定理的应用范围。
例：＝＋，若用Ｆ＝ＡＣ代替Ａ，可得＝＋＋2.反演规则：已知函数Ｆ，欲求其反函数时，只要将Ｆ式中所有的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”；“0”换成“1”，“1”换成“0”时，原变量变成反变量，反变量变成原变量，便得到。
逻辑代数中的基本公式、常用公式与基本定理
(1)
(2) A+AB=A
(3)
(4)
1．代入定理：在含有变量A的等式中，将A用一个逻辑表达式代替，等式仍然成立。
2．对偶定理：将某逻辑表达式Y中的与和或对换，0和1对换（所有的“+”运算符都换成“·”，“·”换成“+”，0换成1，1换成0）且保持原来的运算优先顺序，那么就得到一定对偶式 。如果两个逻辑表达式相等，那么它们各自的对偶式也就必然相等。例：
若A·(B+C)=A·B+A·C
则A+BC=(A+B)(A+C
求对偶式时，要保证优先次序不变，否则就会出错。如A+AB=A，求对偶式时如不加括号，得到AA+B=A，从而得到错误的结论：A+B=A
3.反演定理：将某逻辑表达式Y中的与和或对换，0和1对换，原变量和反变量对换，这样得到的表达式就是 。
注意：对偶规则和反演规则的区别：对偶规则不需要将逻辑变量取反，而反演规则重要将逻辑变量取反。
逻辑代数中的基本公式、常用公式与基本定理
基本公式
常用公式
基本定理
（1）基本运算
A·0=0
A·1=A A·A=A
A+0=A A+A=A
A+1=1
（2）交换律
A·B=B·A
A+B=B+A
（3）结合律
A(B·C)=(A·B)·C
A+(B+C)=(A+B)+C
（4）分配律
A·(B+C)=A·B+A·C
(A+B)·(A+C)+A+BC
狄摩根定律在我们日常生活中也有应用，如以下两句话的含意一致的：
逻辑代数基本运算规则和基本定律
逻辑代数基本运算规则和基本定律
逻辑代数（又称布尔代数），它是分析设计逻辑电路的数学工具。
虽然它和普通代数一样也用字母表示变量，但变量的取值只有“0”，“1”两种，分别称为逻辑“0”和逻辑“1”。
这里“0”和“1”并不表示数量的大小，而是表示两种相互对立的逻辑状态。
逻辑代数所表示的是逻辑关系，而不是数量关系。
这是它与普通代数的本质区别。
注意：在逻辑代数中，只有加、乘、非运算，没有减、除、移项运算。
1、逻辑代数基本运算规则
；；；
；；；；。
2、基本定律
交换律
结合律
分配律
―――――注意：普通代数不成立
反演律即摩根定理
可以推广到多变量
可以推广到多变量
吸收律。
逻辑代数基本公式
逻辑代数基本公式逻辑代数是一种用于逻辑项的数学工具。
在逻辑代数中，有许多基本公式，这些公式是我们进行逻辑运算必须掌握并灵活运用的工具。
首先，我们要介绍逻辑代数的基本运算符：与（∧）、或（∨）、非（¬）。
其中，“与”表示两个命题都成立的情况，“或”表示两个命题中至少有一个成立的情况，“非”则是指命题的否定。
接下来，我们要介绍逻辑代数的基本公式：1.德摩根定律德摩根定律是逻辑代数中最经典的公式之一。
它的形式如下：（¬A）∨（¬B）=¬（A∧B）（¬A）∧（¬B）=¬（A∨B）这个定律的意义在于，将“非”运算符从一个命题移到另一个上时，必须同时改变并置换“与”和“或”运算符。
例如：“既不是A也不是B”等价于“不是（A和B）”。
2.分配律分配律的形式如下：A∧（B∨C）=（A∧B）∨（A∧C）A∨（B∧C）=（A∨B）∧（A∨C）分配律在进行逻辑运算时非常实用。
例如，可以将一个复杂的命题转化为一个简单的命题，从而更容易理解。
3.结合律结合律的形式如下：（A∧B）∧C=A∧（B∧C）（A∨B）∨C=A∨（B∨C）结合律指的是，多个有相同运算符的命题可以成员结合在一起。
例如，（A∧B）∧C 等价于A∧（B∧C）。
4.交换律交换律的形式如下：A∧B=B∧AA∨B=B∨A交换律指的是命题中多个项之间可以交换位置，而不影响命题的结论。
例如，A∧B 等价于B∧A。
5.对偶原理对偶原理是基于真值表同构的，它用于将一个表达式的真值表中0 和 1 互换，统称为互为对偶。
其公式如下：¬(A∧B) = ¬A ∨ ¬B¬(A∨B) = ¬A ∧ ¬B其中，左侧是原式，右侧是公式的对偶形式。
逻辑代数中的这些基本公式，可以帮助我们更加容易地进行逻辑运算，简化逻辑命题，并且在实践中具有广泛的应用。
我们应该认真学习这些公式，并对其进行灵活的运用。
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A
(1)
B C
D
& ≥1
P
A
(2)
B C
D
+P
A
B
(3) C
P
D
与或非逻辑
复合逻辑符号
2.1 逻辑代数
(4) 同或逻辑 P A ·B A B AB
若两个输入变量的值相同，输出为1，否则为0。
0
“和之积”式：
1
P ( A B C )( A B C )
1
1
( A B C )( A B C )
1
例 2-1 真值表
方法一：把每个输出为1的一组输入变量组合状态以逻辑乘 形式表示（原变量表示取值1，反变量表示取值0），再将所有 的这些逻辑乘进行逻辑加。这种表达式称为与－或表达式，或 称为“积之和”式。
P A B AB
方法二：把每个输出为0的一组输入变量组合状态以逻辑加 形式表示（原变量表示取值0，反变量表示取值1），再将所有 的这些逻辑加进行逻辑乘。这种表达式称为或－与表达式，或 称为“和之积”式。
P (A B)(A B)
2.1 逻辑代数
例1： 列出下列问题的真值表，并写出描述该问题的逻辑函数表
达式。有A、B、C ３个输入信号，当３个输入信号中有两个或两
个以上为高电平时，输出高电平，其余情况下，均输出低电平。
解：根据题意可得到如右所示的
真值表：
A
0
“积之和”式：
0
0
P ABC ABC ABC ABC
&
A
P
≥1 P A
1
P
B
B
过去适用的符号
(2) A
A P
+ PA
P
B
B
国外常用的符号
(3)
A B
P
A B
PA
P
与逻辑符号
或逻辑符号
非逻辑符号
基本逻辑的逻辑符号
逻辑门电路：能实现基本逻辑关系的基本单元电路。 如与门、或门、非门（反相器）等。
2.1 逻辑代数
2.1.2 基本逻辑运算 １．逻辑加（或运算） 运算规则： 0 + 0 = 0
运算规则： 0 ·0 = 1 0 ·1 = 0
一般形式： A ·0 = A A ·1 = A
1 ·0 = 0 1 ·1 = 1
A ·A = 0 A ·A = 1
同或逻辑真值表
A
B
P
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
A =1
(1) B
P
(2) A B
·P
(3)
A B
P
同或逻辑
复合逻辑符号
2.1 逻辑代数
(5) 异或逻辑 P A B A B A B
P = A +Ｂ
一般形式： A + 0 = A
0+1=1
A+1=1
1+0=1
A+A=A
1+1=1
２．逻辑乘（与运算） P = A ·Ｂ
运算规则： 0 ·0 = 0 0 ·1 = 0 1 ·0 = 0 1 ·1 = 1
一般形式： A ·1 = A A ·0 = 0 A ·A = A
2.1 逻辑代数
３．逻辑非（非运算） P = A
若两个输入变量的值相异，输出为1，否则为0。
运算规则： 0 + 0 = 0
一般形式： A + 0 = A
0+ 1= 1
A + 1=A
1+ 0= 1
A + A=1
1+ 1= 0
A + A=0
异或逻辑真值表
A
B
P
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
(1) A =1
P
B
(2) A B
P
(3)
A B
P
异或逻辑
复合逻辑符号
2.1 逻辑代数
2.1.1 基本逻辑
１．与、或、非三种基本逻辑关系
(1) 与逻辑关系 与逻辑关系：只有当决定某一事件的条件全部具备 时，这一事件才会发生。
S1
S2
电源
灯
与逻辑举例
与逻辑举例状态表
开关S1
开关S2
灯
断
断
灭
断
合
灭
合
断
灭
合
合
亮
2.1 逻辑代数
(2) 或逻辑关系 或逻辑关系：只要在决定某一事件的各种条件中，有一个
2.1 逻辑代数
2.1.3 真值表与逻辑函数
求解给定逻辑命题的逻辑函 数表达式。
a
A
b
B
第一步：消化逻辑命题并列 写真值表。
c
d
～
楼道灯开关示意图
楼道灯开关状态表和真值表
(a)
(b)
开关 A
开关 B
灯
A
B
P
c
d
亮
c
b
灭
a
d
灭
0
0
1
0
1
0
1
0
0
a
b
亮
1
1
1
2.1 逻辑代数
第二步：由真值表写逻辑函数表达式。
西安邮电学院“校级优秀课程”
数字电路与逻辑设计
第二章 逻辑函数及其简化
第二章 逻辑函数及其简化
2.1 逻辑代数 2.2 逻辑函数的简化
第二章 逻辑函数及其简化
2.1.1 基本逻辑 2.1.2 基本逻辑运算 2.1.3 真值表与逻辑函数 2.1.4 逻辑代数的基本定律 2.1.5 三个规则 2.1.6 常用公式 2.1.7 逻辑函数的标准形式
非逻辑真值表
A
P
0
1
1
0
2.1 逻辑代数
(2) 数学表达式描述法
与逻辑： P = A ·Ｂ 又称为与运算或逻辑乘。
运算符。若不致混淆，可省略。
或逻辑： P = A +Ｂ 又称为或运算或逻辑加。
非逻辑： P = A
读作“A非” 或“非A” 。
2.1 逻辑代数
(3) 逻辑符号描述法
现行国家标准
A (1)
两输入变量或非 逻辑真值表
A
B
P
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
A ≥1
(1) B
P
A
(2) B +
P
A (3) B
P
或非逻辑
复合逻辑符号
2.1 逻辑代数
(3) 与或非逻辑 P = A ·B + C ·D
2-2输入变量与或非逻辑真值表
AB
C
D
P
00
0
0
1
00
0
1
1
00
1
0
1
00
1
1
0
01
0
0
1
01
0
1
1
01
运算规则： 0 = 1
1 =0
４．复合逻辑运算
(1) 与非逻辑 P = A ·B
两输入变量与非 逻辑真值表
A
B
P
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
一般形式： A = A A+A=1 A ·A = 0
(1) A &
P
B
(2) A
P
B
(3)
A B
P
与非逻辑
复合逻辑符号
2.1 逻辑代数
(2) 或非逻辑 P = A +B
或几个条件具备时，这一事件就会发生。
S1 S2
电源
或逻辑举例
或逻辑举例状态表
开关S1
开关S2
灯
灯
断
断
灭
断
合
亮
合
断
亮
合
合
亮
2.1 逻辑代数
(3) 非逻辑关系 非逻辑关系：事件发生的条件具备时，事件不会发生；事
件发生的条件不具备时，事件发生。
非逻辑举例状态表
电源
灯
开关S
灯
断
亮
非逻辑举例
合
灭
2.1 逻辑代数
２．基本逻辑关系在逻辑代数中的描述
(1) 真值表描述法
真值表：用状态变量和取值可以列出表示三种基本逻辑关系的 图表。在逻辑代数中用字母表示逻辑变量，逻辑变量在二值逻 辑中只有0和1两种取值，以代表两种不同的逻辑状态。
与逻辑真值表
AB
P
00
0
01
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ10
0
11
1
或逻辑真值表
AB
P
00
0
01
1
10
1
11
1