【高中数学课件】人教A版必修四课件：第一章单元视域下的起始课教学--以三角函数起始课《任意角》为例
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高一数学人教A版必修4课件：第一章 三角函数
19
跟踪训练3 已知定义在(－∞，3]上单调减函数f(x)使得f(1＋
sin2x)≤f(a－2cos x)对一切实数x都成立，求a的取值范围.
解 根据题意，对一切x∈R都成立，有：
1＋sin2x≤3
a－2cos x≤3
a－2cos x≤1＋sin2x
sin2x≤2
⇔a≤2cos x＋3
22
或
(舍)
b＝－10.
都不满足a的范围，舍去.
综上所述，a＝2，b＝－2.
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18
反思与感悟 转化与化归的思想方法是数学中最基本 的数学思想方法.数学中一切问题的解决都离不开转化 与化归.上述解答将三角函数问题转化为熟悉的二次函 数在闭区间上的最＝2，
ex－1，x≥0.
则 a 的值为( )
A.1
B.1，－
2 2
C.－
2 2
解析 ∵f(1)＝e1－1＝1，∴f(a)＝1.
当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1，
D.1，
2 2
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14
∴a－1＝0，∴a＝1；
当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa2)＝1，
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5
以下，在同一坐标系中作函数 y＝2sin2x＋π6和函数 y＝lg x 的示 意图如图所示：
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6
∵f(x)的最大值为 2，令 lg x＝2，得 x＝100，令1112π＋kπ<100(k∈Z)， 得 k≤30(k∈Z)，而1112π＋31π>100，∴在区间(0,100]内有 31 个形如 1112π＋kπ，1172π＋kπ(k∈Z,0≤k≤30)的区间，在每个区间上 y＝f(x) 与 y＝lg x 的图象都有 2 个交点，故这两个函数图象在1112π，100上 有 2×31＝62 个交点，另外在0，1112π上还有 1 个交点，
人教版高一数学 A版 必修4 教学课件：第一章 《1.6 三角函数模型的简单应用》
高度为 h＝10sin 1π5t＋12(t≥0).
1234
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高 度不小于17 m. 解 由 10sin 1π5t＋12≥17，得 sin 1π5t≥12， 则52≤t≤225. 故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.
(2)为使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段1100的时间内电流I能同时 取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
解 问题等价于 T≤1100，即2ωπ≤1100，也即 ω≥200π，
故最小正整数为ω＝629.
例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的
海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化， 每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安 全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船 在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内 停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
解 由题意，得水深y≥4.5＋7， 即y＝3sin π6t＋10≥11.5，t∈[0,24]，
A.没有根
B.有且仅有一个根
C.有且仅有两个根
D.有无穷多个根
1234
2.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在 圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦 AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
(
解析 d＝f(l)＝2sin 2l . 答案 C
1234
跟踪训练2 下图表示电流I与时间t的函数关系式：I＝Asin(ωt＋
φ)
π |φ|<2
在同一周期内的图象.
1234
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高 度不小于17 m. 解 由 10sin 1π5t＋12≥17，得 sin 1π5t≥12， 则52≤t≤225. 故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.
(2)为使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段1100的时间内电流I能同时 取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
解 问题等价于 T≤1100，即2ωπ≤1100，也即 ω≥200π，
故最小正整数为ω＝629.
例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的
海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化， 每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安 全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船 在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内 停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
解 由题意，得水深y≥4.5＋7， 即y＝3sin π6t＋10≥11.5，t∈[0,24]，
A.没有根
B.有且仅有一个根
C.有且仅有两个根
D.有无穷多个根
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2.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在 圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦 AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
(
解析 d＝f(l)＝2sin 2l . 答案 C
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跟踪训练2 下图表示电流I与时间t的函数关系式：I＝Asin(ωt＋
φ)
π |φ|<2
在同一周期内的图象.
人教版高一数学 A版 必修4 教学课件：第一章 《1.3 三角函数的诱导公式》
解
∵cos(π＋α)＝－cos
α＝－
3 5
，∴cos
α＝
3 5
，
∵π<α<2π，∴32π<α<2π，∴sin α＝－45.
∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)
＝－sin(π－α)＋(－cos α) ＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos＝α－) －45＋35＝15.
综上，原式＝－1.
1234
1234
2sinα＋nπcosα－nπ
3.证明：
＝(－1)ncos α，n∈Z.
sinα＋nπ＋sinα－nπ
证明 当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，
2sinα＋2kπcosα－2kπ 左边＝
sinα＋2kπ＋sinα－2kπ
＝ 2sin αcos sin α＋sin
αα＝2si2nsαincoαs
tan(π＋α)＝－－yx＝yx.
诱导公式二
sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
思考3 公式二有何作用？ 答 第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数，例如：
sin 76π＝－sin π6＝－12，cos 54π＝－ 22， tan 240°＝ 3.
是[0,2π)内的角的三角函数，转化为[0,2π)内的角的三 角函数，或先将负角转化为正角后再转化到0，π2 范围内 的角的三角函数值.
跟踪训练1 求下列三角函数值. (1)sin－463π； 解 sin－463π＝－sin 463π＝－sin(6π＋76π) ＝－sin 76π＝－sinπ＋π6＝sin π6＝12；
第一章 三角函数
新版高中数学人教A版必修4课件：第一章三角函数 1.4.3
【变式训练 4】 (1)函数 y=tan
-
1 3
������
+
π 6
的周期是___.
(2)已知函数 y=tan
������������
+
π 3
的周期是 6π, 则������ = ___.
解析:(1)函数的周期为 T=
π -13
= 3π.
(2)由
T=
π |������|
,
得6π=
π |������|
π 8
<
2π 7
<
π 2
,
且y=tan
x在
0,
π 2
内单调递增,
∴tan
2π 7
>
tan
π8,
∴-tan
2π 7
<
−tan
π 8
,
即tan
19π 7
<
tan
238π.
D 典例透析 IANLI TOUXI
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
D 典例透析 IANLI TOUXI
反思求函数y=Atan(ωx+φ),A≠0,ω>0的定义域和单调区间,可以通 过解不等式的方法去解答:把“ωx+φ(ω>0)”看作一个整体,借助正切 函数的定义域和单调区间来解决.若ω<0,则先利用诱导公式将x的 系数变为正值再求解.
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
人教A版高中数学必修四课件高一第一章三角函数.pptx
图象图正象弦特曲征线、余弦曲线、正切曲线
三角函数
三角函数的图象与性质
周奇期偶性性 性质
单调性
最大、最小值
A，ω，φ对函数图象的影响
函数y＝Asinωx＋φ的图象 图象画法五变点换法法
三角函数模型的简单应用
专题突破
专题一 正弦函数与余弦函数的对称性问题 正弦函数 y＝sinx，余弦函数 y＝cosx，在教材中已研究了 它们的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．除了上述有 关内容之外，近年来有关正弦函数、余弦函数等对称性问题在 高考中有所出现，有必要对其作进一步的探讨．
已知 tanθ＝ 2，求： (1)ccoossθθ＋ －ssiinnθθ； (2)sin2θ－sinθcosθ＋2cos2θ. [分析] 由于(1)、(2)中的三角函数都是齐次式，可考虑 “弦”化“切”，然后代入求值即可．
[解析] (1)∵tanθ＝ 2，∴cosθ≠0，
∴ccoossθθ＋ －ssiinnθθ＝11－＋ccssooiinnssθθθθ＝11＋ －ttaannθθ＝11＋ －
专题二 三角函数的值域与最值问题 求三角函数的值域(最值)可分为几类：(1)是 y＝Asin(ωx＋ φ)＋k 类型的，应利用其图象与性质、数形结合求解．(2)是可 化为以三角函数为元的二次函数类型，应确定三角函数的范 围，再用二次函数求解．(3)利用几何意义求解等．
已知函数 y＝asin(2x＋π6)＋b 在 x∈[0，2π]上的值域 为[－5,1]，求 a、b 的值．
设函数 f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数
f(x)不存在零点的是( )
A．[－4，－2]
B．[－2,0]
C．[0,2]
D．[2,4]
高中数学人教A版(课件)必修四 第一章 三角函数 1.4.1
2．准确画出图象是解决此类问题的关键，同时要注意相关问题的求解．
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[再练一题] 4．求下列方程解的个数： (1)方程 x2－cos x＝0 的实数解的个数是__________． (2)方程 sin x＝lg x 的解的个数是__________． 【解析】 (1)作函数 y＝cos x 与 y＝x2 的图象，如图所示，
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1．求 f(x)－Asin x＝0(A≠0)或 f(x)－Acos x＝0(A≠0)的根的个数，运用数形 结合，转化为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于 y＝－1 与 y＝1 之间，只需考虑－A≤f(x)≤A 的 x 的范围，在该范围内 f(x)的图 象与 Asin x 或 Acos x 的图象的交点的个数即方程根的个数．
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[再练一题]
2．用“五点法”作出下列函数的简图．
y＝－sin x(0≤x≤2π)． 【解】 列表如下：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sin x 0
1
0
－1
0
－sin x 0 －1
0
1
0
描点、连线，如图所示．
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正弦(余弦)函数图象的应用
写出不等式 sin x≥12的解集． 【精彩点拨】 解答本题可利用数形结合，分别画出 y＝sin x 和 y ＝12的图象，通过图象写出不等式的解集． 【自主解答】 在同一坐标系下，作函数 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象以 及直线 y＝12. 由函数的图象知， sinπ6 ＝sin56π＝12.
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[再练一题] 4．求下列方程解的个数： (1)方程 x2－cos x＝0 的实数解的个数是__________． (2)方程 sin x＝lg x 的解的个数是__________． 【解析】 (1)作函数 y＝cos x 与 y＝x2 的图象，如图所示，
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1．求 f(x)－Asin x＝0(A≠0)或 f(x)－Acos x＝0(A≠0)的根的个数，运用数形 结合，转化为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于 y＝－1 与 y＝1 之间，只需考虑－A≤f(x)≤A 的 x 的范围，在该范围内 f(x)的图 象与 Asin x 或 Acos x 的图象的交点的个数即方程根的个数．
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[再练一题]
2．用“五点法”作出下列函数的简图．
y＝－sin x(0≤x≤2π)． 【解】 列表如下：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sin x 0
1
0
－1
0
－sin x 0 －1
0
1
0
描点、连线，如图所示．
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正弦(余弦)函数图象的应用
写出不等式 sin x≥12的解集． 【精彩点拨】 解答本题可利用数形结合，分别画出 y＝sin x 和 y ＝12的图象，通过图象写出不等式的解集． 【自主解答】 在同一坐标系下，作函数 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象以 及直线 y＝12. 由函数的图象知， sinπ6 ＝sin56π＝12.
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高中数学人教A版(课件)必修四 第一章 三角函数 1.4.3
阶
阶
段
段
一
三
1.4.3 正切函数的性质与图象
学
业
阶
分
段
层
二
测
评
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1．能画出正切函数的图象．(重点) 2．掌握正切函数的性质．(重点、难点) 3．正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点)
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[基础·初探] 教材整理 1 正切函数的图象 阅读教材 P43 倒数第二行至 P44 思考以上内容，完成下列问题． 1．正切函数的图象：
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ππ
π
(2)令 kπ－ 2 <x＋ 4 <kπ＋ 2 ，k∈Z，
得 kπ－34π<x<kπ＋π4 ，
即 y＝tanx＋π4 的单调增区间为
kπ－34π，kπ＋π4 ，k∈Z. 【答案】 (1)xx≠kπ2 ＋38π，k∈Z
(2)kπ－34π，kπ＋π4 ，k∈Z
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(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
π
π
又∵ 2 <2<π，∴－ 2 <2－π<0，
π
π
∵ 2 <3<π，∴－ 2 <3－π<0，
显然－π2 <2－π<3－π<1<π2 ，
且 y＝tan x 在－π2 ，π2 内是增函数，
∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即 tan 2<tan 3<tan 1.
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阶
段
段
一
三
1.4.3 正切函数的性质与图象
学
业
阶
分
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测
评
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1．能画出正切函数的图象．(重点) 2．掌握正切函数的性质．(重点、难点) 3．正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点)
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[基础·初探] 教材整理 1 正切函数的图象 阅读教材 P43 倒数第二行至 P44 思考以上内容，完成下列问题． 1．正切函数的图象：
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ππ
π
(2)令 kπ－ 2 <x＋ 4 <kπ＋ 2 ，k∈Z，
得 kπ－34π<x<kπ＋π4 ，
即 y＝tanx＋π4 的单调增区间为
kπ－34π，kπ＋π4 ，k∈Z. 【答案】 (1)xx≠kπ2 ＋38π，k∈Z
(2)kπ－34π，kπ＋π4 ，k∈Z
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(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
π
π
又∵ 2 <2<π，∴－ 2 <2－π<0，
π
π
∵ 2 <3<π，∴－ 2 <3－π<0，
显然－π2 <2－π<3－π<1<π2 ，
且 y＝tan x 在－π2 ，π2 内是增函数，
∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即 tan 2<tan 3<tan 1.
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高中数学(新课标人教A版)必修4_第一章三角函数精品课件...
1)图象作法--- 几何法 五点法
2)正弦曲线、余弦曲线
y
-4 -3
-2
1 ( 2 ,1)
(0,0)
( ,0)
( 2 ,0)
- o
2
3
4
-1
3
( 2 ,-1)
y
-4 -3
-2
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
o专(-12业,0课) 件，( 精,彩-(12)无,限0)！2
2
2 专业课件，精彩无限！
32
应用提升
例3.求函数y tan x 1 的定义域 3 tan x
例4.试讨论函数y loga tan x的单调性
专业课件，精彩无限！
33
小结回顾
正切函数的基本性质
专业课件，精彩无限！
34
课后作业
1．书本P45练习，做书上. 2．P46习题A组6,7,8,9；B组2 做本子上
2
2
2
专业课件，精彩无限！
9
作业：P46 A组： 1; B组：1
作下列函数的简图 ⑴ y=|sinx|， ⑵y=sin|x|
选做：用“五点法”作函数：
y 3sin(2x ) 1 的简图
3
专业课件，精彩无限！
10
1.4.2 正、余弦函数的性质
专业课件，精彩无限！
11
要点回顾. 正弦曲线、余弦函数的图象
二.周期性： 函数y Asin(x )和y Acos(x )，x R的周期T 2
| | 三.奇偶性：
y sin x为奇函数，图像关于原点对称；
y cos x为偶函专数业课件图，精像彩无限关！ 于y轴对称。 21
人教版高一数学 A版 必修4 教学课件：第一章 《1.4.3 正切函数的性质与图象》
明目标、知重点
例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小. (1)tan－65π与 tan－173π； 解 ∵tan－65π＝tan－π－π5＝tan－π5， tan－173π＝tan－2π＋π7＝tan π7， 又函数 y＝tan x 在－π2，π2上是增函数，
而－π2<－π5<π7<π2. ∴tan－π5<tan π7，即 tan－65π<tan－173π.
y＝tan x
图象 定义域
{x|x∈R，且 x≠kπ＋π2，k∈Z}
值域 周期 奇偶性
单调性 在开区间
R 最小正周期为 π
奇函数
kπ－π2，kπ＋π2 (k∈Z)
内递增
对称性
对称中心 (k2π，0)(k∈Z) ，无对称轴
探要点·究所然 情境导学
三角函数包括正弦、余弦函数和正切函数，我们已经研究了 正弦、余弦函数的图象和性质， 因此， 进一步研究正切函 数的图象与性质就成为学习的必然.你能否根据研究正弦、 余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数 的图象及性质？
思考2 根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？正 切函数图象有何对称性？ 答 从正切函数的图象来看，正切曲线关于原点对称；从诱导公
式来看，tan(－x)＝－tan x.故正切函数是奇函数.
正切函数图象是中心对称图形，对称中心有无数多个，它们的坐 标为 k2π，0(k∈Z).
思考3 观察下图中的正切线，当角x在－π2，π2 内增加时，正
第一章 三角函数
§1.4 三角函数的图象与性质
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小. (1)tan－65π与 tan－173π； 解 ∵tan－65π＝tan－π－π5＝tan－π5， tan－173π＝tan－2π＋π7＝tan π7， 又函数 y＝tan x 在－π2，π2上是增函数，
而－π2<－π5<π7<π2. ∴tan－π5<tan π7，即 tan－65π<tan－173π.
y＝tan x
图象 定义域
{x|x∈R，且 x≠kπ＋π2，k∈Z}
值域 周期 奇偶性
单调性 在开区间
R 最小正周期为 π
奇函数
kπ－π2，kπ＋π2 (k∈Z)
内递增
对称性
对称中心 (k2π，0)(k∈Z) ，无对称轴
探要点·究所然 情境导学
三角函数包括正弦、余弦函数和正切函数，我们已经研究了 正弦、余弦函数的图象和性质， 因此， 进一步研究正切函 数的图象与性质就成为学习的必然.你能否根据研究正弦、 余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数 的图象及性质？
思考2 根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？正 切函数图象有何对称性？ 答 从正切函数的图象来看，正切曲线关于原点对称；从诱导公
式来看，tan(－x)＝－tan x.故正切函数是奇函数.
正切函数图象是中心对称图形，对称中心有无数多个，它们的坐 标为 k2π，0(k∈Z).
思考3 观察下图中的正切线，当角x在－π2，π2 内增加时，正
第一章 三角函数
§1.4 三角函数的图象与性质
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
人教A版高中数学必修四课件：第一章 1.4.2(一) 三角函数的图象与性质(共40张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 3:59:36 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
• You have to believe in yo
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 3:59:36 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
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核心素养是精神、观念、思想与方法，通俗地讲，就是那些很 多年后宏观留下的进入到学生灵魂深处的东西，因此与之相适 应的应该是注重整体一致与逻辑连贯的教学。正是因为单元教 学能满足这些需求，目前各个学科不约而同地提出单元教学。
《普通高中数学课程标准（2017年）》采用了“内容主线—— 内容主题——核心内容”的课程结构，充分体现了数学的结构性 和系统性。所以宜在单元视域下进行设计教学，以充分体现数学 知识的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、 思维的系统性，促进核心素养的生成。
单元视域下的起始课教学
——以三角函数起始课《任意角》为例
目录
01 问 题 的 提 出 02 单 元 视 域 下 的 起 始 课 教 学 探 索 03 单 元 P K 课 时 教 学 视 角 的 案 例 设 计 与 思 考 04 研 究 过 程 碰 到 的 困 难 与 设 想
01 问题的提出
1.1从“知识、能力本位”走向“素养本位”
规定逆时针的广角（是提正出课角题，：顺任意
时针的角是负角角）合。理你准吗备，从为哪些角
什么这么规定度？对为角什进行么推还广要呢？
引入零角的概念？
在今后的学习中， 我们经常要把角放 到平面直角坐标进 行讨论。那么角怎 样放到平面直角坐 标中比较方便呢？
今后学习为什 么要把角放在 平面直角坐标 系中？
你能用描述法来表
3.4 教学设计思路
知识线索
周而复 始规律
抽象出 几何模型
质点作圆周 运动
抽象出 数学模型
B
要素研究；
提出研 要素与要素的关系； 三角 究内容 函数关系；
函数
三角函数性质；
三角函数应用。
要素 自变量
寻求数的表示
建立平台
将角放在
O
A
类
任意角 比
简洁统一、
平面直角 坐标系中
刻画周而复始、
终边的有序排列
3.1课时教学视角 3.2疑问及原因分析 3.3问题背后的根本原因分析
3.4单元教学视角
3.1课时教学视角
问题1 初中时我们定义的角是怎样的呢？角的范围是什么？
问题2 假如你的手表慢了15分钟，你准备怎么将它校准呢？ 假如你的手表快了15分钟，你准备怎么将它校准呢？假如 你的手表快了1小时15分钟，又怎么将它校准呢？
问题4 在今后的学习中，我们经常要把角放到平面直角坐 标进行讨论。那么角怎样放到平面直角坐标中比较方便呢？
练习：（1） -300，-150，-60，60，210，300，420 角分别是第几象限角？哪些角的终边相同？ （2）与 30 角终边相同的角有哪些，你能罗列几个吗？它们之间有什么关系？与 30 角终边相同
2.4起始课教学与后续课时教学的衔接
如果把起始课的主要任务看成是制定方案、设计安装GPS，那 么后续课时的教学任务就是操作执行。我们在操作执行时既要从单 元整体角度全盘考虑，又要注意后续课时与起始课、相邻课时教学 的衔接。
如果作为一名经验丰富的老司机，也就是拥有了GPS又善于操作， 那么他的整体性做的比较好，就是老教师已经具备了一定的单元 教学思想。
没有让学生感受 没有与正负数表示相反意义 没有让学生意
原 到学习本章知识 的量进行类比、与平面直角 识到引进平面
因 的必要性，因此 坐标系逆时针为正方向类比， 直角坐标系是
分 没法从函数的角 说明规定的合理性；
为了统一、简
析 度让学生感受到
洁，便于分类
角的概念推广的
管理与刻画周
必要性；
而复始；
环
节
的角及 30 可构成一个集合，你能用描述法来表示这个集合 S 吗？
问题 5 你能用描述法来表示与 终边相同的角的集合 S 吗？
3.2 疑问
研究新对象有 章可循吗？
问题1
问题2
问题3
问题4
问题5
初中时我们定义的 角是怎样的呢？如 何表示角？角的范 围是怎样的？出现 了哪几类角？
是为了研究角 才把角的概念 作进一步的推 广吗？
内容及 其解析
学生 认知 分析
单元视
单元
域起始
内容
课设计
目标及 其解析
教学环 境分析
内容及 其解析
理解数学
（一）知识产生的背景 （二）知识生长的过程与阶段 （三）知识建构的策略与方法 （四）知识间的联系与结构 （五）知识的要点与本质 （六）知识的学科意义与教学价值
目标及 其解析
理解教学
（一）单元教学目标 （二）课时教学目标
问题5
疑 经归纳得到的
问
结论为什么就 是正确的？
没有让学生认
原 识到终边相同 因 角的关系归纳 分 之所以正确的 析 背后是数、形
两个方面的阐
释；
研究新对象有 章可循吗？
没有形成概念 学习的基本套 路。
3.3 疑问背后的根本原因
进一步思考根本原因，设计者注重从知识技能角度考 虑，没有注重研究问题的思路与方法、建构知识的策略与 方法，没有把本节内容放在单元、起始课的角度去思考， 没有考虑到本节课与本单元、与其它单元之间的逻辑联系， 对数学的精神、思想和方法重视不够。
01 问题的提出
1.1从“知识、能力本位”走向“素养本位”
01
1.2单元教学更利于核心素养的生成 1.3单元教学的实施难点在起始课 1.4起始课的教学功能应重新定位
1.2单元教学更利于核心素养的生成
过去与发展知识技能相适应的“低起点、小步子、多活动、勤反 馈”策略，已经不能适应发展学生的核心素养了。
假如你的手表慢了15 实际生活中，我们还能
分钟，你准备怎么将 遇到很多类似的情景，
它校准呢？假如你的 比如体操运动员转体2
手表快了15分钟，你 准备怎么将它校准呢？ 假如你的手表快了1
周，转体3周，齿轮被 动轮与主动轮的有相反
小时15分钟，又怎么 的转动方向……这些都
Hale Waihona Puke 将它校准呢？需要对角的概念进行推
在明晰单元目标（内容）的基础上，通常我们要明确三个主要问题 （确立目标、导向目标、评价目标），经过研究，我们认为在教学上还应 该细化成如下8点： 学生应该去哪里？——学习内容及其教学价值分析； 学生最终要到哪里？——学习目标设计； 学生如何到达目的地？——学习过程设计； 教师（学生）如何检测学生（自己）是否到达了目的地？——学习评价设计； 教师如何保证整个行动方案的可靠性与有效性？——教学设计评估。 学生能够去哪里？——学生学习基础与学习潜能分析； 学生是在怎样的境脉中去的？——学习环境与学习条件分析； 教师如何帮助学生到达目的地？——学习指导设计。
01
1.2单元教学更利于核心素养的生成 1.3单元教学的实施难点在起始课 1.4起始课的教学功能应重新定位
1.1从“知识、能力本位”走向“素养本位”
随着社会的发展，对人的综合能力要求随之也提高了。
教育部印发了《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任 务的意见》，要求我们由研究知识传授转向研究全程育人、 综合育人、全面育人，也就是从学科教学走向学科教育，确 立了以发展学生的核心素养为目标。
如何设计、安装理想的“GPS”呢？这其实就是起始课的 设计、教学问题。
01 问题的提出
1.1从“知识、能力本位”走向“素养本位”
01
1.2单元教学更利于核心素养的生成 1.3单元教学的实施难点在起始课 1.4起始课的教学功能应重新定位
1.4起始课的教学功能应重新定位
过去我们注重知识技能教学，将起始课定位于每一 章的第一节课，就课论课，对章引言、章头图关注较少， 把一章的内容当成每一课时的简单叠加。教学过程注重 局部、细节，重在逐个解决眼前面临的小问题，接受教 材或是教师的思维结果，这样的教学效益是低下的，需 要给予重新定位。
01 问题的提出
1.1从“知识、能力本位”走向“素养本位”
01
1.2单元教学更利于核心素养的生成 1.3单元教学的实施难点在起始课 1.4起始课的教学功能应重新定位
1.3单元教学的实施难点在起始课
万事开头难、良好的开端是成功的一半，用在单元教学上， 说明了实施的难点是起始课，而起始课又很重要。
起始课能为整章的教学起到路线规划、导航定位的作用，相 当于汽车GPS的功能。安装了GPS的起始教学能让后续课时 教学近似于“傻瓜式”操作，避免让我们走弯路，而且能加 强整体认识、协调彼此之间的联系。
追问：这里涉及的角跟以前学过的角有什么区别呢？
问题3 实际生活中，我们还能遇到很多类似的情景，比如 体操运动员转体2周，转体3周，齿轮被动轮与主动轮的有 相反的转动方向……这些都需要对角的概念进行推广（提 出课题：任意角）。你准备从哪些角度对角进行推广呢？
我们规定，按逆时针方向旋转形成的角为正角， 按顺时针方向旋转形成的角为负角， 如果一条射线没有作任何旋转，则形成零角。
任意角的建构过程
任意角的建模过程
观察、分类
象限角
观察 终边相 从特殊到一般
同的角 数、形阐述 S =｛| =360 k+，k Z｝
在后续课时教学中我们可以从如下四个方面突出单元教学思想： 基于知识辩证、逻辑地发展提出问题，基于知识发展的内在联系 性和整体性剖析问题，基于方法一致性突破研究难点，基于新旧 知识的关系提出后续研究的问题。（具体案例可参看发表在《中 小学数学》2019.7-8《单元视域下的课时教学》）
03
单元PK课时 教学视角的案例设计与思考
02 单元视域下的起始课教学探索
2.1明确起始课的教学功能与定位 2.2以单元为单位进行教学分析与总体设计 2.3以“四大”统领设计起始课教学 2.4起始课教学与后续课时教学的衔接
2.3以“四大”统领设计起始课教学
单元视域下的起始课突出和强化“四大”，即大背景、大 问题、大框架、大思路，在导航系统（先行组织者）、内容系 统（文本）、助学系统（生本）方面发挥重要作用。
《普通高中数学课程标准（2017年）》采用了“内容主线—— 内容主题——核心内容”的课程结构，充分体现了数学的结构性 和系统性。所以宜在单元视域下进行设计教学，以充分体现数学 知识的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、 思维的系统性，促进核心素养的生成。
单元视域下的起始课教学
——以三角函数起始课《任意角》为例
目录
01 问 题 的 提 出 02 单 元 视 域 下 的 起 始 课 教 学 探 索 03 单 元 P K 课 时 教 学 视 角 的 案 例 设 计 与 思 考 04 研 究 过 程 碰 到 的 困 难 与 设 想
01 问题的提出
1.1从“知识、能力本位”走向“素养本位”
规定逆时针的广角（是提正出课角题，：顺任意
时针的角是负角角）合。理你准吗备，从为哪些角
什么这么规定度？对为角什进行么推还广要呢？
引入零角的概念？
在今后的学习中， 我们经常要把角放 到平面直角坐标进 行讨论。那么角怎 样放到平面直角坐 标中比较方便呢？
今后学习为什 么要把角放在 平面直角坐标 系中？
你能用描述法来表
3.4 教学设计思路
知识线索
周而复 始规律
抽象出 几何模型
质点作圆周 运动
抽象出 数学模型
B
要素研究；
提出研 要素与要素的关系； 三角 究内容 函数关系；
函数
三角函数性质；
三角函数应用。
要素 自变量
寻求数的表示
建立平台
将角放在
O
A
类
任意角 比
简洁统一、
平面直角 坐标系中
刻画周而复始、
终边的有序排列
3.1课时教学视角 3.2疑问及原因分析 3.3问题背后的根本原因分析
3.4单元教学视角
3.1课时教学视角
问题1 初中时我们定义的角是怎样的呢？角的范围是什么？
问题2 假如你的手表慢了15分钟，你准备怎么将它校准呢？ 假如你的手表快了15分钟，你准备怎么将它校准呢？假如 你的手表快了1小时15分钟，又怎么将它校准呢？
问题4 在今后的学习中，我们经常要把角放到平面直角坐 标进行讨论。那么角怎样放到平面直角坐标中比较方便呢？
练习：（1） -300，-150，-60，60，210，300，420 角分别是第几象限角？哪些角的终边相同？ （2）与 30 角终边相同的角有哪些，你能罗列几个吗？它们之间有什么关系？与 30 角终边相同
2.4起始课教学与后续课时教学的衔接
如果把起始课的主要任务看成是制定方案、设计安装GPS，那 么后续课时的教学任务就是操作执行。我们在操作执行时既要从单 元整体角度全盘考虑，又要注意后续课时与起始课、相邻课时教学 的衔接。
如果作为一名经验丰富的老司机，也就是拥有了GPS又善于操作， 那么他的整体性做的比较好，就是老教师已经具备了一定的单元 教学思想。
没有让学生感受 没有与正负数表示相反意义 没有让学生意
原 到学习本章知识 的量进行类比、与平面直角 识到引进平面
因 的必要性，因此 坐标系逆时针为正方向类比， 直角坐标系是
分 没法从函数的角 说明规定的合理性；
为了统一、简
析 度让学生感受到
洁，便于分类
角的概念推广的
管理与刻画周
必要性；
而复始；
环
节
的角及 30 可构成一个集合，你能用描述法来表示这个集合 S 吗？
问题 5 你能用描述法来表示与 终边相同的角的集合 S 吗？
3.2 疑问
研究新对象有 章可循吗？
问题1
问题2
问题3
问题4
问题5
初中时我们定义的 角是怎样的呢？如 何表示角？角的范 围是怎样的？出现 了哪几类角？
是为了研究角 才把角的概念 作进一步的推 广吗？
内容及 其解析
学生 认知 分析
单元视
单元
域起始
内容
课设计
目标及 其解析
教学环 境分析
内容及 其解析
理解数学
（一）知识产生的背景 （二）知识生长的过程与阶段 （三）知识建构的策略与方法 （四）知识间的联系与结构 （五）知识的要点与本质 （六）知识的学科意义与教学价值
目标及 其解析
理解教学
（一）单元教学目标 （二）课时教学目标
问题5
疑 经归纳得到的
问
结论为什么就 是正确的？
没有让学生认
原 识到终边相同 因 角的关系归纳 分 之所以正确的 析 背后是数、形
两个方面的阐
释；
研究新对象有 章可循吗？
没有形成概念 学习的基本套 路。
3.3 疑问背后的根本原因
进一步思考根本原因，设计者注重从知识技能角度考 虑，没有注重研究问题的思路与方法、建构知识的策略与 方法，没有把本节内容放在单元、起始课的角度去思考， 没有考虑到本节课与本单元、与其它单元之间的逻辑联系， 对数学的精神、思想和方法重视不够。
01 问题的提出
1.1从“知识、能力本位”走向“素养本位”
01
1.2单元教学更利于核心素养的生成 1.3单元教学的实施难点在起始课 1.4起始课的教学功能应重新定位
1.2单元教学更利于核心素养的生成
过去与发展知识技能相适应的“低起点、小步子、多活动、勤反 馈”策略，已经不能适应发展学生的核心素养了。
假如你的手表慢了15 实际生活中，我们还能
分钟，你准备怎么将 遇到很多类似的情景，
它校准呢？假如你的 比如体操运动员转体2
手表快了15分钟，你 准备怎么将它校准呢？ 假如你的手表快了1
周，转体3周，齿轮被 动轮与主动轮的有相反
小时15分钟，又怎么 的转动方向……这些都
Hale Waihona Puke 将它校准呢？需要对角的概念进行推
在明晰单元目标（内容）的基础上，通常我们要明确三个主要问题 （确立目标、导向目标、评价目标），经过研究，我们认为在教学上还应 该细化成如下8点： 学生应该去哪里？——学习内容及其教学价值分析； 学生最终要到哪里？——学习目标设计； 学生如何到达目的地？——学习过程设计； 教师（学生）如何检测学生（自己）是否到达了目的地？——学习评价设计； 教师如何保证整个行动方案的可靠性与有效性？——教学设计评估。 学生能够去哪里？——学生学习基础与学习潜能分析； 学生是在怎样的境脉中去的？——学习环境与学习条件分析； 教师如何帮助学生到达目的地？——学习指导设计。
01
1.2单元教学更利于核心素养的生成 1.3单元教学的实施难点在起始课 1.4起始课的教学功能应重新定位
1.1从“知识、能力本位”走向“素养本位”
随着社会的发展，对人的综合能力要求随之也提高了。
教育部印发了《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任 务的意见》，要求我们由研究知识传授转向研究全程育人、 综合育人、全面育人，也就是从学科教学走向学科教育，确 立了以发展学生的核心素养为目标。
如何设计、安装理想的“GPS”呢？这其实就是起始课的 设计、教学问题。
01 问题的提出
1.1从“知识、能力本位”走向“素养本位”
01
1.2单元教学更利于核心素养的生成 1.3单元教学的实施难点在起始课 1.4起始课的教学功能应重新定位
1.4起始课的教学功能应重新定位
过去我们注重知识技能教学，将起始课定位于每一 章的第一节课，就课论课，对章引言、章头图关注较少， 把一章的内容当成每一课时的简单叠加。教学过程注重 局部、细节，重在逐个解决眼前面临的小问题，接受教 材或是教师的思维结果，这样的教学效益是低下的，需 要给予重新定位。
01 问题的提出
1.1从“知识、能力本位”走向“素养本位”
01
1.2单元教学更利于核心素养的生成 1.3单元教学的实施难点在起始课 1.4起始课的教学功能应重新定位
1.3单元教学的实施难点在起始课
万事开头难、良好的开端是成功的一半，用在单元教学上， 说明了实施的难点是起始课，而起始课又很重要。
起始课能为整章的教学起到路线规划、导航定位的作用，相 当于汽车GPS的功能。安装了GPS的起始教学能让后续课时 教学近似于“傻瓜式”操作，避免让我们走弯路，而且能加 强整体认识、协调彼此之间的联系。
追问：这里涉及的角跟以前学过的角有什么区别呢？
问题3 实际生活中，我们还能遇到很多类似的情景，比如 体操运动员转体2周，转体3周，齿轮被动轮与主动轮的有 相反的转动方向……这些都需要对角的概念进行推广（提 出课题：任意角）。你准备从哪些角度对角进行推广呢？
我们规定，按逆时针方向旋转形成的角为正角， 按顺时针方向旋转形成的角为负角， 如果一条射线没有作任何旋转，则形成零角。
任意角的建构过程
任意角的建模过程
观察、分类
象限角
观察 终边相 从特殊到一般
同的角 数、形阐述 S =｛| =360 k+，k Z｝
在后续课时教学中我们可以从如下四个方面突出单元教学思想： 基于知识辩证、逻辑地发展提出问题，基于知识发展的内在联系 性和整体性剖析问题，基于方法一致性突破研究难点，基于新旧 知识的关系提出后续研究的问题。（具体案例可参看发表在《中 小学数学》2019.7-8《单元视域下的课时教学》）
03
单元PK课时 教学视角的案例设计与思考
02 单元视域下的起始课教学探索
2.1明确起始课的教学功能与定位 2.2以单元为单位进行教学分析与总体设计 2.3以“四大”统领设计起始课教学 2.4起始课教学与后续课时教学的衔接
2.3以“四大”统领设计起始课教学
单元视域下的起始课突出和强化“四大”，即大背景、大 问题、大框架、大思路，在导航系统（先行组织者）、内容系 统（文本）、助学系统（生本）方面发挥重要作用。