一元函数极限
一元函数极限的求法
一元函数极限的求法一元函数的极限就是在函数定义域内某一点处接近这个点时，函数取值的趋势。
在数学分析中，极限是一个十分重要的概念，它用于定义连续性、收敛与发散、导数和积分等重要概念。
对于一元函数的极限的求法，我们可以通过直接代入法、极限的四则运算法则、夹挤定理以及极限的极限转换法等多种方法进行求解。
1. 直接代入法直接代入法是最基础的求解一元函数极限的方法，即将自变量的值逐渐逼近极点，观察函数在这个点附近的取值趋势，将自变量的取值代入函数中，求函数在该点的取值。
例如：求函数$f(x)=\dfrac{x-1}{x+3}$在$x=2$处的极限。
解：将$x=2$代入得$f(2)=\dfrac{1}{5}$，因此，$x=2$时$f(x)$的极限为$\dfrac{1}{5}$。
2. 极限的四则运算法则此法则是求解一元函数极限中的基本规则。
对于两个已知极限的函数进行加减、乘除运算时，可以直接套用极限的四则运算法则。
例如：求函数$f(x)=\dfrac{sinx}{x}$在$x=0$处的极限。
解：$lim_{x \to 0}\dfrac{sinx}{x}=lim_{x \to0}\dfrac{sinx}{x}\cdot\dfrac{1}{cosx}=lim_{x \to 0}\dfrac{sinx}{x}\cdot lim_{x \to 0}\dfrac{1}{cosx}=1$，因此，$x=0$时$f(x)$的极限为$1$。
3. 夹挤定理当我们需要求一个函数在某一点处的极限值时，有时我们并不知道函数在该点处是否存在极限，因此我们引入夹挤定理，即用两个已知的存在极限的函数挤压住需要求的函数，从而求出该函数的极限值。
例如：求函数$f(x)=x^2sin\dfrac{1}{x}$在$x=0$处的极限。
解：$\lim_{x \to 0}(-x^2) \leq \lim_{x \to 0} x^2sin\dfrac{1}{x} \leq \lim_{x \to 0} x^2$。
一元函数极限的求法
一元函数极限的求法可以利用洛必达法则求极限运用洛必达法则应注意以下几点首先要注意条件,也即是说,在没有化为时不可求导。
应用洛必达法则，要分别求分子分母的导数，而不是求整个分式的导数。
要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。
当不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。
拓展:函数极限则有趋于无穷的定义：设f为定义在[a,+∞)上的函数，A为定数.若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x>M时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f当x 趋于+∞时以A为极限，记作：lim(x->+∞)f(x)=A. 对应的有趋于负无穷和趋于无穷的定义。
一元函数求极限的方法有：等价无穷小代换; 洛必达法则; 无穷小和有界函数的乘积仍为无穷小; 连续函数的极限值等于其函数值。
极限的定义:在数与数集之间,如果存在一个数使得这个数的所有有限次幂都小于或等于它自身,则称这个数为该数集的极限。
扩展资料：一元函数的定义域1. 一元函数是指只有自变量的连续变化过程而没有因变量变化的连续变化过程的集合。
例如直线上的点p1、p2、...、pn称为点1至点n关于直线l的一个端点组成的集合体——线段l1,l2,...,lm称为线段1的长度段L1,L2。
2. 点1至点n之间的长度关系是线段长度关系的特殊情况之一,因此我们说线段的长度关系中包含了点1至点和N的距离之间的关系——也就是包含了点1-N 的距离的关系。
3. 在平面直角坐标系中画一条水平线M1(m),将水平线上的所有点在M1(m)上标出后连成一条射线S1。
设S1=s0,S2=s1,S3=s2......Sn=s3,则M1(m)叫做点到线的距离单位A1。
数学分析中的一元函数极限与无穷小量
在数学分析中，一元函数的极限是一个核心概念。
它帮助我们理解函数在某一点附近的行为，并且是数学证明的基础。
与极限概念密切相关的是无穷小量。
本文将通过讨论一元函数的极限与无穷小量的概念与性质，来探索数学分析中这一重要主题。
首先，让我们来定义一元函数的极限。
设函数f(x)定义在某一点a的某个领域内，如果对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立，那么称函数f(x)在点a处的极限为L。
这个定义可以直观地解释为，当自变量x足够接近点a时，函数值f(x)也足够接近L。
我们用“lim(x→a)f(x) = L”表示函数f(x)在点a处的极限。
极限的性质是数学分析中的重要内容。
首先，函数在某一点的极限唯一，也就是说，如果lim(x→a)f(x)存在，则它是唯一确定的。
其次，函数在点a处的极限与f(a)的取值无关。
也就是说，lim(x→a)f(x)的取值只与f(x)在点a附近的值有关，与f(a)本身无关。
这个性质使得我们能够通过研究极限来理解函数的行为。
最后，如果lim(x→a)f(x) = L，那么对于函数f(x)的所有无穷小量x-a而言，它们的函数值f(x)也是无穷小量，且lim(x→a)f(x) = L。
接下来，我们来讨论无穷小量的概念。
如果函数f(x)在点a处的极限为0，那么称函数f(x)在点a处为无穷小量。
无穷小量在数学分析中有着重要的作用。
首先，我们可以通过无穷小量来定义导数。
具体地说，如果函数f(x)在点a处的极限为0，那么函数f(x)在点a处的导数为lim(x→a)(f(x)-f(a))/(x-a)。
其次，无穷小量具有线性性质，也就是说，如果函数f(x)和g(x)在点a处都是无穷小量，那么它们的线性组合af(x) + bg(x)在点a处也是无穷小量。
这个性质为我们在分析问题时提供了便利。
从极限与无穷小量的概念与性质出发，我们可以进一步研究函数的连续性、可导性以及其它更高级的数学概念。
一元函数中的极限与连续性
一元函数中的极限与连续性在学习高中数学的时候，我们曾经学过一元函数的极限和连续性。
这两个概念对于后续的学习和应用有着至关重要的作用。
在这篇文章中，我们就来深入探讨一元函数中的极限与连续性。
一、极限的定义首先我们来了解一下什么是“极限”。
在数学中，极限是一个无限逼近的过程。
通过逼近，可以得到一个数或者一个函数的极限值。
当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值也将趋近于一个特定的值。
这个特定的值就是“极限”。
二、极限的性质接下来我们来看一下一元函数的极限有哪些性质。
1. 极限的唯一性在一元函数中，一个函数只能有一个极限。
如果存在两个不同的极限，那么这个函数在这个点就不存在极限。
2. 极限的局部有界性如果函数在一个点存在极限，那么这个点的邻域内函数的取值是有界的。
3. 夹逼定理夹逼定理是一元函数的极限中比较重要的一个定理。
如果函数f(x)在点x0的左侧存在一个函数g(x)，在点x0的右侧存在一个函数h(x)，并且g(x) <= f(x) <= h(x)，那么当x趋近于x0时，g(x)和h(x)的极限值都是L，那么f(x)在x0处的极限也是L。
4. 无穷小与无穷大当x趋近于无穷大或者无穷小的时候，函数f(x)的值可能趋近于0或者正无穷或者负无穷。
这些数被称为无穷小或者无穷大。
如果一个函数在x趋近于某一点时的极限是一个无穷大或者无穷小，那么这个点就被称为函数的瑕点。
三、连续性的定义接下来我们来了解一下一元函数的连续性。
在数学中，函数在某个点处连续，就是指这个点的极限存在并且等于函数在这个点的取值。
四、连续性的性质现在我们来了解一下一元函数的连续性有哪些性质。
1. 极限的连续性如果一个函数在某个点处连续，那么这个点的极限也一定存在。
反之，如果一个点的极限存在，那么这个点不一定连续。
2. 介值定理介值定理是连续性中的一个重要定理。
如果f(x)在[a,b]上连续，且f(a)和f(b)的符号不同，那么在(a,b)上一定存在一点c，使得f(c)=0。
一元函数极限与连续,可导的定义归纳
一元函数极限与连续,可导的定义归纳一、 函数在x 趋近于0x 时，单侧极限的定义：设函数()y f x =在点0x 的某个左邻域00(,)x x ρ-有定义(0)ρ>。
如果存在实数B ，对于任意给定的0ε>，可以找到一个δ(0)δρ<<，使得当00x x δ-<-<时，成立()f x B ε-<则称B 是函数()y f x =在点0x 处的左极限，记为0lim ()()x x f x f x B --→==. 类似地，如果函数()y f x =在点0x 的某个右邻域00(,)x x ρ+有定义(0)ρ>.并且存在实数C ，对于任意给定的对于任意给定的0ε>，可以找到一个δ(0)δρ<<，使得当00x x δ<-<时，成立()f x C ε-<则称C 是函数()y f x =在点0x 处的右极限，记为0lim ()()x x f x f x C ++→==.二、 函数在x 趋近于0x 时的极限的定义：设函数()y f x =在点0x 的某个去心邻域有定义，即存在0ρ>使00(,)\{}f U x x D ρ⊂.如果存在实数A ，对于任意的0ε>,可以找到一个δ(0)δρ<<,使得当00x x δ<-<时，成立()f x A ε-<则称A 是函数()y f x =在点0x 处的极限，记为lim ()x x f x A →=.或()f x A → 0()x x →注：在x 趋近于0x 时函数极限：0lim ()x x f x A →=的定义中，函数必须要满足自变量x 不管是从左边还是从右边趋近于0x ，函数值y 最后都趋近于A ，也就是当lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==，才有 0lim ()x x f x A →=用文字来表述：左极限与右极限同时存在并相等（等于A ），才能说函数存在极限，并且极限为A .我们把这个结论说得强一点：左右极限同时存在并相等是函数在x 趋近于0x 时有极限的充分必要条件。
求一元函数极限的若干种方法
求一元函数极限（含数列）的若干种方法内容摘要：极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究分析方法的重要理论基础。
我们知道，许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和以及广义积分等都是用极限来定义的。
因此掌握好求极限的方法就显得非常重要。
其中二元函数的极限是在一元函数的基础上发展起来的,二者既有联系也有区别。
本文通过部分例题的解析,以详细介绍一元函数极限的求法为主。
归纳了常用的十种求极限方法, 即: 运用极限的定义证明；利用等价无穷小量代换和初等变形来求极限；用两个重要的极限来求函数的极限；利用变量替换求极限；利用迫敛性定理来求极限；利用洛比达法则求函数的极限；利用泰勒公式求极限；利用微分中值定理和积分中值定理求极限；利用积分定义求极限；求极限其他常用方法。
并列举了大量的实例加以说明。
关键词：迫敛性定理中值定理洛必达法则A number of ways to seek a function limit (including the number of columns)Abstract：The limit is a very important concept in mathematical analysis, it is an important theoretical basis for research and analytical methods. We know that many important concepts such as continuity, derivative, definite integral, infinite series and generalized integral to define the limit. Therefore it is very important to master well limit.The limits of the function of two variables is on the basis of the function of one variables, the two have connection and have distinction. This article through the part of example analysis, to introduce the limit of the function of one variables. Summarizes the ten ways: Using the definition of the limits of proof; equivalent Infinitesimal Substitution and the primary deformation; two important limits to seek the limits of functions; variable substitution; the squeeze theorem; L'Hospital Rule; the Taylor formula; the mean value theorem and the integral mean value theorem to the limit; using the integral definition; other commonly used methods.And cited a number of examples to illustrate.Key words：The squeeze theorem Mean Value Theorem L'Hospital Rule目录1 综述 (1)1.1引言 (1)1.2极限的定义 (1)1.3极限问题的类型和方法概述 (1)2 常见的极限求解方法 (2)2.1运用极限的定义证明（估计法） (2)2.2利用等价无穷小量代换和初等变形来求极限 (3)2.3用两个重要的极限来求函数的极限 (6)2.4利用变量替换求极限 (7)2.5利用迫敛性来求极限 (8)2.6利用洛比达法则求函数的极限 (8)2.7利用泰勒公式求极限 (13)2.8利用微分中值定理和积分中值定理求极限 (14)2.9利用积分定义求极限 (14)2.10求极限其他常用方法 (17)3结论 (17)参考文献 (18)求一元函数极限（含数列）的若干种方法1综述1.1 引言极限的思想方法作为人类发现数学问题并解决数学问题的一种重要手段，随着科学技术的不断发展，社会生产力的不断提高，在数学的发展史上将发挥越来越重要的作用。
一元函数极限的概念
一元函数极限的概念一元函数极限是数学中的一个重要概念，也是微积分的基础。
它描述的是当自变量趋于某个值时，函数的取值会趋于的一个特定值。
通过观察和计算函数的极限，我们可以得出函数在这个点附近的特性和性质。
下面，我们将分步骤来阐述一元函数极限的概念。
1. 定义一元函数极限是指当自变量x趋近某个数a时，函数f(x)的极限值L。
即 $\lim_{x\rightarrow a} f(x) = L$。
这里，a被称为极限的趋近点，L被称为极限值。
如果这个极限值存在，我们就称这个函数在a处收敛。
否则，它就是发散的。
2. 解析式计算某些函数的极限可以通过代入趋近点并直接计算来得到。
例如下面这个函数在1处的极限：$f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} , x \neq 1$我们可以将x=1代入函数中，得到：$f(1) = \frac{1^2-1}{1-1} = \frac{0}{0}$这个结果很奇怪，分母为0意味着这个函数在x=1处不连续。
但是，如果我们对这个函数进行简化，可以得到：$f(x) = x+1$现在我们可以将x=1代入这个简化后的函数中，得到：$\lim_{x\rightarrow 1} f(x) = \lim_{x\rightarrow 1} (x+1) = 2$这个例子告诉我们，如果我们不能直接计算出一个函数在某点的极限，那么我们需要通过一些方式来简化、转化它，使得我们能够计算。
3. 图像解释另一种方法是通过观察函数的图像来推断它的极限。
例如下面这个函数在x=0处的极限：$f(x) = \frac{\sin x}{x}$我们可以通过画出这个函数的图像来观察x趋近0时f(x)的变化趋势。
从图中的红色线可以看出，当x趋近0时，函数值始终在0附近震荡，而不是稳定地趋近于某个特定值。
这意味着这个函数在x=0处没有极限。
4. 极限的性质一元函数极限有一些重要的性质：（1）唯一性。
如果一个函数在某点处有极限，那么这个极限值是唯一的。
一元函数的极限存在准则与极限运算法则
一元函数的极限存在准则与极限运算法则在数学中，一元函数的极限存在准则和极限运算法则是研究函数极限的重要内容。
理解和运用这两个准则和法则，可以帮助我们更好地理解一元函数的极限，解决相关问题。
本文将详细介绍一元函数的极限存在准则和极限运算法则，并通过例子加以说明。
一、极限存在准则极限存在准则是指在某个区间上的函数，如果满足柯西收敛准则或者Bolzano-Weierstrass定理，那么该函数就存在极限。
1. 柯西收敛准则柯西收敛准则是指函数收敛的严格条件，即对于任意正数ε，存在正数δ，使得当x满足0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
其中，a为某个实数，L为极限值。
这一准则要求函数在无穷接近于极限时的差值趋近于零，函数值和极限值的差值趋近于零。
换言之，当自变量x无限接近于a时，函数值f(x)也无限接近于L。
2. Bolzano-Weierstrass定理Bolzano-Weierstrass定理是指有界实数集合必有收敛子列。
对于函数而言，如果一个函数在某个区间上有界，并且该区间上有无穷个变量值，那么该函数必定存在极限。
Bolzano-Weierstrass定理可以简单解释为：如果一个函数在某个区间上无限变化，并没有趋于无穷大或无穷小，那么该函数在该区间上一定存在极限。
通过柯西收敛准则和Bolzano-Weierstrass定理，我们可以判断一元函数在某个区间上是否存在极限，进而帮助我们求解一元函数的极限值。
二、极限运算法则极限运算法则是指一元函数的极限运算中满足的一些基本规则，可以帮助我们更好地计算和理解极限。
1. 四则运算法则根据四则运算法则，给定两个函数f(x)和g(x)，当它们的分母项在某点a处的极限存在且不为零时，有以下几个结论：- 两个函数的和的极限等于各自函数的极限之和：lim[x→a](f(x)+g(x)) = lim[x→a]f(x) + lim[x→a]g(x)- 两个函数的差的极限等于各自函数的极限之差：lim[x→a](f(x)-g(x)) = lim[x→a]f(x) - lim[x→a]g(x)- 两个函数的乘积的极限等于各自函数的极限之积：lim[x→a](f(x)·g(x)) = lim[x→a]f(x) · lim[x→a]g(x)- 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商，若lim[x→a]g(x) ≠ 0：lim[x→a](f(x)/g(x)) = lim[x→a]f(x) / lim[x→a]g(x)这些四则运算法则为我们计算一元函数的极限提供了方便和便捷的方法。
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（3）幂指型代换： lim(1 ) lim(1 ' ) ' .
●
lim( x e x )
x 0
x 0
1 x
(1 )
1 x
lim[1 (e x 1 x )]
lim(1 2 x ) e 2
x 0
1 x
数学中的典型例题与技巧
●
(1 x ) e e lim lim x 0 x 0 x
(1 x ) 1 x
( 1)
2! ( 1)( n 1) n x o( x n ) n!
x2
1 2 n n 1 x x x o( x ) 1 x
x lim [( x x )e x 6 1] x 2 1 x 解 x , ( x 3 x 2 )e x 2 x 1 1 1 1 3 2 ( x x )[1 o( 3 )] 2 3 2 x 2! x 3! x x 1 x 1 x 1 1 2 3 2 3 x x x x o x(1 o)( 3 ) 2 2 2 2 3! x 1 1 1 1 3 6 3 3 o ( )] x 1 x 1 6 x [1 x o(1) 6 6 2x x x
( 3) arcsin 2 x 2 arcsin x
(arcsin 2 x 2 arcsin x )' 2 2 2 2 1 x 1 4 x 2 2 2 1 4x 1 x 1 4x2 1 x2
数学中的典型例题与技巧
1 x2 1 4x2 (arcsin 2 x 2 arcsin x )' 2 1 4x2 1 x2
数学中的典型例题与技巧
ln ax lim ln( x ln a ) ln x 0 x ln a
2 ln a lim ln( x ln a ) x 0 ln x ln a
2 ln a lim (ln x ln ln a ) x 0 ln x ln a
f ' (1) 2 f ' (1) 6 f ' (1) 9
数学中的典型例题与技巧
●
( 2 tan x )10 ( 2 sin x )10 10 10 2 lim x 0 sin x
设f ( x ) ( 2 x )10 , f ( x ) 10( 2 x )9 ,
利用Lagrange中值定理知
( 2 tan x ) ( 2 sin x )
10
10
10( 2 x )9 (tan x sin x )
10( 2 x )9 (tan x sin x ) 故原式 lim x 0 sin x
n n
n
n
f ( xn ) 1 f ( x n ) f ( 0) f ' ( 0) lim lim n n x 0 2nx 2n 2n x 0 x
数学中的典型例题与技巧
●
设函数f ( x )在[0, )内具有二阶正的连续导数，且 f (0) f (0) 0, 求 lim xf ( u) , 其中u是曲线y f ( x ) x 0 0 uf ( x )
1 1 x 1 ~ ( x 2 ) 2 ~ 2[( 1 x 2 1) ( 1 4 x 2 1)] 1 2 2 1 4 x 1 ~ ( 4 x ) 2 ~ 3x 2
2
~ 2( 1 x 2 1 4 x 2 )
arcsin 2 x 2 arcsin x ~ x 3
数学中的典型例题与技巧
第三讲 一元函数极限中的典型例题与技巧
◆ L-Hospital 法则 ◆ 等价无穷小替换 ◆ 带Peano型余项Taylor公式 ◆ 两个重要极限 ◆ 极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理 ◆ 其它：利用导数或微分的定义、微分中值定理、 定积分的概念、广义积分的收敛性等
数学中的典型例题与技巧
加减运算中慎用等价无穷小替换
数学中的典型例题与技巧 ◆带Peano型余项Taylor公式 常用的带Peano型余项Taylor公式
2 n x x ex 1 x o( x n ) 2! n!
2 n 1 x3 x5 x sin x x ( 1) n o( x 2 n1 ) 3! 5! ( 2n 1)!
上列各式中等号的意义为“左边等于右边”，而反之不 然
数学中的典型例题与技巧
●
设x 0时，e tan x e x与x n 是同阶无穷小， 则n ____
提示：利用Taylor公式可以寻找等价无穷小
e tan x e x e x [e tan x x 1] ~ tan x x
在( x , f ( x ))处的切线在x轴上的截距.
f ( x) 分析：u x f '( x )
1 2 x [ f ( ) u ] xf ( u) lim lim 2! x 0 0 uf ( x ) x 0 0 1 u[ f ( ) x 2 ] 2!
f ( )u u lim lim x 0 0 f ( ) x x 0 0 x
1 1 1 1 x lim x 0 2 2x
故原式 e
1 2
数学中的典型例题与技巧
●
设f ( x )可导，且 f (0) 0, F ( x ) 0 t
x n 1
f ( x n t n )dt ,
F ( x) 求 lim 2 n . x 0 x 1 x F ( x ) 0 f ( x n t n )d( x n t n ) n x t u 1 x 1 0 x f ( u)du 0 f ( u)du n n 1 n n 1 f ( x ) nx F ( x) F '( x ) n lim 2 n lim lim x 0 x x 0 2nx 2 n1 x 0 2nx 2 n1
◆ 其它：利用导数或微分的定义、微分中值定理、 定积分的概念、广义积分的收敛性等
●
若函数f ( x )在x 1处可导，且f (1) 1, 则
f (1 x ) f (1 2 sin x ) 2 f (1 3 tan x ) lim x 0 x
f (1 x ) f (1) f (1 2 sin x ) f (1) lim lim x 0 x 0 x x 2 f (1) 2 f (1 3 tan x ) lim x 0 x
,分别在(0, u)和(0, x )内
数学中的典型例题与技巧
解：
f ( x) x f ( x) u f ( x ) lim [1 ] lim lim x 0 0 x 0 0 x x 0 0 xf ( x ) x
f ( x) f ( x ) lim lim x 0 0 xf ( x ) x 0 0 f ( x ) xf ( x )
0型
ln ax ln a ln x 1, x ln x ln a ln a
ln ax ln ax 2 ln a ln ax 1 ln 1 ( ln 1) ~ x x x ln x ln a ln ln ln a a a
f ( x ) (0) 1 f x lim x 0 0 f ( x ) f ( x ) 2 f (0) 2 x
数学中的典型例题与技巧
◆
等价无穷小替换
两对等价无穷小 ~ ' , ~ ' , 有 ' （1）分式型代换： lim lim ； ' （2）乘积型代换： lim lim ' , 其中是给定的因变量；
2 ln a
数学中的典型例题与技巧
●
求当x 0时, 以下各量的等价无穷小.
1 3 (1) tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x 2
( 2) arctan(sin x ) x ~ tan(arctan (sin x ) x )
sin x tan x 1 3 ~ sin x tan x ~ x 1 sin x tan x 2
1 x
ln( 1 x ) x
x
e lim e[e
x 0
ln( 1 x ) 1 x
1]
x
ln(1 x ) 1 ln(1 x ) x e x e lim e lim 2 x 0 x 0 x x 2
●
x
lim
x (e x ( x 1) xlim
1 x
ln x x
1)
lim
x
ln x lim ln x 0 x x x x
●
ln ax (a 1) lim ln( x ln a ) ln x 0 x ln a
数学中的典型例题与技巧
2n x2 x4 x6 x cos x 1 ( 1) n o( x 2 n ) 2! 4! 6! ( 2n)!
x x x ln(1 x ) x ( 1) o( x ) 2 3 n1
2 3 n1 n n1
数学中的典型例题与技巧
数学中的典型例题与技巧 求极限的常用方法 ◆ 等价无穷小替换+带Peano型余项Taylor公式 ◆ L-Hospital 法则 ◆ 其它：利用导数或微分的定义、微分中值定理、 定积分的概念、广义积分的收敛性等 ◆ 两个重要极限 ◆ 极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理