计算方法第八章矩阵特征值计算
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数值分析—矩阵特征值问题的数值计算
( vk +1 )i vk = α1 x1 , lim = λ1 . k k →∞ λ k →∞ ( v ) k i 1
lim
可见，当 k 充分大时， vk 近似于主特征向量（相差一个常数倍） ， vk +1 与 vk 的对应非零分 量的比值近似于主特征值。 在实际计算中，需要对计算结果进行规范化。因为当 λ1 <1 时， vk 趋于零；当 λ1 >1 时 ， vk 的 非 零 分 量 趋 于 无 穷 ， 从 而 计 算 时 会 出 现 下 溢 或 上 溢 。 为 此 ， 对 向 量
λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λn ,
∑x y
i =1 i
n
i
为向量 x 和 y 的内积。
定理 8.3 设 A 为 n 阶实对称矩阵，其特征值都为实数，排列为 对应的特征向量 x1 , x2 ,L , xn 组成正交向量组，则有 1) 对任何非零向量 x ∈ R n ，有 λn ≤ R( x) ≤ λ1 ， 2) λ1 = max R ( x) = R( x1 ) ，
Ζ = ( z1 , z2 ,L, zn )T ∈ R n ， 记 max( Ζ) = zi ，其中 zi = Ζ ∞ ，这样， 我们有 如 下 乘幂 法 的实 用
的计算公式： 任取 v0 = u0 ≠ 0 ，对于 k = 1, 2,L 分别计算 vk = Auk −1 , uk = vk / max(vk ). 求出对应矩阵的主特征向量和特征值的近似值，有下面的定理。 定理 8.4
m1 0 M = 0 0 0
称为质量矩阵，而
0 m2 0 0 0
0 0 m3 0 0
0 0 0 m4 0
0 0 0 0 m5 0 0 −k4 k 4 + k5 − k5 0 0 0 − k5 k5
8 矩阵的特征值和特征向量的计算
由上可见经过7次迭代, m7的值已稳定到小数后5位，故所 求的按模最大特征值和对应的特征向量可取作：
1 44 . 9995 , x 1 (1, 0 . 333 , 0 . 6667 )
T
（2）反幂法
基本思路： 设A没有零特征值，则A非奇异，即A的逆阵存 在，设的特征值为 1 2 n 0 其对应的特征向量为 2 , 3 , , n 因为 A xk = k xk
8.2 按模最大与最小特征值的计算
(1)幂法
定理：设矩阵A的特征值为
1 2 n
并设A有完全的特征向量系 1 , 2 , , n (它们线性无关)， 则对任意一个非零向量V0Rn 所构造的向量序列 V AV
k k 1
有
lim
(V k ) j (V k 1 ) j
k j 1 k 1 j
若按上述计算过程，有一严重缺点，当|1|>1 （或| 1 |<1时） {Vk}中不为零的分量将随K的增大而无限增大，计算机就可 能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢），因此，在实 际计算时，须按规范法计算，每步先对向量Vk进行“规范 化”， 即取Vk中绝对值最大的一个分量记作 mk =max(Vk )，用mk遍除的所有向量Vk ，得到规范化向量。 为说明上述算法的正确性，我们试证明下述定理 定理二：在定理一的条件下,规范化向量序列{uk}收敛于 矩阵A按模最大的特征值1对应的特征向量,而向量序列 {Vk}的绝对值最大的分量mk收敛于1,即
k k k k
1 [ 1 1
k
i k i( ) i] 1 i2
n
同理可得 V k 1 1 [ 1 1 i (
第八章矩阵特征值计算1
1 0 0 .9
0 3 1 5 10 . 19 19 9 2 9 9 5 .8 2 .2 4 3
定理 9 ( Schur 定理 ) 设 A R r11 T U AU r12 r22
的根称为 A 的 特征值 . ( A ) 表示 A 的所有特征值的集合
(1.1) .
设 为 A 的 特征 值 , 相应的齐次方程组 ( I A ) x 0 的非零解 x 称为 A 的对应于 (1.2)
的 特征向量 .
例1
2 求A 1 0
1 3 1
0 1 的特征值及其特征向量 2
nn22211211已知定义12211特征多项式的所有特征值的集合表示的根称为的特征方程的对应于称为常数的特征值向量则是对应的非零特征的特征值是矩阵的特征值是矩阵1211iiiimm均为方阵其中每个对角块为分块上三角阵亏损矩阵定义2个数少于线性无关的特征向量的且其对应的重特征值有一个如果线性无关对应的特征向量个线性无关的特征向量具有的充要条件是的特征向量为对应于向量使得存在正交矩阵圆盘为半径的为圆心以为复平面上以gerschgoriijii某个圆盘之中一个特征值必属于下列个圆盘分离与其余个圆盘构成一个连通域个圆盘中有如果上述的结果质获得特征值的进一步改变根据相似矩阵性和连通性有时可使某些圆盘半径适当选取得到选取非奇异对角矩阵的特征值的范围估计1211的特征值schuriinn1211的两个共轭复特征值的两个特征值是二阶时为一阶时其中当iiiiiiiimm定义4rayleigh对于任一非零向量阶实对称阵定理定理11
定理8 ( Gerschgori
n 圆盘定理
) (1) 设 A ( a ij ) n n , 则 A 的每
第8章矩阵特征值计算
(2) 如果 A∈Rn×n 有 m 个(m≤n)不同的特征值 λ1 ,λ2 ,…,λm , 则对应的特征向 量 x1 ,x2 ,…xm 线性无关.
5
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
定理 7(对称矩阵的正交约化) 设 A∈Rn×n 为对称矩阵，则 (1) A 的特征值均为实数； (2) A 有 n 个线性无关的特征向量； (3) 存在一个正交矩阵 P 使得
定理 8 (Gerschgorin 圆盘定理) (1) 设 A=(aij)n×n ,则的每一个特征值必属于下属某个圆盘之中
n
| aii | ri
| aij |
j 1, j i
或者说, A 的特征值都在复平面上 n 个圆盘的并集中. (2) 如果 A 有 m 个圆盘组成一个连通的并集 S, 且 S 与余下 n-m 个圆盘 是分
uk
vk
k
vk1 Auk
if
vk1 vk
输出vk 1和k
26
数例值分1析：利用幂法求下列矩阵A 的模 第82章 矩1阵特0征值计算
最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1
(取初始向量为 v0 (1 1 1)T )
0 1 4
解：Step0
0 u0
v1
vv00
1
(1
0
Au0 (3
1
10
数值分析
D2 :
第8章 矩阵特征值计算
n
| | r2 | a2 j | 2 j 1 j2
D3 :
n
| 4 | r3 | a3 j | 2 j 1 j3
由上述定理结论可知A的三个特征值位于 三个圆盘的并集中，
11
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
计算方法第八章矩阵特征值计算
R(vk
)
( Avk , vk ) (vk , vk )
1
o
2 1
2k
由幂法迭代向量 uk , 得
max(
uk
)
1
o
2 1
k
23
3 反幂法 (1) 计算矩阵按模最小特征值
反幂法是用幂法计算矩阵A的逆矩阵 A1 按模最大
特征值的方法，即计算矩阵A的按模最小特征值的
方法。
设A为n阶非奇异矩阵，其特征值排列次序为
于是
n
n
n
vk Akv0 Ak ( ai xi ) ai Ak xi aiik xi
i 1
i 1
i 1
9
幂法
以下只考虑主特征值是单重实值的情形。
设 1 2 n , 则
vk
a11k x1
n i2
aiik xi
1k
a1
x1
n i2
ai
(
i 1
)k
xi
对于充分的k，i
1
21
幂法的加速
（2）Rayleigh（瑞利）商加速 设A为n阶实对称矩阵，x为任一n维非零向量，称数
R(x) (Ax, x) (x, x)
为对应于向量x的Rayleigh商。
R( x1 )
( Ax1, x1) (x1, x1)
1
22
幂法的加速
可证，对应于幂法中迭代向量vk 的Rayleigh商为
AR(p,q)只改变 A的第p列,第q列元素; 3 若A为对称矩阵, 则 RT ( p, q)AR( p, q)
亦为对称矩阵,且与A具有相同的特征值。
35
Jacobi方法
考虑到A的第k次相似变换
第8章-矩阵特征值计算
min P1 P I ,
( A)
p
pp
(1.5)
其中||·||p为矩阵的p范数，p=1,2,.
证明 由于σ(A)时显然成立,故只考虑̄σ(A).这
时D-I非奇异，设x是A+I对应于的特征向量，由
(A+I-I)x=0左乘P-1可得 (D I )(P1 x) (P1IP)(P1 x), P1 x (D I )1 (P1 IP)(P1 x),
上页 下页
定理7 设A∈Rn×n有n个线性无关的特征向量，
主特征值1满足 |1|>|2||n|，
则对任何非零向量v0(a10)，(2.4)式和(2.7)式成立.
如果A的主特征值为实的重根, 即1=2==r, 且 |r|>|r+1||n|，
又设A有n个线性无关的特征向量，1对应的r个线性
无关的特征向量为x1,x2,,xr，则由(2.2)式有
3 1 5.
A的其它两个特征值2, 3包含在D2, D3的并集中.
上页 下页
现在取对角阵
1 0 0
D1 0 1 0 ,
0 0 0.9
做相似变换
4 1 0
A A1 D1 AD 1
0
10 9
.
0.9 0.9 4
矩阵A1的3个圆盘为
E1 : 4 1,
E2 :
19 , 9
矩阵，则
(1) A的特征值均为实数；
(2) A有n个线性无关的特征向量；
(3) 存在一个正交矩阵P使的
1
PT AP
2
,
n
且1, 2,, n为A的特征值，而P＝(u1,u2,,un)的列
向量uj为A的对应于j 的单位特征向量.
矩阵的特征值与特征向量的数值解法
第八章 矩阵地特征值与特征向量地数值解法某些工程计算涉及到矩阵地特征值与特征向量地求解 .如果从原始矩阵出发，先求 出特征多项式，再求特征多项式地根，在理论上是无可非议地•但一般不用这种方 法,因为了这种算法往往不稳定•常用地方法是迭代法或变换法•本章介绍求解特 征值与特征向量地一些方法•§ 1乘幂法乘幕法是通过求矩阵地特征向量来求特征值地一种 迭代法，它适用于求矩阵 地按模最大地特征值 及对应地特征向量.b5E2RGbCAP 定理8 • 1设矩阵Ai x n 有n 个线性无关地特征向量 X<i=1,2,…,n ）,其对应地特征 值入 i （i =1,2,…,n> 满足 plEanqFDPw|入1|>|入2|三…三|入n |则对任何n 维非零初始向量 乙,构造Z k = AZ k-1（k=1,2.其中（Z k >j 表示向量Z<地第j 个分量. 证明：只就入i 是实数地情况证明如下 因为A 有n 个线性无关地特征向量X,<i = 1,2,用X<i = 1,2, …,n ）线性表示，即Z 0=a 1X 1 + 用A 构造向量序列｛Z k ｝其中由矩阵特征值定义知 AXm i X(i=1,2,…,n>,故Z k 二A k Z^ ：1A k X^ ： 2A k X 2nA kX n 「T ；X1 *〉2'；X2- :'n'n Xn同理有li m (ZQ j_______________ <22?=■ 1<8 • 1) Z 1 二 AZ 0,乙二 AZ= A^Z。
,川，Zk-AZ kj-A Zo(8・2>- k' nkTX ii zz2-nJ 2-7k -AZk」=人X ii =2<A1」<8.3)<8.4 ),设a 1工0,并且注意到…,n )所以任何非零向量Z o 都可 a 2茨 + …+a nX <a 1 工 0) DXDiTa9E3d将<8.3 ）与<8.4 ）所得乙及Z k-1地第j个分量相除| 入i|<| 入…,n> 得RTCrpUDGiT1|(i=1,2,定理8 • 1地证明过程实际上是给出了矩阵地按模最大特征值地计算方法:1） 先任取一非零向量Z 0, 一般可取Z o =（1,1,1> T； 2） 按<8.2 ）式计算 乙=AZ -i （k=1,2,…>;3）当K足够大时,即可求出詔;=6为了减少"1对于所选地第j个分量地依赖性，还可用各个分量比地平均值来代替，即关于对应于入1地特征向量地计算：由<8.1 ）知，当k 充分大时,Z k =入1Z k-1,又由迭代式 Z k = AZ k-1,可知AZ k-1 =入1Z k-1故 由特征值定义知 Z k-1即为入1对应地特征向量，或Z k =入1Z k-1为入1对应地特征向 量.5PCzVD7HxA这种求矩阵地按模最大特征值及其对应特征向量地方法称为 乘幕法. 应用乘幕法计算A 地按模最大特征值入1和对应特征向量时，由<8.3）易知Z k = *-n厲入+送码J y1X ii 2当|入1|>1或|入1|<1时,Z k 中不为零地分量将会随 K 地增大而无限增大，或随K 地 「 ------------ 增大而趋于零，用计算机计算就会出现“上溢”或“下溢” .为了克服这个缺点，一」无 穷 常将迭代向量 乙先规范化，然后再计算，具体做法是:jLBHrnAILg 一，一用max （Z>S 示向量Z k 地绝对值最大地分量，任取一初始向量Z o =a 1X 1+ a 汎+…+ a n X^V a 1工0）构造与<8.2 ）对应地向量序列.xHAQX74J0XAZ o由<8.3）可知Yk = maZk A kZ o max A kZ o max n:X 亠1 1 j ii =2X inM • r ii -2X i丿丿(k tmax X i<8.7J 二 AYA 2Z omax AZ0J 'max 乙max AZ oA 2Z 。
特征值问题的计算方法
Gi ( A) = { z ∈ C : z − aii ≤ ∑ aij }; i = 1,L , n
j≠i
则 λ ( A) ⊂ G1 ( A) ∪ G2 ( A) ∪ L ∪ Gn ( A)
（ 分解定理） Th8.1.4 谱分解定理）/*Spectral Decomposition*/ n× n n× n 对称矩阵 则存在正交 矩阵， 正交矩阵 设 A ∈ R 为对称矩阵，则存在正交矩阵Q ∈ R T 使得 Q AQ = Λ = diag ( λ1 ,L , λn ) 个特征值。 其中 λ1 ,L , λn 是 A 的n个特征值。 个特征值 定理） （极大极小定理 Th8.1.5 极大极小定理） 对称矩阵 矩阵， 设 A ∈ R n× n 为对称矩阵，且 A的特征值为 λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λn
∀u0 , u0
∞
=1
设
yk = Auk −1 µk = yk ∞ yk uk =
For k=1,2,3,…
uk 和 µk均收敛，由算法知 收敛， 算法知 Auk −1 = µk uk
lim Auk −1 = lim µk lim uk
k →∞ k →∞ k →∞
Ax = λ1 x
uk
∞
µk → λ1
其中J (λi ) = diag( J1 (λi ), ,L , J k (λi )) ∈ C ni ×ni ;1 ≤ i ≤ r i
λi J j ( λi ) =
1
λi
且除了 J j (λi ) 的排列 O 次序外 J 唯一的 次序外， 是唯一的。 O 1 λi J 称作 A 的Jordan标准型 标准型
n× n
是可对角化的 存在如下分解： 是可对角化的，即 A 存在如下分解： 对角化
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将很小，向量
n i2
ai
(
i 1
)
xi
的范数
必很小，故有 vk 1k a1x1
10
幂法
对任一分量
(vk )k (vk 1 ) k
1
任给非零初始向量v0
uk Avk1
vk
uk max( uk )
k 1, 2,
vk vk1
11
幂法
max( uk ) 为所求的主特征值。
lim
k
)k
xi
ai
(
i 1
)
k
1
xi
1
16
例题
例1 计算矩阵
2 3 2 A 10 3 4
3 6 1
的主特征值及对应的特征向量。
解 取 v0 (1,1,1)T
应用幂法的计算结果列于下表中。
17
例题
k
vkT
(vk )1
(vk )2
0
1
1
1
0.412
1.0
2
0.528
1.0
2
0.493
1.0
A
Ak 1v0 max( Ak1v0
)
Ak v0 max( Ak1v0 )
1k
a1x1
n i2
ai
(
i 1
)k
xi
max
1k
1
a1x1
n i2
ai
( i 1
)k 1
xi
15
幂法
故
lim k
max( uk
)
max
1k
a1x1
max
1k
1
a1
x1
n
i2 n
i2
ai
(
i 1
第8章 矩阵特征值计算
§8.1 特征值性质和估计 §8.2 幂法及反幂法 §8.3 正交变换与矩阵分解 §8.4 QR方法
§8.1 特征值性质和估计
1 矩阵特征值的有关定义
给定n阶矩阵
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
an1
a2n
ann
定义 1 如果有数和非零向量 x (x1 , x2 ,, xn )T , 使得 Ax x 则称为矩阵A的特征值，
max(
uk
)
1
,
lim
k
vk
x1 max( x1)
12
幂法
证明lim k
vk
x1 max( x1)
vk
uk max( uk )
Avk 1 max( Avk1)
Ak v0 max( Akv0 )
n
n
Akv0 Ak ( ai xi ) aiik xi
i 1
i 1
1k
a1x1
n i2
另一方面，一个特征向量只对应一个特征值。
6
矩阵特征值与特征向量的关系
7°实对称矩阵有完全特征向量系，而且对应于不 同特征值的特征向量彼此正交。
7
§8.2 幂法及反幂法
1 幂法
设n阶矩阵A有完全 特征向量系 x1 , x2 ,, xn ,
其对应的特征值为 1 , 2 ,, n . 幂法的基本作法
是，对任给初始向量 v0 , 利用迭代公式 vk Avk1 k 1, 2,
矩阵特征值与特征向量的关系
2 矩阵特征值与特征向量的性质
1°设 1 , 2 ,, n 为矩阵A的n个特征值，
x1 , x2 ,, xn 为对应的特征向量，则
A1
的特征值为
1 i
(i
1, 2,, n ,且i
0) ;
Ak 的特征值为 ik (i 1, 2,, n , );
Ak I 的特征值为ik (i 1, 2,, n , );
B的特征值为 1 , 2 ,n 选择适量的平移量 ,
1 i i 2,3,, n
20
幂法的加速
且 max i 2 2in 1 1
例1中，选取 2, 得到矩阵B，迭代5次后，得 1 13.000, (1 11.000)
于是
n
n
n
vk Akv0 Ak ( ai xi ) ai Ak xi aiik xi
i 1
i 1
i 1
9
幂法
以下只考虑主特征值是单重实值的情形。
设 1 2 n , 则
vk
a11k x1
n i2
aiik xi
1k
a1
x1
n i2
ai
(
i 1
)k
xi
对于充分的k，i
1
实矩阵的特征值是实数或共轭复数；
实对称矩阵的特征值是实数；
对称正定矩阵的特征值是正数。
矩阵特征值与特征向量的关系
4°相似矩阵的特征值相同。 5°矩阵的不同特征值所对应的特征向量线性无关。 6°矩阵的每个特征值对应着无穷多个特征向量。
当是单重特征值时，对应的线性无关特征向量只 有一个；
当是k重特征值时，对应的线性无关特征向量不 多于k个。
ai
( i 1
)k
xi
13
幂法
lim
k
vk
)
lim
k1
a1x1
n i2
ai
(
i 1
)k
xi
k
max
k1
a1
x1
n i2
ai
(i 1
)k
xi
lim x1 k max( x1)
14
幂法
证明lim k
max(
uk
)
1
uk
Avk 1
它们对应的特征向量仍为 xi (i 1, 2,, n).
矩阵特征值与特征向量的关系
2° A的 n个特征值之和等于A的迹； A的 n个特征值
之积等于A的行列式之值，即
n
n
n
i aii tr(A), i det( A)
i 1
i 1
i 1
3°奇异矩阵至少有一个特征值是零；
对角矩阵和三角矩阵的特征值是它的对角线元素；
18
例题
因此，1 11.00, x1 (0.500,1.000,0.750)T
矩阵 A 三个特征值的标准值是
1 11, 2 3, 3 2
比值 2 0.27 较小，所以收敛速度较快。 1
19
幂法的加速
2 幂法的加速
（1）原点平移法
设矩阵A的特征值 1 2 n , B A I
x为矩阵A的特征值所对应的特征向量。
矩阵特征值的有关定义
n阶矩阵A具有 n个特征值，按模最大者称为A的 主特征值。
A I 称为A的特征矩阵； det( A I ) 称为A的特征多项式； det( A I ) 0 称为A的特征方程。
定义2 如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，则称A 有完全特征向量系，A为非亏损矩阵。
4
0.502
1.0
5
0.499
1.0
6
0.500
1.0
7
0.500
1.0
8
0.500
1.0
(vk )3
1 0.588 0.826 0.726 0.758 0.748 0.751 0.750 0.750
max( uk )
17.0 9.472 11.584 10.834 11.052 10.982 11.004 11.000
构造向量序列
v1 Av0 , v2 Av1 A2v0 ,
vk Avk1 Akv0
k 1, 2, 8
幂法
由于序列 vk 实质是由矩阵A的各次幂作用于初
始向量而形成的，故此法称为幂法。
因为 x1 , x2 ,, xn 线性无关，可以为基底表示
向量 v0 ,即
v0 a1x1 a2x2 anxn