4.1.2圆的一般方程
4.1.2圆的一般方程
反过来，当 D 2 E 2 4 F 0 时，方程才表示一个圆， 我们把它叫做圆的一般方程.
思考1：圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？
标准方程： 图形特征一目了然，明确地指出了圆心和半径； 一般方程： 突出了代数方程的形式结构， （1）x2和y2系数相同，都不等于0； （2）没有xy这样的二次项.
2 2
(2) x2 y 2 2 2
答案： （1）原点(0,0).
(2)圆心为（， 1 2），半径为 11 的圆；
（3）当a 2 b 2 0时， 圆心为（ a， 0），半径为 a 2 b 2的圆.
D E D E 只有一解 x , y , 它表示一个点 ( , ) 2 2 2 2
2 2 （3）当 D E 4F 0 时，
D 2 E 2 D2 E 2 4F 方程 ( x ) ( y ) 2 2 4
没有实数解，它不表示任何图形.
圆的一般方程 任何一个圆的方程都可以写成
当a2 b2 0时，表示一个点（0， 0） .
判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径.
(1) x2 y 2 2 x 4 y 4 0
（1）是 圆心（1，-2）半径3
(2)2x2 2 y 2 12x 4 y 4 0
（2）是 圆心（3，-1）半径 2 3
【解析】(1) 圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)，选 D.
(2)方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即 k＜－1 时才表示圆．
(3)以(2，－4)为圆心，4 为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，即 x2＋y2－ 4x＋8y＋4＝0，故 F＝4.
4.1.2圆的一般方程
4.1.2 圆的一般方程教学目标1.正确理解圆的一般式方程及其特点，会求圆的一般方程；2.熟练圆的一般式方程与标准方程的互化；3.初步掌握求动点的轨迹方程的思想方法。
教学重难点重点：根据圆的一般方程，熟练地求出圆心和半径。
难点：能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程。
复习回顾：圆的标准方程是什么？思考：若把圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2展开后，会得出怎样的形式？探究一、圆的一般方程思考：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0在什么条件下表示圆？一、圆的一般方程二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F ＞0时，该方程叫做圆的一般方程。
圆心为_⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2_，半径长为__D 2＋E 2－4F 2__. 圆的一般方程的特点：（1）x 2，y 2项的系数相等且不为零； （2）没有xy 项； （3）D 2＋E 2－4F ＞0.思考：给出二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，若该方程表示圆的方程，可否根据圆的一般方程确定成立的条件？二、圆的一般方程与标准方程的关系（1）标准方程易于看出圆心与半径，一般方程突出了方程形式上的特点.（2）a ＝2D -，b ＝2E-，r ＝D 2＋E 2－4F 2.问题：圆是否还可以用其他形式的方程来表示呢？探究二、圆的参数方程思考：如图，设⊙O 的圆心在原点，半径是r ，与x 轴正半轴的交点为P 0，在圆上任取一点P ，若将OP 0按逆时针方向旋转到OP 位置所形成的角∠P0OP ＝θ，求P 点的坐标.3.圆的参数方程(1)圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是：⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ是参数）(2)圆心在(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程是：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）典例讲解题型一、圆的一般方程的概念例1.圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心坐标为（ ）A.(1，2)B.(1，－2)C.(－1，2)D.(－1，－2) 例2.方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是（ ）A.14<m <1B.m >1C.m <14D.m <14或m >1 例3.已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆.(1)求实数m 的取值范围． (2)求该圆半径r 的取值范围； (3)求圆心的轨迹方程．题型二、求圆的方程例4.根据下列条件求圆的方程：（1）过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)；（2）经过点P (1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上；（3）求与x 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且截直线0=-y x 的弦长为72的圆的方程.题型三、圆的参数方程 例5.已知圆O 的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （0≤θ<2π），如果圆上点P 所对应的参数θ＝5π3，则点P 的坐标是________.例6.若直线y ＝x ﹣b 与曲线2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ∈[0，2π]）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为（ ）A.(2B.[2C.(,2(22,)-∞++∞D.(2例7.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x ﹣23y ＝0.（1）求x 2＋y 2的最大值； （2）求x ＋y 的最小值.题型三、与圆相关的轨迹问题例8.已知：一个圆的直径的两端点是A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，证明：圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.例9.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆（x ＋1）2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点M的轨迹方程.变式：如图，已知点A (－1，0)，与点B (1，0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连结BC 并延长至D ，使|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．探究！到两定点的距离之比为定值的点的轨迹到两定点F 1、F 2的距离之比为定值λ（λ>0）的点的轨迹是圆.例10.已知一曲线是与两定点O (0，0)、A (3，0)距离的比为12的点的轨迹，求这个曲线的方程.题型四、与圆相关的最值问题（数形结合，巧解“与圆有关的最值问题”）例11.已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.（1）求yx 的最大值与最小值；（2）求y －x 的最大值与最小值；（3）求x 2＋y 2的最大值和最小值．变式：实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值：（1）4-x y；（2）2x ＋y .课堂小结1.本节课的主要内容是圆的一般方程，其表达式为⎪⎩⎪⎨⎧>-+=++++0402222F E D F Ey Dx y x 2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程配方得标准方程，标准方程（圆心，半径）展开得一般方程。
高一数学必修二 4.1.2 圆的一般方程
知识梳理
12
【做一做2】 已知点P(x0,y0)是圆x2+y2=4上的动点,点M是OP(O
是原点)的中点,则动点M的轨迹方程是
.
答案:x2+y2=1
重难点突破
12
1.圆的标准方程和一般方程的对比 剖析:(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),可以直接看出圆 心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显. (2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圆的 方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显. (3)相互转化,如图所示.
知识梳理
12
【做一做1-1】 圆x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标是 ( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)
解析:D=-2,E=4,则圆心坐标为 - -2 ,- 4 , 即(1,-2).
22
答案:A
知识梳理
12
【做一做1-2】 圆x2+y2-6x+8y=0的半径等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.25
高一数学必修二教学课件
第四章 圆与方程
4.1.2 圆的一般方程
学习目标
1.正确理解圆的一般方程及其特点. 2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化. 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.
知识梳理
12
1.圆的一般方程 (1)方程:当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一
;当
Hale Waihona Puke D2+E2-4F<0 时,不表示任何图形.
4.1.2圆的一般方程
2 2
2
配方
2.一般方程
展开
标准方程
3.方程形式的选用： ①若知道或涉及圆心和半径, 采用圆的标准方程 ②若已知三点求圆的方程, 采用圆的一般方程求解.
1．圆x2+y2+4x+26y+b2=0与坐标轴相切，那么b可以取的 值是（ A ） （A）±2或±13 （C）－1或－2 （B）1或2 （D）－1或1
令 - 2 a = D ,- 2 b = E , a + b - r = F
2 2 2
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
的曲线都是圆呢？
尝试： 判断下列方程分别表示什么图形
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a= -
D 2
，b= -
E 2
，r=
1 2
D + E - 4F
2 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0；
没有xy这样的二次项
练习
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3), 半径为4,则D,E,F分别等于
2 2 2 2 2
列关于a，b，r （或D，E，F）的方程组
(或x + y + Dx + Ey + F = 0)
2.方程形式的选用：
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
4.1.2圆的一般方程
解析 由圆的一般方程的形式知，
a＋2＝a2，得a＝2或－1.
当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋52y＋ ＝0，
∵D2＋E2－4F＝12＋22－54× ＜0， 2
∴a＝2不符合题意.
2
当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
∴过O、A、B的圆方程为:
A. .O
.B .C
x
x2 y2 8x 6y 0
将C(7，1)代入方程：72 12 8 7 61 0成立.
∴ O、A、B、 C 四点共圆，圆心(4 ， 3) ，半径5 .
圆(心x(
4D)2，
E( y)
、 3半)2径
5D2
2
.
E
2
4F
.
22
2
例1.判断 O(0，0)、A(1，1)、B(4，2) 、 C(7，1
E2 4F 2
为半径的圆；
(2) 当 D2 E2 4F 0 时，
方程只有实数解
x
D 2
、y
E 2
，方程表示一个点
(
D 2
，
E 2
)
；
(3) 当 D2 E2 4F 0 时，
方程没有实数解 ，因而它不表示任何图形 .
综上：当 D2 E2 4F 0 时，
方程 x2 y2 Dx Ey F 0 表示一个圆，
圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)
圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径， 而圆的一般方程和 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0比较突出了方 程形式上的特点（：1） x2 和 y2 的系数相同且不为0 ，即A=C≠0；
4.1.2圆的一般方程
的曲线一定是圆吗?
问题1:把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,将得到怎样的方程? 这个方程是不是表示圆?
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问题1:把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,将得到怎样的方程?
这个方程是不是表示圆? D 2 E 2 D2 E 2 4F 答: 得到的方程为: ( x ) ( y ) , 2 2 4 D E 2 2 (1)当D +E -4F>0时, 该方程表示以 ( , )为圆心, 2 2 1 D 2 E 2 4F 为半径的圆; 2 D E 2 2 (2)当D +E -4F=0时, 方程只有实数解 x , y , 2 2 即只表示一个点 ( D , E );
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练习2:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),
C(2,-8),求它的外接圆方程,并求其半径和圆心坐标.
解: 设所求方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点在圆上,
5D+E+F=-26 2 7 +(-3)2+7D-3E+F=0 7D-3E+F=-58 2D-8E+F=-68 22+(-8)2+2D-8E+F=0
2+12+5D+E+F=0 5
解得:D=-4,E=6,F=-12, 所求方程为:x2+y2-4x+6y-12=0. 配方得(x-2)2+(y+3)2=25, ∴圆心为(2,-3),半径为5.
第四章 4.1.2 圆的一般方程
4.1.2圆的一般方程学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.知识点圆的一般方程1.圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程.2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.(√)2.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.(×)3.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(√)4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.(√)题型一圆的一般方程的理解例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径解由表示圆的条件，得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0， 解得m <15，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，15. 圆心坐标为(－m,1)，半径为1－5m .反思感悟 形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，令D 2＋E 2－4F >0成立，则表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.跟踪训练1 (1)若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( ) A.m <12B.m >12C.m <0D.m ≤12考点 题点 答案 A解析 因为x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆， 则1＋1－4m >0，所以m <12.(2)圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0的半径和圆心坐标分别为( ) A.r ＝1，(－2,1) B.r ＝2，(－2,1) C.r ＝2，(2，－1) D.r ＝1，(2，－1) 考点 圆的一般方程题点 由圆的一般方程求圆心、半径 答案 D解析 x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0可化为 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1，所以半径和圆心分别为r ＝1，(2，－1). 题型二 求圆的一般方程例2 已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1). (1)求△ABC 的外接圆的一般方程；(2)若点M (a,2)在△ABC 的外接圆上，求a 的值. 考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用解 (1)设△ABC 外接圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，52＋32＋5D ＋3E ＋F ＝0，32＋(－1)2＋3D －E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.即△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0， ∵点M (a,2)在△ABC 的外接圆上， ∴a 2＋22－8a －2×2＋12＝0， 即a 2－8a ＋12＝0，解得a ＝2或6. 引申探究若本例中将“点C (3，－1)”改为“圆C 过A ，B 两点且圆C 关于直线y ＝－x 对称”，其他条件不变，如何求圆C 的方程？ 解 ∵k AB ＝3－25－2＝13，AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，52， ∵AB 的垂直平分线方程为y －52＝－3⎝⎛⎭⎫x －72. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y －52＝－3⎝⎛⎭⎫x －72，得⎩⎨⎧x ＝132，y ＝－132，即圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫132，－132， r ＝⎝⎛⎭⎫132－22＋⎝⎛⎭⎫－132－22＝ 3702，∴圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －1322＋⎝⎛⎭⎫y ＋1322＝1852. 反思感悟 应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .跟踪训练2 已知一圆过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程.考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用 解 方法一 (待定系数法)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P ，Q 的坐标分别代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＋20＝0， ①D －3E －F －10＝0. ②令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，③由已知得|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的根， ∴|y 1－y 2|2＝(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.④ 联立①②④解得 ⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 方法二 (几何法)由题意得线段PQ 的垂直平分线方程为x －y －1＝0， ∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上， 设其坐标为(a ，a －1). 又圆C 的半径长r ＝|CP |＝(a －4)2＋(a ＋1)2. (*)由已知得圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |， ∴r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫4322， 代入(*)式整理得a 2－6a ＋5＝0，解得a 1＝1，a 2＝5， ∴r 1＝13，r 2＝37.故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.求动点的轨迹方程典例 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，点B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程. 考点 与圆有关的轨迹问题 题点 有关点的轨迹的其他问题解 (1)设线段AP 的中点M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x 0，y 0)， ∵⎩⎨⎧x ＝2＋x02，y ＝0＋y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y . 又P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， ∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，∴(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. [素养评析] (1)求与圆有关的轨迹问题的方程 ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. ②定义法：根据圆、直线等定义列方程.③代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.(2)理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，是数学运算的数学核心素养的体现.1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为()A.(4，－6)，16B.(2，－3)，4C.(－2,3)，4D.(2，－3)，16考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径答案 C2.已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是()A.2x－y＋1＝0B.2x＋y＋1＝0C.2x－y－1＝0D.2x＋y－1＝0考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案 B解析圆心坐标为(1，－3)，检验知2x＋y＋1＝0过圆心(1，－3).3.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为()A.8πB.4πC.2πD.π考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案 C解析原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴半径r＝2，∴圆的面积为S＝πr2＝2π.4.若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是()A.x＋y－3＝0B.x－y－3＝0C.2x－y－6＝0D.2x＋y－6＝0考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案 C解析圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.由k ＝2－04－3＝2，可知C 正确.5.如图，已知线段AB 的中点C 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的端点B 的轨迹方程.考点 与圆有关的轨迹问题 题点 有关点的轨迹的其他问题解 设B 点坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4,3)且点C 是线段AB 的中点，所以4＝x 0＋x 2，3＝y 0＋y 2，于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y .① 因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动， 所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4， 即(x 0＋1)2＋y 20＝4，②把①代入②，得(8－x ＋1)2＋(6－y )2＝4， 整理，得(x －9)2＋(y －6)2＝4.所以点B 的轨迹方程为(x －9)2＋(y －6)2＝4.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是圆的另一种表示形式，其隐含着D 2＋E 2－4F >0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件.求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质.一、选择题1.若圆的一般方程为x 2＋y 2＋6x ＋6＝0，则该圆的圆心和半径分别是( ) A.(1,1)， 3 B.(1,2)， 3 C.(3,0)，3 D.(－3,0)， 3考点 圆的一般方程题点 由圆的一般方程求圆心、半径答案 D2.已知圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，则点P (3,1)在( ) A.圆内 B.圆上 C.圆外D.无法确定考点 圆的标准方程 题点 点和圆的位置关系 答案 C3.若方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A.R B.(－∞，0) ∪(0，＋∞) C.(0，＋∞) D.(1，＋∞)考点 题点 答案 B解析 当a ≠0时，方程为⎝⎛⎭⎫x －2a －2a 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋2a 2＝4(a 2－2a ＋2)a 2，由于a 2－2a ＋2＝(a －1)2＋1>0恒成立， ∴a ≠0时方程表示圆.当a ＝0时，易知方程为x ＋y ＝0，表示直线.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(0，＋∞).4.圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A.2 B.22C.1D. 2 考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用 答案 D解析 因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x －y ＝1的距离为d ＝|1＋2－1|2＝ 2.5.方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A.以(a ，b )为圆心的圆 B.以(－a ，－b )为圆心的圆 C.点(a ，b ) D.点(－a ，－b )考点 与圆有关的轨迹问题 题点 有关点的轨迹的其他问题 答案 D解析 原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋a ＝0，y ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a ，y ＝－b .∴方程表示点(－a ，－b ).6.若点(1，－1)在圆x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0外，则m 的取值范围是( ) A.m >0 B.m <12C.0<m <12D.0≤m ≤12考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用 答案 C解析 x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0可化为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝12－m ， 则12－m >0，解得m <12. 因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m >0， 即m >0，所以0<m <12.故选C.7.方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆的圆心在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用 答案 D解析 因为方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是圆， 又方程可化为⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋(y －a )2＝－34a 2－3a ， 故圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，r 2＝－34a 2－3a . 又r 2>0，即－34a 2－3a >0，解得－4<a <0，故该圆的圆心在第四象限.8.当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)的连线PQ 的中点的轨迹方程是( ) A.(x ＋3)2＋y 2＝4 B.(x －3)2＋y 2＝1 C.(2x －3)2＋4y 2＝1 D.(2x ＋3)2＋4y 2＝1 考点 与圆有关的轨迹问题题点 求圆外一点与圆上一点的中点的轨迹问题 答案 C解析 设P (x 1，y 1)，PQ 的中点M 的坐标为(x ，y )， ∵Q (3,0)，∴⎩⎨⎧x ＝x 1＋32，y ＝y 1＋02，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y . 又点P 在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，故选C. 二、填空题9.如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，54 解析 由(－2)2＋12－4k >0得k <54.10.已知直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <5)相交于A ，B 两点，且弦AB 的中点Q 的坐标为(0,1)，则直线AB 的方程为________________. 答案 x －y ＋1＝0解析 易知圆心P 的坐标为(－1,2). ∵AB 的中点Q 的坐标为(0,1)， ∴直线PQ 的斜率k PQ ＝2－1－1－0＝－1， ∴直线AB 的斜率k ＝1，故直线AB 的方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0.11.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.考点 圆的方程的综合应用题点 与圆有关的对称问题答案 －2解析 由题意知，直线l ：x －y ＋2＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2，则－1＋a 2＋2＝0，得a ＝－2. 三、解答题12.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A (4,1)，B (－6,3)，C (3,0)，求这个三角形外接圆的一般方程.解 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵A ，B ，C 三点都在圆上，∴A ，B ，C 三点的坐标都满足所设方程，把A (4,1)，B (－6,3)，C (3,0)的坐标依次代入所设方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4D ＋E ＋F ＋17＝0，－6D ＋3E ＋F ＋45＝0，3D ＋F ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝1，E ＝－9，F ＝－12，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋x －9y －12＝0.13.求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点A (5,2)和点B (3，－2)的圆的一般方程.考点题点解 ∵圆心在直线2x －y －3＝0上，∴可设圆心坐标为(a,2a －3)，半径为r (r >0)，则圆的方程为(x －a )2＋(y －2a ＋3)2＝r 2.把点A (5,2)和点B (3，－2)的坐标代入方程，得(5－a )2＋(2－2a ＋3)2＝r 2，①(3－a )2＋(－2－2a ＋3)2＝r 2，②由①②可得a ＝2，r 2＝10.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10，即x 2＋y 2－4x －2y ＝5.14.已知圆x 2＋y 2＋4x －6y ＋a ＝0关于直线y ＝x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________.考点 圆的方程的综合应用题点 与圆有关的对称问题答案 (－∞，8)解析 由题意知，直线y ＝x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－2,3)，代入直线方程，得b ＝5， 所以圆的方程化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝13－a ，所以a <13，由此得a －b <8.15.已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程.考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用解 圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2， 因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.① 又r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2. 又圆心在第二象限，所以－D 2<0，即D >0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4， 所以圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.。
4.1.2圆的一般方程
只有在D2+E2-4F>0时，方程表示圆心 D E 为 ( , ) 半径为r 1 D 2 E 2 4 F 的圆。
2 2Biblioteka 2小结 （2）利用待定系数法求圆的方程，对于 已知条件容易求出圆心坐标和半径或需 用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆 的标准方程，否则用圆的一般方程。
互化例子
x
思考： 1.是否要建立直角坐标系？怎样建立？ 2.圆心和半径能直接求出吗？ 3.怎样求出圆的方程？ 4.怎样求出支柱A2P2的长度？
解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）,
圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 .
答：支柱A2P2的长度约为5.39m.
小结 （1）任何一个圆的方程都可以写 X2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，但是方 程X2+y2+Dx+Ey+F=0的曲线不一定 是圆，
§圆的一般方程
引入新课
将圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开， 可得：x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0 它是关于x、y的二元二次方程.
如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得 到方程X2+y2+Dx+Ey+F=0 ，这说明 圆的方程还可以表示成另外一种 非标准方程的形式.
例题分析 例1、已知 ABC顶点的坐标A(4,3), B(5,2),C(1,0)求 ABC外接圆的方程， 并求这个圆的半径和圆心坐标.
1 2
例题分析
例2、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的 中点M的轨迹方程，
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圆的方程
标准方程: ( x a ) ( y b) r
2 2 2
2 2
展开
x y 2ax 2by (a b r ) 0 圆心: (a , b) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x y Dx Ey F 0 ( D E 4F 0)
（a）2+（b）2=r2 a=4 （1-a）2+（1-b）2=r2 解得 b=-3 （4-a）2+（2-b）2=r2 r=5
所求圆的方程为：
即（x-4）2+（y+3）2=25
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 方法二： 几何方法
分别说出下列圆的圆心与半径 (1) 圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . (2) 圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 （m≠0） 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2
的曲线是圆呢？
思考
(1) x y 2 x 4 y 1 0
2 2
配方得 ( x 1) ( y 2) 4
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆
(2) x y 2 x 4 y 6 0 配方得 ( x 1)2 ( y 2)2 1
2 2
不是圆
x y Dx Ey F 0
2 2
不一定 是圆
方程
x y Dx Ey F 0
2 2
2 2 2 2
2 4 （1）当 D2 E 2 4F 0时，表示圆，
D E 圆心 - , 2 2
2 2
配方 x D y E D E 4F
例2、已知方程
x y 2(t 3) x 2(1 4t ) y 16t 9 0
2 2 2 4
表示一个圆.
(1)你能求出t的取值范围吗？
(2)你能求出该圆半径r的取值范围吗？
《能力》P80互动探究
变式：已知曲线C:
x y 2kx (4k 10) y 10k 20 0,
2 2 D E D E 4F 2 2 配方 (x ) ( y ) 2 2 4 1 D E 2 2 圆心: ( D E 4F , ) 半径: 2 2 2
思考:当D=0，E=0或F=0时， 2 2 圆 x y Dx Ey F 0 的位置分别 有什么特点？
求半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r，写出标准方程
思考
圆的方程一般代数形式是什么特点呢
2 r -a (x 3) ( y 4) 6 -b
2 2
展开得
2+b 2-r 2ax 2by x y 6x 8 y+a 19 02=0
2
2
x y Dx Ey F 0
2 2
任何一个圆的方程都是二元二次方程
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x y Dx Ey F 0
2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
探究：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
2 2
其中k≠-1,求证：
（1）曲线C都表示圆，并且圆心都在同一直线上；
（2）曲线C过定点.
轨迹和轨迹方程
平面上一动点M，按照一定规则运动，形成的曲线 叫做动点M的轨迹. 在平面直角坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示， 这个方程就是轨迹方程.
例3. 已知点M与两定点O(0,0)、A o x y C
o
x
D=0
E=0
F=0
练习：《能力》P79.例1
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）
的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 方法一： 解：设所求圆的标准方程为：
（x-a）2+（y-b）2=r2
待定系数法
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上
比为1/2，求点M的轨迹方程，并画出曲线.
y
M(x,y) 《课本》P135.B3
.
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
直接法
求动点轨迹的步骤:
1.建系：建立恰当的坐标系； 2.设点：用（x,y）表示轨迹（曲线）上任意 一点M的坐标； 3.列式：列出动点M满足的等式并用x,y表示; 4.化简：把方程化为最简形式；
若生成轨迹的动点 P ( x , y ) 随另一动点 Q ( x0 , y0 ) 的变动而有规律地变动,可把Q点的坐标 x0 , y0 分别用动点P的坐标x, y 表示出来,代入到Q点 满足的已有的等式,得到动点P的轨迹方程
关键:列出P,Q两点的关系式.
练习：
uuu r uuu u r 动，点M满足 AB 2 AM ，求点M的轨迹方程.
2
r
D ·
2
E 4F 2
2
D E （2）当 D E 4F 0 时，表示点 , 2 2
（3）当 D2 E 2 4F 0 时，不表示任何图形
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
一般方程形式上的特点： ①x2与y2系数相同并且不等于0； ②没有xy这样的二次项
5.证明：证明以化简后的方程的解为坐标的 点都是曲线上的点.
例4. 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆 (x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
代入法
A
o
B
M
x
相关点法
变式：已知三角形ABC的边AB的长为4，若 BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.
求轨迹方程的方法:
所求圆的方程为:
F=0 F=0 解得 D=-8 D+E+F+2=0 E=6 4D+2E+F+20=0
x2+y2-8x+6y=0 即（x-4）2+（y+3）2=25
总结
注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰 当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标 准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般 方程用待定系数法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单)
0
y
M1(1,1) M (4,2) 2
x
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
解：设所求圆的一般方程为：
方法三：x2 y 2 Dx Ey F 0( D2 E 2 4F 0)
待定系数法
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r y
2
M(x,y) O C x
( x a ) ( y b) r
2 2
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x y r
2 2
2
点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外. M ( x0 , y 0 ) O(a, b) M ( x0 , y 0 ) O(a, b) O ( a, b) M ( x0 , y 0 )
已知A（0，2）,动点B在圆x
2
y 4x 2 y 4 0
2
上运
例5 已知点P（5，3），点M在圆 x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最 大值和最小值.
P y o C
A
M x
B