圆的一般方程
圆的标准方程和一般方程
圆的标准方程和一般方程圆是平面上一点到定点的距离等于定长的点的集合，是平面几何中非常重要的图形之一。
在代数几何中，我们通常会用方程来描述圆的性质和特点。
本文将介绍圆的标准方程和一般方程，帮助读者更好地理解和掌握圆的代数表达方法。
首先，让我们来看看圆的标准方程。
对于平面上的一个圆，假设圆心坐标为（a，b），半径为r，则圆的标准方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²。
其中，（x，y）为平面上任意一点的坐标。
这个方程描述了平面上任意一点到圆心的距离平方与半径平方之间的关系，从而确定了圆的位置和形状。
接下来，我们来讨论圆的一般方程。
一般方程的形式为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0。
其中D、E、F为常数。
通过一般方程，我们可以得到圆的圆心和半径。
具体来说，可以通过以下步骤完成：1. 将一般方程化为标准方程的形式，即完成平方项的配方。
2. 通过比较标准方程和一般方程的系数，得到圆心的坐标（a，b）和半径的值r。
需要注意的是，一般方程中的系数D、E、F的取值会影响到圆的位置和形状，因此在使用一般方程时需要格外小心，确保计算的准确性和可靠性。
在实际问题中，我们经常需要根据已知条件来确定圆的方程。
例如，已知圆上的三点坐标，我们可以通过代数方法求解出圆的标准方程或一般方程。
这需要运用到代数方程的解法和圆的性质，是对数学知识的综合运用和实际问题的抽象化处理。
总之，圆的标准方程和一般方程是描述圆形在代数上的重要工具，它们可以帮助我们更好地理解和分析圆的性质。
在学习和工作中，我们需要熟练掌握这些方程的推导和运用，从而更好地解决实际问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解圆的代数表达方法，对圆的标准方程和一般方程有更清晰的认识。
让我们共同努力，提高数学水平，更好地应用数学知识解决实际问题。
圆的一般方程1
练习： 求过点A(5,-1),圆心为(8,-3)的圆的方程 .
设圆的方程为 x - 8) + ( y + 3) = r (
2 2
2
把点(5,-1)代入得r = 13,
2
( x - 8) + ( y + 3) = 13
2 2
故圆的方程为 + y - 6x - 8 y = 0 x
2 2
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较 (2).若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一般方 程用待定系数法求解.
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
知a、b、r
（x-a)2+(y-b)2=r2
圆的方程 配 方 展 开
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
求过三点A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程 . 练习：
设圆的方程为 + y + Dx + Ey + F = 0 x
2 2
把点A，B，C的坐标代入得方程组
6 + 6D + F = 0 2 8 + 8E + F = 0
2
F =0
D = -6, E = -8.
所求圆的方程为：
2 + y 2 - 6x - 8 y = 0 x
知识回顾：
(1) 圆的 标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
圆的标准方程与一般方程
∙圆的定义：
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。
定点就是圆心，定长就是半径。
圆的标准方程：
圆的标准方程，圆心（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为。
圆的一般方程：
圆的一般方程
当＞0时，表示圆心在，半径为的圆；
当=0时，表示点；
当＜0时，不表示任何图形。
∙圆的定义的理解：
（1）定位条件：圆心；定形条件：半径。
（2）当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．
圆的方程的理解：
(1)圆的标准方程中含有a，b，r三个独立的系数，因此，确定一个圆需三个独立的条件．其
中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径．
(3)圆的一般方程形式的特点：
a．的系数相同且不等于零；
b．不含xy项．
(4)形如的方程表示圆的条件：
a．A=C≠0；
b．B=0;
c.即 几种特殊位置的圆的方程：。
圆方程的一般式的圆心
圆方程的一般式的圆心圆方程的一般式是指以圆心为中心的圆的方程形式。
在平面几何中，圆是由到圆心的距离恒定的所有点组成的。
圆方程的一般式可以用来表示圆的位置和形状。
下面将详细介绍圆方程的一般式以及其应用。
圆方程的一般式可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
该方程描述了平面上所有到圆心距离为r的点的集合。
我们来看一下圆心的坐标(h, k)对圆的位置的影响。
当h为正数时，圆心位于x轴的右侧；当h为负数时，圆心位于x轴的左侧。
同样地，当k为正数时，圆心位于y轴的上方；当k为负数时，圆心位于y轴的下方。
通过改变h和k的值，我们可以将圆心定位于不同的位置，从而得到不同位置的圆。
半径r决定了圆的大小。
半径越大，圆的面积越大，半径越小，圆的面积越小。
半径还决定了圆的周长，圆的周长等于2πr。
因此，圆方程的一般式可以用来计算圆的面积和周长。
圆方程的一般式在实际生活中有广泛的应用。
例如，在地理学中，可以使用圆方程的一般式来表示地球上某个地区的范围。
在建筑设计中，可以使用圆方程的一般式来确定圆形建筑物的尺寸和位置。
在物理学中，圆方程的一般式可以用来计算运动物体的轨迹。
圆方程的一般式还可以与其他方程相结合，形成更复杂的几何问题。
例如，可以将圆的方程与直线的方程相交，求出它们的交点，从而解决相关的几何问题。
圆方程的一般式是描述圆的位置和形状的重要工具。
通过圆心的坐标和半径的值，我们可以确定圆的位置和大小。
圆方程的一般式在几何学和实际应用中有广泛的应用，可以帮助我们解决各种几何问题。
无论是计算圆的面积和周长，还是确定圆的位置和形状，圆方程的一般式都提供了一个简单而有效的方法。
圆的一般方程
2 2 D E （1）当 D + E 4 F > 0 时， ②表示以为 ， 圆心、 ） 圆心、
2
1 为半径的圆； D 2 + E 2 4 F 为半径的圆； 以 2 D E D 2 + E 2 4 F = 0 时， ②表示一个点 ， ； （2）当 ）
2 2
（3）当 D 2 + E 2 4 F < 0 时，②不表示任何曲 ） 线．
【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异 问题 】圆的一般方程的特点，
同． 圆的一般方程的特点 ： 的系数相同，都不为0． （1）x 2 和 y 2的系数相同，都不为 ． （2）没有形如 xy的二次项． 的二次项． 圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋： 圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋： （1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和 ）圆的标准方程带有明显的几何的影子， 半径一目了然． 半径一目了然． （2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构， ）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构， 更适合方程理论的运用． 更适合方程理论的运用．
0 一.方程 x + y + 2ax b = （a.b不同时为零） 表示什么曲线？为什么？ 求圆心坐标和半径。 表示什么曲线？为什么？ 求圆心坐标和半径。
2 2 2 2 2 2 解：由 x + y + 2ax b = 0 配方得 ( x + a) 2 + y 2 = a 2 + b 2 a2 + b2 > 0 ,b不同时为零 不同时为零， 而 a ,b不同时为零，所以 方程 x 2 + y 2 + 2ax b 2 = （a.b不同时为零） 0 是表示以（ ,0)为圆心为半径的圆 为圆心为半径的圆. 是表示以（- a ,0)为圆心为半径的圆.
圆的一般式方程
确定圆的一般方程只要确定方程中的三个 , 常数D, E, F .
思考 本题能否利用圆的标准方程求解 ? 还 有其他方法吗 ?
例 4 某 圆拱梁 的示意图 如图2 2 4 所示.该圆拱 的跨度 AB是 36m, 拱高OP 是 6m, 在建造时, 每隔 3m 需用一个支柱支撑, 求 支 柱A2 P2的长 精确到0.01m .
x a 2 y b2 r 2 展开, 得 将圆的标准方程
x 2 y 2 2ax 2by a 2 b2 r 2 0.
由此可见,圆的方程具有如下形式 : x 2 y 2 Dx Ey F 0,
2
其中D, E, F为常数 .
那么 形如2的方程是否表示圆 , ?
D E 个点 , ; 2 2 3当 D 2 E 2 4 F 0 时, 方程 2无实数解, 不表示任
何图形 .
方程 x 2 y 2 Dx Ey F 0 D2 E 2 4 F 0 叫做例3 已知ABC顶点坐标为A4,3, B5,2, C 1,0 , 求ABC外接圆的方程.
自学检测：P102页练习5题
D E 1当 D E 4F 0 时, 方程 2 表示以 , 2 2 1 为圆心, D 2 E 2 4 F 为半径的圆 ; 22 2当 D E 2 4 F 0 时, 方程 2只有一解, 表示一
2 2
学习目标：
1、掌握圆的一般方程，并能由方程确定圆心坐 标和半径； 2、能根据已知条件选择圆的方程的形式，运用待 定系数法求圆的方程。
自学指导：
1、圆的一般方程是怎么样的？它有什么限制条件吗？ 2、圆的一般方程与圆的标准方程有何异同？它们可以 相互转化吗？ 3、课本上的例4与前面的例2有什么共同点吗？
圆的一般方程
F 0, 36 6D F 0, 9 1 3D E F 0。
解这个方程组，得
D 6,E 8,F 0.
所求圆的方程为：
x y 6x 8y 0
2 2
所求圆的圆心坐标是（3，-4），半径长为
1 2 2 r D E 4F 5 2
求圆的方程常用“待定系数法”。 用待定系数法求圆的方程的步骤： ①根据题意设出所求圆的方程为标准式或 一般式。 ②根据条件列出关于 a，b，c 或 D，E， F 的方程。 ③解方程组，求出 a，b，c 或 D，E，F 的值，代入方程，就得到要求的方程。
例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）端点 2 A在圆 x 1 y 2 4上运动,求线段AB的中点 M的轨迹方程. 解：设点M的坐标（x，y）, 点A的坐标 x0 , y0 .由于点B 的坐标是（4，3）,且点M是 线段AB的中点,所以 y
圆的一般方程与二元二次方程的关系
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 与二元二次方程： A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0的关系:
(D2+E2-4F>0)
1. A ＝ C ≠ 0 2. B=0 3. D2＋E2－4F＞0
二元二次方程表
示圆的一般方程
练习:1判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出 圆心与半径
A O M
B
x
x0 4 y0 3 x ,y , 2 2
于是有 x0 2x 4, y0 2 y 3.
① 图4.1-4
因为点A在圆 x 1 y 4上运动，所以点A的 坐标满足方程即 2 2
2 2
x0 1
4.1.2圆的一般方程
方程.
解：建立直角坐标系， 原点为O，A在x轴上， 则A坐标为（ 2 x， 0）B坐标为（ 0,2 y） 根据勾股定理， OA2 OB2 AB2 就有（ 2 x） (2 y ) (2a)
2 2 2
B在y轴上，连接AB设中点P的坐标为（x, y），
化简得x 2 y 2 a 2
不是
(4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是
(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
圆的一般方程与二元二次方程的关系
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
与二元二次方程：
A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0的关系: 1. A ＝ C ≠ 0 2. B=0
方法二：
待定系数法
解：设所求圆的一般方程为：
x y Dx Ey F 0(D E 4F 0)
2 2 2 2
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
F=0 F=0 D+E+F+2=0 解得 D=-8 4D+2E+F+20=0 E=6 3.源自D2＋E2－4AF＞0
二元二次方程表
示圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E 圆心 , 2 2
y C o
圆心在 y轴上
x
y
圆心 在x轴 C 上
x
y
圆过 原点C
o x
o
D=0
E=0
F=0
x y Dx Ey F 0
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圆的一般方程
教学目标:1. 理解一个二元二次方程表示圆的条件
2. 掌握圆的一般方程
3. 会求圆的一般方程，并能利用圆的一般方程解决实际问题
重点难点: 求圆的一般方程，二元一次方程与圆的方程的关系
引入新课
问题：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程。
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。
1．圆的一般方程的推导过程．
2．若方程Ey Dx y x +++22+F =0表示圆的一般方程，有什么要求？
例题剖析
例1．判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。
()()222214441290244412110
x y x y x y x y +-++=+-++=
例2． 已知ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．
变式训练：已知ABC ∆的顶点坐标)11( ，A 、)13( ，B 、)33( ，C ，求A B C ∆外接圆的方程．
例3． 某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度m AB 36=，拱高m OP 6=，每隔m 3
需要一个支柱支撑，求支柱22P A 的长（精确到m 01.0）．
例4． 已知方程0834222=+++++k y kx y x 表示一个圆，求k 的取值范围．
变式训练：若方程02)1(22222=+-+-+m y m mx y x 表示一个圆，且该圆的圆心
位于第一象限，求实数m 的取值范围．
巩固练习
1．下列方程各表示什么图形？
（1）0)2()1(22=++-y x ；
（2）044222=-+-+y x y x ； （3）0422=-+x y x ； （4）02222=-++b ax y x ；
2．若方程0424222=-+-++m m y mx y x 表示圆，则实数m 的取值范围为
3．如果方程Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 所表示的曲线关于直
线x y =对称，那么必有（ ）
A ．E D =
B ．F D =
C ．F E =
D ．F
E D ==
4．求经过点)14( ，
A ，)36( -，
B ，)03( ，
C 的圆的方程．
课堂小结
圆的一般方程的推导及其条件；圆标准方程与一般方程的互化；用待定系数法求圆的一般方程．
课后训练
1．圆036422=--++y x y x 的圆心坐标和半径分别为 ．
2．若方程054222=-+-+m my x y x 表示的图形是圆，则m 的取值范围是 ．
3．已知一圆的圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是 ．
4．若圆Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 的圆心在直线0=+y x 上，
则D 、E 、F 的关系有 ．
5．已知圆024222=++++b by x y x 与x 轴相切，则实数b 的值为 ．
6．过点)11( -，M 且与已知圆C ：034222=-+-+y x y x 的圆心相同的圆的方程
是 ．
7．若圆022222=++++b by x y x 关于直线0=+y x 对称，则=b ．
8．过三)00( ，
O ，)11( ，M ，)24( ，N 的圆的方程是 ． 9．求圆心在直线x y -=上，且过两点)4,0(),0,2(-B A 的圆的方程．
10．求圆012222=+-++y x y x 关于直线03=+-y x 对称的圆的方程．
11．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，求圆C 的方程．
12．已知圆的内接正方形相对的两个顶点分别是A(5,6),C(3,-4)，求这个圆的方程。
13已知点A(4,0),若P 是圆422=+y x 上一个动点，点Q(x,y)是线段AP 的中点，求点Q 的坐标满足的条件。
14．画出方程211y x -=-表示的曲线。
15．已知点)(y x M ，与两个顶点)00( ，
O ，)03( ，A 的距离之比为2
1，那么点M 的坐标 满足什么关系？画出满足条件的点M 所形成的曲线．。