时程分析法 newmark-b
ti
&x&ti
2
t
ti 2
&x&
i
6t
t ti 3
（6）
ti t 时刻的速度向量为：
x&ti
t
x&ti
&x&ti
t
&x& i 2t
t
2
速度增量为：
x&i
x&ti
t x&ti
&x&ti
t
&x& i 2
t
（8）
位移增量为：
x i
x ti
t
x
ti
x&ti
t
&x&ti
2
t 2
&x&i
6
t
3&x&ti
从而可以得出ti t 时刻的位移，速度和加速度向量
x
ti
t
x
ti
x i
x&ti
t
x&ti
x&i
3 t
x&i
2x&ti
t 2
&x&ti
&x&ti t M 1 P ti t fD ti t fs ti t
（11）
fI (t) fD (t) fs (t) P(t)
d
t
ti &x&ti
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d
t
ti
&x&i
t
ti
d
x&
t ti
&x&ti
t
ti
&x& i 2t
ti 2
t ti
x&t
x&ti
&x&ti
t
ti
&x&i
2t
t
ti
2
x&t
x&ti
&x&ti
t
ti
&x& i 2t
t
ti
2
（4）
&x&t
&x&i ti t ti t
（5）
t时刻的加速度：
&x&t
2
t
2
&x& i 6t
t
3
位移增量为：
xi
x ti
t x ti
x&ti
t
&x&ti
2
t 2
&x& i 6
t 2
（7）
t时刻的加速度：
&x&t
&x&ti
&x& i t
t
ti
（4）
t时刻的速度：
x&t
x&ti
&x&ti
t
ti
&x& i 2t
t
ti
2
（5）
对(5)式积分求t时刻的位移：
x t x ti x&ti t
（1） （2）
令 &x&t &x&t t &x&t x&t x&t t x&t
{x t } {x(t t)}{x(t)} P(t) P(t t) P(t)
fI (t) fI (t t) fI (t) [M ]&x&(t t) &x&(t) [M ]&x&(t)
x(t)
（1）
x&(t)
fD
fs
x&(t)
x(t)
2.增量平衡方程
fI (t) fD (t) fs (t) P(t) t t 时刻： fI (t t) fD (t t) fs (t t) P(t t)
将(1),(2)两式相减：
fI (t) fD (t) fs (t) P(t)
（9） （10）
[M ]&x&(t) [C(t)]x&(t) [K(t)]x(t) P(t) ----增量方程(3)
[M
]
6
t 2
x i
6 t
x&ti
3&x&ti
[C
(ti
)]
3 t
x i
3x&ti
t 2
&x&ti
[
K
(ti
)]x i
P(ti )
[M ]
6
1
4
t 2
444
3 [C(ti )] t [K (ti )] 44 2 4 4 4 4 4 43
x i
P(ti
144
)
4
[M 44
]4
6 4t
x&ti
44
4
4
34&x&4t2i 4
4
[C 4
(ti 4
)4]
3x&
44
ti 4
4424t 4&x&4ti
3
K*
P*
等效刚度→ K* tx P* t ←等效荷载
x&i
3 t
xi
3x&ti
t 2
&x&ti
&x& i
6
t 2
x i
6 t
x&ti
时程分析法
1.运动方程
[M ]&x&(t) [C(t)]x&(t) [K(t)]x(t) [M ]1 &x&g
fI (t) fD (t) fs (t) P(t)
线性问题：[C], [K] 为常数矩阵
fs
fD
fs / x k tg
fD / x& c tg
非线性问题：[C], [K] 为时变矩阵
f s 斜率k(t)
fs (t t)
fs (t)
x fs
dfs x dx
结构在t时刻的刚度矩阵 由t时刻结构各构件的切线刚度确定
x(t)
x(t) x(t t)
[M ]&x&(t) [C(t)]x&(t) [K(t)]x(t) P(t) ----增量方程(3)
方程左边的力增量表达式是近似的！
非线性地震反应分析的逐步积分法
fD (t) fD (t t) fD (t) [C(t)]x&(t) ct dfD
dx&
fD
fD (t t)
fD (t)
斜率c(t )
x& f D
dfD x& dx&
x&(t)
x&(t) x&(t t)
fI (t) fD (t) fs (t) P(t)
fI (t) fI (t t) fI (t) [M ]&x&(t t) &x&(t) [M ]&x&(t)
2
速度增量为：
x& i
x&ti
t x&ti
&x&ti
t
&x& i 2
t
在分析中，将x作为基本变量，由式(7)得
（7） （8）
&x& i
6
t 2
x i
6 t
x&ti
3&x&ti
将(9)式代入(8)得
x& i
3 t
x i
3x&ti
t 2
&x&ti
将(9)和(10)代入增量方程(3)解得位移增量xi
（1） 总平衡方程
从而可以得出ti t 时刻的位移，速度和加速度向量
x
ti
t
x
ti
x i
x&ti
t
x&ti
x& i
3 t
x& i
2x&ti
t 2
&x&ti
&x&ti t M 1 P ti t fD ti t fs ti t
&x&ti
&x& i t
t
ti
（4）
t时刻的速度：
x&t
x&ti
&x&ti
t
ti
&x& i 2t
t
ti
2
（5）
对(5)式积分求t时刻的位移：
x t x ti x&ti t
ti
&x&ti
2
t
ti 2
&x&
i
6t
t ti 3
（6）
ti t 时刻的位移向量为：
x
ti
t
x
ti
x&ti
t
&x&ti
Newmark－β法 线性加速度法： t时间间隔内加速度线性变化假定 平均加速度法： t时间间隔内加速度为常数假定
Wilson－θ法
3.线性加速度法
假定t时间间隔内加速度线性变化
在 ti 至ti t 间间隔内t时刻的加速度为
&x&t
&x&ti
&x& i t
t
ti
对(4)式积分求t时刻的速度：
反应谱与时程比较
反应谱法与时程分析法在设计地震下的比较摘 要：以反应谱法与时程分析法的原理为依据，结合实际桥梁单墩模型进行抗震分析，从而得出这两种方法的异同以及它们所适用的范围，并结合它们的优缺点，优化结构动力分析方法的优化。
关键词：反应谱；时程分析；单墩模型；设计地震 0 前言在桥梁抗震计算中，早期采用简化的静力法，5O 年代后发展了动力法的反应谱理论，近2O 年来对重要结构物采用动力法的动态时程分析法和功率谱法进行研究也比较普遍，但目前常用的方法是线弹性反应谱法、弹塑性动力时程分析法和等效静力分析法等几种方法。
其中，反应普法和时程分析法在抗震分析中运用最为广泛。
1 反应谱理论 1.1 反应谱法原理单质点体系在地面运动作用下，运动方程为[18]：...g m x c x kx m x ⋅⋅++=- （1）(1)式中：m —质点质量；..x —质点相对加速度；.x —质点相对速度；x —质点相对位移。
根据单质点体系的振动理论，由Duhamel 积分可知： [][]..01exp ()sin ()t t g x x t t d ξωτωττω=--⋅-⎰(2)对上式微分两次可得加速度(在一般情况下，阻尼比ξ的数值很小，可略去阻尼比的乘积项)，得到单质点体系的地震相对加速度反应的表达式。
最后得绝对加速度的表达式为：......()0()()()sin ()t t g a D g D s x t x t x e t d ξωτωτωττ--=+=-⎰ (3)进而得到作用在质点上的地震力为()a F t m S =⋅。
1.2 反应普法的优缺点反应谱法以其概念清晰、计算简单而被广泛应用，至今仍是各国规范的基本计算方法。
反应谱法根据规范按四类场地土给出的设计反应谱进行计算，对于量大面广的常规桥梁，只取少数几个低阶振型就可以求得较为满意的结果，计算量少；并且反应谱法将时变动力问题转化为拟静力问题，易于为工程师接受，这些都是反应谱法的优点所在。
建筑结构时程分析法综述
图２ ２．２退化三线型模型 该模型主要适用于钢筋混凝土结构， 此模型具有如下特点：（１）、骨架曲线采用 三折线，第一段为线弹性阶段，开裂后采用 第二段折线，第三段为屈服后阶段。两折点 分别对应开裂点于屈服点。（２）、卸载时刚 度不退化，而反向再加载时刚度退化。卸载 线平行直线 ，反向卸载线平行直线 ； 当在未开裂时卸载至零再加载则与反向开 裂点相连；在超过开裂点而未达屈服点时
工 程
中国科技信息 ２００９ 年第 ８ 期 ＣＨＩＮＡ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ Ａｐｒ．２００９
建筑结构时பைடு நூலகம்分析法综述
李泉江 安令石 韩利辉 广西大学土木建筑工程系
摘 要 时程分析方法作为一种动态的计算方法，将 抗震计算理论由等效静力分析进入直接动力 分析，更真实的反应结构的地震反应。本文从 动力方程出发即对时程分析方法进行分析梳 理，以令更多的从事研究设计的工作人员及 学生综合地认识和了解时程分析法。 关键词 结构抗震；时程分析；恢复力模型；计算模型； 数值分析
为时间步长△ｔ，一般取△ｔ＝０．０１～０．０２ｓ； （２）将每个△ｔ内的矩阵［Ｍ］、［Ｃ］、［Ｋ］均
视为常数；
（３）由△ ｔ 的初始值
，
求出其末端值
；
（４）将该末端值作为下一个△ｔ的初始
值，重复计算，直到结束。
运动方程逐步积分的方法很多，常用
的有线性加速度发、Ｗ ｉ ｌ ｓ ｏ ｎ —θ法、
Ｎｅｗｍａｒｋ —β法、Ｒｕｎｇｅ — Ｋｕｔｔａ 法等。
态，实现了弹塑性阶段杆单元沿杆件长度 的变化。显然，相对于单分量模型，分 割梁模型单元刚度矩阵的建立远较单分量 模型复杂，但也更能反应结构在地震作用 下受力变形情况。
1、边界非线性分析
f L (t ) f N (t )
方程右 侧的 f L (t ) 与左侧 由 K N 计算的节点 力中 内力类 型非 线性弹 簧 的 非线性 成分 相 抵， 因此只有 f N (t ) 对动力分析结果有影响。使用有效刚度矩阵 K N 的原因是因为非线 性弹簧所处的位置当仅考虑结构构件的刚度矩阵 K S 时结构可能成为不稳定结构。 有效 刚度矩阵 K N 是由用户直接输入非线性弹簧刚度的线性特性值。 质量矩阵可由一致质量法或集中质量法计算，结构的自振周期和振型可由结构的质量矩 阵和刚度矩阵使用特征值向量法 ( 子空间迭代法或兰佐斯法) 或多重里兹向量法计算。结 构的阻尼矩阵使用振型阻尼方法计算。振型阻尼可使用由用户直 接输入各振型阻尼的方 法，也可使用质量和刚度因子计算各振型阻尼的瑞利阻尼法。程序还提供由各构件阻尼 比通过应变能方法计算各振型阻尼的“应变能因子”法。
8-5-2 边界非线性时程分析概要
如前所述，边界非线性模型由 非线性系统和线性系统构成，边界非线性分析通过将非线 性系统发生的内力转换成线性系统的外部动力荷载在进行结构分析的。
p
p
fN
fL
fN
fL fN : Nonlinear spring & force fL : Effective Stiffness & force
利用程序中的时变静力荷载功能将静力荷载转换为动力荷载。 操作过程如下： （ 1） （2 ） 在主菜单的荷载 > 时程分析数据 > 时程荷载函数中定义时程荷载函数。 在时程荷载函数类型选择“无量刚”，且定义一个如下图所示的 转换荷载。转 换荷载的水平段时间长度要使静力荷载转换为动力荷载后具有足够的衰减时间 达到可以忽略其动力效果的程度。 （3） 在主菜单的荷载 > 时程分析数据 > 时程荷载工况中定义时变静力荷载对应的时程 荷载工况。分析类型选择“非线性”、 分析方法选择“直接积分法”，为了缩 短分析时间可将阻尼比设置为0.99。 （4 ） 在主菜单的荷载 > 时程分析数据 > 时变静力荷载中选择要参与组合的静 力荷载工 况、前面定义的转换荷载、对应的时程荷载工况名称。
基于Newmark-β法的建筑结构地震响应简化计算
基于Newmark-β法的建筑结构地震响应简化计算摘要：地震是人类最严重的自然灾害之一，分析地震荷载下建筑结构体系的振动响应十分重要。
而对于建筑结构体系，一般将其离散为多自由度体系。
地震荷载下多自由度体系的响应可以采用中心差分法、分段解析法、Newmark-β法、Wilson-法等方法进行分析，其中Newmark－β法可以用来求解任意荷载下多自由度体系响应分析，包括地震荷载下的多自由度体系响应分析，精度较高。
本文主要结合振型叠加法和Newmark－β法思想，将建筑结构简化为多自由度体系，采用Python语言进行编程以获得基于Newmark-β法的建筑结构地震响应简化计算程序，最后通过简化算例验证了该算法程序的可行性，且由于Newmark－β法是一种显式求解法，故求解速度较快。
关键词：建筑结构；Newmark-β法；多自由度；地震响应；简化计算中图分类号：文章编号: 1000-565X1 引言地震是人类最严重的自然灾害之一。
有关记录表明，二十世纪因地震灾害造成的死亡人数至少在120万人以上。
发生在1976年我国的唐山大地震，死亡人数超过24.2万，因地震造成的直接间接损失超过百亿元。
减少因地震造成的生命财产损失对于国民经济的发展和人民生命财产的安全意义重大，其主要途径是工程结构抗震设计。
随着人类抗震经验的不断积累以及电子计算机的飞速进步，地震工程的理论和应用得到很大发展。
从早期的线性单自由度分析到如今的高度复杂的结构体系非线性弹塑性分析，并结合大型的模拟地震台作为检验，人们已经积累了一套相对完善的反映工程实际的抗震设计方法。
而地震反应的理论分析中，对响应的准确计算和分析是抗震设计的前提和基础。
结构地震响应计算方法经历了从静力法到反应谱法[1]，最后落脚在时程分析法[2]的三大发展历程。
静力法只有在自振周期远小于地面运动周期时才足够精确，它忽略了结构自身的动力特性，因而存在很大局限性。
上世纪40年代提出了反应谱理论，但设计过程仍是静态方法，且无法反映许多实际复杂因素。
Newmark
多自由度系统的振动——Newmark-β数值积分方法要求：（1）计算程序可以求出多自由度系统在任意荷载作用下的响应；（2）编写程序流程图；（3）做示例验算；（4）总结分析算法的稳定性及精度。
算例：计算图示结构的响应。
阻尼采用Rayleigh阻尼，α、β值自拟。
答：（1）程序流程图：是否（2）程序代码：%Newmark-β法求多自由度结构的响应dt=0.001; %计算时间间隔a=0.0452; b=0.0463; %计算阻力矩阵的α，β(Rayleigh阻尼) A=0.5;B=0.25; %Newmark-β法中的α，βa0=1/(A*dt^2); a1=B/(A*dt); a2=1/(A*dt); a3=1/(2*A)-1;a4=B/A-1; a5=dt/2*(B/A-2); a6=dt*(1-B); a7=B*dt;%计算所需数据T=30; %计算终点时刻n=T/dt+1;t=0:dt:T; %时间向量m=3; %质点个数M=[1,0,0;0,1,0;0,0,1]; %质量矩阵y=ones(m,n); %位移矩阵v=ones(m,n); %速度矩阵ac=ones(m,n); %加速度矩阵%确定初始位移、初速，计算初始加速度y(:,1)=[0;0;0];v(:,1)=[0;0;0];%K=[t(1)+1,0,0;0,t(1)+1,0;0,0,t(1)+2];%以时间为自变量的刚度矩阵K=[1,-1,0;-1,3,-2;0,-2,5];%常量刚度矩阵C=a.*K+b.*M;F=[sin(t(1));0;0]; %t0时刻荷载向量ac(:,1)=M\(F-C*v(:,1)-K*y(:,1)); %t0时刻加速度%计算等效刚度矩阵、位移向量、加速度向量、速度向量fori=2:n%K=[t(i)+1,0,0;0,t(i)+1,0;0,0,t(i)+2];%以时间为自变量的刚度矩阵C=a.*K+b.*M;F=[sin(t(i));0;0];F1=F+M*(a0*y(:,i-1)+a2*v(:,i-1)+a3*ac(:,i-1))...+C*(a1*y(:,i-1)+a4*v(:,i-1)+a5*ac(:,i-1)); %等效力K1=K+a0*M+a1*C; %等效刚度矩阵y(:,i)=K1\F1; %计算位移向量ac(:,i)=a0*(y(:,i)-y(:,i-1))-a2*v(:,i-1)-a3*ac(:,i-1);%计算加速度向量v(:,i)=v(:,i-1)+a6*ac(:,i-1)+a7*ac(:,i);%计算速度向量end%提取某些指点的位移、速度、加速度向量，绘制响应图plot(t,y(1,:),':b',t,y(2,:),'-r',t,y(3,:),'--g');grid onlegend('质点1','质点2','质点3');xlabel('时间t');ylabel('位移y');figure(2)plot(t,v(1,:),':b',t,v(2,:),'-r',t,v(3,:),'--g');grid onlegend('质点1','质点2','质点3');xlabel('时间t');ylabel('速度v');figure(3)plot(t,ac(1,:),':b',t,ac(2,:),'-r',t,ac(3,:),'--g');grid onlegend('质点1','质点2','质点3');xlabel('时间t');ylabel('加速度ac');程序运行结果：（3）算法稳定性及精度Newmark-β法基于泰勒公式将t(k+1)时刻的速度、位移在t(k)时刻展开，并将未知项做近似替换。
newmark-β法
newmark-β法随着现代社会的发展和人民生活水平的提高，人们对于干净、安全、健康的水环境的要求也越来越高。
因此，水污染治理成为了各国领导和社会关注的焦点。
为了解决水污染问题，探索高效、经济、环保的水处理技术也成为了各界追求的目标。
其中，新mark-β法（Newmark-β Method）作为一种理论分析方法，自2009年开始引起了各界的热切关注。
它是一种针对地下水中挥发性有机物（VOCs）的土壤气迁移问题的方法，也可以被用来模拟化学污染物的扩散过程。
新mark-β法正是以美国地质调查局的科学家Jeffrey Newmark和James W. Mercer的名字命名的。
这个方法的基本思路是将被处理的区域划分为若干个小网格，然后通过数学模拟的方法来研究VOCs在不同土层中的运动情况，预测它们的迁移和扩散趋势。
用这种方案可以有效地模拟VOCs的迁移、捕获效果，及释放时间等因素的影响。
新mark-β法的主要优点是可以考虑到土壤的物理特性和化学特性，也可以考虑微生物和土壤水文地质因素等。
同时，该方法具有高精度、高效率、低成本等显著特点。
这意味着，这个方法可以纠正不同土层之间的不均匀性、土壤沉降的影响、便于对土壤污染治理效果的评估等。
除此之外，新mark-β法也可以通过标定质量传递速率和扩散系数来定量计算污染物的浓度变化，从而预测未来污染扩散的趋势。
这对于对污染物处理方案的制定和环境保护措施的实施都具有十分重要的意义。
总之，新mark-β法不仅精准、可靠，而且计算效率高、适用范围广。
这种方法在水污染治理、土壤修复等方面的应用前景十分广泛。
相信在不断的改进和完善下，它将为保护我们的环境和人民的健康作出更大的贡献。
【国家自然科学基金】_newmark-β法_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
2011年 科研热词 非粘滞阻尼 钢悬链线立管 轴系扭振 触地点 航空发动机 耦合动力学 算法机理 矩形断面 瞬态响应 疲劳损伤 用户自定义函数 涡激振动 海床土刚度 汽轮发电机组 有限元 时程积分 整机振动 数值模拟 指数型阻尼 微分求积法 双转子 动网格 动力响应 分段精确法 仿真 newmark-β 方法 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2014年 科研热词 转子动力学 色散介质 电磁散射 滑动轴承 流固耦合 油膜动力特性系数 有限变分法 时域有限差分方法 动态分析 newmark方法 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
科研热词 非线性 稳定性 分岔 taylor级数 高维 驰振 非线性morison方程 连续模型 辛数值流形时间子域法 转子轴承系统 调谐质量阻尼器(tmd) 耦合 结构动力方程 结构动力响应 精细算法 精细积分法 精度 相空间非传统hamilton 状态空间法 混沌 深水桥墩 涡激振动 流固耦合 油膜振荡 桥梁结构 最小二乘原理 振型叠加 指数矩阵 常平均加速度法 多自由度系统 地震反应 变换空间 变分原理 参数识别 参数优化 动网格 动态特性 动力方程 交通荷载 两自由度模型 两步构造法 udf simuliink仿真系统 newmark-β 法
基于Newmark-β法的Matlab简单程序编写
基于Newmark-β法的Matlab简单程序编写李坤明;黄菲【摘要】我们知道,对于结构动力学问题的直接求解往往是比较困难的,而Newmark-β法的出现,很巧妙地将这种困难化解.Newmark-β法是一种时程分析的方法,它将动力学微分方程的求解问题转化为若干个代数方程逐步求解,是一种隐式积分法,可以得到足够精确的解.本文基于Newmark-β法的理论知识,用Matlab 对一个简单动力学问题的求解进行编程运算.【期刊名称】《四川建材》【年(卷),期】2018(044)009【总页数】3页(P65-66,90)【关键词】Newmark-β法;编程;结构力学【作者】李坤明;黄菲【作者单位】西华大学土木建筑与环境学院,四川成都 610039;西华大学土木建筑与环境学院,四川成都 610039【正文语种】中文【中图分类】TP3131 逐步积分法在结构动力学问题的分析中，对于承受任意动荷载的线性结构，我们可以采用Duhamel、频域分析等方法，这些方法都可以很方便地求解出所需要的结果。
但是上面的两种方法都用到了叠加原理，所以它们只适用于求解线性结构体系，同时也必须要求这种体系的特性在反应过程中不能发生变化[1]。
然而，在另一方面，我们的实际生活中有很多重要的结构动力学问题，整个反应体系并不能单纯地认为是线性变化的，比如，在足以引起强烈破坏的地震作用下，很多建筑物的反应，我们都必须考虑非线性反应的影响。
所以，我们还必须要发展对于非线性结构的动力响应的分析方法。
对于非线性体系的动力响应问题，发展出了最有效的分析方法—逐步积分法[1]。
在这种方法中，我们采用一系列的短时间增量Δt来计算反应，而通常为了方便起见，我们将Δt取为等间距的时间步长。
在每个时间间隔的起点和终点建立动力平衡方程，并以一个假设的反应机理为根据，近似地计算在时间间隔内体系的运动(通常忽略在时间间隔内产生的不平衡)，体系的非线性特性可以用每个时间间隔的起点所求得的当前变形状态的新特性来说明。
关于Newmark_法机理的一种解释
Vol.31 No.2 Apr.2 01 1
关于 Newmark-β 法机理的一种解释
李鸿晶 1 , 王 通 2 , 廖 旭1
(1.南京工业大学 土木工程学院 , 江苏 南京 210009;2.同济大学 土木工程防灾国家重点实验室 , 上海 200092)
摘要 :一般认为 , Newmark-β 法属于积分类型的动力数值分析方法 , 和基于荷载分段插值类型的数值 方法 不是相同类型的方法 。 在本 文中 , 研究 了这 两类方 法之 间的关 系 , 以最 常使 用的两 种 Newmark 方法 ——— 平均常加速度法和线性加速度法为例 , 从 Newmark基本假定 出发推导出 这两种方 法所具有 的荷 载分布模式 。 结果发现 :平均常加速度法和线性 加速度法与 各时间步 距内荷载分 布模式 分别取 为二 次函数和三次函数时的荷载分段精确法完全相同 , 但平均 常加速度法 在时步的 始末端点 处荷载 是不 连续的 , 且同真实荷载值不重合 。 因此 , Newmark-β 法亦可看作 是一种基 于荷载 分段插 值类型 的数 值分析方法 , 可以从荷载分布模式假定的角度解释 Newmark-β 法 的数值机理 。 最后 , 通过一个 单自 由度体系实例阐释了本文结论的正确性 。 关键 词 :Newmark-β 方 法 ;分段精确法 ;算法机理 中图 分类号 :P315.96 文献标志码 :A
取 τ=Δti即可获得步距末端的反应值 , 考虑到 Δu¨i=u¨i+1 -u¨i, 有
(8)
﹒ui+1
=﹒ui
+
1 2
Δti(u¨i
+u¨i+1
)
(9)
ui+1
=ui
时程分析报告阻尼模型附数值计算方法
时程分析阻尼模型及数值计算方法1、阻尼模型阻尼是用以描述结构在振动过程中能量的耗散方式，是结构的动力特性，是影响结构动力反应的重要因素之一。
结构振动时，由于结构材料的内摩擦、材料的滞回效应等机制导致能量消耗，使结构振动幅值逐渐减少，最后直至完全静止。
结构的耗能机制非常复杂，它与介质的特征、结构粘性等诸多因素有关。
常用的是粘滞阻尼理论，它认为，阻尼力与速度成正比。
试验也证明，对于许多材料，这种阻尼理论是可行的，并且物理关系简单，便于应用和计算。
根据实测去确定阻尼大小是相当困难的，但由于阻尼的影响通常比惯性力和刚度的影响小，所以一般都采用简化的方法考虑阻尼。
本文采用最为广泛应用的瑞雷阻尼。
瑞雷阻尼假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，即[][][]C M K αβ=+ (4.15)式中，α、β为常数，可以直接给定，或由给定的任意二阶振型的阻尼比i ξ、j ξ反算求得。
根据振型正交条件，待定常数α和β与振型阻尼比之间的关系应满足：22k k k βωαξω=+(k =1,2,3,…,n ) (4.16a) 任意给定两个振型阻尼比i ξ和j ξ后，可按下式确定比例常数222j i i ji ji jξωξωαωωωω-=- 222j i i ji jξωξωβωω-=- (4.16b)i ω、j ω分别为第i 、j 振型的原频率。
本文取前两阶振型频率求得α、β值。
2、数值积分方法多自由度结构体系动力微分方程为：[]{}[]{}[]{}[]{}()gM x C x K x M x t I ++=-(4.17) 其中，[]M －质量矩阵；[]C －阻尼矩阵；[]K －刚度矩阵；{}I －单位对角阵；()g x t －地面运动加速度；{}x 、{}x 、{}x－结构楼层相对于地面的位移、速度和加速度反应。
在结构动力计算中，常用的直接积分法有中心差分法、线性加速度法、Wilson-θ法和Newmark-β法等。