高中数学_均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思

《§3.2均值不等式不等式》的教学设计

一、教材分析

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人

教B 版）第三章第2节第一课时，

2

a b +≤的推导与简单应用．它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据，

2

a b +证明不等式和求最值这两个侧面来体现

2a b +≤的应用，2a b +≤的推导过程中渗透了代换的解题方法，为学生后续学习推理与论证的内容埋下

伏笔，同时在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是

学生今后学习中必备的数学素养．

二、教学目标

1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生

从几何图形中获得两个基本不等式，了解均值不等式的几何背景培养

学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合

的思想意识；

2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理

解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。

3．通过例题让学生学会用均值不等式证明不等式和求最值。

三、教学重点、难点

（一）、教学重点：本节课的重点内容是应用数形结合的数学思想

2

a b +≤的证明过程．

（二）、教学难点：（1）

2

a b +≤等号成立条件 （2）理解均值不等式和灵活应用均值不等

式

四、教学策略

我在这节课的设计上采用了由学生身边的校园农场修篱笆这一问题引入，从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、代换，化归的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路．同时，借助多媒体的直观演示，实物投影展示帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点．

教法: 问题引导、启发探究，小组讨论和归纳总结相结合

五、学情分析

对于高一的学生，前面有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，能够进行简单的数与式的比较，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的．

六、教学过程

（一）、情景问题设置

我们学校打算在校园农场用篱笆围一个面积为100 平米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？要解决这个问题，就要用到今天要学习的均值不等式。

（二）、引入课题

下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。

通过会标弦图的介绍，让学生学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学，学好数学的热情。

探究一：观察上面的会标。会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想。

【设计意图】

1．培养学生识图和分析数据的能力，并通过对数量关系的分析得出基本不等式的雏形，进而逐步发现基本不等式的本质和成立条件。

2．鼓励学生独立思考，充分发挥学生的创新和想象能力，进而发现并理解基本不等式的实质 D H F G

E

师：假设弦图当中直角三角的直角边分别为a,b,斜边可以表示为什么？

生：师：正方形ABCD 的面积S=＿＿＿＿＿？四个直角三角形的面积和S ’＿＿＿＿？

生：大正方形面积22a b +，四个直角三角形面积和为2ab ，并且。 师：S 与S ’有什么样的不等关系？

生：22a b +>2ab

师：那么它们有相等的情况吗？

生：会相等。 a b =时会相等。

（教师投影展示取等号的条件，证明学生的想法是正确的。） 结论：222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号）

师：你能给出证明吗？（此问题学生口述即可）

生：由222a b ab +≥，则2220a b ab +-≥?2()0a b -≥恒成立。则a b =时取等号。

师：一般的我们都用

a ，

b 表示，那么若将上式中的a ，b

，你又会得出什么结论？如何证明？

【设计意图】

用代数的方法证明基本不等式，进而使学生加深对基本不等式的理解，理解基本不等式中不等号和等号成立的条件；引导学生自己动手写出证明过程，并自我总结归纳基本不等式运用的条件，有利于学生准确、灵活应用。

生： 2(0,0)a b ab a b +≥>> 当且仅当a b =时取等号。

师：很好，还可以写成

(0,0)2

a b ab a b +≤>> 这样我们又一次得到了基本不等式。根据以上证明学生已经基本 解了基本不等式的形式和推导方法，同学们是否真正理解了基本 不等式的含义。

（三）、自主探究 深化认识

1.认识基本不等式的几何背景

如右图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =，

BC b =。过点C 作垂直于AB 的弦DE ,连接AD 、BD 。你

能利用这个图形，得出(0,0)2

a b ab a b +≤

>>的几何解释吗？ 【设计意图】 对图形进一步分析，引导学生发现几何平均数和算术平均数，让学生体会不仅能以数证形，寻找数量关系的几何解释，还可以通过对图形的观察分析以形识数，进而完善前面的代数结论。

师：①如何用a, b 表示OD?

生：OD=__2+a b ____

师：②如何用a, b 表示CD?

生：易证Rt ACD ?∽Rt DCB ?，那么2CD CA CB =?，即CD ab = 师：这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2

， 其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.

因此：均值不等式2

a b ab +≤几何意义是“半径不小于半弦”

结论:（教师投影展示学生口述结果）

a 、

b 的几何平均数，2

a b +是a 、b 的算术平均数。 代数解释：几何平均数不大于算术平均数。

几何解释:半弦不大于半径。

数列解释：两个正数的等差中项大于等于它们的等比中项。

（四）实战运用 强化新知

类型一 用均值不等式证明不等式

例1 （1）已

知x 、y 都是正数．求证： y x ＋x y

≥2

例1 （2）x ，y ，z 都是正实数, 求证：(x ＋y)(y ＋z)·(z ＋x)≥8xyz.

∵x ，y ，z 都是正实数，

∴()()()()()()8.

x y z y x z x y z y x z xyz x y z +≥+≥+≥+++≥===当且仅当时，等号成立

类型二 均值不等式与最值

例2 (1)若a>0，b>0,ab=1，a+b 的最小值，并求此时a.b 的值；

∵x ，y 都是正数，∴x y >0，y x >0，

∴y x ＋x y ≥2y x ·x y ＝2，即y x ＋x y ≥2， 当且仅当x ＝y 时，等号成立．

当a >0,b>0时，a ＋b ≥2

当且仅当a ＝b=1时，取等号．所以

a+b 的最小值是2 (2) 若a>0，b>0,a+b=1，求ab 的最大值，并求此时a.b 的值；

当a >0,b>0

时， 当且仅当a ＝b=取等号,所以ab 的最大值为

师：由上题你能观察出它可以解决哪些式子的最值问题？

生：积定和最小，和定积最大

师：在求最值的过程中需要满足什么条件？

生：一正，二定，三相等

四：自主探究：

师：

(3)求y=x 2＋1（x ≥0)的最小值。

法一：因为x 2≥0，所以y=x 2＋1≥1当且仅当x ＝0时取等号,所以(x 2＋1)min ＝1.

法二：根据所以x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．

当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2.

【设计意图】 1a a +的

最小值是2110,sin 2sin 22sin sin 1sin 2.sin x x x x y x x

π??∈+≥?= ???

=+（2）x 由所以的最小值是1122a R a a a a ∈+≥?=判断下列推理是否正确：

（1）若，则由得

考查学生对所学知识点掌握的情况，是否真正理解了基本不等式并能注意运用公式时需要注意的条件，从而真正意义上理解不等式的含义。（学生先独立思考，组内再探讨，最后小组派代表解答。）

例题3已知函数

求函数的最小值．

3()2222222322f x x x x x x x =-++≥=->??=?-=?-?

解：当且仅当即的最小值是。 min 41,14-1+15,3y 51

x y x x y x x x >=+

-=+≥==-变式1：已知求的最小值。解：当且仅当时， 生：可以转化为变式1

(2)01,(1)x y x x <<=-试用两个方法设求的最大值。

学生上黑板讲解： 法一：二次函数法：2max 11(1)=y ,24

y x x x x x =--==，当时

法二：均值不等式法：

【设计意图】

强调用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件及凑常数的技巧。体会划归思想的应用。

情景回馈：

东营市一中打算在校园农场用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜)2(23)(>-+=x x x x f 211101,(1)(),242x x x y x x x +-<<=-≤==当时，取等号

园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，

则xy ＝100，篱笆的长为2(x ＋y) m.

当且仅当x ＝y ＝10时等号成立．

所以这个矩形的长、宽都为10 m 时，

所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.

【设计意图】让学生通过本节课所学内容，解决课前的情景问题，体会均值不等式在实际生活中的应用。

六、课堂小结

1、本节课你学到了什么？

2、你还有哪些疑问？

【设计意图】通过提问让学生在头脑中形成自己的知识体系，自己总结检验本节课的听课效果，是否还有自己没听懂的问题一下就清楚了。

七.作业布置

必做题:P.113—1、2、3、4

选做题：

1.已知,x y 都是正数，求证：

（1）如果积xy 是定值P ，那么和x y

+

有最小值x y =； （2）如果和x y +是定值S ，那么积xy 有最大值24

S ，此时x y =． 241,1

x x x y x -+>=-变式2：已知求的最小值。由x ＋y 2≥xy ，可得x ＋y ≥2100，

2.当a>0,b>0时不等式2a b ab +≤成立，若0(1,2,3,,)i a i n >=L ，则有不等式————————————————————————————成立．

研究性作业：

（1）设00a b ＞，＞，称2ab a b

+为,a b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且,AC a CB b ==，

O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，连结,AD BD ,则图中线段 的长度是,a b 的算术平均数，线段 的长度是,a b 的几何平均数，线段 的长度是,a b 的调和平均数．

（2）已知,a b 都是正数，证明：22

2

1122a b a b ab a b ++≤≤≤+． 设计意图:

分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，发挥自己的潜能．

学情分析

对于高一的学生，前面有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，能够进行简单的数与式的比较，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的．

效果分析：

本节课的教学目标设定明确、具体、恰当；教学重点、难点突出； 教材处理注重展现知识的发生、发展过程，能恰当地创设情境，在教学中设计了一些较有思考价值的问题串，每个小问题的设置既明确具体，又有适当的难度；教学方法的设计注重了启发式原则，体现了教师的“两导”的作用（即引导者、导演），体现了以学生为主体；学法指导比较恰当，便于逐步地诱导学生正确理解重点知识。在教师有效的调控下，学生的参与积极的、主动的，教学效果好。

教材分析

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教B 版）第三章第2节第一课时，

2

a b +≤的推导与简单应用．它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据，

2

a b +证明不等式和求最值这两个侧面来体现

2a b +≤的应用，2a b +≤的推导过程中渗透了代换的解题方法，为学生后续学习推理与论证的内容埋下伏笔，同时在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是学生今后学习中必备的数学素养．

我对教材的处理

本节内容分两个课时，本设计是第一个课时，以所在学校的校园农场修建篱笆为问题导入，引起学生共鸣和探索的欲望，以作差法为依托证明基本不等式，用代换的思想推导均值不等式，从代数，几何，

数列三个角度解读均值不等式。本课时主要侧重均值不等式在证明何求最值方面的基本应用，难点是对一正二定三相等三个条件的理解，通过判断对错强化对三个条件的理解，通过例题和变式让学生把握凑定值的变换方法。中间引导学生自己发现并解决问题，充分调动学生主动学思的积极性，培养学生的数学素养，为第二课时打好基础。

测评练习

1.判断对错

（1）由,,a b R ∈

则a b +≥。 （ ）

（2）若0,x <则12x x +≥。 （ ）

（3

）当时，

2

a b +≥ （ ） （4）函数1y x x =+0,0a b ≥≥的最小值为2. （ ） 2. (x ＋y)(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3

3. 某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，a ，b ，x 均大于零，

则

的最小值。求若1

4,1.4-+=>x x y x A.x ＝a ＋b 2

B.x ≤a ＋b 2

C.x ＞a ＋b 2

D.x ≥a ＋b 2

课后反思：

新课程的理念倡导学生积极主动地探索知识的发生、发展，但这必须是在教师的引领之下，否则学生很容易误入歧途．教师应该尽力做好学生探究活动的引路人．在设计这节课的教学时，课堂上采取让学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、引导者和服务者，为了让学生的探究活动积极有效，主要设想以问题立意，始终围绕基本不等式的发现、发展这一中心问题并渗透数型结合、转化与化归思想．在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学教学理念．

课标分析

新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式，把学习的主动权还给学生。以此为宗旨，我采用引导教学法、讲授教学法等诸多方法，引导学生自主学习、探究学习，努力做到教法、学法的最优组合。结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，让学生自主地去探求知识。

学生通过自己的实践，真切地的体会均值不等式的推导和应用，强化对新建构的知识的理解与掌握，加深对所学知识的认识。