陕西延安黄陵中学(高新部)2021高三数学(理)上期中试题(解析版)

2021届陕西省延安市黄陵中学（高新部）高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}0,2,3,5A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}2,3,5B ．{}0,3,5C ．{}0,2,5D ．{}0,2,3【答案】A【分析】根据集合交集运算求解即可得答案 【详解】解：根据题意，{}{}{}2,0,2,3,53,4,52,3,5A B ==.故选：A.2．设x ∈R ，则“30x -≥”是“11x -≤”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】本题首先可通过运算得出30x -≥即3x ≤以及11x -≤即02x ≤≤，然后根据3x ≤与02x ≤≤之间的关系即可得出结果.【详解】30x -≥，即3x ≤，11x -≤，即111x -≤-≤，02x ≤≤，因为集合[]0,2是集合(],3-∞的真子集， 所以“30x -≥”是“11x -≤”的必要不充分条件. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．3．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b =（ ） A ．2 B ．3C ．-2D ．-3【答案】B【分析】利用余弦定理列方程求解即可得答案. 【详解】解：因为已知5a =，2c =，2cos 3A =， 所以由余弦定理得：2222452cos =243b c a b A bc b +-+-==，解方程得：3b =或13b =-（舍） 故选：B.4．“x R ∀∈，20x x π-≥”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，20x x π-<B ．x R ∀∈，20x x π-≤C ．0x R ∃∈,2000x x π-<D ．0x R ∃∈，2000x x π-≤【答案】C【分析】根据全称命题的否定求结果.【详解】因为“”x R ∀∈的否定为0“”x R ∃∈，所以“x R ∀∈，20x x π-≥”的否定是:0x R ∃∈,2000x x π-<, 选:C.5．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y ＝x【答案】D【解析】试题分析：因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．【解析】对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．6．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数.若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）. A ．[]22-,B ．[]1,1-C ．[]0,4D ．[]1,3【答案】 D【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式1(2)1f x --化为121x --，解得答案． 【详解】解：由函数()f x 为奇函数，得(1)(1)1f f -=-=， 不等式1(2)1f x -≤-≤即为(1)(2)(1)f f x f ≤-≤-，又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，所以得121x ≥-≥-，即13x ≤≤， 故选：D.7．若函数3log (25),0()1,02xx x f x x +>⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则((1))f f -=（ ）A ．14B ．12C ．2D ．3log 7【答案】C【分析】利用分段函数的性质求解即可【详解】(1)2f -=，3((1))(2)log 92f f f -=== 故选：C8．函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xxx R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 9．函数f (x )＝ln x －22x 的零点所在的区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【答案】B【分析】计算出(1),(2),(3),(4)f f f f ，并判断符号，根据零点存在性定理可得答案. 【详解】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，函数()f x 的图象是连续不断的， 因为(0)f →-∞，(1)2f =-，21(2)ln 2ln 2042f =-=->，2(3)ln 309f =->，1(4)ln 408f =->， 所以根据零点存性定理可知，函数()f x 在区间(1,2)内存在零点. 故选：B.【点睛】本题考查了零点存在性定理，属于基础题.10． 函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图象如图所示，则函数y ()f x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间． 11．已知1sin 123πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则17cos 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ） A ．13- B ．223C ．13D ．223-【答案】C【分析】根据题意，化简得17312212πππαα+=+-，再利用诱导公式对17cos 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭进行化简求值即可.【详解】解：由题可知，1sin 123πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 由于17183121212212πππππααα+=+-=+-， 所以1731cos cos sin 12212123ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：C.12．已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ(0)2πϕ<<个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为（ ）A ．6π B ．56π C ．12πD ．512π 【答案】C【分析】根据图象得周期求出ω，代入最高点求出ϕ， 【详解】平移后的函数解析式为2cos()y x ωωϕ=-+，由题图知，T ＝21151212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭＝π， ∴ω＝2Tπ＝2， ∴y ＝－2cos(2x ＋2φ)， 将5(,2)12π代入得52cos(22)212πϕ-⨯+=，即5cos(2)16πϕ+=-，∴56π＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z)，则φ＝12π＋k π(k ∈Z).又0<φ<2π，所以φ＝12π.故选：C.【点睛】本题考查了图象的平移变换、由图象求参数，属于基础题.二、填空题13．已知集合2{|5140}A x x x =--≤，集合{|121}B x m x m =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为________. 【答案】(],4-∞【分析】求得集合{|27}A x x=-≤≤，根据B A⊆，分Bφ=和Bφ≠两种情况讨论，即可求解，得到答案．【详解】由题意，集合2{|5140}{|27}A x x x x x=--≤=-≤≤当Bφ=时，则121m m+≥-，解得2m≤；当Bφ≠时，若B A⊆，如图所示：则满足12217121mmm m+≥-⎧⎪-≤⎨⎪+<-⎩，解得24m<≤．综上，m的取值范围为(],4-∞.【点睛】本题主要考查了集合间的关系及其应用，其中解答中根据集合间的包含关系，合理分类讨论是解答的关键，同时忽视Bφ=是解答本题的一个易错点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝()1f x，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则()105.5f＝______．【答案】2．5【分析】由()()()142f x f xf x=＋＝＋，求出函数的周期是4，再结合偶函数的性质，()105.5f转化为()2.5f，代入所给的解析式进行求解．【详解】()()()()14222f x f x f xf x⎡⎤=⎣⎦＋＝＋＋＝＋．故函数的周期为4．∴()()()()105.5427 2.5 2.5 2.5f f f f⨯＝－＝－＝．∵2 2.53≤≤，由题意，得()2.5 2.5f＝．∴()105.5 2.5f＝．【点睛】本题考查了函数周期性和奇偶性的应用，即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式，将所求的函数值进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想．15．在△ABC中，若b2，B＝2A，则△ABC为______三角形．【答案】等腰直角【分析】由B＝2A，得sin sin2B A=，由正弦的二倍角公式可得sin2sin cosB A A=，又b ＝2a ，由正弦定理可得2cos A =，再运算即可得解. 【详解】解：因为在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝2A ， 所以sin sin 2B A =，即sin 2sin cos B A A =， 由正弦定理sin sin a bA B=，则2cos b a A = 又b ＝2a ，所以2cos A =， 又()0,A π∈， 所以4A π=，即,24B C ππ==，即△ABC 为等腰直角三角形， 故答案为等腰直角.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的形状及正弦的二倍角公式，重点考查了运算能力，属基础题. 16．由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________. 【答案】18【分析】先求得抛物线与直线的交点坐标，数形结合，利用定积分即可容易求得图形的面积.【详解】如图所示，解方程组224y xy x ⎧=⎨=-⎩得两交点为(2，－2)，(8，4).选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和， 即8222d (24)d S x x x x x =++⎰⎰()()3328882220222211224?332x x x x =+-+ 1656302433=+-+ 18=故答案为：18.【点睛】本题考查利用定积分求曲边梯形的面积，涉及抛物线的轨迹，属综合基础题.三、解答题17．设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足31x -<．若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；【答案】23x <<.【分析】分别解出两个不等式，由p q ∧为真，则p 真且q 真，可得答案. 【详解】由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<， 当1a =时，13x <<，即p 为真时，实数x 的取值范围是13x <<． 由31x -<得131x -<-<，解得24x <<， 即q 为真时，实数x 的取值范围是24x <<， 若p q ∧为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是23x <<． 故答案为：23x <<.18．已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式000yf f x 中即可；（Ⅱ）设()()h x f x ='，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为()00h =，从而可以知道()()0h x f x '=<恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为()e cos xf x x x =-，所以()()()ecos sin 1,00xf x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1xh x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x =--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<.所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x ='，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()0h x '>(()0h x '<)恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果. 19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，sin 3sin B C =．（1）求tan C 的值；（2）若a =ABC 的面积．【答案】（1）tan C =；（2）S =【分析】（1）因为3A π=，所以23B C π+=，然后，由sin 3sin B C =变为2sin 3sin 3C C π⎛⎫-=⎪⎝⎭，进而求解即可（2）利用正弦定理和余弦定理，求出b 和c ，利用面积公式求解即可 【详解】解：（1）因为3A π=，所以23B C π+=， 故2sin 3sin 3C C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 3sin 2C C C +=，即5sin 22C C =，得tan 5C =． （2）由sin sin b c B C=，sin 3sin B C =，得3b c =． 在ABC 中，由余弦定理，得22222212cos 92(3)72a b c bc A c c c c c =+-=+-⨯⨯⨯=，又因为a =1c =，3b =，所以ABC 的面积为1sin 24S bc A ==． 【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用正弦定理，化简得3b c =，以及利用余弦定理求出b 和c ，难点在于运算，难度属于中档题20．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =.（1）求a 的值及()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值.【答案】（1）2a =；(1,3)-；（2）2.【分析】（1）由函数值求得a ，由对数的真数大于0可得定义域；（2）函数式变形为22()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦，由复合函数的单调性得出单调区间后可得最大值．【详解】解：（1）(1)2f =，log (11)log (31)log 42a a a ∴++-==，解得2(0,1)a a a =>≠，由1030x x +>⎧⎨->⎩，得(1,3)x ∈-. ∴函数()f x 的定义域为()13-，.（2）22222()log (1)log (3)log (1)(3)log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦∴当[0,1]x ∈时，()f x 是增函数；当3[1,]2x ∈时，()f x 是减函数. 所以函数()f x 在3[0,]2上的最大值是2(1)log 42f ==. 【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内）21．已知函数()4cos sin (0)6f x x x πωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π． （1）求函数()f x 在区间(0,)π上的单调递增区间；（2）求()f x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值． 【答案】（1）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）1. 【分析】（1）利用两角和差的三角公式结合辅助角公式进行化简，结合周期公式求出ω的值，结合单调性进行求解即可；（2）根据3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得到7212612x πππ≤-≤可得()f x 最大值.【详解】（1）1()4cos cos 2f x x x x ωωω⎫=-⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos 21x x x x x ωωωωω=-=--2sin 216x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 因为()f x 的最小正周期为π，所以22T ππω==．又0>ω，所以1ω=， 所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令222()262k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ， 得()63k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，所以函数()f x 在(0,)π上的单调递增区间为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． （2）当3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，7212612x πππ≤-≤． 当226x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值1． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合两角和差的三角公式以及辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合的函数的性质是解决本题的关键，难度中等.22．已知函数()ln ,[1,]f x ax x x e =+∈．(1)若1a =，求()f x 的最大值；(2)若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1e +；（2）1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦． 【分析】（1）根据导数可判断出函数()f x 在区间[1,e]上单调递增，故可得最大值．（2）由f(x)≤0分离参数可得lnx a x ≤在区间[1,e]上恒成立，令()lnx g x x=，根据导数求得函数()g x 的最小值后可得所求的范围． 【详解】(1)当a ＝1时，f(x)＝x ＋ln x ，∴f′(x)＝1＋＝．∵ x ∈[1，e]，∴ f′(x)>0，∴ f(x)在[1，e]上为增函数，∴ f(x)max ＝f(e)＝e ＋1．(2)∵ f(x)≤0即ax ＋ln x≤0对x ∈[1，e]恒成立，∴ a≤－，x∈[1，e]．令g(x)＝－，x∈[1，e]，则g′(x)＝，∵ x∈[1，e]，∴ g′(x)≤0，当且仅当x=e时等号成立，∴ g(x)在[1，e]上递减，∴ g(x)min＝g(e)＝1e -，∴ a≤－．∴实数a的取值范围为1,e∞⎛⎤--⎥⎝⎦．【点睛】由不等式恒(能)成立求参数的范围常有两种方法：(1)讨论最值：先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；(2)分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围.。