最新高三教案-高考数学专题复习讲练测——专题八直线与二次曲线专题复习讲练6解析几何的综合问题 精品
最新高三教案-高考数学专题复习讲练测——专题八直线与二次曲线专题方法总结 精品
专题方法总结1本专题中体现的主要数学思想有：（1）集合与对应的思想．“曲线”与“方程”之间的对应关系，实质上就是两个集合之间的对应关系．（2）函数与方程的思想．求平面曲线的方程，实质就是将曲线上的点（或动点）所满足的几何条件（性质）表示为动点坐标ｘ、ｙ的方程或函数关系（参数方程）；研究两条曲线的位置关系实质就是研究它们的方程组成的方程组的实数解的情况．（3）分类讨论的思想．表现为两个方面：一是问题本身就是分类，如根据含参数方程讨论方程的曲线的类型或讨论曲线的位置关系；二是问题本身并不是分类，而是在解决问题的过程中，为了严谨和全面，需进行分类讨论．（4）数形结合的思想.利用曲线方程研究曲线的几何性质，或由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．曲线的几何性质（形）必然在其方程（数）中有所反映；方程的数学特征（数）也必然在其曲线（形）中有所体现．（5）等价转化的思想．通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题中又需要相互转化，这种转化必须是等价转化．本专题中涉及的数学方法主要有：坐标法、定义法、配方法、待定系数法、参数法、消元法、数形结合法、判别式法、差分法等．2在本专题的复习中，应注意如下解题规律和方法：（1）已知曲线求方程和已知方程画曲线图形是解析几何的两个基本问题（即坐标法）．点在曲线上，点的坐标是曲线方程的解，两曲线交点的坐标就是两条曲线方程组成的方程组的实数解，这在解题中有广泛应用．根据方程画曲线图形时要注意曲线存在的范围，曲线与坐标轴的交点，对称性及渐近线等．（2）求轨迹的常用方法有直译法、定义法、动点转移法、参数法．与圆锥曲线有关的轨迹问题仍用一般的通法．应重视定义法、待定系数法在求特殊轨迹时的特殊作用．（3）根据圆锥曲线的方程求基本量时，应注意首先应将方程化为标准形式或“标准型”，然后再计算，对此类问题要达到熟练、准确的程度．（4）对于圆的问题，要注意运用圆的几何性质（平面几何知识）；对于其它圆锥曲线要注意定义的作用，以简化运算．（5）在研究直线与二次曲线的位置关系问题（如弦长、中点弦、对称、垂直等）中，要注意韦达定理和判别式的作用，设而不求，整体代入，简化运算．在研究直线与二次曲线公共点的问题中，在得到一元二次方程Aｘ２＋Ｂｘ＋Ｃ＝0时，要注意分Ａ＝0与Ａ≠0两种情况讨论求解，勿忘Ａ＝0的情况．（6）由已知含参的方程讨论曲线类型，一般要对参数分类讨论，由已知含参数方程的曲线具有某种性质，求参数的取值范围，一般有两种方法：一是通过构造不等式（组）求解；二是通过建立目标函数转化为求函数的值域，如2000年高考理科第（22）题.数形结合也是求参数范围的有效方法，应引起同学们的重视．（7）有关涉及直线与二次曲线的最值问题，一般是要建立目标函数，转化为求目标函数的最值问题来解决．特别是涉及圆锥曲线上点的最值问题，运用圆锥曲线的参数方程，一般可转化为三角函数的最值．（8）对有关存在性问题，一般用“反证否定法”或“假设验证法”来处理，有关直线与圆锥曲线的综合问题一般是采用“化整为零法”，即就是将一个综合问题分解为若干简单问题，结合代数、三角、几何等知识来解决．3在本专题的复习中，一要继续夯实“三基”，二要加强代数推理能力的训练．这两点是本专题复习的核心和关键．4预计在未来的高考中，对本专题内容的考查将继续保持稳定，重基础、考能力的方向不会改变．直线与二次曲线的位置关系问题、求曲线（轨迹）方程问题、坐标法、曲线的基本量的讨论仍将是高考解析几何题的主要素材．解析几何的综合问题（如1998年理科（24）题，2000年理科第（22）题）是高考解析几何试题的一个新动向，应引起重视．有关最值问题、定值问题、对称问题、存在性问题、实际应用问题也不可忽视．。
高考数学专题复习讲练测——专题八直线与二次曲线专题复习讲练6解析几何的综合问题
§6解析几何的综合问题一、复习要点1本节的主要内容是解析几何与代数、三角等内容的横向综合．重点是解析几何与函数、方程、不等式、数列、三角等知识的综合应用．难点是能灵活运用所学知识将解析几何问题与代数、三角问题相互转化，沟通它们之间的联系．2在本节的复习中，应特别重视解析几何与函数、不等式、数列、三角知识的综合应用．解答解析几何综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用解析几何的知识将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、函数等），再结合代数、三角知识解答．要重视函数与方程的思想、等价转化思想的运用．3有关直线与二次曲线的最值问题是解析几何综合问题的重要内容之一，它融解析几何知识与函数等知识为一体，综合性强．解答此类问题一般有两种方法：①代数法．即就是建立目标函数，转化为求函数的最值问题．根据目标函数的特点可分别采用配方法、判别式法、重要不等式及函数的单调性等方法求最值．要特别注意自变量的取值范围．②几何法.若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑用图形性质简捷求解．4由于解答解析几何综合问题有利于培养和提高同学们的数学综合能力，因而解析几何的综合问题已成为上海及全国近年来高考命题的热点，常作为高考数学的把关题．二、例题讲解例1 如图8-18，抛物线方程为ｙ２＝ｐ（ｘ＋1）（ｐ＞0），直线ｘ＋ｙ＝ｍ与ｘ轴的交点在抛物线的准线的右边．图8-18（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥ＯＲ，求p关于ｍ的函数ｆ（ｍ）的表达式；（3）在（2）的条件下，若ｍ变化，使得原点O到直线QR的距离不大于（／2），求ｐ的取值范围．讲解：（1）欲证直线与抛物线总有两个交点，须证对满足题设条件的ｍ、ｐ的值，直线与抛物线的方程组成的方程组总有两个不同的实数解．由ｙ２＝ｐ（ｘ＋1），消去ｙ，得ｘ２－（2ｍ＋ｐ）ｘ＋（ｍ２－ｐ）＝0，ｘ＋ｙ＝ｍ，Δ＝ｐ（4ｍ＋ｐ＋4）．Δ的表达式中含有两个参数ｐ、ｍ，欲知它大于0是否成立，须寻找它们之间的联系．∵抛物线的准线方程是ｘ＝－1－（ｐ／4），直线与ｘ轴的交点是（ｍ，0），据题意ｍ＞－1－（ｐ／4），即4ｍ＋ｐ＋4＞0.又已知ｐ＞0，∴Δ＞0成立．故直线与抛物线总有两个交点．（2）若设Q、R点的坐标分别为（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ２），由（1）的证明知ｘ１、ｘ２是方程ｘ２－（2ｍ＋ｐ）ｘ＋（ｍ２－ｐ）＝0的两个根，则有ｘ１＋ｘ２＝2ｍ＋ｐ，ｘ１ｘ２＝ｍ２－ｐ．欲求ｐ与ｍ的函数关系ｐ＝ｆ（ｍ），须寻求ｘ１＋ｘ２，ｘ１ｘ２与ｍ或ｐ的关系，这可由题设条件Q、R在直线ｘ＋ｙ＝ｍ上及ＯＱ⊥ＯR得到．∵ＯＱ⊥ＯＲ，∴ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝0．又∵Ｑ、Ｒ均在直线ｘ＋ｙ＝ｍ上，∴ｙ１ｙ２＝（－ｘ１＋ｍ）（－ｘ２＋ｍ）＝ｘ１ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）ｍ＋ｍ２，∴2ｘ１ｘ２－ｍ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ２＝0，∴2（ｍ２－ｐ）－ｍ（2ｍ＋ｐ）＋ｍ２＝0．解得ｐ＝ｍ２／（ｍ＋2）．由ｐ＞0，得ｍ＞－2且ｍ≠0．4ｍ＋4＋ｐ＞0，故ｐ关于ｍ的函数ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）（ｍ＞－2且ｍ≠0）．（3）由（2）知ｐ＝ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）（ｍ＞－2且ｍ≠0），求ｐ的取值范围，即就是求函数ｆ（ｍ）在由给定条件所确定的定义域内的值域．故须从定义域入手．解法1．由题设条件有（｜0＋0－ｍ｜）／≤（／2），∴｜ｍ｜≤1.又由（2）知ｍ＞－2且ｍ≠0，∴ｍ∈［－1，0）∪（0，1］．当ｍ∈［－1，0）时，根据函数单调性的定义，可证ｆ（ｍ）在［－1，0）上为减函数，∴当ｍ∈［－1，0）时，ｆ（0）＜ｆ（ｍ）＜ｆ（－1），即ｐ∈（0，1］；当ｍ∈（0，1］时，可证ｆ（ｍ）为增函数，从而ｐ∈（0，（1／33）3〗］．解法2．同解法1，得ｍ∈［－1，0）∪（0，1］.由（2）知ｐ＝ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）＝（1／（1／ｍ）＋（2／ｍ２））.设ｔ＝（1／ｍ），ｇ（ｔ）＝ｔ＋2ｔ２，ｔ∈（－∞，－1］∪［1，＋∞），又ｇ（ｔ）＝2（ｔ＋（1／4））２－（1／8），∴当ｔ∈（－∞，－1］时，ｇ（ｔ）为减函数，∴ｇ（ｔ）∈［1，＋∞）；当ｔ∈［1，＋∞）时，ｇ（ｔ）为增函数，∴ｇ（ｔ）∈［3，＋∞）．∵ｐ＝ｆ（ｍ）＝（1／ｇ（ｔ）），故当ｍ∈［－1，0）时，ｐ∈（0，1］；当ｍ∈（0，1］时，ｐ∈（0，（1／3）］．本题是解析几何与函数、不等式的综合题．在（2）中，求出函数解析式后注意不要忘记定义域的确定；在（3）中，解法1须证明函数ｆ（ｍ）在各区间上的单调性；解法2通过换元，将问题转化为二次函数的问题，利用二次函数的单调性求解，较解法1简捷．例2 设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＝ｎａ＋ｎ（ｎ－1）ｂ（ｎ∈Ｎ，ａ，ｂ是常数，且ｂ≠0）．（1）证明以（ａｎ，（Ｓｎ／ｎ）－1）为坐标的点Pｎ（ｎ∈Ｎ）都落在同一条直线上，并写出此直线的方程；（2）设ａ＝1，ｂ＝（1／2），Ｃ是以（ｒ，ｒ）为圆心、ｒ为半径的圆（ｒ＞0），求使得点P１、Ｐ２、Ｐ３都落在圆C外时，ｒ的取值范围．讲解：（1）因Ｐ１（ａ，ａ－1）为定点，欲证Ｐｎ（ｎ∈Ｎ）共线，只须证ｋＰ１Ｐｎ为定值即可．由Ｓｎ＝ｎａ＋ｎ（ｎ－1）ｂ，得ａｎ＝2ｂｎ＋ａ－2ｂ，则ｋＰ１Ｐｎ＝（（（Ｓｎ／ｎ）－1）－（（Ｓ１／1）－1）／ａｎ－ａ１）＝（（ｎ－1）ｂ／2（ｎ－1）ｂ）＝（1／2）．故所有的点Pｎ（ａｎ，（Ｓｎ／ｎ）－1）（ｎ∈Ｎ）都落在经过点P１（ａ，ａ－1）且斜率为（1／2）的直线ｘ－2ｙ＋ａ－2＝0上．（2）根据点与圆的位置关系建立ｒ的不等式组求解．当ａ＝1，ｂ＝（1／2）时，Ｐｎ的坐标为（ｎ，（ｎ－1／2）），使Ｐ１（1，0），Ｐ２（2，（1／2）），Ｐ３（3，1）都落在圆（ｘ－ｒ）２＋（ｙ－ｒ）２＝ｒ２外的条件是（ｒ－1）２＋ｒ２＞ｒ２，（ｒ－2）２＋（ｒ－（1／2））２＞ｒ２，（ｒ－3）２＋（ｒ－1）２＞ｒ２.解得0＜ｒ＜1或1＜ｒ＜（5／2）－或ｒ＞4＋．这是一道解析几何与数列、不等式等知识的综合问题．例3已知椭圆（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1（ａ＞ｂ＞0）的两焦点为Ｆ１、Ｆ２，Ｐ为椭圆上任一点．使∠Ｆ１ＰＦ２＝2θ，试证：（1）｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ｂ２ｓｅｃ２θ；（2）△Ｆ１ＰＦ２的面积Ｓ＝ｂ２ｔｇθ；（3）设∠ＰＦ１Ｆ２＝α，∠ＰＦ２Ｆ１＝β，则ｔｇ（α／2）·ｔｇ（β／2）＝（1－ｅ）／（1＋ｅ）．讲解：我们从条件与结论的结构联系中寻求解题思路．（1）由于｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝2ａ，要出现｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜，平方得｜ＰＦ１｜２＋2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＋｜ＰＦ２｜２＝4ａ２．①再联系结论，在△Ｆ１ＰＦ２中，由余弦定理知（2ｃ）２＝｜ＰＦ１｜２＋｜ＰＦ２｜２－2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ｃｏｓ2θ．②要消掉｜ＰＦ１｜２、｜ＰＦ２｜２，用①、②两式相减，得2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜（1－ｃｏｓ2θ）＝4ａ２－4ｃ２＝4ｂ２．于是不难得到｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ｂ２ｓｅｃ２θ．（2）由（1），Ｓ＝（1／2）｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ｓｉｎ2θ＝（1／2）ｂ２ｓｅｃ２θ·ｓｉｎ2θ＝ｂ２ｔｇθ．（3）对结论进行结构分析．∵ｔｇ（α／2）·ｔｇ（β／2）＝（1－ｅ）／（1＋ｅ）ｅ＝ｃｏｓ[（α＋β）／2]／ｃｏｓ[（α－β）／2]（ｃ／ａ）＝[ｃｏｓ（α＋β）／2]／[ｃｏｓ（α－β）／2）]，于是只需对△Ｆ１ＰＦ２用正弦定理：（｜ＰＦ１｜／ｓｉｎβ）＝（｜ＰＦ２｜／ｓｉｎα）＝｜Ｆ１Ｆ２｜／（ｓｉｎ（α＋β））．再由等比定理知2ｃ／[ｓｉｎ（α＋β）]＝（｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜）／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）＝2ａ／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）．∴（ｃ／ａ）＝ｓｉｎ（α＋β）／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）＝［ｃｏｓ（α＋β）／2］／［ｃｏｓ（α－β）／2］．结论得证．数学是结构的科学，结构决定着方法、蕴含着方法、提示着方法，尤其是对一些较复杂的数学问题，只要我们善于从条件与结论的结构联系及差异中寻求解题途径，问题便不难解决．本题是解析几何与三角知识的综合问题．此外，请同学们关注该题结论的应用价值．例4 已知圆Ｃ１的方程为（ｘ－2）２＋（ｙ－1）２＝（20／3），椭圆Ｃ２的方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1（ａ＞ｂ＞0），C２的离心率为（／2）．如果Ｃ１与Ｃ２相交于Ａ、Ｂ两点，且线段ＡＢ恰好为圆Ｃ１的直径，求直线AB的方程和椭圆Ｃ２的方程．讲解：此题可先求直线AB的方程．一方面AB是圆的直径，只需待定出其斜率ｋ，另一方面AB又是椭圆的弦，所以要求其斜率，可用差分法．设A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２）．∵线段ＡＢ为Ｃ１的直径，∴ｘ１＋ｘ２＝4，ｙ１＋ｙ２＝2．又由ｅ＝（／2），∴（ｃ／ａ）＝（／2），∴ａ２＝2ｃ２，ｂ２＝ｃ２．于是椭圆方程为（ｘ２／2ｂ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1．而Ａ、Ｂ又在Ｃ２上，∴（ｘ１２／2ｂ２）＋（ｙ１２／ｂ２）＝1，（ｘ２２／2ｂ２）＋（ｙ２２／ｂ２）＝1．两式相减，得（ｘ１＋ｘ２）（ｘ１－ｘ２）＋2（ｙ１＋ｙ２）（ｙ１－ｙ２）＝0．∴（ｙ１－ｙ２）／（ｘ１－ｘ２）＝－1，∴直线ＡＢ的方程为ｙ＝－ｘ＋3．以下待定ｂ２，求椭圆方程．由ｙ＝－ｘ＋3，（ｘ２／2ｂ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，知3ｘ２－12ｘ＋18－2ｂ２＝0．由Δ＞0，易知ｂ２＞3．又由｜ＡＢ｜＝｜ｘ１－ｘ２｜＝2，可得ｂ２＝8．∴Ｃ２的方程为（ｘ２／16）＋（ｙ２／8）＝1．这是一道解析几何的综合问题，它涉及到直线、圆及椭圆等知识点．该题的关键是要抓住相交弦的二重性：一方面线段ＡＢ为圆的直径，另一方面线段AB又是椭圆Ｃ２的弦．三、专题训练1若抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）上三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点的焦半径的关系是（）．Ａ．成等差数列Ｂ．成等比数列Ｃ．既成等差数列，也成等比数列Ｄ．以上结论都不对2．抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）在顶点张直角的弦必过定点（）．Ａ．（2ｐ，0）Ｂ．（ｐ，0）Ｃ．（（ｐ／2），0）Ｄ．以上结论都不对3用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率是（）．Ａ．（1／4）Ｂ．（1／2）Ｃ．／3Ｄ．／24．以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值是（）．Ａ．（／2）Ｂ．Ｃ．2Ｄ．25．从点P（ｘ，3）向圆（ｘ＋2）２＋（ｙ＋2）２＝1作切线，切线长度的最小值为______________．6．椭圆（ｘ２／9）＋（ｙ２／4）＝1的焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P为其上的动点．当∠Ｆ１ＰＦ２为钝角时，点P的横坐标的取值范围是______________．7在双曲线（ｙ２／12）－（ｘ２／13）＝1的一支上有不同的三点A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（，6）、Ｃ（ｘ２，ｙ２）与焦点F（0，5）的距离成等差数列，那么ｙ１＋ｙ２的值是______________．8已知直线l与椭圆3x２+y２=3相交于A、B两点.若弦AB的中点M到椭圆中心的距离为1，求当弦长｜AB｜取得最大值时直线l的方程．9已知抛物线的方程为ｙ＝－（1／2）ｘ２＋ｍ，点A、B及P（2，4）均在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互补．（1）求证：直线AB的斜率为定值；（2）当直线AB在ｙ轴上截距为正时，求△ＰＡＢ面积的最大值．10．如图8-19所示，Ａ、Ｆ分别是椭圆的一个顶点与一个焦点，位于ｘ轴的正半轴上的点T（ｔ，0）与F的连线交射线OA于Ｑ．图8-19（1）求点Ａ、Ｆ的坐标及直线TQ的方程；（2）求△ＯＴＱ的面积S与ｔ的函数关系式Ｓ＝ｆ（ｔ）及该函数的最小值；（3）写出Ｓ＝ｆ（ｔ）的单调区间，并证明之．。
高考数学专题复习讲练测——专题八 直线与二次曲线 专题复习讲练 6 解析几何的综合问题
§ 6 解析几何的综合问题一、复习要点1 本节的主要内容是解析几何与代数、三角等内容的横向综合．重点是解析几何与函数、方程、不等式、数列、三角等知识的综合应用．难点是能灵活运用所学知识将解析几何问题与代数、三角问题相互转化，沟通它们之间的联系．2 在本节的复习中，应特别重视解析几何与函数、不等式、数列、三角知识的综合应用．解答解析几何综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用解析几何的知识将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、函数等），再结合代数、三角知识解答．要重视函数与方程的思想、等价转化思想的运用．3 有关直线与二次曲线的最值问题是解析几何综合问题的重要内容之一，它融解析几何知识与函数等知识为一体，综合性强．解答此类问题一般有两种方法：①代数法．即就是建立目标函数，转化为求函数的最值问题．根据目标函数的特点可分别采用配方法、判别式法、重要不等式及函数的单调性等方法求最值．要特别注意自变量的取值范围．②几何法.若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑用图形性质简捷求解．4 由于解答解析几何综合问题有利于培养和提高同学们的数学综合能力，因而解析几何的综合问题已成为上海及全国近年来高考命题的热点，常作为高考数学的把关题．二、例题讲解例1 如图8-18，抛物线方程为ｙ２＝ｐ（ｘ＋1）（ｐ＞0），直线ｘ＋ｙ＝ｍ与ｘ轴的交点在抛物线的准线的右边．图8-18（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥ＯＲ，求p关于ｍ的函数ｆ（ｍ）的表达式；（3）在（2）的条件下，若ｍ变化，使得原点O到直线QR的距离不大于（／2），求ｐ的取值范围．讲解：（1）欲证直线与抛物线总有两个交点，须证对满足题设条件的ｍ、ｐ的值，直线与抛物线的方程组成的方程组总有两个不同的实数解．由ｙ２＝ｐ（ｘ＋1），消去ｙ，得 ｘ２－（2ｍ＋ｐ）ｘ＋（ｍ２－ｐ）＝0， ｘ＋ｙ＝ｍ，Δ＝ｐ（4ｍ＋ｐ＋4）．Δ的表达式中含有两个参数ｐ、ｍ，欲知它大于0是否成立，须寻找它们之间的联系．∵抛物线的准线方程是ｘ＝－1－（ｐ／4），直线与ｘ轴的交点是（ｍ，0），据题意ｍ＞－1－（ｐ／4），即4ｍ＋ｐ＋4＞0.又已知ｐ＞0，∴ Δ＞0成立．故直线与抛物线总有两个交点．（2）若设Q、R点的坐标分别为（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ２），由（1）的证明知ｘ１、ｘ２是方程ｘ２－（2ｍ＋ｐ）ｘ＋（ｍ２－ｐ）＝0的两个根，则有ｘ１＋ｘ２＝2ｍ＋ｐ，ｘ１ｘ２＝ｍ２－ｐ．欲求ｐ与ｍ的函数关系ｐ＝ｆ（ｍ），须寻求ｘ１＋ｘ２，ｘ１ｘ２与ｍ或ｐ的关系，这可由题设条件Q、R在直线ｘ＋ｙ＝ｍ上及ＯＱ⊥ＯR得到．∵ＯＱ⊥ＯＲ，∴ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝0．又∵Ｑ、Ｒ均在直线ｘ＋ｙ＝ｍ上，∴ｙ１ｙ２＝（－ｘ１＋ｍ）（－ｘ２＋ｍ）＝ｘ１ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）ｍ＋ｍ２，∴2ｘ１ｘ２－ｍ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ２＝0，∴2（ｍ２－ｐ）－ｍ（2ｍ＋ｐ）＋ｍ２＝0．解得ｐ＝ｍ２／（ｍ＋2）．由ｐ＞0，得ｍ＞－2且ｍ≠0．4ｍ＋4＋ｐ＞0，故ｐ关于ｍ的函数ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）（ｍ＞－2且ｍ≠0）．（3）由（2）知ｐ＝ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）（ｍ＞－2且ｍ≠0），求ｐ的取值范围，即就是求函数ｆ（ｍ）在由给定条件所确定的定义域内的值域．故须从定义域入手．解法1．由题设条件有（｜0＋0－ｍ｜）／≤（／2），∴｜ｍ｜≤1.又由（2）知ｍ＞－2且ｍ≠0，∴ｍ∈［－1，0）∪（0，1］．当ｍ∈［－1，0）时，根据函数单调性的定义，可证ｆ（ｍ）在［－1，0）上为减函数，∴当ｍ∈［－1，0）时，ｆ（0）＜ｆ（ｍ）＜ｆ（－1），即ｐ∈（0，1］；当ｍ∈（0，1］时，可证ｆ（ｍ）为增函数，从而ｐ∈（0，（1／33）3〗］．解法2．同解法1，得ｍ∈［－1，0）∪（0，1］.由（2）知ｐ＝ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）＝（1／（1／ｍ）＋（2／ｍ２））.设ｔ＝（1／ｍ），ｇ（ｔ）＝ｔ＋2ｔ２，ｔ∈（－∞，－1］∪［1，＋∞），又ｇ（ｔ）＝2（ｔ＋（1／4））２－（1／8），∴当ｔ∈（－∞，－1］时，ｇ（ｔ）为减函数，∴ｇ（ｔ）∈［1，＋∞）；当ｔ∈［1，＋∞）时，ｇ（ｔ）为增函数，∴ ｇ（ｔ）∈［3，＋∞）．∵ｐ＝ｆ（ｍ）＝（1／ｇ（ｔ）），故当ｍ∈［－1，0）时，ｐ∈（0，1］；当ｍ∈（0，1］时，ｐ∈（0，（1／3）］．本题是解析几何与函数、不等式的综合题．在（2）中，求出函数解析式后注意不要忘记定义域的确定；在（3）中，解法1须证明函数ｆ（ｍ）在各区间上的单调性；解法2通过换元，将问题转化为二次函数的问题，利用二次函数的单调性求解，较解法1简捷．例2 设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＝ｎａ＋ｎ（ｎ－1）ｂ（ｎ∈Ｎ，ａ，ｂ是常数，且ｂ≠0）．（1）证明以（ａｎ，（Ｓｎ／ｎ）－1）为坐标的点Pｎ（ｎ∈Ｎ）都落在同一条直线上，并写出此直线的方程；（2）设ａ＝1，ｂ＝（1／2），Ｃ是以（ｒ，ｒ）为圆心、ｒ为半径的圆（ｒ＞0），求使得点P１、Ｐ２、Ｐ３都落在圆C外时，ｒ的取值范围．讲解：（1）因Ｐ１（ａ，ａ－1）为定点，欲证Ｐｎ（ｎ∈Ｎ）共线，只须证ｋＰ１Ｐｎ为定值即可．由Ｓｎ＝ｎａ＋ｎ（ｎ－1）ｂ，得ａｎ＝2ｂｎ＋ａ－2ｂ，则ｋＰ１Ｐｎ＝（（（Ｓｎ／ｎ）－1）－（（Ｓ１／1）－1）／ａｎ－ａ１）＝（（ｎ－1）ｂ／2（ｎ－1）ｂ）＝（1／2）．故所有的点Pｎ（ａｎ，（Ｓｎ／ｎ）－1）（ｎ∈Ｎ）都落在经过点P１（ａ，ａ－1）且斜率为（1／2）的直线ｘ－2ｙ＋ａ－2＝0上．（2）根据点与圆的位置关系建立ｒ的不等式组求解．当ａ＝1，ｂ＝（1／2）时，Ｐｎ的坐标为（ｎ，（ｎ－1／2）），使Ｐ１（1，0），Ｐ２（2，（1／2）），Ｐ３（3，1）都落在圆（ｘ－ｒ）２＋（ｙ－ｒ）２＝ｒ２外的条件是（ｒ－1）２＋ｒ２＞ｒ２，（ｒ－2）２＋（ｒ－（1／2））２＞ｒ２，（ｒ－3）２＋（ｒ－1）２＞ｒ２.解得0＜ｒ＜1或1＜ｒ＜（5／2）－或ｒ＞4＋．这是一道解析几何与数列、不等式等知识的综合问题．例3 已知椭圆（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1（ａ＞ｂ＞0）的两焦点为Ｆ１、Ｆ２，Ｐ为椭圆上任一点．使∠Ｆ１ＰＦ２＝2θ，试证：（1）｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ｂ２ｓｅｃ２θ；（2）△Ｆ１ＰＦ２的面积Ｓ＝ｂ２ｔｇθ；（3）设∠ＰＦ１Ｆ２＝α，∠ＰＦ２Ｆ１＝β，则ｔｇ（α／2）·ｔｇ（β／2）＝（1－ｅ）／（1＋ｅ）．讲解：我们从条件与结论的结构联系中寻求解题思路．（1）由于｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝2ａ，要出现｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜，平方得｜ＰＦ１｜２＋2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＋｜ＰＦ２｜２＝4ａ２．①再联系结论，在△Ｆ１ＰＦ２中，由余弦定理知（2ｃ）２＝｜ＰＦ１｜２＋｜ＰＦ２｜２－2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ｃｏｓ2θ． ②要消掉｜ＰＦ１｜２、｜ＰＦ２｜２，用①、②两式相减，得2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜（1－ｃｏｓ2θ）＝4ａ２－4ｃ２＝4ｂ２．于是不难得到｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ｂ２ｓｅｃ２θ．（2）由（1），Ｓ＝（1／2）｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ｓｉｎ2θ＝（1／2）ｂ２ｓｅｃ２θ·ｓｉｎ2θ＝ｂ２ｔｇθ．（3）对结论进行结构分析．∵ｔｇ（α／2）·ｔｇ（β／2）＝（1－ｅ）／（1＋ｅ）ｅ＝ｃｏｓ[（α＋β）／2]／ｃｏｓ[（α－β）／2]（ｃ／ａ）＝[ｃｏｓ（α＋β）／2]／[ｃｏｓ（α－β）／2）]，于是只需对△Ｆ１ＰＦ２用正弦定理：（｜ＰＦ１｜／ｓｉｎβ）＝（｜ＰＦ２｜／ｓｉｎα）＝｜Ｆ１Ｆ２｜／（ｓｉｎ（α＋β））．再由等比定理知2ｃ／[ｓｉｎ（α＋β）]＝（｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜）／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）＝2ａ／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）．∴（ｃ／ａ）＝ｓｉｎ（α＋β）／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）＝［ｃｏｓ（α＋β）／2］／［ｃｏｓ （α－β）／2］．结论得证．数学是结构的科学，结构决定着方法、蕴含着方法、提示着方法，尤其是对一些较复杂的数学问题，只要我们善于从条件与结论的结构联系及差异中寻求解题途径，问题便不难解决．本题是解析几何与三角知识的综合问题．此外，请同学们关注该题结论的应用价值．例4 已知圆Ｃ１的方程为（ｘ－2）２＋（ｙ－1）２＝（20／3），椭圆Ｃ２的方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1（ａ＞ｂ＞0），C２的离心率为（／2）．如果Ｃ１与Ｃ２相交于Ａ、Ｂ两点，且线段ＡＢ恰好为圆Ｃ１的直径，求直线AB的方程和椭圆Ｃ２的方程．讲解：此题可先求直线AB的方程．一方面AB是圆的直径，只需待定出其斜率ｋ，另一方面AB又是椭圆的弦，所以要求其斜率，可用差分法．设A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２）．∵线段ＡＢ为Ｃ１的直径，∴ｘ１＋ｘ２＝4，ｙ１＋ｙ２＝2．又由ｅ＝（／2），∴（ｃ／ａ）＝（／2），∴ａ２＝2ｃ２，ｂ２＝ｃ２．于是椭圆方程为（ｘ２／2ｂ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1．而Ａ、Ｂ又在Ｃ２上，∴（ｘ１２／2ｂ２）＋（ｙ１２／ｂ２）＝1，（ｘ２２／2ｂ２）＋（ｙ２２／ｂ２）＝1．两式相减，得（ｘ１＋ｘ２）（ｘ１－ｘ２）＋2（ｙ１＋ｙ２）（ｙ１－ｙ２）＝0． ∴（ｙ１－ｙ２）／（ｘ１－ｘ２）＝－1，∴直线ＡＢ的方程为ｙ＝－ｘ＋3． 以下待定ｂ２，求椭圆方程．由ｙ＝－ｘ＋3，（ｘ２／2ｂ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，知3ｘ２－12ｘ＋18－2ｂ２＝0．由Δ＞0，易知ｂ２＞3．又由｜ＡＢ｜＝｜ｘ１－ｘ２｜＝2，可得ｂ２＝8．∴Ｃ２的方程为（ｘ２／16）＋（ｙ２／8）＝1．这是一道解析几何的综合问题，它涉及到直线、圆及椭圆等知识点．该题的关键是要抓住相交弦的二重性：一方面线段ＡＢ为圆的直径，另一方面线段AB又是椭圆Ｃ２的弦．三、专题训练1 若抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）上三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点的焦半径的关系是（）．Ａ．成等差数列Ｂ．成等比数列Ｃ．既成等差数列，也成等比数列Ｄ．以上结论都不对2．抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）在顶点张直角的弦必过定点（）．Ａ．（2ｐ，0）Ｂ．（ｐ，0）Ｃ．（（ｐ／2），0）Ｄ．以上结论都不对3 用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率是（）．Ａ．（1／4）Ｂ．（1／2）Ｃ．／3Ｄ．／24．以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值是（）．Ａ．（／2）Ｂ．Ｃ．2Ｄ．25．从点P（ｘ，3）向圆（ｘ＋2）２＋（ｙ＋2）２＝1作切线，切线长度的最小值为______________．6．椭圆（ｘ２／9）＋（ｙ２／4）＝1的焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P为其上的动点．当∠Ｆ１ＰＦ２为钝角时，点P的横坐标的取值范围是______________．7 在双曲线（ｙ２／12）－（ｘ２／13）＝1的一支上有不同的三点A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（，6）、Ｃ（ｘ２，ｙ２）与焦点F（0，5）的距离成等差数列，那么ｙ１＋ｙ２的值是______________．8 已知直线l与椭圆3x２+y２=3相交于A、B两点.若弦AB的中点M到椭圆中心的距离为1，求当弦长｜AB｜取得最大值时直线l的方程．9 已知抛物线的方程为ｙ＝－（1／2）ｘ２＋ｍ，点A、B及P（2，4）均在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互补．（1）求证：直线AB的斜率为定值；（2）当直线AB在ｙ轴上截距为正时，求△ＰＡＢ面积的最大值．10．如图8-19所示，Ａ、Ｆ分别是椭圆的一个顶点与一个焦点，位于ｘ轴的正半轴上的点T（ｔ，0）与F的连线交射线OA于Ｑ．图8-19（1）求点Ａ、Ｆ的坐标及直线TQ的方程；（2）求△ＯＴＱ的面积S与ｔ的函数关系式Ｓ＝ｆ（ｔ）及该函数的最小值；（3）写出Ｓ＝ｆ（ｔ）的单调区间，并证明之．。
2020年高考数学一轮复习教案：第8章 第6节 双曲线(含解析)
第六节双曲线[考纲传真] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ 2.[常用结论]三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(2)当已知双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦长为2b2 a.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线． ()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0. ()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．双曲线x23－y22＝1的焦距为()A．5 B.5C．25D．1C[由双曲线x23－y22＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝5，所以双曲线x23－y22＝1的焦距为2 5.]3．(教材题改编)已知双曲线x2a2－y23＝1(a>0)的离心率为2，则a＝() A．2 B.62 C.52D．1D[依题意，e＝ca＝a2＋3a＝2，∴a2＋3＝2a，则a2＝1，a＝1.] 4．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.17[由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.]5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为________．x24－y2＝1[由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a＝12，a2＋b2＝5，a＞0，b＞0，解得a＝2，则b＝1，所以双曲线的方程为x24－y2＝1.]双曲线的定义及应用12|PF1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45C [∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.选C.]2．若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|P A |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12B [由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|P A |＝4＋|PB |＋|P A |≥4＋|AB |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．][规律方法] 双曲线定义的两个应用一是判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； 二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.双曲线的标准方程【例1】 设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．y 24－x 25＝1 [法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，根据双曲线的定义知2a ＝|(15－0)2＋(4－3)2－(15－0)2＋(4＋3)2|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－22＝5，故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，①又点(15，4)在双曲线上，所以16a 2－15b 2＝1，②联立①②解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.法三：设双曲线的方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0，经检验λ1＝32，λ2＝0都是方程的根，但λ＝0不符合题意，应舍去，所以λ＝32.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.] [规律方法] 求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.与双曲线＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为(λ≠0).(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值.(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1(2)(2019·郑州质量预测)已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 227＝1 B.y 29－x 227＝1 C.y 212－x 224＝1D.y 224－x 212＝1(1)D (2)B [(1)由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，因为双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，所以|2b |a 2＋b2＝3，由双曲线的一个焦点为F (2,0)可得a 2＋b 2＝4，所以|b |＝3，即b 2＝3，所以a 2＝1，故双曲线的方程为x 2－y 23＝1.(2)∵x 2＝24y ，∴焦点为(0,6)，∴可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． ∵渐近线方程为y ＝±ab x ， 其中一条渐近线的倾斜角为30°， ∴a b ＝33，c ＝6，∴a 2＝9，b 2＝27. 其方程为y 29－x 227＝1.]双曲线的几何性质►【例2】(1)(2017·全国卷Ⅱ)若a>1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(2，2) C．(1，2) D．(1,2)(2)(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为()A.5B．2 C.3 D. 2(1)C(2)C[(1)由题意得双曲线的离心率e＝a2＋1 a.∴e2＝a2＋1a2＝1＋1a2.∵a＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e＜ 2.故选C.(2)不妨设一条渐近线的方程为y＝ba x，则F2到y＝ba x的距离d＝|bc|a2＋b2＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝6a.又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝a2＋c2－(6a)22ac＝－cos∠POF2＝－ac，即3a2＋c2－(6a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝ca＝ 3.]►考法2双曲线的渐近线问题【例3】(1)(2019·合肥质检)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为________．(2)已知F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是________．(1)y＝±2x(2)2x±y＝0[(1)因为e＝ca＝3，所以c2＝a2＋b2＝3a2，故b＝2a，则此双曲线的渐近线方程为y＝±ba x＝±2x.(2)由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，所以有|PF2|<|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4a cos 30°，得c＝3a，所以b＝c2－a2＝2a.所以双曲线的渐近线方程为y＝±ba x＝±2x，即2x±y＝0.]►考法3求双曲线的方程【例4】已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为 2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.x24－y24＝1 B.x28－y28＝1C.x24－y28＝1 D.x28－y24＝1B[由离心率为2，可知a＝b，c＝2a，所以F(－2a,0)，由题意知k PF＝4－00－(－2a)＝42a＝1，所以2a＝4，解得a＝22，所以双曲线的方程为x28－y28＝1.]比值，进而得出双曲线的渐近线方程.(1)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)(2)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．(1)A (2)2 [(1)若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A.(2)由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b 2a ＝3×2c .又∵b 2＝c 2－a 2，整理得2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2.]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32xA [因为双曲线的离心率为3，所以ca ＝3，即c ＝3a .又c 2＝a 2＋b 2，所以(3a )2＝a 2＋b 2，化简得2a 2＝b 2，所以b a ＝ 2.因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以y ＝±2x .故选A]2．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A.2 B ．2 C.322 D ．2 2D [法一：由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D.法二：离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D.]3．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.5 [∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a >0)， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.]。
最新高三教案-高考数学专题复习讲练测——专题八直线与二次曲线专题复习讲练1坐标法 精品
§ 1 坐标法一、复习要点1本节的主要内容是用坐标法研究几何问题的思想和方法．包括由曲线方程研究曲线的性质（如曲线的图形、对称性、范围等）和由给定条件求曲线方程两个基本问题．其中，由给定条件选择适当的坐标系求出曲线的方程是本节的重点，同时也是难点．2最新《考试说明》中仍要求：“能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线”．“了解用坐标法研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法．”这里既有“思想”又有“方法”，因而本节内容成为高考考查的热点．3在本节的复习中，一要进一步深刻理解曲线与方程的概念；二要熟练掌握求曲线（轨迹）方程的方法和一般步骤．在求曲线方程中，要重视建立坐标系这一关键环节，从中体会“适当”二字的含意，即所选择的坐标系应尽量使点的坐标简单，使图形相对于坐标轴具有对称性，这样便于方程的化简．求曲线方程的第（5）步可以省略不写，但仍需验证其轨迹的纯粹性和完备性．二、例题讲解例1 设曲线C的方程是y=x３-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．（1）写出曲线C１的方程；（2）证明曲线C与C１关于点A（（t／2）,（s／2））对称；（3）如果曲线C与C１有且仅有一个公共点，证明s=（t３／4）-t，且t≠0.讲解：（1）思路1利用函数图象平移法，得C１的方程y=（x-t）３-（x-t）+s．思路2可看作曲线不动，坐标轴平移.将原点移至O′（-t,-s）,得平移公式x=x′-t，代入C的方程，得y′-s=（x′-t）３-（x′-t）,即y=（x-t）３-（x-t）+s．y=y′-s，（2）欲证曲线C与C１关于点A（（t／2）,（s／2））对称，须证：①C上任一点关于A的对称点在C１上；②C１上任一点关于A的对称点在C上．简证：在曲线C上任取一点P１（x１,y１）,设P１关于A的对称点为P２（x２,y２），则有（x１+x２）／2=（t／2）,（y１+y２）／2=（s／2）,故x１=t-x２,y１=s-y２.代入C的方程，得y２=（x２-t）３-（x２-t）+s,可知点P２（x２,y２）在曲线C１上．反过来，同样可证曲线C上关于A的对称点都在曲线C１上，因此C与C１关于点A对称.（3）根据曲线C与C１有且仅有一个公共点，可知方程组y=x３-x，y=（x-t）３-（x-t）+s有且仅有一个解，转化为研究方程组解的问题.消去y，整理，得3tx２-3t２x+（t３-t-s）=0，若t=0,s=0,则方程有无数个解；若t=0,s≠0，则方程无解；若t≠0,则必有Δ=9t４-12t（t３-t-s）=0.∴s=（t３／4）-t，且t≠0．从本例的解答中，同学们可以体会到，研究曲线的性质可转化为研究曲线的方程（组）的解，这是解析几何的重要思想方法之一.另外，利用现有的知识、思想和方法研究未知的较复杂问题（三次曲线），这体现了高考对学生创新能力的朴素要求和关注!例2 如图8-1，直线ｌ１和ｌ２相交于M，ｌ１⊥ｌ２，点N∈ｌ１，以A、B为端点的曲线C上任一点到直线ｌ２的距离与到点N的距离相等.若△ＡＭＮ为锐角三角形，｜ＡＭ｜＝，｜ＡＮ｜＝3，且｜ＢＮ｜＝6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．图8-1讲解：据题设条件及抛物线的定义可知曲线段C是抛物线的一部分．要求曲线段C的方程，首先要考虑建立适当的坐标系．因为ｌ１、ｌ２为定直线，M、N均为定点，故可取ｌ１为x轴，原点可选在点M，也可选在点N，究竟选在何处?据题设条件知点N为曲线段C所在抛物线的焦点，ｌ２为准线，若将原点选在M或N点时，抛物线的顶点都不在坐标原点，抛物线的方程就不是标准形式，这就不符合选择坐标系的基本要求——尽量使方程简单．考虑到抛物线的顶点在线段MN的中点O处，故应选取MN的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系．则曲线段C所在抛物线的方程便可设为ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0，ｙ＞0），对于曲线段C，则有ｘＡ≤ｘ≤ｘＢ.问题转化为求参数ｐ的值及确定A、B两点的横坐标ｘＡ、ｘＢ的值．思路1．∵｜ＭＮ｜＝ｐ，∴Ｍ（－（ｐ／2），0），Ｎ（（ｐ／2），0）．由｜ＡＭ｜＝，｜ＡＮ｜＝3，得（ｘＡ＋（ｐ／2））２＋2ｐｘＡ＝17，①（ｘＡ－（ｐ／2））２＋2ｐｘＡ＝9．②由①、②解得ｘＡ＝（4／ｐ）．再代入①，并注意到ｐ＞0可解得ｐ＝4，ｐ＝2，ｘＡ＝1，ｘＡ＝2．因△ＡＭＮ是锐角三角形，所以（ｐ／2）＞ｘＡ，故舍去ｐ＝2，ｘＡ＝2．∴ｐ＝4，ｘＡ＝1．由点B在曲线C上，得ｘＢ＝｜ＢＮ｜－（ｐ／2）＝6－（ｐ／2）＝4．故曲线段C的方程为ｙ２＝8ｘ（1≤ｘ≤4，ｙ＞0）．思路2．因ｐ＝｜ＭＮ｜，欲求曲线段C的方程，须先求得｜ＭＮ｜．过A作ＡＤ⊥ＭＮ，垂足为D，∵△ＡＭＮ为锐角三角形，∴Ｄ在线段MN上.过A作AK⊥ｌ２，垂足为K，在Ｒｔ△ＡＫＭ中，∵｜ＡＭ｜＝，｜ＡＫ｜＝｜ＡＮ｜＝3，∴｜ＫＭ｜＝2．在Ｒｔ△ＡＭＤ及Ｒｔ△ＡＤＮ中，∵｜ＡＤ｜＝｜ＫＭ｜＝2，∴｜ＭＤ｜＝3，｜ＤＮ｜＝1．∴ｐ＝｜ＭＮ｜＝｜ＭＤ｜＋｜ＤＮ｜＝4．ｘＡ＝ｘＤ＝3－（ｐ／2）＝1，ｘＢ＝6－（ｐ／2）＝4．故曲线段C的方程是ｙ２＝8ｘ（ｙ＞0，1≤ｘ≤4）．思路3．过A作ＡＫ⊥ｌ２，垂足为K，则｜ＡＫ｜＝｜ＡＮ｜＝3，设∠ＡＭＮ＝∠ＭＡＫ＝θ，则ｃｏｓθ＝｜ＡＫ｜／2｜ＡＭ｜＝（3／．在△ＡＭＮ中，据余弦定理，得｜ＭＮ｜２＋｜ＡＭ｜２－2｜ＭＮ｜·｜ＡＭ｜ｃｏｓθ＝｜ＡＮ｜２，注意到｜ＭＮ｜＝ｐ，∴ｐ２＋17－2ｐ··（3／）＝9，解得ｐ＝2或ｐ＝4．∵△ＡＭＮ为锐角三角形，∴ｐ＝2应舍去（否则当ｐ＝2时，｜ＡＫ｜＞｜ＭＮ｜，△ＡＭＮ必为钝角三角形）．∴ｐ＝4，又ｘＡ＝3－（ｐ／2）＝1，ｘＢ＝6－（ｐ／2）＝4．故曲线段C的方程为ｙ２＝8ｘ（1≤ｘ≤4，ｙ＞0）．在解答本题中，应特别注意轨迹的纯粹性和完备性，即曲线段C是抛物线ｙ２＝8ｘ的一部分，必须求出ｘ、ｙ的范围，并要在方程中注明，否则就不是所求曲线段的方程．若只写ｙ２＝8ｘ便是错误答案．例3 如图8-2，已知梯形ＡＢＣＤ中，｜ＡＢ｜＝2｜ＣＤ｜，点E分有向线段ＡＣ所成的比为λ，双曲线过C、Ｄ、Ｅ三点，且以A、Ｂ为焦点．当（2／3）≤λ≤（3／4）时，求离心率ｅ的取值范围．图8-2讲解：已知λ的范围，求离心率ｅ的范围，需建立ｅ与λ的函数关系λ＝ｆ（ｅ），进而由λ的范围，求得ｅ的范围．而ｅ与λ的关系的建立，依赖于双曲线的几何性质．研究双曲线的几何性质，需要通过方程去研究，故需建立坐标系．以AB所在的直线为ｘ轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系ｘＯｙ，则ＣＤ⊥ｙ轴．因双曲线经过Ｃ、Ｄ且以A、Ｂ为焦点，故Ｃ、Ｄ关于ｙ轴对称．记Ａ（－ｃ，0）、Ｃ（（ｃ／2），ｈ）、Ｅ（ｘ０，ｙ０），其中ｃ＝（1／2）｜ＡＢ｜为双曲线的半焦距，ｈ是梯形的高．由定比分点公式，得ｘ０＝[－ｃ＋（ｃ／2）]λ／（1＋λ）＝[（λ－2）ｃ]／[2（1＋λ）]，ｙ０＝（λｈ）／（1＋λ）．设双曲线的方程为（ｘ２／ａ２）－（ｙ２／ｂ２）＝1，则离心率ｅ＝（ｃ／ａ）．∵点Ｃ、Ｅ在双曲线上，且ｅ＝（ｃ／ａ），∴（ｅ２／4）－（ｈ２／ｂ２）＝1，①（ｅ２／4）[（λ－2）／（λ＋1）]２－（λ／（λ＋1））２·（ｈ２／ｂ２）＝1．②由①得（ｈ２／ｂ２）＝（ｅ２／4）－1，代入②，得（ｅ２／4）（4－4λ）＝1＋2λ，∴λ＝1－3／（ｅ２＋2）．由（2／3）≤λ≤（3／4），得（2／3）≤1－3／（ｅ２＋2）≤（3／4）．解得≤ｅ≤．故双曲线的离心率ｅ的取值范围是［，］．解题时，一定要有“目标”意识．本题的目标是建立ｅ与λ的关系λ＝ｆ（ｅ），而不是去求双曲线的方程．在2000年的高考中，许多考生由于解题目标意识不强，纠缠在求双曲线方程中而不能自拔．本题还可以通过建立ｅ与λ的函数关系ｅ＝ｆ（λ），转化为求函数ｆ（λ）在区间［（2／3），（3／4）］内的值域．三、专题训练1方程ｙ＝ｌｏｇａ（1－ｘ２）／（1＋ｘ）２）的图象的对称性是（）．Ａ．关于ｙ轴对称Ｂ．关于ｘ轴对称Ｃ．关于原点对称Ｄ．无对称轴或对称中心2直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（）．Ａ．｜ｘ｜－｜ｙ｜＝1Ｂ．｜ｘ－ｙ｜＝1Ｃ．（｜ｘ｜－｜ｙ｜）２＝1Ｄ．（ｘ－ｙ）２＝13方程｜ｘ｜－1＝表示的曲线是（）．Ａ．两条射线B．一个圆C．两个圆D．两个半圆4若方程ｘ＋ｙ－4＋2ｍ＝0表示一条直线，则ｍ的取值范围是（）．Ａ．ｍ＝2Ｂ．ｍ＝2或ｍ＜0Ｃ．ｍ＝2或ｍ＞0Ｄ．以上答案都不对5已知点P（ｘ０，ｙ０）是圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２外一点，过P作圆的切线，切点为A、B，则过A、B两点的直线方程是_______________．6方程（｜ｘ｜－｜ｙ｜－1）（ｘ２－4）＝0表示的曲线所围成的封闭图形的面积是_______________．7过点A（0，1）作直线与双曲线（ｘ２／9）－（ｙ２／4）＝1有且只有1个公共点，则这样的直线共有_______________条．8已知两同心圆的半径分别为5和4，AB为小圆的直径．（1）求以大圆的切线为准线，且过A、Ｂ两点的抛物线的焦点的轨迹Ｍ；（2）设过轨迹Ｍ的中心的弦为ＰＱ，Ｆ是轨迹M的焦点，求Ｓ△ＰＱＦ的最大值．9在面积为1的△ＰＭＮ中，ｔｇＭ＝（1／2），ｔｇΝ＝－2．建立适当的坐标系，求出以M、N 为焦点且过点P的椭圆方程．10如图8-3，M、C为定点，线段AB过M．M为AB的中点且｜AB｜=20,｜MC｜=8．图8-3（1）建立适当坐标系，写出以M、C为焦点，（1／2）AB为长轴长的椭圆方程；（2）求证△ABC的外心在（1）中所求椭圆的准线上.。
2025届高三数学专题复习：直线方程重难点专题(解析版)
直线的方程重难点专题常考结论及公式结论一：两直线平行与垂直的充要条件若l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2；①l 1∥l 2⇒k 1=k 2⇒≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零.①l 1∥l 2⇒A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2；l 1与l 2重合⇒A 1A 2=B 1B 2=C1C 2；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.结论二：到角公式和夹角公式(1)l 1到l 2的角公式①tan α=k 2-k 11+k 2k 1.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)(2)夹角公式①tan α=k 2-k 11+k 1k 2.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是π2.结论三：四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0)，其中k 是待定的系数；经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0，其中A 、B 是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为l 1:(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0，λ是参变量.结论四：与对称有关的一些结论(1)点P (u ,v )关于点Q (s ,t )的对称点的坐标为：(2s -u ,2t -v )，特别地，点P (u ,v )关于原点的对称点的坐标为：(2×0-u ,2×0-v )，即(-u ,-v ).(2)直线Ax +By +C =0关于点P (-u ,-v )对称的直线的方程为：(2u -x )+B (2v -y )+C =0.(3)直线Ax +By +C =0关于原点、x 轴、y 轴对称的直线的方程分别为：A (-x )+B (-y )+C =0，Ax +B (-y )+C =0，A (-x )+By +C =0.(4)直线Ax +By +C =0关于直线x =u ,y =v 对称的直线的方程分为：A (2u -x )+By +C =0，Ax +B (2v -y )+C =0.(5)曲线f (x ,y )=0关于点P (u ,v )对称的直线的方程为：f (2u -x ,2v -y )=0.(6)点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：s -2A ∙As +Bt +C A 2+B 2,t -2B ∙As +Bt +CA 2+B2.特别地，当A =B ≠0时，点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：-Bt +C A,-As +CB .点P (s ,t )关于x 轴、y 轴，直线x =u ，直线y =v 的对称点的坐标分别为(s ,-t ),(-s ,t ),(2u -s ),(s ,2v -t ).题型一直线的倾斜角与斜率关系问题例1.直线x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6的斜率的取值范围为()A.-∞,3B.2,+∞C.-∞,0 ∪0,3D.-∞,2【答案】A【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.【详解】由x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6 可得直线的斜率为：k =-cos θsin θ=-1tan θ.因为θ∈0,5π6 ，所以tan θ∈-∞,-33 ∪0,+∞ ,所以k =-1tan θ∈-∞,0 ∪0,3 当θ=π2时，易得k =0。
最新高三教案-高考数学专题复习讲练测——参考答案及提示专题八直线与二次曲线(1,2,3) 精品
专题八直线与二次曲线（1，2，3）参考答案及提示§ 1 坐标法1．Ｃ；2．Ｃ；3．Ｄ；4．Ｂ；5．ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２；6．2；7．4．5．设A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２），则过点A的切线方程为ｘｘ１＋ｙｙ１＝ｒ２．∵点P（ｘ０，ｙ０）在这切线上，∴有ｘ０ｘ１＋ｙ０ｙ１＝ｒ２，①同理有ｘ０ｘ２＋ｙ０ｙ２＝ｒ２，②由①②知A、B的坐标都是方程ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２的解．即A、B两点都在直线ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２上，故经过A、B两点的直线方程为ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２．6．画出方程表示的曲线图形，易知面积为2．7.设直线方程为ｙ＝ｋｘ＋1代入双曲线方程，化简整理，得（4－9ｋ２）ｘ２－18ｋｘ－45＝0．①（1）当4－9ｋ２＝0，即ｋ＝±（2／3）时，方程①有惟一的解，直线ｙ＝±（2／3）ｘ＋1与双曲线有且只有一个公共点；（2）当4－9ｋ２≠0且Δ＝18２ｋ２＋4（4－9ｋ２）×45＝0，即ｋ＝±（／3）时，方程①有惟一的解，此时直线ｙ＝±（／3）ｘ＋1与双曲线有且只有一个公共点．故这样的直线共有4条．8.（1）建立如图所示的直角坐标系，则Ａ的坐标为（－4，0），Ｂ的坐标为（4，0）．第8题设N为大圆上任一点，ｌ为过N的大圆的切线，并设抛物线的焦点为Ｆ（ｘ，ｙ），作ＡＡ′⊥ｌ，垂足为Ａ′，BB′⊥ｌ，垂足为Ｂ′．根据抛物线的定义，得｜ＡＦ｜＝｜ＡＡ′｜，｜ＢＦ｜＝｜ＢＢ′｜．∴｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝｜ＡＡ′｜＋｜ＢＢ′｜＝2｜ＯＮ｜＝10．而Ａ、Ｂ为定点，故焦点F的轨迹M是以A、B为焦点，长轴长为10，焦距为8的椭圆（除去长轴的两端点），其方程为（ｘ２／25）＋（ｙ２／9）＝1（ｙ≠0）．（2）根据椭圆的对称性，有Ｓ△ＰＱＦ＝2Ｓ△ＯＦＰ．设△ＯＦＰ的边OP上的高为ｈ，则Ｓ△ＰＱＦ＝2·（1／2）·｜ＯＦ｜·ｈ＝4ｈ，因ｈ≤3，故当ｈ＝3时，Ｓ△ＰＱＦ的最大值为12（平方单位）．9.由已知知M、N为定点，故以MN所在直线为x轴，为使椭圆方程为标准形式，取MN中点为原点建立直角坐标系ｘＯｙ（如图）.设椭圆方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，Ｍ（－ｃ，0），Ｎ（ｃ，0），Ｐ（ｘ０，ｙ０），则根据题意，得第9题ｙ０／（ｘ０＋ｃ）＝（1／2），ｙ０／（ｘ０－ｃ）＝－2，及（1／2）·2ｃ·ｙ０＝1．解得ｃ＝（／2），从而P点的坐标为（（5／6），（2／3））.又椭圆经过点P，∴ｂ２（（5／6））２＋ａ２（（2／3））２＝1．又∵ａ２＝ｂ２＋ｃ２，联立解得ａ２＝（15／4），ｂ２＝3．故所求椭圆的方程是（4ｘ２／15）＋（ｙ２／3）＝1．10.（1）取MC的中点O为原点，OC为x轴建立如图所示的直角坐标系，据题意2c=8,2a=10,∴c=4,a=5,b=3，∴椭圆方程为（x２／25）+（y２／9）=1．第10题（2）设A（x０,y０）,则B（-x０-8,-y０）,△ABC的外心坐标为（x,y）.线段AB的中垂线方程为y=-（x０+4／y０）（x+4）,线段AC的中垂线方程为y-（y０／2）=-（x０-4）／y０（x-（x０+4）／2）,两式中消去y,将（x０+4）２+y18=100代入，得x=-（25／4）,而（1）中椭圆的左准线方程为x=-（25／4）．故△ABC的外心在椭圆（x２／25）+（y２／9）=1的左准线上.§2轨迹1．Ｃ；2．Ｄ；3．Ｃ；4．Ａ；5．ｘ＋4ｙ＝0（－（4／5）＜ｘ＜（4／5））（参数法）；6．（9ｘ２／16）－ｙ２＝1（ｙ≠0）（动点转移法）；7．（16ｘ２／ａ２）－（16ｙ２／3ａ２）＝1（ｘ＞（9／4））（定义法．由正弦定理，将已知条件化为｜ＡＢ｜－｜ＡＣ｜＝（1／2）ａ＜｜ＢＣ｜）．8．动点转移法：设椭圆的左顶点为M（ｘ，ｙ），左焦点为Ｆ（ｘ１，ｙ１）.如图，∵Ａ（1，2）在椭圆上，ｙ轴为左准线，根据椭圆第二定义，得｜ＡＦ｜＝（1／2），第8题∴（ｘ１－1）２＋（ｙ１－2）２＝（1／4）．①又∵ｙ１＝ｙ，点M（ｘ，ｙ）在椭圆上，∴（｜ＭＦ｜／ｘ）＝（1／2），即（ｘ１－ｘ）／ｘ＝（1／2），∴ｘ１＝（3／2）ｘ.把ｘ１＝（3／2）ｘ，ｙ１＝ｙ代入①，得（（3／2）ｘ－1）２＋（ｙ－2）２＝（1／4），即（ｘ－（2／3））２／（（1／3）２）＋（（ｙ－2）２／（1／2）２）＝1．故椭圆的左顶点M的轨迹是中心在（（2／3），2），长、短轴长分别为1、（2／3），长轴平行于ｙ轴的椭圆．9.因直线过定点，其斜率ｋ为变量，P点在BC上，其坐标随ｋ的变化而变化，故可选直线的斜率ｋ为参数，用参数法求解．第10题设直线AB的方程为ｙ＝ｋｘ＋ａ，代入圆方程并整理，得（1＋ｋ２）ｘ２＋2（ａｋ－2）ｘ＋ａ２＋3＝0．①则ｘ１＋ｘ２＝（4－2ａｋ）／（1＋ｋ２），ｘ１ｘ２＝（ａ２＋3）／（1＋ｋ２），且1≤ｘ１＜ｘ２≤3．∵Ｐ在BC上，且满足（｜ＢＰ｜／｜ＰＣ｜）＝（｜ＡＢ｜／｜ＡＣ｜），设点P的坐标为（ｘ，ｙ），则ｘ１＜ｘ＜ｘ２且（ｘ－ｘ１）／（ｘ２－ｘ）＝（ｘ１／ｘ２），∴ｘ＝（2ｘ１ｘ２）／（ｘ１＋ｘ２）＝（ａ２＋3／2－ａｋ）．②又ｙ＝ｋｘ＋ａ，③由②③消去参数ｋ，得2ｘ－ａｙ－3＝0，其中ｘ、ｙ满足（ｘ－2）２＋ｙ２＜1．10．（1）设Ｐ（ｘ０，ｙ０），则射线OP的方程为ｙ＝（ｙ０／ｘ０）ｘ（ｘ≥0），AQ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－1），ＡＲ的方程为ｙ＝－ｋ（ｘ－1）．由ｙ＝ｋ（ｘ－1），消去ｙ，得ｙ＝（ｙ０／ｘ０）ｘｋｘ－ｋ＝（ｙ０／ｘ０）ｘ，∴ｘＱ＝（ｘ０k）／（ｘ０k－ｙ０）．同理可得ｘＲ＝（ｘ０ｋ）／（ｘ０ｋ＋ｙ）．由于｜ＯＰ｜２＝｜ＯＱ｜·｜ＯＲ｜等价于ｘＰ２＝ｘＱ·ｘＲ，所以由（ｘ０ｋ）／（ｘ０ｋ－ｙ０）·（ｘ０ｋ）／（ｘ０ｋ＋ｙ０）＝ｘ18，得ｘ18（ｘ18ｋ２－ｙ18－ｋ２）＝0．由题意ｘ０≠0，所以ｘ18ｋ２－ｙ18＝ｋ２，即ｘ２－（ｙ２／ｋ２）＝1（ｘ＞0），此即点P的轨迹方程．（2）｜ＱＲ｜＝＝（2｜ｙ０｜）／｜ｋ｜·又A点到OP的距离ｈ＝（｜ｙ０｜／）依题意，（｜ｙ０｜·）／｜ｋ｜·｜ｙ０｜／＝（1／4）｜ｋ｜，∴ｙ０＝±（1／2）｜ｋ｜，∴ｘ０＝＝（／2）．可见，符合题意的点P存在，其坐标为Ｐ１（（／2），（1／2）｜ｋ｜），Ｐ２（（／2），－（1／2）｜ｋ｜）．§ 3 直线与圆1．Ｄ；2．Ｄ；3．Ｄ；4．Ｃ；5．13或3．6．（ｘ＋2）２＋（ｙ－17）２＝289或（ｘ－2）２＋（ｙ－5）２＝25．7．－3－（／2）≤ａ≤－3＋（／2）．8．设Ｐ、Ｐ′所同在的直线方程为Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝0，则应有Ａｘ′＋Ｂｙ′＋Ｃ＝0．将ｘ′＝3ｘ＋2ｙ＋1，代入整理，得ｙ′＝ｘ＋4ｙ－3（3Ａ＋Ｂ）ｘ＋（2Ａ＋4Ｂ）ｙ＋（Ｃ＋Ａ－2Ｂ）＝0．因P和P′不可能同在垂直于坐标轴的一条直线上运动，所以Ａ≠0，Ｂ≠0．由两直线重合的条件，有（3Ａ＋Ｂ）／Ａ＝（2Ａ＋4Ｂ）／Ｂ＝（Ｃ＋Ａ－2Ｂ）／Ｃ＝ｋ．消去Ａ、Ｂ、Ｃ，得ｋ２－7ｋ＋10＝0，解得ｋ１＝2，ｋ２＝5．当ｋ＝2时，Ａ∶Ｂ∶Ｃ＝1∶（－1）∶4，这时直线的方程为ｘ－ｙ＋4＝0；当ｋ＝5时，Ａ∶Ｂ∶Ｃ＝4∶8∶（－5），此时直线的方程为4ｘ＋8ｙ－5＝0．9．将A点看作特殊的“点圆”，其方程为（ｘ－3）２＋（ｙ－6）２＝0．于是问题转化为求过两圆（ｘ－3）２＋（ｙ－6）２＝0和ｘ２＋ｙ２－4ｘ－8ｙ＋15＝0的交点，且与ｌ相切的圆的方程．考虑圆系（ｘ－3）２＋（ｙ－6）２＋λ（ｘ２＋ｙ２－4ｘ－8ｙ－15）＝0．与直线联立，并消去ｘ，得5（1＋λ）ｙ２－4（11＋9λ）ｙ＋20（3λ＋5）＝0．由直线与圆相切知Δ＝16（11＋9λ）２－400（1＋λ）（3λ＋5）＝0．解得λ１＝1，λ２＝－（2／3）．∴所求圆的方程有两个：ｘ２＋ｙ２－5ｘ－10ｙ＋30＝0；ｘ２＋ｙ２－10ｘ－20ｙ＋105＝0．10.设动圆圆心为M（ｘ，ｙ），半径为ｒ，点M到ｌ１、ｌ２的距离分别为ｄ１、ｄ２，据弦、弦心距、半径三者的关系，有第10题ｄ１２＋（26／2）２＝ｒ２，ｄ２２＋（24／2）２＝ｒ２，由此可得ｄ２２－ｄ１２＝25．①又ｄ１＝（｜2ｘ－3ｙ＋2｜）／，ｄ２＝（｜3ｘ－2ｙ＋3｜）／，代入①，得（（3ｘ－2ｙ＋3）／）２－（（2ｘ－3ｙ＋2）／）２＝25.化简，得ｘ２＋2ｘ＋1－ｙ２＝65，即（（ｘ＋1）２／65）－（ｙ２／65）＝1．∴动圆圆心M的轨迹是以（－1，0）为中心，为实轴长，且实轴平行于x轴的等轴双曲线．。
2025高考数学直线的方程复习课件练习题课件练习题
图1
A. 0.75
图2
B. 0.8
C. 0.85
例1
D )
训练1
例2
D. 0.9
训练2
例3
训练3
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第1讲
直线的方程
[解析] 如图，连接 OA ，延长 AA 1与 x 轴交于点 A 2，则 OA 2＝4 OD 1.因为 k 1， k 2，
2
k 3成公差为0.1的等差数列，所以 k 1＝ k 3－0.2， k 2＝ k 3－0.1，所以tan∠ AOA 2＝
我们以x轴为基准，x轴正向
π
k＝tan
α
即③
(α≠
).
与直线l① 向上 的方向之
2
定 间所成的角 α叫做直线l的倾 (2)坐标式：a.如果直线经过两点P1(x1，y1)，
P2(x2，y2)(x1≠ x2)，其斜率公式为
义 斜角.
2 −1
规定：当直线l与x轴平行或重 ④ 1 2 ＝2 −1 .
D. 截距可以为负值
[解析] 对于A，倾斜角为钝角的直线的斜率为负值，故A错误；对于B，一条直线
的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，如直线 y ＝ x 的斜率为tan
5π
，它的倾
4
π
4
斜角为 ，B错误；对于C，当经过定点 P ( x 0， y 0)的直线与 x 轴垂直时，斜率不存
在，故C错误；对于D，截距可以取正数、负数或零，所以D正确.
＝－ 2 ，所以－1≤tan
+1
B )
1
，设直线的倾斜角为α，则tan
2 +1
α
3π
α＜0，所以 ≤α＜π，故选B.
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最新高三教案-高考数学专题复习讲练测——专题八直线与二次曲线专题复习讲练3直线与圆 精品
§3直线与圆一、复习要点1本节复习的主要内容是：直线方程、两条直线的位置关系、圆的方程、直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系．其重点是直线方程的点斜式以及两条直线平行与垂直关系的应用；圆的标准方程和一般式方程、直线与圆的位置关系的应用．难点是直线与圆有关知识的综合应用．2本节内容中高考的热点是求直线方程，两条直线平行与垂直的关系，关于直线对称的问题，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．3在本节的复习中：①仍然要重视准确地理解基本概念和熟练掌握基本公式，特别是直线的倾斜角、斜率、距离、截距等概念要深刻理解；两点间的距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点公式、到角公式、夹角公式等要熟练掌握．②熟练掌握求直线方程的方法，注意根据题设条件灵活选用直线方程的形式，要特别注意斜率不存在的情况．③在求圆的方程和解决直线与圆、圆与圆的位置关系问题中，要注意圆的几何性质的应用，几何法往往比代数法简捷．④要重视圆系方程在解决相关问题中的特殊作用．二、例题讲解例1 直线ｌ与两平行直线ｌ１：ｘ＋ｙ－1＝0和ｌ２：ｘ＋ｙ－5＝0分别交于M、N两点，直线ｌ3：ｘ－3ｙ－1＝0到直线ｌ的角为45°，且与直线ｌ的交点P内分MN的比为2∶1，求直线ｌ的方程．讲解：本题中涉及的概念较多，直线也较多．解答本题首先要根据题意画出简图，弄清四条直线的相互关系，选择直线方程的形式，准确运用到角公式和定比分点公式，求出直线ｌ的方程．图8-9如图8-9，设直线ｌ的斜率为ｋ，因ｋｌ3＝（1／3），则由到角公式，有（ｋ－（1／3）／1＋ｋ·（1／3））＝ｔｇ45°＝1，解得ｋ＝2．如下，求直线ｌ的方程有两种方法：解法1．求点P的坐标.由点斜式得直线ｌ的方程，易知ｌ１∩ｌ3＝Ｍ′（1，0），易求得ｌ２∩ｌ3＝Ｎ′（4，1）．设点P（ｘ0，ｙ0），因为（Ｍ′Ｐ／ＰＮ′）＝（ＭＰ／ＰＮ）＝2，则由定比分点公式，得ｘ0＝（1＋2×4／1＋2）＝3，ｙ0＝（0＋2×1）／（1＋2）＝（2／3）．故知ｌ的方程是ｙ－（2／3）＝2（ｘ－3），即6ｘ－3ｙ－16＝0．解法2．求直线ｌ在y轴的截距．设ｌ的方程为ｙ＝2ｘ＋ｂ，易求得ｘＭ＝（1－ｂ）／3，ｘＰ＝－（3ｂ＋1）／5，ｘＮ＝（5－ｂ）／3.由ｘＰ＝（ｘＭ＋2ｘＮ）／）（1＋2）ｂ＝－（16／3）．故直线ｌ的方程是ｙ＝2ｘ－（16／3），即6ｘ－3ｙ－16＝0．例2 已知抛物线x２=4（y-1）,M是其顶点．（1）若⊙C的圆心C与抛物线的顶点M关于x轴对称，且⊙C与x轴相切，求⊙C的方程；（2）过抛物线上任意一点N（x0,y0）作⊙C的两条切线与抛物线的准线交于A、B两点，求｜AB｜关于y0的函数表达式．讲解：（1）易得M（0，1），则圆心C（0，-1）.又圆C与x轴相切，∴r=1.故圆C的方程为x２+（y+1）２=1．（2）如图8-10，抛物线的准线为y=0,A、B是过点N的⊙C的两条切线与x轴的两个交点.若设A（x１,0）,B（x２,0），则｜AB｜=｜x１-x２｜．问题就是要将｜x１-x２｜用y0表示，故问题的解决应从寻求A、B的坐标与点N的坐标的关系入手．图8-10∵点N（x0,y0）在抛物线上，∴x18=4（y0-1）．1°当直线AN的斜率存在时（即x１≠x0），AN的方程为y=（y0／x0-x１）（x-x１）,即y0x+（x１-x0）y-x１y0=0. ①2°当直线AN的斜率不存在时，也适合方程①，又∵直线AN与⊙C相切，∴（｜x0-x１-x１y0）｜／（）=1，整理，得（y0+2）x１2-2x0x１-y0=0. ②∵x18=4（y0-1）≥0，∴y0≥1,∴y0+2≠0．同理可知点B的横坐标x２也满足方程②．∴x１、x２是一元二次方程（y0+2）x２-2x0x-y0=0的两个实根，∴x１+x２=（2x0／y0+2）,x１x２=-（y0／y0+2）．∴｜AB｜=｜x１-x２｜=．把x02=4（y0-1）代入，得｜AB｜=（2／y0+2）（y0≥1）．例3 已知圆满足：（1）截ｙ轴所得弦长为2；（2）被ｘ轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线ｌ：ｘ－2ｙ＝0的距离最小的圆的方程．讲解：求已知种类曲线的方程常用待定系数法．涉及圆上的点的坐标时常用圆的一般形式方程，否则用圆的标准式方程．这里宜用圆的标准式方程．由题意可设圆的圆心为Ｐ（ａ，ｂ），半径为ｒ，则点P到ｘ轴、ｙ轴的距离分别为｜ｂ｜、｜ａ｜．由题设知圆P截ｘ轴所得劣弧所对的圆心角为90°，易知ｒ２＝2ｂ２．又圆Ｐ截ｙ轴所得弦长为2，∴ｒ２＝ａ２＋1，由上，则有2ｂ２－ａ２＝1．又点P（ａ，ｂ）到直线ｘ－2ｙ＝0的距离为ｄ＝（｜ａ－2ｂ｜）／．以下可有两种思路：思路1．均值不等式法．由5ｄ２＝｜ａ－2ｂ｜２＝ａ２＋4ｂ２－4ａｂ≥ａ２＋4ｂ２－2（ａ２＋ｂ２）＝2ｂ２－ａ２＝1，当且仅当ａ＝ｂ时，取“＝”，此时5ｄ２＝1，从而ｄ有最小值．∴ａ＝ｂ，2ｂ２－ａ２＝1，ｒ２＝ａ２＋1，∴ａ＝1，或ａ＝－1，ｂ＝1，ｂ＝－1，ｒ２＝2，ｒ２＝2．∴所求圆的方程为（ｘ－1）２＋（ｙ－1）２＝2或（ｘ＋1）２＋（ｙ＋1）２＝2．思路2．判别式法．∵ｄ＝（｜ａ－2ｂ｜／），∴ａ－2ｂ＝±ｄ．于是ａ２＝4ｂ２±4ｄｂ＋5ｄ２．①把ａ２＝2ｂ２－1代入①式，整理，得2ｂ２±4ｄｂ＋5ｄ２＋1＝0．②把②式看作ｂ的一元二次方程，则方程有实根，∴Δ＝8（5ｄ２－1）≥0，∴5ｄ２≥1．以下同思路1．（略）该题在待定ａ、ｂ、ｒ时，需要三个等式，前两个等式获得较为容易，第三个等式的得到较为困难．根据题目的结构特征，思路1用了均值不等式，思路2用了判别式法，殊途同归．这里需要细加体会．三、专题训练1已知直线ｌ：ｋｘ＋ｙ＋2＝0及点P（－2，1）、Ｑ（3，2），若直线ｌ与线段PQ相交，则ｋ的取值范围是（）．Ａ．－（4／3）＜ｋ＜（3／2）Ｂ．－（4／3）≤ｋ≤（3／2）Ｃ．ｋ≥－（4／3）Ｄ．ｋ≥（3／2）或ｋ≤－（4／3）2．使三条直线4ｘ＋ｙ＝4，ｍｘ＋ｙ＝0，2ｘ－3ｍｙ＝4不能围成三角形的ｍ的值最多有（）个．Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．43若-2＜a＜0，则直线x+y+a=0截圆ｘ２＋ｙ２＝4得劣弧所对圆心角θ的取值范围是（）．Ａ．0°＜θ＜45°Ｂ．0°＜θ＜60°Ｃ．0°＜θ＜90°Ｄ．0°＜θ＜180°4直线ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝0与圆ｘ２＋ｙ２＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝0（bｃ≠0）的位置关系是（）．Ａ．相交B相切C．相离D与a、b、c的值有关5如果把直线x-2y+λ=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位，便与圆x２+y２+2x-4y=0相切，则实数λ的值等于_________．6已知圆C和直线3ｘ－4ｙ－11＝0及x轴都相切，且过点（6，2），则该圆的方程是_________．7．设Ａ＝｛（ｘ，ｙ）｜（ｘ－2）２＋（ｙ＋3）２≤4｝，Ｂ＝｛（ｘ，ｙ）｜（ｘ－1）２＋（ｙ－ａ）２≤（1／4）｝.若Ａ∩Ｂ＝Ｂ，那么实数a的取值范围是_________．8设动点P、Ｐ′的坐标分别为（ｘ，ｙ）、（ｘ′，ｙ′），它们满足ｘ′＝3ｘ＋2ｙ＋1，ｙ′＝ｘ＋4ｙ－3．若P、P′同在一直线上运动，问：这样的直线是否存在?如果存在，求出其方程．9已知圆C：x２＋y２－4x－8y＋15＝0，点A（3，6），直线l：x－2y＋5＝0．求圆的方程，使与已知圆C相切于A，且与l相切．10已知两条直线ｌ１：2ｘ－3ｙ＋2＝0，ｌ２：3ｘ－2ｙ＋3＝0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与直线ｌ１、ｌ２都相交，并且ｌ１、ｌ２被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26、24，求圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．。
最新高三教案-高考数学专题复习讲练测——专题八直线与二次曲线专题内容概要 精品
直线与二次曲线专题内容概要通过第一轮的复习，同学们已经掌握了直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法．但由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题题目灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此我们有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的热点问题作深入的研究．在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入、横向联系，进一步掌握解决直线与二次曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题、解决问题的能力．本专题中，我们将要进一步复习好如下几个重点内容：（1）坐标法．坐标法是研究几何问题的重要方法，也是解析几何的基本思想方法，坐标法包括由曲线方程研究曲线的性质和由给定条件求曲线方程两个基本问题，其中由给定条件求曲线方程是本专题的重点内容之一；（2）系统掌握求曲线（轨迹）方程的常用方法（直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等）；（3）掌握综合运用直线和圆的知识解答直线与圆有关问题的思想方法；（4）熟练掌握圆锥曲线的标准方程、几何性质及其应用；（5）掌握与圆锥曲线有关的参数讨论问题的解法；（6）掌握解答解析几何综合问题的思想方法，提高解答解析几何综合问题的能力．解析几何是衔接初等数学和高等数学的纽带，而直线与圆锥曲线是解析几何的重点内容，因而成为高考考查的重点．以下是近六年来全国高考试题中考查涉及直线与二次曲线内容的题型、题量、分值情况统计表（以理科为准）：题型1996年1997年1998年1999年2000年2001年题量分值题量分值题量分值题量分值题量分值题量分值选择题 3 14 3 13 3 13 3 13 3 15 3 15 填空题 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 解答题 1 12 1 12 2 23 1 14 1 14 1 12上表统计表明，近六年全国高考试题对本专题内容考查的题型、题量、分值基本稳定．一般是选择题3道（文科2道）、填空题1道、解答题1道，分值30分左右．选择题、填空题主要考查有关直线、圆锥曲线的概念、方程、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系等；解答题考查的主要内容有：求曲线（轨迹）方程（1996～1999年），曲线基本量的讨论（1996年、2000年），坐标法及运用曲线方程研究曲线性质（1998年、2000年），直线与圆锥曲线的位置关系（1998年、2001年），等等．。
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§6解析几何的综合问题一、复习要点1本节的主要内容是解析几何与代数、三角等内容的横向综合．重点是解析几何与函数、方程、不等式、数列、三角等知识的综合应用．难点是能灵活运用所学知识将解析几何问题与代数、三角问题相互转化，沟通它们之间的联系．2在本节的复习中，应特别重视解析几何与函数、不等式、数列、三角知识的综合应用．解答解析几何综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用解析几何的知识将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、函数等），再结合代数、三角知识解答．要重视函数与方程的思想、等价转化思想的运用．3有关直线与二次曲线的最值问题是解析几何综合问题的重要内容之一，它融解析几何知识与函数等知识为一体，综合性强．解答此类问题一般有两种方法：①代数法．即就是建立目标函数，转化为求函数的最值问题．根据目标函数的特点可分别采用配方法、判别式法、重要不等式及函数的单调性等方法求最值．要特别注意自变量的取值范围．②几何法.若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑用图形性质简捷求解．4由于解答解析几何综合问题有利于培养和提高同学们的数学综合能力，因而解析几何的综合问题已成为上海及全国近年来高考命题的热点，常作为高考数学的把关题．二、例题讲解例1 如图8-18，抛物线方程为ｙ２＝ｐ（ｘ＋1）（ｐ＞0），直线ｘ＋ｙ＝ｍ与ｘ轴的交点在抛物线的准线的右边．图8-18（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥ＯＲ，求p关于ｍ的函数ｆ（ｍ）的表达式；（3）在（2）的条件下，若ｍ变化，使得原点O到直线QR的距离不大于（／2），求ｐ的取值范围．讲解：（1）欲证直线与抛物线总有两个交点，须证对满足题设条件的ｍ、ｐ的值，直线与抛物线的方程组成的方程组总有两个不同的实数解．由ｙ２＝ｐ（ｘ＋1），消去ｙ，得ｘ２－（2ｍ＋ｐ）ｘ＋（ｍ２－ｐ）＝0，ｘ＋ｙ＝ｍ，Δ＝ｐ（4ｍ＋ｐ＋4）．Δ的表达式中含有两个参数ｐ、ｍ，欲知它大于0是否成立，须寻找它们之间的联系．∵抛物线的准线方程是ｘ＝－1－（ｐ／4），直线与ｘ轴的交点是（ｍ，0），据题意ｍ＞－1－（ｐ／4），即4ｍ＋ｐ＋4＞0.又已知ｐ＞0，∴Δ＞0成立．故直线与抛物线总有两个交点．（2）若设Q、R点的坐标分别为（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ２），由（1）的证明知ｘ１、ｘ２是方程ｘ２－（2ｍ＋ｐ）ｘ＋（ｍ２－ｐ）＝0的两个根，则有ｘ１＋ｘ２＝2ｍ＋ｐ，ｘ１ｘ２＝ｍ２－ｐ．欲求ｐ与ｍ的函数关系ｐ＝ｆ（ｍ），须寻求ｘ１＋ｘ２，ｘ１ｘ２与ｍ或ｐ的关系，这可由题设条件Q、R在直线ｘ＋ｙ＝ｍ上及ＯＱ⊥ＯR得到．∵ＯＱ⊥ＯＲ，∴ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝0．又∵Ｑ、Ｒ均在直线ｘ＋ｙ＝ｍ上，∴ｙ１ｙ２＝（－ｘ１＋ｍ）（－ｘ２＋ｍ）＝ｘ１ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）ｍ＋ｍ２，∴2ｘ１ｘ２－ｍ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ２＝0，∴2（ｍ２－ｐ）－ｍ（2ｍ＋ｐ）＋ｍ２＝0．解得ｐ＝ｍ２／（ｍ＋2）．由ｐ＞0，得ｍ＞－2且ｍ≠0．4ｍ＋4＋ｐ＞0，故ｐ关于ｍ的函数ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）（ｍ＞－2且ｍ≠0）．（3）由（2）知ｐ＝ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）（ｍ＞－2且ｍ≠0），求ｐ的取值范围，即就是求函数ｆ（ｍ）在由给定条件所确定的定义域内的值域．故须从定义域入手．解法1．由题设条件有（｜0＋0－ｍ｜）／≤（／2），∴｜ｍ｜≤1.又由（2）知ｍ＞－2且ｍ≠0，∴ｍ∈［－1，0）∪（0，1］．当ｍ∈［－1，0）时，根据函数单调性的定义，可证ｆ（ｍ）在［－1，0）上为减函数，∴当ｍ∈［－1，0）时，ｆ（0）＜ｆ（ｍ）＜ｆ（－1），即ｐ∈（0，1］；当ｍ∈（0，1］时，可证ｆ（ｍ）为增函数，从而ｐ∈（0，（1／33）3〗］．解法2．同解法1，得ｍ∈［－1，0）∪（0，1］.由（2）知ｐ＝ｆ（ｍ）＝ｍ２／（ｍ＋2）＝（1／（1／ｍ）＋（2／ｍ２））.设ｔ＝（1／ｍ），ｇ（ｔ）＝ｔ＋2ｔ２，ｔ∈（－∞，－1］∪［1，＋∞），又ｇ（ｔ）＝2（ｔ＋（1／4））２－（1／8），∴当ｔ∈（－∞，－1］时，ｇ（ｔ）为减函数，∴ｇ（ｔ）∈［1，＋∞）；当ｔ∈［1，＋∞）时，ｇ（ｔ）为增函数，∴ｇ（ｔ）∈［3，＋∞）．∵ｐ＝ｆ（ｍ）＝（1／ｇ（ｔ）），故当ｍ∈［－1，0）时，ｐ∈（0，1］；当ｍ∈（0，1］时，ｐ∈（0，（1／3）］．本题是解析几何与函数、不等式的综合题．在（2）中，求出函数解析式后注意不要忘记定义域的确定；在（3）中，解法1须证明函数ｆ（ｍ）在各区间上的单调性；解法2通过换元，将问题转化为二次函数的问题，利用二次函数的单调性求解，较解法1简捷．例2 设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＝ｎａ＋ｎ（ｎ－1）ｂ（ｎ∈Ｎ，ａ，ｂ是常数，且ｂ≠0）．（1）证明以（ａｎ，（Ｓｎ／ｎ）－1）为坐标的点Pｎ（ｎ∈Ｎ）都落在同一条直线上，并写出此直线的方程；（2）设ａ＝1，ｂ＝（1／2），Ｃ是以（ｒ，ｒ）为圆心、ｒ为半径的圆（ｒ＞0），求使得点P１、Ｐ２、Ｐ３都落在圆C外时，ｒ的取值范围．讲解：（1）因Ｐ１（ａ，ａ－1）为定点，欲证Ｐｎ（ｎ∈Ｎ）共线，只须证ｋＰ１Ｐｎ为定值即可．由Ｓｎ＝ｎａ＋ｎ（ｎ－1）ｂ，得ａｎ＝2ｂｎ＋ａ－2ｂ，则ｋＰ１Ｐｎ＝（（（Ｓｎ／ｎ）－1）－（（Ｓ１／1）－1）／ａｎ－ａ１）＝（（ｎ－1）ｂ／2（ｎ－1）ｂ）＝（1／2）．故所有的点Pｎ（ａｎ，（Ｓｎ／ｎ）－1）（ｎ∈Ｎ）都落在经过点P１（ａ，ａ－1）且斜率为（1／2）的直线ｘ－2ｙ＋ａ－2＝0上．（2）根据点与圆的位置关系建立ｒ的不等式组求解．当ａ＝1，ｂ＝（1／2）时，Ｐｎ的坐标为（ｎ，（ｎ－1／2）），使Ｐ１（1，0），Ｐ２（2，（1／2）），Ｐ３（3，1）都落在圆（ｘ－ｒ）２＋（ｙ－ｒ）２＝ｒ２外的条件是（ｒ－1）２＋ｒ２＞ｒ２，（ｒ－2）２＋（ｒ－（1／2））２＞ｒ２，（ｒ－3）２＋（ｒ－1）２＞ｒ２.解得0＜ｒ＜1或1＜ｒ＜（5／2）－或ｒ＞4＋．这是一道解析几何与数列、不等式等知识的综合问题．例3已知椭圆（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1（ａ＞ｂ＞0）的两焦点为Ｆ１、Ｆ２，Ｐ为椭圆上任一点．使∠Ｆ１ＰＦ２＝2θ，试证：（1）｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ｂ２ｓｅｃ２θ；（2）△Ｆ１ＰＦ２的面积Ｓ＝ｂ２ｔｇθ；（3）设∠ＰＦ１Ｆ２＝α，∠ＰＦ２Ｆ１＝β，则ｔｇ（α／2）·ｔｇ（β／2）＝（1－ｅ）／（1＋ｅ）．讲解：我们从条件与结论的结构联系中寻求解题思路．（1）由于｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝2ａ，要出现｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜，平方得｜ＰＦ１｜２＋2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＋｜ＰＦ２｜２＝4ａ２．①再联系结论，在△Ｆ１ＰＦ２中，由余弦定理知（2ｃ）２＝｜ＰＦ１｜２＋｜ＰＦ２｜２－2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ｃｏｓ2θ．②要消掉｜ＰＦ１｜２、｜ＰＦ２｜２，用①、②两式相减，得2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜（1－ｃｏｓ2θ）＝4ａ２－4ｃ２＝4ｂ２．于是不难得到｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ｂ２ｓｅｃ２θ．（2）由（1），Ｓ＝（1／2）｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ｓｉｎ2θ＝（1／2）ｂ２ｓｅｃ２θ·ｓｉｎ2θ＝ｂ２ｔｇθ．（3）对结论进行结构分析．∵ｔｇ（α／2）·ｔｇ（β／2）＝（1－ｅ）／（1＋ｅ）ｅ＝ｃｏｓ[（α＋β）／2]／ｃｏｓ[（α－β）／2]（ｃ／ａ）＝[ｃｏｓ（α＋β）／2]／[ｃｏｓ（α－β）／2）]，于是只需对△Ｆ１ＰＦ２用正弦定理：（｜ＰＦ１｜／ｓｉｎβ）＝（｜ＰＦ２｜／ｓｉｎα）＝｜Ｆ１Ｆ２｜／（ｓｉｎ（α＋β））．再由等比定理知2ｃ／[ｓｉｎ（α＋β）]＝（｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜）／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）＝2ａ／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）．∴（ｃ／ａ）＝ｓｉｎ（α＋β）／（ｓｉｎα＋ｓｉｎβ）＝［ｃｏｓ（α＋β）／2］／［ｃｏｓ（α－β）／2］．结论得证．数学是结构的科学，结构决定着方法、蕴含着方法、提示着方法，尤其是对一些较复杂的数学问题，只要我们善于从条件与结论的结构联系及差异中寻求解题途径，问题便不难解决．本题是解析几何与三角知识的综合问题．此外，请同学们关注该题结论的应用价值．例4 已知圆Ｃ１的方程为（ｘ－2）２＋（ｙ－1）２＝（20／3），椭圆Ｃ２的方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1（ａ＞ｂ＞0），C２的离心率为（／2）．如果Ｃ１与Ｃ２相交于Ａ、Ｂ两点，且线段ＡＢ恰好为圆Ｃ１的直径，求直线AB的方程和椭圆Ｃ２的方程．讲解：此题可先求直线AB的方程．一方面AB是圆的直径，只需待定出其斜率ｋ，另一方面AB又是椭圆的弦，所以要求其斜率，可用差分法．设A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２）．∵线段ＡＢ为Ｃ１的直径，∴ｘ１＋ｘ２＝4，ｙ１＋ｙ２＝2．又由ｅ＝（／2），∴（ｃ／ａ）＝（／2），∴ａ２＝2ｃ２，ｂ２＝ｃ２．于是椭圆方程为（ｘ２／2ｂ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1．而Ａ、Ｂ又在Ｃ２上，∴（ｘ１２／2ｂ２）＋（ｙ１２／ｂ２）＝1，（ｘ２２／2ｂ２）＋（ｙ２２／ｂ２）＝1．两式相减，得（ｘ１＋ｘ２）（ｘ１－ｘ２）＋2（ｙ１＋ｙ２）（ｙ１－ｙ２）＝0．∴（ｙ１－ｙ２）／（ｘ１－ｘ２）＝－1，∴直线ＡＢ的方程为ｙ＝－ｘ＋3．以下待定ｂ２，求椭圆方程．由ｙ＝－ｘ＋3，（ｘ２／2ｂ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，知3ｘ２－12ｘ＋18－2ｂ２＝0．由Δ＞0，易知ｂ２＞3．又由｜ＡＢ｜＝｜ｘ１－ｘ２｜＝2，可得ｂ２＝8．∴Ｃ２的方程为（ｘ２／16）＋（ｙ２／8）＝1．这是一道解析几何的综合问题，它涉及到直线、圆及椭圆等知识点．该题的关键是要抓住相交弦的二重性：一方面线段ＡＢ为圆的直径，另一方面线段AB又是椭圆Ｃ２的弦．三、专题训练1若抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）上三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点的焦半径的关系是（）．Ａ．成等差数列Ｂ．成等比数列Ｃ．既成等差数列，也成等比数列Ｄ．以上结论都不对2．抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）在顶点张直角的弦必过定点（）．Ａ．（2ｐ，0）Ｂ．（ｐ，0）Ｃ．（（ｐ／2），0）Ｄ．以上结论都不对3用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率是（）．Ａ．（1／4）Ｂ．（1／2）Ｃ．／3Ｄ．／24．以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值是（）．Ａ．（／2）Ｂ．Ｃ．2Ｄ．25．从点P（ｘ，3）向圆（ｘ＋2）２＋（ｙ＋2）２＝1作切线，切线长度的最小值为______________．6．椭圆（ｘ２／9）＋（ｙ２／4）＝1的焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P为其上的动点．当∠Ｆ１ＰＦ２为钝角时，点P的横坐标的取值范围是______________．7在双曲线（ｙ２／12）－（ｘ２／13）＝1的一支上有不同的三点A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（，6）、Ｃ（ｘ２，ｙ２）与焦点F（0，5）的距离成等差数列，那么ｙ１＋ｙ２的值是______________．8已知直线l与椭圆3x２+y２=3相交于A、B两点.若弦AB的中点M到椭圆中心的距离为1，求当弦长｜AB｜取得最大值时直线l的方程．9已知抛物线的方程为ｙ＝－（1／2）ｘ２＋ｍ，点A、B及P（2，4）均在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互补．（1）求证：直线AB的斜率为定值；（2）当直线AB在ｙ轴上截距为正时，求△ＰＡＢ面积的最大值．10．如图8-19所示，Ａ、Ｆ分别是椭圆的一个顶点与一个焦点，位于ｘ轴的正半轴上的点T（ｔ，0）与F的连线交射线OA于Ｑ．图8-19（1）求点Ａ、Ｆ的坐标及直线TQ的方程；（2）求△ＯＴＱ的面积S与ｔ的函数关系式Ｓ＝ｆ（ｔ）及该函数的最小值；（3）写出Ｓ＝ｆ（ｔ）的单调区间，并证明之．。