新课标人教B测评练习 选修： 双曲线及其标准方程
人教版高中数学选修1-1第二章双曲线的定义与标准方程
上面 两条合起来叫做双曲线
人教版高中数学选修1-1第二章双 曲线的定义与标准方程
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点．
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
y
M
F1 O F2 x
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
4.化简
人教版高中数学选修1-1第二章双 曲线的定义与标准方程
1．已知双曲线的一个焦点坐标为( 6，0)，且经过点(－5,2)，
则双曲线的标准方程为
()
A.x52－y2＝1
B.y52－x2＝1
C.2x52 －y2＝1
D.x42－y22＝1
解析：依题意可设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，
写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1.a=4,b=3,焦点在x轴上; 2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5) 3.a=4,过点(1, 4 1 0 )
3
人教版高中数学选修1-1第二章双 曲线的定义与标准方程
例2:如果方程 x2 y2 1 表示双曲
2m m1
线，求m的取值范围.
解: 由 (2m )(m 1)0得 m2或 m1 ∴ m 的取值范围为 (, 2) (1, )
a>b>0，a2=b2+c2 a>0，b>0，但a不一
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-3-1双曲线的标准方程
2.3.1双曲线的标准方程一、选择题1．已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝0B ．y ＝0(|x |≥13)C ．x ＝0(|y |≥13)D ．以上都不对 [答案] C[解析] ||PF 1|－|PF 2||＝|F 1F 2|，∴x ＝0. 2．双曲线x 216－y29＝1的焦点坐标为( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(0，－7)，(0，7)C ．(－5,0)，(5,0)D ．(0，－5)，(0,5) [答案] C[解析] 16＋9＝c 2＝25，∴c ＝5，∵焦点在x 轴上，∴(－5,0)，(5,0)为焦点坐标．3．已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12 B.32 C.72D ．5[答案] C[解析] 点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P 与双曲线右支顶点M 重合时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.故选C.4．已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m[答案] B[解析] 由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ， |BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AF 1|＋|BF 1|－(|AF 2|＋|BF 2|)＝4a . 又|AF 1|＋|BF 1|＝AB ＝m ，∴△ABF 1周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＋2m .5．设P 为双曲线x 2－y212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点．若|PF 1|：|PF 1|＝3：2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[答案] B[解析] 设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x y ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝4又|F 1F 2|＝213由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝16＋36－4×132×4×60.∴S △PF 1F 2＝12x ·y ·sin ∠F 1PF 2＝4×6×12×1＝12.6．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0.b >0)有相同的焦点，P 是两曲线上的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2 D.m －b[答案] A[解析] 由题意|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a 整理得|PF 1|·|PF 2|＝m －a ，选A. 7．方程x 24－t ＋y2t －2＝1所表示的曲线为C ，有下列命题：①若曲线C 为椭圆，则2<t <4； ②若曲线C 为双曲线，则t >4或t <2； ③曲线C 不可能是圆；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，则3<t <4. 以上命题正确的是( ) A ．②③ B ．①④ C ．②④D ．①②④[答案] C[解析] 若C 为圆，则4－t ＝t －2>0，∴t ＝3. 当t ＝3，C 表示圆，∴③不正确． 若C 为椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t >0，t －2>0，4－t ≠t －2.∴2<t <4，且t ≠3， 故①不正确，故选C.8．设θ∈(34π，π)则关于x ，y 的方程x 2csc θ－y 2sec θ＝1 所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．长轴在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆 [答案] C[解析] 方程即是x 2sin θ＋y 2－cos θ＝1，因θ∈(3π4，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，且－cos θ>sin θ，故方程表示长轴在y 轴上的椭圆，故答案为C.9．已知平面内有一定线段AB ，其长度为4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|PO |的最小值为( )A ．1 B.32 C ．2D ．4[答案] B[解析] 由已知，P 点轨迹为以A ，B 为焦点，2a ＝3的双曲线一支，顶点到原点距离最小，∴|PO |的最小值为32，故选B.10．设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|的值等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8[答案] A[解析] ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→. 又||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝20－2|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2.11．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3) ，那么k 的值为________． [答案] k ＝－1[解析] 方程为x 21k －y 28k ＝1，∵焦点为(0,3)，∴k <0且(－8k )＋(－1k )＝9，∴k ＝－1.12．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，则a ＋b ＝________. [答案] 12[解析] p (a ，b )点到y ＝x 的距离d ＝|a －b |2，∵P (a ，b )在y ＝x 下方，∴a >b ∴a －b ＝2，又a 2－b 2＝1，∴a ＋b ＝12.13．设圆过双曲线x 29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．[答案]163[解析] 如图所示，设圆心P (x 0，y 0)，则|x 0|＝c ＋a 2＝4，代入x 29－y 216＝1，得y 20＝16×79，∴|OP |＝x 20＋y 20＝163. 14．双曲线x 216－y 291的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥F 1F 2，则点P到x 轴的距离为______．[答案] 94[解析] ∵F 1(－5,0)，PF 1⊥F 1F 2.设P (－5，y P ) ∴2516－y 2P 91，即y 2P ＝8116，∴|y P |＝94， ∴点P 到x 轴的距离为94.15．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．[解析] 当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线．当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点上，半径为2的圆． 当k <0时，方程y 24＋x24k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线．当0<k <1时，方程x 24k ＋y 241，表示焦点在x 轴上的椭圆．当k >1时，方程x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．16．在△ABC 中，BC 固定，A 点为动点，设|BC |＝8，且|sin C －sin B |＝12sin A ，求A 点的轨迹方程．[解析] 以BC 所在直线为x 轴，以线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (－4,0)，C (4,0)．设A (x ，y )，则由正弦定理知，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，代入|sin C－sin B |＝12sin A ，得|c －b |＝12a ＝4，且|BC |＝8>4，故由双曲线定义知，A 点在以B ，C 为焦点的双曲线上，2a 0＝4，∴a 0＝2,2c 0＝8，c 0＝4，∴b 20＝c 20－a 20＝16－4＝12，即点A 的轨迹方程为x 24－y 212＝1(y ≠0)．17．设双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．(1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F 1MF 2＝60°时，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝120°时，△F 1MF 2的面积又是多少？[解析] (1)由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13， 设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(r 1>r 2)如图所示．由双曲线定义，有r 1－r 2＝2a ＝4.两边平方得r 21＋r 22－2r 1·r 2＝16，因为∠F 1MF 2＝90°，所以r 21＋r 22＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝52，所以r 1r 2＝18，所以S △F 1MF 2＝9. (2)若∠F 1MF 2＝60°，在△MF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos60°|F 1F 2|2＝(r 1－r 2)2＋r 1r 2，得r 1r 2＝36， 所以S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin60°＝9 3.同理，当∠F 1MF 2＝120°，S △F 1MF 2＝3 3.18．如图所示，某村在P 处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路P A 或PB 送到成矩形的一块田ABCD 中去，已知PA ＝100m ，BP ＝150m ，BC ＝60m ，∠APB ＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送肥较近而另一侧的点则沿PB 送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．[解析] 田地ABCD 中的点可分为三类：第一类沿P A 送肥近，第二类沿PB 送肥较近，第三类沿P A 或PB 送肥一样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹．设M 是界线上的任一点，则 |PA |＋|MA |＝|PB |＋|MB |，即|MA |－|MB |＝|PB |－|PA |＝50(定值)故所求界线是以A 、B 为焦点的双曲线一支．若以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系，则所求双曲线为x 2a 2－y2b2＝1，其中a ＝25，2c ＝|AB |＝1002＋1502－2·100·150·cos60° ＝507.∴c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3750. 因此，双曲线方程为x2 625－y23750＝1(25≤x≤35，y≥0)，即为所求界线的方程．。
双曲线及其标准方程练习
∵0<a<c,∴令c2-a2=b2(b>0)
x 2 y2 2 1 (a 0,b 0, 2 a b a不一定大于b) y2 x 2 2 1 2 a b
【典例训练】
1.双曲线2x2-y2=k的焦距为6，则k的值为___________.
x2 y2 1 表示双曲线，则m的取值范围为_____. 2.方程 2m m 3 2 2 3.讨论方程 x y 1 表示何种圆锥曲线？它们有何共同特 25 k 9 k
（2）焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲 线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”：若x2项的系数为正，
则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.
（3）当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，ຫໍສະໝຸດ 双曲线的方程才具有标准形式.
求双曲线的标准方程 【技法点拨】 1.求双曲线标准方程的三个关注点
x 2 y2 2.若方程 1 表示焦点在x轴上的双曲线，那么m,n的符 m n
号怎样？ 提示：m>0,n<0.
3.对双曲线标准方程的三点说明
x 2 y2 y2 x 2 双曲线的标准方程有两种不同类型： 2 2 1, 2 2(a>0,b>0)， 1 a b a b
分别表示焦点在x轴上和焦点在y轴上的双曲线. （1）标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小， 是双曲线的定形条件，这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2(a>b>0) 相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a、b大小不确定.
②
③
一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利 解决.
焦点三角形SPF1F2 b cot 2
2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.6.1双曲线的标准方程学案含解析新人教B版
2．6 双曲线及其方程2.6.1 双曲线的标准方程必备知识·自主学习导思1.双曲线的定义是什么？ 2．双曲线的标准方程有哪些？1.双曲线的定义如果F 1，F 2是平面内的两个定点，a 是一个正常数，且2a ＜|F 1F 2|，则平面上满足||PF 1|－|PF 2||＝2a 的动点P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F 1，F 2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F 1F 2|称为双曲线的焦距．(1)如何理解“绝对值”？提示：若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支． (2)把“小于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“大于|F 1F 2|”或常数为0，结果如何？提示：①若将“小于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F 1F 2|”改为“大于|F 1F 2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．③若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． 2．双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴x 轴 y 轴 标准方程x 2a 2 －y 2b 2 =1 (a>0,b>0)y 2a 2 －x2b 2 ＝1 (a>0,b>0)图形焦点坐标 F 1(-c,0),F 2(c,0)F 1(0,-c),F 2(0,c)a,b,c 的关系式 a 2+b 2=c 2如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置？提示：焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，则焦点在y 轴上．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)在双曲线标准方程中，a ，b ，c 之间的关系与椭圆中a ，b ，c 之间的关系相同．( ) (2)点A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C 的轨迹是双曲线．( ) (3)双曲线x 2a 2 －y2b 2 ＝1的焦点在x 轴上，且a>b.( )提示：(1)×.双曲线中b 2＝c 2－a 2，椭圆中b 2＝a 2－c 2.(2)×.因为|AB|＝2＝|AC|－|BC|，所以C 点的轨迹是两条射线．(3)×.在双曲线x 2a 2 －y 2b 2＝1中，焦点在x 轴上，且a>0，b>0，但是不一定a>b.2．(教材例题改编)设动点M 到点A ()0，－5 的距离与它到点B ()0，5 的距离的差等于6，则M 点的轨迹方程是( ) A ．x 29 －y 216 ＝1 B ．y 29 －x216＝1C ．y 29 －x 216 ＝1()y>0 D ．x 29 －y216 ＝1()x>0【解析】选C.因为||MA|－|MB||＝6<10＝|AB|， 所以M 点轨迹是焦点在y 轴上的双曲线的上半支， 其中a ＝3，c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2 ＝4，所以M 点轨迹方程为y 29 －x 216＝1()y>0 .3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________.【解析】令x ＝0，得y 2－4y ＋8＝0，方程无解，即该圆与y 轴无交点．令y ＝0，得x 2－6x ＋8＝0，解得x ＝2或x ＝4， 则符合条件的双曲线中a ＝2，c ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，且焦点在x 轴上， 所以双曲线的方程为x 24 －y 212 ＝1.答案：x 24 －y 212＝1关键能力·合作学习类型一 双曲线的定义及其应用(逻辑推理)1．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．482．已知动圆E 与圆A ：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆B ：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心E 的轨迹方程为________．【解析】⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10，可得△PF 1F 2是直角三角形， 则S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝24.2．由圆A ：(x ＋4)2＋y 2＝2，可得圆心A(－4，0)，半径＝ 2 ；由圆B ：(x －4)2＋y 2＝2可得圆心B(4，0)，半径＝ 2 .设动圆的半径为R ，由题意可得|EA|＝R ＋2 ，|EB|＝R －2 ，所以|EA|－|EB|＝22 ＜2×4，由双曲线的定义可得，动圆的圆心E 在以点A(－4，0)，B(4，0)为焦点的双曲线的右支上， 因为a ＝2 ，c ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝14，所以动圆圆心E 的轨迹方程为x 22 －y 214 ＝1(x ≥2 ).答案：x 22 －y 214＝1(x ≥2 )1．利用双曲线的定义求双曲线方程的基本步骤 (1)寻求动点M 与定点F 1，F 2之间的关系．(2)根据题目的条件计算是否满足||MF 1|－|MF 2||＝2a(常数，a>0).(3)判断：若2a<2c ＝|F 1F 2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c ＝|F 1F 2|，b 2＝c 2－a 2，进而求出相应a ，b ，c.(4)根据F 1，F 2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程． 2．求解双曲线中焦点三角形面积的两种方法 (1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式S△PF 1F 2＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．(2)方法二：利用公式S△PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形使用，二是特别注意|PF 1|2＋|PF 2|2与|PF 1|·|PF 2|的关系． 【补偿训练】已知P 是双曲线x 216a 2 －y29a 2 ＝1()a>0 上的点，F 1、F 2是其左、右焦点，且PF 1·PF 2＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．3 D ．4 【解析】1·PF 2＝0得PF 1⊥PF 2，由勾股定理得||PF 1 2＋||PF 2 2＝||F 1F 2 2＝()216a 2＋9a 2 2＝100a 2.由双曲线的定义得⎪⎪⎪⎪⎪⎪||PF 1－||PF 2 ＝8a ，所以64a 2＝||PF 1 2＋||PF 2 2－2||PF 1 ·||PF 2 ＝100a 2－2||PF 1 ·||PF 2 ，所以||PF 1 ·||PF 2 ＝18a 2，则△PF 1F 2的面积为12||PF 1 ·||PF 2 ＝9a 2＝9，因为a>0，所以a ＝1.类型二 待定系数法求双曲线的标准方程(数学运算) 【典例】求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦距为26，且经过点M(0，12)；(2)双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－4 2 )，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5 . 【思路导引】(1)判断焦点的位置，由c 和a 的大小，利用b 2＝c 2－a 2求得b ，写出方程． (2)设出双曲线的方程利用待定系数法求得参数，解得方程．【解析】(1)因为双曲线经过点M(0，12)，所以M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，所以c ＝13，所以b 2＝c 2－a 2＝25.所以双曲线的标准方程为y 2144 －x 225 ＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝116，m ＝－19，所以双曲线的标准方程为y 216 －x 29＝1.把本例(2)的条件改为“双曲线过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154 ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5 两点”，求双曲线的标准方程．【解析】若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2 －y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9 (舍去).若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2 －x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29 －x 216 ＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29 －x 216＝1.待定系数法求方程的步骤(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB<0)； ②与双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y2b 2＋k ＝1(－b 2<k<a 2).(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．1．求c ＝ 6 ，经过点(－5，2)，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程．【解析】依题意可设双曲线的方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0).则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，所以所求双曲线的标准方程为x 25 －y 2＝1.2．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)c ＝5，b ＝3，焦点在x 轴上；(2)a ＝2 5 ，经过点A(2，－5)，焦点在y 轴上． 【解析】(1)因为双曲线的焦点在x 轴上，c ＝5，b ＝3， 所以a 2＝c 2－b 2＝16，所以双曲线的标准方程为：x 216 －y 29 ＝1.(2)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)，因为由题设知，a ＝2 5 ，且点A(2，－5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b2＝1，所以解得a 2＝20，b 2＝16，所以所求双曲线的标准方程为y 220 －x 216 ＝1.类型三 利用双曲线的标准方程求参数(数学运算)【典例】x 29－m ＋y24－m ＝1表示双曲线，则m 的取值X 围是( )A ．m ＜4B ．m ＞9C ．4＜m ＜9D ．m ＜4或m>92．已知方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值X 围是________.【思路导引】1.根据双曲线的定义可知，要使方程表示双曲线，需9－m 和4－m 异号，进而求得m 的X 围．2．方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则1＋k 和1－k 同号，进而求得k 的X 围． 【解析】x 29－m ＋y 24－m ＝1表示双曲线，所以(9－m)(4－m)＜0，解得4＜m ＜9.2．方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则(1＋k)(1－k)>0，所以(k ＋1)(k －1)<0，所以－1<k<1. 答案：(－1，1)方程表示双曲线的条件及参数X 围求法(1)对于方程x 2m ＋y2n ＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x 轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)对于方程x 2m －y2n ＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x 轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y 轴上的双曲线．(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值X 围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值X 围．求满足下列条件的参数的值．(1)已知双曲线方程为2x 2－y 2＝k ，焦距为6，求k 的值；(2)椭圆x 24 ＋y 2a 2 ＝1与双曲线x 2a －y22 ＝1有相同的焦点，求a 的值．【解析】(1)若焦点在x 轴上，则方程可化为x 2k 2－y 2k＝1，所以k2＋k ＝32，即k ＝6；若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2－k2＝1，所以－k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2 ＝32，即k ＝－6.综上所述，k 的值为6或－6.(2)由双曲线方程知焦点在x 轴上且c 2＝a ＋2(a ＞0). 由椭圆方程，知c 2＝4－a 2，所以a ＋2＝4－a 2， 即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去). 因此a 的值为1.备选类型 与双曲线有关的轨迹问题(逻辑推理、数学运算)【典例】如图所示，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2 ，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．【思路导引】建立直角坐标系，根据双曲线的定义求解．【解析】以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2 2 ，0)，B(22 ，0).由正弦定理，得sin A ＝|BC|2R ，sin B ＝|AC|2R，sin C＝|AB|2R(R 为△ABC 的外接圆半径).因为2sin A ＋sin C ＝2sin B ，所以2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 即|AC|－|BC|＝|AB|2＝22 <|AB|.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点).由题意，设所求轨迹方程为x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(x>a)，因为a ＝2 ，c ＝22 ，所以b 2＝c 2－a 2＝6.即所求轨迹方程为x 22 －y 26＝1(x>2 ).求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法 (1)列出等量关系，化简得到方程．(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程． 提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． ②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．△ABC 的顶点为A(－5，0)，B(5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A ．x 29 －y 216 ＝1 B ．x 216 －y29＝1C ．x 29 －y 216 ＝1(x>3) D ．x 216 －y29＝1(x>4)【解析】选C.由条件可得，圆与x 轴的切点为T(3，0)， 由相切的性质得|CA|－|CB|＝|TA|－|TB|＝8－2＝6<10＝|AB|， 因此点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支． 由2a ＝6，2c ＝10，得a ＝3，b ＝4， 所求的双曲线方程为x 29 －y 216 ＝1.考虑到点C 不在直线AB 上，即x ＞3.课堂检测·素养达标1．若方程y 24 －x2m ＋1 ＝1表示双曲线，则实数m 的取值X 围是( )A ．－1<m<3B ．m>－1C ．m>3D ．m<－1【解析】选B.依题意应有m ＋1>0，即m>－1.2．已知F 1(－8，3)，F 2(2，3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线 D ．一条射线【解析】1，F 2是定点且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射word - 11 - / 11 线． 3．已知左、右焦点分别为F 1，F 2的双曲线C ：x 2a 2 －y 2＝1(a>0)过点⎝⎛⎭⎪⎫15，－63 ，点P 在双曲线C 上，若||PF 1 ＝3，则||PF 2 ＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【解析】选C.由左、右焦点分别为F 1，F 2的双曲线C ：x 2a 2 －y 2＝1(a>0)过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫15，－63 ，可得：15a 2 －69 ＝1，解得a ＝3，b ＝1，c ＝10 ，a ＋c ＞3，点P 在双曲线C 上，若|PF 1|＝3，可得点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|＝2a ＋|PF 1|＝6＋3＝9.4．已知双曲线的方程为x 2－y 24 ＝1，如图，点A 的坐标为(－5 ，0)，B 是圆x 2＋(y － 5 )2＝1上的点，点M 在双曲线的右支上，则|MA|＋|MB|的最小值为________.【解析】设点D 的坐标为( 5 ，0)，则点A ，D 是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a ＝2.所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又B 是圆x 2＋(y －5 )2＝1上的点，圆的圆心为C(0， 5 )，半径为1， 故|BD|≥|CD|－1＝10 －1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥10 ＋1，当点M ，B 在线段CD 上时取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为10 ＋1. 答案：10 ＋1。
人教版高二数学选修1-1《双曲线及标准方程、几何性质》
双曲线及标准方程、几何性质一、双曲线的定义及标准方程【知识要点】1. 双曲线的定义第一定义：平面内与两定点21,F F 的距离之差的绝对值为常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线.第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离之比是常数)),1((+∞∈e e 的点的轨迹叫做双曲线。
2. 双曲线的方程(1)标准方程:12222=-b y a x 或12222=-b x a y ，其中222,0,0b a c b a +=>>。
(2)一般方程：122=+By Ax ，其中0<AB【基础训练】1．已知点)0,5(1-F ，)0,5(2-F ，动点P 满足821=-PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.线段 2．已知双曲线19422=-y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.1B.9C.1或9D.4或93．到两定点)5,0(),5,0(B A -的距离之差的绝对值为6的动点的轨迹方程为 。
4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过)2,3(的双曲线的标准方程是 。
5．已知平面内有一长度为4的定线段AB ，动点P 满足3=-PB PA ，O 为AB 的中点，则OP 的最小值为 。
【典例精析】例1．方程13122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的范围是（ ） A. 3<m 且1≠m B.1>m 且3≠m C.31<<mD.3>m 或1-<m例2．已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,分别求满足下列条件的双曲线的方程.(1)一个焦点为)0,4(-，且一条渐近线的方程是023=-y x ;(2)离心率为2,且过点)10,4(-P .例3．求与圆4)2(22=++y x 外切，并过定点)0,2(B 的动圆圆心M 的轨迹方程。
人教版高二数学选修1-1双曲线及其标准方程练习题答案及详解
－＋－－＝ C.－＝ D.－5(5，A.－＝ B.－＝－－＝．椭圆＋m 2＝与双曲线m 2－＝A.－＝ B.－＝C.－＝－＝ D.－ D.m －b．已知方程＝．以椭圆椭圆＝A.＝＝－＋a 2＝与双曲线a －＋．过双曲线＝．如果椭圆椭圆＝．设双曲线与椭圆＝3＝1. 5、C ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、C ∵c 9－y 22m ，由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a .∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，∴|PF 1|·|·||PF 2|＝m －a . 11、x 273－y 275＝1 12、833∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ïìx ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 13、1 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 14、 x 24－y 212＝1(x ≤－2) 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得|PB |－|P A |＝4<|AB |＝8， 由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．其方程为：x 24－y 212＝1(x ≤－2)． 15、椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，人教版高二数学选修1-1双曲线及其双曲线及其标准方程标准方程练习题答案及详解 1、D 2、A 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1. 3、A 设动圆设动圆半径半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、B 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双，双曲线方程曲线方程为y 2－x 2＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|·||PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、A 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，对，对椭圆椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2.∴m 2＝1，即m ＝±1. 8、D 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，为焦点，实轴实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 27＝1(x >0) 9、D |A F AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 10、A 设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝＝7，该弦所在，该弦所在直线直线方程为x ＝7， 由îïí＋2－b 2＝∴16a 2－15b －＝3，(3－3(3－－3)·((3－y 2＝－y M 2＝－3－)(3－－y 2M 2＝±233，＝233. ＝12|F ＝3，∴x 2M ＋y 2M ＝3①－y M 2＝±233，＝233. 椭圆＝双曲线a 2＝为：。
(完整版)双曲线及其标准方程测试题及解析人教版
双曲线及其标准方程测试题及解析（人教版）§2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程课时目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为__________________________________________．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F1、F2叫做________________，两焦点间的距离叫做________________．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F1__________，F2__________.(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点F1________，F2__________.(3)双曲线中a、b、c的关系是____________．一、选择题1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若ax2＋by2＝b(ab0)，则这个曲线是()A．双曲线，焦点在x轴上B．双曲线，焦点在y轴上C．椭圆，焦点在x轴上D．椭圆，焦点在y轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1B.x23－y2＝1C．y2－x23＝1D．x22－y22＝14．双曲线x2m－y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m的值为()A．12B．1或3C．1＋22D．2－125．一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为()A．抛物线B．圆C．双曲线的一支D．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是()A．x24－y2＝1B．x2－y24＝1C．x22－y23＝1D．x23－y22＝1题号123456答案二、填空题7．设F1、F2是双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且PF1→PF2→＝0，则|PF1||PF2|＝______. 8．已知方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．9．F1、F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1||PF2|＝32，则∠F1PF2＝______.三、解答题10．设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A满足sinB －sinC＝12sinA，求动点A的轨迹方程．能力提升12．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线x2a2－y2＝1(a0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OP→FP→的取值范围为()A．[3－23，＋∞)B．[3＋23，＋∞)C．[－74，＋∞)D．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.2双曲线2．2.1双曲线及其标准方程答案知识梳理1．(1)|F1F2|以F1，F2为端点的两条射线不存在(2)双曲线的焦点双曲线的焦距2．(1)x2a2－y2b2＝1(a0，b0)(－c,0)(c,0)(2)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)(0，－c)(0，c)(3)c2＝a2＋b2作业设计1．B[根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲乙，只有当2a|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．] 2．B[原方程可化为x2ba＋y2＝1，因为ab0，所以ba0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.]3．A[∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由题知c＝2，∴a2＋b2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a2－32b2＝1.②由①②解得a2＝1，b2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.]4．A[∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c＝2，∴m＋3＋m＝c2＝4.∴m＝12.]5．C[由题意两定圆的圆心坐标为O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为O，动圆半径为r，则|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝1|O1O2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B[设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，因为c＝5，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以x2a2－y25－a2＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a2－165－a2＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－y24＝1.故选B.]7．2解析∵||PF1|－|PF2||＝4，又PF1⊥PF2，|F1F2|＝25，∴|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2＝20－2|PF1||PF2|＝16，∴|PF1||PF2|＝2.8．－1k1解析因为方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k)(1－k)0.所以(k＋1)(k－1)0.所以－1k1.9．90°解析设∠F1PF2＝α，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.在△F1PF2中，由余弦定理，得(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cosα，∴cosα＝(r1－r2)2＋2r1r2－4c22r1r2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解方法一设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.又点A的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有42a2－(±15)2b2＝1，a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5. 所以双曲线的标准方程为y24－x25＝1.方法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±15，4)，又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．所以2a＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y24－x25＝1.11．解设A点的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC＝2R，代入sinB－sinC＝12sinA，得|AC|2R－|AB|2R＝12|BC|2R，又|BC|＝8，所以|AC|－|AB|＝4.因此A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a＝4,2c＝8，所以a＝2，c＝4，b2＝12.所以A点的轨迹方程为x24－y212＝1(x2)．12．B[由c＝2得a2＋1＝4，∴a2＝3，∴双曲线方程为x23－y2＝1.设P(x，y)(x≥3)，∴OP→FP→＝(x，y)(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋x23－1＝43x2＋2x－1(x≥3)．令g(x)＝43x2＋2x－1(x≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min＝g(3)＝3＋23.OP→FP→的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1，且c＝7，则a2＋b2＝7.①由MN中点的横坐标为－23知，中点坐标为－23，－53.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，得b2(x1＋x2)(x1－x2)－a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∵x1＋x2＝－43y1＋y2＝－103，且y1－y2x1－x2＝1，∴2b2＝5a2.②由①，②求得a2＝2，b2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x22－y25＝1.。
2.3.1双曲线的标准方程课件人教新课标B版
n 16
n 3
则实数 n的值是__________
拓展
2
2
x
y
已知 F1，F2 是双曲线 1 的两个焦点，PQ 是过点
16 9
F1 的弦，且 PQ 的倾斜角 ，那么| PF2 | | QF2 | | PQ | 的值
P
y
是( C )
A. 8
B. 12
C. 16
D. 随 角的大小而变化
MF1 MF2 2a
x c y2
2
x c y 2 2a
2
5
x c
2
y
2
x c
2
y 2 2a
x2
y2
2
1
2
2
a
c a
c a b
2
2
2
b 0
焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程.
2
2
x
y
2 1 ( a 0, b 0)
平面内,到两定点 F1 ,F2 的距离的差的绝对值等于
非零常数（常数 | F1F2 |）的点的轨迹叫做双曲线，其
中 F1 ，F2 叫做双曲线的焦点，| F1F2 | 叫做焦距，记为 2c.
M
F1
2c
F2
| MF1 | | MF2 | 2a
(0 2a 2c)
练习1
已知两定点 F1，F2 之间的距离为 10 ，且动点 P 满足
| PF1 | | PF2 | 8 ，请判断 P 的轨迹.
变式1
| PF1 | | PF2 | 8
双曲线
双曲线的一支
变式2
3.2.1 双曲线及其标准方程 练习册正文
3.2 双曲线3.2.1 双曲线及其标准方程一、选择题1.双曲线y 24-x 25=1的焦距为( ) A .6B .3C .2D .12.焦点分别为(-2,0),(2,0),且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A .x 2-y 23=1B .x 23-y 2=1C .y 2-x 23=1D .x 22-y 22=13.已知F 1,F 2是平面内两个不同的定点,则“||MF 1|-|MF 2||为定值”是“动点M 的轨迹是双曲线”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.[2024·益阳高二期末] 点M (x ,y )的坐标满足√(x +5)2+y 2-√(x -5)2+y 2=8,则点M 的轨迹方程为 ( )A .x 216+y 29=1B .x 216-y 29=1C .x 216-y 29=1(x>0)D .y 216-x 29=1(y>0) 5.若F 1,F 2分别是双曲线8x 2-y 2=8的左、右焦点,点P 在该双曲线上,且△PF 1F 2是等腰三角形,则△PF 1F 2的周长为( ) A .17B .16或12C .20D .16或206.[2024·福建南平一中高二月考] 设双曲线C 2与椭圆C 1:x 216+y 212=1有公共焦点F 1,F 2.若双曲线C 2经过点A (1,0),设P 为双曲线C 2与椭圆C 1的一个交点,则∠F 1PF 2的余弦值为( )A .35B .23C .34D .457.已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 24-y 24=1的左、右焦点,P 是C 上一点,且位于第一象限,PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则P 的纵坐标为 ( )A .1B .2C .√2D .√38.(多选题)[2024·河南商丘高二期中] 已知方程x 2m 2-1+y 22m+2=1(m ≠±1)表示曲线C ,则下列结论正确的是 ( ) A .若m=3,则曲线C 是圆B .若曲线C 是椭圆,则m>3C .若曲线C 是双曲线,则m<1且m ≠-1D .若m<-1,则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线9.(多选题)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是A 1,A 2,左、右焦点分别是F 1,F 2,P 是双曲线上异于A 1,A 2的任意一点,给出下列结论,其中正确的是( )A .||PA 1|-|PA 2||=2aB .直线PA 1,PA 2的斜率之积等于定值b 2a 2C .使得△PF 1F 2为等腰三角形的点P 有且仅有四个D .若PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b 2,则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 二、填空题10.若双曲线y 22-x 2m =1的焦点与椭圆x 24+y 29=1的焦点重合,则m= .11.[2024·天津西青区高二期末] 已知双曲线x 2a 2-y 236=1(a>0)的两个焦点为F 1,F 2,焦距为20,点P 是双曲线上一点,|PF 1|=17,则|PF 2|= .12.已知O 为坐标原点,设F 1,F 2分别是双曲线x 2-y 2=1的左、右焦点,P 为双曲线上任意一点,过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线,垂足为H ,则|OH|= .三、解答题13.(1)求与双曲线x 22-y 2=1有公共焦点,且过点(√2,√2)的双曲线的标准方程.(2)已知圆C 1:(x+2)2+y 2=254,圆C 2:(x-2)2+y 2=14,动圆P 与圆C 1,C 2都外切,求动圆圆心P 的轨迹方程.14.[2024·安徽芜湖一中高二月考] 已知点A (-2,0)与点B (2,0),P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于34.(1)求动点P 的轨迹方程;(2)若点O 为原点,P 在第二象限,当|OP|=√232时,求点P 的坐标.15.双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差,两个距离差即可形成两条位置双曲线,两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况,如图所示,已知三个发射台分别为A,B,C且刚好三点共线,已知AB=34海里,AC=20海里,现以AB的中点为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.根据船P接收到C发射台与A发射台发出的电磁波的时间差计算出距离差,得知船P在双曲线(x-27)236-y264=1的左支上,根据船P接收到A发射台与B发射台发出的电磁波的时间差,计算出船P到B发射台的距离比到A发射台的距离远30海里,则点P的坐标为( )A.(907,±32√117)B.(1357,±32√27)C.(17,±323) D.(45,±16√2)16.已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)的一个交点为P,且有公共的焦点F1,F2,若∠F1PF2=2α,求证:tan α=nb.。
双曲线及其标准方程练习题及答案
4．P为双曲线 上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆 的位置关系是（ ）
A．内切 B．内切或外切
C．外切 D．相离或相交
5．双曲线 的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（ ）
A．（-∞，0]∪[1，+∞） B．（-∞，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪[1，+∞） D．（-∞，Байду номын сангаас1）∪（1，+∞）
6．若椭圆 和双曲线 有相同的焦点 、 ，P是两曲线的一个公共点，则 的值是（
A．m-aB．
C．
二、填空题
7．双曲线 的一个焦点是 ，则m的值是_________。
8．过双曲线 的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______。
三、解答题
答案与提示
一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．A
二、7．-28．
三、9方程为 （y≠0） 10．不存在
11．A炮击P地时，炮击的方位角为北偏东30°
9．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是 ，求它的另一个焦点 的轨迹方程。
10．已知直线y=ax+1与双曲线 相交于A、B两点，是否存在这样的实数a，使得A、B关于直线y=2x对称？如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由。
11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东相距6km，C在B的北偏西30°相距4km，P为敌炮兵阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，4秒种后，B、C才同时发现这一信号，该信号的传播速度为每秒1km，A若炮击P地，求炮击的方位角。
一、选择题：
1．已知点 和 ，曲线上的动点P到 、 的距离之差为6，则曲线方程为（ ）