第二章 函数导数及其应用1
第二章 函数-导数及其应用-第八节 对数与对数函数
第二章 函数、导数及其应用
2．对数的常用关系式(a，b，c，d 均大于 0 且不等于 1)： (1)loga1＝ 0 ．(2)logaa＝ 1 ． (3)对数恒等式：alogaN＝ N ． logcb (4)换底公式：logab＝log a ． c 1 推广 logab＝ ，logab·logbc·logcd＝ logad ． logba
－lg 15 －1 3 ＝ － 2 lg 15
3 ＝－2. 答案 3 (1)D (2)－2
第二章 函数、导数及其应用
对数函数的图象及应用
[典题导入] (1)(2014· 南昌模拟)函数 y＝f(x)的图象如图所示， 则函数 y＝log1f(x)的图象大致是
2
(
)
第二章 函数、导数及其应用
第二章 函数、导数及其应用
[听课记录]
由函数 y＝f(x)的图象知，
2
当 x∈(0，2)时，f(x)≥1，所以 log1 f(x)≤0. 又函数 f(x)在(0， 1)上是减函数， 在(1， 2)上是增函数， 所以 y＝log1
2
f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数．结合各选项知， 选 C. 答案 C
第二章 函数、导数及其应用
当0<a<1时，显然不成立； 当a>1时，如图，
第二章 函数、导数及其应用
要使 x∈(1 ， 2) 时 f1(x) ＝ (x － 1)2 的图象在 f2(x) ＝ logax 的图象下 方， 只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，
又即loga2≥1. 所以1<a≤2， 即实数a的取值范围是(1，2]． 答案 (1，2]
M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)． 2．对数值取正、负值的规律： 当a>1且b>1，或0<a<1且0<b<1时，logab>0； 当a>1且0<b<1，或0<a<1且b>1时，logab<0.
高考大题规范解答系列——函数与导数高三数学新高考一轮复习优秀课件
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
若 a>0，则当 x∈(－∞，0)∪(a3，＋∞)时，f′(x)>0；当 x∈(0，a3)时，f′(x)<0. 故 f(x)在(－∞，0)，(a3，＋∞)单调递增，在(0，a3)单调递减.3 分 得分点③
若 a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增.4 分 得分点④ 若 a<0，则当 x∈(－∞，a3)∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；当 x∈(a3，0)时，f′(x)<0. 故 f(x)在(－∞，a3)，(0，＋∞)单调递增，在(a3，0)单调递减.5 分 得分点⑤
综上，当且仅当 a＝0，b＝－1 或 a＝4，b＝1 时，f(x)在[0,1]的最小值为－1，最 大值为 1.12 分 得分点⑩
高 考 大 题 规 范解答 系列1————函函数数与与导导数数高-三20数21 学版新高高三 考数一学轮（ 复新习高优考 秀）一pp轮t课复件习课 件(共3 4张PPT )
第二章 函数、导数及其应用
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(2)满足题设条件的 a，b 存在． (ⅰ)当 a≤0 时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增，所以 f(x)在区间[0,1]的最小值为 f(0)＝b，最大值为 f(1)＝2－a＋b.此时 a，b 满足题设条件当且仅当 b＝－1,2－a＋b ＝1，即 a＝0，b＝－1.7 分 得分点⑥ (ⅱ)当 a≥3 时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减，所以 f(x)在区间[0,1]的最大值为 f(0)＝b，最小值为 f(1)＝2－a＋b.此时 a，b 满足题设条件当且仅当 2－a＋b＝－1，b ＝1，即 a＝4，b＝1.9 分 得分点⑦
最新-创新大课堂2021届高三数学文一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用 第1节 精品
跟踪训练 (1)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，则 f(x)＝________. (2)已知 f(x)为二次函数且 f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.则 f(x)的解析式为________． [解析] (1)令 t＝ x＋1，∴t≥1，x＝(t－1)2. 则 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
【名师说法】
函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函 数)，可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法， 此时要注意新元的取值范围；
[答案] C
角度三 已知定义域确定参数问题 5．(2016·合肥模拟)若函数 f(x)＝ x2＋2ax－a的定义域为 R，则 a 的取值范围为________． [解析] 函数 f(x)的定义域为 R，所以 x2＋2ax－a≥0 对 x ∈R 恒成立，因此有 Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. [答案] [－1,0]
[质疑探究] 函数的值域是由函数的定义域、对应关系唯 一确定的吗？
提示：是．函数的定义域和对应关系确定后函数的值域就 确定了，在函数的三个要素中定义域和对应关系是关键．
(3)相等函数：如果两个函数的_定__义__域___和__对__应__关__系__完全 一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
D．[0，lg 2]
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2111导数的应用课件理新人教A版
解法一：因为 f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，所以[f(x)]2＝4sin2x(1 ＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3，设 cosx＝t，则 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)， 所以 y′＝4[－(1＋t)3＋3(1－t)(1＋t)2]＝4(1＋t)2(2－4t)，所以当－1<t<21时， y′>0；当21<t<1 时，y′<0。所以函数 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)在－1，21 上单调递增，在12，1上单调递减，所以当 t＝12时，ymax＝247；当 t＝±1 时， ymin＝0。所以 0≤y≤247，即 0≤[f(x)]2≤247，所以－32 3≤f(x)≤32 3，所以 f(x)的最小值为－32 3。
(ⅱ)当 0<2a<1，即 0<a<2 时，由 f′(x)>0，得 0<x<a2或 x>1； 由 f′(x)<0，得a2<x<1。 则函数 f(x)的单调递增区间为0，a2，(1，＋∞)， 函数 f(x)的单调递减区间为a2，1。 (ⅲ)当2a＝1，即 a＝2 时，f′(x)≥0 恒成立，则函数 f(x)的单调递增区 间为(0，＋∞)。
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数 y＝f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数
值 都小
，且 f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0 ，右
侧 f′(x)＞0 ，则 x＝a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
(2)函数的极大值
1．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成 立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。
高考总复习——第二章 函数、导数及其应用
第一节函数及其表示[备考方向要明了][归纳·知识整合] 1．函数与映射的概念[探究] 1.函数和映射的区别与联系是什么？提示：二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集，二者的联系是函数是特殊的映射．2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 {f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 3．相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． [探究] 2.若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数？提示：不一定．如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域都为R ，值域都为[－1,1]，显然不是同一个函数．因为定义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函数．4．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． 5．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)给出下列四个命题，正确的有( ) ①函数是定义域到值域的对应关系； ②函数f (x )＝x －4＋1－x ；③f (x )＝5，因这个函数的值不随x 的变化而变化，所以f (t 2＋1)也等于5； ④y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线； ⑤f (x )＝1与g (x )＝x 0表示同一个函数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 由函数的定义知①正确；②错误；由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，1－x ≥0，得定义域为∅，所以不是函数；因为函数f (x )＝5为常数函数，所以f (t 2＋1)＝5，故③正确；因为x ∈N ，所以函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一些离散的点，故④错误；由于函数f (x )＝1的定义域为R ，函数g (x )＝x 0，的定义域为{x |x ≠0}，故⑤错误．综上分析，可知正确的个数是2.2．(教材习题改编)以下给出的对应是从集合A 到B 的映射的有( )①集合A ＝{P |P 是数轴上的点}，集合B ＝R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应．②集合A ＝{P |P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；③集合A ＝{x |x 是三角形}，集合B ＝{x |x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；④集合A ＝{x |x 是新华中学的班级}，集合B ＝{x |x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生不止一个，所以④不是从集合A 到集合B 的映射．3．(文)(2012·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139 解析：选D ∵f (3)＝23，∴f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139.3．(理)(2012·江西高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0解析：选B f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2.4．(教材习题改编)已知函数f (x )＝x ＋2x －6，则f (f (4))＝________；若f (a )＝2，则a ＝________.解析：∵f (x )＝x ＋2x －6，∴f (4)＝4＋24－6＝－3.∴f (f (4))＝f (－3)＝－3＋2－3－6＝19.∵f (a )＝2，即a ＋2a －6＝2，解得a ＝14.答案：19145．(教材习题改编)A ＝{x |x 是锐角}，B ＝(0,1)，从A 到B 的映射是“求余弦”，与A 中元素60°相对应的B 中的元素是________；与B 中元素32相对应的A 中的元素是________． 解析：∵cos 60°＝12，∴与A 中元素60°相对应的B 中的元素是12.又∵cos 30°＝ 32，∴与B 中元素32相对应的A 中的元素是30°. 答案：1230°[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，(x ≥0)－1，(x <0)表示同一个函数．(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个． (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数．(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．[自主解答] 对于(1)，函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(x ≠0)，－1(x <0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，若x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数的定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1.综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3)———————————————————1．判断两个变量之间是否存在函数关系的方法要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值y 与之对应．2．判断两个函数是否为同一个函数的方法判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断．1．(1)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？①f 1：y ＝xx；f 2：y ＝1.②f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2；f 2：③f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．解：①不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}，f 2(x )的定义域为R .②同一函数．x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．③同一函数．理由同②.(2)已知映射f ：A →B .其中A ＝B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是( )A ．k >1B ．k ≥1C ．k <1D ．k ≤1解析：选A 由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根． 所以Δ＝4(1－k )<0，解得k >1时满足题意.[例2] (1)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9.求f (x )． [自主解答] (1)法一：(换元法)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1， 即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2.法二：(配凑法)∵f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1＝(x ＋1)2＋2(x ＋1)－2， ∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2.(2)(待定系数法)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9.由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，解得a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.若将本例(1)中“f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1”改为“f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ”，如何求解？ 解：令2x 1＝t ，∵x >0，∴t >1且x ＝2t －1.∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．———————————————————求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．2．给出下列两个条件： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式． 解：(1)令t ＝ x ＋1， ∴t ≥1，x ＝(t －1)2.则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，又∵f (0)＝c ＝3. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋3.[例3] (文)(2012·福建高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.124 B.112 C.16 D.13[解析] (文) ∵g (π)＝0，f (g (π))＝f (0)＝0， ∴f (g (π))＝0.(理) ∵2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)．∵3＋log 23>4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log 23＝18×⎝⎛12log 23＝18×13＝124.[答案] (文)B (理)A ———————————————————解决分段函数求值问题的方法(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B.45 C ．2D ．9解析：选C ∵x <1，f (x )＝2x＋1，∴f (0)＝2.由f (f (0))＝4a ，得f (2)＝4a ，∵x ≥1，f (x )＝x 2＋ax ，∴4a ＝4＋2a ，解得a ＝2.4种方法——函数解析式的求法求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)解方程组法．具体内容见例2[方法·规律]．2两个易误点——映射的概念及分段函数求值问题中的易误点(1)判断对应是否为映射，即看A 中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”．但要注意：①A 中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；②B 中元素可无原象，即B 中元素可有剩余．(2)求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域是其定义域内不同子集上对应的各关系式的值域的并集.数学思想——分类讨论思想在分段函数中的应用当数学问题不宜用统一的方法处理时，我们常常根据研究对象的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分为“全而不重，广而不漏”的若干类，然后逐类分别讨论，再把结论汇总，得出问题答案的思想，这就是主要考查了分类讨论的数学思想，由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现．[典例] (2011·江苏高考)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[解析] ①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意，所以综上所述，a ＝－34. [答案] －34[题后悟道]1．在解决本题时，由于a 的取值不同限制了1－a 及1＋a 的取值，从而应对a 进行分类讨论．2．运用分类讨论的思想解题的基本步骤 (1)确定讨论对象和确定研究的区域；(2)对所讨论的问题进行合理的分类(分类时需要做到不重不漏，标准统一、分层不越级)； (3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； (4)归纳总结，整合得出结论． [变式训练]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C ①当a >0时，∵f (a )>f (－a )， ∴log 2a >log 12a ＝log 2 1a.∴a >1a，得a >1.②当a <0时，∵f (a )>f (－a )， ∴log 12(－a )>log 2(－a )＝log 121－a. ∴－a <1－a得－1<a <0，故C 项为正确选项．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是________________．解析：当x <1时，由f (x )>4得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2，但由于x ≥1，所以x >2. 综上，x 的取值范围是x <－2或x >2. 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)一、选择题1．下列各组函数中，表示相等函数的是( ) A ．y ＝5x 5与y ＝x 2 B ．y ＝ln e x 与y ＝e ln x C ．y ＝(x －1)(x ＋3)x －1与y ＝x ＋3D ．y ＝x 0与y ＝1x解析：选D y ＝5x 5＝x ，y ＝x 2＝|x |，故y ＝5x 5与y ＝x 2不表示相等函数；B 、C 选项中的两函数定义域不同；D 选项中的两函数是同一个函数．2．设A ＝{0,1,2,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →x 3－1B ．f ：x →(x －1)2C ．f ：x →2x －1D ．f ：x →2x解析：选C 对于A ，由于集合A 中x ＝0时，x 3－1＝－1∉B ，即A 中元素0在集合B 中没有元素与之对应，所以选项A 不符合；同理可知B 、D 两选项均不能构成A 到B 的映射，C 符合．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥0，lg (－x )，x <0，则f (f (－10))＝( )A.12 B.14 C ．1D ．－14解析：选A 依题意可知f (－10)＝lg 10＝1， f (1)＝21－2＝12.4．(2013·杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：选D ∵f (a )＋f (－1)＝2，且f (－1)＝ 1＝1， ∴f (a )＝1，当a ≥0时，f (a )＝ a ＝1，∴a ＝1； 当a <0时，f (a )＝－a ＝1，∴a ＝－1.5．(文)若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( ) A ．x －1 B ．x ＋1 C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1.5．(理)已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝132－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3解析：选B 由f (x )＋2f (3－x )＝x 2可得f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2，由以上两式解得f (x )＝13x 2－4x ＋6.6．(2013·泰安模拟)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①解析：选B ①f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )满足．②f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )不满足． ③0<x <1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－x ＝－f (x )， x ＝1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝0＝－f (x )，x >1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＝－f (x )满足．二、填空题7．已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则函数f (3)＝________. 解析：∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2.∴f (3)＝32＋2＝11. 答案：118．若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝________.解析：令b ＝1，∵f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝1， ∴f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝2 011. 答案：2 0119．(文)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为________．解析：由题意得f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－20＝－1. 答案：－19．(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．解析：画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，如图．由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ， 即⎩⎨⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋ 2.得x ∈(－1，2－1)． 答案：(－1，2－1) 三、解答题10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式． 解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， 因此f (g (2))＝f (1)＝0， g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x >0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0， 故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1<x <1时，f (x )<0， 故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2.所以g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1. 11．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4或x <－1}．12．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )；(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值范围． 解：(1)∵x ＝716时，4x ＝74， ∴f 1(x )＝⎣⎡74＝1. ∵g (x )＝74－⎣⎡⎦⎤74＝34∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝⎛34＝[3]＝3.(2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <12.1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…，用s 1，s 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是( )解析：选B 根据故事的描述，乌龟是先于兔子到达终点，到达终点的最后时刻乌龟的路程大于兔子的路程，并且兔子中间有一段路程为零，分析知B 图象与事实相吻合．2．下列对应关系是集合P 上的函数的是________．(1)P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应； (2)P ＝{－1,1，－2,2}，Q ＝{1,4}，对应关系：f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；(3)P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应． 解析：对于(1)，集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，故(1)不是函数；对于(3)集合P 不是数集，故(3)不是函数；(2)正确．答案：(2)3．试判断以下各组函数是否表示同一函数： (1)y ＝x －2·x ＋2，y ＝x 2－4； (2)y ＝x ，y ＝3t 3； (3)y ＝|x |，y ＝(x )2.解：∵y ＝x －2·x ＋2的定义域为{x |x ≥2}， y ＝x 2－4的定义域为{x |x ≥2或x ≤－2}， ∴它们不是同一函数．(2)∵它们的定义域相同，且y ＝3t 3＝t ， ∴y ＝x 与y ＝3t 3是同一函数．(3)∵y ＝|x |的定义域为R ，y ＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}， ∴它们不是同一函数． 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x22，x ≥2，且f (a )＝3，求a 的值．解：①当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，由a ＋2＝3，得a ＝1，与a ≤－1相矛盾，应舍去． ②当－1<a <2时，f (a )＝2a ， 由2a ＝3，得a ＝321<a <2.③当a ≥2时，f (a )＝a22，由a 22＝3，得a ＝±6， 又a ≥2，故a ＝ 6. 综上可知，a 的值为32或 6.[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R .(4)y ＝a x(a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(6)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎩⎨⎧⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a ；当a <0时，值域为⎩⎨⎧⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a . (3)y ＝kx (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． (7)y ＝tan x 的值域是R .[探究] 1.若函数y ＝f (x )的定义域和值域相同，则称函数y ＝f (x )是圆满函数，则函数①y ＝1x；②y ＝2x ；③y ＝ x ；④y ＝x 2中是圆满函数的有哪几个？提示：①y ＝1x 的定义域和值域都是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y ＝1x 是圆满函数；②y＝2x 的定义域和值域都是R ，故函数y ＝2x 是圆满函数；③y ＝ x 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故y ＝ x 是圆满函数；④y ＝x 2的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故函数y ＝x 2不是圆满函数．2．分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？ 提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f (x )＝4－xx －1的定义域为( ) A ．[－∞，4] B ．[4，＋∞) C ．(－∞，4)D ．(－∞，1)∪(1,4]解析：选D 要使函数f (x )＝4－x x －1有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ≥0，x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，x ≠1.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．2．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )A ．[2,5]B ．NC ．(0,20]D ．{2,3,4,5}解析：选D 函数值只有四个数2,3,4,5，故值域为{2,3,4,5}． 3．若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫－120 B.⎝⎛⎦⎤－12，0C.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞D ．(0，＋∞)解析：选A 根据题意得log 12(2x ＋1)＞0，即0＜2x ＋1＜1，解得－12<x <0，即x ∈⎝⎛⎭⎫－120.4．(教材改编题)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的定义域为________，值域为________．解析：由图象可知，函数y ＝f (x )的定义域为[－6,0]∪[3,7)，值域为[0，＋∞)．答案：[－6,0]∪[3,7) [0，＋∞)5．(教材改编题)若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是________． 解析：∵x －4有意义，∴x －4≥0，即x ≥4. 又∵y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2， ∴y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. ∴其值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)[例1] (1)(2012·山东高考)函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2](2)已知函数f (x 2－1)的定义域为[0,3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． [自主解答] (1)x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2.解得－1<x <0或0<x ≤2. (2)∵0≤x ≤3，∴0≤x 2≤9，－1≤x 2－1≤8. ∴函数y ＝f (x )的定义域为[－1,8]．[答案] (1)B (2)[－1,8]本例(2)改为f (x )的定义域为[0,3]，求y ＝f (x 2－1)的定义域． 解：∵y ＝f (x )的定义域为[0,3]， ∴0≤x 2－1≤3，解得－2≤x ≤－1或1≤x ≤2，所以函数定义域为[－2，－1]∪[1,2]． ———————————————————简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．1．(1)(2012·江苏高考)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．(2)已知f (x )的定义域是[－2,4]，求f (x 2－3x )的定义域．解析：(1)由1－2log 6x ≥0解得log 6x ≤12⇒0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．(2)∵f (x )的定义域是[－2,4]，∴－2≤x 2－3x ≤4，由二次函数的图象可得，－1≤x ≤1或2≤x ≤4. ∴定义域为[－1,1]∪[2,4]．答案：(1)(0， 6 ] (2)[－1,1]∪[2,4][例2] 求下列函数的值域： (1)y ＝x －3x ＋1；(2)y ＝x －1－2x ；(3)y ＝x ＋4x. [自主解答] (1)法一：(分离常数法)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1.因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1， 即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．法二：由y ＝x －3x ＋1得yx ＋y ＝x －3. 解得x ＝y ＋31－y，所以y ≠1， 即函数值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．(2)法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎫y |y ≤12.法二：(单调性法)容易判断函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12.所以y ≤f ⎝⎛⎭⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12. (3)法一：(均值不等式法)当x >0时， x ＋4x≥2 x ×4x＝4， 当且仅当x ＝2时“＝”成立； 当x <0时，x ＋4x ＝－(－x －4x )≤－4，当且仅当x ＝－2时“＝”成立． 即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．法二：(导数法)f ′(x )＝1－4x 2＝x 2－4x2.x ∈(－∞，－2)或x ∈(2，＋∞)时，f (x )单调递增， 当x ∈(－2,0)或x ∈(0,2)时，f (x )单调递减． 故x ＝－2时，f (x )极大值＝f (－2)＝－4； x ＝2时，f (x )极小值＝f (2)＝4.即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．若将本例(3)改为“y ＝x －4x”，如何求解？解：易知函数y ＝x －4x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，故函数y ＝x －4x 的值域为R .———————————————————求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域． (2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y ＝cx ＋dax ＋b(a ≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．2．求下列函数的值域． (1)y ＝x 2＋2x ，x ∈[0,3]； (2)y ＝x 2－xx 2－x ＋1；(3)y ＝log 3x ＋log x 3－1.解：(1)(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵0≤x ≤3，∴1≤x ＋1≤4.∴1≤(x ＋1)2≤16. ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)y ＝x 2－x ＋1－1x 2－x ＋1＝1－1x 2－x ＋1，∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， ∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1，即值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. (3)y ＝log 3x ＋1log 3x－1， 令log 3x ＝t ， 则y ＝t ＋1t －1(t ≠0)，当x >1时，t >0，y ≥2t ·1t－1＝1， 当且仅当t ＝1t 即log 3x ＝1，x ＝3时，等号成立；当0<x <1时，t <0，y ＝－⎣⎡⎦⎤(－t )＋⎝⎛⎭⎫－1t －1≤－2－1＝－3. 当且仅当－t ＝－1t 即log 3x ＝－1，x ＝13综上所述，函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．[例3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx .若至少存在一个正实数b ，使得函数f (x )的定义域与值域相同，求实数a 的值．[自主解答] ①若a ＝0，则对于每个正数b ，f (x )＝bx 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a ＝0满足条件；②若a >0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域为D ＝{x |ax 2＋bx ≥0}＝⎝⎛⎦⎤－∞，－b a ∪[0，＋∞)，但f (x )的值域A ⊆[0，＋∞)，故D ≠A ，即a >0不符合条件；③若a <0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域D ＝⎣⎡⎦⎤0，－ba ，由于此时f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝b 2－a ， 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b2－a ， 则－b a ＝b2－a ⇒⎩⎨⎧a <0，2－a ＝－a⇒a ＝－4.综上所述，a 的值为0或－4. ——————————————————— 由函数的定义域或值域求参数的方法已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围．3．(2013·温州模拟)若函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤13，1，则a ＋b ＝________.解析：∵由题意知x －1>0，又x ∈[a ，b ]， ∴a >1.则f (x )＝1x －1在[a ，b ]上为减函数，则f (a )＝1a －1＝1且f (b )＝1b －1＝13，∴a ＝2，b ＝4，a ＋b ＝6.答案：61种意识——定义域优先意识函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识．4个注意——求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合．(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．4个准则——函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则一般有：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.6种技巧——妙求函数的值域(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解.易误警示——与定义域有关的易错问题[典例](2013·福州模拟)函数f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x的定义域为________________．[解析]∵要使函数f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，x＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，x≠－1，∴函数f(x)的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．[答案](－∞，－1)∪(－1,1][易误辨析]1．本题若将函数f (x )的解析式化简为f (x )＝(x ＋1)－1－x 后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量x 的取值范围．2．在求函数的值域时，要特别注意函数的定义域．求函数的值域时，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．[变式训练]1．若函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，5 B.⎣⎡⎦⎤56，5 C.⎣⎡⎦⎤2，103 D.⎣⎡⎦⎤3，103 解析：选C 令t ＝f (x )，则12≤t ≤3.易知函数g (t )＝t ＋1t 在区间⎣⎡⎦⎤12，1上是减函数，在[1,3]上是增函数． 又因为g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (1)＝2，g (3)＝103.可知函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域为⎣⎡2，103. 2．已知函数f (x ＋2)＝x ＋2x ，则函数f (x )的值域为________． 解析：令2＋x ＝t ，则x ＝(t －2)2(t ≥2)． ∴f (t )＝(t －2)2＋2(t －2)＝t 2－2t (t ≥2)． ∴f (x )＝x 2－2x (x ≥2)．∴f (x )＝(x －1)2－1≥(2－1)2－1＝0， 即f (x )的值域为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)一、选择题1．已知a 为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R 的是( ) A ．f (x )＝x 2＋a B ．f (x )＝ax 2＋1 C ．f (x )＝ax 2＋x ＋1D ．f (x )＝x 2＋ax ＋1解析：选C 当a ＝0时，f (x )＝ax 2＋x ＋1＝x ＋1为一次函数，其定义域和值域都是R . 2．已知等腰△ABC 周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |52<x <5 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，10－2x >0，即0<x <5.3．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )解析：选A A 中定义域是[－2,2]，值域为[0,2]；B 中定义域为[－2,0]，值域为[0,2]；C 不表示函数；D 中的值域不是[0,2]．4．(2013·南昌模拟)函数y ＝ x (x －1)－lg 1x的定义域为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1，或x <0}D ．{x |0<x ≤1}解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，1x ，得x ≥1.5．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[1,2] C ．[0,2]D ．[－2， 2 ]解析：选C ∵－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，0≤－x 2＋4x ≤2，－2≤－－x 2＋4x ≤0， 0≤2－－x 2＋4x ≤2，∴0≤y ≤2.6．(文)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C f (x )＝min{2x，x ＋2，10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4.当x ＝4时，f (x )取最大值，f (4)＝6.6．(理)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－940∪(1，＋∞) B. )[0，＋∞C.⎣⎡⎭⎫－94，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) 解析：选D 令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2；令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，函数f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，函数f ⎝⎛⎭⎫12≤f (x )≤f (－1)，即－94f (x )≤0，故函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞)．二、填空题 7．函数y ＝16－x －x2________．解析：由函数解析式可知6－x －x 2>0，即x 2＋x －6<0，故－3<x <2. 答案：(－3,2)8．(文)设函数f (x )＝12(x ＋|x |)，则函数f [f (x )]的值域为________．解析：先去绝对值，当x ≥0时，f (x )＝x ，故f [f (x )]＝f (x )＝x ； 当x <0时，f (x )＝0，故f [f (x )]＝f (0)＝0.即f [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)，0(x <0)，易知其值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)8．(理)设x ≥2，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是______．解析：y ＝[(x ＋1)＋4][(x ＋1)＋1]x ＋1，设x ＋1＝t ，则t ≥3，那么y ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5，在区间[2，＋∞)上此函数为增函数，所以t ＝3时，函数取得最小值即y min ＝283答案：2839．(2013·厦门模拟)定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈(1，2].当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6]．答案：[－4,6] 三、解答题10．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a ，b 的值．解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即[1，b ]为f (x )的单调递增区间． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b .②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.11．设O 为坐标原点，给定一个定点A (4,3)，而点B (x,0)在x 轴的正半轴上移动，l (x )表示 AB 的长，求函数y ＝xl (x )的值域．解：依题意有x ＞0，l (x )＝(x －4)2＋32＝x 2－8x ＋25， 所以y ＝x l (x )＝x x 2－8x ＋25＝11－8x ＋25x2. 由于1－8x ＋25x 2＝25⎝⎛⎭⎫1x －4252＋925， 所以1－8x ＋25x 2≥35，故0＜y ≤53. 即函数y ＝x l (x )的值域是⎝⎛⎦⎤0，53. 12．(文)已知函数f (x )＝x ＋1－a a －x (a ∈R 且x ≠a )，求x ∈⎣⎡⎦⎤a －1，a －12时，f (x )的值域．解：∵f (x )＝－(a －x )＋1a －x ＝－1＋1a －x当a －1≤x ≤a －12时，－a ＋12≤－x ≤－a ＋1，∴12≤a －x ≤1.∴1≤1a －x ≤2. ∴0≤－1＋1a －x≤1，即f (x )的值域为[0,1]． 12．(理)已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6. (1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负， ∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32.∴a ＋3>0.∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32.∵二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减，∴g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.∴g (a )的值域为⎣⎡⎦⎤－194，4.1．下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是( )A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝1x C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝e x解析：选A 当x >0时，1x 有意义，因此函数y ＝1x的定义域为{x |x >0}． 对于A ，函数f (x )＝ln x 的定义域为{x |x >0}； 对于B ，函数f (x )＝1x 的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }；对于C ，函数f (x )＝|x |的定义域为R ； 对于D ，函数f (x )＝e x 的定义域为R . 所以与函数y ＝1x有相同定义域的是f (x )＝ln x .2．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．[－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4>0x ＋1>0得－1<x <1，因此该函数的定义域是(－1,1)．3．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：选B 要使g (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.故定义域为[0,1)．4．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )的解析式；(2)是否存在实数m ，n 同时满足下列两个条件：①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，x ∈[－1,1]， 知f (x )∈⎣⎡⎦⎤13，3，令t ＝f (x )∈⎣⎡⎦⎤13，3 记g (x )＝y ＝t 2－2at ＋3，则g (x )的对称轴为t ＝a ，故有： ①当a ≤13时，g (x )的最小值h (a )＝289－2a3，②当a ≥3时，g (x )的最小值h (a )＝12－6a ， ③当13<a <3时，g (x )的最小值h (a )＝3－a 2综上所述，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a ≤13，3－a 2，13<a <3，12－6a ，a ≥3，(2)当a ≥3时，h (a )＝－6a ＋12，故m >n >3时，h (a )在[n ，m ]上为减函数， 所以h (a )在[n ，m ]上的值域为[h (m )，h (n )]．由题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧ h (m )＝n 2，h (n )＝m 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋12＝n 2，－6n ＋12＝m 2，，两式相减得6n －6m ＝n 2－m 2，又m ≠n ，所以m＋n＝6，这与m>n>3矛盾，故不存在满足题中条件的m，n的值.第三节函数的单调性与最值[备考方向要明了][归纳·知识整合] 1．函数的单调性(1)单调函数的定义.(2)如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 具有(严格的)单调性，这一区间叫做y ＝f (x )的单调区间．[探究] 1.函数y ＝1x (－∞，0)∪(0，＋∞)，这种表示法对吗？提示：首先函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；如果一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递增与函数f (x )的单调递增区间为[a ，b ]含义相同吗？ 提示：含义不同．f (x )在区间[a ，b ]上单调递增并不能排除f (x )在其他区间上单调递增，而f (x )的单调递增区间为[a ，b ]意味着f (x )在其他区间上不可能单调递增．2．函数的最值[探究] 3.函数的单调性、最大(小)值反映在其图象上有什么特征？提示：函数的单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则下列说法正确的有( )①函数f (x )为减函数；②函数f (x )为增函数；③函数f (x )的最大值为2；④函数f (x )的最小值为25.A ．①③B ．①③④C ．②③④D ．②④解析：选B 易知函数f (x )＝2x －1在x ∈[2,6]上为减函数，故f (x )min ＝f (6)＝25，f (x )max ＝f (2)＝2.2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－12解析：选D 使y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则2k ＋1<0，即k <－12.3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C ∵函数f (x )为R 上的减函数，且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)， ∴⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x |<1且|x |≠0. ∴x ∈(－1,0)∪(0,1)．4．(教材习题改编)f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调递增区间为________；f (x )max ＝________.解析：∵函数f (x )＝x 2－2x 的对称轴为x ＝1.∴函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调递增区间为[1,4]，单调递减区间为[－2,1)． 又f (－2)＝4＋4＝8，f (4)＝16－8＝8. ∴f (x )max ＝8. 答案：[1,4] 85．(教材习题改编)若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调递增函数，则实数k 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝4x 2－kx －8的对称轴为x ＝k8，又函数f (x )在[5,20]上为增函数， ∴k8≤5，即k ≤40. 答案：(－∞，40]。
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.9函数模型及其应用课件理
第二章 函数(hánshù)、导数及其应用
第九节 函数模型(móxíng)及其应用
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栏
考情分析 1
(fēnxī)
目
基础自主(zìzhǔ) 2
3 考点疑难(yí
nán)突破
导
梳理
航
4 课时跟踪检测
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1
考情分析
第三页，共33页。
考点分布
考纲要求
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3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大 利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x)有最大值． 答案：18
第三十页，共33页。
指数函数与对数函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会 合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一 类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函 数解析式，再借助函数的图象求解最值问题.
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)
第六页，共33页。
f(x)＝bax＋c 指数函数模型
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
高中数学第二章函数、导数及其应用 第10节导数与导数的运算课件
【小题快练】
1.思考辨析 静心思考 判一判
(1)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0). ( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( ) (4)若f(x)=f′(a)x2+lnx(a>0),则f′(x)=2xf′(a)+ 1 .( )
①函数f(x)在x=x0处的导数:
(ⅰ)定义：称函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0的
导数，通常用f′(x0)表示,记作
f′(x0)=
lim f (x1) f (x0 ) =
x1x0 x1 x0
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
.
(ⅱ)几何意义:
函数y=f(x)在x0处的导数，是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 的斜率.相应地，切线方程为_y_-_f_(_x_0_)_=_f_′__(_x_0)_(_x_-_x_0_)_.
③[
f x
g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x)
]′＝
［g(x)］2
(g(x)≠0).
(5)复合函数的导数:
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=_y_u_′_·__u_x_′__.
2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是以点P(x0,y0)为切点,以 f′(x0)为斜率的直线,而曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P(x0,y0) 不一定是切点. (2)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正 负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快 慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
应用高等数学 第二章 导数
3.函数 f (x) 在点 x0 连续的条件
(1) f (x) 在点 x0 有定义;
(2) lim f (x) 存在； x x0
(3)
lim
xx0
f (x)
f (x0 ) ．
例
1
讨论函数
f
(
x)
sin x
x
,
x
0
在点
x
0
是否连续．
1, x 0
解 f (x) 在点 x 0 有定义，且 f (0) 1，
则称函数 f (x) 在区间 (a,b) 内连续．
设函数 f (x) 在区间 (a,b) 内连续，且在左端点 x a 处右连续，右端点 x b 处左连续，则称函数 f (x) 在[a,b] 上连续．
f (x) 在左端点 x a 处右连续是指 lim f (x) f (a) ; xa
在右端点 x b 处左连续是指 lim f (x) f (b) ． xb
例3： 求 函 数y x3 ln x cosx的 导 数
例4 : 求 函 数y x 1的 导 数 x 1
简单函数求导结论：
所有的简单函数在求导时可直接利用求 导公式和求导法则进行计算得到结果，因此 可称这种求导方式为直接求导法。
2.3 导数的意义：
1）、导数的物理意义：导数可以描述一个事 物变化速度的快慢。
x0 x x0
x
存在，我们称该极限为函数f (x)的导数。 同时，若x x0,在满足函数f (x)在点x0附近有定义的
情况下，函数在x0处的导数可表示为：
f
(
x0
)
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第1节 函数的概念及其表示练习 新人教A版-新人教A版
第二章 第 1 节 函数的概念及其表示[基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ba，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.] [学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．[学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。
导数与函数的关系及其应用
导数与函数的关系及其应用1. 导数与函数的定义和计算方法导数是微积分中的一个重要概念，描述了函数在某一点上的变化率。
函数f(x)在点x=a处的导数可以表示为f'(a)或者dy/dx，定义如下：f'(a) = lim┬(x→a)(f(x)-f(a))/(x-a)。
计算导数有多种方法，常用的方法包括使用定义计算导数、使用常见函数求导法则，如常函数导数为0、幂函数导数为n次方乘以导数、指数函数导数为常数乘以导数等，还可以使用链式法则、隐函数法则、参数方程法则等进行计算。
2. 导数与函数的关系导数与函数之间有着密切的关系，通过导数可以了解函数在某一点的变化率和趋势。
导数表征了函数在不同点上的斜率，可以帮助我们研究函数的性质、求解最值问题、绘制函数图像等。
如果函数在某一点导数存在，则说明函数在该点处是可导的；如果函数在某一点的导数等于0，则该点称为函数的驻点；如果函数在某一区间内导数恒大于0或小于0，则函数在该区间内单调递增或单调递减。
3. 导数的应用导数在数学和其他学科中有着广泛的应用，以下列举几个常见的应用领域：3.1. 极值问题通过求解导数等于零的方程，可以找到函数的极值点。
根据导数的符号变化来判断极值的类型，其中导数大于0时为函数的极小值点，导数小于0时为函数的极大值点。
3.2. 切线与法线导数可以帮助我们确定函数在某一点的切线和法线。
切线的斜率等于函数在该点的导数值，切线方程可以表示为y = f(a) + f'(a)(x-a)。
法线的斜率等于切线斜率的负倒数，法线方程可以表示为y = f(a) - (1/f'(a))(x-a)。
3.3. 凸性与凹性通过计算函数的二阶导数，可以确定函数的凸性和凹性。
函数的二阶导数大于0表示函数在该点处凸，二阶导数小于0表示函数在该点处凹。
3.4. 泰勒展开与近似计算导数可以帮助我们进行函数的泰勒展开，通过泰勒展开可以将复杂的函数近似为多项式，从而简化计算和分析。
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突 破 热 点 题 型
名称
f：A→B f：A→B ________为从集合A 对应_________为从集合 到集合B的一个函数 A到集合B的一个映射 对应f：A→B是一个映射
B．2 D．0
解析：f(10)＝lg 10＝1，故f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2. 答案：B
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第一节
函数及其表示
回 扣 主 干 知 识
x＋2 4．(教材习题改编)已知函数 f(x)＝ ，则 f(f(4))＝ x－6 ________；若 f(a)＝2，则 a＝________.
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第一节
函数及其表示 4．函数的表示方法
回 扣 主 干 知 识
表示函数的常用方法有： 解析法 、 列表法 和 图象法 ． 5．分段函数 对应关系 若函数在其定义域的不同子集上，因_________不同而 分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，
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突 破 热 点 题 型
1x≥0， |x| (1)f(x)＝ x 与 g(x)＝ 表示同一个函数． －1x<0
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(2)函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝1 的交点最多有 1 个．
(3)f(x)＝x2－2x＋1 与 g(t)＝t2－2t＋1 是同一函数．
突 破 热 点 题 型
3.分段函数是高考的重点也是热点，常以求解函数值，
由函数值求自变量以及与不等式相关的问题为主，如 2012年江西T3.
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第一节
函数及其表示
回 扣 主 干 知 识
1．函数与映射的概念 函数 两集合A， B A，B是两 个非空数集 映射 非空集合 A，B是两个__________
R 且 x≠0}， 而函数
的定义域是 R， 所以
二者不是同一函数；
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突 破 热 点 题 型
对于(2)，若 x＝1 不是 y＝f(x)定义域内的值，则直线 x＝1 与 y＝f(x)的图象没有交点，若 x＝1 是 y＝f(x)定义域 内的值，由函数的定义可知，直线 x＝1 与 y＝f(x)的图象 只有一个交点，即 y＝f(x)的图象与直线 x＝1 最多有一个 交点；
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记法 y＝f(x)，x∈A
第一节
函数及其表示
回 扣 主 干 知 识
[探究]
1.函数和映射的区别与联系是什么？
提示：二者的区别在于映射定义中的两个集合是 非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须 是非空数集，二者的联系是函数是特殊的映射．
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突 破 热 点 题 型
域．显然，值域是集合 B 的子集． 定义域 值域 对应关系 (2)函数的三要素：_______、_____和_________．
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第一节
函数及其表示 3．相等函数
回 扣 主 干 知 识
如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全 一致，则这两个函数为相等函数． [探究] 2.若两个函数的定义域与值域相同，它们是 否是同一个函数？
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突 破 热 点 题 型
综上可知，正确的判断是(2) (3).
[答案]
(2) (3)
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第一节
函数及其表示
回 扣 主 干 知 识
1．判断两个变量之间是否存在函数关系的方法 要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验： (1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系， 自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能找到惟一的函
突 破 热 点 题 型
并集 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____，其值
并集 域等于各段函数的值域的______，分段函数虽由几个部分 组成，但它表示的是一个函数．
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第一节
函数及其表示
回 扣 主 干 知 识
1．(教材习题改编)给出下列五个命题，正确的有(
①函数是定义域到值域的对应关系；
突 破 热 点 题 型
1，x≤1， x ①f1：y＝x；f2：y＝1.② f1：y＝2，1<x<2， 3，x≥2； f2：
x y x≤1 1 1＜x＜2 2 x≥2 3
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第一节
函数及其表示
回 扣 主 干 知 识
③f1：y＝2x；f2：如图所示．
)
②函数 f(x)＝ x－4＋ 1－x；
③f(x)＝5，因这个函数的值不随 x 的变化而变化，所以 f(t2＋1)也等于 5；
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突 破 热 点 题 型
④y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；
⑤f(x)＝1 与 g(x)＝x0 表示同一个函数．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
第二章 第一节 第二节 第三节
目 函数、导数及其应用 录
函数及其表示 函数的定义域和值域 函数的单调性与最值
第四节
第五节 第六节 第七节
函数的奇偶数与周期性
二次函数与幂函数 指数与指数函数 对数与对数函数
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第二章
第八节 第九节
目 函数、导数及其应用 录
函数的图像 函数与方程
第十节
第十一节 第十二节 第十三节 第十四节
第一节
函数及其表示
5．(教材习题改编)A＝{x|x 是锐角}，B＝(0,1)，从 A 到 B
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的映射是“求余弦”， A 中元素 60° 与 相对应的 B 中的 3 元素是____； B 中元素 相对应的 A 中的元素是 与 ． 2 1 解析：∵cos 60° ，∴与 A 中元素 60° ＝ 相对应的 B 中的 2
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突 破 热 点 题映射
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对应
关系f ： A→B
按照某种确定的对应 按某一个确定的对应关 关系f，对于集合A中 系f，对于集合A中的
任意 任意 的_____一个数x，在 ______一个元素x在集合
集合B的映射.
答案：C
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第一节
函数及其表示
回 扣 主 干 知 识
x2＋1，x≤1， 3． (2012· 江西高考)若函数 f(x)＝ lg x，x>1，
则 f(f(10)) ( )
＝
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突 破 热 点 题 型
A．lg 101 C．1
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第一节
函数及其表示
回 扣 主 干 知 识
x－4≥0， 解析：由函数的定义知①正确；②错误；由 1－x≥0，
得定义域为∅，所以不是函数；因为函数 f(x)＝5 为常数 函数，所以 f(t2＋1)＝5，故③正确；因为 x∈N，所以函 数 y＝2x(x∈N)的图象是一些离散的点，故④错误；由于 函数 f(x)＝1 的定义域为 R，函数 g(x)＝x0，的定义域为 {x|x≠0}，故⑤错误．综上分析，可知正确的个数是 2.
x＋2 4＋2 解析：∵f(x)＝ ，∴f(4)＝ ＝－3. x－6 4－6 －3＋2 1 ∴f(f(4))＝f(－3)＝ ＝ . －3－6 9 a＋2 ∵f(a)＝2，即 ＝2， a－6 解得 a＝14. 1 答案： 14 9
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答案：B
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第一节
函数及其表示
2．(教材习题改编)以下给出的对应是从集合A到B的映射的
回 扣 主 干 知 识
有
(
)
①集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f： 数轴上的点与它所代表的实数对应．
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1 元素是 . 2 3 3 又∵cos 30° ＝ ，∴与 B 中元素 相对应的 A 中的元 2 2 素是 30° . 1 答案： 30° 2
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突 破 热 点 题 型
第一节
函数及其表示
回 扣 主 干 知 识
函数与映射的概念
[例 1] 有以下判断：
(4)若 f(x)＝|x－1|－|x|，则
1 ff2＝0.
其中正确判断的序号是________．
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第一节
函数及其表示
[自主解答] |x| 对于(1)，函数 f(x)＝ x 的定义域为{x|x∈
1x≠0， g(x)＝ －1x<0
回 扣 主 干 知 识
函数模型及其应用
导数及其运算 导数的应用（Ⅰ） 导数的应用（Ⅱ） 定积分与微积分基本定理
专家讲坛
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第二章
函数、导数及其应用
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第一节
函数及其表示
回 扣 主 干 知 识
[备考方向要明了] 考什么 1.了解构成函数的要素，了解映射的概念． 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 (如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3.了解简单的分段函数，并能简单应用.