北京课改版数学九上18.6《相似三角形的性质》练习
北京课改版九年级数学上册第18章相似形18.6.2相似三角形的性质(2)同步练
北京课改版九年级上册第18 章相似形18.6.2 相似三角形的性质（ 2）同步练习一．选择题（共 10 小题， 3*10=30 ）1. 如图，在△ABC 中， DE ∥ BC ， AD ∶ DB ＝ 1∶2，则下列结论中正确的是 ()DE＝ 1 B.DE＝1A.BC 2 BC 3△ADE 的周长 1 △ADE 1SC.△ABC 的周长＝2D.S△ABC ＝3AE AD 12. 如图，在△ABC 中，点 D， E 分别在边AB ，AC 上，且AB＝AC＝2，则 S△ADE∶ S 四边形BCED的值为 ()A．1∶ 3 B．1∶2C．1∶ 3 D． 1∶43. 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB ，AC 的中点，则下列结论不正确的是()A ． BC＝ 2DE B．△ADE ∽△ ABCAD ＝AB△＝3S△C.AE AC D． S ABCADE4.如图，在 ?ABCD 中，如果 M 为 CD 的中点， AM 与 BD 相交于点 N，那么 S△DMN：S△ABN为()A．1∶2B．1∶4C．1∶3D．1∶95. 若△ABC ∽△ DEF，相似比为1∶ 2，则△ABC 与△DEF 的周长比为A．1∶4 B．1∶2C．2∶ 1 D． 1∶ 2()6.已知△ABC ∽△ DEF，若△ABC 与△DEF 的相似比为 3∶ 4，则△ABC 与△DEF 的面积比为( )A．4∶3 B．3∶4C．16∶ 9 D ． 9∶ 167.如图，四边形 ABCD 中，AD ∥ BC ，对角线 AC ，BD 相交于点 O，AD ＝ 1，BC ＝ 4，则△AOD 与△BOC 的面积比等于()A. 1B.1C.1D.1 2 4 8 168. 在比例尺为1∶ 10 000 的地图上有一个面积为 3 cm2的三角形，它的实际面积为 ( )2 2A ． 30 mB ．90 mC．3 000 m 2 D． 30 000 m29. 如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，按图示折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE ，则 S△∶ S△等于( )BCE BDE∶5 ∶ 25∶ 25 ∶ 2110.如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB ，BC 上的点，且 DE ∥ AC ，若 S△BDE∶S△CDE ＝1∶ 4，则 S△BDE∶ S△ACD＝ ()A．1∶16 B． 1∶18 C．1∶20 D．1∶24二．填空题（共 8 小题， 3*8=24 ）11.已知△ABC ∽△ A′ B′，C相′似比为 3∶ 4，△ABC 的周长为 6，则△A′ B′的C周′长为________．12.已知△ABC ∽△ DEF ，△ABC 的周长为 3，△DEF 的周长为 1，则△ABC 与△DEF 的面积之比为 ________．13.如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB ，AC 上，∠ AED ＝∠ B，如果 AE ＝ 2，△ADE 的面积为4，四边形BCED 的面积为5，那么边AB 的长为 _______．于点14．如图，在? ABCDF，则△EDF 与△BCF中，E 是AD的周长之比是边上的中点，连接________．BE，并延长BE 交CD 的延长线15.已知△ABC ∽△ DEF ，其中 AB ＝ 5，BC＝ 6，CA ＝ 9，DE ＝ 3，那么△DEF 的周长是_______.16.如图，△ABC 中，两条中线 BE， CD 相交于点 O，则 S△DOE∶ S△COB＝ ________．17．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB ，AC 上，∠ AED ＝∠ B ，如果 AE ＝ 2，△ADE的面积为 4，四边形 BCED 的面积为 5，那么 AB 的长为 _______.18．如图， D 是等边△ABC 边 AB 上的一点，且AD ∶ DB ＝ 1∶ 3，现将△ABC 折叠，使点 C 与 D 重合，折痕为 EF，点 E，F 分别在 AC 和 BC 上，则 CE∶ CF＝ _______.三．解答题（共 7 小题， 46 分）19.(6 分 ) 如图，在△ABC 和△DEF 中， AB ＝ 2DE ，AC ＝ 2DF ，∠ A ＝∠ D，△ABC 的周长是 24，面积是 48，求△DEF 的周长和面积．20. (6 分 ) 如图，在△ABC 中，D 是 AB 上一点，∠B ＝∠ ACD ，AD ＝ 4 cm，AC ＝ 6 cm，S△ACD＝ 8 cm2，求△ABC 的面积．21. (6 分 ) 已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35 cm 和 14 cm.(1)已知它们的周长相差60 cm，求这两个三角形的周长；(2)已知它们的面积相差588 cm2，求这两个三角形的面积．22．(6 分 ) 如图，△ABC 中，点 D ，E， F 分别在边AB ，AC ，BC 上， DE∥ BC， EF∥AB ，AE＝2， S△ABC＝ S，求 S 四边形BFED . EC 323.(6 分 ) 如图所示，在△ABC 中， BC ＞ AC ，点 D 在 BC 上，且 DC ＝ AC ，∠ ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F.E 是 AB 的中点，连结EF.(1)求证： EF∥ BC；(2)若△ABD 的面积是6，求四边形BDFE 的面积．24.(8 分 ) 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为 1.5 m，面积为 1.5 m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案．甲设计方案如图①，乙设计方案如图② .你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由． (加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数 )25.(8 分 )如图，已知△ABC 和△DEC 的面积相等，点 E 在 BC 边上， DE∥ AB 交 AC 于点F， AB ＝12， EF＝ 9，则 DF 的长是多少？参考答案1-5BCDBB6-10 DDDBC11.812.9 ∶ 113.314.1 ∶ 215.1216.1 ∶ 417.318.5 ∶ 719.解：在△ABC 和△DEF 中，∵ AB ＝ 2DE ，AC ＝ 2DF ，DE DF 1.∴＝＝AB AC 2又∵∠ D＝∠ A ，∴△ DEF ∽△ ABC ，相似比为1 2 .∴△ DEF 的周长为1 1 22×24＝ 12，面积为 2 ×48＝ 12.20.解：∵在△ACD 和△ABC 中，∠ A ＝∠ A ，∠ ACD ＝∠ B，∴△ ACD ∽△ ABC ，S△ACD AD 28 4 2∴ △＝AC ，即△＝ 6 ，S ABC S ABC解得 S△＝ 18.ABC即△ABC 的面积是 18 cm2.21. 解： (1)∵相似三角形的对应边长分别是35 cm 和 14 cm，∴这两个三角形的相似比为5∶2，∴这两个三角形的周长比为5∶2.∵它们的周长相差60 cm，设较大的三角形的周长为5x cm ，较小的三角形的周长为2x cm ，∴5x－ 2x＝60，∴ x＝ 20，∴5x＝ 5×20＝ 100(cm) ， 2x ＝ 2×20＝ 40(cm)，∴较大的三角形的周长为100 cm，较小的三角形的周长为40 cm.(2)∵这两个三角形的相似比为5∶ 2，∴这两个三角形的面积比为25∶ 4.∵它们的面积相差588 cm2，设较大的三角形的面积为25x cm2，较小的三角形的面积为4x cm2，∴(25－ 4)x ＝ 588，解得：∴ x＝ 28.25x=25 ×28=700 cm2， 4x=4×28=112 cm2 .∴较大的三角形的面积为700 cm2，较小的三角形的周长为112 cm2.22.解：∵ DE∥ BC，∴△ ADE ∽△ ABC ，又∵ EF∥ AB ，∴△ CEF∽△ CAB.由AE 2，得AE 2 ＝AC＝ . EC 3 5∵CF＝CE，∴CF 3 BF AE BC＝ .5∴S△ADE＝2 2＝4，即 S△ADE＝4S. S52525S△CEF＝3 2 9，即 S△＝9S 5 ＝25 CEF 25S.∴ S 四边形BFED＝ S－4S－9S＝12S.25 25 2523.解： (1)证明：∵ DC＝ AC ，∴△ ACD 为等腰三角形．∵ CF 平分∠ ACD ，∴ F 为 AD 的中点，∵ E 为 AB 的中点，∴ EF 为△ABD 的中位线，∴EF∥ BC.(2)由 (1)得 EF∥ BC ，且EF＝1，∴△ AEF ∽△ABD ， BD 2∴S△AEF∶ S△ABD＝ 1∶ 4，∴ S 四边形BDFE∶S△ABD＝ 3∶ 4.9∵ S△ABD＝6，∴ S 四边形BDFE＝2.24.解：由 AB ＝ 1.5 m， S△ABC＝ 1.5 m2，可得 BC ＝ 2 m，由图①，若设甲设计的正方形桌面边长为x m ，由 DE∥AB ，得 Rt△CDE ∽Rt△CBA ，∴x＝BC － x，即x＝2－ x 6 AB BC 2，∴ x＝ m.7由图②，过点 B 作 Rt△ABC 斜边 AC 上的高 BH ，交 DE 于点 P，交 AC 于点 H ，由 AB ＝ 1.5 m， BC ＝2 m，得 AC ＝AB 2＋ BC 2＝2＋ 22＝ 2.5(m) ，由 AC·BH ＝ AB·BC 得 BH ＝AB·BC＝×2＝ 1.2 m，AC设乙设计的桌面的边长为y m ，∵ DE∥ AC ，∴ Rt△BDE ∽ Rt △BAC ，∴BP＝ DE ，即－ y＝ y ，BH AC30解得 y＝m，∵6＞30， x2＞y2， 7 37∴甲同学设计的方案较好．25.解：∵△ ABC 与△DEC 的面积相等，∴△ CDF 与四边形 AFEB 的面积相等．∵AB ∥ DE ，∴△ CEF∽△ CBA.∵EF＝ 9， AB ＝ 12，∴EF∶ AB ＝ 9∶ 12＝ 3∶ 4，∴S△CEF∶S△CBA＝ 9∶ 16.设△CEF 的面积为9k，则四边形AFEB 的面积为7k. ∵△ CDF 与四边形 AFEB 的面积相等，∴S△CDF＝ 7k.∵△ CDF 与△CEF 是同高不同底的三角形，∴面积比等于底之比，∴DF∶ EF＝ 7k∶9k.∵EF＝ 9，∴ DF＝ 7。
度第一学期北京课改版九年级数学上册第18章_相似形_单元测试题(有答案)
度第一学期北京课改版九年级数学上册第18章_相似形_单元测试题（有答案）第18章相似形单元测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.若a3=a2，则aa=()A.3:2B.2:3C.6:1D.1:62.如图，在aa△aaa中，aaaa=90∘，aa⊥aa于点a，如果aa=3，aa=6，那么aa的值为（）A.32B.92C.3√32D.3√33.已知aa =23，那么aa+a的值为（）A.13B.25C.35D.344.如图，平行于aa的直线aa把△aaa分成的两部分面积相等，则aaaa=()A.14B.√32C.12D.√225.在比例尺为1:10000的地图上，1aa2的区域的实际面积是（）A.10a2B.100a2C.1000a2D.10000a26.在同一时刻，小明测得一棵树的影长是身高为1.6a的小华的影长的4.5倍，则这棵树的高度为（）A.3B.6.1C.3.2D.7.27.已知点a是aa的黄金分割点(aa>aa)，若aa=4aa，则aa第1页/共7页的长为（）A.(2√5−2)aaB.(6−2√5)aaC.(√5−1)aaD.(3−√5)aa8.若a3=a4=a5，则a+aa+a的值为（）A.79B.43C.45D.879.将矩形aaaa沿两条较长边的中点对折得到矩形aaaa，若矩形aaaa∽矩形aaaa，且aa=4，则aa的长等于（）A.2B.3C.√2D.2√210.如图，在△aaa中，aa // aa，aa分别交aa，aa于点a，a，若aa:aa=1:2，则△aaa与△aaa的面积之比是（）A.1:3B.1:4C.1:9D.1:16二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.若a4=a5=a6，则2a−aa的值是________．12.给出下列几何图形：①两个圆；①两个正方形；①两个矩形；①两个正六边形；①两个等边三角形；①两个直角三角形；①两个菱形．其中，一定相似的有________（填序号）．13.如图，a为△aaa的边aa上的点，请补充一个条件________，使△aaa∽△aaa．14.已知：线段a、a、a满足关系式aa =aa，且a=4，那么aa=________．15.两个相似三角形的面积比为11:7，则对应高的比为________，周长比为________．16.在△aaa中，aa // aa交aa、aa于a、a，且a△aaa=a四边形aaaa，则aa:aa=________．17.两个相似多边形面积的比为9:25，小多边形的周长为9aa，则大多边形的周长是________aa．18.如图，添加一个条件________，使△aaa∽△aaa．19.在△aaa中，a、a分别在aa、aa上，aa=3，aa=2，aa=10，aa=4，则a△aaa:a△aaa=________．20.如图，梯形aaaa中，aa // aa，a是aa的上一点，且aa=2aa，过点a作aa // aa，交aa于点a．若aa=9aa，aa=6aa，则aa=________aa．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.在正方形aaaa中，a是aa中点，a是aa上点，且aa=3aa，连接aa，aa，求证：△aaa∽△aaa．22.如图，aa是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚a距墙角1.8a，梯上点a距墙1.5a，aa=0.5a，求梯子aa的长．23.如图，已知aa=aa=90∘，aa=7、aa=2、aa=3，a在aa上，且△aaa∽△aaa，求aa的长．24.如图，已知△aaa和△aaa都是等腰直角三角形，aaaa= aaaa=90∘，aa⊥aa．请找出与△aaa相似的三角形并给出证明，直接写出aaaa的度数．25.将一张长、宽之比为√2的矩形纸aaaa依次不断对折，可得到的矩形纸aaaa，aaaa，aaaa，aaaa．(1)矩形aaaa，aaaa，aaaa，aaaa，长和宽的比变了吗？(2)在这些矩形中，有成比例的线段吗？第3页/共7页(3)你认为这些大小不同的矩形相似吗？26.马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱aa的高度为1.2米．(1)若吊环高度为2米，支点a为跷跷板aa的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上，为什么？(2)若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点a移到跷跷板aa的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？答案1.A2.A3.B4.D5.D6.D7.A8.A9.D10.C11.1212.①①①①13.aaaa=aaaa(aaaa=aa或aa2=aa⋅aa)14.1615.√11:√7√11:√716.1:√217.1518.aaaa=aaaa（答案不唯一）19.9:2520.821.证明：①四边形aaaa是正方形，①aa=aa=aa，aa=aa=90∘，①a是aa中点，①aa aa =12，①aa=3aa，①aa aa =12，①aa aa =aaaa=12，①△aaa∽△aaa．22.梯子aa的长为3a．23.解：①△aaa∽△aaa，①aa aa =aaaa，①aa=7、aa=2、aa=3，①aa 7−aa =23，①aa=2.8．24.解：△aaa∽△aaa，第5页/共7页理由：①△aaa和△aaa都是等腰直角三角形，aa⊥aa，①aaaa=aaaa=aaaa=aaaa=45∘，①aa aa =aaaa=√22，①aaaa+aaaa=45∘，aaaa+aaaa=45∘，①aaaa=aaaa，①△aaa∽△aaa，①aaaa=aaaa=90∘，①aaaa=45∘，①aaaa=45∘．25.解：(1)矩形aaaa，aaaa，aaaa，aaaa，长和宽的比不变；(2)在这些矩形中，有成比例的线段．(3)这些大小不同的矩形相似．26.解：(1)狮子能将公鸡送到吊环上．当狮子将跷跷板a端按到底时可得到aa△aaa，①支点a为跷跷板aa的中点，aa // aa，①aa为△aaa的中位线，①aa=1.2（米），①aa=2aa=2.4a>2a．(2)支点a移到跷跷板aa的三分之一处(aa=13aa)，狮子刚好能将公鸡送到吊环上，如图，①aa // aa，①△aaa∽△aaa，①aa aa =aaaa=1.23.6=13，①支点a移到跷跷板aa的三分之一处时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上．第7页/共7页。
北京课改版数学九年级上册第18章《相似形》单元测试
第18章相似形单元测试一单选题（共10题；共30分）1下列几个命题中正确的有（）(1）四条边相等的四边形都相似；(2）四个角都相等的四边形都相似；(3）三条边相等的三角形都相似；(4）所有的正六边形都相似。
A 1个B 2个C 3个D 4个2两个相似三角形的面积比为1∶4，那么这两个三角形的周长比为（）A 1∶2；B 1∶4；C 1∶8；D 1∶16．3如图，四边形ABCD，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为（）A 3B 4C 5D 6 4若△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，则这两个三角形的面积比为（）A 2：3B 3：2C 4：9D 9：4 5如果，那么x的值是（）A B C D6如图，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=5，CF=4，AE=BC，则的值是（）A B C D7下列两个图形一定相似的是（）A 两个菱形B 两个矩形C 两个正方形D 两个等腰梯形8如图，在△ABC中，DE∥BC，若= ，则=（）A B C D9若2a=3b，则=（）A B C D10已知= ，则的值是（）A B C D二填空题（共8题；共24分）11（2015春•江津区校级月考）高为3米的木箱在地面上的影长为12米，此时测得一建筑物在水面上的影长为36米，则该建筑物的高度为________ 米．12已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B 为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是________ ．13如图，△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．要使△ABD∽△ACB，需要补充的一个条件为________ ．14如果= ，那么的值等于________．15如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD=2，BD=3，AE=1，则EC=________．16（2012•宿迁）如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1________S2．（填“＞”“=”或“＜”）17若= ，则=________．18如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，如果= = ，那么△ADE与△ABC周长的比是________．三解答题（共6题；共36分）19已知==，求．20如图，一张矩形卡片ABCD的长为8c，直线MN将此卡片二等分，且每一份都与原来的卡片ABCD相似，求原来的卡片的宽．21已知a：b：c=2：3：4，且2a+3b﹣2c=10，求a﹣2b+3c的值．22下面的图形是否是相似图形？23如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且ADAC=13 ，AE=EB．求证：△AED∽△CBD．24如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC．求证：=．四综合题（共1题；共10分）25（2017•泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．(1)证明：∠BDC=∠PDC；(2)若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．答案解析部分一单选题1【答案】B【考点】相似三角形的判定【解析】【分析】例如：边长相等的正方形和菱形，它们的四条边都相等，但它们的形状不同，所以不相似，所以命题（1）是假命题；例如：矩形和正方形，它们的四个角都是直角，但它们的形状不同，所以不相似，所以命题（2）是假命题；三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的每个内角都是60度，根据相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似所以命题（3）是真命题；正六边形的每个内角都相等，都是120度，每条边都相等，根据相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的多边形是相似多边形所以命题（4）是真命题。
【北师大版】数学九(上)相似三角形的性质同步练习本(课件版)
DC
5
∴△BCD ∽ △DEC，相似比CE =
S △ BCD
∴S
△ DEC
=
25
9
S1
. ∴6 =
由(1)得 S2 = S1－S3 =
25
9
. ∴S
50
3
- 6 =
.
3
1
32
3
=
50
3
.
.
解：方法二：利用△CFB ∽ △BCD ∽ △DEC，
可求出三个三角形所有的边长.
6. 如图，AB 与 CD 相交于点 O，△OBD∽ △OAC，
OB = 6，S△OAC = 50.
（1）求 AO 的长；
（2）求 S△OBD .
BO
解：（1）∵△OBD ∽ △OAC，∴AO =
∵BO = 6，∴AO = 10.
DO
CO
3
= 5.
=
3
5
，
OD
（2）解：∵△OBD ∽ △OAC，
课程标准
第四章
图形的类似
第10课 类似三角形的性质
目录
新课学习
重难易错
三级检测
新课学习
相似三角形的性质：
（1）对应角 相等
，对应边的比 相等
；
（2）相似比 = 对应边的比 = 对应高 的比 = 对应角平分线
的比 = 对应中线的比；
（3）面积比 = 相似比的 平方
.
1
1. 已知△ABC ∽ △A′B′C′，对应边的比为 ，则相
（1） 证明：∵DC = AC，
∠ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F，
《相似三角形的性质》同步练习含试卷分析详解北师大九年级上
北师大版数学九年级上册第三章第7节相似三角形的性质同步检测一、选择题1、如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形对应边不成比例的一组是（）A、B、C、D、2、如图，如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC ，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（）A、甲B、乙C、丙D、丁3、若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A、1：2B、2：1C、1：4D、4：14、若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A、1：4B、2：1C、1：2D、4：15、给形状相同且对应边的比是1：2的两块标牌的表面涂漆，如果小标牌用漆半听，那么大标牌的用漆量是（）A、1听B、2听C、3听D、4听6、已知△ABC∽△DEF ，且△ABC的三边长分别为4，5，6，△DEF的一边长为2，则△DEF的周长为（）A、7.5B、6C、5或6D、5或6或7.57、如果两个相似三角形对应角平分线的比为16：25，那么它们的面积比为（）A、4：5B、16：25C、196：225D、256：6258、两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A、45cm，85cmB、60cm，100cmC、75cm，115cmD、85cm，125cm9、一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（）A、17B、19C、21D、2410、若△ABC∽△DEF ，若∠A=50°，∠B=60°，则∠F的度数是（）A、50°B、60°C、70°D、80°11、如图，△ABC∽△ADE ，则下列比例式正确的是（）ABCD12、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A、等腰三角形B、锐角三角形C、直角三角形D、钝角三角形13、△ABC∽△A1B1C1，且相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（）ABC、或D14、如图，△ABC ，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD= AB ，在AC上取一点E ，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）A、B、10C、10D、以上答案都不对15、如图，△ADE∽△ABC ，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的相似比是（）A、1：2B、1：3C、2：3D、3：2二、填空题16、已知△ABC∽△DEF ，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为________ ．17、已知△ABC与△的相似比为2：3，△与△的相似比为3：5，那么△ABC 与△的相似比为________。
北师大版九年级上册数学《相似三角形的性质与判定》同步练习(含答案)
相似三角形的性质与判定一 、填空题1.如图，点1234,,,A A A A 在射线OA 上，点123,,B B B 射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，21A B ∥32A B 43A B ∥．若212323,A B B A B B △△的面积分别为1,4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．2.如图，在ABCD 中，点E 在线段DC 上，若12DE EC =∶∶，则BF BE =∶ ．二 、解答题3.已知ABC △中，BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，求证：AB BDAC CD=4.在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，求证：111AD AB AC=+．5.已知：AD 、AE 分别为ABC ∆的内、外角平分线，M 为DE的中点，求证：4321EAD BCFDCBAD CB A22AB BMAC CM=6.已知ABC ∆中，BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，求证：2AD BD CD AB AC =⋅-⋅．7.如图，已知A 是XOY ∠的平分线上的定点，过点A 任作一条直线分别交OX 、OY于P 、Q . ⑴证明：11OP OQ+是定值；⑵求2211OP OQ +的最小值8.如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥于D ，CF AB ∥，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ，求证：2BP PE PF =⋅．9.如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和MD MED CBADCBA4321F EDCB A QPYXOAF PEDCBABC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE=．10.如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D E ，为BC 的中点，DE AC ，的延长线交于F ． 求证：AC FABC FD=．11.如图，AD 是ABC △的角平分线，求证：AB BDAC CD=12.如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥．PEDCBA321FD E C BAD CB ADOECB A相似三角形的性质与判定答案解析一 、填空题1.10.5∵212A B B △，323A B B △的面积分别为1,4 又∵22332132,A B A B A B A B ∥∥ ∴2233212323,OB A OB A A B B A B B ∠=∠∠=∠ ∴122233B B A B B A △∽△ ∴1222233312B B A B B B A B == ∴233412A A A A = ∵22323322323331,4A B A B A B S A B A B B S A B ==△△△的面积是4 ∴223323122A B A A B B S S ==△△（等高的三角形的面积的比等于底边的比）同理可得：3343232248A B A A B B S S ==⨯=△△，1122121110.522A B A A B B S S ==⨯=△△∴三个阴影面积之和为0.52810.5++=．【解析】由平行得到相似的三角形．已知212A B B △△A 2B 1B 2，323A B B △的面积分别为1,4，且两三角形相似，因此可得出223312A B A B =，由于223A B A △与233B A B △是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底之边比，因此这两个三角形的面积比为1:2，根据323A B B △的面积为4，可求出223A B A △的面积，同理可求出334A B A △和112A B A △的面积．即可求出阴影部分的面积．2.3:5;过E 点作AD 的平行线交AC 于H ，可求出结果．二 、解答题3.过C 作CE AD ∥交直线AB 于EHFCBD AE∵CE AD ∥， ∴13∠=∠，24∠=∠ 又∵AD 平分CAF ∠， ∴12∠=∠， ∴34∠=∠， ∴AE AC =， 由CE AD ∥可得：AB BDAE CD=， ∴AB BDAC CD=【解析】由外角平分线证明相似的模型可作辅助线：过C 作CE AD ∥交直线AB 于E ，根据平行得到成比例线段AB BDAE CD=，再根据角与角相等的等量代换证明AE AC =，结论得证AB BDAC CD=． 4.解法一：本题可根据角平分线类相似的模型首先试着作出辅助线：过点D 作AB的平行线，由于所给120BAC ∠=︒平分之后有两个60的特殊角，可判定ADE △为等边三角形，再根据相似和平行导出线段的比例关系，最关键的一步是，将所得的两组线段整体相加，得到一个新的等式，最后发现问题得证． 解法二：分别以,AB AC 为边向外作两个等边三角形，即ABM △和ACN △，由平分后的角度为60，可轻易证明AD BM CN ∥∥得到两组比例线段CD ADBC BM=和BD ADBC CN=，两者相加后又重新得到一个新的等式，再根据等边三角形的特点代换相等的线段，最后问题也得证． （本题只给出第一种解法的步骤）．【解析】过点D 作AB 的平行线，交AC 于点E . ∵120BAC ∠=︒，BAD CAD ∠=∠，EDCBANMDCBAF 4321EDCB A∴60BAD CAD ∠=∠=︒ ∵DE AB ∥， ∴60ADE BAD ∠=∠=︒ ∴AD AE DE == ∵DE CD DE AB AB BC ⇒=∥，AE BDAC BC=∴1DE AE CD BDAB AC BC BC+=+= 等式两边同除以AD ，则有：111AB AC AD +=5.连接AM ，由已知条件可知90DAE ∠=︒，ACM CAD ADC BAD DAC CAM BAM ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠，又∵AMC AMB ∠=∠ ∴AMC BMA ∆∆∽， ∴AB BM AC AM =，AB AMAC CM=∴22AB BM AC CM=． 6.在ABC ∆外作ABE ADB ∠=∠交DA 的延长线于点E ，∵23∠=∠，34∠=∠， ∴24∠=∠， 又∵1BDE ∠=∠， ∴AEB ADC ∆∆∽ ∴AE ABAC AD=，即AE AD AB AC ⋅=⋅，① 由AEB ADC ∆∆∽可得：ACD E ∠=∠， 又∵ADC BDE ∠=∠， ∴DAC DBE ∆∆∽， ∴DA DE DC DB ⋅=⋅，②-②①得：DA DE AE AD DC DB AB AC ⋅⋅⋅-⋅-=∴()AD DE AD DC DB AB AC -=⋅-⋅，即2AD BD CD AB AC =⋅-⋅ 7.⑴ 方法一：过点A 作OA 的垂线，分别交OX 、OY 于点F 、E ，过点P 作OY 的平行线交EF的延长线于点K .∵XOA YOA ∠=∠，EF OA OE OF ⊥⇒=KP PA KP OY QE AQ ⇒=∥，KP PFOE OF =∴KP PF =，KP PF PAQE QE AQ==∵PA OPXOA YOA AQ OQ∠=∠⇒=∴PF OP PF QEQE OQ OP OQ=⇒=∵1OF OP OF PFOP OP OP --==，1OE OE OQ EQ OQ OQ OQ --== ∴112OF OE OF OEOP OQ OP OQ-=-⇒+= ∴112OP OQ OE+=因为A 点为定点，故E 、F 均为定点，OE 为定值，所以11OP OQ+是定值. 方法二：过A 作AM OY ∥，交OX 于M ，易证得：AM OM =设AM OM a ==，∵AM OY ∥ ∴a PMOQ OP=，即a OP a OQ OP -=， 整理得：111OQ OP a+=， KQ FE P YXOAa aYX M PQOA∵已知A 是XOY ∠的平分线上的定点， ∴a 为定值. ∴11OQ OP+为定值. ⑵ 因为222111111()2OP OQ OP OQ OP OQ +=+-⋅，其中11OP OQ+为定值，要使2211OP OQ + 的值最小，则必须使OP OQ ⋅的值最小. 而()()OP OQ OF PF OE EQ ⋅=+⋅-2OE =+()OE EQ PF OE EQ -⋅-⋅ 又PF OPEQ OQ=， ∴()()0OE EQ PF OE EQ OE PF OP EQ OE OQ PF -⋅-⋅=⋅-⋅=-⋅≥ 当且仅当OP OF =，即点P 处于点F 处时OP OQ ⋅有最小值2OE . 此时2211OP OQ +有最小值22OE 本题的⑴小问归根结底用到的也是拆分，不过它里面结合了“角平分线定理”和复杂的比例变换. 8.连接CP ，由CF AB ∥， ∴1F ∠=∠，再证明APB APC ∆∆≌可得12∠=∠（也可以由AB AC PB PC ==，，于是ABC ACB PBC PCB ∠=∠∠=∠，， 等量减等量便可得12∠=∠） 又∵CPE FPC ∠=∠， ∴CPE FPC ∆∆∽， ∴2PC PE PF =⋅， 又∵PC PB =， ∴2PB PE PF =⋅．9.过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥， ∴PCM PBD ∆∆∽，21F P EDC BA∴BP BDCP CM=， ∵CM AB ∥， ∴14∠=∠， 又∵AD AE =，∴12∠=∠，∴24∠=∠， ∵23∠=∠， ∴34∠=∠， ∴CM CE = ∴BP BDCP CE=【解析】根据所要证明的结论，由三点定形法可初步判定需要证明PCE PDB △∽△，但根据所给的已知条件无法找到有利的条件得到证明，于是回到题中看看怎么样能利用到已知条件AD AE =，于是尝试着过C 作平行线得到证明．10.∵CD BC ⊥，E 为BC 中点，∴ED EC =， ∴12∠=∠，又∵290390B B ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴13∠=∠， 又∵F F ∠=∠，FCD FDA ∆∆∽，∴FA ADFD CD=， 又∵3390ACB ADC ∠=∠∠=∠=︒，， ∴ABC ACD ∆∆∽， ∴AD ACCD BC =， ∴AC FABC FD=． 11.过C 作CE AD ∥交直线AB 于E ．∵CE AD ∥，4321MPE D CBA∴1E ∠=∠，23∠=∠ 又∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∴3E ∠=∠， ∴AE AC =，由CE AD ∥可得：AB BDAE CD=， ∴AB BDAC CD=【解析】由角平分线类的相似模型可作出辅助线：过点C 作CE AD ∥交直线AB 于E ，再根据平行得到相似的比例线段，最后题目得证．12.∵DE AB ∥∴AOB EOD ∆∆∽，OE ODOA OB=， 又∵2OA OC OE =⋅，∴OE OAOA OC =， ∴OD OA OB OC=， ∵AOD COB ∠=∠， ∴AOD COB ∆∆∽， ∴DAO BCO ∠=∠， ∴AD BC ∥【解析】由一个平行得到比例线段OE ODOA OB=，再根据已知条件2OA OC OE =⋅，以及线段间的等量代换得到OD OAOB OC=，得到证明AOD COB ∆∆∽，得到相等的角DAO BCO ∠=∠，最后得到证明AD BC ∥．321ED CBA。
九年级数学上册 18《相似形》构造相似三角形解题课后作业 北京课改版(2021学年)
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构造相似三角形构造相似三角形的基本方法1。
由平行得相似，如图①和②；图①图②图③图④ 2。
由同角或等角得相似，如图③;3. 由垂直得相似,如图④。
方法归纳:在较为复杂的图形中,我们一般通过特殊图形（如等腰三角形、平行四边形、圆等）的边或角构造相似三角形，如需添加辅助线，应考虑添加辅助线后能构成相等的角或比例线段，如：过中点(或等分点)作平行线,过某点作平行或垂直等。
总结:１. 学会构造相似三角形的方法和技巧,能熟练地将边和角划分到相关的相似三角形中。
2。
能够综合运用相似三角形的判定和性质解决较为复杂的问题。
例题 如图所示，四边形AB ＣD 和BEF Ｇ均为正方形，则ＡＧ∶DF∶CE=（ ） A 。
1∶1∶1ﻩ B 。
1∶２∶1ﻩ C 。
1∶2∶ 3 D. 1∶＼ｒ（,２)∶1A BC D E F G解析：不难证明△ABG≌△ＣＢE ，所以AG ＝CE 。
那么,本题只要求AG∶ＤF 即可。
要求AG 和ＤＦ的比需要构造一个含有这两条线段的相似三角形，并且这对相似三角形的相似比要能求出来.在正方形中，边长和对角线的比是可求的,所以本题可试着连接ＢF 和BD,通过三角形相似来求解.答案:连接ＢF 、ＢＤ。
九年级数学上册 18《相似形》相似三角形的综合课后作业 (新版)北京课改版
相似三角形的综合课后作业1、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（）A．AC2=AD•ABB．CD2=CA•CB C．CD2=AD•DB D．BC2=BD•BA2、如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=4米，CA=2米，则树的高度为（）A．6米 B．4.5米 C．4米 D．3米3、如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张4、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板EFG测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边EG保持水平，并且边EF所在的直线经过点A．已知纸板的两条直角边EF=60cm，FG=30cm，测得小刚与树的水平距离BD=8m，边EG离地面的高度DE=1.6m，则树的高度AB等于（）A．5m B．5.5m C．5.6m D．5.8m5、如图所示，数学小组发现8米高旗杆DE 的影子EF 落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG 的长为3米，HF 的长为1米，测得小桥拱高（弧GH 的中点到弦GH 的距离，即MN 的长）为2米，则小桥所在圆的半径为（ ）A ．25B ．5C ．33D ．66、如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE=45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE 分别交于点G 、H ，∠CBE=∠BAD ．有下列结论：①FD=FE ；②AH=2CD ；③BC•AD=2 AE 2；④S △ABC =4S △ADF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4个7、矩形ABCD 中AE ⊥BD 于E ，AB=4，∠BAE=30°，求△DEC 的面积是8、《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里=300步）你的计算结果是：出南门步而见木．9、在平面直角坐标系中，点A（-5，0），以OA为直径在第二象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，作点A关于点B的对称点D，过点D作x轴垂线，分别交直线OB、x轴于点E、F，点F为垂足，当DF=4时，线段EF= ．10、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=63，BD=3．（1）求∠A的度数；（2）求BC的长及△ABC的面积．11、如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：∠FBC=∠FCB；（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．12、课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）加工成的正方形零件的边长是多少mm？（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．（3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．参考答案1、解析：直接根据射影定理对各选项进行判断． 解：∵∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ， ∴AC 2=AD•AB，CD 2=DA•DB，BC 2=BD•BA． 故选B2、解析：如图，CE=1.5m ，易证得△ACE ∽△ABD ，根据相似三角形的性质得到BD5.1422=+，然后利用比例性质求出BD 即可．解：如图，CE=1.5m ， ∵CE ∥BD ， ∴△ACE ∽△ABD ，∴AC:AB=CE:BD ，即2:(2+4)=1.5:BD ， ∴BD=4.5（m ）， 即树的高度为4.5m ． 故选B ．3、解析：根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张． 解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3， 所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x ， 则3:18=x:18，解得x=3， 所以另一段长为18-3=15， 因为15÷3=5，所以是第5张． 故选：B ．4、解析：先求出EC=BD ，再求出△EFG 和△ECA 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到AC ，再根据AB=AC+BC 求解即可．解：∵小刚与树的水平距离BD=8m ， ∴EC=BD=8m ，∵∠E=∠E ，∠EFG=∠ECA=90°， ∴△EFG ∽△ECA ， ∴EF:FG=EC:CA ， 即60:30=8:CA ， 解得AC=4， 又∵DE=1.6m ， ∴BC=DE=1.6m ，∴AB=AC+BC=4+1.6=5.6m ． 故选C5、解析：小桥所在圆的圆心为点O ，连结OG ，设⊙O 的半径为r 米．先利用平行投影的性质和相似的性质得到 DE:EF=1.6:2.4，于是可求出GH=8米，再根据垂径定理得到点O 在直线MN 上，GM=HM=21GH=4米，然后根据勾股定理得到r 2=（r-2）2+16，再解方程即可． 解：如图，设小桥的圆心为O ，连接OM 、OG ．设小桥所在圆的半径为r 米． ∵DE:EF=1.6:2.4， ∴8:EF=1.6:2.4解得EF=12，∴GH=12-3-1=8（米）．∵MN 为弧GH 的中点到弦GH 的距离， ∴点O 在直线MN 上，GM=HM=21GH=4米． 在Rt △OGM 中，由勾股定理得： OG 2=OM 2+GM 2， 即r 2=（r-2）2+16，解得：r=5．答：小桥所在圆的半径为5米．6、解析：由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=21AB ，证明△ABE 是等腰直角三角形，得出AE=BE ，证出FE=21AB ，延长FD=FE ，①正确； 证出∠ABC=∠C ，得出AB=AC ，由等腰三角形的性质得出BC=2CD ，∠BAD=∠CAD=∠CBE ，由ASA 证明△AEH ≌△BEC ，得出AH=BC=2CD ，②正确；证明△ABD ～△BCE ，得出BC:AB=BE:AD ，即BC•AD=AB•BE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC•AD=2AE 2；③正确；由F 是AB 的中点，BD=CD ，得出S △ABC =2S △ABD =4S △ADF ．④正确；即可得出结论． 解：∵在△ABC 中，AD 和BE 是高， ∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°， ∵点F 是AB 的中点， ∴FD=21AB ， ∵∠ABE=45°，∴△ABE 是等腰直角三角形， ∴AE=BE ，∵点F 是AB 的中点， ∴FE=21AB ， ∴FD=FE ，①正确；∵∠CBE=∠BAD ，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°， ∴∠ABC=∠C ， ∴AB=AC ， ∵AD ⊥BC ，∴BC=2CD ，∠BAD=∠CAD=∠CBE ，在△AEH 和△BEC 中，∠AEH ＝∠CEB, AE ＝BE, ∠EAH ＝∠CBE ， ∴△AEH ≌△BEC （ASA ）， ∴AH=BC=2CD ，②正确；∵∠BAD=∠CBE ，∠ADB=∠CEB ， ∴△ABD ～△BCE ，∴BC:AB=BE:AD ，即BC•AD=AB•BE，∵2AE 2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE，∴BC•AD=2AE 2；③正确；∵F 是AB 的中点，BD=CD ，∴ S △ABC =2S △ABD =4S △ADF ．④正确； 故选：D7、解析：根据已知条件，先求出线段AE ，BE ，DE 的长度，进而求Rt △AED 的面积，再证明△ECD 的面积与它相等即可得出答案．解：如图，过点C 作CF ⊥BD 于F ．∵矩形ABCD 中，AB=4，AE ⊥BD ，∠BAE=30°， ∴AB 2=BE×BD，BE=2，AE=23，∴ED=BD-BE=6，∴∠ABE=∠CDF=60°，AB=CD=4，AEB=∠CFD=90°． ∴△ABE ≌△CDF ． ∴AE=CF ． ∴S △AED =21ED•AE，S △ECD =21ED•CF ∴S △AED =S △CDE ， ∵AE=23，DE=6， ∴△ECD 的面积是63． 故答案为：638、解析：根据题意写出AB 、AC 、CD 的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．解：由题意得，AB=15里，AC=4.5里，CD=3.5里， △ACB ∽△DEC ，∴DE:AC=DC:AB ，即DE:4.5=3.5:15， 解得，DE=1.05里=315步，∴走出南门315步恰好能望见这棵树， 故答案为：315．9、解析：连接OD ，则OD=OA=5，在直角三角形ODF 中，可求出OF=3，故AF=2，在直角三角形ADF 中由勾股定理求出AD ，由相似三角形的判定定理找出△DBE ∽△DFA ，结合三角形相似的性质找出DE:DA=DB:DF ，在等腰三角形AOD 中可得出AB=DB=21AD ，套用DE=DB×DA:DF 得出DE 值，再由EF=DF-DE 得出结论．解：连接OD ，如图所示．∵点A 、点D 关于B 点对称， ∴OD=OA=5．在Rt △ODF 中，OD=5，DF=4，∠DFO=90°， ∴OF=22DF OD =3， ∴AF=OA-OF=2． ∵AO 为⊙C 的直径， ∴∠ABO=90°， ∴∠DBE=90°=∠DFA ，又∵∠BDE=∠FDA ， ∴△BDE ∽△FDA ， ∴DE:DA=DB:DF ．在Rt △ADF 中，AF=2，DF=4，∠AFD=90°，∴AD=22AF DF =25．∵OA=OD ，且OB ⊥AD ，∴AB=DB=21AD=5，∴DE=DB×DA:DF=25， ∴EF=DF-DE=23．故答案为：2310、解析：（1）先利用射影定理得到AC 2=AD•AB，即（63）2=AD•（AD+3），再解方程得到AD=9，然后根据正弦的定义求∠A ；（2）先根据含30度的直角三角形三边的关系求BC ，然后根据三角形面积公式求△ABC 的面积． 解：（1）∵∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ， ∴AC 2=AD•AB，即（63）2=AD•（AD+3），整理得AD 2+3AD-108=0，解得AD=9或AD=-12（舍去）， 在Rt △ACD 中，∵AD:AC=9:63=3:2， ∴∠A=30°；（2）∵AB=AD+BD=9+3=12， 而∠A=30°，∴BC=21AB=6， ∴S △ABC =21•AC•BC=21•63•6=18311、解析：（1）由圆内接四边形的性质和邻补角关系证出∠FBC=∠CAD ，再由角平分线和对顶角相等得出∠FAB=∠CAD ，由圆周角定理得出∠FAB=∠FCB ，即可得出结论；（2）由（1）得：∠FBC=∠FCB ，由圆周角定理得出∠FAB=∠FBC ，由公共角∠BFA=∠BFD ，证出△AFB ∽△BFD ，得出对应边成比例求出BF ，得出FD 、AD 的长，由圆周角定理得出∠BFA=∠BCA=90°，由三角函数求出∠FBA=30°，再由三角函数求出CD 的长即可．（1）证明：∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠FBC+∠FAC=180°，∵∠CAD+∠FAC=180°，∴∠FBC=∠CAD ，∵AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，∴∠EAD=∠CAD ，∵∠EAD=∠FAB ，∴∠FAB=∠CAD ，又∵∠FAB=∠FCB ，∴∠FBC=∠FCB ；（2）解：由（1）得：∠FBC=∠FCB ，又∵∠FCB=∠FAB ，∴∠FAB=∠FBC ，∵∠BFA=∠BFD ，∴△AFB ∽△BFD ，∴BF:FD=FA:BF ，∴BF 2=FA•FD =12，∴BF=23，∵FA=2，∴FD=6，AD=4，∵AB 为圆的直径，∴∠BFA=∠BCA=90°，∴A F:BF=2:23=3:3，∴∠FBA=30°，又∵∠FDB=∠FBA=30°， ∴CD= =4×23=2312、解析：（1）设正方形的边长为xmm ，则PN=PQ=ED=x ，AE=AD-ED=80-x ，通过证明△APN ∽△ABC ，利用相似比可得到x:120=(80-x):80，然后根据比例性质求出x 即可；（2）由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设PQ=x ，则PN=2x ，AE=80-x ，然后与（1）的方法一样求解；（3）设PN=x ，用PQ 表示出AE 的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x 表示出PN ，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．解：（1）如图1，设正方形的边长为xmm ，则PN=PQ=ED=x ，∴AE=AD-ED=80-x ，∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC ，∴PN:BC=AE:AD ，即x:120=(80-x):80，解得x=48．∴加工成的正方形零件的边长是48mm ；（2）如图2，设PQ=x ，则PN=2x ，AE=80-x ，∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC ，∴PN:BC=AE:AD ，即2x:120=(80-x):80，解得：x=240:70∴2x=7480，∴这个矩形零件的两条边长分别为7240mm ，7480mm ；（3）如图3，设PN=x （mm ），矩形PQMN 的面积为S （mm 2）， 由条件可得△APN ∽△ABC ，∴PN:BC=AB:AD ，即x:120=(80-PQ):80，解得：PQ=80-32x ．则S=PN•PQ=x（80-32x ）=-32x 2+80x=-32（x-60）2+2400，故S 的最大值为2400mm 2，此时PN=60mm ，PQ=80-32×60=40（mm ）．。
九年级数学上册 18《相似形》相似三角形的判定(一)课后作业 北京课改版(2021年整理)
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相似三角形的判定（一）课后作业1、如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E,在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( ）A．0个B．1个C．2个D．3个2、如图,∠A=∠B=90°,AB=7，AD=2，BC=3,在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,如果DE∥BC,且∠DCE=∠B，那么下列说法中,错误的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB4、如图所示，图中共有相似三角形（）A．5对B．4对C．3对D．2对5、已知图(1)、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( ）A．只有(1)相似B．只有（2）相似C．都相似D．都不相似6、如图,在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠A DE=∠C C．AD:AE=AC:AB D。
北师大版九年级上册数学《相似三角形的性质》同步练习(含答案)
相似三角形的性质一 、选择题1.两个相似三角形对应高之比为1:2，那么它们对应中线之比为（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:82.若两个相似三角形的面积之比为14∶，则它们的周长之比为（ ）A ．12∶B ．14∶C ．15∶ D ．116∶ 3.三角形三边之比为357∶∶，与它相似的三角形最长边是21cm ，另两边之和是（ ）A ．15cmB ． 18cmC ． 21cmD ． 24cm 4.已知，AB 是⊙O 的直径，且C 是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的B ∠（如图所示），那么下列关于A ∠与放大镜中的B ∠关系描述正确的是（ ）A.090A B ∠+∠=B.=A B ∠∠C.090A B ∠+∠＞D.A B ∠+∠的值无法确定 5.已知ABC DEF △∽△，且12AB DE =∶∶，则ABC △的面积与DEF △的面积之比为（ ）A ．12∶B ．14∶C ．21∶D ．41∶6.若ABC DEF △∽△，它们的面积比为41∶，则ABC DEF △∽△的相似比为（ ）A ．2:1B ．1:2C ．4:1D ．1:47.用一个10倍的放大镜去观察一个三角形，下列说法中正确的是（ ）①三角形的每个角都扩大10倍； ②三角形的每条边都扩大10倍； ③三角形的面积扩大10倍； ④三角形的周长扩大10倍．A ．①②B ．①③C ．②④D ．②③8.如图，已知D E 、分别是ABC △的AB AC 、边上的一点，DE BC ∥，且1:3ADE DBCE S S △四边形∶＝，那么AD AB ∶等于（ ）A ．14 B ．13 C ．12 D ．23二 、填空题9.在ABC △和DEF △中，2AB DE =，2AC DF =，A D ∠=∠．如果ABC △的周长是16，面积是，那么DEF △的周长、面积依次是 ．10.已知'''ABC A B C △∽△，它们的相似比是23∶，ABC △的周长为6，则'''A B C △的周长为 ．11.已知ABC △与DEF △相似且对应中线的比为2:3，则ABC △与DEF △的周长比5:4为 ．13.若两个相似三角形的相似比是2:3，则这两个三角形对应中线的比是 ．14.两个相似三角形的面积比12S S ∶与它们对应高之比12h h ：之间的关系ABC △与'''A B C △ 相似，则'''A B C △的第三条边长 ．16.如图，在ABC △中，,DE FG BC GI EF AB ∥∥∥∥．若ADE △、EFG △、GIC △的面积分别为220cm 、245cm 、280cm ，则ABC △的面积为 ．17.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，23DE CE =：∶，连结BE BD AE 、、，且AE BD 、交于点F ，则DEF EBF ABF S S S =△△△∶∶ ．ABCDE12GIH FA BCDE18.如图，ABC △内有一点P ，过P 作各边的平行线，把ABC △分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积123,,S S S 分别为1,1,2，则ABC △的面积是 ．三 、解答题19.如图，若ABC AED △∽△,试找出图中所有的对应角、对应边，并用式子表示．20.如图ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，求证：AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．21.如图ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）． CDBFAS3S2S1IHGFED CBA ED CBAH 'H AB C C 'B 'A '22.如图ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，试证明：AB BC AC AMk A B B C A C A M====''''''''（k 为相似比）．23.已知P 为平行四边形ABCD 边BC 上任意一点，DP 交AB 的延长线于Q 点，求证：1BC ABBP BQ-=．24.如图所示．平行四边形ABCD 的对角线交于O ，OE 交BC 于E ，交AB 的延长线于F ．若AB a =，BC b =，BF c =，求BE ．25.如图，在ABC △中，5,3,4,AB BC AC PQ AB ===∥，P 点在AC 上（与点,A C 不重合），Q 点在BC 上．（1）当PQC △的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长； （2）当PQC △的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长．D 'D A 'B 'C B M 'MA 'B 'C 'C BAQPDCBAOFEDCBAGOFEDCBA相似三角形的性质答案解析一 、选择题1.A2.A3.D;最长边为21cm 的三角形三边比例为357∶∶∵可设最长边为721x = 3x = ∴另外两边和3588324x x x +==⨯= 4.A 5.B 6.A 7.C8.C;∵1:3ADE DBCE S S △四边形∶＝∴1:4ADE ABC S S △∶＝△∴AD AB ∶=1:2二 、填空题9.8；310.9 11.2:3 12.5:4 13.2:314.22112s h s h ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比即可求解．15.;∵ABC △的两边、与'''A B C △的两边1、对应成比例，即∴'''A B C △． 16.2405cm ;由三角形的面积，可知234AE EG GI =∶∶∶∶，所以29AE AC =∶∶，即481S ADE S ABC =△∶△∶，根据20S ADE =△，所以405S ABC =△．17.41025∶∶QPBA∵23DE CE =，四边形ABCD 为平行四边形 ∴25DE DE CD AB == ∴25DEF BEF S DF DE S BF AB ===△△，2425DEF ABF S DE S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△ ∴41025DEF EBF ABF S S S =△△△∶∶∶∶【解析】根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方，以及同高三角形的面积比等于底边的比，可以轻松解题18.6+设ABC △的面积为S，则1PD PE HG BH HG GCBC BC BC BC++=++==，故(22116S ==+=+．三 、解答题19.ADE ACB ∠=∠，DAE CAB ∠=∠，AED ABC ∠=，AE AD DEAB AC BC==20.∵'''ABC A B C △∽△∴2'''ABC A B C S S k =△△∶，即有211''''22BC AH B C A H k ⋅⋅=∶又∵''BC k B C =，2''''BC AHk B C A H = ∴''AHk A H = 21.∵'''ABC A B C △∽△∴''','BAC B A C B B ∠=∠∠=∠又∵AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线∴11,''''''22BAD BAC B A D B A C ∠=∠∠=∠ ∴''','BAD B A D B B ∠=∠∠=∠ ∴'''ABD A B D △∽△ ∴''''AB ADk A B A D == 22.∵'''ABC A B C △∽△∴,'''''AB BCB B A B BC =∠=∠ 又∵AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线 ∴2''2''''''BC BM BM ABk B C B M B M A B ==== ∴ABM A B M '''∆∆∽ ∴AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''23.∵ABCD 为平行四边形，∴AD BC AD BC =，∥， ∴BC AD AQBP BP BQ==， ∴1BC AB AQ AB AQ AB BQBP BQ BQ BQ BQ BQ--=-===． 24.过O 作OG BC ∥，交AB 于G ．显然，OG 是ABC ∆的中位线，所以112222b a OG BC GB AB ====， 在FOG ∆中，由于GO EB ∥， 所以BE FBOG FG=， 则222FB c b bcBE OG a FG a c c =⋅=⋅=++25.167（1）∵PQC PABQ S S =△ ∴12PQC ABC S S =△△∴2PCAC=∴4PC PC AC ==∴PC =（2）PQC PABQ C C =△∴PC CQ QP AP AB BQ PQ ++=+++ 即PC QP AP AB BQ +=++ 设PC x = ∵PC AB ∥ ∴有PC CQ AC BC =，即43x CQ =，34CQ x = ∴根据周长相等的式子可列：3345344x x x x +=-++- 解得：167x =． 【解析】根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，可以轻松解题．。
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18.6相似三角形的性质
一、夯实基础
1．如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是1 cm，则像CD到小孔O的距离为 ( ) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
2．如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂的端点A下降0．5 m时，长臂的端点B应升高 ( ) A．0．5 m B．1 m C．8 m D．16 m
3.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36 cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为________cm．
3题 4题
4．如图，电影胶片上每一个图片的规格为3．5 cm×3．5 cm，放映屏幕的规格为2 m×2 m，若放映机的光源S距胶片20 cm，那么光源S距屏幕________m时，放映的图像刚好布满整个屏幕．
5．顺次连接三角形三边上的中点所构成的三角形的高与原三角形对应高的比为_______．
二、能力提升
6．在△ABC中，AB=12 cm，BC=18 cm，CA=24 cm．另一个与它相似的△A′B′C′的周长为81 cm，那么△A′B′C′的最短边长为________cm．
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=1：2，则S△ADE：S△ABC=________．
8．若两个相似多边形的面积之比为1：4．周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是_________．
三、课外拓展
9、如图(1)，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上的一点，连接BO 交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 边于点E ．
(1)试说明：△ABF ∽△COE ．
(2)如图(2)，当O 为AC 边的中点，且
2AC AB =时，求OF OE
的值． (3)当O 为AC 边的中点，AC n AB =时，请直接写出OF OE 的值．
四、中考链接
10．（2015 太原）在△ABC 和△DEF 中，AB=2DE ，AC=2DF ，∠A=∠D ，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长、面积分别为 ( )
A ．8、3
B ．8、6
C ．4、3
D ．4、6
11.(2013广州模拟) 如图，火焰AC 通过纸板EF 上的一个小孔O 射到屏幕上形成倒立的像，像的长度BD=2 cm ，0．4=60 cm ，OB=20 cm ，火焰AC 长 ．
参考答案
一、夯实基础
1．B 2．C 3．16
4．807
5．1：2
二、提升能力
6．18
7．1：9
8．6和12
三、课外扩展
9．(1)因为AD ⊥BC ，所以∠DAC+∠C=90°．又因为∠BAC=90°，所以∠BAF=∠C ．因为OE ⊥OB ，所以∠BOA+∠COE=90°．因为∠BOA+∠ABF=90°，所以∠ABF=∠CDE ．所以△ABF ∽△COE (2)作OG ⊥AC ，交AD 的延长线于点G ．因为AC=2AB ，O 是AC 边的中点，所以AB=OC=OA ．由(1)有△ABF ∽△COE ．所以△ABF ≌△COE 所以BF=OE ．因为∠BAD+∠DAC=90°，∠DAB+∠ABD=90°，所以∠DAC=∠ABD ．又因为∠BAC=∠AOG=90°，AB=OA ，所以△ABC ∽△OAG ．所以OG=AC=2AB ．因为OG ⊥AC ，所以AB ∥OG ．所以△ABF ∽△GOF ．所以OF OG BF AB =，2OF OF OG OE BF AB
=== (3)OF n OE = 四、中考链接
11．A
12．6 cm。