福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三上学期第二次(12月)月考数学(文)试题

“华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中”六校联考2016-2017学年上学期第二次月考高三数学（文科）试题(考试时间：120分钟 总分：150分)★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。

一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合2{x |log 0}A x =>，{|1}B x x =<，则 A ．A B ∅I ＝B ．A B R U ＝C ．B A ⊆D ．A B ⊆2．i 是虚数单位，若(i 1)i z +=，则z 等于A ．1B ．23 C ．22 D ．213．设函数()f x 为偶函数，当()0,x ∈+∞时，()2log f x x =，则(f = A ．12-B ．12C ．2D ．-24．已知命题p ：x ∀∈R ，2130x +>，命题q ：“02x <<”是“2log 1x <”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是 A ．p ⌝B ．p q ∧C ．(q)p ∧⌝D ．(p q)⌝∨5．如图，在ABC ∆中，3=AB ,2=AC ,的中点，是边BC D 则BC AD ⋅值为A ．1B ．25C ．-1D ．25-6．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象A ．向右平移6π个长度单位B ．向右平移12π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移12π个长度单位 7．已知ABC ∆中，内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若222,3a b c bc a =+-=，则ABC ∆的周长的最大值为 A．B ．6CD ．98．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为 A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里9．已知O 为坐标原点,点M 坐标为(2,1)-，在平面区域020x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩上取一点N ,则使MN 为最小值时点N 的坐标是 A ．)0,0(B ．)1,0(C ．)2,0(D ．)0,2(10．在四面体S ABC -中，,2,AB BC AB BC SA SC SB ⊥===，则该四面体外接球的表面积是 A．BC ．24πD ．6π11．已知函数321()3f x x x ax =++.若1()x g x e =,对存在11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使函数()f x 导函数1()f x '满足12()()f x g x '≤，则实数a 的取值范围是 A ．]45,(--∞e e B．(8]-∞- C ．]451,(2--∞eD ．]81,(2--∞e12．已知函数()22,52,x x a f x x x x a+>⎧=⎨++≤⎩，函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点， 则实数a 的取值范围是A ．[1,1)-B ．[0,2]C ．[2,2)-D ．[1,2)-二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）. 13．若21(0,)sin cos 2,tan 24παααα∈+==且则 . 14．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的表面积为 .15．设l m n 、、表示不同的直线，αβγ、、表示不同的平面，给出下列 4个命题： ①若m ∥l ，且m α⊥，则l α⊥； ②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α； ③若l αβ=I ，m βγ=I ，n γα=I ，则l ∥m ∥n ；④若m αβ=I ，l βγ=I ，n γα=I ，且n ∥β，则m ∥l ．其中正确命题是 .16．设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数b 的取值范围是 ．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．已知向量(2sin ,cos ),()a x x b cosx x ==r v ，函数()f x a b =v vg .(I ）求函数()f x 的最小正周期； (II ) 当[0,]2x π∈时,求函数()f x 的最大值与最小值.第（14）题图18．已知等比数列{}n a 的公比为q （1q ≠），等差数列{}n b 的公差也为q ，且12323a a a +=． (I ）求q 的值；(II ）若数列{}n b 的首项为2，其前n 项和为n T ， 当2n ≥时，试比较n b 与n T 的大小.19．如图，已知ABC ∆和EBC ∆是边长为2的正三角形，平面EBC ⊥平 面ABC ，AD ⊥平面ABC，且AD =(I ）证明：AD ∥平面EBC ； (II ）求三棱锥E ABD -的体积．20．已知某渔船在渔港O 的南偏东60º方向，距离渔港约160海里的B 处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机A 接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在C 处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船B 的俯角为68.20º，测得渔政船C 的俯角为63.43º，且渔政船位于渔船的北偏东60º方向上．(Ⅰ）计算渔政船C 与渔港O 的距离；(Ⅱ）若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？ (参考数据：sin 68.200.93,tan 68.20 2.50,︒≈︒≈sin 63.43︒≈0.90,tan 63.43 2.00︒≈3.62≈3.61≈）21．已知函数()(1)ln ()af x x a x a x=--+∈R ． (Ⅰ）当10≤<a 时，求函数)(x f 的单调区间；(Ⅱ）是否存在实数a ，使得至少存在一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．AOCB北北请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．22． (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为1122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=.(Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ）若点P 的直角坐标为()1,0，曲线C 与直线l 交于,A B 两点，求PA PB +的值.23. (本小题满分10分)不等式选讲 已知函数() 1.f x x =-(Ⅰ）解关于x 的不等式()210f x x +->(Ⅱ）若()()()4,g x x m f x g x =-++<的解集非空，求实数m 的取值范围.“华安、连城、泉港、永安、漳平一中、龙海二中”六校联考2016-2017学年上学期第二次月考高三数学（文科）答案一、选择题：ACBCD ADCBD AD二、填空题：13. 14. 53+； 15. ①④； 16. （﹣3，+∞）三．解答题： 17．解：（I ）∵x x x x f 2cos 32cos sin 2)(+=22cos 1322sin xx ++=……………………………………………2分32cos 32sin ++=x x3)2cos 232sin 21(2++=x x332sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx ………………………………………………5分∴()f x 的最小正周期正周期为π ………………………………………………6分 (II ）∵[0,]2x π∈ ∴42[,]333x πππ+∈……………………………………………………………8分∴当232x ππ+=，即12x π=时，()f x 有最大值2+………………………10分当4233x ππ+=，即2x π=时，()f x 有最小值0.………………………………12分 18．解：（I ）由已知可得211123a a q a q +=， ……………………………………………1分 ∵{}n a 是等比数列，10a ≠∴23210q q --=. ……………………………………………………………2分 解得1q =或13q =-. ∵1q ≠，∴ 13q =-……………………………………………………………………4分 (II ）由（I ）知等差数列{}n b 的公差为13-， ∴ 72(1)()33n nb n 1-=+--=，………………………………………………5分 2132(1)()236n n n n T n n 1-=+--=， ………………………………………7分(1)(14)6n n n n T b ---=-， …………………………………………………9分当14n >时，n n T b <；当14n =时，n n T b =；当214n ≤<时，n n T b >. 综上，当214n ≤<时，n n T b >； 当14n =时，n n T b =；当14n >时，n n T b <.………………………………………………12分 19．(I ）证明：取BC 的中点为F ，连接AF ，EF ，………………1分 ∵△BCE 为正三角形，∴EF ⊥BC ，………………………………………………2分 ∵平面ABC ⊥平面BCE ，且交线为BC ，∴EF ⊥平面ABC ，………………………………………4分 又∵AD ⊥平面ABC ，∴AD ∥EF ，………………………………………………5分 ∵EF ⊂平面EBC ，DA ⊄平面EBC∴AD ∥平面EBC . …………………………………6分 (II ）解 由(1)知EF ∥AD ，∴E ABD F ABD D ABF V V V ---==，………………………10分∴12ABF S BF AF ==V g ， ∴113D ABF ABF V S AD -==V g ， 即1E ABD V -=.…………………………………………12分20．解：（1）依题意：160BO =海里，AB BOC ⊥平面，ABO ∠=68.20º, ACO ∠=63.43º, OBC ∠=60º+60º=120 º, ………2分 在Rt ABO ∆中，tan AO BO =g 68.20º01602.50400AB BO =⋅︒≈⋅=（海里），在Rt AOC ∆中，OC =200tan 63.43AO≈（海里），………………………5分 故渔政船与渔港的距离约为200海里. ……………………………………6分(2）设BC x =（海里），在BOC ∆中，由余弦定理得2222c o s O B B C O B B C O B C O C+-⋅⋅∠= ……………………………………8分 即,22211602160()200,2x x +-⋅⋅-=化简得2160144000,x x +-=解得：80x =-±0x >，………………………………………………10分∴8040 3.618064.40x =≈⨯-=（海里）.64.425 2.5763÷=<，故可以在3小时内赶到出事地点. …………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()'22111x a x a a f x x x x--+=+-= ………………………2分 (1)当01a <<时，由()'0f x >得，x a 0<<或1x >，由()'0fx <得，a x <<1∴函数()f x 的单调增区间为()0,a 和()1,+∞,单调减区间为(),1a ………4分(2)当1a =时, ()'0f x ≥,()f x 的单调增区间为()0,+∞ …………………5分(Ⅱ）命题“至少存在一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立”的否定是“(0,)x ∀∈+∞，()f x x ≤恒成立”。