福建省永安市高中数学第一章算法初步1.3.2秦九韶算法课件新人教A版必修 (2)
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高中数学1.3.2算法案例—秦九韶算法教案新人教A版必修
学 目
技能目标
模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙；探究计算 机算法与数学算法的区别。
标
情感态度价值观
通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡 献，充分认识到我国文化历史的悠久。
重点 理解秦九韶算法的思想。
难点 用循环结构表示算法的步骤。
问题与情境及教师活动
学生活动
一．复习引入
大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的
(((an x an1)x an2 )x a1) a0
1 河北武邑教师教案
问题与情境及教师活动
学生活动
思考 2：对于由内向外逐层计算一次多项式
f (x) an xn an1xn1 a1x a0 （（ an x an1)x an2 )x a1)x a0
的值，其算法步骤如何？
程序框图如下图：
2 河北武邑教师教案 问题与情境及教师活动
学生活动
INPUT “n=”；n
INPUT “an=”；a
INPUT “x=”；x
v=a
i=n-1
WHILE i＞=0
PRINT “i=”；i
教
INPUT “ai=”；a
v=v*x+a
学
i=i-1
WEND
过
PRINT v
ENDห้องสมุดไป่ตู้
程 思考 3：该程序框图对应的程序如何表述？
第一步，输入多项式次数 n、最高次的系数 an 和 x 的值. 第二步，将 v 的值初始化为 an，将 i 的值初始化为 n-1. 第三步，输入 i 次项的系数 ai. 第四步，v=vx+ai,i=i-1. 第五步，判断 i 是否大于或等于 0.若是，则返回第三步；
数学：1.3.2《算法案例-秦九韶算法》课件(2)(新人教A版必修3)
练习:把89化为五进制的数. 解:以5作为除数,相应的除法算式为: 余数 5 89 5 17 4 5 3 2 0 3 ∴ 89=324(5).
小结
• 进位制的概念及表示方法; anan-1…a1a0(k) =an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 . • 各种进位制之间的相互转化.
例4:把89化为二进制的数. 我们可以用下面的除法算式表示除2取余法: 把算式中各步所得的余数 余数 2 89 从下到上排列,得到 2 44 1 89=1011001(2). 2 22 0 可以用2连续去除89或所得 2 11 0 商(一直到商为0为止),然后 2 5 1 取余数---除2取余法. 1 2 2 这种方法也可以推广为把 0 21 十进制数化为k进制数的 0 1 算法,称为除k取余法.
＝(„((anx＋an－1)x＋an－2)x＋„＋a1)x＋a0
f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
求多项式的值时,首先计算最内层括号内一 次多项式的值,即 v1=anx+an-1, 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0. 这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
v1=v0x-5=2×5-5=5
v2=v1x-4=5×5-4=21
v3=v2x+3=21×5+3=108
v4=v3x-6=108×5-6=534
v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
人教A版高中数学必修三课件1.3.2秦九韶
算法步问骤:：怎么用程序语言表示秦九韶算v法0 呢a？n
1:输入多项式系数n,最高次项的系数an和x的值.v1 an x an1
2:将v 的值初始化为an,将i的值初始化为n-1. v2 v1x an2
3:输入i次项的系数ai .
v3 v2 x an3
4: v=vx+ai,i=i-1.
练习：利用秦九韶算法分别计算
f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1在x=2与x=-1的值，并 判断多项式f(x)在区间[-1，2]上有没有零点。
解：f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1
=8x7+5x6+0·x5+3x4+0·x3+0·x2+2x+1
=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1
PRINT “i=“;i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
程序框图:
阅读下列程序，INPUT “x=”；a
说明它解决的 n=0
实际问题是什 y=0
么？
WHLE n<5
y=y+(n+1)*a∧n
n=n+1
WEND
PRINT y
END
求多项式 f (x ) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 在x=a时的值.
v0=2 所以,当x=5时,多项式的值是2677.
《数书九章》——秦九韶算法
设f(x)是一个n次的多项式
1:输入多项式系数n,最高次项的系数an和x的值.v1 an x an1
2:将v 的值初始化为an,将i的值初始化为n-1. v2 v1x an2
3:输入i次项的系数ai .
v3 v2 x an3
4: v=vx+ai,i=i-1.
练习：利用秦九韶算法分别计算
f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1在x=2与x=-1的值，并 判断多项式f(x)在区间[-1，2]上有没有零点。
解：f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1
=8x7+5x6+0·x5+3x4+0·x3+0·x2+2x+1
=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1
PRINT “i=“;i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
程序框图:
阅读下列程序，INPUT “x=”；a
说明它解决的 n=0
实际问题是什 y=0
么？
WHLE n<5
y=y+(n+1)*a∧n
n=n+1
WEND
PRINT y
END
求多项式 f (x ) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 在x=a时的值.
v0=2 所以,当x=5时,多项式的值是2677.
《数书九章》——秦九韶算法
设f(x)是一个n次的多项式
高中数学第一章算法初步1.3.2进位制课件3新人教A版必修3
解：(1)算法步骤:
第一步,输入a,k和n的值. 第二步,令b=0，i=1. 第三步,b=b+ai·ki-1，i=i+1. 第四步,判断i>n 是否成立.若是，则执行第五步；否
则，返回第三步.
第五步,输出b的值.
开始
(2)程序框图
输入a，k，n b=0 i=1 把a的右数第i位数字赋给t b=b+t· ki- 1 i=i+1 i>n? 是 输出b 结束 否
具体计算方法如下： 因为 89=2×44+1, 44=2×22+0, 22=2×11+0, 11=2×5+1, 5=2×2+1, 2=2×1+0, 1=2×0+1,
所以 89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1 =2×(2×(2×(2×(22+1)+1)+0)+0)+1 =… =1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20 =1011001(2)
1.通过阅读进位制的算法案例，体会进位制的算法思想. 2.学习各种进位制转换成十进制的计算方法， 研究十进制转换为各种进位制的除k去余法， 并理解其中的数学规律.(重点) 3.能运用几种进位制之间的转换，解决一些有关的问题. (难点)
【课堂探究1】进位制的概念 思考1:什么是进位制？ 进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统， 如逢十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七 进制；每十二个月为一年，就是十二进制；每六十 秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进 制等等.也就是说，“满几进一”就是几进制，几进 制的基数就是几.
高中数学必修3公开课课件 1.3.2算法案例--秦九韶算法
次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允 许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是 一个理论算法.在多式求值的各种算法中，秦九 韶算法是一个优秀算法.
10
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
新疆 王新敞
奎屯
王新敞 特级教师 源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
再统计一下计算当时的值时需要的计算次数，可 以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。显 然少了6次乘法运算。
这种算法就叫秦九韶算法。
3
秦九韶算法
把一个多项式
f (x) an xn an1xn1 an2 xn2 a1x a0
改写为：
f (x) an xn an1xn1 an2 xn2 a1x a0 (an xn1 an1xn2 an2 xn3 a1)x a0 ((an xn2 an1xn3 a2 )x a1)x a0
·2007·
11
案例2 秦九韶算法
2019年5月6日星期一
1
问题提出
1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数 的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序 后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学 与现代信息技术的完美结合.
2.对于求n次多项式的值，在我国古代数学中 也有一个优秀算法，即秦九韶算法，本节对这个算 法作些了解和探究.
=……
( ((an x an1)x an2 )x a1) a0
4
秦九韶算法
对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ an-2)x+…+a1)x+a0， 由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤：
第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v3=v2x+an-3.
10
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奎屯
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再统计一下计算当时的值时需要的计算次数，可 以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。显 然少了6次乘法运算。
这种算法就叫秦九韶算法。
3
秦九韶算法
把一个多项式
f (x) an xn an1xn1 an2 xn2 a1x a0
改写为：
f (x) an xn an1xn1 an2 xn2 a1x a0 (an xn1 an1xn2 an2 xn3 a1)x a0 ((an xn2 an1xn3 a2 )x a1)x a0
·2007·
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案例2 秦九韶算法
2019年5月6日星期一
1
问题提出
1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数 的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序 后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学 与现代信息技术的完美结合.
2.对于求n次多项式的值，在我国古代数学中 也有一个优秀算法，即秦九韶算法，本节对这个算 法作些了解和探究.
=……
( ((an x an1)x an2 )x a1) a0
4
秦九韶算法
对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ an-2)x+…+a1)x+a0， 由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤：
第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v3=v2x+an-3.
高中数学必修3课件全册(人教A版)
二、程序框图
1、顺序结构
2、条件结构
3、循环结构
步骤n
步骤n+1
满足条件？
步骤A
步骤B
是
否
满足条件？
步骤A
是
否
循环体
满足条件?
否
是
循环体
满足条件?
是
否
先做后判，否去循环
先判后做，是去循环
二、程序框图
1、顺序结构
设计一算法,求和1+2+3+ … +100， 并画出程序框图。
算法：
第一步：取n=100；
否
是
循环体
条件
DO 循环体 LOOP UNTIL 条件
直到型循环结构
一、辗转相除法（欧几里得算法）
1、定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。
IF 条件 THEN 语句1 ELSE 语句2 END IF
满足条件？
语句1
语句2
是
否
IF 条件 THEN 语句 END IF
满足条件？
语句
是
否
（5）循环语句
①WHILE语句
②UNTIL语句
WHILE 条件 循环体 WEND
满足条件？
循环体
是
否
DO 循环体 LOOP UNTIL 条件
第二步：计算 ；
第三步：输出结果。
开始
结束
输入n=100
s=(n+1)n/2
输出s
二、程序框图
2、条件结构
1.3.2《算法案例---秦九韶算法》课件(1)(新人教A版必修3)
算法案例 ----秦九韶算法
ks5u精品课件
秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、
数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋
元山东曲阜）人，生于普州安岳
（今属四川）。精研星象、音律、算术、
诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、
司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，著作
《数书九章》，其中的大衍求一术、三
PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
小结：
（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题； （2）解决同一类问题，可以有不同的算法，
但计算的效率是不同的，应选择高效的算法
（3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效 的表达各种算法等。
傻瓜蛋很感慨地说：“人啊!你为什么那么喜欢管别人的闲事，说别人的坏话呢?” 狐狸落在井里，没法上来，只好呆在那里。农夫的庄稼地，因为失去了树木的保护，被滚滚的山洪，全部吞没了。 “这是怎么回事?芽怎么回事啊?芽”斑鸠困在里，莫名其妙地大喊。 西安代理记账公司 https:///xian/daizhang/ 你们只根据自己的食性而视别类食物为一文不值，这是偏见!如果人人都这样将他们的个人嗜好强加在你们身上，你们的感受又会如何呢?” 猫和兔子觉得公鸡言之有理，于是停止了争论。整个过程一气呵成，看得麻雀胆战心惊。， 农民家的所有人，还有村里的孩子们都很喜欢这只鹦鹉，因为她能像人一样说话
秦九韶算法的特点：
通过一次式的反复计算，逐步得出高次多 项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘 法和n次加法即可。
算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x 的值. 第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1. 第三步：输入i次项的系数ai. 第四步：v=vx+ai,i=i-1. 第五步：判断i是否小于或等于0，若是，则返回第 三步；否则，输出多项式的值v。
ks5u精品课件
秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、
数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋
元山东曲阜）人，生于普州安岳
（今属四川）。精研星象、音律、算术、
诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、
司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，著作
《数书九章》，其中的大衍求一术、三
PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
小结：
（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题； （2）解决同一类问题，可以有不同的算法，
但计算的效率是不同的，应选择高效的算法
（3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效 的表达各种算法等。
傻瓜蛋很感慨地说：“人啊!你为什么那么喜欢管别人的闲事，说别人的坏话呢?” 狐狸落在井里，没法上来，只好呆在那里。农夫的庄稼地，因为失去了树木的保护，被滚滚的山洪，全部吞没了。 “这是怎么回事?芽怎么回事啊?芽”斑鸠困在里，莫名其妙地大喊。 西安代理记账公司 https:///xian/daizhang/ 你们只根据自己的食性而视别类食物为一文不值，这是偏见!如果人人都这样将他们的个人嗜好强加在你们身上，你们的感受又会如何呢?” 猫和兔子觉得公鸡言之有理，于是停止了争论。整个过程一气呵成，看得麻雀胆战心惊。， 农民家的所有人，还有村里的孩子们都很喜欢这只鹦鹉，因为她能像人一样说话
秦九韶算法的特点：
通过一次式的反复计算，逐步得出高次多 项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘 法和n次加法即可。
算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x 的值. 第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1. 第三步：输入i次项的系数ai. 第四步：v=vx+ai,i=i-1. 第五步：判断i是否小于或等于0，若是，则返回第 三步；否则，输出多项式的值v。
高中数学人教A版必修三 1.3.2 秦九韶算法与进位制 课件(73张) (1)
2
4.已知函数 f(x)=x3-2x2-5x+6,试用秦九韶算法求 f(10)的值.
【解析】根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形 式:f(x)=x3-2x2-5x+6=(x2-2x-5)x+6=((x-2)x-5)x+6.故把 x=10 代入函数式,得 f(10)=((10-2)×10-5)×10+6=756.
预学 1:秦九韶计算多项式的方法 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 …… =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值, 即 v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,…,vn=vn-1x+a0.这样,把 n 次多项式的求值 问题转化为求 n 个一次多项式的值的问题,上述方法称为秦九韶 算法.
练一练:已知一个 3 次多项式为 f(x)=x -2x +x-1,用秦九 韶算法求当 x=2 时这个多项式的值.
3
2
【解析】f(x)=x3-2x2+x-1=((x-2)x+1)x-1=1.
预学 2:秦九韶算法是多项式求值的算法,秦九韶算法的 特点 (1)化高次多项式求值为一次多项式求值; (2)减少了运算次数,提高了效率; (3)步骤重复执行,容易用计算机实现.利用秦九韶算法计算 多项式的值的关键是能正确地将所给多项式改写,然后由内向外 逐次计算,由于后项计算用到前项的结果,故应认真、细心,确保 中间结果的准确性.若在多项式中有几项不存在时,可将这些项 n 的系数看成 0,即把这些项看作 0·x . 想一想:秦九韶算法与直接计算相比较有何优点?
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时的值呢？
程序 x=5
f=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
PRINT f
END
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
当x = 5的值的算法：
算法1：因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906
按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：
v0 4
v1 4 5 2 22 v2 22 5 3.5 113.5 v3 113.5 5 2.6 564.9 v4 564.9 5 1.7 2826.2
v5 2826.2 5 0.8 14130.2
所以，当x = 5时，多项式的值等于14130.2
v5 v4x 7 534 5 7 2677
f (5) 2677
思考3：如何用秦九韶算法 完成一般多项式的求值问题？
《数书九章》——秦九韶算法
设f (x) 是一个n 次的多项式
这是怎样 的一种改
f (x) an xn an1xn1 a1x a0 写方式？
对该多项式按下面的方式进行改写： 最后的结
(1)、算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x 的值.
第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1. 第三步：输入i次项的系数an.
第四步：v=vx+ai, i=i-1. 第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第 三步；否则，输出多项式的值v。
思考2:该算法的程序框图如何表示？
另解：（秦九韶算法的另一种直观算法）多项式的系数
+
X5
4 2 3.5 -2.6 1.7 -0.8 0 20 110 567.5 2824.5 14131 4 22 113.5 564.9 2826.2 14130.2
多项式的值
练习1：已知多项式f(x)=x5-3x4+3x3-5x25x+1当用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的 值。,并统计需要多少次乘法计算和多少次加 法计算？
（2）程序框图： 开始
输入n,an,x
V=an
i=n-1
i=i-1
i>=0? N
输出v
结束
v=vx+ai
输入ai
Y
思考3:该程序框图对应的程序如何表述？
开始
程序： INPUT “n=”；n
输入n,an,x V=an
INPUT “an=“;a INPUT “x=“;x v=a
i=n-1
i=n-1 WHILE i>=0
当X=5时的值呢？
分析：将多项式变形为
f (x) ((((2x 5)x 4)x 3)x 6)x 这7个算
令 v0 2
法过程
v1 v0 x 5 2 5 5 5 就是秦
v2 v1x 4 5 5 4 21
九韶算 法过？
v3 v2 x 3 21 5 3 108
v4 v3 x 6 108 5 6 534
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
果是什么？
பைடு நூலகம்
(an xn1 an1xn2 a1)x a0
((an xn2 an1xn3 a2 )x a1)x a0
((an x an1)x an2 )x a1)x a0
f (x) ((an x an1)x an2 )x a1)x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
然后，由内到外逐v层1 计a算n x一次an多1项式的值，即
v2 v1x an2
v3 v2x an3
最后的一 项是什么？
vn vn1x a0
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一 次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
思考5 利用秦九韶算法算法n次多项式 求f(x0)的值，一共需要多少次乘法运算， 多少次加法运算？
算法我3们：把多一项种式更高效的算法
ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
变形为：
f (x) ((((x 1)x 1)x 1)x 1)x 1
从因而为 得：
f (5) ((((5 1)5 1)5 1)5 1)5 1 3096
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
思考2：怎样求多项式 f (x) 2x5 5x4 4x3 3x2 6x 7
i=i-1 v=vx+ai
PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a v=v*x+a
i>=0? N
输出v
输入ai
Y
i=i-1 WEND PRINT v END
结束
理论迁移
例1： 已知一个五次多项式为
f (x) 4x5 2x4 3.5x3 2.6x2 1.7x 0.8
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。 解：将多项式变形： f (x) ((((4x 2)x 3.5)x 2.6)x 1.7)x 0.8
算法案例
第二课时
情境引入
案例2 秦九韶算法
这节课我们主要研究的是秦九韶算法中的一种
▪ 问题是数学的心脏。——P.R.Halmos（波 利亚）
▪ 带着问题我们一起去看看古代中国人的智 慧吧！了解一下中国古代数学对现代世界 数学发展的贡献吧！
新课探究:
知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
思考1：怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5
理论迁移
例2：已知多项式f(x)=3x4+2x2+4x+2
秦九韶算法的特点：
把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项 式的值,通过这种转化,把运算的次数由至多 n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算,减少为n次 乘法运算和n次加法运算,大大提高了运算效率.
知识探究(二):秦九韶算法的程序设计
思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么 逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？
共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。
算法2:在上述问题中，若先计算x2的值， 然后依次计算x2·x，(x2·x)·x， ((x2·x)·x)·x的值，这样每次都可以 利用上一次计算的结果.
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数 减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做 一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此 第二种做法能更快地得到结果.
程序 x=5
f=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
PRINT f
END
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
当x = 5的值的算法：
算法1：因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906
按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：
v0 4
v1 4 5 2 22 v2 22 5 3.5 113.5 v3 113.5 5 2.6 564.9 v4 564.9 5 1.7 2826.2
v5 2826.2 5 0.8 14130.2
所以，当x = 5时，多项式的值等于14130.2
v5 v4x 7 534 5 7 2677
f (5) 2677
思考3：如何用秦九韶算法 完成一般多项式的求值问题？
《数书九章》——秦九韶算法
设f (x) 是一个n 次的多项式
这是怎样 的一种改
f (x) an xn an1xn1 a1x a0 写方式？
对该多项式按下面的方式进行改写： 最后的结
(1)、算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x 的值.
第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1. 第三步：输入i次项的系数an.
第四步：v=vx+ai, i=i-1. 第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第 三步；否则，输出多项式的值v。
思考2:该算法的程序框图如何表示？
另解：（秦九韶算法的另一种直观算法）多项式的系数
+
X5
4 2 3.5 -2.6 1.7 -0.8 0 20 110 567.5 2824.5 14131 4 22 113.5 564.9 2826.2 14130.2
多项式的值
练习1：已知多项式f(x)=x5-3x4+3x3-5x25x+1当用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的 值。,并统计需要多少次乘法计算和多少次加 法计算？
（2）程序框图： 开始
输入n,an,x
V=an
i=n-1
i=i-1
i>=0? N
输出v
结束
v=vx+ai
输入ai
Y
思考3:该程序框图对应的程序如何表述？
开始
程序： INPUT “n=”；n
输入n,an,x V=an
INPUT “an=“;a INPUT “x=“;x v=a
i=n-1
i=n-1 WHILE i>=0
当X=5时的值呢？
分析：将多项式变形为
f (x) ((((2x 5)x 4)x 3)x 6)x 这7个算
令 v0 2
法过程
v1 v0 x 5 2 5 5 5 就是秦
v2 v1x 4 5 5 4 21
九韶算 法过？
v3 v2 x 3 21 5 3 108
v4 v3 x 6 108 5 6 534
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
果是什么？
பைடு நூலகம்
(an xn1 an1xn2 a1)x a0
((an xn2 an1xn3 a2 )x a1)x a0
((an x an1)x an2 )x a1)x a0
f (x) ((an x an1)x an2 )x a1)x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
然后，由内到外逐v层1 计a算n x一次an多1项式的值，即
v2 v1x an2
v3 v2x an3
最后的一 项是什么？
vn vn1x a0
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一 次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
思考5 利用秦九韶算法算法n次多项式 求f(x0)的值，一共需要多少次乘法运算， 多少次加法运算？
算法我3们：把多一项种式更高效的算法
ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
变形为：
f (x) ((((x 1)x 1)x 1)x 1)x 1
从因而为 得：
f (5) ((((5 1)5 1)5 1)5 1)5 1 3096
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
思考2：怎样求多项式 f (x) 2x5 5x4 4x3 3x2 6x 7
i=i-1 v=vx+ai
PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a v=v*x+a
i>=0? N
输出v
输入ai
Y
i=i-1 WEND PRINT v END
结束
理论迁移
例1： 已知一个五次多项式为
f (x) 4x5 2x4 3.5x3 2.6x2 1.7x 0.8
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。 解：将多项式变形： f (x) ((((4x 2)x 3.5)x 2.6)x 1.7)x 0.8
算法案例
第二课时
情境引入
案例2 秦九韶算法
这节课我们主要研究的是秦九韶算法中的一种
▪ 问题是数学的心脏。——P.R.Halmos（波 利亚）
▪ 带着问题我们一起去看看古代中国人的智 慧吧！了解一下中国古代数学对现代世界 数学发展的贡献吧！
新课探究:
知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
思考1：怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5
理论迁移
例2：已知多项式f(x)=3x4+2x2+4x+2
秦九韶算法的特点：
把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项 式的值,通过这种转化,把运算的次数由至多 n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算,减少为n次 乘法运算和n次加法运算,大大提高了运算效率.
知识探究(二):秦九韶算法的程序设计
思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么 逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？
共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。
算法2:在上述问题中，若先计算x2的值， 然后依次计算x2·x，(x2·x)·x， ((x2·x)·x)·x的值，这样每次都可以 利用上一次计算的结果.
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数 减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做 一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此 第二种做法能更快地得到结果.