秦九韶算法
秦九韶算法公式及结论
秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法。
在西方被称作霍纳算法。
秦九韶（约公元1202年－1261年），字道古，南宋末年人，出生于鲁郡（今山东曲阜一带人）。
计算方法
一般地，一元n次多项式的求值需要经过(n+1)*n/2次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。
在人工计算时，一次大大简化了运算过程。
把一个n次多项式
改写成如下形式：
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即
V1=an*x+a n-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。
结论：对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法。
秦九韶算法
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
思考2:利用后一种算法求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+„+a1x+a0的值，这 个多项式应写成哪种形式？ f(x)=anxn+an-1xn-1+„+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+„+a2x+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+„+a2)x+a1)x+a0 = „ =(„((anx+an-1)x+an-2)x+„+a1)x+a0
知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
思考1:对于多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1， 怎么样求f(5)的值呢？
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值 算法1： ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 因为
所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
n 次乘法运算，n 次加法运算.
思考3:对于f(x)=(„((anx+an-1)x+an-2)x
+„+a1)x+a0，由内向外逐层计算一次多项式 的值，其算法步骤如何？
第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v3=v2x+an-3. … 第n步，计算vn=vn-1x+a0.
作业： P45练习：2. P48习题1.3A组：2.
输入n，an，x的值
v=an i=n-1
i=i-1 v=vx+ai
§75秦九韶算法
§75秦九韶算法§75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法1.步骤2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表4.其他法递推公式法人工系数表法三大语言三结构五种语句三案例高考主流是框图循环结构是重点辗转相除法与更相减损术进位制秦九韶算法注4：注1：自然语言框图程序设计语言注2：顺序结构条件结构循环结构输入语句注3：赋值语句输出语句条件语句循环语句───求最大公约数───求多项式的值框图的画法是次要的重点是要能看懂框图2.辗转相除法1.短除法求最大公约数的方法3.更相减损术数字较小短除法公质因数连续除除到所有商互质除数连乘是答案大除小余换大辗转除何时停0或11互质0除数即答案大减小差换大连续减何时停两相等即答案若可半可省功注：辗转相除法与更相减损术的异同点1.辗转相除法以除法运算为主3.两法本质上都是递推，都可用循环结构编程更相减损术以减法运算为主2.辗转相除法当除法运算余数为O或1时终止运算更相减损术当减法运算差为O时终止运算§75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法1.步骤2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表4.其他法递推公式法人工系数表法常见的多项式（整式）函数我省的大压轴题，每年都是以三次函数来说事2013年的全国Ⅰ卷的小压轴题，是四次函数泰勒中值定理一、泰勒定理简介复杂函数多项式函数泰勒定理②n越大越精确①阶乘的概念：参课本P：32练习2麦克劳林公式一、泰勒定理简介复杂函数多项式函数泰勒定理1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法最多n(n+1)/2次乘法，n次加法最多n次乘法，n次加法xn=(xn-1)xxn-1=(xn-2)xxn-2=(xn-3)x…二、求多项式值的求法4.其他法例如当n=10时……引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值直接法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=3125＋625＋125＋25＋5＋１=3906累乘法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１＋5＋１□=＋□＋□＋□251253125625=3906引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值秦九韶算法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１)＋１=5×(5×(5３＋5２＋5＋１)＋１)＋１=5×(5×(5×(5２+5+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×(5×(5+１)+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×(5×6+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×31+１)+１)+１=5×(5×156+１)+１=5×781+１=3906先改后算迭代法降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表后算先改可以看出，该算法是：将求一个5次多项式f(x)的值转化成了求5个一次多项式的值的方法引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值1.直接法2.累乘法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１3.秦九韶算法4.其他法5５，5４，5３，5２，5，１应用等比数列的求和公式最简洁吧秦九韶算法：设是一个n次的多项式先对该多项式按下面的方式进行改写：先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算如何求该多项式的值呢？最后一项Vn是所求值秦九韶算法是将求一个n次多项式f(x)的值转化成了，求n个一次多项式的值的方法。
秦九韶算法与进位制
秦九韶算法与进位制秦九韶算法是中国古代一种进行大数乘法和除法的计算方法，其具有高效性和简便性的特点，被广泛应用于商业、工程和科学计算等领域。
在秦九韶算法中，进位制是一种用于计数和表示数字的体系，具有十进制、二进制、八进制和十六进制等形式。
A = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ... + an*x^nB = b0 + b1*x + b2*x^2 + b3*x^3 + ... + bm*x^m其中，a0到an和b0到bm为系数，x为变量。
利用秦九韶算法，我们可以求得乘积C的展开形式：C = c0 + c1*x + c2*x^2 + c3*x^3 + ... + cn*x^n+m其中，ci可以通过如下计算得出：ci = a0*b0 + (a1*b0+a0*b1)*x + (a2*b0+a1*b1+a0*b2)*x^2 + ...这样，我们可以分别计算各个ci的值，并将其相加得到最终结果。
利用进位制，我们可以轻松地完成每一步乘法和加法操作，从而实现高效的大数乘除计算。
进位制是一种用于计数和表示数字的体系，其最常见的形式是十进制，即使用0到9的十个数字进行计数。
在十进制数中，每个数字的位置代表的是10的幂次，例如100表示1乘以10的2次方，1000表示1乘以10的3次方，以此类推。
进位制还可以是其他进制，例如二进制、八进制和十六进制。
在十进制数中，当其中一位数达到9时，需要进位到高一位，并将该位数置0；而在二进制数中，当其中一位数达到1时，也需要进位到高一位，并将该位数置0。
进位制的运算规则相对简单明了，不仅适用于小数计算，也适用于大数计算。
通过进位制，我们可以方便地进行加法、减法、乘法和除法等运算，并获得相应的结果。
总而言之，秦九韶算法与进位制都是中国古代的数学成就，秦九韶算法通过多项式展开和进位制的运算规则，实现了高效的大数乘除计算。
进位制作为一种计数和表示数字的体系，不仅简洁易懂，还能适用于不同进制下的计算。
matlab秦九韶算法程序例子
matlab秦九韶算法程序例子Matlab中的秦九韶算法是一种用于快速计算多项式的算法。
在这篇文章中，我将列举十个使用Matlab实现秦九韶算法的例子，并详细解释每个例子的实现过程和结果。
1. 一元多项式求值考虑一个一元多项式P(x) = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5，我们可以使用秦九韶算法来计算P(x)在x=2处的值。
首先，将多项式的系数存储在一个向量coeff中，然后使用秦九韶算法求解：```matlabcoeff = [2, 3, 4, 5];x = 2;result = coeff(1);for i = 2:length(coeff)result = result*x + coeff(i);enddisp(result);```结果为31，即P(2) = 31。
2. 多项式相加考虑两个多项式P(x) = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5和Q(x) = 1x^2 + 2x + 3，我们可以使用秦九韶算法将它们相加。
首先，将两个多项式的系数存储在两个向量coeff1和coeff2中，然后使用秦九韶算法求解：```matlabcoeff1 = [2, 3, 4, 5];coeff2 = [1, 2, 3];result = zeros(1, max(length(coeff1), length(coeff2)));for i = 1:min(length(coeff1), length(coeff2))result(i) = coeff1(i) + coeff2(i);endif length(coeff1) > length(coeff2)result(length(coeff2)+1:end) = coeff1(length(coeff2)+1:end);elseresult(length(coeff1)+1:end) = coeff2(length(coeff1)+1:end);enddisp(result);```结果为[2, 4, 8, 8]，即P(x) + Q(x) = 2x^3 + 4x^2 + 8x + 8。
秦九韶算法
2007-2008（2）专业课程实践论文秦九昭算法数学04 王琳，19号秦九韶算法的特典在于，它通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值。
具体地说，它将一个n 次多项式的求解问题，归结为重复计算n 个一次式a v v k n k k x --+=1，k=1,2,…,n （1） 来实现。
这种化繁为简的处理方法在数值分析中是屡见不鲜的。
现在考虑秦九韶算法的计算程序。
按式（1）计算，每求出一个“新值”v k 以后，“老值”v k 1-便失去继续保存的价值，因此可以将新值v k 存放在老值v k 1-所占用的单元内。
这样，我们只要设置一个单元v 进行累算，而将式（1）表为下列动态形式v v x a k n ⇒+∙-， k=1,2,…,n 执行这组算式之前，应先送初值a n 到单元v 中，v a n ⇒ 图描述了秦九韶算法（框1）准备部分。
单元v 送初值a n ，单元k 中送数值1.（框2）计算部分。
每循环一次，单元v 中的老值v k 1-为新值v k 所替换。
（框3）控制部分。
检查单元k 中计数值以判断循环应否结束。
当计数值为n 时输出v 中结果，否则转框4.（框4）修改部分。
修改单元k 中计数值，然后转框2再作下一步的计算。
图1#include<stdio.h>#include <math.h>float qin(float a[],int n,float x){ float r=0;int i;for(i=n;i>=0;i--)r=r*x+a[i];return r;}main(){ float a[50],x,r=0;int n,i;do{ printf("Input frequency:");scanf("%d",&n);}while(n<1);printf("Input value:");for(i=0;i<=n;i++)scanf("%f",&a[i]);printf("Input x:");scanf("%f",&x);r=qin(a,n,x);printf("Answer:%f",r);getch();}利用秦九韶算法求多项式1)(43245+-+-=x x x x x p 在3=x 时的值。
用秦九韶算法计算多项式的值c语言
用秦九韶算法计算多项式的值c语言多项式是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在计算机科学中，多项式的计算也是一个常见的问题。
本文将介绍一种高效的算法——秦九韶算法，用它来计算多项式的值。
一、秦九韶算法的原理秦九韶算法是一种快速计算多项式值的算法。
它的基本思想是将多项式的系数和变量分离，然后通过递推的方式计算多项式的值。
具体来说，假设多项式为：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n我们可以将其表示为：f(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + ... + x(an-1 + anx)...))这样，我们就可以通过递推的方式计算多项式的值。
具体来说，我们可以从最高次项开始，依次计算每一项的值，然后将其累加起来。
这样，我们就可以在O(n)的时间复杂度内计算多项式的值。
二、用c语言实现秦九韶算法下面，我们将用c语言来实现秦九韶算法。
具体来说，我们可以定义一个数组来存储多项式的系数，然后通过循环来计算多项式的值。
代码如下：```c#include <stdio.h>double qinjiushao(double a[], int n, double x) {double result = a[n];for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {result = result * x + a[i];}return result;}int main() {double a[] = {1, 2, 3, 4, 5};int n = 4;double x = 2;double result = qinjiushao(a, n, x);printf("f(%lf) = %lf\n", x, result);return 0;}```在这个例子中，我们定义了一个数组a来存储多项式的系数，n表示多项式的最高次数，x表示要计算的多项式的值。
1.3 算法案例2-秦九韶算法
2. 利用秦九韶算法求n次多项式f(x)的值的步骤:
先把n次多项式f(x)改写成如下形式: f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 再按照从内到外的顺序 , 依次计算一次多项 式的值, 即 v1=anx+an-1 ;
注意: 用秦九韶算法
计 算 n 次 多 项 式 f(x) 的 值时,一共需要n次乘法 运算和n次加法运算.
解: f(x)=((((0.83x+0.41)x+0.16)x+0.33)x+0.5)x+1
当x=5时, v1=0.83×5+0.41=4.56; v2=4.56×5+0.16=22.96; v3=22.96×5+0.33=115.13; v4=115.13×5+0.5=576.15; v5=576.15×5+1=2881.75. 所以, f(5)=2881.75.
作业: P48 A组 T2
思考2:阅读下列程序，说明它是解决什么的 问题算法？
INPUT “x=”；a n=0 y=0 WHLE n<5 y=y+(n+1)*a∧n n=n+1 WEND PRINT y END
求多项式f(x)=1+2x+3x2+4x3+5x5在x=a时的值.
当x=5时, v1=5×5+2=27； v2=27×5+3.5=138.5； v3=138.5×5-2.6=689.9； v4=689.9×5+1.7=3451.2； v5=3451.2×5-0.8=17255.2. 所以, f(5)=17255.2.
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课件10 秦九韶算法
课件编号：AB Ⅲ-1-3-2．
课件名称：秦九韶算法．
课件主要功能：利用幻灯片展示秦九韶算法求多项式值的算法框图和VB程序的程序设计过程，并利用VB进行程序设计及运行．可供教师教学和学生学习中理解秦九韶算法的基本思想，掌握算法语句的初步应用，并为学生作业检验提供一个检验的程序．
课件运行环境：PowerPoint 2000．
课件使用说明：
1．直接双击素材名或运行PowerPoint后打开素材，进入PowerPoint的编辑状态,在进入编辑状态时，由于素材带有宏，应在出现提示时选择“启用宏”．2．单击放映按钮或按F5键进入放映状态．单击“秦九韶算法”按钮，按屏幕提示输入多项式的最高次数，按降幂依次输入多项式各项的系数，然后输入自变量的值，运行程序后将输出多项式的值．
3．在编辑状态或在放映状态按Esc进入编辑状态，双击“秦九韶算法”按钮，将进入VB的编辑状态，给出了这个操作的源程序，可对源程序做修改．
（浙江省黄岩中学金克勤）。