高中数学例题：秦九韶算法
1.3.2算法案例(秦九韶算法)
学生交流、补充回答自学指导中的问题，教师进行补充及纠正总结，引导学生加强对知识的理解深度。
1．强调利用常规自然的运算方法，运算量大，若用前面的计算结果，直接计算后面的式子，可以减少运算量，提高运算效率。
2．强调作为常识性的知识，让学生了解到计算机进行乘法运算比加法运算花的时间要长的多，故而在程序编写中，需要进行运算，尽量使用加法。
3．让学生明确秦九韶算法的作用和意义。
4．通过交流关于秦九韶的简介，突破本节课的情感态度与价值观目标，教师鼓励学生要增强学习数学的信心。附：
秦九韶（公元1202－1261），字道古，安岳人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。他在政务之余，对数学进行虔心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。宋淳祜四至七年（1244至1247），他在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。这不仅在当时处于世界领先地位，在近代数学和现代电子计算设计中，也起到了重要作用，被称为“中国剩余定理”。他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。现在，世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。秦九韶在数学方面的研究成果，比英国数学家取得的成果要早800多年。秦九韶字道古．普州安岳(今四川安岳)人．南宋嘉泰二年(1202年)生；约景定二年(1261年)卒于梅州(今广东梅县)．
示标
1．学会用秦九韶算法求多项式的值。
高中数学 同步练习 秦九韶算法与进位制
第2课时秦九韶算法与进位制学习目标 1.了解秦九韶算法.2.了解生活中的各种进位制,了解计算机内部运算为什么选择二进制.3.会用除k取余法把十进制转换为各种进位制,并理解其中的数学规律．知识点一秦九韶算法1．求n次多项式的值的算法,有一种比较好的算法叫秦九韶算法．2．秦九韶算法的一般步骤：把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0,求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1＝a n x＋a n－1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2＝v1x＋a n－2,v3＝v2x＋a n－3,…,v n＝v n－1x＋a0,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．知识点二进位制若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式a n a n－1…a1a0(k)(a n,a n－1,…,a1,a0∈N,0<a n<k,0≤a n－1,…,a1,a0<k)．为了区分不同的进位制,常在数的右下角标明基数,如二进制数10(2),六进制数341(6),十进制数一般不标注基数．思考59分59秒再过1秒是多少时间？答案1小时．上述计时法遵循的是满60进一,称为六十进制．类比给出k进制的概念．“满k进一”就是k进制,k进制的基数是k.知识点三进制间的转化1．一般地,将k进制数a n a n－1…a1a0(k)转化为十进制：a n a n－1…a1a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…＋a1×k1＋a0×k0.2．把十进制的数化为k进制的数的方法是：把十进制数除以k,余数为k进制的右数第一位数．把商再除以k,余数为k进制右数第二位数；依次除以k,直至商为0.这个方法称为除k取余法．1．二进制数中可以出现数字3.( ×)2．把十进制数转化成其它进制数的方法是除k取余法．( √)3．不同进制数之间可以相互转化．( √)题型一秦九韶算法的应用例1 用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值．解f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.当x＝－2时,有v0＝1；v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3；v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4；v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2；v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1；v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1.故f(－2)＝－1.反思感悟(1)先将多项式写成一次多项式的形式,然后运算时从里到外,一步一步地做乘法和加法即可．这样比直接将x＝－2代入原式大大减少了计算量．若用计算机计算,则可提高运算效率．(2)注意：当多项式中n次项不存在时,可将第n次项看作0·x n.跟踪训练1 用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．解根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式：f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值：v0＝1；v1＝1×2－12＝－10；v2＝－10×2＋60＝40；v3＝40×2－160＝－80；v4＝－80×2＋240＝80；v5＝80×2－192＝－32；v6＝－32×2＋64＝0.所以当x＝2时,多项式的值为0.题型二k进制化为十进制例2 二进制数110 011(2)化为十进制数是什么数？解110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.反思感悟将k进制数a n a n－1…a1a0(k)化为十进制数的方法：把k进制数a n a n－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式,然后计算出结果即为对应的十进制数．跟踪训练2 (1)把二进制数1 110 011(2)化为十进制数．(2)将8进制数314 706(8)化为十进制数．解(1)1 110 011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝115.(2)314 706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80＝104 902.所以,化为十进制数是104 902.题型三十进制化k进制例3 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数．解算式如图,则458＝13 022(4)＝2 042(6)．反思感悟十进制数化为k进制数的思路为除k取余→倒序写出→标明基数.跟踪训练3 把89化为二进制数．解算式如图,则89＝1 011 001(2)．秦九韶算法求多项式的值典例用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋0.11x3－0.15x－0.04当x＝0.3时的值．解将f(x)写为f(x)＝((((x＋0)·x＋0.11)x＋0)x－0.15)x－0.04.按从内到外的顺序,依次计算多项式的值：v0＝1,v1＝1×0.3＋0＝0.3,v2＝0.3×0.3＋0.11＝0.2,v3＝0.2×0.3＋0＝0.06,v4＝0.06×0.3－0.15＝－0.132,v5＝－0.132×0.3－0.04＝－0.079 6.∴当x＝0.3时,f(x)的值为－0.079 6.[素养评析] (1)当多项式中出现空项时,利用秦九韶算法求多项式的值,必须补上系数为0的相应项．这是本题的易错点．(2)理解运算对象即求多项式的值,掌握运算法则即秦九韶算法,这些均是数学核心素养之数学运算的具体体现.1．已知175(r)＝125(10),则r 的值为( ) A ．1 B ．5 C ．3 D ．8 答案 D解析 ∵1×r 2＋7×r 1＋5×r 0＝125, ∴r 2＋7r －120＝0, ∴r ＝8或r ＝－15(舍去), ∴r ＝8,故选D.2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ＋7在x ＝0.4时的值时,需做加法和乘法的次数的和为( ) A ．10 B ．9 C ．12 D ．8 答案 C解析 f(x)＝(((((6x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ＋7, ∴做加法6次,乘法6次,∴6＋6＝12(次),故选C.3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x 4＋2x 3＋3x 2＋x ＋1当x ＝2时的值时,第一次运算的是( ) A ．1×2 B ．24C ．2＋1D ．1×2＋2答案 D解析 因为f(x)＝(((x ＋2)x ＋3)x ＋1)x ＋1,据由内到外的运算规律可知先运算的是1×2＋2. 4．下列各数中,最小的数是( ) A ．85(9) B ．210(6) C ．1 000(4) D ．111 111(2)答案 D解析 85(9)＝8×9＋5＝77, 210(6)＝2×62＋1×6＋0＝78, 1 000(4)＝1×43＝64,111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝63. 故最小的是63.5．(1)将二进制数1611111 个转化成十进制数；(2)将53(8)转化为二进制数．解 (1)1611111⋅⋅⋅个 (2)＝1×215＋1×214＋…＋1×21＋1×20＝216－1.(2)先将八进制数53(8)转化为十进制数： 53(8)＝5×81＋3×80＝43；再将十进制数43转化为二进制数的算法如图．所以53(8)＝101 011(2)．1．要把k 进制数化为十进制数,首先把k 进制数表示成不同位上数字与k 的幂的乘积之和,其次按照十进制的运算规则计算和．2．十进制数化为k 进制数(除k 取余法)的步骤：3．用秦九韶算法求多项式f(x)当x ＝x 0时的值的思路为(1)改写；(2)计算⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x 0＋a n －k (k ＝1，2，…，n )；(3)结论f(x 0)＝v n .一、选择题1．下列各数可能是五进制数的是( ) A ．55 B ．106 C ．732 D ．2 134答案 D解析 五进制数的基数是5,在所构成的数中,只可能用0,1,2,3,4这5个数字． 2．把五进制数123(5)改写成十进制数为( ) A ．83 B ．64 C ．38 D ．44答案 C解析 五进制数123(5)改写成十进制数应为1×52＋2×51＋3×50＝38.3．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝2x 6＋5x 5＋6x 4＋23x 3－8x 2＋10x －3当x ＝－4时的值时,v 3的值为( ) A ．－742 B ．－49 C ．18 D ．188答案 B解析 f(x)＝2x 6＋5x 5＋6x 4＋23x 3－8x 2＋10x －3＝(((((2x ＋5)x ＋6)x ＋23)x －8)x ＋10)x －3, v 0＝2,v 1＝v 0x ＋5＝2×(－4)＋5＝－3,v 2＝v 1x ＋6＝－3×(－4)＋6＝18, v 3＝v 2x ＋23＝18×(－4)＋23＝－49,故选B.4．两个二进制数101(2)与110(2)的和用十进制数表示为( ) A ．12 B ．11 C ．10 D ．9 答案 B解析 101(2)＝1×22＋0×21＋1×20＝5,110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6.即和为5＋6＝11. 5．四位二进制数能表示的最大十进制数是( ) A ．4 B ．64 C ．255 D ．15 答案 D解析 由二进制数化为十进制数的过程可知,当四位二进制数为1 111时表示的十进制数最大, 此时,1 111(2)＝15.6．已知44(k)＝36,把67(k)转化为十进制数为( ) A ．8 B ．55 C ．56 D ．62 答案 B解析 由题意得,36＝4×k 1＋4×k 0,所以k ＝8. 则67(k)＝67(8)＝6×81＋7×80＝55.7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋2x ＋x 2－3x 3＋2x 4当x ＝－1时的值时,v 2的结果是( ) A ．－4 B ．－1 C ．5 D ．6答案 D解析 此题的n ＝4,a 4＝2,a 3＝－3,a 2＝1,a 1＝2,a 0＝1,由秦九韶算法的递推关系式⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k (k ＝1，2，…，n )，得v 1＝v 0x ＋a 3＝2×(－1)－3＝－5,v 2＝v 1x ＋a 2＝－5×(－1)＋1＝6,故选D. 8．已知一个k 进制的数132与十进制的数30相等,那么k 等于( ) A ．7或4 B ．－7 C ．4D ．－4答案 C解析132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2,∴k2＋3k＋2＝30,即k2＋3k－28＝0,解得k＝4或k＝－7(舍去)．9．下列四个数最大的是( )A．322(7)B．402(6)C．342(7)D．355(6)答案 C解析342(7)＝3×72＋4×7＋2＝177,402(6)＝4×62＋0×6＋2＝146.所以342(7)＞402(6)．而342(7)＞322(7),402(6)＞355(6),所以最大的数是342(7)．二、填空题10．若146(x)＝66,则x的值为________．答案 6解析146(x)＝1×x2＋4×x＋6×x0＝66.可得x＝6(负值舍去)．11．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3x3＋6x4－5x5＋x6当x＝－1时的值时,令v0＝a6,v1＝v0x＋a5,…,v6＝v5x＋a0,则v3的值是________．答案－15解析f(x)＝x6－5x5＋6x4－3x3＋1.8x2＋0.35x＋2＝(((((x－5)x＋6)x－3)x＋1.8)x＋0.35)x＋2,所以v0＝1,v1＝1×(－1)－5＝－6,v2＝(－6)×(－1)＋6＝12,v3＝12×(－1)－3＝－15.三、解答题12．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x6＋12x5＋8x4－3.5x3＋7.2x2＋5x－13当x＝6时的值,写出详细步骤．解∵f(x)＝(((((3x＋12)x＋8)x－3.5)x＋7.2)x＋5)x－13,v0＝3,v1＝v0×6＋12＝30,v2＝v1×6＋8＝188,v3＝v2×6－3.5＝1 124.5,v4＝v3×6＋7.2＝6 754.2,v5＝v4×6＋5＝40 530.2,v6＝v5×6－13＝243 168.2,∴f(6)＝243 168.2.13．十六进制数与十进制数的对应如表：十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C D E数十进制数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15例如：A＋B＝11＋12＝16＋7＝1×16＋7＝17(16),所以A＋B的值用十六进制表示就等于17(16)．试计算：A×B＋D＝________.(用十六进制表示)答案92(16)解析∵A×B＋D＝11×12＋14＝146,146＝9×16＋2,∴用十六进制表示146为92(16)．14．秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为( )A．9 B．18C．20 D．35答案 B解析初始值n＝3,x＝2,程序运行过程如下：v＝1i＝2 v＝1×2＋2＝4i＝1 v＝4×2＋1＝9i＝0 v＝9×2＋0＝18i＝－1 跳出循环,输出v＝18,故选B.。
高中数学 1.3 算法与案例 秦九韶算法文字素材 新人教A版必修3
算法案例中国数学名家－秦九韶秦九韶(1202～1261年)，字道古，南宋普州安岳(今四川省安岳县)人。
,有记载则说秦九韶自称鲁郡(现山东滋阳、曲阜一带)人，幼年时随父亲在四川巴州居住。
青少年时饱受战乱，成年后离开四川，在湖北、安徽、江苏、浙江、广东等地做官，任过县尉、通判、州守等职，死于梅州(今广东梅县)。
秦九韶的突出数学成就表现为四个方面：（1）“大衍求一术”。
即为一次同余式组解法。
西方解决同类问题的理论是高斯于1801年建立的，比秦九韶晚了554年。
他还把这种理论用于解决商功、利息、粟米、建筑等问题。
(2)线性方程组解法。
他在《数书九章》中解决了许多相当于线性方程组的问题，其中数字相当大，计算也很复杂。
他在“均货推本”题草中，井然有序地写出厂解题过程，这种解法与高斯消元法本质相当，但比高斯早约600年。
(3)高次方程数值解法。
他集秦汉以来“开方术”之大成，运用贾宪的“增乘开方法”，解决于数字高次方程有理数根和无理数根的近似值计算问题。
他所设计的演算程序被称为“秦九韶方法”。
西方同类问题的探究始于19世纪，他比意大利的鲁菲尼、英国的霍纳要早五、六百年。
(4)“三斜求积”。
他在《数书九章》中，依据分别为12、14、15的三边求出了相应的三角形面积，其方法具有一般性。
这与西方的海伦公式是等价的。
中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。
(完整版)高中数学例题：秦九韶算法
高中数学例题：秦九韶算法例4．利用秦九韶算法求2345()10.50.166630.041680.00835f x x x x x x =+++++在x=0.2时的值．写出详细计算过程．【思路点拨】秦九韶算法是我国南宋的数学家秦九韶首先提出来的．（1）特点：它通过一次式的反复计算，逐步计算高次多项式的求值问题，即将一个n 次多项式的求值问题，归结为重复计算n 个一次式1()i i a x a -+．即1210()((()))n n n f x a x a x a x a x a --=++++L L ．（2）具体方法如下：已知一个一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L 0．当x=x 0，我们可按顺序一项一项地计算，然后相加，求得0()f x ．【答案】1.2214024【解析】v 0=0.00835，v 1=v 0x+0.04168=0.00835×0.2+0.04168=0.043 35，v 2=v 1x+0.16663=0.04335×0.2+0.16663=0.1753，v 3=v 2x+0.5=0.1753×0.2+0.5=0.53506，v 4=v 3x+1=0.53506×0.2+1=1.107012，v 5=v 4x+1=1.107012×0.2+1=1.2214024．【总结升华】秦九韶算法的原理是01(1,2,3,,)n k k n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩L ．在运用秦九韶算法进行计算时，应注意每一步的运算结果，像这种一环扣一环的运算，如果错一步，则下一步，一直到最后一步就会全部算错．同学们在计算这种题时应格外小心．举一反三：【变式1】用秦九韶算法求多项式764=++++当x=2时f x x x x x()85321的值．【答案】1397【解析】765432=++⋅++⋅+⋅++=+++++++ ()85030021((((((85)0)3)0)0)2)1 f x x x x x x x x x x x x x x x ．v0=8，v1=8×2+5=21，v2=21×2 4-0=42，v3=42×2 4-3=87，v4=87×2+0=174，v5=174×2+0=348，v6=348×2+2=698，v7=698×2+1=1397，所以，当x=2时，多项式的值为1397．【变式2】用秦九韶算法计算多项式65432f x x x x x x x=++++++()654327在x=0.4时的值时，需做加法和乘法的次数和是（）A．10 B．9 C．12 D．8【答案】C【解析】()(((((65)4)3)2)1)7=++++++．f x x x x x x x∴加法6次，乘法6次，∴6+6=12（次），故选C．。
1.3 案例2 秦九韶算法
((an x an1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
当知道了x的值后该如何求多项式的值?
f ( x ) ((an x an1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多 项式的值，即
所以，当x = 2时，多项式的值等于-41.
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练习: 已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1 用秦九韶算法求这个多项式当 x= -2 时的值.
f(-2)= -1.
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秦九韶算法的程序框图：
开始 输入n, an, x的值 v=an
v 0 a n v k v k 1 x an k ( k 1,2, , n)
f (5)=55＋54＋53＋52＋5＋１ =5×(54＋53＋52＋5＋１)＋１
=5×(5×(53＋52＋5 ＋１)＋１ )＋１
=5×(5×( 5× (52＋5 ＋１)＋１ )＋１ )＋１
=5×(5×(5× (5 × (5 ＋１ ) ＋１ )＋１ )＋１ )＋１
两种算法中各用了几次乘法运算? 几次加法运算?
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 (an x n1 an1 x n 2 a1 ) x a0
(( an x n 2 an1 x n 3 a2 ) x a1 ) x a0
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v1 an x an1
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
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v 3 v 2 x an 3
v n v n 1 x a 0
132秦九韶算法
132秦九韶算法秦九韶算法，又称陈子算经，是中国古代的一种快速计算多项式值的算法。
秦九韶是南宋时期的数学家，他发明此算法是为了计算高次多项式的值，提高了计算速度，对于古代数学的发展起到了重要的推动作用。
秦九韶算法的核心思想是利用代数恒等式的性质，将一个多项式表达式转化为多个相同形式的和式，从而减少重复计算的次数。
具体实现上，秦九韶算法采用了一种类似于“二分”的分治策略，将多项式按照相同的幂次进行组合，然后再进行逐步的计算。
对于一个次数为n的多项式：f(x) = a0 + a1 * x + a2 * x^2 + ... + an * x^n利用秦九韶算法，可以将其转化为如下形式：f(x) = (a0 + (a1 + (a2 + ... + (an * x) * x) * x) * x...)其中，an通过不断的迭代乘法与加法运算得到最终的结果。
秦九韶算法的优点在于大大减少了重复计算的次数，通过上述的递归过程，每一次迭代都将多项式的次数减小1，节省了大量的时间和计算资源。
这使得秦九韶算法在计算高次多项式值时具有很高的效率。
除了计算多项式的值，秦九韶算法还可以用于多项式的乘法和除法运算。
在乘法运算中，可以利用类似的思路，将多项式拆分为多个相同形式的和式，分别计算后再进行累加得到最终结果。
在除法运算中，可以通过逆向运算，从高次项逐渐减小到低次项。
在实际应用中，秦九韶算法被广泛应用于科学计算、数据处理和图像处理等领域。
由于其高效的计算速度，能够大大提高计算的效率，尤其对于大规模数据的处理非常有效。
此外，秦九韶算法也被一些编程语言内置为库函数，方便开发者直接调用。
虽然秦九韶算法在计算多项式值时十分高效，但是需要注意的是，该算法对于多个不同的多项式，每次计算的系数都需要重新初始化。
此外，秦九韶算法对于一些特殊情况的处理可能会出现误差，例如除法运算中的除零错误，开发者需要在实际应用中进行适当的处理。
总之，秦九韶算法是中国古代的一种重要数学算法，通过利用代数恒等式的性质，将多项式转化为和式进行计算，大大减少了重复计算的次数，提高了计算效率。
算法案例二--秦九韶算法
作业：
1、课本 P48 A 组第 2 题。 2、用秦九韶算法计算 5 次多项式 f ( x) 2 x5 x4 10 x3 10x2 3x 1 ， 当 x 2 时的值。 3、用秦九韶算法计算多项式 f ( x) x6 12x5 60x4 160x3 240x2 192x 64 ， 当 x 2 时的值．
第二步： 计算 (an x an1 ) x an2 的值， 可以改写为 v1 x an 2 ， 将 v1 x an 2 的值赋给一个变量 v 2 ；
依次类推，即每一步的计算之后都赋予一个新值 vk ，即从最内层的括号到 最外层的括号的值依次赋予变量 v1 , v2 ,, vn .第 n 步所求值 vn vn1 x a0 即为所求多项式的值。
对该多项式按下面的方式进行改写：
f ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0 (an x n1 an1 x n2 a1 ) x a0 (( an x n2 an1 x n3 a2 ) x a1 ) x a0
n(n 1) 次乘法运算和 n 次加法运算,减少为 n 次 2
乘法运算和 n 次加法运算,大大提高了运算效率.
三、秦九韶算法应用：
例一、 已知一个 5 次多项式 f ( x) 5x 5 2x 4 3.5x 3 2.6x 2 1.7 x 0.8 ， 用秦九韶算法求这个多项式当 x 5 时的值。
10
变形后 x 的“系数” 2 5
25
21
105
108
540
534
2670
2677
思考：如何描述上述计算过程？
结论： 将变形前 x 的第 1 个系数乘以 x 的值， 加上变形前第 2 个系数，得到一个新的系数；将此系数继续乘以 x 的值，再 加上变形前第 3 个系数，又得到一个新的系数；继续对新系 数做上面的变换，直到与变形前最后一个系数相加，得到一 个新系数为止，这个系数即为所求的多项式的值。
算法案例(秦九韶算法)
算法的步骤和流程
01
02
03
04
2. 将 $a_{i+1}$ 加到 $v$ 中。 3. 将 $v$ 存储在变量 $P$ 中。
步骤3：返回 $P$ 作为多项 式的值。
通过以上步骤，秦九韶算法可以 在 $O(n)$ 的时间内计算出一元 多项式的值，其中 $n$ 是多项式 的次数。与直接使用常规的求值 方法相比，秦九韶算法可以显著 减少乘法的次数，从而提高计算
缺点
对大系数多项式不适用
秦九韶算法适用于系数和次数都很大的多项式，但如果多项式的 系数非常大，可能会导致数值溢出或下溢，影响计算精度。
需要额外的存储空间
秦九韶算法需要存储中间结果，如果多项式的次数很大，需要额外 的存储空间。
对某些特殊多项式不适用
秦九韶算法不适用于某些特殊的多项式，如常数、一次多项式等。
秦九韶算法的应用场景
数值分析
秦九韶算法在数值分析中广泛应用于求解多项式方程的根，以及进行 数值积分和微分等计算。
科学计算
在科学计算领域，秦九韶算法被用于计算物理、化学、工程等领域中 的多项式函数值，以及进行数据拟合和插值等操作。
计算机图形学
在计算机图形学中，秦九韶算法被用于计算光线追踪和纹理映射等算 法中的多项式函数值，以提高渲染效率和精度。
05
秦九韶算法的优缺点
优点
高效性
秦九韶算法是一种快速算法，可以在多项式 时间内完成计算，比直接计算更高效。
易于编程实现
秦九韶算法的步骤明确，易于编程实现，可 以方便地应用于计算机程序中。
数值稳定性
秦九韶算法在计算过程中可以减少舍入误差， 提高数值稳定性。
适用范围广
秦九韶算法适用于多项式的系数和次数都很 大的情况，具有较广的适用范围。
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高中数学例题：秦九韶算法
例4．利用秦九韶算法求2345()10.50.166630.041680.00835f x x x x x x =+++++在x=0.2时的值．写出详细计算过程．
【思路点拨】秦九韶算法是我国南宋的数学家秦九韶首先提出来的．
（1）特点：它通过一次式的反复计算，逐步计算高次多项式的求值问题，即将一个n 次多项式的求值问题，归结为重复计算n 个一次式1()i i a x a -+．即1210()((()))n n n f x a x a x a x a x a --=++++．
（2）具体方法如下：已知一个一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++0．当x=x 0，我们可按顺序一项一项地计算，然后相加，求得0()f x ．
【答案】1.2214024
【解析】
v 0=0.00835，
v 1=v 0x+0.04168=0.00835×0.2+0.04168=0.043 35，
v 2=v 1x+0.16663=0.04335×0.2+0.16663=0.1753，
v 3=v 2x+0.5=0.1753×0.2+0.5=0.53506，
v 4=v 3x+1=0.53506×0.2+1=1.107012，
v 5=v 4x+1=1.107012×0.2+1=1.2214024．
【总结升华】秦九韶算法的原理是
01(1,2,3,,)n
k k n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩．
在运用秦九韶算法进行计算时，应注意每一步的运算结果，像这
种一环扣一环的运算，如果错一步，则下一步，一直到最后一步就会
全部算错．同学们在计算这种题时应格外小心．
举一反三：
【变式1】用秦九韶算法求多项式764
=++++当x=2时
f x x x x x
()85321
的值．
【答案】1397
【解析】
765432
=++⋅++⋅+⋅++=+++++++ ()85030021((((((85)0)3)0)0)2)1 f x x x x x x x x x x x x x x x ．
v0=8，
v1=8×2+5=21，
v2=21×2 4-0=42，
v3=42×2 4-3=87，
v4=87×2+0=174，
v5=174×2+0=348，
v6=348×2+2=698，
v7=698×2+1=1397，
所以，当x=2时，多项式的值为1397．
【变式2】用秦九韶算法计算多项式65432
f x x x x x x x
=++++++
()654327
在x=0.4时的值时，需做加法和乘法的次数和是（）
A．10 B．9 C．12 D．8
【答案】C
【解析】()(((((65)4)3)2)1)7
=++++++．
f x x x x x x x
∴加法6次，乘法6次，
∴6+6=12（次），故选C．。