(完整版)高中数学例题：秦九韶算法
(完整版)高中数学例题：秦九韶算法
高中数学例题：秦九韶算法例4．利用秦九韶算法求2345()10.50.166630.041680.00835f x x x x x x =+++++在x=0.2时的值．写出详细计算过程．【思路点拨】秦九韶算法是我国南宋的数学家秦九韶首先提出来的．（1）特点：它通过一次式的反复计算，逐步计算高次多项式的求值问题，即将一个n 次多项式的求值问题，归结为重复计算n 个一次式1()i i a x a -+．即1210()((()))n n n f x a x a x a x a x a --=++++L L ．（2）具体方法如下：已知一个一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L 0．当x=x 0，我们可按顺序一项一项地计算，然后相加，求得0()f x ．【答案】1.2214024【解析】v 0=0.00835，v 1=v 0x+0.04168=0.00835×0.2+0.04168=0.043 35，v 2=v 1x+0.16663=0.04335×0.2+0.16663=0.1753，v 3=v 2x+0.5=0.1753×0.2+0.5=0.53506，v 4=v 3x+1=0.53506×0.2+1=1.107012，v 5=v 4x+1=1.107012×0.2+1=1.2214024．【总结升华】秦九韶算法的原理是01(1,2,3,,)n k k n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩L ．在运用秦九韶算法进行计算时，应注意每一步的运算结果，像这种一环扣一环的运算，如果错一步，则下一步，一直到最后一步就会全部算错．同学们在计算这种题时应格外小心．举一反三：【变式1】用秦九韶算法求多项式764=++++当x=2时f x x x x x()85321的值．【答案】1397【解析】765432=++⋅++⋅+⋅++=+++++++ ()85030021((((((85)0)3)0)0)2)1 f x x x x x x x x x x x x x x x ．v0=8，v1=8×2+5=21，v2=21×2 4-0=42，v3=42×2 4-3=87，v4=87×2+0=174，v5=174×2+0=348，v6=348×2+2=698，v7=698×2+1=1397，所以，当x=2时，多项式的值为1397．【变式2】用秦九韶算法计算多项式65432f x x x x x x x=++++++()654327在x=0.4时的值时，需做加法和乘法的次数和是（）A．10 B．9 C．12 D．8【答案】C【解析】()(((((65)4)3)2)1)7=++++++．f x x x x x x x∴加法6次，乘法6次，∴6+6=12（次），故选C．。
1.3 案例2 秦九韶算法
((an x an1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
当知道了x的值后该如何求多项式的值?
f ( x ) ((an x an1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多 项式的值，即
所以，当x = 2时，多项式的值等于-41.
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练习: 已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1 用秦九韶算法求这个多项式当 x= -2 时的值.
f(-2)= -1.
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秦九韶算法的程序框图：
开始 输入n, an, x的值 v=an
v 0 a n v k v k 1 x an k ( k 1,2, , n)
f (5)=55＋54＋53＋52＋5＋１ =5×(54＋53＋52＋5＋１)＋１
=5×(5×(53＋52＋5 ＋１)＋１ )＋１
=5×(5×( 5× (52＋5 ＋１)＋１ )＋１ )＋１
=5×(5×(5× (5 × (5 ＋１ ) ＋１ )＋１ )＋１ )＋１
两种算法中各用了几次乘法运算? 几次加法运算?
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 (an x n1 an1 x n 2 a1 ) x a0
(( an x n 2 an1 x n 3 a2 ) x a1 ) x a0
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v1 an x an1
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
高中数学备课组
v 3 v 2 x an 3
v n v n 1 x a 0
高中数学必修3公开课课件 1.3.2算法案例--秦九韶算法
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课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
新疆 王新敞
奎屯
王新敞 特级教师 源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
再统计一下计算当时的值时需要的计算次数，可 以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。显 然少了6次乘法运算。
这种算法就叫秦九韶算法。
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秦九韶算法
把一个多项式
f (x) an xn an1xn1 an2 xn2 a1x a0
改写为：
f (x) an xn an1xn1 an2 xn2 a1x a0 (an xn1 an1xn2 an2 xn3 a1)x a0 ((an xn2 an1xn3 a2 )x a1)x a0
·2007·
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案例2 秦九韶算法
2019年5月6日星期一
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问题提出
1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数 的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序 后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学 与现代信息技术的完美结合.
2.对于求n次多项式的值，在我国古代数学中 也有一个优秀算法，即秦九韶算法，本节对这个算 法作些了解和探究.
=……
( ((an x an1)x an2 )x a1) a0
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秦九韶算法
对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ an-2)x+…+a1)x+a0， 由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤：
第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v3=v2x+an-3.
1.3 算法案例2-秦九韶算法
2. 利用秦九韶算法求n次多项式f(x)的值的步骤:
先把n次多项式f(x)改写成如下形式: f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 再按照从内到外的顺序 , 依次计算一次多项 式的值, 即 v1=anx+an-1 ;
注意: 用秦九韶算法
计 算 n 次 多 项 式 f(x) 的 值时,一共需要n次乘法 运算和n次加法运算.
解: f(x)=((((0.83x+0.41)x+0.16)x+0.33)x+0.5)x+1
当x=5时, v1=0.83×5+0.41=4.56; v2=4.56×5+0.16=22.96; v3=22.96×5+0.33=115.13; v4=115.13×5+0.5=576.15; v5=576.15×5+1=2881.75. 所以, f(5)=2881.75.
作业: P48 A组 T2
思考2:阅读下列程序，说明它是解决什么的 问题算法？
INPUT “x=”；a n=0 y=0 WHLE n<5 y=y+(n+1)*a∧n n=n+1 WEND PRINT y END
求多项式f(x)=1+2x+3x2+4x3+5x5在x=a时的值.
当x=5时, v1=5×5+2=27； v2=27×5+3.5=138.5； v3=138.5×5-2.6=689.9； v4=689.9×5+1.7=3451.2； v5=3451.2×5-0.8=17255.2. 所以, f(5)=17255.2.
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算法案例二--秦九韶算法
作业：
1、课本 P48 A 组第 2 题。 2、用秦九韶算法计算 5 次多项式 f ( x) 2 x5 x4 10 x3 10x2 3x 1 ， 当 x 2 时的值。 3、用秦九韶算法计算多项式 f ( x) x6 12x5 60x4 160x3 240x2 192x 64 ， 当 x 2 时的值．
第二步： 计算 (an x an1 ) x an2 的值， 可以改写为 v1 x an 2 ， 将 v1 x an 2 的值赋给一个变量 v 2 ；
依次类推，即每一步的计算之后都赋予一个新值 vk ，即从最内层的括号到 最外层的括号的值依次赋予变量 v1 , v2 ,, vn .第 n 步所求值 vn vn1 x a0 即为所求多项式的值。
对该多项式按下面的方式进行改写：
f ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0 (an x n1 an1 x n2 a1 ) x a0 (( an x n2 an1 x n3 a2 ) x a1 ) x a0
n(n 1) 次乘法运算和 n 次加法运算,减少为 n 次 2
乘法运算和 n 次加法运算,大大提高了运算效率.
三、秦九韶算法应用：
例一、 已知一个 5 次多项式 f ( x) 5x 5 2x 4 3.5x 3 2.6x 2 1.7 x 0.8 ， 用秦九韶算法求这个多项式当 x 5 时的值。
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变形后 x 的“系数” 2 5
25
21
105
108
540
534
2670
2677
思考：如何描述上述计算过程？
结论： 将变形前 x 的第 1 个系数乘以 x 的值， 加上变形前第 2 个系数，得到一个新的系数；将此系数继续乘以 x 的值，再 加上变形前第 3 个系数，又得到一个新的系数；继续对新系 数做上面的变换，直到与变形前最后一个系数相加，得到一 个新系数为止，这个系数即为所求的多项式的值。
2020学年高中数学第一章算法初步1.3.2秦九韶算法练习(含解析)新人教A版必修3(最新整理)
第9课时秦九韶算法知识点一秦九韶算法的原理1．用秦九韶算法计算f(x）＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x当x＝x0时的值，需要加法(或减法）与乘法运算的次数分别为( ）A．5，4 B．5,5 C．4，4 D．4，5答案D解析n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法,缺一项就减少一次加法运算．f(x）中无常数项,故加法次数要减少一次,为5－1＝4．故选D．2．用秦九韶算法求多项式f（x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4在x＝－1时的值，v2的结果是( )A．－4 B．－1 C．5 D．6答案D解析n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1,由秦九韶算法的递推关系式得v0＝2，v1＝v0x＋a3＝－5,v2＝v1x＋a2＝6．3．用秦九韶算法求多项式f（x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时,先算的是( ）A．4×4＝16 B．7×4＝28C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34答案D解析因为f（x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝（…((a n x＋a n－1）x＋a n－2)x＋…＋a1)x ＋a0,所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时,先算的是7×4＋6＝34．4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x4－2x3＋3x2－7x－5，当x＝4时的值，给出如下数据．①0 ②2 ③11 ④37 ⑤143其中运算过程中(包括最终结果)会出现的数有________．(只填序号）答案②③④⑤解析将多项式改写成f（x）＝(（（x－2）x＋3)x－7）x－5．v＝1；v＝1×4－2＝2；1v＝2×4＋3＝11；2v＝11×4－7＝37；3v＝37×4－5＝143．4知识点二利用秦九韶算法计算多项式的值5．用秦九韶算法求多项式f（x）＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．解f(x)＝(((（(（7x＋6）x＋5)x＋4）x＋3)x＋2）x＋1）x,所以有v＝7；v＝7×3＋6＝27；1v＝27×3＋5＝86；2v＝86×3＋4＝262；3v＝262×3＋3＝789;4v＝789×3＋2＝2369;5v＝2369×3＋1＝7108；6v＝7108×3＝21324．7故当x＝3时，多项式f（x）＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21324．易错点利用秦九韶算法求含空项的n次多项式的值时易出现错误6．已知f（x）＝3x4＋2x2＋4x＋2，利用秦九韶算法求f(－2)的值．易错分析由于没有抓住秦九韶算法原理的关键,没有正确改写多项式并使每一次计算只含有x的一次项而致误．正解f（x)＝3x4＋0·x3＋2x2＋4x＋2＝（（（3x＋0)x＋2)x＋4)x＋2，v＝3×（－2)＋0＝－6；1v＝－6×(－2）＋2＝14；2v＝14×（－2)＋4＝－24；3v＝－24×（－2）＋2＝50．4故f（－2）＝50．一、选择题1．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋9x5＋5x4＋6x3＋12x2＋8x－7在x＝2时的值，需要做乘法和加法的次数分别是( )A．5,5 B．5，6 C．6，6 D．6，5答案C解析因为f(x）的最高次数是6，所以需要做乘法和加法的次数都是6．2．用秦九韶算法求多项式f(x）＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时，v4的值为（）A．－57 B．220 C．－845 D．3392答案B解析v0＝3,v1＝3×（－4)＋5＝－7，v＝－7×（－4）＋6＝34,2v＝34×（－4）＋79＝－57,3v＝－57×（－4）－8＝220．43．已知多项式f（x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－错误!，用秦九韶算法求f（－2)等于（）A．－错误! B．错误! C．错误! D．－错误!答案A解析∵f(x)＝（（（(4x＋3）x＋2)x－1）x－1）x－错误!,∴f(－2）＝（（（(4×(－2）＋3）×（－2)＋2)×(－2）－1)×（－2）－1)×（－2)－错误!＝－错误!．4．秦九韶算法的先进性主要体现在减少运算次数，下列说法正确的是( )A．可以减少加法运算次数B．可以减少乘法运算次数C．同时减少加法和乘法的运算次数D．加法次数和乘法次数都有可能减少答案B解析秦九韶算法可以把至多n n＋12次乘法运算减少为至多n次乘法运算．加法运算次数不变．5．用秦九韶算法计算函数y＝2x3－3x2＋2x－1在x＝2时的函数值，则下列各式正确的是（）A．v0＝2 B．v0＝1 C．v1＝4 D．v2＝7答案A解析根据秦九韶算法，把多项式改写成y＝(（2x－3）x＋2)x－1,从内到外依次计算:v0＝2，v1＝2×2－3＝1,v2＝1×2＋2＝4，v3＝4×2－1＝7．二、填空题6．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，用秦九韶算法计算x＝3时的值，v3的值为________．答案36解析v0＝1,v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36，…．7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝5x5＋3x3＋2x2＋10,当x＝3时f(x）的值为________．答案1324解析f（x)＝5x5＋0x4＋3x3＋2x2＋0x＋10＝(((（5x＋0）x＋3)x＋2)x＋0)x＋10＝(（(（5x）x＋3)x＋2）x）x＋10，当x＝3时，有v0＝5，v1＝5×3＝15，v2＝15×3＋3＝48，v3＝48×3＋2＝146，v4＝146×3＝438,v5＝438×3＋10＝1324，∴f(3)＝1324．8．用秦九韶算法求多项式f（x)＝1－5x－8x2＋10x3＋6x4＋12x5＋3x6当x＝－4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是________．答案62解析多项式变形为f(x)＝3x6＋12x5＋6x4＋10x3－8x2－5x＋1＝(（(((3x＋12）x＋6)x＋10）x－8)x－5）x＋1,v＝3，v＝3×（－4）＋12＝0,1v＝0×（－4）＋6＝6，2v＝6×(－4)＋10＝－14，3v＝－14×(－4）－8＝48，4∴v4最大，v3最小．∴v4－v3＝48－（－14)＝62．三、解答题9．利用秦九韶算法求多项式f（x)＝3x6＋12x5＋8x4－3．5x3＋7．2x2＋5x－13，当x＝6时的值，写出详细步骤．解f（x)＝((（（(3x＋12)x＋8)x－3．5)x＋7．2)x＋5)x－13，v＝3，v＝v0×6＋12＝30，1v＝v1×6＋8＝188，2v＝v2×6－3．5＝1124．5，3v＝v3×6＋7．2＝6754．2，4v＝v4×6＋5＝40530．2，5v＝v5×6－13＝243168．2．6f（6）＝243168．2．10．用秦九韶算法计算多项式f(x）＝5x7＋x6－x3＋x＋3当x＝－1时的值，并判断f(x)在区间[－1，0］内有没有零点．解∵f（x)＝5x7＋x6－x3＋x＋3＝((（(（(5x＋1)x＋0)x＋0）x－1)x＋0)x＋1)x＋3,∴当x＝－1时,v0＝5,v＝5×(－1）＋1＝－4，1v＝－4×（－1）＋0＝4，2v＝4×（－1）＋0＝－4,3v＝－4×(－1）－1＝3，4v＝3×(－1）＋0＝－3，5v＝－3×(－1)＋1＝4,6v＝4×(－1)＋3＝－1，7∴f（－1）＝－1．又f（0)＝3，∴f(0）·f(－1)<0，由零点存在定理，知f(x）在区间[－1,0]内有零点．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
高中数学_算法案例
算法案例知识图谱算法案例知识精讲一．更相减损术应用：求两个整数的最大公约数的算法更相减损术的步骤：1.任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数．若是，则用2约简；若不是则执行第二步．2.以两个数中较大的数减去较小的数，以差数和较小的数构成一对新的数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数为止，则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数．等值算法：用“更相减损术”设计出来的算法求最大公约数的算法称为“等值算法”，用等值算法可以求任意两个正整数的最大公约数．说明：《九章算法》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数．以具体的例子来说明更相减损术求最大公约数的原理：以求117和182的最大公约数为例：，，，，，，，，(117182)(11765)(6552)(5213)(1339)(1326)(1313)→→→→→→每次操作后得到的两个数与前两个数的最大公约数相同，而且逐渐减少，故总能得到相等的两个数，即为所求的最大公约数．二．辗转相除法又称欧几里得算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出来的求两个数的最大公约数的算法．辗转相除法的步骤：对于给定的两个数，以其中较大的数除以较小的数得到一个余数，将较小的数与余数看成一对新的数，重复上面的步骤，直到余数为零为止，此时上一步中较小的数即为所求的最大公约数．以求117和182的最大公约数为例：，，，，，,故13即为所求．→→→→(117182)(11765)(6552)(5213)(130)三．秦九韶算法—求多项式的值的算法应用：快速的求解对于任意一个n次的多项式在某点所取到的值.秦九韶算法：已知一个多项式函数，计算多项式在某点处的函数值的一种算法，是我国古代数学家秦九韶提出的，具体如下．对任意一个n 元多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，改写成如下形式：12110()()n n n n f x a x a x a x a ---=++++ 231210(())n n n n a x a x a x a x a ---=+++++ = 1210((()))n n n a x a x a x a x a --=+++++ ，求多项式的值时，先计算最内层括号内的一次多项式的值，即11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+， ，10n n v v x a -=+．这样，求一个n 次多项式的值，就转化为求n 个一次多项式的值．令1(1)(())k n n n k n k v a x a x a x a ----=++++ ，则递推公式为01n kk n k v a v v x a --=⎧⎨=+⎩，其中12k n = ，，，．到目前为止，此算法仍然是世界上多项式求值的最先进的算法．秦九韶算法与其它算法在计算量上面的比较：1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，1.直接求和法：先计算各个单项式的值，再把它们相加，乘法次数为(1)(1)212n n n n ++-+++= ，加法次数n ；2.逐项求和法：先计算x 的各项幂的值，再分别相乘，计算幂值需要乘法1n -次，将幂值与多项式系数k a 相乘需要乘法n 次，故共需要乘法21n -次，加法n 次．此方法对直接求和法有所改进，但仍然比秦九韶算法计算量大很多．3.秦九韶算法：计算量仅为乘法n 次，加法n 次．<备注>秦九韶算法是多项式求值的优秀算法，秦九韶算法的特点：（1）化高次多项式求值为一次多项式求值；（2）减少了运算次数，提高了效率；（3）步骤重复执行，容易用计算机实现．利用秦九韶算法计算多项式的值关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于后项计算用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．若在多项式中有几项不存在时，可将这些项的系数看成0，即把这些项看做0·x n ．三点剖析一．注意事项1.辗转相除法与更相减损术联系（1）都是求最大公约数的方法，计算上，辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上，辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数大小差距较大时，计算次数的区别比较明显；（2）从结果的体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为零而得到，而更相减损术则是以减数与差相等而得到；（3）辗转相除法与更相减损术是统一的，因为做一次除法与做若干次减法的效果相同.二．方法点拨1.两个整数的最大公约数是两个整数的公约数中最大的数，与此类似，两个整数的最小公倍数是两个整数的公倍数中最小的数.2.穷举法是将集合中的元素进行一一列举，逐个条件进行验证，知道找出满足条件的元素为止，穷举法可以解决所有问题看，但是一般来说常常可以用来解决一些无规律可循的问题，例如求不定方程的解或者不定方程组的解，运用穷举法思想设计算法时，常常采用循环结构，将验证条件为循环结构的判断条件，将每一个元素作为循环体.求两个正整数的最大公约数例题1、8251与6105的最大公约数是____．例题2、用更相减损来求80和36的最大公约数？例题3、用更相减损术求294与84的最大公约数．随练1、两个数153和119的最大公约数是______________．随练2、用更相减损术求294与84的最大公约数．随练3、有甲、乙、丙三种溶液分别重147g、343g、133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？秦九韶算法例题1、用秦九韶算法求多项式f（x）=x4+2x3+x2-3x-1，当x=2时的值，则v3=______例题2、使用秦九韶算法计算x=2时f（x）=6x6+4x5-2x4+5x3-7x2-2x+5的值，所要进行的乘法和加法的次数分别为________随练1、用秦九韶算法求多项式f（x）=1+2x+x2-3x3+2x4在x=-1时的值，v2的结果是______随练2、用秦九韶算法计算多项式f（x）=5x5+4x4+3x3-2x2-x-1在x=-4时的值时，需要进行的乘法、加法的次数分别是_______拓展1、用更相减损术求78和36的最大公约数_________．2、三个数208，351，429的最大公约数是（）A.65B.91C.26D.133、用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A.3B.9C.17D.514、用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=-4的值时，其中V1的值=_______5、用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是。
秦九韶算法
秦九韶算法学习目标：理解秦九韶算法与进位制的含义和运算．知识梳理：1．秦九韶计算多项式的方法f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋a n －2x n －2＋…＋a 1x ＋a 0＝(a n x n －1＋a n －1x n －2＋a n －2x n －3＋…＋a 1)x ＋a 0＝((a n xn －2＋a n －1x n －3＋…＋a 2)x ＋a 1)x ＋a 0＝… ＝(…((a n x ＋a n －1)x ＋a n －2)x ＋…＋a 1)x ＋a 0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即11-+=n n a x v v然后由内向外逐层计算一次多项式的值.01a x v v n n +=-例1.已知一个3次多项式为1)(23-+-=x x x x f ，用秦九韶算法求这个多项式当x ＝2时的值．练习：用秦九韶算法计算多项式641922401606012)(23456+-+-+-=x x x x x x x f 当2=x 时的值.变式：上题中若去掉)(x f 表达式中的2240x 这一项，会有哪些变化？课堂练习：1.用秦九韶算法计算多项式1876543)(23456++++++=x x x x x x x f 当4.0=x 时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是 （ ）A.6,6B.5,6C.5,5D.6,52.用秦九韶算法计算x x x x x x x x f ++++++=234567234567)(当2=x 时的值.3.用秦九韶算法求1432)(2367+-+-=x x x x x f 当2=x 时的函数值.小结：秦九韶算法的优点是能大量减少计算量，对相应的程序框图不作具体要求。
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高中数学例题：秦九韶算法
例4．利用秦九韶算法求2345()10.50.166630.041680.00835f x x x x x x =+++++在x=0.2时的值．写出详细计算过程．
【思路点拨】秦九韶算法是我国南宋的数学家秦九韶首先提出来的．
（1）特点：它通过一次式的反复计算，逐步计算高次多项式的求值问题，即将一个n 次多项式的求值问题，归结为重复计算n 个一次式1()i i a x a -+．即1210()((()))n n n f x a x a x a x a x a --=++++．
（2）具体方法如下：已知一个一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++0．当x=x 0，我们可按顺序一项一项地计算，然后相加，求得0()f x ．
【答案】1.2214024
【解析】
v 0=0.00835，
v 1=v 0x+0.04168=0.00835×0.2+0.04168=0.043 35，
v 2=v 1x+0.16663=0.04335×0.2+0.16663=0.1753，
v 3=v 2x+0.5=0.1753×0.2+0.5=0.53506，
v 4=v 3x+1=0.53506×0.2+1=1.107012，
v 5=v 4x+1=1.107012×0.2+1=1.2214024．
【总结升华】秦九韶算法的原理是
01(1,2,3,,)n
k k n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩．
在运用秦九韶算法进行计算时，应注意每一步的运算结果，像这
种一环扣一环的运算，如果错一步，则下一步，一直到最后一步就会
全部算错．同学们在计算这种题时应格外小心．
举一反三：
【变式1】用秦九韶算法求多项式764
=++++当x=2时
f x x x x x
()85321
的值．
【答案】1397
【解析】
765432
=++⋅++⋅+⋅++=+++++++ ()85030021((((((85)0)3)0)0)2)1 f x x x x x x x x x x x x x x x ．
v0=8，
v1=8×2+5=21，
v2=21×2 4-0=42，
v3=42×2 4-3=87，
v4=87×2+0=174，
v5=174×2+0=348，
v6=348×2+2=698，
v7=698×2+1=1397，
所以，当x=2时，多项式的值为1397．
【变式2】用秦九韶算法计算多项式65432
f x x x x x x x
=++++++
()654327
在x=0.4时的值时，需做加法和乘法的次数和是（）
A．10 B．9 C．12 D．8
【答案】C
【解析】()(((((65)4)3)2)1)7
=++++++．
f x x x x x x x
∴加法6次，乘法6次，
∴6+6=12（次），故选C．。