中考数学模拟题汇总《锐角三角函数》专项练习(附答案解析)

中考数学模拟题汇总《锐角三角函数》专项练习(附答案解析)一、综合题1．如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交⊙O于E，D为BE延长线上一点，且∠DAE＝∠FAE.（1）求证：AD为⊙O切线；（2）若sin∠BAC＝3，求tan∠AFO的值.52．如图，一个正方体木箱沿斜面下滑，正方体木箱的边长BE为2m，斜面AB的坡角为∠BAC，且tan∠．BAC= 34（1）当木箱滑到如图所示的位置时，AB=3m，求此时点B离开地面AC的距离；（2）当点E离开地面AC的距离是3.1m时，求AB的长．3．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．（1）当AE＝8时，求EF的长；（2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．①求y与x的函数关系式；②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．⌢的中点．4．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆O与边AC，BC的交点分别为点 E，点 D，且D是BE（1）若∠A＝80°，求∠DBE的度数．（2）求证：AB＝AC．（3）若⊙O 的半径为5cm，BC＝12cm，求线段BE的长．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DAM和△BCE相似，求点M坐标．6．如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC⊥OF于点C，MC=4．在射线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD⊥OF于点D．（1）当AC的长度为多少时，△AMC和△BOD相似；（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断△AOB的形状，并说明理由；（3）连结BC．当S△AMC=S△BOC时，求AC的长．7．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点(不与A重合)，连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM，射线AE于点F，D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，(1)中的结论是否发生变化?如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；，其他条件不变，求线段（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD= √6+√22AM的长．8．（1）【基础巩固】如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG．（2）【尝试应用】如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求DE的值．BC（3）【拓展提高】如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC 于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．9．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△DBE．（1）当旋转成如图①，点E在线段CA的延长线上时，则∠CED的度数是度；（2）当旋转成如图②，连接AD、CE，若△ABD的面积为4，求△CBE的面积；（3）点M为线段AB的中点，点P是线段AC上一动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点P′，连接MP′，如图③，直接写出线段MP′长度的最大值和最小值．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别从点B，D同时出发沿AB延长线和射线DA以相同的速度运动，连结EF，交射线DB于点G.连结CG.（1）当BE＝2时，求BD，EG的长.的值是否会变化？若不变，求（2）当点F在线段AD上时，记∠DCG为∠1，∠AFE为∠2，那么tan∠1tan∠2出该比值；若变化，请说明理由.（3）在整个运动过程中，当△DCG为等腰三角形时，求BE长.11．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C＝．（2）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3．求对角线AC的长．（3）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣√3），点D在y轴上，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A、D，且当﹣2≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+c取最大值为3，求二次项系数a的值．⌢的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，12．如图，已知BC为⊙O的直径，点D为CE交CE于点F．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．13．已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，（1）如图1，求证：PQ＝PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB＝30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE＝3 √3，求∠C 的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD＝6 √3，连接QC交BC于点M，求QM的长．14．定义：一边上的中线与另一边的夹角为30°的三角形称作美妙三角形。

如图1，△ABC中，AD为中线，若∠DAC=30°，则△ABC为美妙三角形。

（1）下列三角形中，不是美妙三角形的是（）A．B．C．D．（2）如图2，锐角△ABC是美妙三角形，AD为中线，∠DAC=30°，BE为高。

求证：AD=BE；（3）如图3，在（2）的条件下，设AD与BE相交于点N，作△ADC的外接圆⊙O，BA刚好是⊙O的切线，求△ABN与△ABC的面积之比。

15．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与点C和点A重合），连接PB，过点P作PF⊥PB交射线DA于点F，连接BF. 已知AD=3 √3，CD=3，设CP的长为x，（1）线段PB的最小值，当x=1时，∠FBP=；（2）如图，当动点P运动到AC的中点时，AP与BF的交点为G，FP的中点为H，求线段GH 的长度；（3）当点P在运动的过程中，①试探究∠FBP是否会发生变化？若不改变，请求出∠FBP大小；若改变，请说明理由；②当x为何值时，ΔAFP是等腰三角形？16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线BC上一点，作直线AD，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，连接CE．（1）当点D在如图1的位置时，请直接写出线段EA、EB、EC之间的数量关系；（2）当点D在如图2的位置时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出你的结论并说明理由；（3）当点E是线段AD中点时，请直接写出tan∠ADC的值．参考答案与解析1．【答案】（1）证明：∵BE 平分∠ABC ， ∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∠3＝∠4， ∴∠4＝∠2， ∵AB 为直径， ∴∠AEB ＝90°， ∵∠2+∠BAE ＝90°∴∠4+∠BAE ＝90°，即∠BAD ＝90°， ∴AD ⊥AB ， ∴AD 为⊙O 切线； （2）解：∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 中，∵sin ∠BAC ＝ BCAB =35 ， ∴设BC ＝3k ，AC ＝4k ，则AB ＝5k. 连接OE 交OE 于点G ，如图，∵∠1＝∠2， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OE ⊥AC ，∴OE ∥BC ，AG ＝CG ＝2k ， ∴OG ＝ 12 BC ＝ 32 k ， ∴EG ＝OE ﹣OG ＝k ， ∵EG ∥CB ， ∴△EFG ∽△BFC ， ∴FG CF =EG BC =k 3k =13 ，∴FG ＝ 14 CG ＝ 12 k ，在Rt △OGF 中，tan ∠GFO ＝ OGFG =32k 12k =3 ，即tan ∠AFO ＝3.2．【答案】（1）解：过点B 作 BD ⊥AC 交AC 于点D.∵BD ⊥AC ∴∠BDA =90° ∵tan ∠BAC =34∴BD AD =34∵AB =3m ∴BD =AB ⋅sin ∠BAD =3×35=1.8m 答：点B 离开地面的距离为 1.8 m.（2）解：过E 作 EF ⊥AC 交AC 、AB 于点F 、G.∵∠EFA =∠EBG =90°,∠AGF =∠EGB ，∴∠GAF =∠GEB ，∴tan ∠GEB =GB EB =34. ∵EB =2,∴BG =BE ⋅tan ∠GEB =2×34=1.5.∴EG =2.5. ∵EF =3.1，∴FG =EF −EG =0.6.∴AG =FG sin ∠BAC=0.60.6=1，AB =1+1.5=2.5m. 答：AB 的长为2.5m.3．【答案】（1）解：在Rt △ABC 中，∵AB ＝12，∠A ＝30°， ∴BC ＝ 12 AB ＝6，AC ＝ √3 BC ＝6 √3 ， ∵四边形EFPQ 是矩形， ∴EF ∥BC ， ∴EF BC ＝ AEAB ， ∴EF 6 ＝ 812 ， ∴EF ＝4（2）解：①∵AB ＝12，AE ＝x ，点E 与点A 、点B 均不重合， ∴0＜x ＜12，∵四边形CDEF 是矩形， ∴EF ∥BC ，∠CFE ＝90°， ∴∠AFE ＝90°，在Rt △AFE 中，∠A ＝30°， ∴EF ＝ 12 x ，AF ＝cos30°•AE ＝ √32 x ，在Rt △ACB 中，AB ＝12， ∴cos30°＝ ACAB ， ∴AC ＝12× √32 ＝6 √3 ，∴FC ＝AC ﹣AF ＝6 √3 ﹣ √32x ，∴S ＝FC •EF ＝ 12 x （6 √3 ﹣ √32 x ）＝﹣ √34x 2+3 √3 x （0＜x ＜12）；②S ＝ √34x （12﹣x ）＝﹣ √34（x ﹣6）2+9 √3 ，当x ＝6时，S 有最大值为9 √3（3）解：①当0≤t ＜3时，如图1中，重叠部分是五边形MFPQN ，S ＝S 矩形EFPQ ﹣S △EMN ＝9 √3 ﹣ √32t 2＝﹣ √32t 2+9 √3 ．②当3≤t ≤6时，重叠部分是△PBN ，S ＝ √32（6﹣t ）2，综上所述，S ＝ {−√32t 2+9√3(0≤t <3)√32(t −6)2(3<t ≤6)4．【答案】（1）解：连接OD ，交BE 于点H ，连接ED ，∵D 是 BE⌢ 的中点， ∴DE⌢=DB ⌢ ， OD ⊥BE ，BH =EH ∴DE =DB ，∠DEB =∠DBE ∵AB 为直径，则∠ AEB =90° ∴∠BEC =90°∴∠CBE +∠BCE =90° ， ∠BED +∠CED =90° ∴∠CBE +∠CED =90°∴∠C=∠CED∴DC=DE∴DC=DB∵OA=OB∴OD是△ABC的中位线，∴OD // AC∴∠DOB=∠CAB，∠ODB=∠C∵∠CAB=80°，则∠DOB=80°∴∠ODB=∠OBD=12(180°−80°)=50°又∠OBE=90°−80°=10°，则∠DBE=∠OBD−∠OBE=50°−10°=40°（2）证明：由（1）得OD是△ABC的中位线，∴OD=12AC=12AB∴AB=AC（3）解：连接AC，∵AB=AC∴△ABC为等腰三角形∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC∵BC=12cm∴CD=BD=12BC=6cm又AC=2OD=10cm由勾股定理得，AD=√AC2−CD2=√102−62=8cm∴sinC=ADAC =810=45∴sin∠ODB=sin∠C=45∴BHBD =45∴BH=45BD=245∴BE =2BH =485cm.5．【答案】（1）解：∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点B （3，0），C （0，3）， ∴{−9+3b +c =0c =3 ，解得 {b =−2c =3 ，∴抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3， ∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4， ∴顶点D 的坐标为（1，4）（2）解：抛物线的对称轴为直线x=1， ∵点C 与E 点为抛物线上的对称点， ∴E （2，3），作EH ⊥BC 于H ，如图1，∵OC=OB ，∴△OBC 为等腰直角三角形， ∴∠OCB=45°，BC= √2 OB=3 √2 ， ∴∠ECB=45°，∴△CHE 为等腰直角三角形， ∴CH=EH= √22 CE= √2 ， ∴BH=BC ﹣CH=2 √2 ，在Rt △BEH 中，tan ∠EBH= HEBH = √22√2= 12 ， 即tan ∠CBE 的值为 12 ；（3）解：直线x=﹣1交x 轴于F ，如图2，当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0）∵A（﹣1，0），D（1，4），∴AF=2，DF=4，∴tan∠ADF= AFDF = 12，而tan∠CBE= 12，∴∠CBE=∠ADF，AD= √22+42 =2 √5，BE= √(3−2)2+32 = √10，BC=3 √2，当点M在点D的下方时，设M（1，m），当DMBE = DABC时，△DAM∽△BCE，即√10 = √53√2，解得m= 23，此时M点的坐标为（1，23）；当DMBC = DABE时，△DAM∽△BEC，即3√2 = √5√10，解得m=﹣2，此时M点的坐标为（1，﹣2）；当点M在D点上方时，则∠ADM与∠CBE互补，则△DAM和△BCE不相似，综上所述，满足条件的点M坐标为（1，23），（1，﹣2）6．【答案】（1）解：∵∠MCA=∠BDO=Rt∠，∴△AMC和△BOD中，C与D是对应点，∴△AMC和△BOD相似时分两种情况：①当△AMC∽△BOD时，ACMC =BDDO=tan∠EOF=2，∵MC=4，∴AC4=2，解得AC=8；②当△AMC∽△OBD时，ACMC =BDDO=tan∠EOF=2，∵MC=4，∴4AC=2，解得AC=2．故当AC的长度为2或8时，△AMC和△BOD相似（2）解：△ABO为直角三角形．理由如下：∵MC∥BD，∴△AMC∽△ABD，∴MCBD =AMAB=ACAD，∠AMC=∠ABD，∵M为AB中点，∴C为AD中点，BD=2MC=8．∵tan∠EOF=2，∴OD=4，∴CD=OC﹣OD=8，∴AC=CD=8．在△AMC与△BOD中，{AC=BD=8∠ACM=∠BDO=90∘CM=DO=4，∴△AMC≌△BOD（SAS），∴∠CAM=∠DBO，∴∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM=90°，∴△ABO为直角三角形（3）解：连结BC，设OD=a，则BD=2a．∵S△AMC=S△BOC，S△AMC= 12AC MC=2AC，S△BOC = 12OC BD=12a，∴2AC=12a，∴AC=6a．∵△AMC∽△ABD，∴MCBD =ACAD，即42a=6a6a+12−a，解得a1=3，a2=﹣43（舍去），∴AC=6×3=18．7．【答案】（1）解：∠B=90°，∠MCN=90°，∠ACM=∠BCN，在△MAC和△NBC中，{AC=BC∠ACM=∠BCN MC=NC△MAC≌△NBC，∠NBC＝∠MAC=90°，又∠ACB=90°，∠EAC=90°，∠NDE=90°（2）解：不变，在△MAC和△NBC中，{AC=BC∠ACM=∠BCN MC=NC△MAC≌△NBC，∠N＝∠AMC，又∠MFD＝∠NFC，∠MDF＝∠FCN＝90°，即∠NDE＝90°；（3）解：如图4，作GK⊥BC于K，∠EAC=15°，∠BAD＝30°．∠ACM＝60°，∠GCB＝30°，∠AGC＝∠ABC+∠GCB=75°,∠AMG＝75°，AM=AG，△MAC≌△NBC，∠MAC＝∠NBC，∠BDA=∠BCA=90°,BD= √6+√22，AB= √6+√2AC=BC= √3 +1，设BK=a，则GK=a，CK= √3 a，a+ √3 a= √3 +1，a=1，KB=KG=1，BG= √2，AG= √6 ,AM= √6．8．【答案】（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF．∴DGBF =AGAF，EGCF=AGAF∴DGBF =EGCF∵BF=CF，∴DG= EG．（2）解：由(1)得DG=EG，∵CG⊥DE，∴CE=CD=6．∵AE=3，∴AC=AE+CE=9．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴DEBC =AEAC=13（3）解：如图，延长GE交AB于点M，连结FM，作MN⊥BC，垂足为N．在▱ABCD中，BO=DO，∠ABC=∠ADC=45°．∵EG∥BD，∴由(1)得ME=GE，∵EF⊥EG，∴FM=FG=10，∴∠EFM=∠EFG．∵∠EGF=40°，∴∠EFG=50°．∵FG平分∠EFC，∴∠EFG=∠CFG=50°，∴∠BFM= 180°-∠EFM-∠EFG-∠CFG=30°．∴在Rt△FMN中，MN=FMsin30°=5，FN=FMcos30°=5 √3，∵∠MBN=45°，MN⊥BN，∴BN= MN=5，∴BF=BN+FN=5+ 5√3．9．【答案】（1）90（2）解：∵△ABC≌△DBE，∴BA=BD，BC=BE，∠ABC=∠DBE，∴BABC =BDBE．∵∠ABD=∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴S△ABDS△CBE=（ABBC）2= 1625．∵S△ABD=4，∴S△CBE= 254（3）解：∵M是AB的中点，∴BM= 12AB=2．如图③，过点B作BF⊥AC，F为垂足．∵△ABC为锐角三角形，∴点F在线段AC上．在Rt△BCF中，BF=BC×sin45°= 5√22，以B为圆心，BF为半径画圆交AB于G，BP'有最小值BG，∴MP'的最小值为MG=BG﹣BM= 5√22﹣2，以B为圆心，BC为半径画圆交AB的延长线于H，BP'有最大值BH．此时MP'的最大值为BM+BH=2+5=7，∴线段MP'的最大值为7，最小值为5√22﹣2．10．【答案】（1）解：过点F作FN∥AB交BD于点N，如图1，∴△EBG ∽△FNG ，△DNF ∽△DBA ∴DFDA =NFBA ,∵矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6， ∴∠BAD ＝90°，AD ＝BC ＝6 ∴BD ＝ √AB 2+AD 2=10 ， DF6=NF 8∴DFNF =34 , ∵BE ＝2，DF ＝BE∴AE ＝AB+BE ＝8+2＝10，AF ＝AD ﹣DF ＝6﹣2＝4 ∴EF ＝ √AE 2+AF 2=√102+42=2√29 ∵△EBG ∽△FNG ∴EGFG =BENF =DFNF =34 , ∴EG ＝ 37 EF ＝ 6√297（2）解：tan ∠1tan ∠2的值不变.过点G 作GP ⊥AD 于点D ，GQ ⊥CD 与点Q ，如图2，∴四边形PDQG 是矩形 ∴PG ＝DQ ，DP ＝QG设DF ＝BE ＝a ，则AF ＝6﹣a ，AE ＝a+8 ∵GP ∥AE ∴△PGF ∽△AEF由（1）得EG ＝ 37 EF ，即 FGFE =47∴PF AF =PG AE =FG FE =47∴PF ＝ 47 AF ＝ 47 （6﹣a ），PG ＝ 47 AE ＝ 47 （a+8） ∴CQ ＝CD ﹣DQ ＝CD ﹣PG ＝8﹣ 47 （a+8）＝ 247−47a ， QG ＝DP ＝DF+PF ＝a+ 47 （6﹣a ）＝ 247+37a , ∴tan ∠1＝ QGCQ =247+37a 247−47a =24+3a 24−4a=34⋅8+a6−a，tan ∠2＝ PGPF =47（a+8）47（6﹣a ）=8+a 6−a，∴tan ∠1tan ∠2=34为定值.（3）解：①若DG ＝DC ＝8，如图3，过点G 作GM ∥AD 交AB 于点M∴BG ＝BD ﹣DG ＝2， BM BA =GM DA =BG BD =15∴BM ＝ 15 BA ＝ 85 ，GM ＝ 15 DA ＝ 65 设BE ＝x ，则AE ＝8+x ，EM ＝BE+BM ＝x+ 85 ∵GM ∥AF ∴EM EA =EG EF =37 ∴x+858+x =37解得：x ＝ 165②若CG ＝CD ＝8，如图4，过点G 作GM ⊥AE 于点M ，过点C 作CN ⊥BD 于点N ∵DN ＝ 45 DC ＝ 325∴DG ＝2DN ＝ 645∴BG ＝DG ﹣BD ＝ 645−10=145设BE ＝DF ＝x ，则AF ＝DF ﹣AD ＝x ﹣6 ∵GM ∥AF ∴GMAF =EGEF =37 又∵BGGM =53∴BG ＝ 53 GM ＝ 53⋅37 AF ＝ 57 （x ﹣6） ∴57 （x ﹣6）＝ 145 解得：x ＝ 24825③若CG ＝DG ，设EF 与BC 交于点R ∴BG ＝DG ＝CG∴△BGR ≌△DGF （AAS ） ∴BR ＝DF ＝BE ，不成立 ∴CG 不能与DG 相等综上所述，当BE ＝ 165 或时，△DCG 为等腰三角形 11．【答案】（1）115°（2）解：①如图1，∠B ＝∠D ＝90°时，延长AD ，BC 交于点E ，∵∠DAB ＝60°， ∴∠E ＝30°， 又∵AB ＝4，AD ＝3∴BE ＝4 √3 ，AE ＝8，DE ＝5， ∴CE =DE cos30°=5cos30°=10√33 ， ∴BC ＝BE ﹣CE ＝4 √3 ﹣ 10√33=2√33，∴AC =√AB 2+BC 2 ＝ √42+(2√33)2 ＝2√393， ②如图，∠A ＝∠C ＝60°时，过D 分别作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于点F ，∵∠DAB ＝∠BCD ＝60°， 又∵AB ＝4，AD ＝3， ∴AE =32 ，DE ＝BF ＝ 3√32， ∴BE =DF =52 ，∴CF =DF ⋅tan30°=52×√33=5√36，∴BC ＝CF+BF ＝5√36+3√32=7√33，∴AC =(7√33)＝ √2913 ，综合以上可得AC 的长为2√393 或 √2913． （3）解：∵A （﹣2，0）、C （2，0）、B （﹣1，﹣ √3 ）， ∴AB ＝2，BC ＝2 √3 ，AC ＝4， ∴AB 2+BC 2＝AC 2， ∴∠ABC ＝90°， ∵AD ＝CD ，AB ≠BC ， ∴∠BAD ≠∠BCD ，∵四边形ABCD 是“等对角四边形” ∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°， ∴D （0，2）∵抛物线y ＝ax 2+bx+c 过点A （﹣2，0）、D （0，2）， ∴{4a −2b +c =0c =2 ，解得：c ＝2，b ＝2a+1，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+（2a+1）x+2，若x ＝2时，函数y ＝ax 2+（2a+1）x+2取得最大值为3， ∴4a+4a+2+2＝3， ∴a ＝﹣ 18 ，此时抛物线的对称轴为x ＝3， ∴a =−18 满足题意，若二次函数y ＝ax 2+（2a+1）x+2在顶点取得最大值3，则有：8a−(2a+1)24a=3 ，解得：a ＝﹣1+ √32或a ＝﹣1﹣ √32，当a ＝﹣1+ √32时，对称轴在直线x ＝2的右侧，不合题意，舍去，∴a =−1−√32，综合以上可得a＝﹣18或﹣1﹣√32．12．【答案】（1）证明：如图，连接OD，BE，∵点D为CE⌢的中点，∴CD⌢=ED⌢，∴OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠CBD，∴∠ODB＝∠EBD，∴OD//BE，∵BC为⊙O的直径，∴∠CEB＝90°，∴CE⊥BE，∵AD//CE，OD⊥CE，∴AD⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：∵DG//CE，∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，∵tan∠GDB＝2，∴tan∠BFE＝2，在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝BFEF，∴BE＝6，∵EF＝3，CF＝5，∴CE＝EF+CF＝8，∴BC＝√CE2+BE2=10，∴OD＝OC＝5，在Rt△BCE中，sin∠ECB＝BEBC =610=35，∴sinA＝sin∠ECB＝35，在Rt△AOD中，sinA＝ODOA =35，OD＝5，∴OA＝253，∴AC＝OA﹣OC＝103．13．【答案】（1）证明：如下图1，连接OP，PB，∵CP切⊙O于P，∴OP⊥CP于点P，又∵BQ⊥CP于点Q，∴OP∥BQ，∴∠OPB=∠QBP，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∴∠QBP=∠OBP，又∵PE⊥AB于点E，∴PQ=PE；（2）解：如下图2，连接OP，∵CP切⊙O于P，∴∠OPC=∠OPQ=90°∴∠C+∠COP=90°∵PD⊥AB∴∠PEO=∠AEF=∠BEF=90°∴∠EPO+∠COP=90°∴∠C=∠EPO在Rt ΔFEA中,∠GAB=30°∴设EF=x，则AE=EF÷tan30°=√3x 在Rt ΔFEB中,tan∠BFE=3 √3∴BE=EF·tan∠BFE=3√3x∴AB=AE+BE=4√3x∴AO=PO=2√3x∴EO=AO−AE=√3x∴在Rt Δ PEO中, sin∠EPO=EOPO =12∴∠C=∠EPO= 30°（3）解：如下图3，连接BG，过点O作OK⊥HB于K，又BQ⊥CP，∴∠OPQ=∠Q=∠OKQ=90°，∴四边形POKQ为矩形，∴QK=PO,OK//CQ，∴∠C=∠KOB= 30°，∵⊙O 中PD⊥AB于E ，PD=6 √3，AB为⊙O的直径，∴PE= 12PD= 3 √3，根据(2)得∠EPO=30°，在Rt Δ EPO中，cos∠EPO=PEPO，∴PO=PE÷cos∠EPO=3√3÷cos30°=6，∴OB=QK=PO=6，∴在Rt ΔKOB中，sin∠KOB=KBOB，∴KB=OB⋅sin300=6×12=3，∴QB=9，在△ABG中，AB为⊙O的直径，∴∠ AGB=90°，∵∠ BAG=30°，∴BG=6，∠ ABG=60°，过点G作GN⊥QB交QB的延长线于点N，则∠N=90°，∠GBN=180°-∠CBQ-∠ABG=60°，∴BN=BQ·cos∠GBQ=3，GN=BQ·sin∠GBQ= 3√3，∴QN=QB+BN=12，∴在Rt△QGN中，QG= √122+(3√3)2=3√19，∵∠ABG=∠CBQ=60°，∴BM是△BQG的角平分线，∴QM：GM=QB：GB=9：6，∴QM= 915×3√19=9√195.14．【答案】（1）C（2）解：过点D作DF⊥AC于点F,∴∠AFD=90°∵∠DAC=30°，∴AD=2DF，∵AD为中线∴BC=2CD∵BE⊥AC∴BE∥DF∴CDBC =DFBE=12∴BE=2DF∴BE=AD.（3）解：作直径AE，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F,∴∠ADE=90°∴∠AED+∠DAE=90°∵AB是切线∴BA⊥AE，∴∠BAD+∠DAE=90°∴∠AED=∠BAD∵弧AD=弧AD，∴∠AED=∠BCA∴∠BAD=∠BCA∵∠ABD=∠CBA ∴△ABD∽△CBA∴ABBC =BDAB=ADAC∴AB2=BD·BC=2BD2∴AB=√2BD，∵AD=BEAC=√2AD=√2BE，∵BE=2DF，CF=EF设DF=x，则BE=AD=2x，AF=√3x ∴AC=2√2x，∴CF=EF=AC-AF=(2√2−√3)x∴AE=AF-EF=2(√3−√2)x，∵NE∥DF∴△ANE∽△ADF∴ANAD =AEAF即ANAD=√3−√2)x√3x=6−2√63∴S△ABNS△ABD =ANAD=6−2√63∵S△ABD=12S△ABC∴S△ABN12S△ABC=6−2√63∴S△ABNS△ABC =3−√63.答：△ABN与△ABC的面积之比为3−√63.15．【答案】（1）3√32；30°（2）解：∵P为AC中点，∴AP=PC=AB=3，∴∠ABP=∠APB=∠BAP=60°，在Rt △ABF 和Rt △PBF 中，AB=BP ，BF=BF ， ∴Rt △ABF ≌Rt △PBF ， ∴AG=PG ，∠AGB=∠PGB=90°， ∴BF 垂直平分AP ，在Rt △BFP 中，∠PBF=30°，BP=3， ∴PF=tan30°×3= √3 ， ∵H 为PF 中点， ∴GH 为Rt △PGF 的中线， ∴GH= 12 PF= √32;（3）解：①∠FBP=30°， 过P 作PN ⊥BC 交AD 于M ， ∵∠PBN=∠FPM ，∠BPN=∠PFM ， ∴△FMP ∽△PNB ，设CP=x ，则PN= x2 ，NC= √32x ，MP=3- 12 x ，BN=3 √3 - √32x ，∴tan ∠FBP= FP BP = MPBN = √33，∴∠FBP=30°；②（i ）若AF=FP ，则∠FPA=∠FAP=30°， ∴AB=BP ，且△ABP 为等边三角形， ∴BF 为△ABP 垂直平分线， ∴AB=BP=3，即x=3；（ii ）若AP=FP ，则∠APF=120°＞90°（舍去）；（iii ）若AP=AF ，则∠CBP=∠CPB=75°，BC=PC ，此时x=3 √3 . 16．【答案】（1）解： EA +EB =√2EC （2）解：不成立， EB −EA =√2EC ． 证明：如图2，在BE 上截取BF ＝AE ，连接CF ，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠BAC﹣∠ABE＝90°﹣45°﹣∠BAD＝45°﹣∠ABE，∵∠CBF＝∠ABC﹣∠ABE＝45°﹣∠ABE，∴∠CBF＝∠CAE，∵BF＝AE，BC＝AC，∴△CBF≌△CAE（SAS），∴CF＝CE，∠BCF＝∠ACE，∵∠ACE+∠ACF＝∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACF＝90°，即∠ECF＝90°，∴在Rt△ECF，EF=√CE2+CF2=√2CE2=√2CE，∵EF＝EB﹣BF＝EB﹣EA，∴EB−EA=√2EC．（3）解：tan∠ADC=√2−1或√2+1第31页共31页。